Interpolacja Lagrange’a

Wyznaczyć wielomian interpolacyjny mając dane węzły

(−2, −3), (−1, 3), (1, 3), (2, 3)

W przypadku ogólnym mając dane n + 1 punktów węzłowych (x

i

, f

i

) i = 0, . . . , n

szukany wielomian interpolacyjny jest postaci

w(x) =

n

X

i=0

f

i

L

i

(x)

gdzie L

i

(x) =

n

Y

j=0, j6=i

x − x

j

x

i

− x

j

W naszym przypadku mamy

x

0

= −2, x

1

= −1, x

2

= 1, x

3

= 2

f

0

= −3, f

1

= 3, f

2

= 3, f

3

= 3

Obliczymy najpierw wielomiany L

i

, i = 0, 1, 2, 3

L

0

(x) =

(x − x

1

)(x − x

2

)(x − x

3

)

(x

0

− x

1

)(x

0

− x

2

)(x

0

− x

3

)

=

(x + 1)(x − 1)(x − 2)

−12

= −

1

12

(x

3

−2x

2

−x+1)

L

1

(x) =

(x − x

0

)(x − x

2

)(x − x

3

)

(x

1

− x

0

)(x

1

− x

2

)(x

1

− x

3

)

=

(x + 2)(x − 1)(x − 2)

6

=

1

6

(x

3

− x

2

− 4x + 4)

L

2

(x) =

(x − x

0

)(x − x

1

)(x − x

3

)

(x

2

− x

0

)(x

2

− x

1

)(x

2

− x

3

)

=

(x + 2)(x + 1)(x − 2)

−6

= −

1

6

(x

3

−x

2

−4x−4)

L

3

(x) =

(x − x

0

)(x − x

1

)(x − x

2

)

(x

3

− x

0

)(x

3

− x

1

)(x

3

− x

2

)

=

(x + 2)(x + 1)(x − 1)

12

=

1

12

(x

3

+ 2x

2

− x − 2)

Zatem szukany wielomian ma postać

w(x) =

1

2

x

3

− x

2

−

1

2

x + 4

Znaleźć wielomian interpolacyjny mając dane węzły

(−1, −4), (0, −1), (1, 0), (2, 5)

Skorzystamy z metody wykorzystującej tzw. ilorazy różnicowe.

Ilorazem różnicowym rzędu zerowego opartym na węźle (x

i

, f

i

) nazywamy liczbę f

i

Ilorazem różnicowym rzędu k opartym na węzłach (x

i

0

, f

i

0

), . . . , (x

i

k

, f

i

k

) nazywamy

liczbę

f

i

0

i

1

...i

k

=

f

i

1

i

2

...i

k

− f

i

0

i

1

...i

k−1

x

i

k

− x

i

0

Wówczas w ogólnym przypadku mając zadane węzły (x

i

, f

i

), i = 0, . . . , n wielomian

interpolacyjny w(x) ma postać Newtona

w(x) = f

0

+ f

01

(x − x

0

) + f

012

(x − x

0

)(x − x

1

) + . . . + f

01...n

(x − x

0

) . . . (x − x

n−1

)

W naszym przypadku mamy n = 3 oraz

x

0

= −1, x

1

= 0, x

2

= 1, x

3

= 2

f

0

= −4, f

1

= −1, f

2

= 0, f

3

= 5

Obliczmy najpierw współczynniki f

01

, f

12

, f

23

, f

012

, f

123

, f

0123

f

01

=

f

1

− f

0

x

1

− x

0

= 3

f

12

=

f

2

− f

1

x

2

− x

1

= 1

f

23

=

f

3

− f

2

x

3

− x

2

= 5

f

012

=

f

12

− f

01

x

2

− x

0

= −1

f

123

=

f

23

− f

12

x

3

− x

1

= 2

f

0123

=

f

123

− f

012

x

3

− x

0

= 1

Wobec tego szukany wielomian interpolacyjny w(x) ma postać

w(x) = −4 + 3(x + 1) − x(x + 1) + x(x + 1)(x − 1) = x

3

− x

2

+ x − 1

Znaleźć wielomian interpolacyjny mając dane węzły:

(0, 1), (1, 2), (2, 4)

Ponieważ punkty x

0

, x

1

, x

2

są równoodległe użyjemy metody wykorzystującej ten

fakt.

Mając dane węzły (x

i

, f

i

), i = 0, . . . , n istnieje takie h ∈ R, że x

i

= x

0

+ ih dla

i = 1, . . . , n. Przedstawiając x = x

0

+ th dla pewnego t ∈ R otrzymujemy wielomian

interpolacyjny w postaci Newtona

w(x) = w(x

0

+ th) =

n

X

k=0

∆

k

f (x

0

)

k!

· p

k

(t)

gdzie ∆

k

f (x

0

) jest funkcją (zwaną różnicą progresywną) określoną wzorami

∆

0

f (x

0

) = f (x

0

)

∆

k+1

= ∆

k

f (x

0

+ h) − ∆

k

f (x

0

)

natomiast p

k

(t), są wielomianami zdefiniowanymi w następujący sposób

p

0

(t) = 1

p

k

(t) = t(t − 1) . . . (t − (k − 1)) =

k−1

Y

j=0

(t − j)

W naszym zadaniu mamy x

0

= 0, h = 1, n + 2. Obliczymy najpierw kolejne różnice

progresywne

∆

0

f (x

0

) = f (x

0

) = 1

∆

1

f (x

0

) = ∆

0

f (x

0

+ h) − ∆

0

f (x

0

) = f (x

1

) − f (x

0

) = 1

∆

2

f (x

0

) = ∆

1

f (x

0

+ h) − ∆

1

f (x

0

) = ∆

0

f (x

0

+ 2h) − ∆

0

f (x

0

+ h) − 1 = 1

Zatem szukany wielomian ma postać

w(x

0

+ th) = 1 + t +

1

2

t(t − 1) =

1

2

t

2

+

1

2

t + 1

x = x

0

+ th

⇒

t =

x − x

0

h

= x

Ostatecznie zatem

w(x) =

1

2

x

2

+

1

2

x + 1

Znaleźć wielomian interpolacyjny mając dane punkty węzłowe

(0, 1), (1, 1), (2, 5), (3, 21)

Mamy x

0

= 0, h = 1, n = 3 oraz

∆

0

f (x

0

) = f (x

0

) = 1

∆

1

f (x

0

) = ∆

0

f (x

0

+ h) − ∆

0

f (x

0

) = f (x

1

) − f (x

0

) = 0

∆

2

f (x

0

) = ∆

1

f (x

0

+ h) − ∆

1

f (x

0

) = ∆

0

f (x

0

+ 2h) − ∆

0

f (x

0

+ h) = 4

∆

3

f (x

0

) = ∆

2

f (x

0

+ h) − ∆

2

f (x

0

) = ∆

1

f (x

0

+ 2h) − ∆

1

f (x

0

+ h) − 4 =

= ∆

0

f (x

0

+ 3h) − 2∆

0

f (x

0

+ 2h) + ∆

0

f (x

0

+ h) − 4 = 8

Zatem wilomian interpolacyjny ma postać

w(x

0

+ th) =

4

3

t

3

− 2t

2

+

2

3

t + 1

⇒

w(x) =

4

3

x

3

− 2x

2

+

2

3

x + 1

GRZEGORZ GIERLASIŃSKI