NIEKTÓRE FUNKCJE ELEMENTARNE I NIEELEMENTARNE
1. Pokaż, że funkcja cosh(x) jest funkcja parzyst� a funkcje sinh(x), tgh(x), ctgh(x)
� a,
sa funkcjami nieparzystymi.
�
2. Wyprowadzić wzory przypominajace wzory znane z trygonometrii:
�
a) cosh2 x - sinh2 x = 1,
b) cosh2 x + sinh2 x = cosh(2x),
c) sinh(2x) = 2 sinh(x) cosh(x),
d) cosh(x ą y) = cosh(x) cosh(y) ą sinh(x) sinh(y),
e) sinh(x ą y) = sinh(x) cosh(y) ą cosh(x) sinh(y).
3. Rozwiaż równania
�
1
a) tgh(x) = ,
2
b) sinh(3x) = 6,
c) ctgh(x) = 10.
4. Dla każdej z podanych poniżej funkcji wraz z dziedzin� na której jest
a,
różnowartościowa, znajdz
(podaj wzór) funkcj� odwrotn�
e a:
a) sinh(x), R,
b) cosh(x), [0, "),
c) tgh(x), R,
d) ctgh(x), R\{0}.
Funkcje te sa oznaczane kolejno arsinh(x), arcosh(x), artgh(x), arctgh(x).
�
5. Naszkicować wykresy podanych funkcji:
a) #cos(x)#,
b) #x#,
2
c) #x2#,
d) #log2 x#.
6. Korzystajac z w �
� lasności x - 1 < #x# d" x rozwiaż równania:
a) #x2 - 2x# = 2,
1
b) #x# = -3.
7. Naszkicować wykresy podanych funkcji:
a) sgn(sin(x)),
b) x sgn(x),
1
c) sgn(x2 - 2x),
d) arctg(sgn(x)).
8. Naszkicować wykresy podanych funkcji:
a) |x + 2| - 2,
b) |x - 1| + |x + 1|.
9. Rozwiaż równania
�
"
a) x2 + x + 1 = x,

"
b) 1 - 1 + x = x,
" "
c) x - 7 + 5 - x = 3,
"
d) x + 10x + 6 = 9,
" "
e) 4x + 2 + 4x - 2 = 4.
Pami� aby sprawdzić, czy podane liczby s� rzeczywiście rozwiazaniami
etaj a �
równania.
10. Rozwiaż nierówności:
�
" "
a) x + 9 + 2x + 4 > 5,
" " "
b) x + 6 > x + 1 + 2x - 5,

c) (x + 4)(x - 3) < 6 - x.
Pami� o dziedzinie nierówności.
etaj
2