A. Maryniak, P. Szewczyk, Macierzowa Metoda Przemieszczeń - Przykład
..........................................................................................................
imię i nazwisko studenta
METODY OBLICZENIOWE – LAB.
ZADANIE 1
Wykonać obliczenia statyczne ramy za pomocą macierzowej metody przemieszczeń.
Wyznaczyć siły wewnętrzne w prętach oraz naszkicować postać deformacji.
Obliczenia zweryfikować w programie Robot.
Schemat statyczny:
Opracowanie powinno zawierać:
1. Schemat konstrukcji z numeracją prętów i węzłów, lokalnymi układami współrzędnych,
układem globalnym, stopniami swobody konstrukcji oraz zestawienie danych o konstrukcji.
2. Wydruk obliczeń konstrukcji macierzową metodą przemieszczeń.
3. Objaśnienie zastosowanych oznaczeń, dodatkowe obliczenia oraz komentarze niezbędne do
prześledzenia toku obliczeń.
4. Rezultaty analizy: ręcznie wykonane wykresy sił wewnętrznych i zdeformowanej postaci
ramy.
5. Wydruki z programu Robot (schemat analizowanej konstrukcji, wykresy oraz tabele
z wartościami przemieszczeń i sił wewnętrznych).
P
1
=10kN
200
300
300
250
250
P
2
=20kN
P
3
=15kN
IPE400
q=25kN/m
IPE400
IPE240
IPE400
A. Maryniak, P. Szewczyk, Macierzowa Metoda Przemieszczeń - Przykład
1. Dyskretyzacja
2. Układy współrzędnych
2.1. Układ globalny
2.2. Układy lokalne
3. Stopnie swobody konstrukcji
4. Macierze cosinusów kierunkowych
5. Macierz alokacji
6. Macierz obciążeń
6.1. Macierz obciążeń węzłowych
6.2. Macierze obciążeń przęsłowych prętów w układzie lokalnym i globalnym
6.3. Agregowana macierz obciążeń przęsłowych
6.4. Macierz obciążeń przęsłowych
6.5. Ostateczna macierz obciążeń
7. Macierz sztywności
7.1. Macierze sztywności pojedynczych prętów w układzie lokalnym
7.2. Macierze sztywności pojedynczych prętów w układzie globalnym
7.3. Agregowana macierz sztywności
7.4. Ostateczna macierz sztywności
8. Nałożenie warunków brzegowych
9. Układ równań MMP
9.1. Macierz przemieszczeń konstrukcji
9.2. Agregowana macierz przemieszczeń
9.3. Macierze przemieszczeń prętów w układzie globalnym i lokalnym
10. Macierze sił
11. Wykresy
A. Maryniak, P. Szewczyk, Macierzowa Metoda Przemieszczeń - Przykład
1. Dyskretyzacja
2. Układy współrzędnych
2.1. Układ globalny
2.2. Układy lokalne
1
3
4
5
1
2
3
4
2
1
2
3
4
5
1
2
3
4
x
2
y
2
x
1
y
1
x
3
y
3
x
4
y
4
Y
X
A. Maryniak, P. Szewczyk, Macierzowa Metoda Przemieszczeń - Przykład
3. Stopnie swobody konstrukcji
4. Macierze cosinusów kierunkowych
q
1
2
q
3
q
8
9
q
10
q
14
q
15
q
16
q
11
q
12
q
13
q
4
5
q
6
q
7
Y
X
1
0
0
0
0
0
0
cos
cos
0
0
0
0
cos
cos
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
cos
cos
0
0
0
0
cos
cos
yY
yX
xY
xX
yY
yX
xY
xX
i
1
2
1
x
1
y
1
Y
X
1
0
0
0
0
0
0
0
cos
270
cos
0
0
0
0
90
cos
0
cos
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
cos
270
cos
0
0
0
0
90
cos
0
cos
1
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
A. Maryniak, P. Szewczyk, Macierzowa Metoda Przemieszczeń - Przykład
Y
X
2
3
2
x
2
y
2
1
0
0
0
0
0
0
0
cos
270
cos
0
0
0
0
90
cos
0
cos
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
cos
270
cos
0
0
0
0
90
cos
0
cos
2
2
5
3
x
3
y
3
Y
X
Y
X
3
4
4
x
4
y
4
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
270
cos
180
cos
0
0
0
0
0
cos
270
cos
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
270
cos
180
cos
0
0
0
0
0
cos
270
cos
3
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
270
cos
180
cos
0
0
0
0
0
cos
270
cos
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
270
cos
180
cos
0
0
0
0
0
cos
270
cos
4
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
A. Maryniak, P. Szewczyk, Macierzowa Metoda Przemieszczeń - Przykład
5. Macierz alokacji
=
5
1
x
1
y
1
12
2
11
=
q
3
o
11
2
3
=
5
22
=
9
23
=
q
10
o
23
=
q
8
=
q
9
U
43
V
43
3
=
q
14
=
q
15
U
44
V
44
=
q
16
o
44
=
q
5
V
32
=
q
10
o
43
=
q
8
U
23
=
q
4
U
22
=
q
7
o
22
=
q
4
U
32
=
q
6
o
32
2
=
q
11
U
35
=
q
12
V
35
=
q
13
o
35
5
=
q
4
U
12
=
q
6
o
12
2
1
=
q
1
U
11
4
2
3
4
x
2
y
2
x
3
y
3
x
4
y
4
43
43
43
44
44
44
32
32
32
35
35
35
23
23
23
22
22
22
12
12
12
11
11
11
V
U
V
U
V
U
V
U
V
U
V
U
V
U
V
U
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
A
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
A. Maryniak, P. Szewczyk, Macierzowa Metoda Przemieszczeń - Przykład
6. Macierz obciążeń
6.1. Macierz obciążeń węzłowych
6.2. Macierze obciążeń przęsłowych prętów w układzie lokalnym i globalnym
P
1
=10kN
P
2
=20kN
P
3
=15kN
q=25kN/m
q
1
2
q
3
q
8
9
q
10
q
14
q
15
q
16
q
11
q
12
q
13
q
4
5
q
6
q
7
Y
X
1
x
1
y
1
2
1
V
11
=0
V
12
=0
M
11
=0
M
12
=0
0
0
0
0
0
0
0
20
0
0
0
0
0
0
0
0
Q
w
1. Przygotowanie globalnego wektora obciążeń Q
Q = Q
W
+ Q
P
Q
W
- globalny wektor obciążeń węzłowych
Q
P
- globalny wektor obciążeń prętowych sprowadzonych do węzła
0
q
1
0
q
2
0
q
3
0
q
4
0
q
5
0
q
6
0
q
7
Q
w
=
0
q
8
-20
q
9
siła działa na kierunku stopnia swobody q
9
ale w przeciwną stronę
0
q
10
0
q
11
0
q
12
0
q
13
0
q
14
0
q
15
0
q
16
0
0
0
0
0
0
Q
1
PL
0
0
0
0
0
0
Q
1
PG
1
1
1
Q
Q
PL
T
PG
p
w
Q
Q
Q
A. Maryniak, P. Szewczyk, Macierzowa Metoda Przemieszczeń - Przykład
750
5
0
750
5
0
Q
2
PL
2
2
2
Q
Q
PL
T
PG
750
5
0
750
5
0
Q
2
PG
5
,
937
5
,
7
0
5
,
937
5
,
7
0
Q
3
PL
3
3
3
Q
Q
PL
T
PG
5
,
937
0
5
,
7
5
,
937
0
5
,
7
Q
3
PG
3
,
5208
5
,
62
0
3
,
5208
5
,
62
0
Q
4
PL
3
3
3
Q
Q
PL
T
PG
3
,
5208
0
5
,
62
3
,
5208
0
5
,
62
Q
4
PG
A. Maryniak, P. Szewczyk, Macierzowa Metoda Przemieszczeń - Przykład
6.3. Agregowana macierz obciążeń przęsłowych
6.4. Macierz obciążeń przęsłowych
4
3
2
1
Q
Q
Q
Q
Q
PG
PG
PG
PG
PAG
5208,3
-
0
62,5
-
5208,3
0
62,5
-
937,5
-
0
7,5
-
937,5
0
7,5
-
750
5
-
0
750
-
5
-
0
0
0
0
0
0
0
Q
PAG
PAG
T
P
A
Q
Q
5208,3
0
62,5
-
937,5
0
7,5
-
4458,3
-
5
-
62,5
-
750
-
937,5
-
5
-
7,5
-
0
0
0
Q
P
A. Maryniak, P. Szewczyk, Macierzowa Metoda Przemieszczeń - Przykład
6.5. Ostateczna macierz obciążeń
7. Macierz sztywności
7.1. Macierze sztywności pojedynczych prętów w układzie lokalnym
7.2. Macierze sztywności pojedynczych prętów w układzie globalnym
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EA
l
EA
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EA
l
EA
k
Li
4
6
0
2
6
0
6
12
0
6
12
0
0
0
0
0
2
6
0
4
6
0
6
12
0
6
12
0
0
0
0
0
2
2
2
3
2
3
2
2
2
3
2
3
i
Li
i
T
Gi
k
k
5208,3
0
62,5
-
937,5
0
7,5
-
4458,3
-
5
-
62,5
-
750
-
937,5
-
5
-
7,5
-
0
0
0
Q
P
0
0
0
0
0
0
0
20
0
0
0
0
0
0
0
0
Q
w
5208,3
0
62,5
-
937,5
0
7,5
-
4458,3
-
25
-
62,5
-
750
-
937,5
-
5
-
7,5
-
0
0
0
Q
P
w
Q
Q
Q
kL1
8661.25
0
0
8661.25
0
0
0
711.247
71124.75
0
711.247
71124.75
0
71124.75
9483300
0
71124.75
4741650
8661.25
0
0
8661.25
0
0
0
711.247
71124.75
0
711.247
71124.75
0
71124.75
4741650
0
71124.75
9483300
kL3
1603.1
0
0
1603.1
0
0
0
7.656
1913.88
0
7.656
1913.88
0
1913.88
637960
0
1913.88
318980
1603.1
0
0
1603.1
0
0
0
7.656
1913.88
0
7.656
1913.88
0
1913.88
318980
0
1913.88
637960
kL2
2887.083
0
0
2887.083
0
0
0
26.343
7902.75
0
26.343
7902.75
0
7902.75
3161100
0
7902.75
1580550
2887.083
0
0
2887.083
0
0
0
26.343
7902.75
0
26.343
7902.75
0
7902.75
1580550
0
7902.75
3161100
kL4
3464.5
0
0
3464.5
0
0
0
45.52
11379.96
0
45.52
11379.96
0
11379.96
3793320
0
11379.96
1896660
3464.5
0
0
3464.5
0
0
0
45.52
11379.96
0
45.52
11379.96
0
11379.96
1896660
0
11379.96
3793320
A. Maryniak, P. Szewczyk, Macierzowa Metoda Przemieszczeń - Przykład
7.3. Agregowana macierz sztywności
7.4. Ostateczna macierz sztywności
4
3
2
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
G
G
G
G
AG
k
k
k
k
K
A
K
A
K
AG
T
K
8661.25
0
0
8661.25
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
711.247
71124.75
0
711.247
71124.75
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
71124.75
9483300
0
71124.75
4741650
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
8661.25
0
0
11555.989
0
1913.88
0
2887.083
0
0
7.656
0
1913.88
0
0
0
0
711.247
71124.75
0
2340.69
71124.75
7902.75
0
26.343
7902.75
0
1603.1
0
0
0
0
0
71124.75
4741650
1913.88
71124.75
10121260
0
0
0
0
1913.88
0
318980
0
0
0
0
0
0
0
7902.75
0
3161100
0
7902.75
1580550
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2887.083
0
0
0
2932.603
0
11379.96
0
0
0
45.52
0
11379.96
0
0
0
0
26.343
0
7902.75
0
3490.843
7902.75
0
0
0
0
3464.5
0
0
0
0
0
7902.75
0
1580550
11379.96
7902.75
6954420
0
0
0
11379.96
0
1896660
0
0
0
7.656
0
1913.88
0
0
0
0
7.656
0
1913.88
0
0
0
0
0
0
0
1603.1
0
0
0
0
0
0
1603.1
0
0
0
0
0
0
0
1913.88
0
318980
0
0
0
0
1913.88
0
637960
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
45.52
0
11379.96
0
0
0
45.52
0
11379.96
0
0
0
0
0
0
0
0
3464.5
0
0
0
0
0
3464.5
0
0
0
0
0
0
0
0
11379.96
0
1896660
0
0
0
11379.96
0
3793320
kG1
8661.25
0
0
8661.25
0
0
0
711.247
71124.75
0
711.247
71124.75
0
71124.75
9483300
0
71124.75
4741650
8661.25
0
0
8661.25
0
0
0
711.247
71124.75
0
711.247
71124.75
0
71124.75
4741650
0
71124.75
9483300
kG2
2887.083
0
0
2887.083
0
0
0
26.343
7902.75
0
26.343
7902.75
0
7902.75
3161100
0
7902.75
1580550
2887.083
0
0
2887.083
0
0
0
26.343
7902.75
0
26.343
7902.75
0
7902.75
1580550
0
7902.75
3161100
kG3
7.656
0
1913.88
7.656
0
1913.88
0
1603.1
0
0
1603.1
0
1913.88
0
637960
1913.88
0
318980
7.656
0
1913.88
7.656
0
1913.88
0
1603.1
0
0
1603.1
0
1913.88
0
318980
1913.88
0
637960
kG4
45.52
0
11379.96
45.52
0
11379.96
0
3464.5
0
0
3464.5
0
11379.96
0
3793320
11379.96
0
1896660
45.52
0
11379.96
45.52
0
11379.96
0
3464.5
0
0
3464.5
0
11379.96
0
1896660
11379.96
0
3793320
A. Maryniak, P. Szewczyk, Macierzowa Metoda Przemieszczeń - Przykład
8. Nałożenie warunków brzegowych
9. Układ równań MMP
9.1. Macierz przemieszczeń konstrukcji
9.2. Agregowana macierz przemieszczeń
Q
0
0
0
7.5
5
937.5
750
62.5
25
4458.3
0
0
937.5
0
0
0
K
8661.25
0
0
8661.25
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
9483300
0
71124.75
4741650
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
8661.25
0
0
11555.989
0
1913.88
0
2887.083
0
0
0
0
1913.88
0
0
0
0
0
71124.75
0
2340.69
71124.75
7902.75
0
26.343
7902.75
0
0
0
0
0
0
0
0
4741650
1913.88
71124.75
10120000
0
0
0
0
0
0
318980
0
0
0
0
0
0
0
7902.75
0
3161100
0
7902.75
1580550
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2887.083
0
0
0
2932.603
0
11379.96
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
26.343
0
7902.75
0
3490.843
7902.75
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
7902.75
0
1580550
11379.96
7902.75
6954420
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1913.88
0
318980
0
0
0
0
0
0
637960
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
Q
q
K
Q
K
q
1
0
0
0
0,009
0
0
0,004
0,003
-
2,475
-
0,002
-
0
0,009
-
2,477
-
0
-
0
2,477
-
q
0,004
0,003
-
2,475
-
0
0
0
0
0,009
-
2,477
-
0,009
0
0
0,004
0,003
-
2,475
-
0,002
-
0,009
-
2,477
-
0
0,009
-
2,477
-
0
-
0
2,477
-
AG
q
q
A
q
AG
A. Maryniak, P. Szewczyk, Macierzowa Metoda Przemieszczeń - Przykład
9.3. Macierze przemieszczeń prętów w układzie globalnym i lokalnym
10. Macierze sił
PLi
Q
Li
Li
Li
q
k
S
0
0,009
-
2,477
-
0
-
0
2,477
-
1
G
q
0,004
0,003
-
2,475
-
0,002
-
0,009
-
2,477
-
2
G
q
0
0,009
-
2,477
-
0,009
0
0
3
G
q
0,004
0,003
-
2,475
-
0
0
0
4
G
q
Gi
i
Li
q
q
0
0,009
-
2,477
-
0
-
0
2,477
-
1
L
q
0,004
0,003
-
2,475
-
0,002
-
0,009
-
2,477
-
2
L
q
0
2,477
-
0,009
-
0,009
0
0
3
L
q
0,004
2,475
0,003
-
0
0
0
4
L
q
0,004
0,003
-
2,475
-
0
0
0
0
0,009
-
2,477
-
0,009
0
0
0,004
0,003
-
2,475
-
0,002
-
0,009
-
2,477
-
0
0,009
-
2,477
-
0
-
0
2,477
-
AG
q
kNcm
kN
kN
kNcm
kN
kN
S
L
922,51
4,613
-
0
0
4,613
0
1
kNcm
kN
kN
kNcm
kN
kN
S
L
8122,574
8,538
-
5,654
0
18,538
5,654
-
2
kNcm
kN
kN
kNcm
kN
kN
S
L
922,401
-
5,655
-
13,925
-
0
9,345
-
13,925
3
kNcm
kN
kN
kNcm
kN
kN
S
L
8122,574
-
5,654
11,462
-
25954,232
-
130,654
-
11,462
4