Katedra Metrologii i Systemów Informacyjnych Regulamin nr 1
Politechniki Gdańskiej WWARUNKI ZALICZENIA WYKA
ADU
Studia I stopnia 1 W trakcie semestru zostanÄ… przeprowadzone dwa nieobowiÄ…zkowe sprawdziany
bieżące, obejmujące po trzy pytania.
Każde pytanie na sprawdzianie jest oceniane w skali punktowej 3, 2, 1, 0.
(Maksymalna liczba punktów za sprawdzian wynosi 9).
Przedmiot: Metrologia Elektryczna
2 W trakcie wykładu prowadzący może zadawać pytania, dotyczące materiału
przerobionego na poprzednich wykładach. Pierwszy student, który zgłosi się do
Prowadzący: dr inż. Marek Wołoszyk
odpowiedzi może dostać 3 pkt. Jeśli jego odpowiedz
była błędna może otrzymać
 1 pkt. Inne formy aktywności na wykładach będą również oceniane w tej skali.
pok. E23, tel.[phone],
Punkty uzyskane tą drogą sumują się z punktami uzyskanymi ze sprawdzianów.
e-mail: [e-mail]
3 Automatyczne zaliczenie semestru zależy od sumy uzyskanych punktów ze
sprawdzianów i odpowiedzi według skali:
Liczba godzin tygodniowo: s.II  2W, s.III  2L
Zasady zaliczenia: Zgodnie z regulaminem nr 1
i regulaminem nr 2
Suma punktów Wynik zaliczenia
e"18 5,5
4 4. Studenci, którzy ze sprawdzianów bieżących uzyskali poniżej
10pkt zdają egzamin z całości materiału.
16-17 5,0
5. Student, który uzyskał zaliczenie na podstawie sprawdzianów
15 4,5
bieżących może przystąpić do egzaminu w celu podniesienia
oceny. Do indeksu wpisana będzie wyższa z ocen uzyskanych
13-14 4,0
z sumy sprawdzianów lub z egzaminu
12 3,5
10-11 3,0
Orientacyjne terminy sprawdzianów:
9 Poprawa najsłabszego sprawdzianu
23/27.04.12 11/15.05.12
3-8 Zaliczenie poprawkowe z całości
0-2 Powtarzanie wykładu w następnym roku
" Opracowanie wyników badań doświadczalnych. Analiza statystyczna wyników
pomiarów. Określanie niepewności pomiaru typu A i B. Interpolacja. Analiza
regresyjna. Sposoby zapisu wyniku pomiaru. Wyznaczanie charakterystyk na
podstawie wyników pomiarów. Klasy dokładności mierników.
Treść programu:
" Ustroje elektromechaniczne. Momenty mechaniczne występujące w mierniku i ich
wpływ na dokładność pomiaru. Rozwiązania urządzenia odczytowego. Tłumienie.
" Pojęcia podstawowe: przetwornik, przyrząd pomiarowy fizyczny i wirtualny, system
" Miernik magnetoelektryczny - zasada budowy i działania. Moment kierujący i
pomiarowy. Wielkość, wartość, błąd pomiaru. Obowiązujący system jednostek.
charakter podziałki. Rozszerzanie zakresów. Pomiary przy przebiegach
Organizacja służb metrologicznych w Polsce. Metody pomiarowe -analogowe i
sinusoidalnych i odkształconych. Zachowanie miernika w stanach dynamicznych.
cyfrowe, bezpośrednie i pośrednie, porównawcze.
" Zasada budowy i działania mierników elektromagnetycznych. Moment kierujący i
charakter podziałki. Ochrona od wpływu obcych pól magnetycznych. Wpływ kształtu
" Błędy i ich rodzaje. Teoria błędów - klasyfikacja niedokładności pomiaru.
krzywej.
Niedokładność systematyczna, przypadkowa i od nieczułości - mechanizm
powstawania i sposób wyznaczania. Przypadkowość wartości niedokładności
" Mierniki dynamiczne w odmianach elektrodynamicznej i ferrodynamicznej. Zasada
składowych. Poziom ufności. Wyznaczanie niedokładności całkowitej przy stałym
budowy i działania. Moment kierujący i charakter podziałki. Mierniki mocy i ich stała
poziomie ufności.
pomiarowa.
" Wzorce rezystancji, napięcia, pojemności, indukcyjności. Kalibratory.
" Rozszerzanie zakresów pomiarowych. Przekładniki.
" Kompensatory stałoprądowe, błąd od nieczułości, komparatory.
Literatura:
" Pomiary RLC. Omomierz. Metoda techniczna pomiaru rezystancji. Mostki.
" Podstawowe bloki elektroniczne układów pomiarowych.
1. Piotrowski J., Podstwawy miernictwa , WNT, Warszawa, 2002
" Podstawy przetwarzania analogowo-cyfrowego i cyfrowo-analogowego. 2. Chwaleba A., Poniński M., Siedlecki A., "Metrologia elektryczna",
WNT, Warszawa, 1998.
" Mierniki cyfrowe. Podstawowe zasady działania (całkujące, kompensacyjne, z
3. Tumański ,  Technika pomiarowa". PWN Warszawa, 2007.
przetwarzaniem U/f, delta/sigma). Pomiary cyfrowe U, I, f, T oraz parametrów
RLC.
4. Barzykowski J. i in.,  Współczesna metrologia , WNT, 2007.
" Rejestrator. Oscyloskop.
5. "Podręcznik metrologii", Praca zbiorowa pod red. Sydenham P,H., WKA
,
" Pomiary mocy i energii w układach 1 i 3-fazowych. Warszawa, 1990.
6. Markiewicz H., "Bezpieczeństwo w elektroenergetyce", WNT,
" Podstawowe pomiary magnetyczne.
Warszawa, 1999.
" Podstawowe pomiary eksploatacyjne w elektrotechnice.
7. Janiczek R., "Elektryczne miernictwo przemysłowe", Wyd. Polit.
" Pomiary elektryczne wielkości nieelektrycznych  wprowadzenie.
Częstochowskiej, Częstochowa, 1994.
8. Stabrowski M.M., "Miernictwo elektryczne. Cyfrowa technika
pomiarowa". Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej,
Warszawa, 1999.
9. Piotrowski J.,Kostyrko K.,"Wzorcowanie aparatury pomiarowej". PWN
Warszawa, 2000.
Metrologia  nauka o pomiarach
(metron  miara, logos  nauka, słowo)
Człowiek mierzy od zawsze, a więc od czasów Adama i Ewy, bowiem
Józef Flawiusz tak pisze o Kainie:
 Wynalazłszy miary i wagi, zmienił ową niewinną
i szlachetną prostotę, w jakiej żyli ludzie, póki ich
nie znali, w życie pełne oszustwa.
W Europie już w średniowieczu wiarygodności miar przypisywano
zasadnicze znaczenie.
Papież św. Grzegorz Wielki tak pisze do swych podwładnych:
 Przede wszystkim chcę, abyś zwracał pilną uwagę na to,
by przy ściąganiu opłat nie używano fałszywych wag.
A jeślibyś takie znalazł, niszcz je i wprowadz
nowe i
sprawiedliwe .
Dbałość o wiarygodność miar należała początkowo do miast i było to dla
nich ważne gdyż własna miara była symbolem wolności:
Suwerenność miast w sprawach metrologicznych wyraża
siÄ™ ... w prawie ustalania miary i prawie kontroli nad
miarami. ...  to znaczy jednocześnie prawie do karania za
wykroczenia metrologiczne. Najczęściej ... są kary
materialne ... . Częsty jest pręgierz. ... Zdarzają się kary
cielesne: np. w Gdańsku za złą miarę obcinano się 2 palce.
Warto zwrócić uwagę na wartość względną niepewności
... ciekawy jest casus łotewski: w XIII w. za złą miarę grozi kara
dopuszczanej przez cytowany XIII-wieczny przepis Å‚otewski,
śmierci, ale dopiero wtedy, gdy  fałszywy łokieć mniejszy jest od
mianowicie:
prawdziwego o więcej niż szerokość palca.
1 palec 2 cm
5%
Szerokość palca w stosunku do łokcia jest tu więc granicą
1 łokieć 40 cm
dopuszczalnej tolerancji.
Ostatni z cytatów określa dopuszczalną wartość błędu miary
długości. Tak więc już co najmniej w XIII w. zdawano sobie sprawę,
Jest to wartość co najwyżej o rząd większa, niż wartość
że miara nie może być dokładna i nie można karać kupca, który
względna niepewności dopuszczalnej dla większości
mierzy niedokładnie, jeżeli tylko owa niedokładność nie przekracza
przyrządów stosowanych do rozliczeń we współczesnym
dopuszczalnego poziomu.
handlu.
W cytacie granicę dopuszczalnej niedokładności nazwano
Tak np. dopuszcza się blisko 2-procentową niepewność
dopuszczalnÄ… tolerancjÄ….
elektromechanicznych liczników energii elektrycznej,
Póz
niej mówiono o dopuszczalnym błędzie granicznym.
stosowanych w mieszkaniach.
Obecnie mówi się raczej o dopuszczalnej niepewności.
Wzorzec masy Dariusza I
z V wieku p.n.e.
Jednostki systemu SI
Układ jednostek SI (Systeme International  przyjęty w 1960r.)
Podstawowe określenia Pomiar to zbiór operacji mających na celu wyznaczenie
wartości wielkości mierzonej. Przebieg tych operacji może być
zautomatyzowany.
Etapy pomiaru obejmujÄ… teoretyczne i praktyczne jego
przygotowanie, technicznÄ… realizacjÄ™ oraz opracowanie i
interpretację wyników pomiaru.
Wykonanie pomiaru wymaga użycia narzędzi pomiarowych
tworzących układ pomiarowy lub system pomiarowy.
Zależnie od sposobu wyznaczania wyniku pomiaru i udziału
człowieka w tym procesie rozróżnia się pomiary bezpośrednie,
pośrednie i porównawcze.
Pomiar
W pomiarze bezpośrednim wszystkie obliczenia wyniku pomiaru
wykonywane sÄ… wewnÄ…trz przyrzÄ…du lub systemu pomiarowego.
Wyniki pomiaru uzyskuje się bezpośrednio bez obliczeń (np.
pomiar napięcia woltomierzem, temperatury termometrem itp.).
k
Układ Wynik
W pomiarze pośrednim obliczenia prowadzące do wyniku
X
porównania porównania
pomiaru wykonywane sÄ… na zewnÄ…trz przyrzÄ…du lub systemu
pomiarowego. Wartość wielkości mierzonej wyznacza się jako
funkcja innych wielkości mierzonych bezpośrednio (np. pomiar
rezystancji z pomiaru napięcia i natężenia prądu itp.).
1X
k = X/1X
Pomiar porównawczy wymaga użycia wzorcowej miary wielkości
w doświadczeniu pomiarowym (np. metoda zerowa, metoda
postawienia itp.).
Pomiar - ustalenie wartości liczbowej miary danej wielkości fizycznej.
Pomiar z przetwornikiem
Pomiary realizowane za pomocą narzędzi pomiarowych, na które składają się:
" wzorce miar (np. przymiary, odważniki),
" przyrzÄ…dy pomiarowe (np. mierniki elektryczne, wagi),
" przetworniki pomiarowe.
k
X
Układ Wynik
X
Y
porównania porównania
X Czujnik Y Układ K Wynik analogowy
pomiarowy porównania porównania lub cyfrowy
Wy X - wielkość mierzona
Y - wielkość pomocnicza
1Y
Wy  wzorzec wielkości Y
k = Y/1Y
K - wynik porównania K=Y/Wy
Y = f(X)
Informacje może być o charakterze:
Wyniki porównania w postaci jawnej lub zakodowanej, zwykle
" ciągłym (analogowe) przetwarzane są na sygnał cyfrowy przekazywany na magistralę lub
elektryczne sygnały standardowe:
" dyskretnym (cyfrowe)
" prÄ…dowe o wymuszonym charakterze np. 0...20 mA lub 4...20 mA
" dwustanowe (binarne)
" napięciowe np. 0...10 V lub  5V...5V
Przetworniki pierwotne (czujniki) dzielÄ… siÄ™ na:
Przetwornik pomiarowy
" generacyjne (aktywne, czynne), wielkość mierzona x(t) generuje sygnał pomia-
rowy y1(t) o pewnym poziomie energetycznym (czujniki termoelektryczne,
Przetwornik pomiarowy (czujnik) jest elementem składowym
foto- elektryczne, piezoelektryczne, indukcyjne) lub powoduje wykonanie
każdego układu sterowania, monitorowania lub jest też fragmentem
pewnej pracy (np. manometr sprężynowy) kosztem energii mierzonego procesu
robota.
(nie wymagają zewnętrznego zasilania)
Zalety elektrycznych metod pomiarowych
" parametryczne (pasywne, bierne), w których pod wpływem działania wielkości
" Duża dokładność i czułość
mierzonej x(t) następuje zmiana określonego parametru. Zmiana ta jest
zauważalna dopiero po doprowadzeniu zasilania do przetwornika (czujniki
" Możliwość stosowania tej samej aparatury dla szerokiego zakresu
pomiarowego i dla różnych wielkości fizycznych rezystancyjne, indukcyjnościowe, pojemnościowe, magnetosprężyste,
jonizacyjne).
" Szeroki zakres częstotliwości od 0  fmax (nawet do GHz)
" Możliwość automatyzacji pomiarów i przekazywanie wyników na
odległość
y1(t) = f(x) y1(t) = f(x,e )
pom
x(t)
Przetwornik
x(t) Przetwornik
" Możliwość operacji matematycznych (automatyczne uwzględnianie
parametryczny
generacyjny
poprawek, sumowanie, różniczkowanie i całkowanie sygnałów)
e
pom
Nazwy przyrządów:
Narzędzie pomiarowe  zespół środków wykorzystywanych
w pomiarze (wzorce, przyrzÄ…dy pomiarowe, przetworniki
" związane z nazwą wielkości lub nazwą jednostki
pomiarowe, układy i systemy pomiarowe).
(termometr, woltomierz itp.),
Wzorzec miary  narzędzie pomiarowe odtwarzające
" zwiÄ…zane z zasadÄ… pomiarowÄ…, metodÄ… pomiarowÄ… lub od
praktycznie niezmiennie podczas jego użycia, jedną lub
rodzaju zastosowania przyrzÄ…du (komparator,
kilka znanych wartości wielkości mierzonych. Wzorce
dawkomierz, kompensator itp.),
mogą być jednomiarowe i wielomiarowe.
" pochodzÄ…ce od nazwiska wynalazcy (rurka Pitota, licznik
Przyrząd pomiarowy  narzędzie pomiarowe
Geigera-Mulera, zwężka Venturiego itp.),
przetwarzające wielkość mierzoną na wskazanie lub
równorzędną informację.
" wywodzÄ…ce siÄ™ od nazwy handlowej obranej przez
producenta (np. rotametr).
Czułość
przyrządu pomiarowego określana jest jako stosunek
Miernik  przyrząd pomiarowy określający za pomocą wskazania
przyrostu odpowiedzi przyrzÄ…du pomiarowego "y do
"
"
"
(jednego) wartości wielkości mierzonej bez rejestracji.
odpowiadającego mu przyrostu sygnału wejściowego
"x.
"
"
"
Licznik  całkujący przyrząd pomiarowy (planimetr, licznik energii
el. itp.),
W praktyce przyjmuje się przyrosty skończone, czyli
Sumujący przyrząd pomiarowy  wartość wielkości mierzonej
S = "y/"x
określana jest przez sumowanie cząstkowych wartości mierzonych
(np. dystrybutor paliwa).
Czułość przyrządów o przetwarzaniu liniowym jest stała w
całym zakresie pomiarowym (S = Y/X), natomiast przy
przetwarzaniu nieliniowym zmienia się i w każdym
punkcie charakterystyki jest różna.
y y
Stałą pomiarową oblicza się dzieląc wartość nominalną
zakresu przez nominalną liczbę działek,
"y
"
"
"
"x
"
"
"
np. woltomierz o zakresie 150V i liczbie działek 75 ma
b0 y
S = tgÄ… =
= =
= =
= =
stałą pomiaru CV = 2V/dz, a czułość SV = 0,5dz/V.
a0
"y
"
"
"
"x
"
"
"
Stałą C obliczamy najczęściej dla przyrządów
0 0
x
x
x
wielozakresowych. W konstrukcji przyrządów dąży się
Graficzna ilustracja definicji czułości: a) przypadek
do tego by stała C była liczbą okrągła.
charakterystyki liniowej, b) charakterystyka y=f(x) nieliniowa
Wynik pomiaru obliczamy mnożąc liczbę działek
odczytaną z przyrządu razy stałą pomiaru. Wyniki
"y dy
"
"
"
S = lim =
= =
= =
= =
pomiaru zawsze należy zapisywać parą liczb; liczbą
"x0
"
"
"
"x dx
"
"
"
działek i stałą pomiarową.
Każdy pomiar obarczony jest błędem, tzn.
wynik pomiaru odchylony jest od mierzonej
wartości prawdziwej.
Błędy pomiarów
Przyczyny powstawania błędów:
" Niedoskonałość narzędzi pomiarowych
" Zmienność warunków fizycznych
" Niedostateczna znajomość zjawisk
Wynik pomiaru różni się od wartości rzeczywistej
wielkości mierzonej
Błąd bezwzględny pomiaru
Różnica między wartością X uzyskaną z pomiaru a wartością
rzeczywistą tej wielkości Xr
Xr = X - "X wartość rzeczywista
"
"
"
"X = X - X
r
lub Xr = X + (-"X) = X + P
"
"
"
Błąd względny pomiaru
p = -"X - poprawka
"
"
"
Stosunek błędu bezwzględnego do rzeczywistej wartości
wielkości mierzonej
"X
"
"
"
´X =
´ =
´ =
´ =
X
r
Xr - nigdy nie jest znane
Założenie: Xr H" Xp wartość poprawna
H"
H"
H"
(wartość oczekiwana)
´X - bÅ‚Ä…d wzglÄ™dny pomiaru
´
´
´
Xp - wartość wielkości mierzonej wyznaczona
odpowiednio dokładnie
´X = "X / Xr ´X% = ´X Å" 100 %
´ " ´ ´ Å"
´ " ´ ´ Å"
´ " ´ ´ Å"
Np. przy określaniu wyniku pomiaru często się podaje
l = 385 Ä… 1 mm
Ä…
Ä…
Ä…
np. ´l = 0,02; ´l = 2Å" ´ = 2 %
´ ´ Å" ´
´ ´ Å"10-2;´l
´ ´ Å" ´
Znak błędu bezwzględnego "l nie jest znany
"
"
"
l - śł" śł d" lr d" l + śł"lśł
śł" śł d" d" śł" śł
śł"l śł d" d" śł" śł
śł" śł d" d" śł" śł
l - "Xmax d" lr d" l + "Xmin
" d" d" "
" d" d" "
" d" d" "
Podział błędów
Praktyczną miarą niedokładności pomiaru są
graniczne błędy pomiaru "Xmin i "Xmax , które są
" "
" "
" "
1.Błędy systematyczne (nielosowe) - przy wielu
określone jako najmniejszy przedział wokół zmierzonej
pomiarach tej samej wartości wielkości mierzonej,
wartości X.
wykonywanych w tych samych warunkach, są stałe zarówno
co do wartości bezwzględnej jak i co do znaku.
Wewnątrz tego przedziału znajduje się wartość
Błąd taki można eliminować, lub przynajmniej redukować
rzeczywista Xr.
za pomocÄ… poprawki, wyznaczonej teoretycznie lub
Zwykle "Xmin = - "Xmax = "Xg
" " "
" " "
" " "
doświadczalnie. Główne przyczyny powstawania tych
"Xg - błąd graniczny
"
"
"
błędów to : błędy metody, powstające w rezultacie
świadomego przyjęcia pewnych uproszczeń, niedokładność
wzorca, oddziaływanie przyrządu na obiekt badany, zmiana
Xr = X Ä… "Xg
Ä… "
Ä… "
Ä… "
warunków odniesienia.
X+"Xg
"
"
"
X-"Xg X
"
"
"
X
Xmin Cecha charakterystyczna - możliwość ich częściowej
Xmax
eliminacji.
Przedział niedokładności pomiaru
Błędy systematyczne powstają na skutek uproszczenia
modelu, według którego wykonywany jest pomiar, np.
nieuwzględnienia rezystancji wewnętrznej mierników przy 2.Błędy przypadkowe (losowe) - zmieniają się w
pomiarze rezystancji metodÄ… technicznÄ…, czy
sposób nieprzewidzialny, zarówno co do wartości
nieuwzględnienia wpływu zmian rezystancji spowodowanej
bezwzględnej jak i co do znaku, przy wykonywaniu
zmianÄ… temperatury otoczenia przy pomiarze czujnikami
dużej ilości pomiarów tej samej wielkości w
rezystancyjnymi.
warunkach pozornie niezmiennych. PowodujÄ…
Inną przyczyną błędów systematycznych jest zła kalibracja rozrzut kolejnych wyników wokół wartości
przyrządów, np. przesunięcie zera woltomierza.
rzeczywistej mierzonej wielkości.
Błędy systematyczne mogą być eliminowane przez
stosowanie dodatkowych elementów korekcyjnych i
wprowadzenie poprawek do wyniku pomiaru.
Jednak całkowita eliminacja błędów systematycznych
nie jest możliwa.
3.Błędy nadmierne (grube lub pomyłki) - błędy
wynikające z nieprawidłowego wykonania pomiaru.
BÅ‚Ä…d multiplikatywny i addytywny
Wynik pomiaru obarczony błędem nadmiernym
Najogólniej można podzielić błędy na multiplikatywne,
nie jest brany pod uwagÄ™
czyli zmieniające wynik pomiaru w sposób względny i
addytywne, czyli zmieniające wynik pomiaru w sposób
jest niewiarygodny.
bezwzględny.
zmiana czuło- Błąd nieliniowości
ści, błąd mul-
tiplikatywny
Ilustracja błędu multiplik
a-
1
y
y
tywnego i addytywnego: 1 Graficzna ilustracja definicji
1 - nieliniowości:
charakterystyka uwzględ-
2
niająca wpływy czynników
2
1-charakterystyka liniowa
zewnętrznych,
(idealna)
błąd
x
2-charakterystyka rzeczywista
nieliniowości
2 -charakterystyka idealna
0
0
x
przesunięcie (dryft) z
era
 błąd addytywny
Operator jest w stanie zauważyć pewne minimalne
odchylenie wskazówki, natomiast poniżej tego ledwo
BA

D (OD) NIECZUA
OÅšCI
dostrzegalnego odchylenia przyjmuje, iż wskazanie jest
zerowe, pomimo iż prąd płynący przez wskaz
nik nie jest
zerowy.
Jest to błąd obserwowany w metodach zerowych, w
Wartość tego błędu można wyznaczać analitycznie, ale
których jedynym przyrządem wskazującym jest
prościej jest zrobić to doświadczalnie.
wskaz
nik zera, czyli czuły miernik którego zadaniem
jest pokazanie braku prądu lub napięcia.
µ
´n = k
Błąd od nieczułości:
Ä…
Ponieważ ocena, czy wskaz
nik ten pokazuje zero czy
też nie zależy od operatora, to błąd ten jest błędem
k - najmniejsze zauważalne wychylenie wskaz
nika zera,
częściowo subiektywnym.
"R
µ - rozstrojenie wzglÄ™dne parametru charakterystycznego (np. )
µ
µ µ =
µ
R
Ä… - wychylenie wskaz
nika przy rozstrojeniu µ
Ä… µ
Ä… µ
Ä… µ
Błędy w pomiarach pośrednich
Błędy statyczne i dynamiczne
Sprzęt pomiarowy może pracować w warunkach
statycznych, czyli w takich, w których czas nie ma
wyraz
nego wpływu na pracę przyrządu i w
W pomiarach bezpośrednich wyniki pomiarów X1...Xn obciążone są
warunkach dynamicznych, czyli takich, w których
bÅ‚Ä™dami systematycznymi ´1 ..... ´n.
´ ´
´ ´
´ ´
wpływ czasu nie jest pomijalny.
W praktyce częściej wykonuje się pomiary pośrednie.
W obu tych warunkach pracy mówimy o błędach
Przy poprawnym doborze metody i starannym pomiarze głównymi
statycznych i dynamicznych.
błędami są błędy systematyczne wynikające z właściwości
przyrządów.
Metoda różniczki zupełnej funkcji wielu zmiennych
Wielkość mierzona zamiast wartości :
"Y
"Y "Y
dY = dX1 + dX + ... + dX
2 n
Y = f (X1, X2, Xn) "X1 "X "X
2 n
przyrost względny po podzieleniu przez Y :
ma wartość:
dY "Y dX1 "Y dX2 "Y dXn
" " "
" " "
" " "
Y + "Y = f ( X1 + "X1, X2 + " ...+ Xn +" )
" " " "
" " "X2 "Xn
" " " "
´Y = = + + ...+
´ = = + + +
´ = = + + +
´ = = + + +
Y "X1 Y "X2 Y "Xn Y
" " "
" " "
" " "
Błąd pomiaru można obliczyć:
dX
´X =
´ =
´ =
´ =
bÅ‚Ä…d wzglÄ™dny stÄ…d dX = X ´X
´
´
´
X
" rozwijając funkcję ciągłą Y w szereg Taylora
" metodą różniczki zupełnej
"Y X1 "Y X2 "Y Xn
" przez logarytmowanie
´Y = ´X1 + ´X2 +...+ ´Xn
"X1 Y "X2 Y "Xn Y
PrzykÅ‚ad: P = I2 R , ´I = 2 % ´R = 1 %
´ ´
´ ´
´ ´
"P "P
" "
" "
" "
2
dP = dI + dR = 2IRdI + I dR
= + = +
= + = +
= + = +
Sumowanie geometryczne
"I "R
" "
" "
" "
2
dP 2IR I dI dR
´P = = dI + dR = 2 + =
´ = = + = + =
´ = = + = + =
´ = = + = + =
2 2
P I R I R I R
2 2 2
ëÅ‚ "Y X1 öÅ‚ ëÅ‚ "Y X2 öÅ‚ ëÅ‚ "Y Xn öÅ‚
ëÅ‚ " öÅ‚ ëÅ‚ " öÅ‚ ëÅ‚ " öÅ‚
ëÅ‚ " öÅ‚ ëÅ‚ " öÅ‚ ëÅ‚ " öÅ‚ = 2´I + ´R = 2 Å" 2 + 1 = 5%
ëÅ‚ " öÅ‚ ëÅ‚ " öÅ‚ ëÅ‚ " öÅ‚ = ´ + ´ = Å" + =
= ´ + ´ = Å" + =
= ´ + ´ = Å" + =
2 2 2
´Y = ìÅ‚ ÷Å‚ ´X1 +ìÅ‚ ÷Å‚ ´X2 + +ìÅ‚ ÷Å‚ ´Xn
´ = ìÅ‚ ÷Å‚ ´ +ìÅ‚ ÷Å‚ ´ +...+ìÅ‚ ÷Å‚ ´
ìÅ‚ ÷Å‚
´ = ìÅ‚ ÷Å‚ ´ +ìÅ‚ ÷Å‚ ´ + +ìÅ‚ ÷Å‚ ´
´ = ìÅ‚ ÷Å‚ ´ +ìÅ‚ ÷Å‚ ´ + +ìÅ‚ ÷Å‚ ´
ìÅ‚
ìÅ‚" ÷Å‚
ìÅ‚" ÷Å‚
÷Å‚
íÅ‚"X Y Å‚Å‚ íÅ‚"X Y Å‚Å‚ íÅ‚"X Y Å‚Å‚
íÅ‚" Å‚Å‚ íÅ‚" Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚" 1 Å‚Å‚ íÅ‚" 2 Å‚Å‚ íÅ‚" n Å‚Å‚
íÅ‚" Å‚Å‚ íÅ‚" Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
ą5 % błąd graniczny P = P ą 5 %
Ä…
Ä…
Ä…
Przy sumowaniu geometrycznym :
2 2 2
%
)
´P = (2´I) +(´R) = (2Å" ) + = 17 H" 4,1
´ = ( ´ ) +(´ ) = ( Å"2) +12 = H"
´ = ( ´ ) +(´ ) = ( Å" ) + = H"
´ = ( ´ ) +(´ ) = ( Å" + = H"
Liczbowy zapis dokładności
liczba 73,02 mniej dokładna niż 73,0200
Klasa dokładności
Uwaga: Błąd pomiaru podajemy zwykle z dokładnością do
jednej lub dwu cyfr znaczÄ…cych.
mierników analogowych
137,200  6 cyfr znaczÄ…cych
0,000043  2 cyfry znaczÄ…ce
Niepewność wzorców dużej dokładności (jak również
niedokładność innych narzędzi pomiarowych największej
dokładności) wyraża się za pomocą liczby części milionowych
Błąd podstawowy  błąd przyrządu
(10-6) zapisywanej symbolem ppm.
pomiarowego znajdujÄ…cego siÄ™ w warunkach
Skrót ppm oznacza : parts per milion
odniesienia.
Np. ą 2 ppm oznacza niepewność
Ä…
Ä…
Ä…
Ä… 2 Å" 10-6 = Ä… 0,0002 %
Ä… Å" Ä…
Ä… Å" Ä…
Ä… Å" Ä…
"X
max
Dla przyrządów elektrycznych i przyborów
´ = Å"100
p
X
pomiarowych warunki odniesienia są następujące zakr. pom
(niektóre) :
ke"´p
e"´
e"´
e"´
- temperatura otoczenia Å0 = 23° C Ä… 1° C dla
Å ° Ä… °
Å ° Ä… °
Å ° Ä… °
Klasy mierników laboratoryjnych:
- w wilgotność względna 40  60 %
(0,05) 0,1 0,2 0,5
- pozycja pracy  jak podano na mierniku Ä… 1°
Ä… °
Ä… °
Ä… °
- zewnętrzne pole magnetyczne i elektryczne  brak,
Klasy mierników technicznych:
(z wyjÄ…tkiem pola magnetycznego ziemskiego)
1 1,5 2,5 5
( dla częstościomierzy jeszcze 0,15, a dla omomierzy 10 )
KLASY I ICH OZNACZENIA
Przykład:
Zakres pomiarowy woltomierza wynosi -50 ÷ 0 ÷ +100 V,
÷ ÷
÷ ÷
÷ ÷
maksymalny błąd "Umax = - 1 V przy pomiarze napięcia Ux = - 40 V.
"
"
"
Symbol klasy dokładności w przypadku, gdy
Określić klasę przyrządu i względny błąd pomiaru.
błąd wyraża się w % końcowej wartości
zakresu pomiarów bądz
w % sumy
0,5
arytmetycznej albo różnicy wartości
granicznych zakresu pomiarów
- 1 1
-
-
-
Symbol klasy dokładności w
´ = Å" 100 = Å" 100 = 0 ,67 %
´ = Å" = Å" =
´ = Å" = Å" =
´ = Å" = Å" =
p
- 50 + 100 150
- +
- +
- +
przypadku, gdy błędy dopuszczalne
miernika wyraża się w % wartości
k e" 0,67%, k = 1
e"
e"
e"
0,2
rzeczywistej wielkości mierzonej
Symbol klasy dokładności w
"Umax -1
przypadku, gdy błędy dopuszczalne
1,5
´u = Å"100 = Å"100 = 2,5%
miernika wyraża się w % długości
U - 40
x
podziałki
ZAPIS BA

DÓW MIERNIKÓW CYFROWYCH
ANALIZA STATYSTYCZNA
WYNIKÓW POMIARÓW
BÅ‚Ä…d przyrzÄ…du analogowego opisuje klasa  k
( na podst. Ćwiczenia  Analiza statystyczna wyników pomiarów ).
BÅ‚Ä…d przyrzÄ…du cyfrowego opisuje  (x1%w.m.+x2c)
np. Ux=50,0V z błędem ą(2%w.m.+5c.)
Zmienna losowa
czyli bÅ‚Ä…d = Ä…(2%·50V+5·0,1V) = Ä…1,5V (czyli 3% w.m.)
Zmienna losowa dyskretna przyjmuje tylko niektóre wartości z
obszaru zmienności, tzn. posiada przeliczalną liczbę realizacji (np.
Błędy: - podstawowy
wartość uzyskana z rzutu kostką do gry).
- dodatkowy
Zmienna losowa ciągła może przyjmować dowolne wartości z
2 2 2 obszaru zmienności.
E1 + E2 +...+ En
- roboczy B= Ä… ( ìÅ‚A ìÅ‚+1,15 )
W praktyce wszystkie zmierzone wielkości są zmiennymi
Zakresy miernika:
dyskretnymi, ponieważ ze względu na ograniczoną dokładność
- zakres wyświetlania (nie zakr. pomiarowy),
przyrządów pomiarowych, ich wartość zostaje zaokrąglona.
- zakres pomiarowy (dla błędu roboczego < x% w.m.),
Natomiast błąd pomiaru jest zmienną losową ciągłą.
gdzie x - bł. dopuszczalny
Prawdopodobieństwo wystąpienia zmiennej losowej dyskretnej
Wartość oczekiwana (wartość średnia) zmiennej losowej dyskretnej i
x przy nieskończonej liczbie prób jest następujące:
zmiennej losowej ciągłej określona jest następująco:
n(x)
P(x) = "
k
N "
, przy
N
E(x) = P(xi ) , E(x) = x Å" f (x)dx
"xi
+"
i=1
-"
gdzie: n(x) jest liczbą przypadków wystąpienia wartości x w N
próbach.
Miarą rozrzutu zmiennej losowej wokół wartości oczekiwanej jest
Dla zmiennej losowej ciągłej określa się gęstość
średnia wartość kwadratu odległości zmiennej losowej od wartości
prawdopodobieństwa f(x).
średniej, zwana wariancją.
Z funkcji gęstości prawdopodobieństwa można określić
Wariancja rozkładu zmiennej losowej dyskretnej i zmiennej losowej
prawdopodobieństwo uzyskania wartości z przedziału
ciągłej określona jest jako:
[x0, x0+"x]:
"
k
2 2 2 2
x0 +"x
à = - E(x)] P(xi ) , à = - E(x)] f (x)dx
"[xi
+"[x
i=1
-"
P(x0 < x < x0 + "x) = f (x)dx
+"
x0
Pierwiastek kwadratowy z wariancji, oznaczany przez
Ã, nazywany jest dyspersjÄ… lub odchyleniem
standardowym.
Jednym ze sposobów przedstawienia wyników
Mediana to wartość zmiennej losowej, która dzieli obszar
powtarzanych wielokrotnie pomiarów jest histogram.
zmienności na dwa obszary o jednakowych
SporzÄ…dzenie histogramu polega na podzieleniu
prawdopodobieństwach, czyli jest to liczba w środku zbioru
zakresu, zawierającego zmierzone wartości na równe
liczb tzn., że połowa liczb ma wartości większe niż mediana
przedziały i przedstawieniu ich na osi odciętych. Na osi
i połowa ma wartości mniejsze. Jeżeli liczba danych w
rzędnych zaznacza się w postaci wysokości słupka
zbiorze jest parzysta, to mediana jest średnią dwóch liczb
liczbę pomiarów, których wynik zawarty jest w danym
środkowych.
przedziale xid"xWartość modalna to wartość zmiennej losowej, dla
której prawdopodobieństwo jest największe, czyli jest
to najczęściej powtarzająca się wartość.
Analiza pomiaru pojedynczej wielkości
podlegającej rozkładowi Gaussa
W przypadku, gdy na wynik pomiaru wpływa wiele
czynników, a każdy z tych czynników wpływa w sposób
przypadkowy, niezależnie od innych, wyniki pomiarów
podlegają rozkładowi Gaussa. Gęstość
prawdopodobieństwa tego rozkładu można zapisać w
postaci:
îÅ‚
1 (x - µ)2 Å‚Å‚
f (x) = exp
ïÅ‚- śł
2
à 2Ä„ 2Ã
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
gdzie: x jest wartoÅ›ciÄ… mierzonÄ…, µ wartoÅ›ciÄ…
prawdziwą, a à odchyleniem standardowym.
x
Estymator wartości prawdziwej, jako wartość średnią , można
obliczyć z wzoru:
Rysunek przedstawia rozkÅ‚ady Gaussa o różnych Ã.
n
Rozkład Gaussa jest symetryczny wokół wartości
x1 + x2 + ... + xn 1
x = =
i
"x
Å›redniej, równej wartoÅ›ci prawdziwej µ. Dlatego przy
n n
i=1
liczbie pomiarów dążącej do nieskończoności wartość
średnia będzie równa prawdziwej.
Jeżeli wykonujemy k serii pomiarów, to estymatory wartości
Jeżeli znany jest rozkład, któremu podlegają wyniki
x
średniej (j=1,..., k) dla każdej serii nie będą sobie równe.
j
pomiarów, można estymować, tzn. oceniać wartość
x
prawdziwą przy skończonej liczbie pomiarów. Wartość jest zmienną losową podlegającą rozkładowi Gaussa o
wartoÅ›ci Å›redniej µ i o odchyleniu standardowym à p , dla dużej liczby
pomiarów określonym zależnością:
Ã
à =
p
n
gdzie: à jest odchyleniem standardowym rozkładu pojedynczych
pomiarów, Ãp - odchyleniem standardowym rozkÅ‚adu wartoÅ›ci
średnich, n - liczbą pomiarów.
histogram
histogram
Określenie przedziału ufności
Wynik pomiaru można zapisać w postaci x
Ä… s .
Ä…
Ä…
Ä…
Wynika z tego, że rozrzut wartości średnich jest mniejszy, gdy
p
Prawdopodobieństwo, że wartość rzeczywista znajdzie się w
dla wyznaczenia wartości średniej zostało wykonanych więcej
pomiarów.
- +
- +
- +
+
przedziale [ x - s x sp ] możemy obliczyć jako:
,
p
Rozrzut wyników pomiarów wokół wartoÅ›ci prawdziwej µ
x+sp
)
)
)
)
(
(
(
(
P x - s µ x + s = +" dx 0.6826
µ + = +"
µ + = +" f x) =
µ + = +"
- < < ( =
< < =
- < < =
< <
składa się z rozrzutu wyników pomiarów wokół wartości średniej - p p
x-sp
x x
i rozrzutu wartoÅ›ci Å›rednich wokół wartoÅ›ci prawdziwej µ. Na
Pozwala to stwierdzić, że wartość prawdziwa leży w
-
-
-
-
tej podstawie można wyznaczyć estymator odchylenia
założonym przedziale ufności na poziomie ufności 68%.
standardowego Ãp, oznaczany przez s:
Ä…
Ä…
Ä…
Ä…
Oznacza to, że 68% wyników leży w przedziale [ x sp ],
reszta, tj. 32% le ży poza tym przedziałem.
2
n
(xi - x)
Poziom ufności można wyznaczyć również dla innych
s =
"
Ä…
Ä…
Ä…
Ä…
x 2 sp ] jest
przedziałów ufności. Dla przedziału [
n -1
i=1
- < µ < + )
- < µ < +
- < µ < +
P ( x - 2 sp < µ < +
x 2 s 0.9546
=
=
=
=
p
Czynnik n-1 w mianowniku wskazuje, że do uzyskania
Ä…
Ä…
Ä…
Ä…
dla przedziału [ x 3 sp ] jest
informacji o rozkładzie wyników pomiarów, musimy wykorzystać
P ( x - 3 s < µ <
- < µ <
- < µ < +
wiÄ™cej niż jeden pomiar, tzn. ne"2. - < µ < +
+
+
x 3 s )
=
=
= 0.9974
=
p
p
Można wyznaczyć również przedział ufności przy mniejszej liczbie pomiarów.
Przykładowo, jeżeli w wyniku pomiarów uzyskaliśmy
Wykorzystywany jest do tego symetryczny wokół zera rozkład t-Studenta.
wartości x1=3.20, x2=2.70, x3=3.60, x4=2.90, x5=3.40,
Postać tego rozkładu zależy od liczby pomiarów. Krzywa rozkładu t-Studenta
wartość średnia wynosi:
ma kształt podobny do krzywej rozkładu Gaussa, ale jest od niej szersza i
5
1
bardziej spłaszczona. Dla dużej liczby pomiarów n (w praktyce przyjmuje się
x = = 3.16
"xi
n > 30 ) rozkład t-Studenta zbliżony jest do rozkładu Gaussa.
.
5
i=1
Natomiast estymator dyspersji z wzoru :
Tablica 1 przedstawia wartości t dla przedziałów ufności
2
5
x Å" x t
[ - t sp , + Å" s p ] (xi - x)
s = = 0.365
"
.
4
i=1
odpowiadających poziomom ufności 68%, 95% i 99.7% dla różnej liczby
Z tabeli 1.1 dla n=5 i poziomu ufności 95% jest
pomiarów n .
t=2.688. Stąd przedział ufności:
Tablica 1
s
x - t = 3.16 - 0.44 = 2.72
n 68% 95% 99.7%
,
n
3 1.242 3.381 9.778
4 1.186 2.922 6.993
5 1.142 2.688 5.737
s
10 1.076 2.307 4.047
x + t = 3.16 + 0.44 = 3.60
15 1.056 2.200 3.654 .
n
20 1.045 2.151 3.481
50 1.029 2.067 3.203 Czyli na poziomie ufności 95% wartość prawdziwa
zawarta jest w przedziale [2.72, 3.60].
NIEPEWNOŚĆ POMIARU
Teoria niepewności:
Teoria błędów:
-przyjmuje za punkt wyjścia losowy model niedokładności
-bazuje na modelu deterministycznym i losowym
niedokładności. Stosowanie teorii niepewności do oceny wyniku pomiaru stało
się obowiązujące dla służb związanych z miarami. Została ona
Wyznaczanie błędów - przy przyjęciu modelu losowego
przyjęta przez międzynarodowe organizacje metrologiczne i
metodą powtarzania błędów systematycznych,
europejskie laboratoria akredytowane.
Należy ją stosować wszędzie tam, gdzie wymagają tego
Teoria ta może być stosowana do oceny dokładności przepisy.
przyrządów pomiarowych w procesie oznaczania ich klasy
dokładności.
Takim parametrem może być na przykład odchylenie standardowe
Teoria niepewności przyjmuje losowy model niedokładności (lub jego wielokrotność), albo połowa szerokości przedziału
zakładając, że wartość mierzona X, estymata wielkości odpowiadającego określonemu poziomowi ufności.
mierzonej E(X) jest jedną z wartości zmiennej losowej X o
Niepewność pomiaru zawiera na ogół wiele składników. Niektóre
wartościach danych przez hipotetyczne doświadczenie
- na postawie rozkładu statystycznego wyników szeregu pomiarów
pozyskiwania estymaty X.
- można scharakteryzować odchyleniem standardowym.
Niedokładność pomiaru charakteryzuje się w tym przypadku
Inne składniki pochodzące od efektów systematycznych są
za pomocą parametru zwanego niepewnością.
szacowane na podstawie zakładanych rozkładów
NIEPEWNOŚĆ definiowana jest jako parametr związany z prawdopodobieństwa opartych na na posiadanym doświadczeniu
wynikiem pomiaru charakteryzujący rozrzut wartości, które lub uzyskiwanym z innych z
ródeł.
można w uzasadniony sposób przypisać wartości mierzonej.
2
n
ëÅ‚ "f öÅ‚
ëÅ‚ " öÅ‚
ëÅ‚ " öÅ‚
ëÅ‚ " öÅ‚
Niepewność pomiaru charakteryzuje się przez podanie
uÄ = ìÅ‚ ÷Å‚ ui2
= ÷Å‚
= ìÅ‚ ÷Å‚
=
"
"
"ìÅ‚ "Xi ÷Å‚
"ìÅ‚ "
Ä
Ä
Ä
niepewności standardowej, niepewności łącznej i niepewności
"
"
i=1
=
= íÅ‚ Å‚Å‚
= íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
rozszerzonej.
Niepewność rozszerzona to wielkość określająca przedział wartości
Niepewność standardowa u(x) wyrażana jest przez odchylenie
wokół wyniku pomiaru, jest ona równa iloczynowi niepewności
standardowe wyników pomiarów wykonanych w niezmie-
łącznej i współczynnika rozszerzenia k
nionych warunkach odniesienia
U = kuÄ(y)
= ( )
= ( )
= ( )
Ä
u(x)=S Ä
Ä
Niepewność złożona (łączna) to niepewność standardowa Współczynnik rozszerzenia zależy od przyjętego poziomu
wyniku pomiaru otrzymanego na podstawie pomiaru kilku ufności i rozkładu zmiennej losowej x.
wielkości, równa pierwiastkowi kwadratowemu z sumy
W przypadku gdy jest on powiązany z poziomem ufności p to
składników będącymi wariancjami i kowariancjami tych
k
zapisuje się go jako i wtedy niepewność rozszerzona
p
wielkości pomnożonymi przez odpowiednie współczynniki
wynosi
zależne od funkcji pomiaru.
U = kpuÄ(y)
= ( )
= ( )
= ( )
p Ä
Ä
Ä
Niepewność pomiaru może zawierać wiele składowych jak np:
Jeśli zmienna x ma rozkład normalny - wsp. rozszerzenia
wyznacza się z tablic statystycznych rozkł. normalnego.
" niepełna definicja wielkości mierzonej
Przy niezbyt licznej próbie - wsp. rozszerzenia przyjmuje wartości
" niedoskonała realizacja definicji wielkości mierzonej
współczynnika rozkładu t-Studenta dla określonej liczby stopni
" wpływ czynników zewnętrznych
swobody równej liczbie pomiarów pomniejszonej o 1 i
określonego poziomu ufności.
" sposób pobierania próbek wielkości mierzonej
Jeśli są trudności z wyznaczeniem współczynnika rozszerzenia dla
" rozdzielczość przyrządów pomiarowych
zaistniałych warunków pomiarowych, to zwykle przyjmuje się:
" przybliżenia i założenia wynikające z metody pomiarowej
i przypisuje się mu poziom ufności p=0,99
k = 3
=
=
=
p
" niedokładność wzorców
lub
kp = 2 i przypisuje sie mu poziom ufności p=0,95 .
=
=
=
x wartość średnia
Niektóre z tych niepewności można wyznaczyć na podstawie
otrzymanego rozrzutu wyników serii pomiarów i inne, które ocenia się
na podstawie przewidywanych rozkładów prawdopodobieństwa.
Podział niepewności na dwa typy:
" niepewności typu A, wyznaczane metodami statystycznymi
" niepewności typu B, wyznaczane innymi metodami
Można przyjąć na podst. z
ródeł powstawania, że niepewność typu A
odpowiada błędom spowodowanym efektami przypadkowymi,
natomiast niepewność typu B odpowiada błędom spowodowanym
efektami systematycznymi.
Jeśli niepewność wywołana jest przez efekty systematyczne
(najczęstsze z
ródło - błąd aparatury pomiarowej) - to wartość
graniczna tego błędu umożliwia wyznaczenie wariancji dla
"g
"
"
"
przyjętego rozkładu prawdopodobieństwa.
x wartość średnia x wartość średnia
" x " x
" "
" "
" "
błąd pomiaru (systematyczny) błąd pomiaru (systematyczny)
x + " x x + " x
+ " + "
+ " wartość średnia poprawiona = + " wartość średnia poprawiona =
+ " + "
wynik pomiaru x wynik pomiaru x
µ
µ
µ
µ
wartość prawdziwa
poprawność (ang. trueness)
x wartość średnia x wartość średnia
" x " x
" "
" "
" "
błąd pomiaru (systematyczny) błąd pomiaru (systematyczny)
x + " x x + " x
+ " + "
+ " wartość średnia poprawiona = + " wartość średnia poprawiona =
+ " + "
wynik pomiaru x wynik pomiaru x
µ µ
µ µ
µ µ
µ µ
wartość prawdziwa wartość prawdziwa
poprawność (ang. trueness) poprawność (ang. trueness)
U U
niepewność typu B niepewność typu B
B B
niepewność typu A niepewność typu A
U U
A A
niepewność złożona
2 2
= +
= +
= " + "
= " + "
" "
u " u " u
U C A B
C
x wartość średnia x wartość średnia
" x " x
" "
" "
" "
błąd pomiaru (systematyczny) błąd pomiaru (systematyczny)
x + " x x + " x
+ " + "
+ " wartość średnia poprawiona = + " wartość średnia poprawiona =
+ " + "
wynik pomiaru x wynik pomiaru x
µ µ
µ µ
µ µ
µ µ
wartość prawdziwa wartość prawdziwa
poprawność (ang. trueness) poprawność (ang. trueness)
U U
niepewność typu B niepewność typu B
B B
niepewność typu A niepewność typu A
U U
A A
niepewność złożona niepewność złożona
2 2 2 2
= + = +
= + = +
= " + " = " + "
= " + " = " + "
" " " "
u " u " u u " u " u
Ä… U Ä… U
Ä… Ä…
Ä… Ä…
wynik pomiaru x Ä… uc C A B wynik pomiaru x Ä… uc C A B
C C
U niepewność rozszerzona
U = k uc ( k=2 lub3)
x wartość średnia
OCENA NIEPEWNOÅšCI W POMIARACH BEZPOÅšREDNICH
" x
"
"
"
błąd pomiaru (systematyczny)
1. Ocena niepewności typu B
x + " x
+ "
+ " wartość średnia poprawiona =
+ "
wynik pomiaru x
W warunkach przemysłowych (mniej dokładna aparatura) może być
że niepewność typu A będzie dużo mniejsza od B.
µ
µ
µ
µ
wartość prawdziwa
poprawność (ang. trueness)
Niepewność typu B można ocenić w zależności od posiadanych
U
niepewność typu B
B
informacji jak:
niepewność typu A
U " właściwości przyrządów i metod pomiarowych
A
niepewność złożona
" danych kalibracyjnych przyrzÄ…du
2 2
= +
= +
= " + "
= " + "
" "
u " u " u
Ä… U
Ä…
Ä…
wynik pomiaru x Ä… uc C A B
C
" informacji podanych przez producenta
" danych z wcześniejszych pomiarów
Ä…
Ä…
Ä…
wynik pomiaru x Ä… U
U niepewność rozszerzona
Dla danej wielkości przyporządkowuje się określony rozkład
(w przedziale ufności)
U = k uc ( k=2 lub3)
prawdopodobieństwa i oblicza odchylenie standardowe.
precyzja (ang. precision)
StosowanÄ… aparaturÄ™ pomiarowÄ… charakteryzuje siÄ™ za pomocÄ…
Niepewność łączna dla tego przypadku:
wartości błędu granicznego określonego przez wskaz
nik klasy
uÄ = uB
=
=
=
Ä
Ä
Ä
dokładności. Rozkład błędów aparatury - bywa różnorodny,
najczęściej jest jednostajny, rzadziej trójkątny.
Niepewność rozszerzoną wyznacza sie ze wzoru:
p p
U = k uÄ
=
=
=
p Ä
Ä
Ä
Dla rozkładu jednostajnego współczynnik rozszerzenia, w
zależności od poziomu ufności, będzie miał wartość:
-"g +"g -"g +"g kp = 3p
=
=
=
Rozkład jednostajny Rozkład trójkątny
Dla p = 1, k = 3 niepewność rozszerzona jest równa
= =
= =
= =
p
Wariancja i odchylenie standardowe:
błędowi granicznemu
U = "g
= "
= "
= "
" "
"g " p
" "
"2 "g uB = "2 ; s" = uB = "g
" "
"g " 2
" "
2
= = =
= = =
= = =
uB = ; sII = uB = "
= = = "
= = = "
= = =
6 6
3 3
Przykład:
Niepewność typu B jest dominująca, niepewność łączna jest równa :
Woltomierzem magnetoelektrycznym klasy 0,5 o zakresie
uÄ = uB
=
=
=
Ä
Ä
Ä
znamionowym 100 V zmierzono napięcie uzyskując wynik Ux=80,2
Niepewność rozszerzona : U = k Å"
= Å"uÄ
= Å"
= Å"
Ä
V. Obliczyć niepewność pomiaru na poziomie ufnoÅ›ci p=0,95. p p Ä
Ä
Współczynnik rozszerzenia, dla jednostajnego rozkładu błędów
miernika dla poziomu ufności p oblicza się ze wzoru:
RozwiÄ…zanie:
k = 3 p = 3 Å" = 1,645
= = Å"0,95 =
= = Å" =
= = Å" =
p
Przyjmując, że rozkład prawdopodobieństwa błędu miernika jest
Stąd niepewność rozszerzona:
rozkładem równomiernym, niepewność standardowa typu B będzie
równa:
U = kpuÄ =1,645Å"0,289 = 0,475V
p
"g 0,01Å" ´ Å"Un 0,01Å" Å"
" Å"´g Å"
" Å" ´ Å"
" Å"´ Å"
Å"0,5Å"100
Å" Å"
Å" Å"
uB = = = = 0,289V
= = = =
= = = =
= = = =
Wynik pomiaru napięcia:
3 3 3
Ux = U Ä…U = 80,2V Ä… 0,475V H" 80,2V Ä… 0,5V
p
Najczęściej stosowane wartości zmiennej Z dla określonego
2. Ocena niepewności typu A
poziomu ufności p :
0,6827 0,900 0,950 0,9545 0,990 0,9973
p
1,000 1,645 1,96 2,000 2,576 3,000
2 Z
Niepewność Å‚Ä…czna: uÄ = u2 + uB
= +
= +
= +
Ä
Ä A
Ä
Przypadek, gdy :
uA >> uB
>>
>>
>>
Niepewność rozszerzona: U = kpuÄ
=
=
=
Ä
Ä
Ä
Postępowanie:
Wsp. rozszerzenia (przy dużej liczbie pomiarów) - wartość Z
n
1
zmiennej standaryzowanej rozkładu normalnego.
X =
=
=
wartość średnia: = Xi
"
"
"
"
n
i=1 n
=
=
=
Odczytuje się z tablic dla dla określonego poziomu ufności p.
i
"(X - X )2
i=1
niepewność standardowa typu A : uA = S =
X
n(n -1)
RozwiÄ…zanie:
Wartość średnia mierzonego napięcia
Przykład oceny niepewności typu A
n
1 483,19
U = = = 80,53V
= = =
= = =
= = =
"Ui 6
"
"
"
n
i=1
=
=
=
Woltomierzem cyfrowym o napięciu znamionowym i błędzie
granicznym równym
"g = 0,02U + 0,01Un Wyniki obliczeń:
" = +
" = +
" = +
x
zmierzono sześciokrotnie napięcie. Otrzymano wartości:
2
n
Ui
(Ui -U)
( - )
( - )
( - )
(Ui - U )
( - )
( - )
( - )
Ui = (80,42; 80,92; 80,31; 80,02; 80,56; 80,96)V
= ( )
= ( )
= ( )
V V V2
Obliczyć niepewność pomiaru napięcia na poziomie ufności p=0,95
1 80,42 -0,11 0,0121
2 80,92 0,39 0,1521
3 80,31 -0,22 0,0484
4 80,02 -0,57 0,2601
5 80,56 0,03 0,0009
6 80,96 0,43 0,1849
483,19 0 0,6585
"
"
"
"
Ponieważ niepewność uA = 0,1481V jest znacznie większa od
=
=
=
Niepewność standardowa typu A :
niepewności to można uznać, że
=
n uB = 0,0150 V uA
=
=
2
(Ui
(
(
(
" - U)
" - )
" - )
" - )
0,6585
i =1 jest niepewnością dominującą i w obliczeniach pominąć niepewność
=
=
=
uA = SU = = = 0,1481 V
= = = =
= = = =
= = = =
n(n - 1) 6(6 - 1)
( - ) ( - )
( - ) ( - )
( - ) ( - )
uB
Niepewność łączna pomiaru napięcia będzie równa
Sprawdzamy, czy niepewność typu A jest niepewnością dominującą
- wyznaczamy niepewność typu B wnoszoną przez woltomierz.
uÄ = uA = 0,1481 V
= =
= =
= =
Ä
Ä
Ä
Zakładając równomierny rozkład prawdopodobieństwa błędu
miernika, niepewność standardowa typu B będzie równa:
Liczba pomiarów jest mało liczna n=6 więc dla obliczenia
'
"g 0,01(´'gUx + ´'gUn)=
" (´ + ´ )=
" (´ + ´ )=
" (´ + ´ )=
niepewności rozszerzonej na poziomie ufności p=0,95 należy
uB = =
= =
= =
= =
tkp
wyznaczyć współczynnik dla rozkładu Studenta. Liczba stopni
3 3
swobody k=n-1=5 .
0,01
= (0,02Å" + 0,01Å"100) = 0,0150 V
= ( Å"80,53 + Å" )=
= ( Å" + Å" ) =
= ( Å" + Å" )=
3
Ocena niepewności typu A i B
Z tablic rozkładu Studenta dla p = 0,95 i k = 5 współczynnik
tkp = 2,57
=
=
=
W praktyce najczęściej przypadek, gdy niepewności typu A -
rozkład bliski normalnemu,
Niepewność rozszerzona pomiaru napięcia
niepewności typu B - spowodowane przez błędy aparatury
pomiarowej o rozkładzie równomiernym.
U = k uÄ = tkpuÄ = 2,57 Å" = 0,3806 V H" 0,39 V
= = = Å"0,1481 = H"
= = = Å" = H"
= = = Å" = H"
p p Ä Ä
Ä Ä
Ä Ä
Znając wartości tych niepewności wyznacza się niepewność łączną:
2
uÄ = u2 + uB
= +
= +
= +
Ä
Ä A
Ä
Wynik pomiaru napięcia można zapisać następująco
i niepewność rozszerzoną:
Ux = U Ä… U = (80,53 Ä… 0,39) V
= Ä… = ( Ä… )
= Ä… = ( Ä… )
= Ä… = ( Ä… )
p
U = k Å" uÄ
= Å"
= Å"
= Å"
p Ä
Ä
Ä
Estymacja parametryczna stosowana jest do estymacji (wyznaczenia)
parametrów, np. przy dopasowaniu zależności funkcyjnej do danych
pomiarowych. Jedną z częściej stosowanych metod estymacji
parametrycznej jest metoda najmniejszych kwadratów. Może być ona
stosowana nawet wtedy, gdy nie jest znany rozkład, któremu podlegają
dane pomiarowe.
ESTYMACJA
Metoda najmniejszych kwadratów zostanie przedstawiona na
przykładzie dopasowania prostej. Jeżeli mamy uzyskany z pomiarów
WSPÓA
CZYNNIKÓW
zbiór n par (xi, yi), i=1, ..., n, to możemy do tego zbioru dopasować
prostÄ… y=ax+b
FUNKCJI REGRESJI
D op asow an ie p rostej d o wyników pom ia rów
W m e to d zie na jm n iejsz yc h kw ad rató w n ajlep szą o ce nę W yrażenie (3) przyjmuje wartość minimalną dla:
p a ram etró w uzysk uje się, gd y p aram e try m ają ta ką w arto ść,
n n
że sum a S p rzyjm u je n ajm niejszą w arto ść:
"S "S
= -2 xi (yi - ax - b) = 0 = -2 (yi - axi - b) = 0
n
" i "
i (4)
"a "b
i =1 i =1
S = w (y - y )2
" i i
i =1
(1 )
Stąd otrzymujemy układ równań z dwiema niewiadomymi a i b:
gd z ie : w je st w a gą i-te go p o m ia ru , zależ ną
i
o d d o kład n o śc i w yn ik u y .
i n n n
n n
a xi 2 + b xi = xi yi a xi + bn = yi (5)
" " "
" "
,
Jeżeli wszystkie pomiary mają jednakową dokładność, wagi
i=1 i =1 i =1 i =1 i =1
przypisane do wszystkich pomiarów są jednakowe, czyli zależność
(1) upraszcza siÄ™ do postaci:
Niewiadome a i b po przekształceniu równań (5) można obliczyć z
n
2
zależności:
S = - y)
"(yi
(2)
i=1
n n n n n n n
Å"
n xi yi - " " "xi "yi "xi "xi
xi Å" yi 2 - yi Å"
"
czyli w przypadku dopasowania prostej:
i=1 i =1 i =1 i=1 i=1 i=1 i=1
a = b =
2 2
n n
n n
ëÅ‚ öÅ‚
, ëÅ‚ öÅ‚ (6)
n 2
2 n xi 2 - ìÅ‚ ÷Å‚ n -ìÅ‚ ÷Å‚
xi
" " "xi "xi
S = - axi - b)
"(yi íÅ‚ Å‚Å‚
(3) i=1 i =1 i=1 íÅ‚ i=1 Å‚Å‚
i=1
W podobny sposób można wyznaczyć parametry, gdy
funkcja ma kształt inny niż prosta. Przykładowo, gdy
badana jest funkcja opisana za pomocą równania
2
y =ax +bx + c postępując analogicznie uzyskuje się układ
trzech równań, z których wyznacza się wartości Mierniki analogowe
parametrów a , b i c .
Podobne przekształcenie można przeprowadzić dla
z
funkcji dwóch zmiennych = axy + bx + cy + d
z układu czterech równań można wyznaczyć a , b , c i d .
Schemat blokowy takiego miernika jest przedstawiony na rysunku.
Elektryczne mierniki analogowe umożliwiają pomiar
wybranej wielkości metodą bezpośrednią. W tym przypadku
Wx
wartość wielkości mierzonej jest określana na podstawie
Miernik
obserwacji położenia wskazówki względem podziałki, w
elektryczny
którą wyposażony jest miernik.
Do jego wejścia wprowadzona jest mierzona wielkość elektryczna
Wx , wielkością wyjściową jest odchylenie wskazówki miernika ą .
Zależność ą = f(Wx) między wielkością wyjściową
i wejściową, nosi nazwę funkcji przetwarzania.
Jest ona wykorzystywana w procesie skalowania miernika.
W trakcie pomiaru korzystamy z zależności odwrotnej
Wx = g(ą). Zwykle Wx = Cwą , przy czym wielkość stała Cw
nazywana jest stałą miernika lub stała przetwarzania.
Mz
Wx kWx Mk
Mk = Mz SZ Mz
UD UP
Wx kWx Mk
Mk = Mz SZ
UD UP
Schemat funkcjonalny elektrycznego miernika analogowego:
UD  układ dopasowujący; UP  ustrój pomiarowy;
SZ  sprężyna wytwarzająca moment zwracający;
Podstawowym elementem każdego miernika jest ustrój
Wx  wielkość mierzona; Mk  moment kierujący;
pomiarowy UP, który przetwarza prąd (w miernikach
Mz  moment zwracający; ą  odchylenie wskazówki
wykorzystujących oddziaływanie pola
elektromagnetycznego) lub napięcie (w miernikach
Podstawowym elementem każdego miernika jest ustrój
wykorzystujących oddziaływanie pola elektrycznego) na
pomiarowy UP, który przetwarza prąd (w miernikach
wykorzystujących oddziaływanie pola elektromagnetycznego) mechaniczny moment obrotowy (moment kierujący).
lub napięcie (w miernikach wykorzystujących oddziaływanie
pola elektrycznego) na mechaniczny moment obrotowy
(moment kierujÄ…cy).
Mz Jest on proporcjonalny
Wx kWx Mk
Mk = Mz SZ
UD UP
do kąta skręcenia
sprężynki, Mz = kzą (kz 
Mierzona wielkość doprowadzana jest do ustroju
stała sprężyny
pomiarowego za pośrednictwem układu dopasowującego
wytwarzajÄ…cej moment
UD, który w większości przypadków obniża k-krotnie
zwracajÄ…cy).
wartość wielkości mierzonej do poziomu dopuszczalnego.
W stanie ustalonym,
Moment kierujÄ…cy Mk = f(Wx ,Ä…) powoduje odchylenie siÄ™
pomijajÄ…c mechaniczny
części ruchomej ustroju z położenia zerowego oraz
moment tarcia ustroju,
sprzężonej z nim wskazówki.
zachodzi warunek:
Mk = Mz .
W miarÄ™ wzrostu odchylenia Ä… wzrasta przeciwnie skierowany
moment zwracający Mz wytwarzany przez sprężynę spiralną
sprzężoną z ruchomą częścią ustroju pomiarowego.
Dopuszczalna wartość prądu ustrojów pomiarowych, w
których moment kierujący jest funkcją prądu, zależy od
typu ustroju.
W ustrojach elektromagnetycznych, w których cewka
wytwarzajÄ…ca pole elektromagnetyczne jest nieruchoma,
zaś elementem ruchomym jest rdzeń ferromagnetyczny,
zakres pomiarowy samego ustroju miernika może wynosić
nawet kilkaset amperów. Podobnie w ustroju
elektrostatycznym bezpośredni zakres pomiarowy ustroju
może być rzędu kilku kilowoltów.
Wskazówki
Natomiast w ustrojach magnetoelektrycznych
i elektrodynamicznych, w których prąd do cewki ruchomej
jest doprowadzany za pośrednictwem sprężyn spiralnych
wytwarzających moment zwracający, wartość tego prądu nie
może przekraczać wartości kilkuset miliamperów.
Sposób rozszerzania zakresu prądowego i napięciowego
analogowych przyrządów pomiarowych jest uzależniony od
typu wykorzystywanego ustroju pomiarowego, jego
Zakończenie
przeznaczenia (woltomierz lub amperomierz) oraz od
wskazówek:
rodzaju napięcia w obwodzie pomiarowym (stałe lub
a  wskazówki
przemienne). nożowe,
b  wskazówki Wskazówka świetlna: 1  żarówka, 2  układ optyczny,
mierników 3  nić, 4  lusterko, 5  plamka świetlna z obrazem
tablicowych, nici, 6  organ ruchomy,
W celu zmniejszenia czasu tłumienia stosuje się
tłumiki:
" powietrzne,
" płynowe (oleje, parafina z naftą),
" magnetyczne (prÄ…dy wirowe w ramkach)
TÅ‚umienie prÄ…dami
wirowymi:
1  magnes,
2  skrzydełko
tłumika
2
S
N
TÅ‚umienie powietrzne:
2  skrzydełko tłumika, 1
3  komora tłumienia,
Symbole na miernikach
Symbole na innych typach mierników:
magnetoelektrycznych:
Ustrój elektromagnetyczny
Ustrój elektrodynamiczny
Ustrój
Ustrój magnetoelektryczny
magnetoelektryczny
o ruchomej cewce
ilorazowy
Ustrój
Ustrój elektrodynamiczny
ferrodynamiczny
ilorazowy
Ustrój magnetoelektryczny
Ustrój magnetoelektryczny
o przetworniku
o prostowniku
termoelektrycznym
półprzewodnikowym
nieizolowanym
Ustrój elektrostatyczny
Ustrój
indukcyjny
Inne oznaczenia na skali miernika:
Inne oznaczenia na skali miernika cd.:
Pionowe położenie pracy
Ekran
Poziome położenie pracy Ekran
miernika
magnetyczny
miernika
elektrostatyczny
Napięcie probiercze izolacji
Miernik prÄ…du
Odsyłacz do oddzielnego
2
Miernik prądu stałego
miernika np. o wartości 2kV
! dokumentu
przemiennego
Miernik przeznaczony do
Miernik przeznaczony do
Miernik prądu trójfazowego o
zamontowania w tablicy
zamontowania w tablicy NFe
Fe
dwu ustrojach pomiarowych nieferromagnetycznej
stalowej
Klasy i ich oznaczenia
Symbol klasy dokładności w przypadku, gdy
błąd wyraża się w % końcowej wartości
Klasy mierników laboratoryjnych:
0,5
zakresu pomiarów bądz
w % sumy
arytmetycznej albo różnicy wartości
0,05 0,1 0,2 0,5
granicznych zakresu pomiarów
Klasy mierników technicznych:
Symbol klasy dokładności w
przypadku, gdy błędy dopuszczalne
1 1,5 2,5 5
1,5
miernika wyraża się w % długości
podziałki
Symbol klasy dokładności w
przypadku, gdy błędy dopuszczalne
0,2
miernika wyraża się w % wartości
rzeczywistej wielkości mierzonej
Klasę dokładności wyznacza graniczną wartość
Ustrój magnetoelektryczny
podstawowego błędu bezwzględnego "gWx, (wyrażoną w
procentach wartości umownej),
która nie może być przekroczona w warunkach
1  magnes,
odniesienia
2  nabiegunnik,
k
3  rdzeń,
"gWx = Ä… Wum
100
4  szczelina powietrzna,
5  cewka,
gdzie: Wum  wartość umowna; w przypadku mierników z zerem
mechanicznym na jednym końcu podziałki jest to górna granica 6  wskazówka,
zakresu pomiarowego, w przypadku mierników z zerem wewnątrz
7  przeciwwagi,
podziałki jako wartość umowną przyjmuje się sumę bezwzględnych
8  sprężyna zwracająca
wartości górnej Wmax i dolnej Wmin granicy zakresu pomiarowego
Wum = Wmax + Wmin
Woltomierz magnetoelektryczny
Moment kierujÄ…cy ustroju magnetoelektrycznego wynosi
Ustrój miliamperomierza
"È
magnetoelektrycznego o
mk = i
"Ä…
prÄ…dzie znamionowym in i
i
gdzie: È  strumieÅ„ magnetyczny skojarzony
rezystancji cewki rCu po
Rp
z cewkÄ… ustroju,
włączeniu szeregowego
U
Ä…  odchylenie organu ruchomego ustroju,
opornika dodatkowego Rp
i  prÄ…d cewki.
zwanego posobnikiem może
rCu
W przypadku promieniowego rozkładu pola
być wykorzystany jako
u
mA
magnetycznego w szczelinie otrzymamy
woltomierz o zakresie Un.
mk =È i
Miernik posiada więc podziałkę równomierną.
Spełniona jest tu zależność Jeśli rezystancja posobnika Rp wykonana z manganinu jest
wielokrotnie większa od rezystancji cewki ustroju rCu
u
U = (Rp + rCu)i = (Rp + rCu) = nu u nawiniętej drutem miedzianym (Rp >> rCu ) to można
rCu
pominąć wpływ temperaturowej zmiany rezystancji cewki
gdzie: nu  współczynnik zwielokrotnienia zakresu na wskazanie miernika.
napięciowego, zwany często przekładnią posobnika;
Dla Rp > 1000 rCu woltomierz można traktować jako
nu = Un/un = (Rp/rCu) +1
miliamperomierz mierzący prąd przepływający przez
posobnik.
Przy dowolnym odchyleniu wskazówki miliamperomierza
ąx napięcie mierzone Ux wynosi
Un
U = Ä…x = Cv Ä…x
x
Ä…n
gdzie: Cv  stała woltomierza
Amperomierz magnetoelektryczny
Temperaturowa zmiana rezystancji ustroju powodujÄ…ca
Przy pomiarze prądu, którego natężenie przekracza
zmianę rozpływu prądów przez bocznik i ustrój pomiarowy
dopuszczalną wartość cewki ustroju, dla rozszerzenia zakresu
jest ograniczona przez odpowiednio dobrany stosunek rd /rCu
pomiarowego stosuje siÄ™ bocznik wykonany z manganinu o
uzależniony od klasy miernika.
rezystancji Rb .
Dla przedstawionego układu spełniona jest zależność
Do bocznika podłączony jest
równolegle miliwoltomierz o
rmV rCu + rd
=
rmV + Rb
rezystancji rmV , na którą
I = i
składa się rezystancja ustroju
Rb
mV
pomiarowego rCu i
i
posobnika manganinowego
Rb
rd.
I
Po uwzględnieniu, że rezystancja miliwoltomierza Dla dowolnego odchyleniu wskazówki miernika ąx prąd
rmV = rCu + rd i przekształceniu poprzedniego wzoru mierzony Ix wynosi
otrzymamy
In
rmV umV Ix = Ä… = CiÄ…x
ëÅ‚ öÅ‚
I = +1 i = ni i = ni Ä…n x
ìÅ‚ ÷Å‚
Rb Å‚Å‚ rmV
íÅ‚
gdzie: gdzie: Ci  stała amperomierza.
ni  współczynnik zwielokrotnienia zakresu
pomiarowego zwany często przekładnią bocznika
ni = I/i = (rmV/Rb)+1,
umV  napięcie wskazywane przez miliwoltomierz
W zestawie miliwoltomierz-bocznik istotnym z
ródłem błędu
może być spadek napięcia na zaciskach doprowadzeń
prÄ…dowych. Dlatego
mV
boczniki wyposażone są w odrębne zaciski prądowe, do
których podłączone są przewody zasilające, i napięciowe, do
których podłączony jest miliwoltomierz przewodami o ściśle
określonej rezystancji.
1 2 3 2 1
Bocznik z miliwoltomierzem:
1  zaciski prądowe; 2  zaciski napięciowe;
3  pręty manganinowe
Miernik prostownikowy
Boczniki zewnętrzne
Dla miernika z ustrojem
magnetoelektrycznym odchylenie
wskazówki jest proporcjonalne do
wartości średniej prądu. Dlatego
przy pomiarze napięcia
przemiennego wskazanie Ä…=0.
1500
A
25  50, 100  500, 1000  1500 A
Jeżeli chcemy mierzyć napięcie przemienne, można
zastosować dodatkowy prostownik.
25
A
Jeżeli mierzona krzywa nie jest sinusoidalna
Podziałka wyskalowana jest w wartościach skutecznych,
(jest odkształcona), to błąd z tego powodu , że kk `" 1,11
przy założeniu przebiegu sinusoidalnego.
wynosi:
Współczynnik kształtu
X - X 1,11Å" X - X
Isk Ą w rz śr sk
´k = = =
kk = = = 1,11
X X
Iśr rz sk
2 2
gdzie przy prostowaniu dwupołówkowym:
X 1,11
śr
= 1,11 -1 = -1
2
Im
X kk
IÅ›r = Å" Im = 0,637Å" Im sk
Isk = = 0,707 Å" Im
Ä„
2
Przykład
Współczynnik kształtu po wyprostowaniu (prąd stały)
Przebieg jak na rysunku mierzony jest miernikiem ME z
prostownikiem całofalowym. Określić błąd pomiarów,
X
wynikający z kształtu krzywej wejściowej
sk
kk = = 1
X
śr
BÅ‚Ä…d
1,11Å" X
śr
´k = -1 =1,11-1 = 0,11 =11%
X
sk
Miernik pokazuje 11% za dużo.
2
LI
Ustrój elektromagnetyczny Energia pola magnetycznego cewki Wm =
2
gdzie: I  prąd stały lub skuteczna wartość prądu przemiennego
Moment mechaniczny Mk = M
z
dWm 1 dL
2
Mz =ks Å"Ä…
M = = I
k
1  rdzeń
dÄ… 2 dÄ…
ruchomy, 2 
1 dL
2
cewka
I = ks Å"Ä…
2 dÄ…
1 dL dL 1
Ä… = I2 = cÅ"I2 c =
gdzie:
2ks dÄ… dÄ… ks
PR
D ODKSZTAA
CONY
Ze wzoru na ą wynika, że dla miernika z ustrojem
elektromagnetycznym:
Można dowieść, że przy istnieniu składowej podstawowej
1) Odchylenie wskazówki zależy od wartości skutecznej
i k - tej harmonicznej, tzn.
(można mierzyć przebiegi odkształcone)
i = Im sin Ét + Imk sin(kÉt + k ) 2) PodziaÅ‚ka jest nieliniowa
É É 
É É 
É É 
1 dL 1 1
îÅ‚
2 2
Mk = Å" Å" Im + Imk Å‚Å‚
ïÅ‚2 2 śł
2 dÄ… ðÅ‚ ûÅ‚
Ä…
Ä…
Ä…
1 1
2 2 2
Im + Imk = I
2 2
1 dL
2
Mks = Å" Å" I
2 dÄ…
Ä…
Ä…
Ä…
Zmiana zakresu pomiarowego
Woltomierz elektromagnetyczny
przez zmianÄ™ liczby sekcji
Odchylenie woltomierza:
2
2
10A
dL U dL U dL dL
ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
2 ëÅ‚ öÅ‚ 2
Ä… = cI = cëÅ‚ öÅ‚ = c = c1U
Ä… = = = =
Ä… = = = =
Ä… = = = =
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
2
dÄ… íÅ‚ Å‚Å‚ Ä… z Ä… dÄ…
Ä… íÅ‚ Å‚Å‚ Ä… Ä… Ä…
z dÄ… Ä… Ä…
Ä… íÅ‚ Å‚Å‚ Ä… dÄ… Ä…
Ä… íÅ‚ Å‚Å‚
5A
C
Woltomierze
wielozakresowe:
zakresy od około 6 V
0 2 0 1 0 5
A
do 600 V, pobór
mocy kilka VA.
Amperomierze
Kondensator C do
U3
elektromagnetyczne - zakresy 0 U1 U2
kompensacji błędu
pomiarowe najmniejsze od
około 1 mA, największe do częstotliwościowego.
kilkudziesięciu amperów.
Stosuje się posobniki zewnętrzne ze względu na nagrzewanie.
Moment napędowy
Mierniki elektrodynamiczne
ferro- elektrodyna-
elektro-
miczny
dyna-
dynamiczny ilorazowy 2 I2
miczny
1
F
I1
Åš
Åš
Åš
Åš
Cewka
I1
nieruchoma
Cewka
Ustrój
Sprężynki
ruchoma
+
elektrodynamiczny: zwracajÄ…ce
F
- woltomierz I2
- amperomierz
- watomierz
tłumik
dWm
M =
=
=
=
k
dÄ…
Ä…
Ä…
Ä…
Energia magnetyczna cewek jest równa:
Amperomierz
2 2
L1i L2i
1 2
L1 , L1  constans,
Wm = + + M i1i2 I
= + +
= + +
= + +
12
zmienne M
2 2
Obie cewki połą-
czone szeregowo
I
Moment kierujÄ…cy:
I1 = I2 = I
dWm dM12
Mk = = i1i2 przy prądzie stałym
= =
= =
= =
cosÕ = 1 (Õ = 0)
Õ Õ
Õ Õ
Õ Õ
dÄ… dÄ…
Ä… Ä…
Ä… Ä…
Ä… Ä…
1 dM12 2
dM12
dM
12
Ä… =
przy prÄ…dzie Ä… = I
Ä… =
Ä… =
Mk = I2 = kz Å"Ä…
= = Å"Ä…
= = Å"Ä…
= = Å"Ä…
M = I1 I cos È
= È
= È
= È
k 2
kz dÄ…
Ä…
Ä…
Ä…
dÄ… przemiennym dÄ…
Ä… Ä…
Ä… Ä…
Ä… Ä…
Woltomierz
W szeregowym połączeniu cewek zakres pomiarowy
Iv
jest ograniczony obciążalnością sprężynek zwracających
(0,5 A). U1 U2 U3
U Iv
Zwiększenie dwukrotne lub trzykrotne zakresu
Iv =
=
=
=
Rv
prÄ…dowego odbywa siÄ™ przez specjalne szeregowe i
C
równoległe łączenia cewek. Najmniejszy zakres od około
1 mA, największy do kilkudziesięciu amperów. Zakresy
2
pomiarowe od
ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
dM12 2 dM12 ëÅ‚ U öÅ‚
Pobór mocy 2 ÷ 10 VA. Klasy mierników 0,1 i 0,2.
Mz = kz Å"Ä… = Iv = ìÅ‚ ÷Å‚
= Å"Ä… = = ìÅ‚ ÷Å‚
= Å"Ä… = = ìÅ‚ ÷Å‚
= Å"Ä… = = ìÅ‚ ÷Å‚
kilku woltów
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚
Ä… Ä…
Ä… Ä…
Ä… Ä…
PodziaÅ‚ka praktycznie równomierna. dÄ… dÄ… Rv ÷Å‚ do kilkuset
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
(750 V).
1 dM dM Pobór
2 2
12 12
Ä… = U = C U
Ä… = =
Ä… = =
Ä… = =
2 prÄ…du 20
dÄ… Ä…
Rv Å" kz Ä… dÄ…
Å" Ä… Ä…
Å" Ä… Ä…
Å"
÷70 mA
USTRÓJ FERRODYNAMICZNY
Mierniki elektrodynamiczne (woltomierze, amperomierze,
watomierze) buduje siÄ™ jako mierniki wzorcowe w
Cewka
ruchoma
klasach 0,1; 0,2 (układy astatyczne).
Rdzeń ferro-
Wprowadzenie stali do
magnetyczny
Sprawdzane kompensatorem lub kalibratorem stałoprą-
obwodu magnetycznego
dowym mogą służyć dalej jako mierniki wzorcowe do ustroju ED pozwala
zwiększyć strumień
sprawdzania innych mierników przy prądzie przemiennym
magnetyczny cewki
(np. woltomierzy i amperomierzy elektromagnetycznych,
nieruchomej bez zwiÄ™-
watomierzy ferrodynamicznych).
kszenia mocy pobieranej.
Dzięki temu uzyskuje się:
" większy moment
napędowy,
" odporność na wstrząsy,
" odporność na obce pola
Cewka
nieruchoma
magnetyczne,
MIERNIK DYNAMICZNY PRZY PR
DZIE
Watomierz ED (FD)
SINUSOIDALNYM
i1 = I1m Å"sin Ét i2 = I2m Å"sin (Ét +¨ )
É É ¨
É É ¨
É
Iu É ¨
Iobc
U U
dL12 1 1
Iu = =
Mkt = I1m I2m îÅ‚ ¨ - cos(2Ét +¨ )Å‚Å‚
¨ É ¨
¨ É ¨
rcp
ïÅ‚2cos¨ 2 É ¨ śł
Rp + rcn ru
dÄ… ðÅ‚ ûÅ‚
Ä…
Ä…
Ä…
rcn
T
U
1 dL12
Mks = Mkt dt = I1 Å" I2 Å"cos¨ Å"
¨
¨
¨
Rp Zobc
+"
T dÄ…
Ä…
Ä…
Ä…
0
Iu = 2 ÷ 30 mA
÷
÷
÷
Jeżeli prÄ…dy sÄ… w fazie (È=0)  równanie jak dla prÄ…du staÅ‚ego.
Dla odchylenie równe zeru.
¨
¨
¨
Åšredni moment napÄ™dowy: ¨ = 900
Przy przesunięciu o kąt
900 <¨ < 1800 - zmiana kierunku odchylenia.
¨
¨
¨
dM dM U 1
12 12
m = i1i2 = i1 Mśr=F(ą) P Przesunięcie fazy o 1800 powoduje zmianę kierunku odchylenia cewki.
dÄ… dÄ… ru ru
Warunek odchylenia ustroju  ta sama częstotliwość prądu w obu cewkach.
Stała watomierza (dla watom. wielozakresowych)
to moc przypadająca na jedną działkę.
In Å"Un Å"cosÕn
Õ
Õ
Õ
P = Cw Å"Ä…
Ä…
Ä…
Ä…
Cw =
Ä…n
Ä…
Ä…
Ä…
Przykład:
Przekładniki
watomierz ma zakresy: prÄ…dowe 0-5-10A
napięciowe 0-150-300V
cosÕn = 1
Õ
Õ
Õ
150 działek
dla najmniejszego zakresu:
5 A Å"150V Å"1 W
C = = 5
p
150 dzialek dzialk Ä™
dla pozostałych: 10 i 20 W/dz
jeżeli cosÕn = 0,5 staÅ‚e odpowiednio: 2,5 ; 5 ; 10 W/dz
Õ
Õ
Õ
Przekładnik prądowy: a) budowa, b) symbol graficzny, Przekładnia
znamionowa prÄ…dowa i
K, L - zaciski po stronie pierwotnej, k, l  po wtórnej.
moc obciążenia strony
wtórnej
K L K L
I1 z1 I1
I1 n
z1
K =
In
z2
I
2 n
z2
k l k l
I2 I2
Przeciążenie strony wtórnej
2
A A
powoduje wzrost błędu
Sn = I2 Z
przekładnika. Moc
I1 K L I1 K L
obciążenia strony wtórnej
wynosi od kilku do
k l k l
kilkudziesięciu woltamperów.
I2 I2
Przenośny przekładnik
A A
prÄ…dowy z przewleczonym
przewodem przez otwór
W przypadku rozwarcia obwodu wtórnego zanika
Wartości prądów znamionowych pierwotnych są
przepływ wtórny I2z2, a pierwotny pozostaje praktycznie bez
znormalizowane, natomiast prąd wtórny wynosi zwykle I2= 5 A
zmiany. Wypadkowy strumień w rdzeniu rośnie aż do
(niekiedy 1 A lub 2 A).
nasycenia. Powoduje to duże straty w rdzeniu (prądy wirowe
Przekładniki prądowe budowane są w klasie: 0,1; 0,2; 0,5; 1; 3
i histereza  "Fe H" k B2) i grzanie się rdzenia, co może
(jako przyrzÄ…dy laboratoryjne nawet w klasach
doprowadzić do uszkodzenia izolacji. Ponadto w uzwojeniu
dokładniejszych).
wtórnym indukuje się niebezpiecznie wysokie napięcie w
Przekładnik prądowy pracuje jak transformator w stanie
postaci impulsów (ze względu na nasycenie strumień w rdzeniu
zwarcia.
ma przebieg zbliżony do prostokątnego) o wartości szczytowej
W obciążonym przekładniku prądowym przepływy prądowe:
rzędu kilkuset woltów, a nawet większej.
pierwotny I1z1 i wtórny I2z2 mają wartości zbliżone i skierowane
Dla uniknięcia rozwarcia obwodu wtórnego (np. w
przeciwnie, a wypadkowa indukcja magnetyczna w rdzeniu jest
przypadku wymontowania amperomierza) przy włączonym
niewielka (okoÅ‚o 0,01 ÷ 0,1 T).
prądzie pierwotnym, zaciski wtórne k i l zwiera się grubym
Ponieważ przepływy są przeciwstawne, to prąd dopływający do
przewodem lub specjalną zworą, w którą zaopatrzone są
zacisku pierwotnego K i odpływający od zacisku wtórnego k
fabrycznie niektóre przekładniki.
zmieniają się równocześnie  czyli są w fazie.
ł - Błąd kątowy przekładnika prądowego
Å‚
Å‚
Å‚
K L
E1
L1
"I = KInI2 - I1
" = -
" = -
" = -
k l
-I2 I0 I1 "I - Błąd przekładnika prądowego
L2
Å‚ K L
Å‚
Å‚
Å‚
L3
I0 Ic
k l
Åš
Åš
Åš
Åš
Iµ
µ
µ
I2 µ
Å‚- BÅ‚Ä…d kÄ…towy  dodatkowe A A A
2 3 1
przesunięcie fazowe między
wskazem prądu I1 a odwróconym
wskazem pradu I2. I0  prÄ…d
Pomiar prÄ…du w trzech fazach
E2
magnesujÄ…cy.
dwoma przekładnikami prądowymi
Przekładnik napięciowy: budowa i symbol graficzny
Przekładnik napięciowy jest to transformator pracujący
L1 L1
praktycznie w stanie jałowym, gdyż pobór prądu z obwodu
N N
I1 U1 I1 U1 wtórnego przez woltomierz i cewki obwodów napięciowych
M N M N
watomierzy, liczników czy fazomierzy jest mały.
m n
Strumień w rdzeniu pochodzi praktycznie od przepływu
Åš
z1 Åš
Åš
Åš
pierwotnego I1z1. Uzwojenia nawinięte są na rdzeniu
z2 I2 U2
ferromagnetycznym wykonanym z blach transformatorowych.
Uzwojenie pierwotne wysokiego napięcia jest
m U2 n V
odizolowane starannie od rdzenia i uzwojenia pierwotnego.
I2
U1n
Jeden z zacisków obwodu wtórnego jest uziemiony.
V
Kun = Przekładnia
=
=
=
Chroni to ten obwód od ewentualnego przeskoku wysokiego
U2 n znamionowa
napięcia na stronę niskiego napięcia.
Wartości napięć są znormalizowane: pierwotne U1n = 3; 6;
Oprócz tego oba obwody: pierwotny i wtórny są
10; 15; ..500 kV, natomiast wtórne U2n = 100 V, (100/"3
zabezpieczone bezpiecznikami przed zwarciami.
przy łączeniu w gwiazdę układu trójfazowego).
Przekładniki napięciowe wykonywane są w tych samych
Pomiar wysokiego napięcia jednym woltomierzem:
klasach co i prądowe. W sieciach wysokiego napięcia można
a) napięcia międzyprzewodowego,
pomierzyć trzy napięcia międzyprzewodowe za pomocą dwu
b) napięcia linii względem ziemi,
przekładników w tzw układzie V.
L1
a) b)
L2
L3
M N M N
"U - błąd przekładnika
napięciowego
m n m n
"U = KUnU2 - U1
" = -
" = -
" = -
V32 V21
V31
Układ V przekładników napięciowych
MOSTKI RLC
Schematy zastępcze
Mostki RLC służą do pomiaru rezystancji, indukcyjności i
pojemności elementów liniowych. Ze względu na zasadę działania
Rezystor
pozwalają one na pomiar składników impedancji.
Impedancję można przedstawić jako kombinację idealnej
R L
rezystancji i idealnej reaktancji. Elementy idealne charakteryzujÄ… siÄ™
tylko ich podstawowymi cechami, a więc rezystor - rezystancją,
C
kondensator - reaktancją pojemnościową, dławik - reaktancją
indukcyjnÄ….
Każdy element rzeczywisty w praktyce może wykazywać cechy
Model zastępczy rezystora:
wszystkich elementów idealnych. Dlatego też wprowadza się pewne
R - rezystancja dla prądu stałego, L -
schematy zastępcze, które pozwalają na zastąpienie impedancji indukcyjność szeregowa, C - pojemność
równoległa.
rzeczywistej kombinacją elementów idealnych.
Modele te pozwalają również na pomiar tych elementów
składowych za pomocą mostka lub wektoromierza.
Jak widać z powyższego modelu, rezystor w wyższym paśmie
Kondensator
częstotliwości prądu przezeń płynącego może wykazywać cechy
zarówno kondensatora jak i dławika.
Pojemność równoległa, podobnie jak indukcyjność, wynika z C L Rs
geometrycznego kształtu rezystora.
Na uwagę zasługują rezystory do montażu powierzchniowego, czyli
R
r
wykonane w technologii SMD (Surface Mounted Devices).
Ich prosta forma geometryczna sześcianu z warstwą oporową
umieszczoną na jednej ściance pozwala na uzyskanie bardzo małej
indukcyjności, a małe wymiary - małej pojemności. Indukcyjność ich
Model zastępczy kondensatora
jest znacznie mniejsza od indukcyjności rezystorów drutowych, ale na
pewno nie jest pomijalna szczególnie przy wyższych
Schemat zastępczy kondensatora:
częstotliwościach.
C - pojemność dla małych częstotliwości,
Nawet rezystory masowe, które co prawda przewodzą prąd w całej
L - indukcyjność szeregowa,
swojej objętości, ale posiadają doprowadzenia z drutu, a więc również
Rs - rezystancja szeregowa,
wykazują pewną indukcyjność, tyle że znacznie mniejszą od
Rr - rezystancja równoległa
poprzednio wspomnianych typów.
W praktyce schemat zastępczy kondensatora upraszcza się do postaci
Indukcyjność szeregowa kondensatora spowodowana jest głównie
jak na rysunku.
przez doprowadzenia, także przez technologię wykonania samego
kondensatora, często wykonywanego w postaci wielu zwojów pary a) b) c)
taśm przewodzących oddzielonych warstwą izolacji.
´
C C Rs S
Q
Rezystancja szeregowa symbolizuje głównie straty mocy czynnej w
dielektryku.
Rr
Å" i
Rezystancja równoległa to rezystancja izolacji kondensatora, zwana 2
ip RS
też upływnością, gdyż opisuje ona zjawisko utraty ładunku
kondensatora uprzednio naładowanego.
Schematy zastępcze kondensatora, a) równoległy,
Kondensator danego typu budowany jest zawsze w ten sam sposób,
b)szeregowy,
tzn. przewodzące okładki kondensatora rozdzielone są bardzo cienką
c) trójkąt mocy
warstwą materiału izolacyjnego.
DÅ‚awik
Indukcyjność dławika dla małych częstotliwości można określić na
Model zastępczy dławika można przedstawić jak na rysunku
podstawie wymiarów geometrycznych dławika.
Rezystancja szeregowa określa rezystancję drutu użytego do budowy
L Rs
dławika bezrdzeniowego, natomiast dla dławików z rdzeniem
ferromagnetycznym symbolizuje również straty w żelazie wywołane
Cr
prądami wirowymi i histerezą materiału magnetycznego.
Pojemność równoległa powodowana jest polem elektrostatycznym
pojawiającym się pomiędzy kolejnymi zwojami dławika.
Model zastępczy dławika
W praktyce schemat zastępczy dławika upraszcza się do postaci jak na
L - indukcyjność dławika dla
rysunku.
małych częstotliwości,
Rs - rezystancja szeregowa,
Cr - pojemność równoległa
Idealny element rezystancyjny może zawierać tylko moc czynną,
natomiast element reaktancyjny - tylko moc bierną. To, iż rzeczywiste Induktory bezrdzeniowe budowane są z drutu o niezerowej
elementy reaktancyjne pobierają również moc czynną, wynika z rezystancji, izolacja kondensatora też nie jest doskonała.
niedoskonałości materiałów użytych do ich budowy.
Niedoskonałość elementów reaktancyjnych wiąże się z pojawianiem
siÄ™ mocy czynnej w elemencie reaktancyjnym.
a) b)
2
ip RS
Miarą jakości czy też  doskonałości takiego elementu będzie
i
stosunek mocy czynnej do mocy reaktywnej lub do mocy pozornej -
L Rs
im mniejszy będzie ten stosunek tym lepszy będzie ten element.
Q S Widać to wyraz
nie na trójkątach mocy pokazanych na rysunku.
Na podstawie tego trójkąta można zdefiniować takie pojęcia jak
Schemat zastępczy dławika oraz trójkąt mocy.
stratność, dobroć lub tangens delta. Pojęcia te są stosowane w różnych
dziedzinach elektrotechniki, w zależności od potrzeb.
Mostek czterogałęz
ny, warunek równowagi
Stratność
Termin ten najlepiej oddaje omawiane zjawisko: wspomniana moc
Do pomiaru impedancji, (a właściwie jej składników ) można stosować
czynna pojawiajÄ…ca siÄ™ w elemencie reaktywnym to sÄ… straty
odmianÄ™ mostka Wheatstona przedstawionego na rysunku.
rozpraszane w postaci ciepła. Pojęcie to jest stosowane głównie w
Z Z
x c
I
x
technologii materiałów magnetycznych.
WZ
Dobroć
Z Z
Stosowana jest w technice filtrów biernych, głównie w a b
I
a
radiotechnice. Cewka jest wtedy  dobra do budowy filtra, kiedy
charakteryzuje się małymi stratami mocy czynnej.
UzaÅ›
Tangens delta Schemat mostka prÄ…du przemiennego
Stosowany jest w technologii materiałów izolacyjnych, szczególnie
Warunek równowagi tego mostka składającego się z czterech
w technice wysokich napięć. Definicja odzwierciedla wynik pomiaru
impedancji, a zasilanego napięciem przemiennym, można
uzyskiwany specjalizowanym mostkiem prÄ…du przemiennego do
przedstawić jak następuje:
badania izolacji, np. mostkiem Scheringa.
I Z = I Z ; I Z = I Z
= =
= =
= =
x x a a x c a b
:
Ze względów praktycznych równoważenie mostka przeprowadza się
Dzieląc te równania stronami otrzymujemy zależność
tylko w jednej gałęzi mostka, pozostałe dwie gałęzie wykonane są w
postaci rezystancji i podczas równoważenia pozostają one stałe.
Zx Za
Z Z
a c
= =
= =
= =
=
Przy takich założeniach można rozważyć następujące odmiany
Zc Zb czyli Z x = Z
b mostka:
A) Równoważenie za pomocą Za,
lub w innej postaci
Zb = Rb, Zc = Rc , (Õb = Õc = 0).
Z Z
a c
Z = oraz Õ = Õ - Õ + Õ
= Õ = Õ - Õ + Õ
= Õ = Õ - Õ + Õ
= Õ = Õ - Õ + Õ
x x a b c
Z warunku równowagi wynika, iż Õa = Õx . Oznacza to, że przy
Z
b
pomiarze pojemności w ramieniu Za stosuje się kombinację
pojemności i rezystancji, a przy pomiarze indukcyjności - kombinację
indukcyjności i rezystancji.
Elementy składające się na Za są zbudowane z elementów możliwie
Warunki równowagi pokazują poniższe wzory:
zbliżonych do idealnych. Warunek równowagi mostka powinien być
niezależny od częstotliwości.
Rb Rc
Można to uzyskać poprzez połączenie elementów zastępczych w
C = Ca oraz Rx = Ra
= =
= =
= =
x
gałęzi równoważącej układ w sposób identyczny jak w modelu
Rc Rb
opisującym badaną impedancję, a więc jeśli model jest szeregowy, to
w gałęzi Za należy stosować połączenie szeregowe rezystancji i
pojemności równoważącej, a jeśli równoległe - to połączenie
równoległe.
Rc Rc
Lx = La oraz Rx = Ra
= =
= =
= =
Wybór modelu (szeregowy czy równoległy) zależy od zachowania się
Rb Rb
badanej impedancji w roboczym paśmie częstotliwości. Wybiera się
ten model, który jest bardziej użyteczny w konkretnym przypadku
Szczegółowe warunki równowagi mają postać jak następuje:
B) Równoważenie za pomocą Zb przy Za = Ra oraz Zc = Rc
(Õa = Õc = 0).
1
Z ogólnego warunku (4) widać, iż w tym przypadku Õb = - Õx. A wiÄ™c
Lx = Ra RcCb oraz Rx = Ra Rc
= =
= =
= =
przy pomiarze indukcyjności Zx równoważymy mostek w gałęzi
Rb
Zb za pomocą pojemności. Z kolei mierząc pojemność Zx
równoważymy mostek indukcyjnością.
lub
Niezależność warunku równowagi od częstotliwości uzyskuje się
łącząc odwrotnie elementy równoważące w stosunku do
założonego modelu.
1 1
C = Lb oraz Rx = Ra Rc
= =
= =
= =
x
I tak jeśli zakładamy szeregowy model impedancji badanej, to
Ra Rc Rb
elementy równoważące łączymy równolegle i vice versa.
C) Równoważenie za pomocą Zc przy Za = Ra oraz Zb = Rb
(Õa = Õb = 0).
Przypadek tan jest analogiczny pod względem zasad konstrukcji do
Przypadki A i B mają duże znaczenie praktyczne, ponieważ
układu omówionego w punkcie A. Szczegółowy warunki równowagi
pozwalają równoważyć mostek zawierający w gałęzi Zx dowolną
są następujące:
reaktancję (L lub C) za pomocą dowolnej reaktancji, tyle że
umieszczonej w odpowiedniej gałęzi mostka.
Rb Ra
A więc mając element nastawny tylko jednego rodzaju, np.
C = Cc oraz Rx = Rc
= =
= =
= =
x
kondensator dekadowy, możemy równoważyć mostek zawierający
Ra Rb
nie tylko nieznaną pojemność ale również indukcyjność.
Ra Ra
Lx = Lc oraz Rx = Rc
= =
= =
= =
Rb Rb
Praktyczne układy mostków prądu przemiennego Mostek Viena
Do pomiarów pojemności i kąta stratności kondensatorów
Praktyczne realizacje mostków wg poniższych rysunków noszą nazwy
będące nazwiskami badaczy, którzy je opisali po raz pierwszy.
Mostek Maxwella Cx Rx C Rp
p
Do pomiarów indukcyjności własnej i wzajemnej obwodów nie
Cp - kondensator
zawierających materiałów ferromagnetycznych.
porównawczy.
WZ R2
R3 R4
r Rp  straty kondensatora
L R Lw Rw Osiąga stan równowagi, gdy porównawczego
x x
stałe czasowe mierzonego i
wzorcowego elementu sÄ…
WZ
R R równe  dodatkowy opornik
3 4
nastawny.
Stosowany przy częstotliwościach sieciowych, akustycznych i
wielkich. Czułość rośnie z częstotliwością.
Mostek z gałęzią Wagnera
Mostek Scheringa
W mostkach zasilanych przebiegiem o wyższej częstotliwości, np.
Pomiary pojemności i kąta
kilku kHz powstaje problem wpływu pojemności rozproszonych
stratności przy wysokim
elementów składowych mostka na warunek równowagi. Można
napięciu.
wtedy zastosować odmianę mostka zawierającą tzw. gałąz
Wagnera.
Cw  powietrzny
Układ takiego mostka przedstawiony jest na rysunku.
kondensator wzorcowy
Z Zc
x
R4
WZ
Cx = Cw
Z Zb
a
R2
C4
1 2
Rx =
Z
Z 2
1
Cw
Gałąz
Wagnera jest równoległym obwodem pomocniczym służącym
do sprowadzania potencjału obu zacisków wskaz
nika zera do
potencjału ziemi.
Równoważenie tego mostka przeprowadzamy w kilku etapach, w
których najpierw równoważymy mostek w pozycji przełącznika 1, a
następnie równoważenie powtarzane jest w pozycji przełącznika 2.
Etapy te są powtarzane aż do uzyskania tego samego, minimalnego
wskazania wskaz
nika zera przy obu położeniach przełącznika.
2 1
Uzyskanie pozornego potencjału ziemi na obu zaciskach wskaz
nika
zera oznacza pozorne dołączenie ekranów elementów mostka do
potencjału ziemi, a więc pojemności ekranów nie mają teraz wpływu
na stan równowagi mostka. Gałąz
Wagnera jest stosowana głównie w
pomiarach precyzyjnych.
Mostek z gałęzią Wagnera do pomiaru pojemności
Wskaz
niki selektywne
Wskaz
niki zera napięć przemiennych
Są to mierniki selektywne, a więc reagujące na przebiegi o
Wskaz
niki zera dla napięć przemiennych są zdecydowanie bardziej
określonym paśmie częstotliwości. Zawierają one zwykle filtr
złożone od ich stałoprądowych odpowiedników. Jedyny
środkowo przepustowy, o częstotliwości równej częstotliwości
galwanometr, jaki można tutaj zastosować, to tzw. galwanometr
zasilania mostka. Wskaz
niki tego typu pozwalajÄ… na redukcjÄ™
wibracyjny - skomplikowane urzÄ…dzenie elektromechaniczne -
zakłóceń pochodzących od zewnętrznych z
ródeł, takich jak sieć
obecnie całkowicie zarzucony z powodu swoich rozlicznych wad.
energetyczna.
Współcześnie jako wskaz
niki zera stosuje siÄ™ albo uniwersalne
układy elektroniczne, takie jak oscyloskopy czy czułe mierniki
Wskaz
niki nieliniowe,
napięć przemiennych, albo specjalizowane układy elektroniczne.
Są to mierniki napięcia przemiennego o skali nieliniowej, często
Do tej drugiej grupy należą wskaz
niki selektywne, nieliniowe,
logarytmicznej. Wyraz
na nieliniowość skali pozwala na łatwe
fazoczułe, oraz wskaz
niki ortogonalne.
równoważenie mostka, ponieważ nieliniowy wskaz
nik zera nie
wymaga zmiany czułości podczas równoważenia mostka.
Wskaz
niki fazoczułe
Z zależności na warunek równowagi mostka wynika, iż o stopniu zrównowa-
żenia świadczy zarówno wartość jak i faza napięcia niezrównoważenia.
Wskaz
niki fazoczułe reagują również na znak fazy tego niezrównoważenia.
Do budowy takiego wskaz
nika stosuje siÄ™ prostowniki sterowane.
Prostownik sterowany stanowi szybki klucz elektroniczny
Uwe
K sterowany napięciem o częstotliwości równej całkowitej krotności
Uwy
częstotliwości napięcia zasilania. Często jest to właśnie napięcie
t
zasilania.
Uwy
Uwe R0
Us
Wartość średnia przebiegu wyjściowego zależy zarówno od wartości
przebiegu wejściowego, jak też od fazy tego przebiegu względem
Us
napięcia sterowania.
t
t
"
Uśr = f Uwe,ą) T
(
"t
Ä…=
T
Schemat i przebiegi w prostowniku sterowanym
Wskaz
niki ortogonalne
Wskaz
niki te są rozwinięciem wskaz
nika fazoczułego. Chwilowe
napięcie niezrównoważenia mnożone jest przez dwa napięcia
ortogonalne o częstotliwości napięcia zasilania. Wartości średnie
Wskaz
nik tego rodzaju pozwala na szybkie i wygodne równoważenie
uzyskanych napięć są proporcjonalne do wartości składowych
mostka, ponieważ pokazuje on, który z elementów równoważących -
prostokątnych wektora napięcia niezrównoważenia.
rezystancję czy reaktancję - należy nastawiać.
Uw U
e s
UweAsinÉt
Ważną rzeczą jest właściwy dobór czułości wskaz
nika zera; za mała
×
×
×
×
czułość nie pozwala zbyt dobrze zrównoważyć mostka, ale zbyt duża
L
czułość bardzo utrudnia równoważenie.
UweAcosÉt
×
×
×
×
Schemat blokowy wskaz
nika ortogonalnego
Dokładność pomiarów mostkiem
BÅ‚Ä…d aparaturowy mostka
Dokładność pomiaru mostkiem prądu przemiennego zależy od trzech
Jest to błąd obiektywny, zależny od dokładności elementów
czynników: dokładności elementów, czułości wskaz
nika zera oraz od
składowych mostka. Wartość tego błędu można obliczyć zgodnie z
skuteczności redukcji wpływu zakłóceń.
poniższym wzorem:
Zakłócenia mogą pochodzić od pól elektrycznych i magnetycznych
wywołanych sąsiedztwem sieci zasilającej, a także od sprzężeń
2 2 2
pojemnościowych lub / i magnetycznych pomiędzy elementami
´ = ´W + ´W + ´W
a p a b
składowymi mostka. Wpływ zakłóceń redukuje się za pomocą
ekranowania elektrostatycznego oraz magnetycznego, można stosować
również odpowiednią konfigurację mostka, dodając do niego gałąz

gdzie:
Wagnera.
´ Wp  bÅ‚Ä…d wzglÄ™dny elementu porównawczego Wp,
Ponieważ mostek do pomiarów składowych impedancji jest
´ Wa  bÅ‚Ä…d wzglÄ™dny elementu Wa,
równoważony niezależnie dla dwóch składowych ortogonalnych, to
´ Wb  bÅ‚Ä…d wzglÄ™dny elementu Wb.
dla każdej z nich możemy wyznaczyć właściwe dla nich błędy,
zarówno aparaturowy jak i od nieczułości.
Zapisujemy nową wartość elementu W oraz wskazanie. Wartość
Błąd nieczułości mostka
błędu obliczamy ze wzoru:
Błąd ten wyznaczamy następująco: po zrównoważeniu mostka
"W
zapisujemy wartość opornika, którego wartość zamierzamy zmieniać.
´ = k
n
W praktyce jest to ten opornik, którego wartość można łatwo zmienić
W "Ä…
(W).
gdzie:
k - najmniejsza zauważalna zmiana wychylenia wskazówki WZ
Zapisujemy również liczbę działek, o jaką odchyla się wskazówka
"W - wprowadzona zmiana wartości jednego z elementów
WZ (w stanie równowagi wskazanie nie musi być równe 0!).
W - początkowa wartość zmienianego elementu
Przyjmujemy wartość k, czyli minimalną zmianę wychylenia
"ą - zmiana wychylenia wskazówki WZ odpowiadająca "W
wskazówki WZ, którą możemy zauważyć.
Najczęściej jest to 0,5 ÷ 2 dziaÅ‚ki. NastÄ™pnie zmieniamy wartość
wybranego elementu tak, aby uzyskać wyraz
ną (kilka, kilkanaście
działek) zmianę wychylenia WZ.
Błąd całkowity mostka
KOMPENSATORY NAPI
CIA STAA
EGO
Głównymi składnikami błędu mostka są błędy od aparatury i od
nieczułości, a więc błąd całkowity można wyznaczyć jako:
Zasada kompensacji
2 2
´ W = ´ + ´
c x n a
Ig +
EW
gdzie:
´  bÅ‚Ä…d od nieczuÅ‚oÅ›ci,
n
G
´  bÅ‚Ä…d od aparatury
a
+
EX
Zasada kompensacji
Układ Lindecka - Rothego
Gdy prÄ…d galwanometru G Ig = 0 wtedy Ex = Ew
Gdy Ex jest mierzoną różnicą potencjałów; jej wartość
+
określa się regulując znaną wartość Ew tak by galwanometr
Ep r
wskazywał zero. Regulowana wartość Ew to spadek
I
R
napięcia na potencjometrze.
A
Stosowane sÄ… dwa sposoby:
a) przy stałej rezystancji potencjometru reguluje się
wartość prądu, G
Ex+ -
b) przy stałym prądzie reguluje się rezystancję
potencjometru,
Regulowaną różnicę potencjałów uzyskuje się poprzez regulacje prądu.
Rezystor kompensacyjny ma dużą dokÅ‚adność; bÅ‚Ä…d wzglÄ™dny < 1Å"103.
Różnicę potencjałów Ew wytwarza prąd I płynąc przez rezystancję
Większy błąd wynika z pomiaru natężenia prądu.
kompensacyjnÄ… R i pochodzÄ…cy z pomocniczego z
ródła EP. Jest on
mierzony amperomierzem A oraz regulowany rezystorem rr.
Np przy pomiarze przyrządem klasy 0,2 błąd wynosi 2*10-3 dla
Wartość I odczytuje się gdy galwanometr G wskazuje zero. Wtedy Ex górnej granicy zakresu pomiarowego. Przy wskazaniu "n" razy
wynosi
mniejszym od zakresu miernika, błąd względny jest "n" razy większy
od wartości wynikającej z klasy. Zatem małe wartości EX są
Ex = RI
mierzone z dużym błędem względnym.
Błąd badanej różnicy potencjałów Ex wynika głównie z błędu pomiaru
prądu I oraz błędu rezystancji R.
Układ Du Bois-Reymonda
Rezystancja rx nie wpływa na wartość prądu zasilającego I (w
Ep stanie równowagi układu).
Dokładność pomiarów jest tutaj lepsza niż w układzie Lindecka.
+
rr
R
A
rx
G
Ex
+
Spadek napięcia na rezystancji rx potencjometru R kompensuje Ex.
Prąd zasilający I ma wartość stałą.
Wtedy
Ex = Irx
Jest on pochodną układu Du Bois-Reymonda.
Kompensator podwójny
Nastawienie prądu zasilającego I odbywa się w oparciu o dokładnie
znanÄ…:
" siłę elektromotoryczną EN (np. ogniwo normalne Westona
Ep+
rr
I
lub scalone z
ródło napięcia odniesienia)
R
" rezystor rN.
rN rx
Wartość rezystancji rN w oczku "N" jest dobrana do aktualnej wartości
G SEM EN ogniwa normalnego tak, aby kompensacja zachodziła dla
N
X
"okrągłej" wartości prądu zasilającego, np. I = EN /RN = 0,10000 mA.
+ +
EN EX
Ex = I rx = (EN /rN) rx
Potencjometry o stałej rezystancji R ( widzianej w obwodzie
Błędy w pomiarach kompensatorem
zasilania) i regulowanej rezystancji rx ( widzianej w obwodzie
kompensującym) można realizowa w różnych układach, jak np. w
"Ex "Ex
układzie Feussnera.
dEx = dR + dI = I dR + R dI
"R "I
I
R
( R=11110 &! )
Następnie dzielimy obie strony przez wartość mierzoną Ex = R I
po 1000 &! po 100 &!
10 0 10 0
I
10 0 0 10
po 10 &! po 1&!
dEx
I dR R dI dR dI
= + = +
rx ( = 6273 &!
rx )
Ex R I R I R I
Potencjometr pomiarowy w układzie Feussnera
dEx dR dI
,
Przechodząc teraz od przyrostów względnych, I
Ex R
Względny błąd rezystancji R, rN lub rx jest określony przez wytwórcę.
do bÅ‚Ä™dów ´aEx , ´R , ´I i sumujÄ…c "geometrycznie" dostajemy dla
BÅ‚Ä…d prÄ…du zasilajÄ…cego ´I znajdujemy na podstawie klasy
dokładności kA użytego przyrządu jako
układu Lindecka (4)
´aEx = Ä… (´R)2 + (´I)2
kA Izn
(7)
Dla układu Du Bois-Reymonda otrzymuje się analogicznie
´I = Å"
100 I
(5)
´aEx = Ä… (´R)2 + (´I)2 + (´X)2
gdzie I oznacza wartość wskazaną, zaś Izn - użyty zakres pomiaru.
Dla metody kompensacji podwójnej mamy natomiast
Wielkość X we wzorach oznacza stosunek rezystancji rx/R.
´aEx = Ä… (´EN )2 + (´rN )2 + (´rx )2
(6)
CaÅ‚kowity bÅ‚Ä…d pomiaru ´c Ex obliczamy z poszczególnych
Błąd od nieczułości można łatwo wyznaczyć na drodze pomiarowej.
składowych poprzez dodawanie "geometryczne". Wobec tego mamy:
Wiemy, że zachodzi proporcjonalność między Ex a rezystancją rx.
dla układu Lindecka lub Du Bois-Reymonda
Względna zmiana rezystancji rx jest więc równoważna takiej samej
zmianie względnej mierzonej SEM
´cEx = Ä… (´aEx )2 + (´nEx )2
(12)
2
rx -rx k
(14)
´nEx =Ä…
rx "Ä…
dla metody kompensacji podwójnej
´cEx = Ä… (´aEx )2 + (´nEx )2 + (´nI)2 (13)