Funkcje, własności, funkcje elementarne
Krzysztof Molenda  notatki do wykładów
1.1 Pojęcie funkcji
DEFINICJA (FUNKCJA)
Niech dane będą dwa niepuste zbiory X i Y. Mówimy, ze na zbiorze X jest określona
funkcja f o wartościach w zbiorze Y (i zapisujemy f : X �� Y) wtedy i tylko wtedy, gdy
każdemu elementowi x��X przyporządkowany został jednoznacznie (dokładnie jeden)
element y = f(x)��Y.
Uwagi:
W definicji należy zwrócić uwagę na słowa podkreślone: każdemu i jednoznacznie.
Ponieważ litera x reprezentuje w zapisie funkcji każdy element zbioru X, nazywamy ją
zmienną niezależną. Podobnie, literę y nazywamy zmienną zależną, gdyż wartości te zależą
od x.
Elementy zbioru X nazywamy argumentami funkcji. Elementy zbioru Y nazywamy
wartościami funkcji.
Jeżeli zbiory X i Y są podzbiorami zbioru liczb rzeczywistych R, funkcję nazywamy
liczbowo-liczbową, lub funkcją rzeczywistą jednej zmiennej rzeczywistej.
Zbiór X nazywamy dziedziną funkcji i zapisujemy Df. Jeżeli w zadaniu dziedzina nie jest
podana, musimy ją wyznaczyć.
Zbiór {y: y=f(x) i x��Df}nazywamy przeciwdziedziną funkcji. Oznaczamy go zapisem f(Df)
Zbiór {(x, y): y=f(x) i x��Df} nazywamy wykresem funkcji. Elementy tego zbioru (pary
współrzędnych) traktujemy jako punkty płaszczyzny i nanosimy w układzie kartezjańskim.
Przykład:
Wyznacz dziedzinę, przeciwdziedzinę funkcji 5�f� = 5�e� + 1 - 2. Naszkicuj wykres tej
funkcji.
Rozwiązanie:
Dziedzina funkcji: Analizujemy możliwość wykonalności działań definiujących funkcję.
Musimy przyjąć założenie dotyczące możliwości pierwiastkowania, tzn. x+1 ł� 0. Zatem
x ł�  1.
Df = {x: x+1 ł� 0} = [-1, +Ą�).
Przeciwdziedzina funkcji: Wynikiem pierwiastkowania jest liczba nieujemna. Liczbę tą
zmniejszamy o 2. Zatem f(Df) = [-2, +Ą�).
Wykres funkcji: W pierwszej kolejności szkicujemy wykres funkcji bazowej 5�f� = 5�e�.
Następnie przesuwamy go o wartość  1 w poziomie (o 1 w lewo), uzyskując szkic wykresu
5�f� = 5�e� + 1. W kolejnym kroku przesuwamy ten ostatni wykres o wartość  2 w pionie (o 2
w dół), uzyskując ostateczny szkic zadanego wykresu funkcji 5�f� = 5�e� + 1 - 2.
Strona
1
��
Przykład:
5�e�2-1
Wyznacz dziedzinę i przeciwdziedzinę (zbiór wartości) funkcji 5�f� = .
ln(5�e�-1)
Rozwiązanie:
Dziedzina funkcji: Analizując możliwość wykonalności poszczególnych operacji
zauważamy, że:
1. Aby móc pierwiastkować zakładamy, że 5�e�2 - 1 e" 0.
2. Aby móc logarytmować, argument funkcji logarytmicznej musi być liczbą dodatnią,
czyli 5�e� - 1 > 0.
3. Aby wykonalne było dzielenie, musimy założyć, że mianownik ułamka nie jest zerem,
czyli ln(5�e� - 1) `" 0
Zatem, dziedziną funkcji jest zbiór opisany następującymi warunkami:
Df = {x��R: x2 1 ł� 0 i x 1 > 0 i ln(x 1)ą�0}
W kolejnym kroku rozpiszemy podane wyżej warunki i zapiszemy dziedzinę w postaci
przedziału liczbowego (sumy przedziałów).
A) Warunek 1 zapisać można w postaci iloczynowej (x 1)(x+1) ł� 0, czyli
x��( Ą�,  1]��[1, +Ą�)
B) Warunek 2 zapiszemy w postaci x>1, czyli x��(1, +Ą�)
C) Warunek 3 zapiszemy w postaci ln(x 1)ą�ln(1), czyli x 1ą�1, zatem xą�2. Inaczej mówiąc
x��R {2}.
Tak wyznaczone zbiory zinterpretujemy na osi liczbowej i wyznaczymy ich część wspólną:
Strona
2
C
B
A
-1 0 1 2
Częścią wspólną zbiorów jest, jak wynika z rysunku, przedział (1, +Ą�)  {2) lub inaczej
zapisując (1, 2) �� (2, +Ą�)
Przeciwdziedzina funkcji oraz wykres funkcji: Zagadnienia te, dla tego przykładu,
wykraczają poza materiał (wymagałyby zastosowania metod analizy przebiegu zmienności
funkcji), zatem zostaną pominięte. Jednakże, gdybyśmy naszkicowali wykres tej funkcji (np.
za pomocą kalkulatora graficznego czy specjalnego programu komputerowego), z wykresu
tego odczytalibyśmy zbiór wartości funkcji.
Z powyższego wykresu wynika, iż funkcja może przyjmować wartości z zakresu (w
przybliżeniu) od  Ą� do 0 lub od około 3,5 do +Ą�.
��
1.2 Własności funkcji
Funkcja parzysta
Funkcja nieparzysta
Funkcja malejąca
Funkcja rosnąca
Funkcja stała
Funkcja niemalejąca
Strona
3
Funkcja nierosnąca
Złożenie (superpozycja) funkcji
1.3 Funkcja różnowartościowa
DEFINICJA (FUNKCJA RÓŻNOWARTOŚCIOWA)
Niech X��Df. Funkcję f nazywamy różnowartościową na zbiorze X
df
��"�x1, x2 �� X x1 ą� x2 �� f (x1) ą� f (x2)
Przykłady:
�� Funkcja określona wzorem y = x3 jest różnowartościowa na swojej dziedzinie.
�� Funkcja określona wzorem y = x2 nie jest różnowartościowa na swojej dziedzinie, o
czym świadczy przykład x1 =  1, x2 = +1, x1ą�x2, ale f(-1)=f(1), albowiem ( 1)2 = (+1)2.
�� Funkcja określona wzorem y = x2 jest różnowartościowa na zbiorze R+.
Interpretując geometrycznie różnowartościowość funkcji możemy zauważyć, iż dla takiej
funkcji żadna przeprowadzona pozioma linia nie przetnie wykresu funkcji w więcej niż
jednym punkcie.
Funkcja malejąca (rosnąca) jest różnowartościowa.
Przykład:
5�e�
Sprawdz
, czy funkcja 5�S� 5�e� = jest różnowartościowa na swojej dziedzinie.
1-5�e�
Rozwiązanie:
Dziedziną funkcji f jest zbiór R {1}. Wez
my dwa dowolne, ale różne argumenty x1 i x2.
Sprawdz
my, czy f(x1)ą�f(x2), lub równoważnie, czy f(x1)  f(x2) ą� 0.
f (x1) -� f (x2 ) =�
x1 x2 x1(�1-� x2)�-� x2(�1-� x1)� x1 -� x1x2 -� x2 +� x1x2
=� -� =� =� =�
1-� x1 1-� x2 (�1-� x1)�(�1-� x2)� (�1-� x1)�(�1-� x2)�
x1 -� x2
=� ą� 0
(�1-� x1)�(�1-� x2)�
Ostatnie wyrażenie jest niezerowe, ponieważ założyliśmy, że x1ą�x2, więc x1 x2ą�0.
��
Przykład:
5�e�
Sprawdz
, czy funkcja 5�S� 5�e� = jest różnowartościowa na swojej dziedzinie.
1-5�e�2
Rozwiązanie:
Dziedziną funkcji f jest zbiór R { 1, 1}. Wez
my dwa dowolne, ale różne argumenty x1 i x2.
Sprawdz
my, czy f(x1) ą� f(x2), lub równoważnie, czy f(x1)  f(x2) ą� 0.
Strona
4
f (x1) -� f (x2 ) =�
x1 x2 x1(�1-� x22)�-� x2(�1-� x12)�=� x1 -� x1x22 -� x2 +� x12x2
=� -� =� =�
1-� x12 1-� x22 (�1-� x12)�(�1-� x22)� (�1-� x12)�(�1-� x22)�
x1 -� x2 +� x1x2 (x1 -� x2 )
=� =�
(�1-� x12)�(�1-� x22)�
(x1 -� x2 )(1+� x1x2 )
=�
(�1-� x12)�(�1-� x22)�
Analizując ostatnie wyrażenie nie jesteśmy w stanie odpowiedzieć, że jest ono zawsze
niezerowe (dla różnych x1 i x2). Przykładowo, niech x1=� zaś x2=-2. Są to dwa różne
argumenty należące do dziedziny, ale różnica wartości funkcji dla tych argumentów
f(�)  f(-2) będzie równa zero:
1 1 1 1
(� -� (-�2))�(�1+� ��(-�2))� (� -� (-�2))�(�1-�1)� (� -� (-�2))���0
2 2 2 2
f (1) -� f (-�2) =� K� =� =�
2
(�1-� (1)2)�(�1-� (-�2)2)� (�1-� (1)2)�(�1-� (-�2)2)�=� (�1-� (1)2)�(�1-� (-�2)2)�=� 0
2 2 2
5�e�
Zatem funkcja 5�S� 5�e� = nie jest różnowartościowa na swojej dziedzinie. Natomiast
1-5�e�2
funkcja ta jest różnowartościowa np. na zbiorze liczb nieujemnych [0, +Ą�)  {1}.
��
1.4 Funkcja odwrotna
DEFINICJA (FUNKCJA IDENTYCZNOŚCIOWA)
Funkcję id opisaną wzorem id(x) = x (lub y = x) nazywamy identycznościową.
Funkcja identycznościowa jest elementem neutralnym dla operacji złożenia funkcji, bowiem
dla dowolnej funkcji f spełnione są zależności:
f o� id =� f
��
��id o� f =� f
��
DEFINICJA (FUNKCJA ODWROTNA)
Niech dana będzie funkcja f. Funkcją odwrotną 5�S�-1 do danej funkcji f jest taka funkcja,
która spełnia warunki:
-�1
��
�� f o� f =� id
��
-�1
�� f o� f =� id
��
Uwaga: Znak   1 występujący w symbolu funkcji odwrotnej jest umowny i nie oznacza
ujemnej potęgi.
Przykłady:
�� Funkcje 5�S� 5�e� = 5�e�2 i 5�S�-1 5�e� = 5�e� są funkcjami wzajemnie odwrotnymi dla
nieujemnych argumentów.
Strona
5
 5�e� są funkcjami wzajemnie odwrotnymi dla
�� Funkcje 5�S� 5�e� = 5�e�2 i 5�S�-1 5�e� = -
niedodatnich argumentów.
�� Funkcje 5�S� 5�e� = 5�R�5�e� i 5�S�-1 5�e� = ln 5�e� są funkcjami wzajemnie odwrotnymi w swych
dziedzinach.
TWIERDZENIE (WKW ISTNIENIA FUNKCJI ODWROTNEJ)
Warunkiem koniecznym i wystarczającym istnienia funkcji odwrotnej do danej funkcji f
jest różnowartościowość funkcji f.
Przykład:
5�e�
Wyznacz funkcję odwrotną (o ile można to zrobić) do funkcji 5�S� 5�e� = .
2-5�e�
Rozwiązanie:
1) Wyznaczamy dziedzinę funkcji: Df=R {2}
2) Wyznaczamy przeciwdziedzinę funkcji f(Df)=R {-1}
3) Sprawdzamy, czy funkcja f jest różnowartościowa w dziedzinie (w podobny sposób, jak
zostało to sprawdzone w przykładzie z rozdziału o różnowartościowości)
4) Wyznaczamy funkcję odwrotną wyliczając ze wzoru x:
x
y =� ; y(2 -� x) =� x; 2y -� yx =� x; 2y =� x +� yx; 2y =� x(1+� y);
2 -� x
2y
x =�
1+� y
25�e�
Definiujemy funkcję odwrotną zamieniając między sobą symbole x��y: 5�f� =
1+5�e�
5�e� 25�e�
Zatem funkcje 5�S� 5�e� = oraz 5�S�-1 5�e� = są funkcjami wzajemnie odwrotnymi.
2-5�e� 1+5�e�
Sprawdzenie:
x 2x
��
2��
��
x 2x
ć� ��
-�1 -�1 -�1 2 -� x 2 -� x
f o� f =� f (�f (x))�=� f =� =� =� =� x =� id(x)
�� ��
��
x (�2 -� x)�+� x
2 -� x 2
Ł� ł�
��
1+�
��
2 -� x 2 -� x
��
2x 2x
��
2x 2x 2x
ć� ��
-�1 1+� x 1+� x
��
f o� f =� f =� =� =� =� =� x =� id(x)
�� ��
�� 2x 2(1+� x) -� 2x
2 +� 2x -� 2x 2
Ł�1+� x ł�
2 -�
��
�� 1+� x 1+� x
��
Graficzną metodą wyznaczenia funkcji odwrotnej jest odbicie wykresu funkcji danej
względem przekątnej układu współrzędnych (funkcji id(x)). Na poniższym wykresie
przedstawiono wzajemne relacje funkcji 5�S� 5�e� = 5�R�5�e� oraz 5�S�-1 5�e� = ln 5�e�.
Strona
6
5�e�
Na kolejnym wykresie przedstawiono wzajemnie odwrotne funkcje 5�S� 5�e� = oraz
2-5�e�
25�e�
5�S�-1 5�e� =
1+5�e�
1.5 Funkcje elementarne
1.5.1 Funkcja liniowa
Bez komentarza
Strona
7
1.5.2 Funkcja kwadratowa
1.5.3 Funkcja potęgowa
Strona
8
1.5.4 Funkcja wykładnicza
1.5.5 Funkcja logarytmiczna
Strona
9