Adam Kucharski

Metoda DEA w ocenie efektywności gospodarczej

Wydanie 2

Łódź 2014

ISBN 978-83-934591-2-4

Spis treści

1. Podstawowe pojęcia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.

Czym jest efektywność i jak ją mierzyć? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.

Programowanie ilorazowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Metoda DEA – charakterystyka i podział modeli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1.

Model CCR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.

Inne typy modeli DEA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Wybrane typy analiz w metodzie DEA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1.

Technologia w modelach DEA

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2.

Analizy wynikające bezpośrednio z optymalizacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3.

Ranking obiektów a superefektywność . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4.

Dynamika zmian w modelach DEA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.5.

Wpływ własności danych empirycznych na wyniki modelu CCR

. . . . . . . . . . . . . .

4. Uwzględnianie luzów nakładów i efektów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.1.

Nadwyżki efektów i niedobory nakładów w zadaniu standardowym . . . . . . . . . . . . .

4.2.

Model z karami za luzy nakładów i efektów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Model wykorzystujący efektywność nieradialną . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.1.

Model efektywności nieradialnej

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.2.

Wybrane analizy modelu z efektywnością nieradialną . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. Wykorzystanie komputera do obliczeń w metodzie DEA

. . . . . . . . . . . . . . . . .

6.1.

Arkusz kalkulacyjny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.2.

Pakiet EMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.3.

DEA w środowisku R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1. Podstawowe pojęcia

1.1. Czym jest efektywność i jak ją mierzyć?

Badania dotyczące efektywności obejmują zazwyczaj efekty działalności osiągane przy usta-

lonych nakładach lub zajmują się wykorzystaniem nakładów pozwalających na osiągnięcie zakła-

danych efektów. Samuelson i Nordhaus głoszą pogląd, że „efektywność jest być może głównym

przedmiotem ekonomii – najogólniej rzecz ujmując – jest ona brakiem marnotrawstwa”. Zgod-

nie z tym gospodarka działa efektywnie, jeżeli nie można zwiększyć wielkości produkcji danego

dobra bez zmniejszenia produkcji innego, co jest tożsame z osiągnięciem krawędzi możliwości

produkcyjnych.

Podstawowe relacje efektywnościowe to: wydajność pracy, produktywność majątku trwałego,

efektywność inwestycji, materiałochłonność i energochłonność produkcji. Wyrazem poprawy efek-

tywności ekonomicznej jest wzrost 3 pierwszych relacji i obniżenie się 2 pozostałych. Efektywność

ekonomiczną można rozpatrywać w mikroskali – w odniesieniu do całego przedsiębiorstwa lub do

jednego z czynników produkcji zaangażowanych w jednym przedsiębiorstwie, albo w makroskali,

tzn. w odniesieniu do całej gospodarki narodowej.

Efektywność obiektów funkcjonujących w gospodarce bada się rożnymi metodami zaliczanymi

do jednej z trzech grup:

— metod klasycznych np. wykorzystanie wskaźników finansowych;

— metod parametrycznych np. modeli ekonometrycznych;

— metod nieparametrycznych np. DEA.

Ostatnie z wymienionych nie wymagają wcześniejszej znajomości parametrów, które wyrażają

związek między efektami a nakładami. Nakłady umożliwiają osiągnięcie pewnych efektów

prowadzonej działalności przy czym ani jedne, ani drugie nie muszą być wyrażone w jednostkach

pieniężnych czy fizycznych. Co więcej, już wkrótce okaże się, że poszczególne nakłady i efekty mo-

gą zostać wyrażone w dowolnych, odpowiadających nam jednostkach. W przypadku problemów z

odróżnieniem nakładów od efektów należy sprawdzić czy zwiększenie danej wielkości doprowadzi

do zwiększenia efektów. Jeśli tak, mamy do czynienia z nakładem.

Przez efektywność technologiczną rozumieć będziemy sprawność z jaką nakłady przekształca-

ne są w efekty zaś przez technologię danego obiektu rozumiemy wektor empirycznych nakładów

i efektów. Jeden obiekt jest bardziej efektywny od drugiego jeśli przy nie większych od drugiego

nakładach uzyskuje nie mniejsze efekty.

Postuluje się, aby wskaźnik efektywności spełniał następujące założenia:

1. powinien zawierać się w przedziale h0,1i;

2. wyższa wartość powinna oznaczać wyższą efektywność;

Guzik w swojej książce w miejsce terminu efekty używa rezultaty. Jest jednak w swych poglądach odosob-

niony i w pozostałej polskojęzycznej literaturze pisze się o efektach. Tak też i my będziemy czynić.

1. Podstawowe pojęcia

3. powinien określać przynajmniej efektywność względną w danym zbiorze obiektów.

Są oczywiście sytuacje kiedy powyższe postulaty trudno spełnić. Na przykład stopa zwrotu może

być ujemna lub wyższa niż 1. Zwykle jednak odpowiednie przekształcenia pozwalają doprowadzić

wskaźnik do postaci zgodnej z naszymi oczekiwaniami. Sam wskaźnik to po prostu iloraz efektów

podzielonych przez nakłady. W swojej najbardziej klasycznej formie jest to jeden efekt podzielony

przez jeden nakład. Metoda DEA pozwala znieść to ograniczenie i włączyć do wskaźnika kilka

efektów oraz kilka nakładów jednocześnie. Wtedy wskaźnik efektywności jest ilorazem łącznej

wartości efektów przez sumę wartości nakładów. Aby jednak ustalić wartość licznika i mianownika

należy wycenić jednostkę efektu oraz jednostkę nakładu. Tym właśnie zajmuje się metoda DEA.

Jeżeli mamy do czynienia z jednym efektem i kilkoma nakładami (lub jednym nakładem i kil-

koma efektami) możemy zbudować model ekonometryczny. Wykorzystywanie jednocześnie wielu

efektów i nakładów, zwłaszcza jeśli te same nakłady wykorzystuje się do osiągnięcia kilku efektów,

uniemożliwia analizę ekonometryczną ponieważ nie możemy jednoznacznie ustalić bezpośrednie-

go wpływu danego cząstkowego nakładu na osiągnięcie danego efektu. Zawodzi też tradycyjna

analiza wskaźnikowa bo przyjęte standardy rachunkowości nie są wystarczająco szczegółowe.

Guzik podaje następujący przykład. Chcemy ustalić efektywność uczelni wyższej. Dysponu-

jemy danymi na temat majątku trwałego uczelni, liczby studentów stacjonarnych, liczby dokto-

rantów oraz profesorów. Jeżeli podzielimy wartość majątku np. przez liczbę studentów nie uzy-

skujemy wcale wskaźnika efektywności ponieważ ten sam majątek wykorzystywany jest również

na obsługę doktorantów i profesorów. Aby policzyć wskaźnik efektywności w sensie jaki opisali-

śmy go powyżej należałoby wiedzieć jaka część majątku trwałego przypada tylko i wyłącznie na

obsługę studentów czego po prostu nie jesteśmy w stanie określić. Jedyne czym dysponujemy to

całkowite wielkości efektów i nakładów i to nam musi wystarczyć.

Nakład (X)

Efekt (Y)

Rysunek 1.1. Nakłady i efekty w sensie Pareto

Podstawy teorii efektywności ekonomicznej w warunkach konkurencji doskonałej sformuło-

wał włoski ekonomista Pareto. Głosi ona, iż warunki efektywności są spełnione tylko wtedy,

gdy nie można zwiększyć użyteczności jednego podmiotu (obiektu), nie obniżając jednocześnie

użyteczności innego. Załóżmy, że mamy do czynienia z dwoma obiektami O1 i O2 opisanymi

technologiami t

i t

. Obiekt O1 jest w sensie Pareto bardziej efektyw-

ny od obiektu O2 jeżeli przy nie większych nakładach (x

6 x

) uzyskuje nie mniejsze efekty

1.1. Czym jest efektywność i jak ją mierzyć?

> y

) przy czym jeżeli wszystkie nakłady są równe to przynajmniej jeden efekt w obiekcie O1

jest większy lub jeśli wszystkie efekty są równe to przynajmniej jeden nakład w O2 jest mniejszy.

Choć efektywność Pareto pozwala wskazać, które obiekty są efektywne to nie pozwala zmierzyć

skali ich efektywności.

Na rysunku 1.1 znalazło się pięć obiektów różniących się nakładami i efektami. Obiekt O2

jest mniej efektywny od O1 ponieważ osiąga ten sam efekt wykorzystując do tego wyższy nakład.

Jest też mniej efektywny względem O4 gdyż przy tym samym nakładzie jego efekt jest niższy.

Z kolei obiekt O4 jest efektywny względem O3. Pomimo, że zużywa on większą ilość nakładu

wytwarza też większy efekt. Spośród obiektów na rysunku 1.1 efektywne w sensie Pareto są: O1,

O3, O4 i O5.

Debreu i Farell sformułowali definicję produktywności p jako stosunek pojedynczego efektu

Y do pojedynczego nakładu X, czyli:

p =

Propozycja Farrella przedstawia czystą efektywność techniczną odpowiadającą na pytanie czy

dany obiekt znajduje się na krzywej możliwości produkcyjnych czy nie. Możliwe więc stawało się

wyznaczenie maksymalnej wartości efektów osiąganych przy określonych kombinacjach nakładów

lub minimalnej ilości tychże nakładów koniecznej do osiągnięcia zakładanych z góry efektów.

Był tylko jeden problem, a mianowicie brak znajomości postaci funkcji. Tu z pomocą przychodzi

metoda DEA.

Niech T =

oznacza technologię ze zbioru technologii dopuszczalnych, zaś ˆ

T =

technologię dopuszczalną za pomocą której można uzyskać efekt ˆ

y > y przy możliwie najmniej-

szych nakładach nieprzekraczających nakładów proporcjonalnych do x czyli ˆ

x 6 θx (θ ∈ (0,1i).

Przynajmniej dla jednej składowych obu wektorów zachodzi ostra nierówność.

Efektywnością Farrella-Debreu dla technologii T =

nazywamy taki wskaźnik θ ∈

(0,1i, dla którego nakłady technologii dopuszczalnej ˆ

T =

minimalizującej nakłady dla

osiągnięcia efektu y wynoszą ˆ

x 6 θx. Wyznaczony wskaźnik efektywności Farrella ˆ

θ można

interpretować jako krotność do jakiej obiekt powinien zmniejszyć obecne nakłady, aby uzy-

skać 100-procentową efektywność. Przykładowo jeżeli ˆ

θ = 0,8 to oznacza to iż dla uzyskania

100-procentowej efektywności dany obiekt powinien zmniejszyć ponoszone nakłady proporcjo-

nalnie do 20% ich obecnego poziomu a więc do 0,7x.

Efektywność Farrella-Debreu jest efektywnością radialną – opiera się na tzw. liniowym pro-

mieniu technologicznym. Promieniem technologicznym technologii

nazywamy półprostą

wychodzącą z początku układu współrzędnych i przechodzącą przez punkt x. Promień techno-

logiczny określa zbiór relacji między nakładami niezbędnych do uzyskania efektów y. Wykres

na rysunku 1.2 ilustruje zmiany efektywności dokonujące się proporcjonalnie wzdłuż promienia

technologicznego.

Technologia obiektu znajdującego się w punkcie A wykorzystuje nakłady empiryczne (fak-

tycznie zaobserwowane). Z kolei w punkcie B występują minimalne (optymalne) nakłady, które

wystarczyłoby wykorzystać, aby osiągnąć dotychczasowy efekt.Strzałka narysowana przerywaną

linią pokazuje kierunek proporcjonalnych zmian nakładów dokonujący się właśnie wzdłuż pro-

mienia technologicznego. Przyjmijmy, że współrzędne obu punktów (czyli poziomy nakładów X

1. Podstawowe pojęcia

∗

Rysunek 1.2. Zmiany efektywności dla promienia technologicznego

i X

) są następujące: A=(25,50) zaś B=(5,10). Wówczas współczynnik efektywności Farrella

wynosi θ

∗

= 5/25 = 0,2. Oznacza to, że technologia z punktu B pozwala na osiągnięcie bie-

żącego efektu przy pomocy 20% aktualnych nakładów tego obiektu. Tym samym powiemy, że

efektywność technologii z punktu A wynosi tylko 20%.

Przykład oceny efektywności.

Pewne przedsiębiorstwo tworzą trzy zakłady. Postanowiono zbadać jak efektywnie wykorzy-

stywany jest w nich nakład siły roboczej i porównać zakłady między sobą. Fikcyjne dane zebrane

zostały w tabeli 1.1. Na tej podstawie obliczyliśmy efektywność wykorzystania zatrudnionych dla

każdego z zakładów. Wyniki przedstawia tabela 1.2.

Tabela 1.1. Dane na temat wykorzystania siły roboczej

Zatrudnienie

Liczba wyrobów

Przepracowane godziny

Zakład 1

120

600

2400

Zakład 2

160

1600

2000

Zakład 3

250

1500

2500

Tabela 1.2. Efektywność siły roboczej

Liczba wyrobów / 1 zatrudnionego

Przepracowane godziny / 1 zatrudnionego

Zakład 1

Zakład 2

12,5

Zakład 3

Dane z tabeli 1.2 dadzą się przedstawić na wykresie (patrz rysunek 1.3). Obiekty efektyw-

ne to te, które leżą na tzw. granicy efektywności (u nas są to Zakład 1 i Zakład 2), o której

więcej powiemy później. W ich przypadku osiągnięto maksymalne możliwe efekty wykorzystując

dostępne nakłady. Przypomnijmy, że utworzona miara efektywności porównuje obiekty między

sobą. Dołączenie kolejnego zakładu do przeprowadzanej analizy prawdopodobnie doprowadziłoby

do innych wniosków.

1.2. Programowanie ilorazowe

Liczba wyrobów/1 zatrudnionego

Liczba godzin/1 zatr

udnionego

Zaklad 1

Zaklad 2

Zaklad 3

granica efektywnosci

Rysunek 1.3. Granica efektywności dla przykładu 1

Zakład 3 znalazł się poniżej granicy efektywności. W jego przypadku można wyznaczyć

półprostą (promień technologiczny) wychodzącą z początku układu współrzędnych i przecho-

dzącą przez współrzędne odpowiadające Zakładowi 3 (czyli zaznaczony na wykresie punkt B).

Punkt C prezentuje zmiany wartości efektów dla Zakładu 3 pod warunkiem zmniejszenia liczby

zatrudnionych. Wyznaczenie efektywności dla Zakładu 3 sprowadza się do obliczenia ilorazu

długości odcinka |AB| do długości odcinka |BC|. W ten sposób otrzymamy wskaźnik w sensie

Farrella-Debreu.

1.2. Programowanie ilorazowe

Zadania tego rodzaju mogą być stosowane do poszukiwania rozwiązania kompromisowego

problemów dwukryterialnych na przykład wskaźnika efektywności nakładów rozumianego jako

iloraz nakładów do efektów. Ilorazowa funkcja celu wyrażać będzie pewien wskaźnik efektywności

nakładów. Zadanie programowania ilorazowego ma postać:

h(x) =

+ c

+ . . . + c

+ c

+ d

+ . . . + d

+ d

→ max

(1.1)











. . .

(1.2)

1. Podstawowe pojęcia

> 0,x

> 0, . . . ,x

> 0

(1.3)

Zapis macierzowy:

h(x) =

x + c

x + d

(1.4)

Ax = b

(1.5)

x > 0

(1.6)

Elementy: c

i d

są wyrazami wolnymi w liczniku i mianowniku funkcji celu. Zadanie

(1.4)-(1.6) można, posługując się tzw. transformacją Charnesa-Coopera, przekształcić do zadania

PL. Zastępujemy w niej powyższe zadanie następującym:

g(u,u

) = c

u + c

→ max

(1.7)

Au − bu

= 0

(1.8)

u + d

= 1

(1.9)

u > 0,u

> 0

(1.10)

Po osłabieniu warunku dotyczącego u

otrzymamy:

> 0

(1.11)

Ponadto:

u =

x + d

(1.12)

x + d

(1.13)

Metodę (transformację) Charnesa-Coopera opisują twierdzenia:

Twierdzenie 1. Jeżeli zadanie (1.4)-(1.6) jest niesprzeczne i istnieje dla niego skończone rozwią-

zanie optymalne, to ilorazowa funkcja celu (1.4) osiąga swoją wartość największą w wierzchołku

zbioru rozwiązań dopuszczalnych.

Twierdzenie 2. Rozwiązanie optymalne zadania (1.4)-(1.6) istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy

istnieje rozwiązanie optymalne zadania (1.7)-(1.11) takie, że u

> 0.

Twierdzenie 3. Jeżeli zadanie PL (1.7)-(1.11) jest sprzeczne to, sprzeczne jest również wyjścio-

we zadanie programowania ilorazowego.

1.2. Programowanie ilorazowe

Twierdzenie 4. Jeżeli zadanie PL (1.7)-(1.11) nie posiada skończonego rozwiązania optymalne-

go, to również wyjściowe zadanie programowania ilorazowego nie posiada skończonego rozwiązania

optymalnego.

Twierdzenie 5. Jeżeli istnieje skończone rozwiązanie optymalne zadania (1.7)-(1.11) [u

]

takie, że u

> 0, to rozwiązanie zadania programowania ilorazowego wyznacza się:

(1.14)

zaś optymalna wartość ilorazowej funkcji celu jest równa:

h(x

) = g(u

o
0

)

(1.15)

2. Metoda DEA – charakterystyka i podział modeli

2.1. Model CCR

Pod koniec lat 70-tych trójka Amerykanów: Charnes, Cooper i Rhodes zwróciła uwagę na

kwestię porównywania między sobą efektywności różnych systemów. Efektywność oznaczała tu

stosunek osiąganych efektów do wielkości ponoszonych nakładów. Amerykanie postanowili zde-

finiować efektywność jako stosunek sumy ważonych efektów do sumy ważonych nakładów. Tak

narodziła się Data Envelopment Analysis (w skrócie DEA) czyli metoda analizy danych granicz-

nych.

Wspomniane podejście nie wymaga znajomości postaci funkcji efektywności. Wykorzystując

empiryczne wielkości nakładów i efektów poszukuje się (dla danego obiektu, który w anglojęzycz-

nej literaturze określa się zwykle skrótem DMU – Decision Making Unit ) wag maksymalizujących

efektywność. W ten sposób otrzymujemy zadanie programowania matematycznego, w którym

chodzi o wyznaczanie efektywności konkretnych obiektów względem całej ich grupy.

Metoda DEA w języku polskim jest określana również jako: metoda analizy danych granicz-

nych, metoda granicznej analizy danych lub metoda analizy efektywności granicznej. Nie spotyka

się polskiego odpowiednika dla angielskiego skrótu nazwy.

Metoda DEA opiera się na analizach granicznych, a jej ilustracją graficzną jest częściowo

liniowa funkcja łącząca najbardziej efektywne jednostki decyzyjne. Krzywa efektywności (ang.

best practice frontier ) jest estymowana na podstawie danych empirycznych dotyczących nakładów

i efektów. Jednostki, które znajdą się na krzywej uznajemy za efektywne, a ich efektywność

θ = 1. DMU leżące poniżej efektywności są zdominowane przez obiekty leżące na krzywej, a

więc nieefektywne. Stopień ich nieefektywności wynosi 1 − θ. Samego pomiaru dokonujemy bez

konieczności jakiegokolwiek uśredniania danych.

Model opracowany przez Charnesa, Coopera i Rhodesa jest obecnie nazywany modelem CCR i

historycznie powstał jako pierwszy. Występuje w nim efektywność w sensie Farrella czyli zmiany

nakładów (lub efektów) są proporcjonalne. Dla każdego obiektu ustalamy czy jego aktualna

technologia pozwala na najbardziej korzystną realizację stawianych mu zadań.

Załóżmy, że bierzemy pod uwagę n obiektów, z których każdy konsumuje R różnych nakładów

w celu otrzymania P różnych efektów. Obiekt h

zużywa tym samym x

nakładu p i produkuje

efektu r. Dodatkowo zakładamy, że wartości nakładów i efektów nie mogą być wielkościami

ujemnymi oraz, że dla każdego analizowanego obiektu przynajmniej jeden nakład i przynajmniej

jeden efekt są różne od zera. Odpowiedni model programowania matematycznego został opisany

zależnościami (2.1)-(2.3). Zadanie to można sprowadzić do postaci liniowej przy pomocy znanej

nam już transformacji Charnesa-Coopera.

Przejście na postać liniową ułatwia nie tylko obliczenia, ale również interpretacje wyników.

Własności klasycznych modeli liniowych są bowiem dobrze zbadane.

2.1. Model CCR

θ = h

(µ,ν) =

r=1

p=1

→ max

(2.1)

r=1

p=1

6 1

(2.2)

> 0,ν

> 0

(2.3)

gdzie:

– efektywność obiektu i (i = 1, . . . ,n)

– wagi odpowiadające poszczególnym efektom (r = 1, . . . ,R)

– wagi odpowiadające poszczególnym nakładom (p = 1, . . . ,P )

Model po transformacji:

r=1

→ max

(2.4)

p=1

= 1

(2.5)

r=1

−

p=1

6 0

(2.6)

> 0, ν

> 0

(2.7)

W literaturze można również spotkać uogólniony przypadek warunków opisanych przez (2.7),

a mianowicie:

> ε, ν

> ε

(2.8)

gdzie ε jest dowolnie małą liczbą dodatnią.

Wiemy już, że optymalizacja efektywności może być rozumiana dwojako: jako zmniejszanie

nakładów w celu osiągnięcia dotychczasowych efektów lub zwiększanie efektów przy wykorzysta-

niu nakładów na dotychczasowym poziomie. Model (2.4)-(2.7) zalicza się do pierwszego typu i

dlatego będzie w dalszych rozważaniach nazywany modelem CCR zorientowanym na nakłady.

Jego odpowiednik czyli model CCR zorientowany na efekty przedstawia się następująco:

r=1

→ min

(2.9)

2. Metoda DEA – charakterystyka i podział modeli

p=1

= 1

(2.10)

r=1

−

p=1

> 0

(2.11)

> 0, ν

> 0

(2.12)

Oba modele można przekształcić do postaci dualnej:

Model dualny zorientowany na nakłady:

∗

= θ → min

(2.13)

j=1

6 θx

(2.14)

j=1

> y

(2.15)

> 0

(2.16)

Model dualny zorientowany na efekty:

∗

= θ → max

(2.17)

j=1

6 x

(2.18)

j=1

> θy

(2.19)

> 0

(2.20)

Przykład wyznaczania granicy efektywności (dwa nakłady i dwa efekty)

Dokonajmy rozszerzenia pierwszego przykładu o dodatkowy nakład obrazujący wykorzystanie

w produkcji pewnego surowca. Zmodyfikowane dane do zadania znalazły się w tabeli 2.1.

Tabela 2.1. Zmodyfikowane dane do przykładu 2

Surowiec

Zatrudnienie

Liczba wyrobów

Przeprac. godziny

Zakład 1

120

600

2400

Zakład 2

160

1600

2000

Zakład 3

250

1500

2500

Rozważymy model CCR zorientowany na nakłady. W tym celu dla każdego zakładu nale-

ży zbudować i rozwiązać oddzielne zadanie optymalizacyjne opisane wzorami (2.9)-(2 .12). Na

przykład dla Zakładu 1 ma ono postać:

= µ

600 + µ

2400 → max

(2.21)

50 + ν

120 = 1

(2.22)

600 + µ

2400 − ν

50 − ν

120 6 0

(2.23)

1600 + µ

2000 − ν

60 − ν

160 6 0

(2.24)

1500 + µ

2500 − ν

70 − ν

250 6 0

(2.25)

> 0,µ

> 0,ν

> 0

(2.26)

Rezultaty pochodzące z rozwiązania wszystkich trzech zadań znalazły się w tabeli 2.2. Opty-

malna wartość funkcji celu dla zakładów 1 i 2 wyniosła 1. Znalazły się one zatem na granicy

2.1. Model CCR

Tabela 2.2. Wyniki modelu CCR dla przykładu 2

opt

opt
1

opt
2

opt

Zakład 1

0,0003

0,02

Zakład 2

0,0003

0,0167

Zakład 3

0,9524

0,0002

0,0143

efektywności

. Z kolei Zakład 3 okazał się nieefektywny ponieważ w jego wypadku optymalna

wartość funkcji celu jest mniejsza od jedności. Na tle pozostałych dwóch zakładów odznacza się

ono około 5-procentową nieefektywnością.

Skoro Zakład 3 okazał się nieefektywny można wyznaczyć dla niego liniową kombinację zło-

żoną z efektywnych obiektów, która przy nie większych nakładach pozwoli na osiągnięcie co

najmniej takich samych efektów. Współczynnikami tej kombinacji są wyceny dualne rozwiązania

zadania dla Zakładu 3 dla ograniczeń dotyczących łącznej wartości poniesionych nakładów i

łącznej wartości uzyskanych efektów w zakładach 1 i 2. Współczynniki te wynoszą (po zaokrą-

gleniu) 0,3788 dla Zakładu 1 i 0,7955 dla Zakładu 2. Jeżeli obliczymy kombinacje liniowe efektów

osiąganych przez obiekty efektywne (np. dla liczby wyrobów: 0,3788 · 600 + 0,7955 · 1600) to okaże

się, że otrzymamy liczby wyrobów i przepracowane godziny o wartościach odpowiadających tym

dla Zakładu 3. Podobne działanie dla nakładów da następujący rezultat:

0,3788 · 50 + 0,7955 · 60 = 66,67

0,3788 · 120 + 0,7955 · 160 = 172,736

Otrzymane wartości kombinacji nakładów zakładów pierwszego i drugiego znajdują się po-

niżej wielkości odpowiadających Zakładowi 3 (odpowiednio 70 i 250). Możliwe więc było lepsze

wykorzystanie nakładów przez Zakład 3 pozwalające na osiągnięcie dotychczasowych efektów.

Na podstawie powyższych informacji jesteśmy w stanie sformułować przesłanki stosowania

modeli DEA. Po pierwsze oczekujemy, że zbiór obiektów będzie jednorodny lub prawie jedno-

rodny. Które jednak obiekty można uznać za jednorodne to temat na oddzielną dyskusję. Po

drugie nakłady i efekty winny być nieujemne. W razie konieczności można je doprowadzić do

nieujemności stosownymi przekształceniami.

Trzecim warunkiem stosowania DEA jest jednolitość jednostek pomiaru nakładów i efektów

we wszystkich obiektach. Innymi słowy nakład wyrażony w jednym DMU w tys. zł nie może w

innym zostać wyrażony w mln zł. Efekt musi mieć taką definicję, aby jego wzrost był ocenia-

ny pozytywnie. Z kolei wzrost nakładu (przy założeniu ceteris paribus) powinien być oceniany

negatywnie.

Pewien problem stanowi ustalenie liczby obiektów włączonych do analizy. Generalnie zakłada

się, że ilość DMU będzie znacznie większa od łącznej liczby nakładów i efektów. Sugeruje się, żeby

była ona wyższa od max {P R,3(P + R)}, ale wynika to z chęci zapewnienia stabilnych wartości

współczynników efektywności. Model DEA da się rozwiązać nawet wtedy gdy liczba obiektów

jest niewielka w porównaniu z liczbą nakładów i efektów.

Podsumowując rozważania w tej części opracowania do zalet metody DEA zaliczymy:

Są efektywne w sensie Farrella.

2. Metoda DEA – charakterystyka i podział modeli

1. Możliwość jednoczesnego uwzględnienia wielu nakładów i efektów.

2. Brak wymagań co do postaci funkcji wyrażającej zawiązek między nakładami a efektami.

3. Zmienne opisujące nakłady i efekty mogą posiadać różne miana.

4. Metoda wychwytuje wielkości skrajne zamiast je uśredniać jak to dzieje się na przykład w

przypadku linii regresji.

Metoda ta posiada też wady, wśród których wymienimy:

1. Efektywność mierzona jest względem pozostałych obiektów, co uwrażliwia metodę na usuwa-

nie bądź dołączanie do zbioru obiektów.

2. Duża wrażliwość na błędne dane (szczególnie w obiektach uznanych za wzorcowe).

3. Konieczność oddzielnego rozwiązywania zadania dla każdego obiektu.

4. W podstawowych modelach np. CCR pojawia się duża liczba obiektów efektywnych w sto-

sunku do całkowitej liczby obiektów.

2.2. Inne typy modeli DEA

Model CCR nie wyczerpuje puli modeli stosowanych w analizach DEA. Modele tego typu

dzielone są zwykle według dwóch podstawowych kryteriów. Pierwsze z nich wyróżnia:

— modele zorientowane na efekty;

— modele zorientowane na nakłady;

— modele niezorientowane.

W modelach zorientowanych na efekty celem optymalizacji jest uzyskanie jak najwyższych efek-

tów przy zachowaniu stałych i zrównoważonych nakładów. W drugim z wymienionych przypad-

ków minimalizujemy nakłady w taki sposób, aby efekty pozostały na ustalonym poziomie. Istnieje

też trzecia kategoria, w której nie określamy orientacji na efekty bądź nakłady, lecz rzadko się ją

wykorzystuje z uwagi na kłopoty z interpretacją.

Drugim ważnym podziałem jest podejście od strony efektów skali. Z tego punktu widzenia

wyróżniamy:

— model ze stałymi efektami skali (od nazwisk autorów: Charnes, Cooper, Rhodes oznaczany

jako CCR);

— model ze zmiennymi efektami skali (od nazwisk autorów: Banker, Charnes, Cooper oznaczany

jako BCC);

— model z nierosnącymi efektami skali (ang. Non Increasing Return to Scale – NIRS);

— model z niemalejącymi efektami skali (ang. Non Decreasing Return to Scale – NDRS).

Oba podziały nakładają się na siebie (z wyłączeniem modeli niezorientowanych). Zanim przed-

stawimy szczegółowo interesujące nas modele wyjaśnienia wymaga kwestia nazewnictwa. W li-

teraturze przedmiotu wykorzystuje się bowiem modele dualne zamiast pierwotnych. Praktyka ta

jest tak powszechna, że doprowadziła do odwrócenia terminologii. Model pierwotny staje się w

tej sytuacji dualnym zaś dualny – pierwotnym.

Postać modelu CCR została przedstawiona w poprzednim podrozdziale. Rozwiązując ten

model otrzymujemy całkowitą efektywność techniczną danej jednostki (e_crs). W modelu zo-

rientowanym na nakłady równa się ona θ

∗

zaś w modelu zorientowanym na efekty: 1/θ

∗

. Jeśli

∗

= 1 wówczas dany obiekt określamy mianem efektywnego. Całkowita efektywność techniczna

2.2. Inne typy modeli DEA

obiektu w modelu zorientowanym na nakłady określa o ile (proporcjonalnie) należy zredukować

nakłady, aby osiągnąć efekty na tym samym co dotychczas poziomie. Rozważymy teraz przykład

analizy metodą DEA wykorzystującą zorientowany na nakłady model CCR przy czym rozwią-

zywać będziemy model (2.13)-(2.16) czyli wariant dualny (a od teraz pierwotny).

Przykład wyznaczania efektywności w modelu CCR

Rozważamy sześć jednostek decyzyjnych (DMU) reprezentujących firmy o podobnym profilu

działalności opisanych przy pomocy jednego nakładu oraz jednego efektu. Ograniczenie to pozwoli

dokonać graficznej ilustracji idei wyznaczania efektywności poszczególnych obiektów. Dane do

przykładu znalazły się w tabeli 2.3.

Tabela 2.3. Przykładowe nakłady i efekty dla sześciu firm

DMU 1

DMU 2

DMU 3

DMU 4

DMU 5

DMU 6

Nakład X

Efekt Y

Poniżej prezentujemy model CCR zorientowany na nakłady oraz jego rozwiązanie. Wartość

∗

wyraża tu miarę efektywności technicznej. Sam model należy rozwiązać 6 razy, za każdym z

nich zmieniając wartości x

a także y

, wstawiając w te miejsca nakłady i efekty odpowiadające

obiektowi, dla którego obliczamy efektywność.

θ → min

(2.27)

4λ

+ 3λ

+ 6λ

+ 7λ

+ 4λ

+ 5λ

6 θx

(2.28)

10λ

+ 4λ

+ 15λ

+ 16λ

+ 7λ

+ 10λ

> y

(2.29)

> 0,λ

> 0

(2.30)

Wyniki z tabeli 2.4 wskazują, że efektywne okazały się firmy oznaczone jako DMU1 i DMU3.

Oznacza to, że znalazły się one na krzywej efektywności. Firma DMU2, aby stać się efektyw-

ną powinna zużywać 1-0,5333=0,4667 jednostek mniej nakładu dla uzyskania tego samego co

dotychczas efektu. Na tej podstawie możemy wyznaczyć nowe, mniejsze wielkości nakładów, któ-

re pozwoliłyby na osiągnięcie niezmienionych efektów dla wszystkich nieefektywnych jednostek

decyzyjnych (czyli znalezienie się na krzywej efektywności). Stosowne obliczenia znalazły się w

tabeli 2.5.

Optymalna wartość parametru λ informuje jaką wielkość nakładu powinien zużyć dany obiekt

w porównaniu z jednostkami efektywnymi. Numer w nawiasie w wierszu λ

tabeli 2.4 podaje,

które spośród obiektów efektywnych stały się punktami odniesienia (tzw. benchmarkami) dla

Tabela 2.4. Wyniki dla modelu CCR zorientowanego na nakłady

DMU 1

DMU 2

DMU 3

DMU 4

DMU 5

DMU 6

e_crs

0,5333

0,9143

0,7

0,8

∗

0,5333

0,9143

0,7

0,8

0,4 (1)

0,6 (1)

0,7 (1)

1 (1)

2. Metoda DEA – charakterystyka i podział modeli

Tabela 2.5. Nowe wielkości nakładów w modelu CCR przy ustalonych efektach

Obiekt nieefektywny

Zmniejszone nakłady

DMU 2

0,5333 · 3 = 1,6

DMU 4

0,9143 · 7 = 6,4

DMU5

0,7 · 4 = 2,8

DMU 6

0,8 · 5 = 4

obiektów nieefektywnych. Tak się składa, że w naszym przykładzie porównywać będziemy wszyst-

kie nieefektywne jednostki decyzyjne jedynie z DMU1. DMU2 powinien więc zużyć 0,4 tego co

zużywa DMU1, czyli 0,4 · 4 = 1,6 jednostki w celu osiągnięcia efektu równego 4 jednostki.

Model CCR zorientowany na efekty, który podlega optymalizacji zapiszemy następująco:

θ → max

(2.31)

4λ

+ 3λ

+ 6λ

+ 7λ

+ 4λ

+ 5λ

6 x

(2.32)

10λ

+ 4λ

+ 15λ

+ 16λ

+ 7λ

+ 10λ

> θy

(2.33)

> 0,λ

> 0

(2.34)

Współczynniki efektywności technicznej są w tym przypadku takie same jak dla modelu

zorientowanego na nakłady, ale powstały jako odwrotność wskaźnika efektywności θ

∗

. Siłą rzeczy

zachowany został podział na jednostki efektywne i nieefektywne technicznie. Należy przez to

rozumieć, że DMU1 i DMU3 w optymalny sposób wykorzystują posiadane nakłady.

Tabela 2.6. Wyniki dla modelu CCR zorientowanego na efekty

DMU 1

DMU 2

DMU 3

DMU 4

DMU 5

DMU 6

e_crs

0,5333

0,9143

0,7

0,8

1/θ

1,875

1,0938

1,4286

1,25

0,75 (1)

1,75 (1)

0,67 (3)

1,25 (1)

Wybierzmy do analizy, podobnie jak poprzednio, obiekt DMU2. Zgodnie z danymi z tabeli

2.6, aby osiągnąć stuprocentową efektywność powinien on wytwarzać 1,875 raza większy efekt

(czyli 1,875 · 4 = 7,5 jednostki) wykorzystując do tego celu dotychczasową, niezmienioną wielkość

nakładu. Znalazłby się wtedy na krzywej efektywności. W tabeli 2.7 podajemy nowe, wyższe

wielkości efektów, które powinny być osiągnięte przez firmy nieefektywne, gdyby te optymalnie

wykorzystały posiadane nakłady.

Parametr lambda podaje jaki efekt osiąga dana jednostka decyzyjna w porównaniu z wzor-

cowymi jednostkami efektywnymi. DMU2 porównywać będziemy z DMU1. Wynika z tego, że

Tabela 2.7. Nowe wielkości efektów osiągane przy ustalonych nakładach w modelu CCR

Obiekt nieefektywny

Zwiększone efekty

DMU 2

1,875 · 4 = 7,5

DMU 4

1,0938 · 16 = 17,5

DMU 5

1,4286 · 7 = 10

DMU 6

1,25 · 10 = 12,5

2.2. Inne typy modeli DEA

●

Naklady

ekty

CRS

DMU1

DMU2

DMU3

DMU4

DMU5

DMU6

Rysunek 2.1. Krzywa całkowitej efektywności technicznej

nieefektywny obiekt, przy wykorzystaniu nakładów firmy efektywnej osiągałby efekt równy

0,75 ∗ 10 = 7,5 jednostki.

Wartości nakładów i efektów wykorzystamy jako współrzędne punktów odpowiadających

obiektom. Na rysunku 2.1 oprócz jednostek decyzyjnych znalazła się, wychodząca z początku

układu współrzędnych i oznaczona jako CRS, krzywa efektywności przy stałych efektach skali,

która dla modelu CCR wyznacza poziom całkowitej efektywności technicznej. Jednostki leżące na

krzywej w optymalny sposób wykorzystują nakłady czyli nie istnieje lepsza kombinacja efektów

osiąganych przy tych samych wielkościach nakładów. Dominują one nad jednostkami znajdują-

cymi się pod krzywą, dla których istnieje bardziej optymalna kombinacja efektów możliwa do

otrzymania przy wykorzystaniu tej samej wielkości nakładów.

Na krzywej CRS znalazły się dwa, znane nam już obiekty efektywne: DMU1 i DMU3 co

oznacza, że w ich przypadku θ

∗

= 1. Efektywność techniczną dla pozostałych jednostek graficznie

da się wyznaczyć następująco:

e_crs

DM U 2

|DMU2A

7,5

= 0,5333

e_crs

DM U 4

|DMU4B

17,5

= 0,9143

e_crs

DM U 5

|DMU5B

= 0,7

e_crs

DM U 6

|DMU6C

12,5

= 0,8

Przyjrzyjmy się obiektowi DMU2 w tym kontekście. Ma on współczynnik efektywności równy

0,5333. W kategoriach modelu zorientowanego na efekty oznacza to, że firma ta produkuje średnio

53,33% tego, co produkowałaby firma efektywnie wykorzystująca tą samą ilość nakładów. Przy

2. Metoda DEA – charakterystyka i podział modeli

obecnym nakładzie efekt powinien zatem wzrosnąć o 46,67% do 7,5 jednostki co spowodowałoby

znalezienie się na krzywej CRS.

Wykres na rysunku 2.1 da się również zinterpretować w kontekście modelu zorientowanego

na nakłady. DMU2 znalazłby się również na krzywej CRS zmniejszając nakłady o 46,67% do 1,6

jednostki.

W modelu CCR o stałych efektach skali określamy możliwą, proporcjonalną redukcję nakła-

dów przy zachowaniu co najmniej tej samej ilości efektów. Jeżeli chcemy analizować o ile mniej

nakładów można by wykorzystać do wyprodukowania tej samej ilości efektów musimy sięgnąć po

model BCC. Różni się on od modelu CCR założeniem zmiennych efektów skali. Wprowadzamy

w nim dodatkowe ograniczenie wypukłości, które oznaczyliśmy (2.38) oraz (2.43) w modelach

zorientowanych odpowiednio na nakłady i na efekty.

Model BCC zorientowany na nakłady:

∗

= θ → min

(2.35)

j=1

6 θx

(2.36)

j=1

> y

(2.37)

j=1

= 1

(2.38)

> 0

(2.39)

Model BCC zorientowany na efekty:

∗

= θ → max

(2.40)

j=1

6 x

(2.41)

j=1

> θy

(2.42)

j=1

= 1

(2.43)

> 0

(2.44)

Rozwiązaniem modelu BCC jest tzw. czysta efektywność techniczna (e_vrs). Podobnie jak

miało to miejsce w przypadku poprzednio omówionego modelu, efektywność ta jest równa θ

∗

w modelu zorientowanym na nakłady i 1/θ

∗

tej wielkości w modelu zorientowanym na efekty.

W odróżnieniu jednak od modelu CCR optymalne optymalne wartości funkcji celu z modelu

zorientowanego na nakłady oraz na efekty nie muszą być swoimi odwrotnościami.

Wyznaczona krzywa efektywności przy zmiennych efektach skali (VRS) opiera się na trzech

następujących aksjomatach:

1. nie ma darmowego lunchu – nie można produkować przy zerowych nakładach;

2. mogą istnieć koszty utopione – przy niskim poziomie nakładów produkcja nie jest możliwa;

3. zbiór możliwości produkcyjnych jest zwarty i wypukły.

Jeżeli efektywności przy stałych (model CCR) i zmiennych (model BCC) efektach skali istotnie

się od siebie różnią, to możemy określić efektywność skali zgodnie ze wzorem:

e_s_vrs =

e_crs

e_vrs

(2.45)

Efektywność skali dana wzorem (2.45) informuje o tym, o ile mniej nakładów można by

wykorzystać, gdyby wielkość efektów była optymalna. Interpretując ten wzór powiemy, że przy

e_s_vrs = 1 dana jednostka decyzyjna jest efektywna względem skali zaangażowanych czynni-

ków produkcji zaś e_s_vrs < 1 oznacza, że jest nieefektywna względem skali zaangażowanych

czynników produkcji choć nie wiadomo w jakim obszarze efektów skali dokładnie się znajduje.

2.2. Inne typy modeli DEA

Przykład wyznaczania efektywności w modelu BCC

Przyjrzyjmy się teraz, jak wygląda rozwiązanie modelu BCC dla danych z poprzedniego

przykładu. Zaczniemy od modelu zorientowanego na nakłady, który prezentujemy poniżej:

θ → min

4λ

+ 3λ

+ 6λ

+ 7λ

+ 4λ

+ 5λ

6 θx

10λ

+ 4λ

+ 15λ

+ 16λ

+ 7λ

+ 10λ

> y

+ λ

= 1

> 0,λ

> 0

Na podstawie wyników znajdujących się w tabeli 2.8 możemy stwierdzić, że przy założeniu

zmiennych efektów skali, efektywne okazały się nie tylko DMU1 i DMU3, ale również DMU2 i

DMU4. Obiekt DMU5 powinien zużywać 1 − 0,875 = 0,125 mniej nakładu, aby osiągnąć efekt

ten sam co do tej pory. Nowe, mniejsze wielkości nakładów dla obu nieefektywnych jednostek

decyzyjnych znalazły się w tabeli 2.9.

Tabela 2.8. Wyniki dla modelu BCC zorientowanego na nakłady

DMU 1

DMU 2

DMU 3

DMU 4

DMU 5

DMU 6

e_vrs

0,875

0,8

∗

0,875

0,8

0,5 (1)

1 (1)

0,5 (2)

Tabela 2.9. Nowe wielkości nakładów przy ustalonych efektach w modelu BCC

Obiekt nieefektywny

Zmniejszone nakłady

DMU5

0,875 · 4 = 3,5

DMU6

0,8 · 5 = 4

Parametry λ

podają wielkości nakładów, które winna zużyć jednostka nieefektywna w porów-

naniu z jednostkami wzorcowymi przy założeniu zmiennych efektów skali. Dla DMU5 benchmark

wyznaczają DMU1 i DMU2 więc firma DMU5 powinna zużywać połowę nakładu DMU1 oraz

połowę nakładu DMU2 czyli 0,5 · 4 + 0,5 · 3 = 3,5 jednostki, aby osiągnąć wymagany efekt.

W przypadku modelu zorientowanego na efekty optymalizowany model BCC ma postać:

θ → max

4λ

+ 3λ

+ 6λ

+ 7λ

+ 4λ

+ 5λ

6 x

10λ

+ 4λ

+ 15λ

+ 16λ

+ 7λ

+ 10λ

> θy

+ λ

= 1

> 0,λ

> 0

2. Metoda DEA – charakterystyka i podział modeli

Jego rozwiązanie znalazło się w tabeli 2.10. Wynika z niej, że w przypadku DMU5, przy

założeniu zmiennych efektów skali, aby osiągnąć stuprocentową efektywność powinien on wy-

twarzać 1,4286 · 7 = 10 jednostek wykorzystując do tego celu dotychczasową wielkość nakładu.

W tabeli 2.11 znalazły się efekty, które powinny osiągnąć firmy nieefektywne, gdyby optymalnie

wykorzystały posiadane nakłady.

Parametr lambda podaje jaki efekt osiąga dana jednostka decyzyjna w porównaniu z wzorco-

wymi jednostkami efektywnymi. DMU5 porównywać będziemy tylko z DMU1. Wynika z tego, że

przy wykorzystaniu nakładu firmy efektywnej DMU5 osiągałby efekt równy 1 · 10 = 10 jednostek.

Tabela 2.10. Wyniki dla modelu BCC zorientowanego na efekty

DMU 1

DMU 2

DMU 3

DMU 4

DMU 5

DMU 6

e_vrs

0,7

0,8

1/θ

∗

1,4286

1,25

1 (1)

0,5 (1)
0,5 (3)

Tabela 2.11. Nowe wielkości efektów osiągane przy ustalonych nakładach w modelu BCC

Obiekt nieefektywny

Zwiększone efekty

DMU5

1,4286 · 7 = 10

DMU6

1,25 · 10 = 12,5

Na rysunku 2.2 oprócz krzywej CRS (stałe efekty skali) znalazła się krzywa VRS dla zmien-

nych efektów skali. Na mocy aksjomatu 2 nie przechodzi ona przez początek układu współrzęd-

nych. Widać wyraźnie, że jest ona odcinkami liniowa oraz to, że DMU5 i DMU6 wyraźnie znalazły

się poza samą krzywą (zostały zdominowane przez jednostki na krzywej).

Na podstawie efektywności zorientowanych na nakłady modeli CCR i BCC możemy sprawdzić

czy poszczególne jednostki decyzyjne są efektywne względem skali zaangażowanych czynników

produkcji. Wskaźniki e_crs (efektywności technicznej) oraz e_vrs (czystej efektywności tech-

nicznej) wraz z ich ilorazami obliczonymi na podstawie wzoru (2.45) podaje tabela 2.12. Wynika z

niej, że DMU2, DMU4 i DMU5 działają w obszarze zmiennych efektów skali. Nie wiemy natomiast

nic o rodzaju tych efektów.

Tabela 2.12. Miary efektywności i efekty skali modeli CCR i BCC

DMU1

DMU2

DMU3

DMU4

DMU5

DMU6

e_crs

0,5333

0,9143

0,7

0,8

e_vrs

0,875

0,8

e_s_vrs

0,5333

0,9143

0,8

Rozwiązując model BCC dowiadujemy się, czy dany obiekt znalazł się w obszarze zmiennych

efektów skali. Nie uzyskujemy jednak informacji, czy chodzi o rosnące, czy też malejące efek-

ty skali. Odpowiedź na to pytanie uzyskujemy dzięki rozwiązaniu modelu NIRS. Różni się on

od modelu BCC poluzowaniem ograniczenia dotyczącego współczynnik kombinacji liniowej. W

stosownych modelach będą to warunki (2.49) i (2.54).

2.2. Inne typy modeli DEA

●

Naklady

ekty

CRS

VRS

DMU1

DMU2

DMU3

DMU4

DMU5

DMU6

Rysunek 2.2. Krzywe: całkowitej i czystej efektywności technicznej

Model NIRS zorientowany na nakłady:

∗

= θ → min

(2.46)

j=1

6 θx

(2.47)

j=1

> y

(2.48)

j=1

6 1

(2.49)

> 0

(2.50)

Model NIRS zorientowany na efekty:

∗

= θ → max

(2.51)

j=1

6 x

(2.52)

j=1

> θy

(2.53)

j=1

6 1

(2.54)

> 0

(2.55)

Niech e_nirs oznacza rozwiązanie tego modelu zorientowanego na nakłady. Posłuży ono

do określenia rejonu efektów skali, w którym operuje jednostka decyzyjna charakteryzująca się

zmiennymi efektami skali.

Wyznaczając wartość e_s_nirs zgodnie ze wzorem (2.56) dla każdego obiektu dowiadujemy

się, czy mamy do czynienia z rosnącymi czy malejącymi efektami skali. Jeżeli e_s_nirs = 1

wówczas jednostka decyzyjna działa w obszarze rosnących efektów skali. Wartość e_s_nirs < 1

świadczy o znalezieniu się w obszarze malejących efektów skali.

e_s_nirs =

e_crs

e_nirs

(2.56)

2. Metoda DEA – charakterystyka i podział modeli

Wyznaczymy teraz rozwiązanie modelu NIRS zorientowanego na nakłady dla danych z nasze-

go przykładu. Następnie poszerzymy tabelę 2.12 o nowe wskaźniki efektywności oraz wyznaczymy

efekty skali zgodnie ze wzorem (2.56).

Tabela 2.13. Wyniki dla modelu NIRS zorientowanego na nakłady

DMU1

DMU2

DMU3

DMU4

DMU5

DMU6

e_nirs

0,5333

0,7

0,8

∗

0,5333

0,7

0,8

0,1 (1)

0,26 (1)

0,43 (1)

0,2 (3)

0,29 (3)

0,38 (3)

●

Naklady

ekty

CRS

VRS

NIRS

DMU1

DMU2

DMU3

DMU4

DMU5

DMU6

Rysunek 2.3. Porównanie krzywych CRS, VRS i NIRS

DMU1 oraz DMU3 wypadły najlepiej zarówno pod względem stałych jak i zmiennych efek-

tów skali. Są więc jednostkami wzorcowymi dla pozostałych czterech firm. DMU2 i DMU4 są

wśród nich efektywne jedynie przy założeniu zmiennych efektów skali (jak informują nas warto-

ści e_vrs = 1), natomiast DMU6 jako jedyna okazała się spośród wspomnianych czterech firm

efektywna względem skali zaangażowanych środków (e_s_vrs = 1).

Spośród obiektów, które znalazły się w obszarze zmiennych efektów skali tylko DMU4 cha-

rakteryzował się malejącymi efektami skali. Pozostałe jednostki decyzyjne czyli: DMU2 i DMU5

odznaczają się rosnącymi efektami skali.

Krzywa efektywności NIRS pozwala określić gdzie na krzywej VRS znajdują się rosnące, a

gdzie malejące efekty skali. Ponieważ VRS nie przechodzi przez punkt (0,0) relacja efektów do

nakładów jest tu gorsza niż w przypadku krzywej CRS. Wzrost nakładów powoduje poprawę

2.2. Inne typy modeli DEA

Tabela 2.14. Miary efektywności i efekty skali modeli CCR, BCC i NIRS

DMU1

DMU2

DMU3

DMU4

DMU5

DMU6

e_crs

0,5333

0,9143

0,7

0,8

e_vrs

0,875

0,8

e_s_vrs

0,5333

0,9143

0,8

e_nirs

0,5333

0,7

0,8

e_s_nirs

0,9143

tej relacji co interpretujemy jako rosnące efekty skali. Na rysunku 2.3 krzywą NIRS oznaczono

zielonym kolorem.

3. Wybrane typy analiz w metodzie DEA

3.1. Technologia w modelach DEA

Każdy obiekt w metodzie DEA charakteryzuje się określoną technologią wynikającą z zestawu

posiadanych nakładów i osiąganych efektów. Połączony wektor nakładów i efektów wybranego

obiektu j nazywamy technologią empiryczną i zapisujemy go następująco:

(3.1)

Liniową kombinację technologii wszystkich obiektów uznajemy za technologię wspólną całego

ich zbioru. Technologia taka ma charakter teoretyczny. Znany nam już współczynnik λ

dla

DMU

staje się wagą określającą intensywność wykorzystania technologii empirycznej danego

obiektu w technologii wspólnej. Z tego powodu możemy spotkać się z określeniami takimi jak:

waga intensywności lub po prostu intensywność. Współczynniki te są parametrami kombinacji

liniowej wyznaczającej technologię wspólną całego zbioru obiektów (T):

T =

j=1

(3.2)

Wspominaliśmy już o obiektach wzorcowych, z którymi porównywaliśmy obiekty nieefektyw-

ne. Obliczaliśmy m.in. ważone wielkości nakładów obiektów efektywnych, które powinien zużywać

obiekt nieefektywny, aby osiągnąć ustalone efekty. Było to nic innego jak właśnie wyznaczenie

technologii wspólnej na podstawie technologii empirycznych efektywnych jednostek decyzyjnych.

Nie nakładamy przy tym warunku, aby suma wag dawała 1, wymagamy jedynie ich nieujemności.

Zbiór technologii wspólnych dla wszystkich dopuszczalnych kombinacji parametrów lambda

nazywamy przestrzenią produkcyjną. Oczywiście zawierają się w niej również technologie empi-

ryczne samych obiektów, nie tylko ich kombinacje. Wzór (3.2) opisuje więc przestrzeń rozpiętą

na technologiach empirycznych danego zbioru obiektów. Jeżeli posiadamy informacje o innych

technologiach np. wzorcowych wówczas można do zadania wprowadzić dodatkowe obiekty. Nie

oceniamy ich efektywności, ale posłużą one do oceny efektywności pozostałych obiektów. Ważne

jest, aby brać pod uwagę technologie wiarygodne z punktu widzenia ich zastosowania, które na

przykład pojawiały się w praktyce. Rzecz jasna zaliczają się do nich technologie empiryczne.

Podsumowując, w metodzie DEA mamy do czynienia z trzema rodzajami technologii:

1. empiryczną;

2. dopuszczalną, za pomocą której możemy uzyskać dany wektor y

∗

> y efektów przy pomocy

możliwie najmniejszych nakładów x

∗

proporcjonalnych do nakładów x czyli x

∗

= θx;

3.1. Technologia w modelach DEA

3. optymalną, za pomocą której możemy uzyskać dany wektor ˆ

y > y efektów przy pomocy

możliwie najmniejszych nakładów x

∗

nieprzekraczających nakładów proporcjonalnych do x

czyli x

∗

6 θx.

Po raz kolejny mówimy o nakładach proporcjonalnych co nie znaczy, że nie mogą istnieć tech-

nologie, w których nie są one proporcjonalne do x. Rozpatrujemy efektywność Farrella-Debreu,

w której wskaźnik efektywności ˆ

θ interpretujemy jako proporcjonalne zmniejszenie nakładów

(krotność) do poziomu, który zapewni jednostce decyzyjnej stuprocentową efektywność co poka-

zywaliśmy we wcześniejszych przykładach.

Wartość współczynnika ˆ

θ w tym kontekście wyraża największe proporcjonalne zmniejszenie

nakładów potrzebnych do osiągnięcia założonych efektów. Geometrycznie oznacza to przesuwanie

się wzdłuż promienia technologicznego w stronę początku układu współrzędnych. Na rysunku 3.1

odpowiada to przesunięciu się z punktu A do punktu B (w obu punktach proporcja między nakła-

dami jest taka sama), w którym osiągamy największe dopuszczalne, proporcjonalne zmniejszenie

nakładów, aby osiągnąć efekty dane wektorem y. Przypomnijmy, że półprosta przechodząca przez

te punkty to promień technologiczny.

Dla modelu zorientowanego na nakłady efektywność radialna w ścisłym sensie oznacza pełną

komplementarność oraz zerową substytucję nakładów. W praktyce zdarza się przeważnie, że

przynajmniej jedna składowa optymalnego wektora nakładów bądź efektów może być mniej niż

proporcjonalna do składowej odpowiedniego wektora empirycznego oraz przynajmniej jedna taka

składowa jest proporcjonalna. Wówczas poza promieniem technologicznym znajdą się technologie

dopuszczalne, dla których efektywność również równa się ˆ

θ. W ich przypadku nie możemy mówić o

proporcjonalności nakładów (efektów) zaś sama technologia oddala się od promienia. Na rysunku

3.1 ilustruje to położenie punktu ˆ

x wyrażającego rozwiązanie optymalne. Wynika z tego, że

niekoniecznie musi ono znajdować się na promieniu technologicznym.

∗

= ˆ

∗

Rysunek 3.1. Graficzna ilustracja zmian proporcji nakładów dla technologii dopuszczalnych

Przy efektywności Farrella równej 1 i optymalnej technologii znajdującej się poza promieniem

technologicznym przynajmniej jeden nakład (dla tych samych efektów) jest większy niż nakład

minimalny – orientacja na nakłady lub przynajmniej jeden efekt jest mniejszy niż maksymalny

(przy założeniu stałych nakładów) – orientacja modelu na efekty. Technologie te nie są efektyw-

ne w sensie Pareto. Skutkuje to pojawieniem się luzów nakładów bądź efektów dla technologii z

3. Wybrane typy analiz w metodzie DEA

promienia i optymalnej. Tylko w sytuacji kiedy technologia optymalna leży na promieniu tech-

nologicznym luzy owe są równe zero. W przeciwnym wypadku dostosowanie się do rozwiązania

optymalnego oznacza zejście z promienia technologicznego.

Przez optymalne luzy nakładów w metodzie DEA należy rozumieć różnice między nakładami

technologii z promienia technologicznego o efektywności ˆ

θ = 1 a nakładami optymalnymi.

3.2. Analizy wynikające bezpośrednio z optymalizacji

Modele DEA dają możliwość różnorodnej analizy wyników. Na podstawie przykładu przed-

stawimy niektóre, wybrane przez nas jej rodzaje. Posłużymy się w tym celu danymi z rynku

Otwartych Funduszy Emerytalnych. Naszym zamiarem będzie ocena efektywności OFE z punk-

tu widzenia prowadzonej przez nie polityki inwestycyjnej. Należy w tym miejscu podkreślić,

ze jest to tylko jeden z możliwych kierunków analizy tego typu podmiotów, ponieważ można

rozpatrywać takie aspekty ich działalności jak choćby efektywność prowadzonej akwizycji. Rzecz

jasna wiązałoby się to z doborem innych nakładów i efektów.

Jako nakłady wybrane zostały następujące wielkości:

1. liczba martwych rachunków;

2. liczba członków, którzy opuścili fundusz;

3. koszty operacyjne (mln zł).

Zestaw efektów składał się zaś z wielkości jak poniżej:

1. liczba członków, którzy przystąpili do funduszu;

2. wartość składek przekazanych przez ZUS (mln zł, uwzględnia również należne i przekazane

odsetki);

3. średnia wartość jednostki rozrachunkowej (zł);

4. przychody z lokat (mln zł).

Dane pochodzą z oficjalnych raportów publikowanych przez Komisję Nadzoru Finansowego i

obejmują sprawozdania kwartalne oraz roczne za rok 2009 a zawarte zostały w tabeli 3.1.

Tabela 3.1. Dane na temat OFE w 2009 r.

Fundusz

Martwe

Opuściło

Koszty

Przystąpiło

Składki

Jednostka

Przychody

rach.

rozr.

AEGON

75610

54907

19,91

33402

832,46

25,19

278,3

Allianz

35635

41314

20,64

25355

1135,66

24,02

182,7

Amplico

39525

34994

41,98

28464

1098,99

24,42

475,59

Aviva

71122

79939

175,69

54819

4246,26

25,07

1624,85

AXA

23309

38033

37,39

93829

984,16

25,37

336,26

Generali

64614

41091

14,94

38727

1666,73

26,75

273,54

ING

118072

35989

134,83

53752

1979,4

26,97

1561,9

Nordea

85452

65597

31,41

82719

4434,78

25,94

249,3

Pekao

28484

34401

13,69

35997

761,53

24,29

109,49

Bankowy

39024

18415

23,15

7099

443,4

24,51

187,66

Pocztylion

79347

26411

16,73

6810

491,59

23,85

128,91

Polsat

13829

16056

7,69

280

285,68

27,5

47,12

PZU

110709

62210

103,49

91041

2821,96

25,6

937,89

WARTA

37397

19727

12,1

16790

335,55

25,79

98,41

3.2. Analizy wynikające bezpośrednio z optymalizacji

Jako pierwsze podamy wyniki optymalizacji zorientowanego na nakłady modelu CCR dla 2009

roku. Znalazły się one w tabeli 3.2. Liczby w nawiasach w kolumnie „lambda” jak poprzednio,

oznaczają numery obiektów wzorcowych. Na podstawie zawartych tam wyników stwierdzamy,

że brakiem efektywności przy założeniu stałych efektów skali charakteryzowały się następujące

fundusze emerytalne: AEGON, Allianz, Bankowy, Pocztylion i PZU, przy czym najmniej efek-

tywny okazał się OFE Pocztylion (współczynnik równy 0,7194). Pozostałe fundusze znalazły

się na krzywej efektywności CRS. Fakt, że większość funduszy solidarnie na niej się ulokowała

świadczy o prowadzeniu podobnej polityki inwestycyjnej.

Najmniej efektywny fundusz emerytalny powinien zużywać średnio 28,06% mniej nakładów,

aby osiągnąć te same efekty. Innymi słowy, gdyby OFE Pocztylion skonstruował swoją technologię

na wzór tych funduszy efektywnych, które wyznaczają dla niego benchmark (czyli Generali, ING

i Polsat) wykorzystałby 71,94% swoich nakładów.

Wartości parametrów lambda pozwalają określić jakie wielkości nakładów powinien zużyć

nieefektywny fundusz gdyby stosował optymalną technologię wzorowaną na technologiach trzech

wzorcowych funduszy. Jeżeli przez t

oznaczymy technologie empiryczne odpowiednio:

Generali, ING i OFE Polsat wtedy ogólna formuła optymalnej technologii zorientowanej na OFE

Pocztylion ( ˆ

) ma postać daną wzorem (3.3) Składa się więc ona z 17% technologii stosowanej

w funduszu Generali, 3% technologii stosowanej w funduszu ING oraz 67% technologii używanej

w OFE Polsat. Podstawiając nakłady i efekty wzorcowych funduszy do wzoru (3.3) otrzymamy

nowe wartości technologii optymalnej dla OFE Pocztylion.

= 0,17t

+ 0,03t

+ 0,67t

(3.3)

W tym miejscu należy zwrócić uwagę na różnice wartości współczynników lambda w kombina-

cji obiektów wzorcowych. Najniższy z nich ma wartość 0,03 zaś najwyższy 0,67. Przypominamy,

że jest to krotność wykorzystania nakładów wzorcowego DMU. Wartość λ

zależy od skali na-

kładów i efektów obiektu ocenianego oraz wzorcowego. Tym samym jeśli na przykład DMU

podlegający ocenie okaże się dużo mniejszy od DMU wzorcowego wówczas współczynnik lambda

musi być niewielki.

Tabela 3.2. Wyniki optymalizacji zorientowanego na nakłady modelu CCR dla 2009 roku

Nazwa OFE

e_crs

(benchmark)

AEGON

0,8096

0,02 (3); 0,91 (6); 0,01 (7)

Allianz

0,8999

0,17 (3); 0,06 (5); 0,09 (6); 0,14 (8); 0,45 (12)

Amplico

Aviva

AXA

Generali

ING

Nordea

Pekao

Bankowy

0,9094

0,01 (5); 0,11 (7); 0,78 (12)

Pocztylion

0,7194

0,17 (6); 0,03 (7); 0,67 (12)

Polsat

PZU

0,8739

0,41 (5); 0,46 (7); 0,34 (8)

WARTA

3. Wybrane typy analiz w metodzie DEA

Tabela 3.3. Wyznaczenie technologii optymalnej dla OFE Pocztylion za 2009 rok

Benchmark

Generali

ING

Polsat

Pocztylion

11j

0,17

0,03

0,67

technologia

udział w techn.

optymalna

empirycznej

Martwe rach.

64614

118072

13829

23791,97

29,98%

Opuściło

41091

35989

16056

18822,66

71,27%

Koszty oper.

14,94

134,83

7,69

11,74

70,16%

Przystąpiło

38727

53752

280

8383,75

123,11%

Składki

1666,73

1979,4

285,68

534,13

108,65%

Jednostka rozr.

26,75

26,97

27,5

23,78

99,71%

Przychody

273,54

1561,9

47,12

124,93

96,91%

Z tabeli 3.3 wynika, że wzorcowe fundusze emerytalne uczestniczące w optymalnej technolo-

gii zorientowanej na fundusz Pocztylion potrafiłyby osiągnąć jego efekty wykorzystując do tego

znacznie mniejsze nakłady. Szczególnie mocno widać to w przypadku liczby martwych rachunków,

których liczba spadłaby w takiej sytuacji do około 30% liczby martwych rachunków faktycznie

odnotowanych przez fundusz nieefektywny. Zdecydowanie ma on tu wiele do zrobienia. Pozostałe

nakłady nie są aż tak radykalnie mniejsze, ale oscylują w okolicach 70% tego czym w rzeczywi-

stości dysponuje OFE Pocztylion przez co należy rozumieć, że angażuje on mniej więcej o 30%

nakładów za dużo osiągając podane powyżej efekty.

Widać chyba wyraźnie jak nieefektywna była technologia wspomnianego OFE w 2009 roku.

Zwróćmy również uwagę na fakt, że wartość jednostki rozrachunkowej oraz wartość przychodów

operacyjnych są nieco niższe od tych osiąganych przez analizowany fundusz. Może to świadczyć

o oddaleniu się od promienia technologicznego. Tak się bowiem składa, że dla liczby martwych

rachunków oraz dwóch efektów: liczby osób, które przystąpiły do funduszu i kwoty składek prze-

kazanych przez ZUS wystąpiły luzy, które w celu dostosowania się do rozwiązania optymalnego

wymusiły zejście z promienia technologicznego.

W tabeli 3.4 prezentujemy wyniki dla zorientowanego na nakłady modelu BCC. Okazało się,

że przy założeniu zmiennych efektów skali liczba nieefektywnych obiektów spada o jeden. Zbiór

powiększył się o OFE PZU „Złota Jesień”, który w modelu CCR znalazł się pod krzywą efektyw-

ności okazując teraz się efektywnym względem skali zaangażowanych czynników produkcji.

Dla modelu BCC również można przeprowadzić analizy nakładów bądź efektów podobne

do tych, które wykonaliśmy dla modelu CCR. Zostawiamy to zainteresowanym czytelnikom. My

natomiast, po zoptymalizowaniu zorientowanego na nakłady modelu NIRS przystąpimy do oceny

efektów skali. W tabeli 3.5 porównujemy wyniki trzech trzech wspomnianych modeli.

Analizując wartości e_s_vrs zauważamy, że pięć funduszy emerytalnych: AEGON, Allianz,

Bankowy, Pocztylion i OFE PZU w 2009 roku działały w obszarze zmiennych efektów skali.

Ostatnia kolumna tabeli zawierająca wskaźnik e_s_nirs informuje nas, że tylko ostatni spośród

wymienionych funduszy odznaczał się malejącymi efektami skali. Pozostałe cztery znalazły się w

obszarze rosnących efektów skali. Trzeba jednak zwrócić uwagę na fakt, że są one nieefektywne

tak przy stałych, jak i przy zmiennych efektach skali. Są więc nieefektywne technologicznie (nie

wykorzystują posiadanych nakładów w dostatecznym stopniu).

3.3. Ranking obiektów a superefektywność

Tabela 3.4. Wyniki optymalizacji zorientowanego na nakłady modelu BCC dla 2009 roku

Nazwa OFE

e_vrs

(benchmark)

AEGON

0,8162

0,06 (3); 0,91 (6); 0,03 (12)

Allianz

0,9181

0,16 (3); 0,07 (5); 0,09 (6); 0,13 (8); 0,55 (12)

Amplico

Aviva

AXA

Generali

ING

Nordea

Pekao

Bankowy

0,9931

0,00 (5); 0,09 (7); 0,8 (12); 0,11 (14)

Pocztylion

0,7689

0,14 (6); 0,03 (7); 0,82 (12)

Polsat

PZU

WARTA

Tabela 3.5. Efekty skali OFE w 2009 roku

Nazwa OFE

e_crs

e_vrs

e_nirs

e_s_vrs

e_s_nirs

AEGON

0,8096

0,8162

0,8096

0,9919

Allianz

0,8999

0,9181

0,8999

0,9802

Amplico

Aviva

AXA

Generali

ING

Nordea

Pekao

Bankowy

0,9094

0,9931

0,9094

0,9157

Pocztylion

0,7194

0,7689

0,7194

0,9356

Polsat

PZU

0,8739

WARTA

3.3. Ranking obiektów a superefektywność

Wskaźnik efektywności ˆ

θ dobrze nadaje się do porządkowania jednostek decyzyjnych. Intu-

icyjnie zrozumiałe jest, że w tak utworzonym rankingu obiekty o niższym wskaźniku efektywności

zajmować będą dalsze pozycje. Problem stanowią jednak obiekty efektywne, ponieważ dla każ-

dego z nich ˆ

θ = 1. Pojawia się więc nadmiar liderów rankingu. Taka sytuacja nie wystąpi jedynie

wtedy, gdy w pełni efektywny okaże się tylko jeden obiekt. Rozwiązanie problemu stanowi wy-

korzystanie pojęcia tzw. superefektywności.

W modelu DEA z superefektywnością nadal oceniamy DMU na tle wszystkich pozostałych

obiektów, ale po tym razem następuje to wyłączeniu go ze zbioru. Sama nazwa wzięła stąd, że

wskaźnik efektywności może przyjmować wartości większe od 1, a model możemy traktować jako

uogólnienie klasycznych modeli DEA. Do wyznaczenia superefektywności używa się modeli CCR

(tak zorientowanych na nakłady, jak i na efekty).

3. Wybrane typy analiz w metodzie DEA

Punkt wyjścia modeli z superefektywnością jest następujący: jeżeli inne obiekty radzą sobie

z zadaniami danego DMU gorzej od niego, to jest on efektywny.

Założenia dla modelu zorientowanego na nakłady sformułowane przez Bankera, Gilforda,

Andersena i Petersena brzmią jak poniżej:

1. model CCR rozszerzamy o warunek, że własny (tj. dla analizowanego obiektu) współczynnik

λ jest równy zero;

2. współczynnik ˆ

θ nie musi być mniejszy lub równy 1.

Pomijając powyższe założenia, w modelu zorientowanym na nakłady nadal minimalizujemy

współczynnik efektywności. Poszukujemy więc takich wartości λ

, których kombinacja wyznacza-

jąca technologię wspólną zapewni przynajmniej efekty osiągane przez DMU

przy czym nakłady

technologii wspólnej są proporcjonalne do nakładów obiektu DMU

, lecz nie występuje w niej

technologia tego obiektu. Rozpatrujemy więc daną jednostkę decyzyjną na tle zbioru wszyst-

kich pozostałych jednostek, które traktować należy jako konkurencyjne wobec niej. Optymalną

wartość funkcji celu w zorientowanym na nakłady modelu z superefektywnością interpretuje-

my jako minimalne nakłady konkurentów wymagane do zrealizowania efektów danego obiektu

decyzyjnego.

Wartość współczynnika ˆ

θ < 1 modelu z superefektywnością oznacza, że obiekt jest nieefek-

tywny, a więc konkurencja uporałaby się z jego zadaniami wykorzystując mniejsze nakłady. Z

kolei dla obiektu efektywnego zachodzi ˆ

θ > 1, przy czym:

1. ˆ

θ > 1 oznacza, że dla osiągnięcia efektów danej jednostki decyzyjnej konkurenci potrzebowa-

liby więcej nakładów niż te, które badana jednostka faktycznie poniosła;

2. ˆ

θ = 1 oznacza, że dana jednostka decyzyjna jest nie gorsza od konkurentów.

Pomiędzy efektywnościami e_crs z modeli klasycznych a takimi, w których wprowadzono super-

efektywność występują pewne różnice:

1. w przypadku obiektów nieefektywnych wartość współczynnika efektywności jest w obu typach

modeli taka sama;

2. w przypadku obiektów efektywnych z punktu widzenia klasycznego modelu CCR superefek-

tywność jest różna dla tych jednostek i pozwala na określenie, który DMU jest bardziej

efektywny.

Dzięki drugiej z wymienionych różnic otrzymujemy możliwość uporządkowania obiektów od naj-

bardziej do najmniej efektywnego. Warto przy tym pamiętać, że tak wyznaczony ranking będzie

identyczny dla modelu zorientowanego na nakłady i zorientowanego na efekty.

Przypomnijmy, że w klasycznym modelu DEA obiekty efektywne lokowały się na granicy

efektywności. Jednak wykluczenie jednego z obiektów przy ustalaniu rozwiązania optymalnego

powoduje, że tworzy się odmienna od dotychczasowej, lokalna granica efektywności o następują-

cych własnościach:

1. każdemu obiektowi efektywnemu odpowiada inna lokalna granica efektywności pod warun-

kiem, że każdy z nich ma inną technologię. W przeciwnym wypadku kilku obiektom może

odpowiadać jedna granica lokalna;

2. dla obiektu nieefektywnego lokalna i globalna granica efektywności jest taka sama;

3. jeśli obiekt nieefektywny leży na lokalnej granicy efektywności innego obiektu jego efektyw-

ność nie jest równa 1.

3.3. Ranking obiektów a superefektywność

Przykład wyznaczania superefektywności

Powyższe rozważania zilustrujemy przykładem bazującym na danych dotyczących rynku fun-

duszy emerytalnych w 2009 roku. Obliczenia wykonaliśmy dla zorientowanego na nakłady modelu

CCR, w którym uwzględniliśmy występowanie superefektywności a wyniki umieściliśmy w tabeli

3.6. Oczywiście fundusze, które były nieefektywne w tabeli 3.2 nadal pozostają nieefektywne z

tymi samymi wartościami współczynników. Z kolei tabela 3.7 zawiera ranking OFE z punktu

widzenia osiąganej przez nie efektywności. Przez superefektywność względną należy rozumieć

podzielenie wartości każdego ze wskaźników efektywności przez najwyższy otrzymany wynik ˆ

θ.

Tabela 3.6. Wyniki optymalizacji zorientowanego na nakłady modelu CCR z superefektywnością

Nazwa OFE

Efektywność

(benchmark)

AEGON

0,8096

0,02 (3); 0,91 (6); 0,01 (7)

Allianz

0,8999

0,17 (3); 0,06 (5); 0,09 (6); 0,14 (8); 0,45 (12)

Amplico

1,0631

Aviva

1,7343

AXA

3,2268

Generali

1,5322

ING

2,1732

Nordea

1,8506

Pekao

1,2016

Bankowy

0,9094

0,01 (5); 0,11 (7); 0,78 (12)

Pocztylion

0,7194

0,17 (6); 0,03 (7); 0,67 (12)

Polsat

2,3317

PZU

0,8739

0,41 (5); 0,46 (7); 0,34 (8)

WARTA

1,0140

Tabela 3.7. Ranking OFE na podst. modelu z superefektywnością

Superefektywność

Nazwa OFE

bezwzględna

względna

AXA

3,2268

Polsat

2,3317

0,7226

ING

2,1732

0,6735

Nordea

1,8506

0,5735

Aviva

1,7343

0,5375

Generali

1,5322

0,4748

Pekao

1,2016

0,3724

Amplico

1,0631

0,3295

WARTA

1,0140

0,3142

Bankowy

0,9094

0,2818

Allianz

0,8999

0,2789

PZU

0,8739

0,2708

AEGON

0,8096

0,2509

Pocztylion

0,7194

0,2229

Najbardziej efektywnym funduszem emerytalnym w 2009 roku okazał OFE AXA (por. tabela

3.7). Aby osiągnąć swoje efekty potrzebował on ponad trzy razy mniej nakładów niż musiałyby

3. Wybrane typy analiz w metodzie DEA

ich zużyć pozostałe fundusze w ramach optymalnej technologii wspólnej. Konkurenci najsłab-

szego z funduszy efektywnych – OFE WARTA dla osiągnięcia jego efektów musieliby ponieść

nakłady zaledwie o 1,4% większe od tych jakie empirycznie zastosował OFE WARTA.

Analizując względną superefektywność zauważamy, że efektywność drugiego na liście OFE

Polsat stanowi niewiele ponad 70% efektywności najlepszego funduszu. Najmniej efektywny –

Pocztylion charakteryzuje się jeszcze mniej korzystnym stosunkiem, bo wynoszącym nieco ponad

20%. Świadczy to o dużym zróżnicowaniu efektywności poszczególnych funduszy emerytalnych.

Wyznaczając technologie optymalne obiektów efektywnych w sensie modelu CCR musimy

pamiętać, że w tym wypadku otrzymujemy technologie optymalne konkurentów danego obiektu.

W przypadku nieefektywnych jednostek decyzyjnych postępowanie mające na celu otrzymanie

technologii optymalnej nie różni się od tego z klasycznego modelu CCR.

Z uwagi na to, że w modelu z superefektywnością współczynnik ˆ

może być większy od 1, ale

nie określamy jego górnej wartości istnieje niebezpieczeństwo, że przyjmie on bardzo duże war-

tości. Mówimy wtedy o braku jednorodności zbioru obiektów wybranych do badania. Zwróćmy

uwagę, że dla zwykłych modeli DEA takiego wniosku nie jesteśmy w stanie wyciągnąć.

Za nietypowe uznajemy te obiekty, dla których superefektywność znalazła się poza pewną,

założoną z góry granicą. W tym celu ustalamy progi górny (θ

) i dolny (θ

) po czym porów-

nujemy z nimi efektywności uzyskane w toku obliczeń. Jeżeli ˆ

> θ

lub ˆ

< θ

obiekt taki

uznajemy za nietypowy i usuwamy ze zbioru. Całe postępowanie da się ująć w ramy następującej

procedury:

1. Rozwiązujemy zadanie dla wszystkich obiektów.

2. Odrzucamy te obiekty, dla których zachodzi ˆ

> θ

3. Rozwiązujemy zadanie ponownie, już dla nowego zbioru obiektów.

4. Jeżeli nadal występują obiekty o ˆ

> θ

wracamy do etapu 2. W przeciwnym przypadku

przechodzimy dalej.

5. Odrzucamy obiekty, dla których zachodzi ˆ

< θ

6. Tak otrzymany zbiór możemy uznać za jednorodny.

Etap odrzucania obiektów o zbyt małej wartości ˆ

przeprowadzamy na końcu ponieważ po

ponownym obliczeniu wskaźniki efektywności będą nie mniejsze od poprzednich. Zatem tak w

pełnym, jak i w zredukowanym zbiorze obiektów cały czas będzie zachodzić ˆ

< θ

3.4. Dynamika zmian w modelach DEA

Modele DEA oparte na efektywności Farrella nie muszą ograniczać się do analiz o charakte-

rze statycznym. Istnieje również możliwość badania zmian dynamiki efektywności. Jako punkt

wyjścia potraktujemy tzw. odległość Shepharda (D

•

)). Jest to odwrotność optymalnej efek-

tywności z modelu zorientowanego na nakłady czyli 1/ˆ

θ. Pochodzić więc może bezpośrednio z

modelu CCR zorientowanego na efekty (taką właśnie interpretację ma tam wartość funkcjis celu)

lub może zostać obliczona na podstawie wyników optymalizacji modelu CCR zorientowanego na

nakłady. Zapiszemy zatem:

•

) =

(3.4)

3.4. Dynamika zmian w modelach DEA

Tabela 3.8. Sposoby wyznaczania odległości Shepharda

LHS

RHS

•

)

technologia

obiekt

)

z okresu t

t+1

)

z okresu t + 1

t+1

)

z okresu t

z okresu t + 1

t+1

)

z okresu t + 1

z okresu t

Symbol • przy D oznacza technologię w okresie t lub t + 1 (przy założeniu, że porównujemy

dwa sąsiednie okresy) zaś przy zmiennych (x,y) okres z którego pochodzą nakłady i efekty.

Odległości Shepharda obliczamy określając w odpowiedni sposób parametry lewych oraz prawych

stron ograniczeń obecnych w modelu DEA co ilustruje tabela 3.8.

W związku z zależnościami podanymi w tabeli 3.8 odległości D

) oraz D

t+1

)

otrzymujemy na przykład poprzez rozwiązanie zorientowanych na efekty modeli CCR dla danych

dotyczących nakładów i efektów pochodzących z okresów odpowiednio t i t + 1. Model zorien-

towany na efekty pozwalający wyznaczyć odległości Shepharda D

t+1

) prezentuje się jak

poniżej:

∗

= θ → max

(3.5)

j=1

t
pj

6 x

t+1
pi

(3.6)

j=1

> θy

t+1

(3.7)

> 0

(3.8)

Odległości dane jako D

t+1

) wyznaczymy z następującego modelu:

∗

= θ → max

(3.9)

j=1

t+1
pj

6 x

t
pi

(3.10)

j=1

t+1

> θy

(3.11)

> 0

(3.12)

Zmiany efektywności (zwanej w literaturze w tym przypadku również produktywnością) po-

między okresami t oraz t + 1 możemy oceniać wykorzystując tzw. indeksy Malmquista. Opierają

się one na modelach CCR a więc nie informują o zmianach efektów skali. Warto przy tym dodać,

że niezależnie od tego czy wyznaczymy je na podstawie modelu zorientowanego na nakłady czy

na efekty ich wartość liczbowa będzie taka sama.

Indeks Malmquista dla okresu t ma postać:

3. Wybrane typy analiz w metodzie DEA

t+1

) =

t+1

)

(3.13)

Z kolei indeks Malmquista dla okresu t + 1 obliczamy następująco:

t+1

) =

t+1

)

t+1

)

(3.14)

Wzór (3.13) porównuje efektywność (produktywność) obiektu w okresie t + 1 z jego efektyw-

nością w okresie t, wykorzystując jako punkt odniesienia technologię z okresu t. Natomiast wzór

(3.14) pozwala na porównywanie efektywności) obiektu w okresie t + 1 z jego efektywnością w

okresie t, wykorzystując jako punkt odniesienia technologię z okresu t + 1.

Indeksy Malmquista uśredniamy przy pomocy średniej geometrycznej w celu określenia zmian

w efektywności działania obiektu pomiędzy okresami t i t + 1 (wzór (3.15)).

t,t+1

t+1

) =

t+1

)

t+1

)

t+1

)

(3.15)

Po przekształceniach średniej geometrycznej uzyskamy:

t,t+1

t+1

) = T E(x

t+1

) · T C(x

t+1

)

(3.16)

gdzie:

T E(x

t+1

) =

t+1

)

(3.17)

T C(x

t+1

) =

t+1

)

t+1

)

t+1

)

(3.18)

TE wyraża zmianę efektywności technicznej, która określa relatywną zmianę efektywności

obiektu pomiędzy okresami t i t + 1 bez uwzględnienia zmiany położenia krzywej efektywności

(efektywność jest mierzona względem krzywej z odpowiedniego okresu t albo t + 1).

TC zaś jest miernikiem zmiany technicznej (związanej z postępem technologicznym), która

określa relatywną (w rozumieniu zmiany położenia krzywej efektywności) zmianę efektywności,

mierzoną osobno względem technologii z dwóch różnych okresów, tzn. efektywność obiektu w

okresie t jest mierzona względem technologii z okresu t + 1, a efektywność obiektu w okresie

t + 1 jest mierzona względem technologii z okresu t (następuje przesunięcie krzywej efektywności

między okresem t a t + 1).

Jeżeli jesteśmy zainteresowani oceną dynamiki zmian efektywności w czasie z uwzględnieniem

wpływu efektów skali obliczamy indeksy oparte na modelu CCR (krzywa CRS) i modelu BCC

(krzywa VRS). Indeks zmiany czystej efektywności technicznej (PTE) oraz indeks zmiany skali

efektywności (SE) dla modelu zorientowanego na efekty opisują równania:

P T E(x

t+1

) =

t+1

V RS

t+1

)

V RS

)

(3.19)

3.4. Dynamika zmian w modelach DEA

SE(x

t+1

) =

t+1

CRS

t+1

)

CRS

)

t+1

V RS

t+1

)

V RS

)

(3.20)

Dla modelu zorientowanego na nakłady odpowiednie równania mają postać:

P T E(x

t+1

) =

V RS

)

t+1

V RS

t+1

)

(3.21)

SE(x

) =

CRS

)

t+1

CRS

t+1

)

V RS

)

t+1

V RS

t+1

)

(3.22)

Odległość obliczona na podstawie modelu BCC zorientowanego na nakłady nie jest odwrot-

nością odległości wyliczonej z modelu zorientowanego na efekty. Dlatego indeksy PTE i SE w

przypadku orientacji na nakłady i na efekty nie muszą być jednakowe.

Przykłady analizy dynamiki w metodzie DEA

Na początek wyznaczymy odległości Shepharda wymienione w tabeli 3.8. Ponownie wykorzy-

stamy znane nam już informacje na temat OFE. Rozszerzymy je dodatkowo o kolejny 2010 rok,

z którego pochodzą dane zawarte w tabeli 3.9. Same odległości D

•

) znalazły się w tabeli

3.10. Przyjmujemy, że t oznacza rok 2009 zaś t + 1 rok 2010. W tabeli tej zamieściliśmy wyniki

optymalizacji modeli CCR zorientowanych na efekty.

Tabela 3.9. Dane na temat OFE w 2010 r.

Fundusz

Martwe

Opuściło

Koszty

Przystąpiło

Składki

Jednostka

Przychody

rach.

rozr.

AEGON

83303

41602

48,21

60705

923,37

28,59

295,65

Allianz

30570

16845

35,31

21681

697,76

27,4

211,04

Amplico

35299

45485

93,18

43437

1717,88

28,12

528,41

Aviva

55125

142638

247,48

17727

5192,85

28,72

1755,71

AXA

34264

36151

65,28

136196

1375,03

28,92

422,72

Generali

70397

21506

55,4

56479

1140,52

30,52

338,91

ING

101347

101319

223,65

50042

5836,23

31,07

1761,14

Nordea

56665

41375

48,26

60425

1005,26

29,55

302,89

Pekao

26923

13589

18,11

19835

410,67

27,8

118,56

Bankowy

58087

23535

34,24

60039

624

28,17

197,29

Pocztylion

48147

19692

23,42

5941

527,15

27,16

137,54

Polsat

13279

12878

10,51

1310

287,8

31,97

55,47

PZU

92117

65508

142,41

53809

3076,12

29,38

978,47

WARTA

29316

21385

16,54

15882

343,17

29,48

101,58

Przypomnijmy, że odległość Shepharda możemy otrzymać bezpośrednio rozwiązując model

zorientowany na efekty. Zgodnie z zasadami przedstawionymi w tabeli 3.8 wartość D

)

to nic innego jak model CCR dla 2009 roku. Dlatego nie powinno nas dziwić, że nieefektywne

okazały się te same fundusze co w modelu CCR zorientowanym na nakłady. Na przykład OFE

Pocztylion, aby osiągnąć stuprocentową efektywność powinien (przy niezmienionych nakładach)

wytwarzać efekty średnio o 39% większe od dotychczasowych.

3. Wybrane typy analiz w metodzie DEA

Tabela 3.10. Odległości Shepharda dla OFE w latach 2009-2010

Fundusz

)

t+1

)

t+1

)

t+1

)

AEGON

1,2351

1,1113

1,2730

Allianz

1,1112

Amplico

1,0832

1,0069

Aviva

AXA

Generali

ING

Nordea

1,0890

1,2259

Pekao

Bankowy

1,0996

1,0195

Pocztylion

1,3900

1,1562

1,0482

Polsat

PZU

1,1443

1,1069

1,1695

WARTA

1,0076

1,0139

Kolumna D

t+1

) zawiera wyniki optymalizacji zorientowanego na efekty modelu

CCR dla 2010 roku. Zmienił się w tym wypadku zbiór funduszy nieefektywnych. Znalazły się

w nim: AEGON, Amplico, Nordea, Bankowy, Pocztylion, PZU i WARTA. Najsłabiej ponownie

wypadł Pocztylion, który w 2010 roku powinien zwiększyć stopień osiąganych efektów średnio

rzec biorąc około 1,16 razy.

Tabela 3.11. Indeks dynamiki Malmquista i jego składowe dla OFE w latach 2009-2010

Fundusz

Malmquist

AEGON

0,8998

1,1895

1,0702

Allianz

0,8999

1,0541

0,9486

Amplico

1,0832

0,9641

1,0444

Aviva

AXA

Generali

ING

Nordea

1,0890

1,0610

1,1554

Pekao

Bankowy

0,9272

1,0385

0,9629

Pocztylion

0,8318

1,1226

0,9338

Polsat

PZU

0,9673

1,0996

1,0636

WARTA

1,0076

1,0031

1,0107

Średnia

0,9790

1,0380

1,0135

Na podstawie wyników, które znalazły się w tabeli 3.11 możemy stwierdzić, że bez uwzględ-

niania efektów skali (tj. interpretując jej ostatnią kolumnę) największy wzrost produktywności

w 2010 roku w porównaniu do roku 2009 odnotował OFE Nordea. Zwiększyła się ona o 15,54%.

Fundusz ten miał również jeden z większych wzrostów efektywności technicznej o czym poniżej.

Z kolei największy spadek zaobserwowaliśmy w przypadku OFE Pocztylion a wyniósł on 6,62%.

Warto zwrócić również uwagę na to, że sześć funduszy nie odnotowało zmian produktywności

w analizowanym okresie w związku z czym średnia produktywność dla całego rynku wzrosła

3.4. Dynamika zmian w modelach DEA

Tabela 3.12. Indeksy dynamiki uwzględniające wpływ efektów skali dla OFE w latach 2009-2010

Orientacja na

efekty

nakłady

Fundusz

PTE

AEGON

1,0028

0,8972

1,1046

1,0061

Allianz

0,9020

0,9977

1,0892

1,0202

Amplico

1,0812

1,0018

0,9438

0,9782

Aviva

AXA

Generali

ING

Nordea

1,0355

1,0517

0,9265

0,9911

Pekao

Bankowy

0,9631

0,9627

1,0069

1,0712

Pocztylion

1,0057

0,8270

1,1479

1,0474

Polsat

PZU

1,0494

0,9218

0,9045

1,1430

WARTA

1,0068

1,0008

0,9956

0,9968

zaledwie o 1,35%. Ponadto, żaden z owych sześciu funduszy nie charakteryzował się zmianami

składników TE oraz TC.

Analizując zmianę efektywności technicznej bez uwzględniania zmiany położenia krzywej efek-

tywności (kolumna TE tabeli 3.11) możemy powiedzieć, że największy wzrost (o 8,9%) wystąpił

również w przypadku OFE Nordea oraz Amplico (8,32%). Największy spadek obserwujemy po-

nownie u OFE Pocztylion, dla którego wyniósł on 16,82%. Rynek OFE jako całość zanotował

średnio rzecz biorąc spadek efektywności technicznej rzędu 2,1%.

Zmiana techniczna (związana z postępem technologicznym), uwzględniająca zmianę położenia

krzywej efektywności zaprezentowana w kolumnie TC naszej tabeli najsilniej zaznaczyła swoją

obecność w przypadku OFE AEGON (wzrost o 18,95%) oraz Pocztylion (wzrost o 12,26%).

Obecność drugiego z wymienionych funduszy jest tu sporym zaskoczeniem, ponieważ w dotych-

czasowych analizach plasował się on w grupie najsłabszych obiektów. Jak widać duży wzrost w

dziedzinie postępu technicznego nie zrównoważył w jego przypadku spadku efektywności tech-

nicznej w dostatecznym stopniu. Największy spadek wielkości TC wystąpił dla OFE Amplico i

wyniósł 3,59%. Fundusz ten był wymieniony wcześniej w gronie OFE o największym wzroście

efektywności technicznej. Średnia wartość TC dla wszystkich funduszy wskazuje, że nastąpił

3,8% wzrost efektywności związany z postępem technicznym.

W tabeli 3.12 zawarliśmy wyniki obliczeń indeksów PTE i SE uwzględniających zmianę efek-

tów skali. Indeks zmian czystej efektywności technicznej (PTE) dla modelu zorientowanego na

efekty przyjął największą wartość OFE Amplico, który w 2010 roku w porównaniu do roku 2009

zanotował wzrost wynoszący 8,12%. Z kolei w modelu zorientowanym na nakłady największy

wzrost na poziomie 14,79% obserwujemy w przypadku OFE Pocztylion. Najniższe wartości tego

indeksu to odpowiednio: spadek o 9,8% dla OFE Allianz oraz 9,55% dla OFE PZU „Złota Jesień".

Interpretując indeks zmiany skali efektywności (SE) dla modelu zorientowanego na efekty

zauważamy, że największy wzrost efektów skali (o 5,17%) wystąpił w przypadku OFE Nordea.

Za to największy spadek (o 17,3%) odnotował OFE Pocztylion. Jeśli chodzi o model zorientowany

3. Wybrane typy analiz w metodzie DEA

na nakłady, to analogiczne wielkości są następujące: OFE PZU – wzrost o 14,3% i Amplico –

spadek o 2,18%.

3.5. Wpływ własności danych empirycznych na wyniki modelu CCR

Efektywność wyznaczana z modelu CCR i innych zależy nie tylko od różnic między obiektami.

Zależy ona również od pewnych własności związanych ze zgromadzonym materiałem empirycz-

nym. Mamy tu na myśli zmiany liczby nakładów i efektów, dodawanie nowych obiektów czy

występowanie korelacji między składowymi modelu.

Jeżeli na przykład zwiększamy liczbę nakładów i/lub efektów efektywność obiektów zwykle

rośnie a przynajmniej nie maleje. Różnice wskaźników efektywności między obiektami ulegają

zmniejszeniu. Efektywność DMU nieefektywnego nie pogarsza się a może nawet wzrosnąć zaś jed-

nostki decyzyjne, które były do tej pory efektywne pozostają efektywnymi. Z drugiej strony duży

wzrost ilości nakładów/efektów powoduje (zwłaszcza w modelu CCR) pojawienie się dużej liczby

obiektów efektywnych. W modelu CCR wyniki są bardziej zróżnicowane przy niewielkiej liczbie

nakładów/efektów. Ponadto zmiana liczby nakładów i/lub efektów wywołuje zmiany wartości

współczynników lambda.

We wcześniejszych rozważaniach poświęciliśmy nieco uwagi kwestii liczby obiektów analizo-

wanych metodą DEA. Nie były to rozważania bezpodstawne. Na dołączenie kolejnego obiektu do

już istniejącego zbioru należy patrzeć z punktu widzenia jego efektywności. Pojawienie się DMU

nieefektywnego nie zmienia wskaźnika efektywności już uwzględnionego obiektu. Jednakże dołą-

czenie obiektu w pełni efektywnego powoduje, że efektywność pozostałych obiektów spada lub

co najwyżej pozostaje na dotychczasowym poziomie. Tym samym liczba obiektów efektywnych

zmienia się w miarę dodawania kolejnych DMU.

Niekiedy decydujemy się na wprowadzenie nakładów i efektów w postaci wskaźników natęże-

nia zamiast jednostek naturalnych. Przechodzimy więc przykładowo z przychodów w mln zł na

przychody w przeliczeniu na 10 tys. mieszkańców. Operacja taka nie pozostaje bez wpływu na

wyniki optymalizacji w metodzie DEA. Wprowadzenie wskaźników natężenia sprawia, że wskaź-

nik efektywności obiektu może ulec zmianie. W konsekwencji zmienić się może liczba obiektów

efektywnych.

Inną operacją często wykonywaną na danych jest ich przeskalowanie czyli pomnożenie zmien-

nej przez pewną liczbę dodatnią. Okazuje się, że taka operacja nie zmienia wskaźnika efektywności

obiektu. Innym rodzajem jest przesunięcie zmiennej czyli powiększenie jej o pewną stałą. W takim

wypadku dodawanie wartości do zmiennej nie wpływa na obiekty efektywne, ale może wpłynąć

na obiekty nieefektywne.

Kolejną sytuacją z jaką się stykamy, szczególnie gdy korzystamy ze zmiennych ekonomicznych,

jest występowanie korelacji między nimi. Zaznaczmy, że w przypadku metody DEA rozpatrujemy

wyłącznie korelację dodatnią, ponieważ wzrost nakładów powinien powodować wzrost efektów.

Po pierwsze należy podkreślić, że wysoka korelacja między nakładami a efektami oznacza de-

generację rozwiązania. Jeżeli przynajmniej jeden efekt jest skorelowany (współczynnik korelacji

równy 1) z przynajmniej jednym nakładem wtedy wszystkie obiekty są efektywne w sensie Far-

rela. W związku z tym na liście nakładów i efektów nie może występować ta sama zmienna. Jeśli

3.5. Wpływ własności danych empirycznych na wyniki modelu CCR

między nakładami a efektami korelacja występuje jako funkcja liniowa z wyrazem wolnym wtedy

efektywność może odchylać się od 1 szczególnie jeśli wyraz wolny jest ujemny.

Związki korelacyjne można również rozpatrywać w ograniczeniu wyłącznie do grupy nakładów

lub efektów. Rozszerzenie modelu o nakład (efekt) będący liniową kombinacją innych nakładów

(efektów) bez wyrazu wolnego nie powoduje zmiany rozwiązania. Jeżeli wyraz wolny jest różny

od 0 wtedy rozwiązanie ulega zmianie przy czym najsilniejsze zmiany powoduje wyraz wolny

dużo mniejszy od 0.

4. Uwzględnianie luzów nakładów i efektów

4.1. Nadwyżki efektów i niedobory nakładów w zadaniu standardowym

Oryginalne modele DEA w jawny sposób uwzględniają w funkcji celu i ograniczeniach luzy

nakładów i efektów rozumianych jako nadwyżki pierwszych i niedobory drugich dla technologii

empirycznej w stosunku do technologii optymalnej. Mają one podobne znaczenie jak zmienne

swobodne znane z badań operacyjnych z tym, że luzy w funkcji celu modelu DEA mogą pojawiać

się z wagami różnymi od zera. Jednak w przeważającej liczbie zastosowań praktycznych nie

uwzględnia się luzów w w modelach.

Zacząć należy od tego, że po rozwiązaniu na przykład zadania CCR jesteśmy w stanie wyzna-

czyć kilka różnic o odmiennej interpretacji. Przez optymalne luzy nakładów rozumiemy różnice

między nakładami technologii z promienia technologicznego, dla której ˆ

= 1 a nakładami opty-

malnymi. Wiąże się to z istnieniem technologii dopuszczalnych poza promieniem technologicznym

o czym pisaliśmy już wcześniej. Technologia optymalna najczęściej nie leży bowiem na promieniu,

ale na krawędzi kostki określającej rzut punktu leżącego na promieniu technologicznym na od-

powiednią oś. Różnicę tę możemy zapisać następująco: D

= ˆ

− ˆ

. Jej odjemna to nakłady

-proporcjonalne a odjemnik to nakłady optymalne optymalne.

Tylko gdy technologia optymalna leży bezpośrednio na promieniu technologicznym luzy są

równe zero. Ich pojawienie się sygnalizuje, że utrzymywanie dotychczasowych nakładów poprzez

przemieszczanie się po promieniu jest nieefektywne w sensie Pareto. Rozwiązanie dowolnego

modelu DEA pozwala jednak wyznaczyć kilka innych zależności. Możemy określić nadwyżkę

nakładów empirycznych nad optymalnymi czyli ∆

= x

− ˆ

oraz różnicę między nakładami

empirycznymi a tymi z promienia technologicznego: δ

= x

− ˆ

Przyjmijmy jednak definicję luzu analogiczną do definicji zmiennej swobodnej z badań ope-

racyjnych czyli jest to różnica między lewą a prawą stroną danego ograniczenia. Dla nakładu n

w obiekcie o otrzymamy wówczas:

= θ

−

j=1

(4.1)

Z kolei dla efektu r w obiekcie o różnica owa wyrażać się będzie wzorem:

j=1

− y

(4.2)

Luzy wprowadzamy do modelu z wagami ε, które są dowolnie małymi liczbami dodatnimi.

Uzyskamy w ten sposób model w postaci kanonicznej zapisany jak poniżej (dla przypadku modelu

CCR zorientowanego na nakłady):

4.1. Nadwyżki efektów i niedobory nakładów w zadaniu standardowym

− ε

n=1

r=1

→ min

(4.3)

j=1

+ D

= θ

(4.4)

j=1

− S

= y

(4.5)

6 1

(4.6)

; λ

, . . . ,λ

; S

, . . . ,S

; D

, . . . ,D

> 0

(4.7)

Wprowadzenie luzów do funkcji celu służy zasygnalizowaniu obniżenia efektywności obiektu z

powodu deficytu efektów lub nadmiaru nakładów. Stąd założenie, że wagi ε są małymi liczbami

dodatnimi. W ograniczeniach spełniają one podobną rolę jak zmienne swobodne.

Zadania w postaci kanonicznej nie rozwiązuje się bezpośrednio, ale stosując specyficzną dla

niego procedurę. Przechodzi ona następujące etapy:

1. Rozwiązujemy zadanie CCR w postaci standardowej i określamy optymalny mnożnik nakła-

dów ˆ

2. Jeżeli obiekt jest w pełni efektywny (ˆ

= 1, ˆ

o,o

= 1, λ

= 0) to nie ma żadnych luzów i na-

stępuje koniec postępowania. Jeżeli jednak jego efektywność jest mniejsza od 1 przechodzimy

do kroku 3.

3. Obliczamy prawe strony ograniczeń dla nakładów przy mnożniku ˆ

: ˆ

= ˆ

4. Rozwiązujemy model CCR(II), w którym ustala się nowe współczynniki λ

maksymalizujące

sumę luzów przy warunkach z zadania w postaci kanonicznej. Prawe strony warunków doty-

czących nakładów równe są wartościom danym w kroku 3 zaś te dotyczące efektów zawierają

efekty empiryczne.

Model CCR(II) ma następującą postać:

n=1

r=1

→ max

(4.8)

j=1

+ D

= ˆ

(4.9)

j=1

− S

= y

(4.10)

; λ

, . . . ,λ

; S

, . . . ,S

; D

, . . . ,D

> 0

(4.11)

Ze względu na uwarunkowania metody DEA model (4.8)-(4.11) podlega istotnym ogranicze-

niom. Załóżmy najpierw, że interesuje nas maksymalizacja jedynie luzów dla nakładów. Mini-

malizacja θ w standardowym modelu zorientowanym na nakłady oznacza maksymalizację luzów

dla nakładów. Nie ma więc sensu rozpatrywać zadania, w którym maksymalizuje się tylko luzy

4. Uwzględnianie luzów nakładów i efektów

związane z nakładami. W szczególności mija się to z celem gdy w standardowym modelu CCR

zorientowanym na nakłady luzy dla efektów i tak są zerowe.

Po drugie różnice lambd pojawiają się między modelem standardowym a kanonicznym kiedy

występują luzy dla efektów (efekt technologii optymalnej jest większy od efektu empirycznego).

Wprowadzenie do modelu CCR(II) efektów empirycznych (y

) doprowadzi do tego, że przy

nowych parametrach lambda otrzymana technologia nie będzie optymalna w sensie Pareto.

Z powyższych powodów za bardziej właściwe należy uznać korzystanie z modelu standardo-

wego.

4.2. Model z karami za luzy nakładów i efektów

Wiemy już, że optymalne nakłady i efekty wyznaczone po rozwiązaniu na przykład zadania

CCR różnią się od faktycznie poniesionych. W przypadku nakładów mówić będziemy o nadwyż-

ce zaś w przypadku efektów o niedoborze tychże w stosunku do wielkości empirycznych. Stąd

nadwyżkę nakładów możemy zdefiniować następująco:

= x

∗
no

− ˆ

(4.12)

Wzór (4.12) można rozumieć trojako:

1. Jako oszczędność nakładów optymalnych ˆ

technologii wspólnej w stosunku do nakładów

-proporcjonalnych stanowiących ˆ

krotność nakładów empirycznych.

2. Jako nadwyżkę nakładów ˆ

-proporcjonalnych w stosunku do nakładów optymalnych.

3. Jako rozrzutność obiektu w wydatkowaniu nakładów (nakłady ponad miarę).

Deficyt efektów w sensie ekonomicznym zapiszemy:

= ˆ

− y

(4.13)

W jego wypadku interpretacja również ma potrójne znaczenie:

1. Uzyskana przy nakładach ˆ

nadwyżka efektu optymalnej technologii ponad poziom efektu

danego obiektu.

2. Niedobór rezultatu w stosunku do tego jaki ten obiekt mógłby uzyskać przy swoich nakładach

w technologii optymalnej.

3. Niewykorzystane możliwości generowania wyższych efektów przez dany obiekt.

Obecność luzów nakładów i efektów wpływa na poziom efektywności danego obiektu. Ponoszenie

nakładów ponad miarę lub osiąganie efektów niższych niż to możliwe obniża wartość ˆ

i rodzi

chęć skorygowania efektywności poprzez zmniejszenie pojawiających się luzów. Odbywa się to po-

przez wprowadzanie do modelu kar za nadwyżki nakładów i/lub niedobory efektów. Wspomniana

korekta może odbywać się albo poprzez zmniejszenie początkowej wartości ˆ

o karę związaną z

nadwyżką nakładów lub niedoborem efektów, albo rozwiązanie zadanie DEA, w którym kary za

nadwyżkę nakładów lub niedobór efektów wprowadza się do funkcji celu.

Zajmiemy się tym drugim przypadkiem. Poniżej prezentujemy model CCR zorientowany na

nakłady, w którym funkcja celu została powiększona o kary nakładane na luzy nakładów i efek-

tów:

4.2. Model z karami za luzy nakładów i efektów

+ K

→ min

(4.14)

j=1

− D

= y

(4.15)

j=1

+ S

= θ

(4.16)

6 1

(4.17)

6 θ

(4.18)

; λ

, . . . ,λ

; S

, . . . ,S

; D

, . . . ,D

> 0

(4.19)

Wartość kar obecnych w funkcji celu obliczamy następująco:

n=1

r=1

(4.20)

gdzie:

N + R

(4.21)

N + R

(4.22)

Wprowadzenie kar do modelu zwiększa zróżnicowanie efektywności zbioru obiektów. Ponad-

to parametry lambda w stosunku do modelu bez kar będą inne. Rozpatrzmy teraz ponownie

przykład badania efektywności otwartych funduszy emerytalnych w 2009 roku. Dane do tego

modelu znajdowały się w tabeli 3.1. Model dla OFE AEGON czyli obiektu nr 1 prezentuje się

następująco

+ K

→ min

33402λ

+ 25355λ

+ . . . + 16790λ

o14

− D

= 33402

832,46λ

+ 1135,66λ + . . . + 335,55λ

o14

− D

= 832,46

25,19λ

+ 24,02λ

+ . . . + 25,79λ

o14

− D

= 25,19

278,3λ

+ 182,7λ

+ . . . + 98,41λ

o14

− D

= 278,3

75610λ

+ 35635λ

+ . . . + 37397λ

o14

+ S

= 75610θ

54907λ

+ 41314λ

+ . . . + 19727λ

o14

+ S

= 54907θ

19,91λ

+ 20,64λ

+ . . . + 12,1λ

o14

+ S

= 19,91θ

Dla łatwiejszego porównania z modelem (4.14)-(4.19) pozostawiamy symbol o w miejscu przeznaczonym na

numer obiektu.

4. Uwzględnianie luzów nakładów i efektów

6 1

6 θ

; λ

, . . . ,λ

; S

, . . . ,S

; D

, . . . ,D

> 0

Kary jednostkowe dla luzów nakładów i efektów obliczone zostały według formuł (4.22) i

(4.22). W tabeli 4.1 prezentujemy wyniki obliczeń dla modelu CCR z karami za luzy nakładów i

efektów. Dodanie wartości kary powoduje podwyższenie wartości funkcji celu co sugeruje wyższą

niż rzeczywista efektywność obiektu. Dlatego należy ją zmniejszyć o wartość K

i różnica ta

również znalazła się w tabeli. Jest to zatem faktyczny poziom efektywności obiektu. Nie zmienia

się jednak interpretacja wskaźnika efektywności ani wag intensywności wykorzystania techno-

logii obiektów efektywnych. Poza tym obiekty efektywne wg klasycznego modelu CCR nadal

pozostają efektywne. Dlatego najsłabiej nakłady na efekty przekładają się wciąż w przypadku

OFE Pocztylion tak jak to miało miejsce we wcześniejszym przykładzie. W tym modelu tech-

nologię zorientowaną na ten fundusz tworzą technologie czterech innych funduszy efektywnych

a mianowicie: OFE AEGON, OFE Generali, OFE ING i OFE POLSAT z wagami podanymi

w ostatniej kolumnie tabeli 4.1. Ponadto zwiększa się zróżnicowanie wskaźników efektywności

pomiędzy funduszami nieefektywnymi.

Tabela 4.1. Wyniki modelu CCR z karami za luzy nakładów i efektów

OFE

− K

Parametry ˆ

AEGON

0,9641

0,1536

0,8104

0,91(6), 0,02(7), 0,01(12)

Allianz

0,9309

0,0310

0,8999

0,17(3), 0,06(5), 0,09(6), 0,14(8), 0,45(12)

Amplico

Aviva

AXA

Generali

ING

Nordea

PEKAO

Bankowy

0,9684

0,0559

0,9125

0,11(7), 0,73(12)

Pocztylion

0,8285

0,0884

0,7401

0,05(1), 0,11(6), 0,03(7), 0,68(12)

POLSAT

PZU

0,9158

0,0420

0,8739

0,41(5), 0,46(7), 0,34(8)

Warta

To jednak nie wszystko. Uwzględnienie w modelu optymalizacyjnym kar za luzy nie oznacza

jeszcze, że automatycznie będą one równe zero dla wszystkich obiektów. Jak można przekonać

się na podstawie tabeli 4.2 dzieje się tak dla obiektów w pełni efektywnych. W pozostałych

przypadkach pojawiają się nadwyżki niektórych nakładów oraz niedobory części efektów. Na

przykład dla wymienionego wcześniej OFE Pocztylion liczba martwych rachunków powinna być

o ponad 34 tysiące mniejsza zaś w stosunku do osiąganej przez niego efektywności liczba nowych

członków winna być większa o prawie 1300 osób. W podobny sposób da się przeanalizować

pozostałe wartości luzów z tabeli 4.2.

4.2. Model z karami za luzy nakładów i efektów

Tabela 4.2. Obliczone luzy nakładów i efektów

Nakład/efekt

Martwe

Opuściło

Koszty

Przystąpiło

Składki

Jedn.

Przychody

OFE

rach.

oper.

rozr.

AEGON

6158

2942,47

728,44

Allianz

8955,93

Amplico

Aviva

AXA

Generali

ING

Nordea

PEKAO

Bankowy

10393,04

22,34

Pocztylion

34232,55

1277,05

POLSAT

PZU

3959,11

2,7

5,94

Warta

Jeżeli jednostkowe kary za luzy ulegają zwiększeniu wówczas rośnie wskaźnik efektywności i

przy odpowiednio wysokich karach wszystkie luzy mogą się wyzerować. Tylko technologia własna

obiektu pozbawiona jest bowiem luzów. Z kolei zmniejszanie kar za luzy powoduje, że rozwiązanie

zbliża się do tego z klasycznej metody (na przykład CCR). Tak więc odpowiednio małe kary nie

wpłyną na rozwiązanie zwykłego modelu. Mnożnik w modelu z karami za luzy jest nie mniejszy od

mnożnika z modelu klasycznego. Wynika to po pierwsze z dwóch przed chwilą podanych własności

a po drugie z faktu dołączenia do modelu dodatkowego ograniczenia. Wagi intensywności lambda

zmieniają się ponieważ lista zmiennych decyzyjnych uległa rozszerzeniu właśnie o luzy .

5. Model wykorzystujący efektywność nieradialną

5.1. Model efektywności nieradialnej

Klasyczne podejście do metody DEA zakłada jednolitą efektywność wszystkich nakładów lub

efektów. Założenie to da się jednak uchylić. Punktem wyjścia jest tzw. efektywność Russella, którą

można potraktować jako uogólnienie efektywności Farrella-Debreu. W modelu zorientowanym na

nakłady bada się w niej efektywność względem poszczególnych nakładów natomiast w modelu

zorientowanym na efekty bada się efektywność względem poszczególnych efektów. Wskaźnikiem

efektywności Russella w modelu zorientowanym na nakłady staje się średnia efektywności cząst-

kowych względem poszczególnych nakładów.

θ =

n=1

(5.1)

Z tego powodu ten sam poziom wskaźnika efektywności Russella może być osiągany przy

różnych kompensujących się efektywnościach cząstkowych. W modelu zorientowanym na efekty

efektywność Russella wyznacza się jako odwrotność średniej arytmetycznej optymalnych efek-

tywności cząstkowych.

W modelu efektywności radialnej (Farrella) zmiany efektywności dokonują się poprzez propor-

cjonalne zmiany wszystkich nakładów lub efektów. W rezultacie przesuwamy się wzdłuż półpro-

stej wychodzącej z początku układu współrzędnych. Punkty na tej półprostej określają zmiany

nakładów lub efektów co w konsekwencji przekłada się na ich całkowitą komplementarność czyli

zerową substytucyjność.

Efektywność nieradialna zakłada, że efektywność cząstkowa ze względu na dany nakład lub

efekt może być inna dla każdego nakładu (efektu) przy czym sama efektywność cząstkowa jest

wciąż radialna. Jeżeli cząstkowe wskaźniki efektywności nie są identyczne to kombinacje nakładów

i efektów nie układają się na promieniu technologicznym. W konsekwencji możliwa jest substytu-

cyjność nakładów lub efektów. Możliwe jest także uwzględnienie zmian struktury nakładów czy

efektów oraz zróżnicowanie ich efektywności.

Nieradialny zorientowany na nakłady model CCR opisany został równaniami (5.2)-(5.7). W

literaturze można niekiedy spotkać model, w którym minimalizuje się nie średnią a po prostu

sumę cząstkowych wskaźników efektywności. Istnieje możliwość zastąpienia funkcji celu (5.2)

średnią ważoną jeżeli z jakiegoś powodu niektóre nakłady są ważniejsze od innych. Ograniczenie

(5.6) wyraża pożądane relacje między mnożnikami efektywności różnych nakładów. Mogą to być

relacje typu równy, mniejszy lub równy albo większy lub równy.

n=1

→ min

(5.2)

5.2. Wybrane analizy modelu z efektywnością nieradialną

j=1

> y

(5.3)

j=1

6 θ

(5.4)

6 1

(5.5)

Rθ

(5.6)

, . . . ,θ

N o

; λ

, . . . ,λ

> 0

(5.7)

Optymalny wskaźnik ˆ

wyraża po pierwsze efektywność obiektu o ze względu na nakład

n. Po drugie określa procent do jakiego należałoby zmniejszyć nakład n aby obiekt o uzyskał

stuprocentową efektywność ze względu na ten nakład. Mnożniki optymalne dla poszczególnych

nakładów wskazują przy jakich krotnościach nakładów obiektu o optymalna technologia wspólna

pozwoli uzyskać efekt analogiczny do efektu tego obiektu przy minimalnych nakładach. Średnia

wartości optymalnych cząstkowych wskaźników efektywności dla wszystkich nakładów jest wspo-

mnianą wcześniej efektywnością Russella.

5.2. Wybrane analizy modelu z efektywnością nieradialną

Rozważmy teraz model CCR dla otwartych funduszy emerytalnych jako zadanie z niera-

dialną efektywnością Russella. Jako empiryczne nakłady i efekty wykorzystamy dane dla OFE

obejmujące 2009 rok.

Tabela 5.1. Wyniki nieradialnego modelu CCR dla OFE z 2009 r.

Martwe

Opuściło

Koszty

OFE

rach. ˆ

oper. ˆ

Parametry ˆ

AEGON

0,7569

0,6659

0,6049

0,07(5), 0,62(6), 0,05(7), 0,2(12)

Allianz

0,8252

0,8404

0,6748

0,9604

0,21(3), 0,07(5), 0,16(8), 0,48(12)

Amplico

Aviva

AXA

Generali

ING

Nordea

PEKAO

Bankowy

0,7729

0,5765

0,9123

0,8299

0,02(5), 0,09(7), 0,78(12)

Pocztylion

0,5723

0,2849

0,6805

0,7514

0,13(6), 0,04(7) 0,7(12)

POLSAT

PZU

0,8373

0,5522

0,9596

0,34(4), 0,6(5), 0,1(7), 0,14(8)

Warta

Oczywiście efektywność Russella w tabeli 5.1 nie przekracza 1 gdyż jest ona średnią liczb

zawierających się w przedziale od 0 do 1. Fundusze, które były efektywne w klasycznym modelu

CCR w modelu z nieradialną efektywnością nadal są efektywne przy czym w tym wypadku

5. Model wykorzystujący efektywność nieradialną

interpretujemy to jako pełną efektywność ze względu na każdy z nakładów. Obiekty nieefek-

tywne w sensie nieradialnym są nieefektywne ze względu na przynajmniej jeden nakład choć

mogą być (jak na przykład OFE Pocztylion) nieefektywne ze względu na wszystkie nakłady.

Wskaźnik efektywności zwykłego modelu CCR jest nie mniejszy od wskaźnika efektywności Rus-

sella. Wskaźnik efektywności klasycznego modelu CCR na ogól zawiera się między minimum a

maksimum wskaźników dla nakładów nieradialnej CCR.

Gdy liczba nakładów jest mała wskaźnik efektywności CCR jest często równy maksymalnemu

cząstkowemu wskaźnikowi efektywności.

Analizując cząstkowe efektywności funduszy nieefektywnych dowiadujemy się jaka jest efek-

tywność obiektu z punktu widzenia poszczególnych nakładów. I tak na przykład OFE PZU jest

bardzo nieefektywny jeśli chodzi o liczbę martwych rachunków, ale wykazuje się stuprocentową

efektywnością w przypadku liczby członków, którzy opuścili w 2009 roku fundusz (opuścili go ci,

którzy powinni). Jego technologia wykorzystania tego nakładu jest zatem w pełni efektywna. Dla

kosztów operacyjnych efektywność znalazła się dość blisko 1. Analizując efektywności (czy raczej

nieefektywności) cząstkowe funduszy gdzie ¯

θ < 1 możemy zaobserwować duże zróżnicowanie

poziomów wskaźnika efektywności.

Jeśli chodzi o efektywność wykorzystania martwych rachunków to fundusze nieefektywne

generalnie nie radzą sobie z tym zjawiskiem przy czym najgorszą sytuację obserwujemy w OFE

Pocztylion.

Dysponując cząstkowymi efektywnościami możemy przygotować rankingi obiektów z punktu

widzenia poszczególnych nakładów. Gdyby taką listę utworzyć dla liczby osób, które opuściły

fundusz to liczba obiektów efektywnych byłaby o 1 większa od liczby obiektów efektywnych w

sensie Russella gdyż znalazłby się na niej OFE PZU. Poza tym może dojść do zmian pozycji

DMU na różnych listach rankingowych w zależności od rozpatrywanego nakładu.

Formuły benchmarkingowe w modelu z nieradialną efektywnością są inne niż te z radial-

nego modelu CCR. Niektóre fundusze (np. Pocztylion) zachowały niezmienioną listę obiektów

wzorcowych, ale występują one z innymi wagami. Z kolei inne mogą mieć bardzo różniące się for-

muły benchamrkingowe (por. np. PZU). Zresztą poprawa technologii może być teraz rozumiana

dwojako:

1. jako poprawę wykorzystania tych nakładów, dla których cząstkowa efektywność jest mniejsza

od 1;

2. jako poprawę efektywności wybranych nakładów, które wypadły pod tym względem najsła-

biej.

Model nieradialny pozwala również przeprowadzić analizę dysproporcji nakładów i efektów. Jeżeli

wszystkie nakłady i efekty charakteryzują się taką samą efektywnością uznajemy je za zharmoni-

zowane. Jeżeli przynajmniej jedna para nakładów lub para efektów ma różne cząstkowe wskaźniki

efektywności to mówimy o pojawieniu się dysproporcji tym większej im większa jest wspomniana

różnica efektywności. Stopień braku zharmonizowania można określić na przykład przy pomocy

odchylenia standardowego lub po prostu obliczając rozstęp.

Dla danych z tabeli 5.1 obliczyliśmy odchylenia standardowe współczynników efektywności

poszczególnych funduszy. Dodatkowo tabelę 5.2 wzbogaciliśmy o współczynniki zmienności. Na

jej podstawie stwierdzamy ogólnie spore niezharmonizowanie nakładów przy czym zdecydowanie

5.2. Wybrane analizy modelu z efektywnością nieradialną

najwyższe jest ono w przypadku OFE Pocztylion. Spośród funduszy nieefektywnych najbardziej

zharmonizowane nakłady obserwujemy w OFE Allianz (najniższy współczynnik zmienności).

Tabela 5.2. Ocena stopnia zharmonizowania efektywności funduszy

Odchylenie

Wsp.

OFE

stand.

zmienności

AEGON

0,7569

0,1737

0,2294

Allianz

0,8252

0,1171

0,1419

Amplico

Aviva

AXA

Generali

ING

Nordea

PEKAO

Bankowy

0,7729

0,1429

0,1849

Pocztylion

0,5723

0,2053

0,3587

POLSAT

PZU

0,8373

0,2022

0,2415

Warta

Gdy efektywność obiektu w modelu nieradialnym jest mniejsza od 1 możemy określić roz-

rzutność nakładu, której stopień wyraża zależność:

= 1 − ˆ

(5.8)

W tabeli 5.3 przedstawiona została rozrzutność nakładów nieefektywnych funduszy emery-

talnych. Jak widać mamy w ich przypadku do czynienia z dużym niewykorzystaniem nakładów

rzędu średnio 70-80%. Jak to już miało miejsce wcześniej ponownie zwraca uwagę liczba martwych

rachunków. Najgorszy pod tym względem OFE Pocztylion ma ich aż ponad 70% za dużo.

Tabela 5.3. Wskaźniki rozrzutności nakładów dla funduszy nieefektywnych

Martwe

Opuściło

Koszty

OFE

rachunki

oper.

AEGON

0,3341

0,3951

Allianz

0,1596

0,3252

0,0396

Bankowy

0,4235

0,0877

0,1701

Pocztylion

0,7151

0,3195

0,2486

PZU

0,4471

0,0404

średnia

0,7914

0,7234

0,6785

Dla modelu z nieradialną efektywnością można również wyznaczyć luzy nakładów i efektów,

ale należy pamiętać, że w modelu zorientowanym na nakłady luzy nakładów będą równe zero. Po-

nieważ wzrost liczby nakładów i/lub efektów powoduje wzrost wskaźnika efektywności wskaźnik

z modelu nieradialnego może być traktowany jako sposób na dokładniejsze oszacowanie efektyw-

ności obiektu. Wiąże się to również z poglądem, że obecność luzów przyczynia się do obniżenia

efektywności.

5. Model wykorzystujący efektywność nieradialną

Izokwanty efektywności nieradialnego modelu CCR są nieliniowe co przekłada się na stabil-

ność rozwiązań. Może się bowiem zdarzyć, że nawet niewielka zmiana nakładów spowoduje dużą

zmianę efektywności oraz wag lambda. Ta sama zmiana efektywności wymagać będzie różnej

skali nakładów a przecież model nieradialny zakłada możliwą substytucję nakładów.

6. Wykorzystanie komputera do obliczeń w metodzie

DEA

6.1. Arkusz kalkulacyjny

Z formalnego punktu widzenia metoda DEA jest zadaniem programowania ilorazowego, ale

dzięki transformacji Charnesa-Coopera można dokonać przekształcenia w zadanie programowa-

nia liniowego, które dużo łatwiej rozwiązać. Problem polega na tym, że zadanie optymalizacyjne

należy rozwiązać oddzielnie dla każdego obiektu. Gdy jest ich kilka nie stanowi to dużego proble-

mu, lecz przy kilkudziesięciu lub kilkuset jednostkach decyzyjnych konieczne staje się sięgnięcie

po oprogramowanie komputerowe.

Celem tego dodatku jest zaprezentowanie możliwości wybranych narzędzi do poszukiwania

rozwiązań modeli DEA. Istniejące komercyjne pakiety są dość kosztowne w zakupie dlatego

ograniczymy się do narzędzi dostępnych za darmo.

Na początek omówimy możliwości, które dają arkusze kalkulacyjne. Będziemy posługiwać

się zrzutami ekranu z arkusza MS Excel, ale wykorzystane funkcje i formuły równie dobrze

można zastosować na przykład w arkuszu Calc będącym częścią darmowego pakietu biurowego

LibreOffice.

Rysunek 6.1 przedstawia arkusz przygotowany do rozwiązania zorientowanego na nakłady

modelu CCR. W kolumnie A znalazły się etykiety obiektów. Zakres B3:H16 zawiera empirycz-

ne efekty i nakłady. Komórki J3:J17 przedstawiają zmienne decyzyjne modelu czyli parametry

lambda. Zwróćmy uwagę na ostatnią komórkę wspomnianego zakresu. Jest ona opisana jako

„theta”. Jest ona jednocześnie obecna w ograniczeniach i stanowi funkcję celu. Dlatego celowo

wyróżniliśmy ją ossdzielnym odwołaniem pod adresem L3.

Poniżej znajdują się formuły konieczne do rozwiązania zadania. Zakres B18:H18 zawiera lewą

stronę ograniczeń odpowiadających poszczególnym nakładom i efektom. Powstaje ona prze po-

mnożenie wektora lambd przez odpowiednią kolumnę zakresu danych. Wykorzystaliśmy do tego

celu funkcję SUMA.ILOCZYNÓW. Znaki nierówności w wierszu 19 pełnią jedynie informacyjny

charakter.

Przygotowany arkusz pozwala na rozwiązanie modelu DEA tylko dla jednego obiektu naraz.

Postanowiliśmy ułatwić zmianę parametrów zadania wynikającą ze zmiany jednostki decyzyj-

nej. W tej chwili optymalizacja dokonywana jest dla OFE1. Wpisanie w komórce A21 etykiety

innego funduszu spowoduje automatyczną zmianę parametrów zadania. Służy do tego funkcja

WYSZUKAJ.PIONOWO, która pobiera nazwę aktualnie rozpatrywanego funduszu z komórki

A21 a potem wyszukuje ją na liście znajdującej się w kolumnie A. Drugi argument tej funk-

cji przechowuje cały zakres włącznie z wartościami nakładów i efektów. Po znalezieniu wiersza

odpowiadającego danemu obiektowi trzeci argument pobrany z wiersza 20 wskazuje który efekt

6. Wykorzystanie komputera do obliczeń w metodzie DEA

Rysunek 6.1. Arkusz przygotowany do modelu CCR zorientowanego na nakłady

lub nakład staje się prawą stroną ograniczenia. Formułę z komórki B21 należy skopiować dla

wszystkich efektów czyli do komórki E21 włącznie.

Jako że nasz model jest zorientowany na nakłady, prawe strony ograniczeń dotyczących na-

kładów właśnie są mnożone przez krotność wyrażoną parametrem theta. Z tego powodu wynik

działania funkcji WYSZUKAJ.PIONOWO dla nakładów jest dodatkowo mnożony przez zawar-

tość komórki J17. Taka formuła znalazła się w komórkach zakresu F21:H21.

Po przygotowaniu arkusza uruchamiamy dodatek Solver arkusza MS Excel (w arkuszu Calc

występuje on pod podobną nazwą). Sposób wprowadzenia parametrów zadania ilustruje zrzut na

rysunku 6.2. Zwracamy uwagę żeby jako metodę rozwiązywania wybrać „LP simpleks” w miejsce

domyślnej „Nieliniowej GRG”. Po rozwiązaniu otrzymujemy wskaźnik efektywności danego obiek-

tu. Jeżeli będzie on nieefektywny wówczas w kolumnie J pojawią się wartości wag intensywności

lambda, które ponadto wskażą obiekty efektywne wyznaczające benchmark.

Oczywiście przedstawiony sposób wykorzystania arkusza kalkulacyjnego nie eliminuje ko-

nieczności ręcznego rozwiązywania modelu dla każdego obiektu oddzielnie. Jedynie czyni to mniej

uciążliwym. Czytelnik obeznany z językiem VBA może jednak na bazie takiego arkusza napisać

program, który w pełni zautomatyzuje procedury obliczeniowe. Nie taki jest wszakże cel niniej-

szego opracowania więc zostawiamy to zainteresowanym. Warto przy tym podkreślić, że arkusz o

opisanej strukturze łatwo modyfikuje się do pozostałych typów modeli: zorientowanych na efekty,

BCC, NIRS i innych.

6.2. Pakiet EMS

Na potrzeby DEA powstaje również dedykowane oprogramowanie. Duża jego część jest płat-

na, ale istnieje darmowa alternatywa. Jest nią program EMS autorstwa Holgera Scheela. Program

można pobrać ze strony www.holger-scheel.de/ems/. Od razu trzeba podkreślić, że najnowsza

dostępna wersja pochodzi z 2000 roku. Program najwyraźniej nie jest już rozwijany, ale wciąż

6.2. Pakiet EMS

Rysunek 6.2. Parametry dodatku Solver dla modelu CCR

zachowuje swoją funkcjonalność choć należy się spodziewać, że z upływem czasu i zmianami w

systemach operacyjnych uruchomienie go będzie stwarzało coraz większe problemy.

Sam program obsługuje się bardzo prosto. Dane wczytuje się z z plików .csv lub .xls

. Arkusz

musi nazywać się Data i zawierać wyłącznie dane do wczytania. Nazwę (pozbawioną polskich

znaków) każdego nakładu należy opatrzyć symbolem {I} zaś efektu {O}. Ilustracja na rysunku

6.3 zawiera fragment arkusza przygotowany do wczytania.

Rysunek 6.3. Arkusz z danymi do programu EMS

Po wczytani danych wybieramy z menu DEA->Run model i przechodzimy do okna, w którym

ustawiamy parametry rozwiązywanego modelu. Okno to znalazło się na rysunku 6.4. W zakładce

Model wybieramy takie opcje jak rodzaj efektów skali, orientację czy superefektywność. Przy-

kładowo na naszym rysunku obliczone zostaną wskaźniki efektywności dla zorientowanego na

nakłady modelu CCR z uwzględnieniem superefektywności. Po wybraniu parametrów naciskamy

Start i otrzymujemy wyniki obliczeń. Przykład wyników dla zorientowanego na nakłady modelu

CCR prezentuje rysunek 6.5.

Kolumna DMU zawiera etykiety jednostek decyzyjnych (o ile zostały jakieś przyjęte). W

kolumnie Score znajdują się wartości wskaźników efektywności. Obiekty w pełni efektywne mają

wyróżnione całe wiersze. Informacje w kolumnie Benchmarks różnią się w zależności od tego czy

dany obiekt okazał się efektywny czy nie. W pierwszym przypadku podawana jest ilość obiektów

Z uwagi na zaawansowany „wiek” programu obsługiwany jest jedynie format MS Excel 97-2003.

6. Wykorzystanie komputera do obliczeń w metodzie DEA

Rysunek 6.4. Okno wyboru modelu w programie EMS

Rysunek 6.5. Okno wyników dla modelu CCR w EMS

nieefektywnych, w których dana jednostka służy jako wzorzec. W drugim program informuje,

które jednostki decyzyjne i z jakimi wagami (lambda) należy wykorzystać do utworzenia techno-

logii mającej poprawić efektywność obiektu. Ostatnie kolumny oznaczone jako {S} podają luzy

dla odpowiednich nakładów i efektów. Otrzymane wyniki mogą zostać wyeksportowane do plików

.csv lub .xls.

Zakładkę Options w oknie wyboru modelu możemy wykorzystać podczas wyznaczania in-

deksów Malmquista. Podręcznik użytkownika podpowiada inne rozwiązanie, ale jest ono dość

skomplikowane. Rysunek 6.6 ilustruje jak przygotować opcje, w którym lewa i prawa strona

ograniczeń pochodzą z tego samego okresu. Mamy do czynienia z trzema jednostkami decyzyjny-

mi o nakładach i efektach pochodzących z dwóch okresów. Dane w arkuszu zostały pogrupowane

właśnie według okresów. Najpierw wszystkie obiekty z okresu t potem te same obiekty z okresu

t +1. Na rysunku 6.6 widzimy ustawienia właśnie dla okresu t. Z kolei rysunek 6.7 obrazuje

w jaki sposób przygotować program do obliczenia odległości Shepharda D

t+1

), w której

6.3. DEA w środowisku R

Rysunek 6.6. Odległość D

) w EMS

Rysunek 6.7. Odległość D

t+1

) w EMS

lewa strona ograniczeń pochodzi z okresu wcześniejszego zaś prawa z późniejszego. Należy zatem

czterokrotnie użyć EMS zmieniając opcje modelu po czym na przykład w arkuszu kalkulacyjnym

obliczyć indeksy Malmquista według podanych wcześniej wzorów.

6.3. DEA w środowisku R

Program EMS jest wygodny w użyciu, ale wobec zaniechania jego rozwoju przyjdzie moment,

w którym nie będzie dało się go uruchomić bez karkołomnych operacji w systemie operacyjnym.

Dlatego zaprezentujemy jeszcze jedno narzędzie a jest nim pakiet benchmarking napisany dla śro-

dowiska obliczeniowego R. Samo środowisko to zbiór funkcji i pakietów przeznaczonych głównie

do analiz statystycznych i prognozowania udostępniane na licencji Open Source. Jednak ciągle

powiększająca się społeczność zaowocowała wieloma interesującymi pakietami napisanymi przez

użytkowników, które znacząco rozszerzają możliwości środowiska.

Wersję instalacyjną R można pobrać ze strony www.cran.r-project.org. Tam również znaj-

dziemy interesujący nas pakiet, ale można go zainstalować z poziomu konsoli programu (tzw.

6. Wykorzystanie komputera do obliczeń w metodzie DEA

Rysunek 6.8. Granica efektywności graficznie – pakiet benchmarking

RGui ). W tym celu wybieramy w menu Pakiety->Zainstaluj pakiet(y), wybieramy jeden z ser-

werów po czym na liście znajdujemy benchmarking

. Po zainstalowaniu przy pomocy poleceń

Pakiety->Załaduj pakiet... uruchamiamy nasz pakiet.

Typową cechą R i podobnych pakietów jest obsługa przy pomocy wiersza poleceń. Dlatego

właśnie podamy wybrane zestawy poleceń. Jako pierwszy rozważymy przypadek przedstawienia

metoda DEA graficznie co jest możliwe przy jednym nakładzie i jednym efekcie. Przyjrzyjmy się

następującym poleceniom:

x <− m a t r i x ( c ( 4 , 3 , 6 , 7 , 4 , 5 ) , n c o l =1 , dimnames= l i s t (LETTERS [ 1 : 6 ] , " x " ) )

y <− m a t r i x ( c ( 1 0 , 4 , 1 5 , 1 6 , 7 , 1 0 ) , n c o l =1 , dimnames= l i s t (LETTERS [ 1 : 6 ] , " y " ) )

dea . p l o t ( x , y , RTS=" v r s " ,ORIENTATION="i n −o u t " , t x t=rownames ( x ) )

dea . p l o t ( x , y , RTS=" d r s " ,ORIENTATION="i n −o u t " , add=TRUE, l t y ="dashed " , lwd =2)

dea . p l o t ( x , y , RTS=" c r s " ,ORIENTATION="i n −o u t " , add=TRUE, l t y ="d o t t e d " )

Pierwsze dwa tworzą dwie zmienne x i y, które przechowują odpowiednio poziom nakładu

oraz efektu dla sześciu obiektów. Wykorzystaliśmy w tym celu standardowe polecenia R. Funkcja

dea.plot pochodzi już jednak z pakietu benchmarking. Jako jej argumenty podajemy macie-

rze nakładów i efektów, rodzaj efektów skali i orientację. Pozostałe argumenty dotyczą efektów

graficznych. Jak widać wywołaliśmy funkcję trzykrotnie za każdym razem podając inny rodzaj

efektów skali. Efekty jej działania czyli granicę efektywności ilustruje wykres na rysunku 6.8.

Zwykle jednak nie będziemy ręcznie wprowadzać danych. R posiada duże możliwości importu

z różnych formatów, ale my ograniczymy się do plików typu .csv jako najbardziej uniwersalnych.

Następne przykłady będą bazowały na danych z książki Guzika a dotyczących oceny efektywności

funkcjonowania służby zdrowia w poszczególnych województwach. Znajdujący się poniżej listing

przedstawia polecenia służące wczytaniu danych zebranych w pliku dane_guzik97.csv. Zmienna

DaneDEA przechowuje wczytane dane. Kolejne polecenia tworzą macierze nakładów i efektów a

następnie przypisują odpowiednie nazwy kolumnom i wierszom.

DaneDEA<−r e a d . c s v 2 ( f i l e ="dane_guzik97 . c s v " , row . names =1 , h e a d e r=TRUE)

Uwaga! Na liście znajduje się również pakiet benchmark, ale służy on do innych celów.

6.3. DEA w środowisku R

x<−c b i n d ( DaneDEA$Majatek_I , DaneDEA$Lekarze_I , DaneDEA$Pielegniarki_I )

y<−c b i n d ( DaneDEA$Zdrowi_O , DaneDEA$Leczeni_O )

naklady<−c ( " Majatek " , " L e k a r z e " , " P i e l e g n i a r k i " )

e f e k t y <−c ( " Zdrowi " , " L e c z e n i " )

dimnames ( x)<− l i s t ( rownames ( x , do . NULL=FALSE, p r e f i x ="woj . " ) , n a k l a d y )

dimnames ( y)<− l i s t ( rownames ( y , do . NULL=FALSE, p r e f i x ="woj . " ) , e f e k t y )

Kolejny ciąg poleceń pozwala obliczyć zorientowany na nakłady model CCR. Służy do tego

funkcja dea, której rezultaty zostały zapamiętane w zmiennej zdrowie_ccr. Jej argumenty są

następujące: macierz nakładów, macierz efektów, RTS – rodzaj efektów skali, ORIENTATION –

orientacja modelu. Szczegółowe informacje na temat możliwych wartości tych parametrów za-

wiera podręcznik użytkownika.

z d r o w i e _ c c r <−dea ( x , y , RTS=" c r s " , ORIENTATION=" i n " )

e f f ( z d r o w i e _ c c r )

lambda ( z d r o w i e _ c c r )

p r i n t ( p e e r s ( z d r o w i e _ c c r , NAMES=TRUE) , q u o t e=FALSE)

summary ( z d r o w i e _ c c r )

Rysunek 6.9. Wartości lambd z pakietu benchmarking

Poszczególne olecenia służą wyświetlaniu poszczególnych składowych zapamiętanego rozwią-

zania. Wywołanie eff z argumentem w postaci zmiennej przechowującej wyniki optymalizacji

wyświetli wskaźniki efektywności. Jak nietrudno się domyślić komenda lambda wywoła wartości

wag intensywności. Kolumny odpowiadają obiektom efektywnym. Wiersze podają wagi inten-

sywności wykorzystania technologii dla danej jednostki decyzyjnej. Jak możemy zauważyć na

rysunku 6.9 na przykład dla województwa 5 benchmark wyznaczają województwa 7 i 14 z wagami

odpowiednio 0,1761 oraz 0,7148.

Nieco podobną funkcje pełni polecenie peers. Podaje ono po prostu listę obiektów tworzących

benchmark dla danej jednostki decyzyjnej. Z kolei summary wyświetla krótkie podsumowanie

wyników jako zestaw miar statystycznych.

Na zakończenie warto dodać, że benchmarking pozwala na obliczenie superefektywności dzięki

funkcji sdea. Jego składnia jest podobna jak przed chwilą opisanej funkcji dea.

6. Wykorzystanie komputera do obliczeń w metodzie DEA

Bibliografia

1. Feruś A. Zastosowanie metody DEA do określania poziomu ryzyka kredytowego przedsię-

biorstw, Bank i Kredyt, lipiec 2006

2. Guzik B. (2009) Podstawowe modele DEA w badaniu efektywności gospodarczej i społecznej,

Wydawnictwo Uniwersytetu Ekonomicznego w Poznaniu, Poznań

3. Mielnik M., Ławrynowicz M. Badanie efektywności technicznej banków komercyjnych w Polsce

metodą DEA, Bank i Kredyt, maj 2002

4. Miszczyńska D., Miszczyński M. Analiza danych granicznych (DEA), www.kbo.uni.lodz.pl

5. Rogowski G. (1998) Metody analizy i oceny działalności banku na potrzeby zarządzania stra-

tegicznego, wyd. Wyższa Szkoła Bankowa, Poznań

Document Outline

Podstawowe pojęcia
- Czym jest efektywność i jak ją mierzyć?
- Programowanie ilorazowe
Metoda DEA – charakterystyka i podział modeli
- Model CCR
- Inne typy modeli DEA
Wybrane typy analiz w metodzie DEA
Uwzględnianie luzów nakładów i efektów
- Nadwyżki efektów i niedobory nakładów w zadaniu standardowym
- Model z karami za luzy nakładów i efektów
Model wykorzystujący efektywność nieradialną
- Model efektywności nieradialnej
- Wybrane analizy modelu z efektywnością nieradialną
Wykorzystanie komputera do obliczeń w metodzie DEA

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Macierzowa metoda przemieszczeń przykład 2014
cwiczenie 5 amylaza oznaczanie aktywnosci enzymu metoda kolorymetryczna 05 05 2014
Metoda magnetyczna MT 14
Metoda animacji społecznej (Animacja społeczno kulturalna)
Metoda Weroniki Sherborne[1]
Metoda Ruchu Rozwijajacego Sherborne
Postmodernity and Postmodernism ppt May 2014(3)
Projet metoda projektu
Wyklad 04 2014 2015
Norma ISO 9001 2008 ZUT sem 3 2014
9 ćwiczenie 2014
METODA DENNISONA

więcej podobnych podstron

metoda DEA AKucharski 2014

Document Outline