ROZKA
ADY  rozkład dwumianowy
Rozkład dwumianowy (J. Bernoulli ego) opiera się na
eksperymencie, którego rezultatem może być zdarzenie A ( sukces z
prawd. p ) lub zdarzenie B przeciwne do A ( porażka z prawd. q =
1 p). Doświadczenie powtarzane jest n razy, w sposób niezależny, by
prawdopodobieństwo  sukcesu lub  porażki było stałe. Liczba
sukcesów w wyniku n powtórzeń eksperymentu może być równa
k=0,1,2,...,n .
Przykład. 10 rzutów monetą. W jednym rzucie orzeł można otrzymać z prawd
� , zaś reszkę też z prawd � . Orzeł może wystąpić k=0,1,2,...,10 razy.
Przykład. Rzucamy 15 razy kostką do gry, uznając za sukces wyrzucenie
szóstki (prawd wyrzucenia 6-stki wynosi 1/6) . Szóstka może wystąpić
k=0,1,2,...,15 .
Jeśli zmienna losową X będzie liczba sukcesów , to prawdopodo-
bieństwo uzyskania k sukcesów wynosi
n!
k
P{X = k} = Cn pk (1- p)n-k = pk (1- p)n-k ; k = 0,1,2,...,n
k !(n - k)!
Zmienna losowa ma rozkład dwumianowy, jeśli przyjmuje wartości
k=0,1,2...n z prawdopodobieństwami
n!
k
P{X = k} = Cn pk (1- p)n-k = pk (1- p)n-k ; k = 0,1,2,...,n
k !(n - k)!
Liczbę doświadczeń n i prawdopodobieństwo sukcesu p nazywamy
parametrami rozkładu
Dystrybuanta rozkładu dwumianowego
n!
F(x) = P(X d" x) = pk (1- p)n-k
"
k !(n - k)!
Xk d"x
Wartość oczekiwana: E(X) = n*p
Wariancja: D2(X) = n*p*(1 p)
N=100 p=0.05
Przykład. Na wydziale odlewni pracują 4 piece. Prawdopodobieństwo, że w ciągu
doby piec ulegnie awarii wynosi 20%. Naprawa pieca może być dokonana w
trakcie upływającej doby, tak by piece były gotowe do pracy następnego dnia.
Wyznacz dystrybuantę rozkładu awarii pieców i oblicz prawdopodobieństwo, że
więcej niż 2 piece ulegną awarii w ciągu doby.
Rozwiązanie:
 Sukces w pojedynczym doświadczeniu  awaria pieca (p=0.2 ; 20%).
Liczba  doświadczeń to n=4 (liczba pieców). Zmienna losowa X  liczba
 sukcesów w ciągu doby  czyli liczba zepsutych pieców. Zmienna X ma rozkład
dwumianowy postaci
P(X=k)=[4!/k!(4-k)!]*(0.2)k(0.8)4-k k=0,1,...,4
Nie można obecnie wy świetlić tego obrazu.
Xi 0 1 2 3 4
pi 0.4096 0.4096 0.1536 0.0256 0.0016
F(x)=P(X d" x)=Łxid"x pi  dystrybuanta
x x d" 0 xd" x d" 2 x d" 3 x d" 4
d" d" d" d" d"
d" d"1 d" d" d"
d" d" d" d" d"
F(x) 0.4096 0.8192 0.9728 0.9984 1.0000
P(X>2)=P(X=4)+P(X=3) lub P(X>2)=1-P(Xd"2)=1-F(2)
P(X>2)=0.0256+0.0016=0.0272 lub P(X>2)=1-0.9728=0.0272
Rozkład Poissone a
Zmienna losowa przyjmująca wartości k=0,1,2.. ma rozkład
Poissone a o parametrze  , jeśli funkcja prawdopodobieństwa
rozkładu jest określona jako
k
P(X = k) = e-  > 0
k !
k
k =x
F(x) = e-
Dystrybuanta rozkładu:
"
k !
k =0
Wartość oczekiwana (średnia): E(X)= , wariancja D2(X)= 
Rozkład Poissone a można wykorzystywać do przybliżania
prawdopodobieństw rozkładu dwumianowego, bowiem
k
k
Pdwum(X = k) = Cn pk (1- p)n-k ; lim Pdwum(X = k) = e-
n"
k !
pod warunkiem, że gdy n" to n�p=  ( warunkiem stosowania
dostatecznie duże n i małe p ) .
Przy zastosowaniu tego rozkładu w sposób przybliżony charakteryzuje się: liczbę
usterek w produktach, liczbę cząsteczek ą emitowanych przez subst. radioaktywną,
liczbę błędów drukarskich, etc.
Rozkład Poissone a dla parametru =15
Zadanie
W jednym z wydziałów zakładu w ostatnim półroczu zestawiono rejestr
nieobecności w pracy (z różnych przyczyn):
Dni 0 1 2 3 4 5 6 7
L.prac. 12 20 27 18 7 3 2 1
1. Zakładając, że rozkład nieobecności jest rozkładem Poisonne a
obliczyć liczebności teoretyczne  porównać z empirycznymi.
2. Wyznaczyć dystrybuantę teoretyczną rozkładu
prawdopodobieństwa.
3. Na podstawie dystrybuanty teoretycznej wyznaczyć prawdopodo-
bieństwo, że zmienna losowa X (liczba opuszczonych dni pracy w
półroczu przez pracownika wydziału) będzie większa od 4.
Rozwiązanie
Zakładając rozkład Poissone a , mamy jako wniosek iż E(X)=.
Wartość oczekiwaną policzymy z rozkładu empirycznego, jako Łkpi
gdzie pi=ni/n  są częstościami względnymi.
Wykonujemy sukcesywnie obliczenia:
Dni nieobecności k= 0 1 2 3 4 5 6 7 Sumy
Liczba pracowników ni= 12 20 27 18 7 3 2 1 90 =n
Częstości empir. pi=ni/n 0.13 0.22 0.30 0.20 0.08 0.03 0.02 0.01 1
=E(X)=
Iloczyny k*pi 0.00 0.22 0.60 0.60 0.31 0.17 0.13 0.08 2.11
Prawdop. Teoretyczne 0.12 0.26 0.27 0.19 0.10 0.04 0.01 0.00 1.00
Liczebności teoret. 10.9 23.0 24.3 17.1 9.0 3.8 1.3 0.4 89.9
Dystrybunata Teoret. 0.12 0.38 0.65 0.84 0.94 0.98 0.99 0.998
k
Prawdopodobieństwa teoretyczne:
Pt (X = k) = e-
k !
Liczebności teoretyczne: nt,i = Pt(X=k)*n
k
k =x
Dystrybuanta teoretyczna:
F(x) = e-
"
k !
k =0
Prawdopodobieństwo, że zmienna losowa X (liczba opuszczonych
dni pracy w półroczu przez pracownika wydziału) będzie większa od
4 obliczamy z dystrybuanty teoretycznej, bowiem:
P(Xd"4)=F(4)=0.94
P(X>4)=1 F(4)=1 0.94=0.06 (6%)
Rozwiązanie graficzne przykładu. Rozkład Poissone a =2.11
Rozkład jednostajny
Zmienna losowa X przyjmująca wartości z przedziału [a,b] ma
rozkład jednostajny, jeśli jej funkcja gęstości ma postać:
f(x)
0 x < a
ńł
�ł 1
1
f (x) = b-a
�łb-a a d" x d" b
�ł x
0 x > b
ół
a
b
Najprostszy przykład rozkładu zmiennej losowej typu ciągłego
inaczej zwany prostokątnym.
F(x)
0 x < a
ńł
1
�ł
x-a
F(x) =
Dystrybuanta:
�łb-a a d" x d" b
x
�ł
1 x > b
ół
a b
Wariancja:
Wartość oczekiwana
D2(X)=(b-a)2 /12
E(X)=(a+b)/2