(P) Funkcja i jej własności.
-2,-
ru. odp: tak; y = x2 -1, x " X ; {(-2,3)(-1,0)(0,-1)(1,0)(2,3)}
{(x, x2 - 3): x " N '" x < 9}.
odp: ZW={-3,-2,1,6,13,22,33,46,61}
odp: x = 4
1
a) y = - x + 2 dla x " (-",-3 > *"(3,9 > ; odp: ZW =< -1,1)*" < 3,+")
3
1 1
ńł3,3
b) y = x2 + 3 dla x " (-",-2 > *"ńł0, ,1�ł odp: ZW = ,4�ł*" < 7,+")
�ł żł �ł żł
2 4
ół �ł ół �ł
c) y = [x] dla x "< -4,-2)*" < 2,4 > ; odp: ZW = {- 4,-3,2,3,4}
d) y = reszta z dzielenia x przez 4 dla x "{- 2,-1,0,1,2,3,4,5}
o y(-2)  y(5) odp: ZW = {0,1,2,3}; 0;
1 1 1 1 1
e) f (x) = - , x "< -3,- ) *" ( ,3 > odp: ZW = (-2,- > *" < ,2)
x 2 2 3 3
Wyznacz zbi
0,5x2 - 2 (2x - 3)(x +1); c) y = x - 3 + 6 - 2 x odp: a) 2;b) -1; c) -3, 3
a) y = ; b) y =
4x2 - 9
1- x
5. Naszkicuj -3,3>, zbiorem
-
6. Na rys
Dziedzina Df = R.
c) dl
ca ?
odp: a) D =< -2,3)*" < 5,+") ZWg =< -1,2 > ;
g
b) x "< -2,-1) *" (2,3)*" < 5,+") ; c) x "< -2,0 >
< -3;+"} -3, -1, i 1. Jakim
8. Narysuj wykres funkcji:
ńł
�ł
a dla a e" b 2
a) f (x) = max(x ,4), gdy max(a,b) = ; b) y = -(x - 2) ; c) y = - x + 3;
�ł
�łb dla a < b
ół
3 - 2
d) y = x + 2 - 3 ; e) y = -2 - 4 - x ; f) y = + 2 ; g) y = -1-
x +1 x - 3
9. Na podstawie wykresu funkcji f (na rys.)
,
f
b) jej miejsca zerowe,
narysuj wykres funkcji g(x) = 2x + 4
i wyznacz zbiór tych argumentów,
dla których: f (x) d" g(x) .
odp: a) D = (-",2) *"{3,4}*" < 5,8), ZW = (-",0 > *" < 1,4 > ;
- " ,0>;<5,6>
d) f (x) < 0 �! x "< 5,6) *" (6,8) ; e) f (x) d" g(x) �! x "< 0,2) *"{3,4}*" < 5,8)
10. Wykres funkcji y = x

u = [- 3;4]i otrzymano wykres funkcji f. Napisz wzór
funkcji f i narysuj jej wykres. Czy otrzymamy
odp : f (x) = - x + 3 + 4; nie bo y = - x + 3 - 4
a) y = x +1 dla x "< -1.8 >
9
ńł2,
b) y = -3 x - 2 dla x " ,6,11�ł
�ł żł
4
ół �ł
odp: a) ZW = <0,3>, nie; b) ZW = {0, -3/2,-6,-9}
{(x;-x2 + 2): x " C '" x + 2 < 3}.
odp: D = {-5,-4,-3,-2,-1,0,1}
odp: -1, 1
c) narysuj wykres funkcji,
odp: {-5,-4,-3,-2,-1,0}
e) czy istnieje taki argument dla którego f(x) = f(x- odp: x = 1.
ńł
3 dla x " (-",-2)
�ł
�ł
13.Narysuj wykres funkcji: f (x) = x2 -1 dla x "< -2,1) i na jego podstawie :
�ł
�ł
�ł- x +1 dla x "< 1,+")
ół
odp: <-2,0> , <1, + " )
odp: ZW = (- " , 3>
-2, -1>, odp: <0,3)
. odp: (- " ,-2>
(PP) Funkcja i jej własności.
1
3 - x
3 + 2x +1 x - 2x + 5 -1
3
a) f (x) = + ; b) f (x) =
x2 + 8x + 7 x + 2 x -1 -1
2x + 3 - 5
odp: a) D : x " (-",-7) *" (-7,-4) *" (1,9 > ; b) D : x "< -4,-2 >
(x4 - 8x) 4 - 2x -1
x3 - 4x2 + 4x 16x2 - x4
a) f (x) = ; b) f (x) = ; c) f (x) = ;
2 - x +1 x +1 - 5
(x2 - 8x +16)�ł 1 x2 - x�ł
�ł �ł
2
�ł łł
3 5
odp: a) 0; b)" ; c) x = - (" x =
2 2
odp: graf c); wzór y = x
4.
- 2 - 6x
a) f (x) = [x -1 - 2], dla x "< -2,2 > ; b) f (x) = ; c) f (x) = - 3 sgn(- x + 7 )
9x2 + 6x +1
d) f (x) = min(3 x - 2; x +1 +1) ; e) f (x) = max(x2 - 4; x - 2) ; f) f (x) = x -[x]
odp: a) ZW = {- 2,-1,0,1}; b) ZW = {- 2,2}; c) ZW = {0, 3} ;
d) ZW =< -2. + ") ; e) ZW =< 0. + ") ; f) ZW =< 0.1)
7.
a) oblicz f(-124), f(-17), f(90), odp:2,4,6
b) narysuj wykres tej funkcji i u odp: ZWf={0,1,2,3,4,5,6}
c) opisz wzorem wszystkie miejsca zerowe tej funkcji. odp: x = 7k '" k " C
c) czy dana funkcja jest okresowa ? j odp: tak, T=7
a) f (x) = 3 - x + 2 - 2 odp: ZW =< -2. + ")
2
b) f (x) = 4 -(x - 2) odp: ZW = (-",4 >
2
c) f (x) = + 3 odp: ZW =< 0. + ")
x - 2
2x - 7
d) f (x) = odp: ZW = R -{2}
x - 2
3 x - 4
e) f (x) = odp: ZW = (-",2 > *"(3,+")
x - 2
2 x
f) f (x) = odp: ZW =< 0. + ")
x -1
g) f (x) = sgn(x - 3) -1 odp: ZW = {0,1,2}
h) f (x) = [x + 2]+1 odp: ZW = N
i) f (x) = x +1 - 3 x - 2 odp: ZW = (-",3 >
7. Dana jest funkcja f (x) = -x2 + 2, x "< -2,2 > . Napisz wzory i narysuj wykresy funkcji
1
g(x) = - f (x) ; h(x) = f(2x).
2
8. Narysuj wykres funkcji:
1
a) y = f (x - 3) , gdzie f (x) = - x +1 ; b) y = 2 f (-x) , gdzie f (x) = x -1
2
odp: a) ZW =< 0. + ") ; b) ZW =< 0. + ")
9. Na podstawie definicji zbadaj:
9x2 - x4 3x4
a) f (x) = ; f (x) = ;
(x - 2)(x +1)
x - 3
- 2x + 9
b) f (x) = w przedziale (-",4)
x - 4
3 - x
c) f (x) = ; f (x) = 2 2x -1
x +1
a) x - 2 d" 5 - x +1 ; b) x + 3 + x -1 e" 6 ; c) x + 3 e" 3 - x
odp: a) x "< -2,3 > ; b) x " (-",-4 > *" < 2,+") ; c) x " R
a) 3 - 2 - x = 4 , 3 - 2 - x = m
parametru m ( m " R ).
Odp: x=-5 lub x=9 ; 0 rozw dla m " (-";0) ; 2 rozw dla m "{0}*" (3;+"} ;
3 rozw dla m=3; 4 rozw dla m " (0;3)
b) 2 x - 2 = 2 , 2 x - 2 = m -1
m ( m " R ).
Odp: x "{- 2,0,2}; 0 rozw dla m " (-1;1) ; 2 rozw dla m "{-1;1}*"(- ";-3)*" (3;+"};
3 rozw dla m "{-3;3}; 4 rozw dla m "(- 3;-1)*" (1;3}
2
c) 1- (2 - x) = 3 ,
2
1- (2 - x) = m + 3 -1 m ( m " R ).
Odp: x=0 lub x=4; 0 rozw dla m " (-4;-2) ; 2 rozw dla m " (-";-5) *"{-4,-2}*" (-1;+"};
3 rozw dla m "{-5;-1}; 4 rozw. dla m " (-5;-4) *" (-2;-1)