Politechnika Poznanska

Prowadzący ćwiczenia i konsultacje: Wydział Budownictwa, Architektury i Inżynierii Dr inż. Przemysław Litewka

Środowiska

Projekt wykonał:

Konstrukcje Budowlane i Inżynierskie, grupa 3

Projekt z Mechaniki Budowli

Krystian Paczkowski

Projekt 2 – Obliczanie ramy metodą przemieszczeń Dla układu przedstawionego poniżej należało w pierwszej części obliczyć i wykonać wykresy sił

przekrojowych powstałych od: a) obciążenia zewnętrznego

b) przemieszczeń podpór

c) zmiany

temperatury

Następnie w drugiej części korzystając z równania różniczkowego linii ugięcia przy określonych warunkach brzegowych – kąty obrotu węzłów i ich przemieszczenia, znaleźć równanie momentów zginających i sił poprzecznych, a następnie porównać otrzymany wynik z rozwiązaniem otrzymanym w punkcie 1.

Dane: I1 – dwuteownik 220 (pręty 01, 23, 34, 56) I2 – dwuteownik 280 (pręty 12, 35) I1 = I

I2 = 2,48 I

6 kN/m

u

1

2

4,0

20 kN

20 kNm

0

5

3

3,0

6

4

2,5 2,5

5,0

1,0

Oznaczam odpowiednie przemieszczenia jako: u2=Z1

φ1=Z2

φ3=Z3

Zastępuję ramę odpowiadającym jej łańcuchem kinematycznym: Obliczam kąty obrotu prętów wywołane przesuwem z1: 1

2

012→

0+ψ01*4+ψ12*0=-Z1

ψ01=-1/4*Z1

0

0123

3

→

5

0-ψ01*1+ψ12*5=0

ψ12=1/20*Z1

6

4

32→

0+ψ23*4=-Z1

ψ

23=-1/4*Z1

pozostałe

kąty są równe 0

Przyjmuję układ podstawowy:

Zapisuję równania kanoniczne: R

R1

1=0; r11Z1+r12Z2+r13Z3+r1P=0

R2=0; r21Z1+r22Z2+r32Z3+r2P=0

R2

R3=0; r31Z1+r32Z2+r33Z3+r3P=0

R3

Obliczenia kolejnych momentów na końcach prętów z wykorzystaniem wzorów transformacyjnych: 2

2EJ

⋅

2

M

:=

(

+ φ −

) 6 1

+

2EJ

⋅

01

2 φ0

1

3 ψ 01

:=

(

) 6 1

4.123

12

M

+ φ −

−

10

2 φ1

0

3 ψ 01

4.123

12

2

2

3 ⋅ 2.48EJ

⋅

3 ⋅ EJ

⋅

M

:=

(φ − ψ ) 6 5

+

:=

(φ − ψ ) 6 5

+

12

1

12

M

32

3

32

5

8

4

8

2EJ

2E

J

M

:=

(

+ φ −

)

:=

(

+ φ −

)

34

2 φ3

4

3 ψ 34

M43

2 φ4

3

3 ψ 43

3

3

1

Politechnika Poznanska

Prowadzący ćwiczenia i konsultacje: Wydział Budownictwa, Architektury i Inżynierii Dr inż. Przemysław Litewka

Środowiska

Projekt wykonał:

Konstrukcje Budowlane i Inżynierskie, grupa 3

Projekt z Mechaniki Budowli

Krystian Paczkowski

Projekt 2 – Obliczanie ramy metodą przemieszczeń 3 ⋅ EJ

M

:=

(φ − ψ ) 3

+

20 ⋅ 5

M65 = 0

35

3

35

5

16

M

:=

⋅

+

⋅

+

01

0.4851EJ

z2

0.3638EJ

z1

0.5

M

:=

⋅

+

⋅

−

01

0.9702EJ

z2

0.3638EJ

z1

0.5

M

:=

⋅

−

⋅

+

12

1.488EJ

z2

0.0744EJ

z1

18.75

M

:=

⋅

+

⋅

32

0.75EJ

z3

0.1875EJ

z1

M

:=

⋅

34

1.333EJ

z3

M

:=

⋅

43

0.667EJ

z3

M

:=

⋅

+

35

1.488EJ

z3

18.75

Stan Z1 = 1

1

 −



1

1

 −



r

+



+

+



:=

11 z1

0.1875EJ

z1

( 0.0744

−

EJ)

z1

0.3638EJ

z1

0

-0.0744EJ

4





20

4





r

r

r

:=

⋅

21

11

11

0.242495 EJ

0.3638EJ

r

−

+

:=

21 z2

0.3638EJz2

0.0744EJz2

0

0.1875

0.3638EJ

EJ

r

:=

21

0.2894EJ

r

31

r

−

:=

31 z3

0.1875EJz3

0

r

:=

31

0.1875EJ

Stan Z2 = 1

1

1

 −

1.488EJ







r

+



+ (

+



:=

12 z1

1.488 EJ

z1

0.9702

0.4851) EJ

z1

0

20





4





r

r

12

22

r

:=

0.9702EJ

12

0.2894EJ

r

−

−

:=

22 z2

0.9702EJz2

1.488EJz2

0

0.4851EJ

r32

r

:=

22

2.4582EJ

r

:=

32

0

Stan Z3 = 1

1

 −



r

+



:=

13 z1

0.75EJ

z1

0

4





r

r

13

23

r

:=

:=

13

0.1875EJ

r23

0

r

−

−

−

:=

33 z3

1.333EJz3

1.488EJz3

0.75EJz3

0

0.75EJ

r

:=

33

3.5713EJ

r33

1.488EJ

1.333EJ

0.667EJ

2

Politechnika Poznanska

Prowadzący ćwiczenia i konsultacje: Wydział Budownictwa, Architektury i Inżynierii Dr inż. Przemysław Litewka

Środowiska

Projekt wykonał:

Konstrukcje Budowlane i Inżynierskie, grupa 3

Projekt z Mechaniki Budowli

Krystian Paczkowski

Projekt 2 – Obliczanie ramy metodą przemieszczeń Stan P

↓

OA

O1B↓

65C↓

0-ψ01*0.5=vA

0-ψ01*1+ψ12*2.5=vB 0+ψ56*0+ψ35*2.5=vC

vA=1/8*Z1

vB=1/8*Z1

vC=0

30

r

r1P

B

2P

1

1

1

1

 −



r

+

⋅

+ ⋅

+

⋅ +

⋅

+ (

−



:=

1P z1

30

z1

6

z1

20 0

18.75

z1

0.5

0.5)

z1

0

-0.5

8

8

20

4





A 6

[kN]

20

r

:=

1P

5.4375

−

18.75

0.5

:=

[kNm]

r

−

− ( 0.5

−

) :=

r

0

2P

18.25

r

2P z2

18.75z2

C

3P

[kNm]

:=

r

3P

14.25

3Pz 3 + 4 z 3 − 18.75 z 3 :=

r

0

0.2325EJz1 + 0.2894EJz2 + 0.1875EJz3 – 5.4375 = 0

0.2394EJz1 + 2.4582EJz2 + 0*EJz3 + 18.25 = 0

0.2325EJz1 + 0*EJz2 + 3.5713Jz3 + 14.75 = 0

EJz1=44.332442

EJz2=-12.64332

EJz3=-6.457686

Obliczenie końcowych wartości momentów węzłowych [kNm]: M01=0.4851*(-12.64332)+0.3638*44.332442+0.5=10.494868

M10=0.9702*(-12.64332)+0.3638*44.332442-0.5=3.361693

M12=1.488*(-12.64332)-0.0744*44.332442+18.75=-3.361594

M32=0.75*(-6.457686)+0.1875*44.332442=3.469068

M34=1.333*(-6.457686)=-8.610033

M43=0.667*(-6.457686)=-4.305339

M35=1.488*(-6.457686)=9.140963

M

3.361593

3.361593

[kNm]

3.361593

3.469068

9.140963

3.469068

8.610033

10.494868

9.140963

4

8.610033

4.305339

Obliczenia sił tnących w prętach: 6

O1 ΣM0=0

3.361593

T10*4.123+3.361593-6*1*0.5+10.494868=0

T10

T10=-2.633146 [kN]

ΣM1=0

T01*4.123+10.494868+6*0.5+3.361593=0

T01

T

10.494868

01=-4,088397 [kN]

12 ΣM1=0

-3.361593-6*5*2.5+T21*5=0

T21=15.672319 [kN]

6

ΣM

3.361593

2=0

6*5*2.5+T12*5-3.361593=0

T

T

21

12

T12=-14.327681 [kN]

3

Politechnika Poznanska

Prowadzący ćwiczenia i konsultacje: Wydział Budownictwa, Architektury i Inżynierii Dr inż. Przemysław Litewka

Środowiska

Projekt wykonał:

Konstrukcje Budowlane i Inżynierskie, grupa 3

Projekt z Mechaniki Budowli

Krystian Paczkowski

Projekt 2 – Obliczanie ramy metodą przemieszczeń 23 ΣM

T

2=0

23

3.469068+T32*4=0

T32=T23=-0.867267 [kN]

T32

3.469068

15.672319

8.610033

34 ΣM

T34

+

3=0

-2.633146

-0.867267

-8.610033-

T

4.305339+T

-

43*3=0

-14.327681

T

T

[kN]

34=T43=4.305124 [kN]

-

43

4.305339

8.171807

-

35 ΣM

+

3=0

20

9.140963-20*2.5+T53*5=0

T35

-

-4.088397

T53=8.171807 [kN]

ΣY=0

+

T53

-11.828193

T53-T35-20=0

T35=-11.828193 [kN]

Obliczenia sił normalnych w prętach: α=75˚57˚49.52˚

sin α =0.970143

cos α =-0.867738

Węzeł 1: ΣY=0

-14.327681-

N12

N10*0.970143+2.633146*0.242536=0

14.327681

2.633146

N10=-14.110341 [kN]

ΣX=0

N10

-N12+N10*0.224536+2.633146*0.970143=0

N12=-0.867738 [kN]

Węzeł 2: ΣX=0

N

N

12

21=-0.867267 [kN]

ΣY=0

0.867267

N23=-15.672319 [kN]

N23

-14.110341

Węzeł 3: ΣX=0

23

N

-

0.867738

-N

0.867267

35-0.867267-4.305124=0

[kN]

-

N

N

35=-5.172391 [kN]

35

-

ΣY=0

11.828

15.672319

-N34-11.828193-15.672319=0

4.305124 N34

N34=-27.500512 [kN]

-

5.172391

8.171807

-19.931183

Węzeł 5: ΣX=0

-

N53

8.171807

-

N35=N53=-5.172391[kN]

27.500512

ΣY=0

-N56-8.171807=0

N

N56

56=-8.171807 [kN]

Siła normalna N

01:

ΣX=0

6

N10

N

2.633146

01*cosα+4.088397*sinα-2.633146*sinα-N10*cosα=0

N01*0.242536+4.088397*0.970143-2.633146*0.970143+14.110341*0.242536=0

N01=-19.931339 [kN]

ΣY=0

4.088397

N

N

01=-19.931183 [kN]

01

4

Politechnika Poznanska

Prowadzący ćwiczenia i konsultacje: Wydział Budownictwa, Architektury i Inżynierii Dr inż. Przemysław Litewka

Środowiska

Projekt wykonał:

Konstrukcje Budowlane i Inżynierskie, grupa 3

Projekt z Mechaniki Budowli

Krystian Paczkowski

Projekt 2 – Obliczanie ramy metodą przemieszczeń SPRAWDZENIE STATYCZNE:

6

20

4

5.172391

4.088397

10.494868

19.931183

4.305339

8.171807

4.305124

27.500512

ΣX=0

5.172391-4.305124-19.931183*0.242536+4.088397*0.970143=0

0.00043266932≈0

ΣY=0

-20-6*6+8.171807+27.500512+19.931183*0.970143+4.088397*0.242536=0

0.000000124≈0

ΣMC=0

-6*6*3+4-20*8.5+10.494868-4.305339+8.171807*11+27.500512*6+4+4.305124*3=0

0.002162≈0

W kontroli statycznej otrzymane wyniki są bliskie zeru, zatem obliczenia uznaję za poprawne.

5