Metoda przemieszczen obciazenie5

background image

Cz

ęść 1

PROJEKT NR 1 – OBLICZANIE RAMY METOD

Ą PRZEMIESZCZEŃ

1

1.

POLITECHNIKA POZNA

ŃSKA

Instytut Konstrukcji Budowlanych
Zakład Mechaniki Budowli

PROJEKT NR 1-OBLICZENIE RAMY METOD

Ą PRZEMIESZCZEŃ

1.1. Wpływ obci

ążenia zewnętrznego

Zadanie:

Dla układu przedstawionego na rysunku 1.1 obliczy

ć i wykonać wykresy sił przekrojowych powstałych od

obci

ążenia zewnętrznego. Dokonać odpowiednich sprawdzeń wyników.

10 kN

2 kN/m

6 kN/m

I

1

I

1

I

1

I

1

I

2

I

2

I

2

1

4

1

3

3

2

Rys.1.1. Rama statycznie niewyznaczalna

W zadaniu przyj

ęto przekroje:

I 220 ; I

1

=3060 [cm

4

]=I

I 240 ; I

2

=4250 [cm

4

]=1,389I

Okre

ślenie stopnia geometrycznej niezmienności wg zależności

SGN

=



(1.1)

gdzie:

- liczba w

ęzłów sztywnych układu (z wyłączeniem węzłów podporowych)

- liczba niezale

żnych przesuwów możliwych w układzie

Anna Zielona gr 3KBI Metoda przemieszcze

ń

AlmaMater

background image

Cz

ęść 1

PROJEKT NR 1 – OBLICZANIE RAMY METOD

Ą PRZEMIESZCZEŃ

2

Liczb

ę w.w. przesuwów określam wykorzystując łańcuch kinematyczny jak na rysunku 1.2:

Rys.1.2.Ła

ńcuch kinematyczny

Jak łatwo zauwa

żyć

=2

, natomiast

=1

st

ąd otrzymujemy:

SGN

=3

(1.2)

Aby rozpocz

ąć rozwiązywanie zadania metodą przemieszczeń w pierwszej kolejności przyjmuję odpowiedni

układ podstawowy:

10 kN

2 kN/m

6 kN/m

I

1

I

1

I

1

I

1

I

2

I

2

I

2

u

3

=z

1

R

1

u

6

=z

2

R

2

φ

4

=z

3

R

3

1

0

2

3

4

5

6

1

4

1

3

3

2

Rys.1.3.Układ podstawowy

Anna Zielona gr 3KBI Metoda przemieszcze

ń

AlmaMater

background image

Cz

ęść 1

PROJEKT NR 1 – OBLICZANIE RAMY METOD

Ą PRZEMIESZCZEŃ

3

Identyczno

ść statyczną układu podstawowego z wyjściowym zapewnia układ równań kanonicznych:

{

R

1

=0

R

2

=0

R

3

=0

}

{

r

11

z

1

r

12

z

2

r

13

z

3

R

1P

=0

r

21

z

1

r

22

z

2

r

23

z

3

R

2P

=0

r

31

z

1

r

32

z

2

r

33

z

3

R

3P

=0

}

(1.3)

Aby okre

ślić wartości współczynników r

ik

nale

ży określić wartości momentów zginających wywołanych

stanami z

1

=1, z

2

=1, z

3

=1 oraz stanem obci

ążenia rzeczywistego (siłami zewnętrznymi). W tym celu po

pierwsze nale

ży skorzystać ze wzorów transformacyjnych metody przemieszczeń umożliwiających znalezienie

momentów M

ik

jako funkcji z

1

, z

2

, z

3

, “P”.

Otrzymujemy zatem:

M

01

=

3EI

1

l

01

⋅

0



01

=

3EI

5

⋅

01

M

10

=0

[kNm]

Rys.1.4. Pr

ęt 01

M

12

=0

M

21

=0

[kNm]

Rys.1.5. Pr

ęt 12

M

14

=0

M

41

=

3EI

2

l

14

⋅

4



14



6

⋅4

2

8

=

3

⋅1,389EI

4

⋅ z

3



14

12

[kNm]

Rys.1.6. Pr

ęt 14

Anna Zielona gr 3KBI Metoda przemieszcze

ń

AlmaMater

I

1

1

0

I

1

1

2

I

2

1

4

6 kN/m

background image

Cz

ęść 1

PROJEKT NR 1 – OBLICZANIE RAMY METOD

Ą PRZEMIESZCZEŃ

4

M

23

=0

M

32

=0

[kNm]

Rys.1.7. Pr

ęt 23

M

34

=0

M

43

=

3EI

1

l

34

⋅

4



34

=EI⋅ z

3



34

[kNm]

Rys.1.8 Pr

ęt 34

M

45

=

2EI

1

l

45

⋅2 

4



5

3 

45

=

2EI

5

⋅2z

3

3 

45

M

54

=

2EI

1

l

45

⋅

4

2 

5

3 

45

=

2EI

5

⋅ z

3

3 

45

[kNm]

Rys.1.9. Pr

ęt 45

M

64

=0

M

46

=

3EI

2

l

46

⋅

4



46

=

3

⋅1,389 EI

4

⋅z

3



46

[kNm]

Rys.1.10. Pr

ęt 46

Pojawiaj

ące się wartości kątów obrotów cięciw (prętów) należy określić z równania łańcucha kinematycznego

jako funkcje niezale

żnych przesuwów (tutaj z

1

oraz z

2

):

ik

= f z

1,

z

2

= f z

1

 f z

2

(1.4)

I etap to okre

ślenie funkcji

ik

= f z

1

:

Anna Zielona gr 3KBI Metoda przemieszcze

ń

AlmaMater

I

2

2

3

2 kN/m

I

1

4

5

I

2

4

6

4

3

background image

Cz

ęść 1

PROJEKT NR 1 – OBLICZANIE RAMY METOD

Ą PRZEMIESZCZEŃ

5

z

1

Ψ

34

1

0

2

3

4

5

6

Ψ

12

Rys.1.11 Ła

ńcuch kinematyczny w stanie z

1

Jak łatwo stwierdzi

ć w tym przypadku:

12

=

34

01

=

14

=

45

=

46

=

23

=0

[rad]

(1.5)

Rozpisuj

ąc natomiast równanie łańcucha kinematycznego na drodze 0123 na kierunek poziomy otrzymujemy:

0123

 02 

01

3

12

=z

1

⇒

12

=

34

=

z

1

3

[rad]

(1.6)

II etap to okre

ślenie funkcji

ik

= f z

2

:

Ψ

12

z

2

Ψ

34

Ψ

01

Ψ

45

Ψ

14

Ψ

23

Ψ

46

Rys.1.12 Ła

ńcuch kinematyczny w stanie z

2

Rozpisuj

ę równanie łańcucha kinematycznego dla podanych niżej dróg:

Anna Zielona gr 3KBI Metoda przemieszcze

ń

AlmaMater

background image

Cz

ęść 1

PROJEKT NR 1 – OBLICZANIE RAMY METOD

Ą PRZEMIESZCZEŃ

6

546

 02

45

=z

2

⇒

45

=

z

2

2

546

 0

45

4

46

=0 ⇒

46

=

45

4

=

z

2

8

0146

 02 

01

=z

2

⇒

01

=

z

2

2

0146

 0

01

4

14

4

46

=0 ⇒

14

=

z

2

4

346

 03

34

0=z

2

⇒

34

=

z

2

3

0123

 02

01

3

12

0=0 ⇒

12

=

z

2

3

012346

 0

01

4

23

4

46

=0 ⇒

23

=

z

2

4

[rad]

(1.7)

Zestawienie

ik

= f z

1,

z

2

= f z

1

 f z

2

(z zasady superpozycji):

01

=

z

2

2

12

=

z

1

3



z

2

3

23

=

z

2

4

14

=

z

2

4

34

=

z

1

3



z

2

3

45

=

z

2

2

46

=

z

2

8

[rad]

(1.8)

St

ąd wartości momentów przęsłowych wynoszą;

Anna Zielona gr 3KBI Metoda przemieszcze

ń

AlmaMater

background image

Cz

ęść 1

PROJEKT NR 1 – OBLICZANIE RAMY METOD

Ą PRZEMIESZCZEŃ

7

M

01

3EI

5

z

2

2

M

10

=0

M

12

=0

M

21

=0

M

14

=0

M

41

=

4,167 EI

4

⋅ z

3

z

2

4

12

M

23

=0

M

32

=0

M

34

=0

M

43

=EI⋅ z

3



z

1

3

z

2

3

M

45

=

2EI

5

⋅2z

3



3
2

z

2

M

54

=

2EI

5

⋅z

3



3
2

z

2

M

64

=0

M

46

=

4,167 EI

4

⋅ z

3



z

2

8

[kNm]

(1.9)

Na podstawie wzorów 1.9 okre

ślam wartości momentów od poszczególnych stanów obciążeń:

Stan z

1

=1

1

0

2

3

4

5

6

EI
3

-EI
3

r

11

r

21

r

31

Rys.1.13. Stan z

1

=1 – M

1

(0)

Stan z

2

=1

Anna Zielona gr 3KBI Metoda przemieszcze

ń

AlmaMater

background image

Cz

ęść 1

PROJEKT NR 1 – OBLICZANIE RAMY METOD

Ą PRZEMIESZCZEŃ

8

0,671 EI

r

12

r

22

r

32

1,342 EI

0,26 EI

1,342 EI

0,13 EI

EI
3

-1,342 EI

0,26 EI

-1,342 EI

-0,13 EI

EI
3

-0,671 EI

Rys.1.14. Stan z

2

=1- M

2

(0)

Stan z

3

=1

r

13

r

23

r

33

0,894 EI

1 EI

1,042 EI

0,894 EI

1,042 EI

1,789 EI

1,042 EI

1 EI

1,789 EI

1,042 EI

Rys.1.15. Stan z

3

=1- M

3

(0)

Stan P

4

R

1P

R

3P

12

R

2P

12

24

8

10

Rys.1.16 Stan P – obci

ążenie zewnętrzne -M

P

[kNm]

Okre

ślenie współczynników r

ik

dla trzeciego równania kanonicznego a wi

ęc r

31

, r

32

, r

33

, R

3P

z wykorzystaniem

równowagi w

ęzła 4:

Anna Zielona gr 3KBI Metoda przemieszcze

ń

AlmaMater

background image

Cz

ęść 1

PROJEKT NR 1 – OBLICZANIE RAMY METOD

Ą PRZEMIESZCZEŃ

9

r

31

EI

3

Rys.1.17 Równowaga w

ęzła 4 w stanie z

1

=1

r

32

=EI

1
3

0,261,3420,13

r

32

=0,8787 EI

Rys.1.18 Równowaga w

ęzła 4 w stanie z

2

=1

r

33

=EI 1 2 ⋅1,0421,789

r

33

=4,873 EI

Rys.1.19 Równowaga w

ęzła 4 w stanie z

3

=1

R

3P

=12 [kNm]

Rys.1.20 Równowaga w

ęzła 4 w stanie P

Aby obliczy

ć pozostałe współczynniki układu równań kanonicznych r

ik

nale

ży skorzystać z zasady pracy

wirtualnej w wirtualnym stanie przemieszcze

ń.

Stan wirtualny I -

z

1

=1

Anna Zielona gr 3KBI Metoda przemieszcze

ń

AlmaMater

r

31

- EI
3

r

32

0,26 EI

-1,342 EI

-0,13 EI

EI
3

r

33

1,042 EI

1,789 EI

1,042 EI

1 EI

R

3P

12

background image

Cz

ęść 1

PROJEKT NR 1 – OBLICZANIE RAMY METOD

Ą PRZEMIESZCZEŃ

10

z

1

=1

Ψ

34

=

1

0

2

3

4

5

6

Ψ

12

=

1
3

1
3

Rys.1.21. Stan wirtualny przemieszcze

ń z

1

=1

Obliczaj

ąc pracę sił w stanie rzeczywistym z

1

=1 na przemieszczeniach wirtualnych jak na rysunku 1.21

otrzymujemy:

r

11

⋅1

1

3

⋅

EI

3

=0 ⇒r

11

=

EI

9

(1.10)

Obliczaj

ąc pracę sił w stanie rzeczywistym z

2

=1 na przemieszczeniach wirtualnych jak na rysunku 1.21

otrzymujemy:

Anna Zielona gr 3KBI Metoda przemieszcze

ń

AlmaMater

background image

Cz

ęść 1

PROJEKT NR 1 – OBLICZANIE RAMY METOD

Ą PRZEMIESZCZEŃ

11

r

12

⋅1

1

3

EI

3

=0 ⇒ r

12

EI

9

(1.11)

Obliczaj

ąc pracę sił w stanie rzeczywistym z

3

=1 na przemieszczeniach wirtualnych jak na rysunku 1.21

otrzymujemy:

r

13

⋅1

1

3

EI=0 ⇒ r

13

EI

3

(1.12)

Obliczaj

ąc pracę sił w stanie rzeczywistym P na przemieszczeniach wirtualnych jak na rysunku 1.21

otrzymujemy:

R

1P

⋅1=0 ⇒R

1P

=0 [kN ]

(1.13)

Stan wirtualny II -

z

2

=1

Rys.1.22. Stan wirtualny przemieszcze

ń

z

2

=1

Obliczaj

ąc pracę sił w stanie rzeczywistym z

1

=1 na przemieszczeniach wirtualnych jak na rysunku 1.22

otrzymujemy:

r

21

⋅1

1

3

⋅

EI

3

=0 ⇒r

11

EI

9

(1.14)

Obliczaj

ąc pracę sił w stanie rzeczywistym z

2

=1 na przemieszczeniach wirtualnych jak na rysunku 1.22

otrzymujemy:

r

22

⋅1

1

3

EI

3

0,26 EI⋅

1

4

1,3421,342 EI

1

2

0,13EI

1

8

0,671 EI

1

2

=0 ⇒r

22

=1,87 EI

(1.15)

Obliczaj

ąc pracę sił w stanie rzeczywistym z

3

=1 na przemieszczeniach wirtualnych jak na rysunku 1.22

otrzymujemy:

Anna Zielona gr 3KBI Metoda przemieszcze

ń

AlmaMater

Ψ

12

= -

1
3

z

2

=1

Ψ

34

= -

1
3

1
3

Ψ

01

=

1

1
2

Ψ

45

=

1

1

2

Ψ

14

= -

1

1

4

Ψ

23

= -

1

1
4

Ψ

46

=

1

1

8

v

A

v

B

u

1

background image

Cz

ęść 1

PROJEKT NR 1 – OBLICZANIE RAMY METOD

Ą PRZEMIESZCZEŃ

12

r

23

⋅1EI⋅

1

3

1,042EI⋅

1

4

1,7890,894EI

1
2

1,042 EI

1
8

=0 ⇒r

23

=0,8782 EI

(1.16)

Aby obliczy

ć pracę sił w stanie rzeczywistym P oprócz wirtualnych kątów obrotu prętów przedstawionych na

rysunku 1.22. musimy zna

ć również wirtualne przemieszczenia pionowe punktów A, B (punkty przyłożenia sił

wypadkowych od obci

ążenia ciągłego na prętach 14 i 23) oraz poziome przemieszczenie wirtualne węzła 1

(jako droga, na której prac

ę wykonuje pozioma siła 10 [kN]).

Warto

ści szukanych przemieszczeń wyznaczam z równania łańcucha kinematycznego:

01

 02 ⋅ 

01

= u

1

⇒ 

u

1

=2 ⋅

1

2

= 

1

012A

 0 

01

2 

23

= 

v

A

⇒ v

A

=

1

2

2 ⋅

1

4

=0

01B

 0 

01

2 

14

= 

v

B

⇒ 

v

B

=

1

2

2 ⋅

1
4

=0

(1.17)

St

ąd z zasady pracy wirtualnej:

R

2P

⋅112 ⋅

1

4

 

1

⋅10=0 ⇒ R

2P

=7 [kN ]

(1.18)

Uwzgl

ędniając powyższe wartości współczynników r

ik

układ równa

ń kanonicznych 1.3. przyjmie postać:

{

EI

9

z

1



EI

9

z

2



EI

3

z

3

=0



EI

9

z

1

1,87EI z

2

0,879 EI z

3

7=0



EI

3

z

1

0,879EI z

2

4,873 EI z

3

12=0

}

(1.19)

Rozwi

ązanie powyższego układu jest następujące:

EI z

1

=4,735

EI z

2

=2,352

EI z

3

=2,362

(1.20)

Podstawiaj

ąc wartości niewiadomych (1.20) do wzorów 1.9. otrzymam następujące wartości przęsłowych

momentów przyw

ęzłowych:

Anna Zielona gr 3KBI Metoda przemieszcze

ń

AlmaMater

background image

Cz

ęść 1

PROJEKT NR 1 – OBLICZANIE RAMY METOD

Ą PRZEMIESZCZEŃ

13

M

01

=1,578

M

10

=0

M

12

=0

M

21

=0

M

14

=0

M

41

=10,152

M

23

=0

M

32

=0

M

34

=0

M

43

=0

M

45

=7,381

M

54

=5,268

M

64

=0

M

46

=2,767

[kNm]

(1.21)

Rys.1.23. Momenty zginaj

ące w układzie statycznie niewyznaczalnym M

(n)

[kNm]

Maksymalne warto

ści momentów wynoszą:

M

max1

∣=7,381 [kNm ]

dla pr

ętów o sztywności EI

1

M

max2

∣=10,152 [kNm]

dla pr

ętów o sztywności EI

2

Wst

ępną poprawność wyników wykazuję poprzez sprawdzenie równowagi węzła 4:

10,152

2,767

7,381

Rys.1.24 Równowaga w

ęzła 4

Anna Zielona gr 3KBI Metoda przemieszcze

ń

AlmaMater

10,152

4

1,578

5,268

7,381

2,767

7,46

1,58

background image

Cz

ęść 1

PROJEKT NR 1 – OBLICZANIE RAMY METOD

Ą PRZEMIESZCZEŃ

14

M

=7,3812,76710,152=0,004 ≈0 [kNm]

(1.22)

Maj

ąc określone wartości momentów zginających na każdym pręcie układu mogę obliczyć wartości sił

tn

ących w tych prętach

M

0

=0 ⇒T

01

=T

10

=0,706 [kN ]

Rys.1.25. Pr

ęt 01

T

12

=T

21

=0 [kN]

T

34

=T

43

=0 [kN]

M

2

=0 ⇒T

32

=4 [kN]

M

3

=0 ⇒T

23

=4 [kN]

Rys.1.26. Pr

ęt 23

M

1

=0 ⇒T

41

=14,538 [kN ]

M

4

=0 ⇒T

14

=9,462 [kN ]

Rys.1.27. Pr

ęt 14

M

4

=0 ⇒T

64

=0,692 [kN ]

M

6

=0 ⇒T

46

=0,692 [kN ]

Rys.1.28. Pr

ęt 46

M

4

=0 ⇒T

54

=5,657 [kN]

T

45

=T

54

=5,657 [kN ]

Rys.1.29 Pr

ęt 45

Anna Zielona gr 3KBI Metoda przemieszcze

ń

AlmaMater

1

0

N

01

N

10

T

10

T

01

1,578

2

3

N

23

N

32

T

32

T

23

2 [kN/m]

1

4

N

14

N

41

T

41

T

14

6 [kN/m]

10,152

4

6

N

46

N

64

T

64

T

46

2,767

N

54

N

45

T

54

T

45

7,381

4

5

background image

Cz

ęść 1

PROJEKT NR 1 – OBLICZANIE RAMY METOD

Ą PRZEMIESZCZEŃ

15

Zestawiaj

ąc otrzymane wyniki otrzymuję:

4

4

-

+

+

-

9,462

14,538

+ 5,657

+

0,692

+

0,706

Rys.1.30. Siły tn

ące w układzie statycznie niewyznaczalnym T

(n)

[kN]

Wyznaczaj

ąc wartości sił normalnych występujących w zadanej ramie korzystam z równowagi węzłów.

4 [kN]

N

12

=N

21

N

34

=N

43

2

3

Rys.1.31. Równowaga w

ęzłów 2 i 3

Z równowagi w

ęzła 2:

N

12

=N

21

=4 [kN ]

(1.23)

Z równowagi w

ęzła 3:

N

34

=N

43

=4 [kN ]

(1.24)

10

4

N

14

=N

41

9,462

0,706

N

01

=N

10

α

α

1

Rys.1.32.Równowaga w

ęzła 1

Anna Zielona gr 3KBI Metoda przemieszcze

ń

AlmaMater

background image

Cz

ęść 1

PROJEKT NR 1 – OBLICZANIE RAMY METOD

Ą PRZEMIESZCZEŃ

16

Dane:

sin

=

5

5

; cos

=

2

5

5

Z równowagi w

ęzła 1:

Y

=0 :49,462N

01

cos

0,706 sin=0 ⇒N

01

=N

10

=14,698 [kN ]

X

=0 :10N

14

0,706 cos 14,698 sin=0 ⇒N

14

=N

41

=15,942 [kN ]

(1.25)

Dla pr

ęta 46 otrzymujemy:

N

46

=N

64

=0 [kN ]

(1.26)

4

15,942

14,538

0,692

N

45

=N

54

α

α

5,657

4

Rys.1.33.Równowaga w

ęzła 4

Dane:

sin

=

5

5

; cos

=

2

5

5

Z równowagi w

ęzła 4:

X

=0 :15,9425,657cos N

45sin

=0 ⇒ N

45

=N

54

=24,333 [kN]

(1.27)

Zestawiaj

ąc otrzymane wyniki otrzymuję:

Rys.1.34. Siły normalne w układzie statycznie niewyznaczalnym N

(n)

[kN]

Anna Zielona gr 3KBI Metoda przemieszcze

ń

AlmaMater

4

4 -

-

-

-

14,698

-

15,942

24,333

background image

Cz

ęść 1

PROJEKT NR 1 – OBLICZANIE RAMY METOD

Ą PRZEMIESZCZEŃ

17

Aby sprawdzi

ć poprawność uzyskanych wyników dokonuję kontroli statycznej:

10 kN

2 kN/m

6 kN/m

0,706

14,698

α

α

0,692

24,333

α

α

5,657

1,578

5,268

Rys.1.35. Kontrola statyczna-siły działaj

ące na zadany układ

X

=0 :0,706 cos14,698 sin105,657 cos 24,333 sin =0,00014 ≈0 [kN ]

Y

=0 :14,69824,333 cos 0,7065,657sin 0,6922 ⋅46 ⋅4=0,00423 ≈0 [kN ]

M

1

=0:1,5780,706⋅

5

5,2686 ⋅4 ⋅22 ⋅4 ⋅20,692 ⋅824,333cos ⋅5sin ⋅2

5,657 cos ⋅2sin ⋅5=0,0187 ≈0 [kNm]

Anna Zielona gr 3KBI Metoda przemieszcze

ń

AlmaMater

background image

Cz

ęść 1

PROJEKT NR 1 – OBLICZANIE RAMY METOD

Ą PRZEMIESZCZEŃ

18

Sprawdzenie napr

ężeń normalnych wywołanych momentami zginającymi.

Napr

ężenia określam wg zależności:

 =

M

max

I

y

z

max

 ≤

dop

Przyjmuj

ę:

dop

=19 [kN /cm

2

]

Na pr

ętach o sztywności EI

1

maksymalny moment zginaj

ący:

M

max1

∣=7,381 [kNm]=738,1 [kNcm]

dla

I

1

=3060 [cm

4

], I 220  z

max

=11 cm

st

ąd:

 =

738,1

3060

⋅11 =2,65 [

kN

cm

2

]

2,65

[

kN

cm

2

]≤19 [

kN

cm

2

]

Na pr

ętach o sztywności EI

2

maksymalny moment zginaj

ący:

M

max 2

∣=10,152 [kNm ]=1015,2 [kNcm]

dla

I

2

=4250 [cm

4

], I 240  z

max

=12 cm

st

ąd:

 =

1015,2

4250

⋅12=2,87 [

kN

cm

2

]

2,87

[

kN

cm

2

]≤19 [

kN

cm

2

]

Napr

ężenia w obu przypadkach są znacznie mniejsze od dopuszczalnych . Wniosek: kształtowniki, z których

wykonano konstrukcj

ę mogłyby mieć mniejsze przekroje.

Anna Zielona gr 3KBI Metoda przemieszcze

ń

AlmaMater


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Metoda przemieszczen- obciazenie1
Metoda przemieszczen- obciazenie3
Metoda przemieszczen obciazenie5
Metoda przemieszczen obciazeni Nieznany
Metoda przemieszczen obciazenie4
Metoda przemieszczen obciazenie3
Metoda przemieszczen obciazenie8
Metoda przemieszczen obciazenie3
Metoda przemieszczen obciazenie6
Metoda przemieszczen obciazenie2
belka obroty i przesuwy metoda przemieszczeń
Linie wpływu Metoda przemieszczeń mmp belka lw
Metoda przemieszczeń
Uproszczona metoda obliczania obciążenia cieplnego pomieszczenia
cwicz mechanika budowli metoda przemieszczen rama ugiecie
Metoda przemieszczen projekt4

więcej podobnych podstron