Cz
ęść 1
PROJEKT NR 1 – OBLICZANIE RAMY METOD
Ą PRZEMIESZCZEŃ
1
1.
POLITECHNIKA POZNA
ŃSKA
Instytut Konstrukcji Budowlanych
Zakład Mechaniki Budowli
PROJEKT NR 1-OBLICZENIE RAMY METOD
Ą PRZEMIESZCZEŃ
1.1. Wpływ obci
ążenia zewnętrznego
Zadanie:
Dla układu przedstawionego na rysunku 1.1 obliczy
ć i wykonać wykresy sił przekrojowych powstałych od
obci
ążenia zewnętrznego. Dokonać odpowiednich sprawdzeń wyników.
10 kN
2 kN/m
6 kN/m
I
1
I
1
I
1
I
1
I
2
I
2
I
2
1
4
1
3
3
2
Rys.1.1. Rama statycznie niewyznaczalna
W zadaniu przyj
ęto przekroje:
I 220 ; I
1
=3060 [cm
4
]=I
I 240 ; I
2
=4250 [cm
4
]=1,389I
Okre
ślenie stopnia geometrycznej niezmienności wg zależności
SGN
=
∑
∑
(1.1)
gdzie:
∑
- liczba w
ęzłów sztywnych układu (z wyłączeniem węzłów podporowych)
∑
- liczba niezale
żnych przesuwów możliwych w układzie
Anna Zielona gr 3KBI Metoda przemieszcze
ń
AlmaMater
Cz
ęść 1
PROJEKT NR 1 – OBLICZANIE RAMY METOD
Ą PRZEMIESZCZEŃ
2
Liczb
ę w.w. przesuwów określam wykorzystując łańcuch kinematyczny jak na rysunku 1.2:
Rys.1.2.Ła
ńcuch kinematyczny
Jak łatwo zauwa
żyć
∑
=2
, natomiast
∑
=1
st
ąd otrzymujemy:
SGN
=3
(1.2)
Aby rozpocz
ąć rozwiązywanie zadania metodą przemieszczeń w pierwszej kolejności przyjmuję odpowiedni
układ podstawowy:
10 kN
2 kN/m
6 kN/m
I
1
I
1
I
1
I
1
I
2
I
2
I
2
u
3
=z
1
R
1
u
6
=z
2
R
2
φ
4
=z
3
R
3
1
0
2
3
4
5
6
1
4
1
3
3
2
Rys.1.3.Układ podstawowy
Anna Zielona gr 3KBI Metoda przemieszcze
ń
AlmaMater
Cz
ęść 1
PROJEKT NR 1 – OBLICZANIE RAMY METOD
Ą PRZEMIESZCZEŃ
3
Identyczno
ść statyczną układu podstawowego z wyjściowym zapewnia układ równań kanonicznych:
{
R
1
=0
R
2
=0
R
3
=0
}
{
r
11
z
1
r
12
z
2
r
13
z
3
R
1P
=0
r
21
z
1
r
22
z
2
r
23
z
3
R
2P
=0
r
31
z
1
r
32
z
2
r
33
z
3
R
3P
=0
}
(1.3)
Aby okre
ślić wartości współczynników r
ik
nale
ży określić wartości momentów zginających wywołanych
stanami z
1
=1, z
2
=1, z
3
=1 oraz stanem obci
ążenia rzeczywistego (siłami zewnętrznymi). W tym celu po
pierwsze nale
ży skorzystać ze wzorów transformacyjnych metody przemieszczeń umożliwiających znalezienie
momentów M
ik
jako funkcji z
1
, z
2
, z
3
, “P”.
Otrzymujemy zatem:
M
01
=
3EI
1
l
01
⋅
0
01
=
3EI
5
⋅
01
M
10
=0
[kNm]
Rys.1.4. Pr
ęt 01
M
12
=0
M
21
=0
[kNm]
Rys.1.5. Pr
ęt 12
M
14
=0
M
41
=
3EI
2
l
14
⋅
4
14
6
⋅4
2
8
=
3
⋅1,389EI
4
⋅ z
3
14
12
[kNm]
Rys.1.6. Pr
ęt 14
Anna Zielona gr 3KBI Metoda przemieszcze
ń
AlmaMater
I
1
1
0
I
1
1
2
I
2
1
4
6 kN/m
Cz
ęść 1
PROJEKT NR 1 – OBLICZANIE RAMY METOD
Ą PRZEMIESZCZEŃ
4
M
23
=0
M
32
=0
[kNm]
Rys.1.7. Pr
ęt 23
M
34
=0
M
43
=
3EI
1
l
34
⋅
4
34
=EI⋅ z
3
34
[kNm]
Rys.1.8 Pr
ęt 34
M
45
=
2EI
1
l
45
⋅2
4
5
3
45
=
2EI
5
⋅2z
3
3
45
M
54
=
2EI
1
l
45
⋅
4
2
5
3
45
=
2EI
5
⋅ z
3
3
45
[kNm]
Rys.1.9. Pr
ęt 45
M
64
=0
M
46
=
3EI
2
l
46
⋅
4
46
=
3
⋅1,389 EI
4
⋅z
3
46
[kNm]
Rys.1.10. Pr
ęt 46
Pojawiaj
ące się wartości kątów obrotów cięciw (prętów) należy określić z równania łańcucha kinematycznego
jako funkcje niezale
żnych przesuwów (tutaj z
1
oraz z
2
):
ik
= f z
1,
z
2
= f z
1
f z
2
(1.4)
I etap to okre
ślenie funkcji
ik
= f z
1
:
Anna Zielona gr 3KBI Metoda przemieszcze
ń
AlmaMater
I
2
2
3
2 kN/m
I
1
4
5
I
2
4
6
4
3
Cz
ęść 1
PROJEKT NR 1 – OBLICZANIE RAMY METOD
Ą PRZEMIESZCZEŃ
5
z
1
Ψ
34
1
0
2
3
4
5
6
Ψ
12
Rys.1.11 Ła
ńcuch kinematyczny w stanie z
1
Jak łatwo stwierdzi
ć w tym przypadku:
12
=
34
01
=
14
=
45
=
46
=
23
=0
[rad]
(1.5)
Rozpisuj
ąc natomiast równanie łańcucha kinematycznego na drodze 0123 na kierunek poziomy otrzymujemy:
0123
02
01
3
12
=z
1
⇒
12
=
34
=
z
1
3
[rad]
(1.6)
II etap to okre
ślenie funkcji
ik
= f z
2
:
Ψ
12
z
2
Ψ
34
Ψ
01
Ψ
45
Ψ
14
Ψ
23
Ψ
46
Rys.1.12 Ła
ńcuch kinematyczny w stanie z
2
Rozpisuj
ę równanie łańcucha kinematycznego dla podanych niżej dróg:
Anna Zielona gr 3KBI Metoda przemieszcze
ń
AlmaMater
Cz
ęść 1
PROJEKT NR 1 – OBLICZANIE RAMY METOD
Ą PRZEMIESZCZEŃ
6
546
02
45
=z
2
⇒
45
=
z
2
2
546
0
45
4
46
=0 ⇒
46
=
45
4
=
z
2
8
0146
02
01
=z
2
⇒
01
=
z
2
2
0146
0
01
4
14
4
46
=0 ⇒
14
=
z
2
4
346
03
34
0=z
2
⇒
34
=
z
2
3
0123
02
01
3
12
0=0 ⇒
12
=
z
2
3
012346
0
01
4
23
4
46
=0 ⇒
23
=
z
2
4
[rad]
(1.7)
Zestawienie
ik
= f z
1,
z
2
= f z
1
f z
2
(z zasady superpozycji):
01
=
z
2
2
12
=
z
1
3
z
2
3
23
=
z
2
4
14
=
z
2
4
34
=
z
1
3
z
2
3
45
=
z
2
2
46
=
z
2
8
[rad]
(1.8)
St
ąd wartości momentów przęsłowych wynoszą;
Anna Zielona gr 3KBI Metoda przemieszcze
ń
AlmaMater
Cz
ęść 1
PROJEKT NR 1 – OBLICZANIE RAMY METOD
Ą PRZEMIESZCZEŃ
7
M
01
=
3EI
5
⋅
z
2
2
M
10
=0
M
12
=0
M
21
=0
M
14
=0
M
41
=
4,167 EI
4
⋅ z
3
z
2
4
12
M
23
=0
M
32
=0
M
34
=0
M
43
=EI⋅ z
3
z
1
3
z
2
3
M
45
=
2EI
5
⋅2z
3
3
2
⋅z
2
M
54
=
2EI
5
⋅z
3
3
2
⋅z
2
M
64
=0
M
46
=
4,167 EI
4
⋅ z
3
z
2
8
[kNm]
(1.9)
Na podstawie wzorów 1.9 okre
ślam wartości momentów od poszczególnych stanów obciążeń:
Stan z
1
=1
1
0
2
3
4
5
6
EI
3
-EI
3
r
11
r
21
r
31
Rys.1.13. Stan z
1
=1 – M
1
(0)
Stan z
2
=1
Anna Zielona gr 3KBI Metoda przemieszcze
ń
AlmaMater
Cz
ęść 1
PROJEKT NR 1 – OBLICZANIE RAMY METOD
Ą PRZEMIESZCZEŃ
8
0,671 EI
r
12
r
22
r
32
1,342 EI
0,26 EI
1,342 EI
0,13 EI
EI
3
-1,342 EI
0,26 EI
-1,342 EI
-0,13 EI
EI
3
-0,671 EI
Rys.1.14. Stan z
2
=1- M
2
(0)
Stan z
3
=1
r
13
r
23
r
33
0,894 EI
1 EI
1,042 EI
0,894 EI
1,042 EI
1,789 EI
1,042 EI
1 EI
1,789 EI
1,042 EI
Rys.1.15. Stan z
3
=1- M
3
(0)
Stan P
4
R
1P
R
3P
12
R
2P
12
24
8
10
Rys.1.16 Stan P – obci
ążenie zewnętrzne -M
P
[kNm]
Okre
ślenie współczynników r
ik
dla trzeciego równania kanonicznego a wi
ęc r
31
, r
32
, r
33
, R
3P
z wykorzystaniem
równowagi w
ęzła 4:
Anna Zielona gr 3KBI Metoda przemieszcze
ń
AlmaMater
Cz
ęść 1
PROJEKT NR 1 – OBLICZANIE RAMY METOD
Ą PRZEMIESZCZEŃ
9
r
31
=
EI
3
Rys.1.17 Równowaga w
ęzła 4 w stanie z
1
=1
r
32
=EI
1
3
0,261,3420,13
r
32
=0,8787 EI
Rys.1.18 Równowaga w
ęzła 4 w stanie z
2
=1
r
33
=EI 1 2 ⋅1,0421,789
r
33
=4,873 EI
Rys.1.19 Równowaga w
ęzła 4 w stanie z
3
=1
R
3P
=12 [kNm]
Rys.1.20 Równowaga w
ęzła 4 w stanie P
Aby obliczy
ć pozostałe współczynniki układu równań kanonicznych r
ik
nale
ży skorzystać z zasady pracy
wirtualnej w wirtualnym stanie przemieszcze
ń.
Stan wirtualny I -
z
1
=1
Anna Zielona gr 3KBI Metoda przemieszcze
ń
AlmaMater
r
31
- EI
3
r
32
0,26 EI
-1,342 EI
-0,13 EI
EI
3
r
33
1,042 EI
1,789 EI
1,042 EI
1 EI
R
3P
12
Cz
ęść 1
PROJEKT NR 1 – OBLICZANIE RAMY METOD
Ą PRZEMIESZCZEŃ
10
z
1
=1
Ψ
34
=
1
0
2
3
4
5
6
Ψ
12
=
1
3
1
3
Rys.1.21. Stan wirtualny przemieszcze
ń z
1
=1
Obliczaj
ąc pracę sił w stanie rzeczywistym z
1
=1 na przemieszczeniach wirtualnych jak na rysunku 1.21
otrzymujemy:
r
11
⋅1
1
3
⋅
EI
3
=0 ⇒r
11
=
EI
9
(1.10)
Obliczaj
ąc pracę sił w stanie rzeczywistym z
2
=1 na przemieszczeniach wirtualnych jak na rysunku 1.21
otrzymujemy:
Anna Zielona gr 3KBI Metoda przemieszcze
ń
AlmaMater
Cz
ęść 1
PROJEKT NR 1 – OBLICZANIE RAMY METOD
Ą PRZEMIESZCZEŃ
11
r
12
⋅1
1
3
⋅
EI
3
=0 ⇒ r
12
=
EI
9
(1.11)
Obliczaj
ąc pracę sił w stanie rzeczywistym z
3
=1 na przemieszczeniach wirtualnych jak na rysunku 1.21
otrzymujemy:
r
13
⋅1
1
3
⋅EI=0 ⇒ r
13
=
EI
3
(1.12)
Obliczaj
ąc pracę sił w stanie rzeczywistym P na przemieszczeniach wirtualnych jak na rysunku 1.21
otrzymujemy:
R
1P
⋅1=0 ⇒R
1P
=0 [kN ]
(1.13)
Stan wirtualny II -
z
2
=1
Rys.1.22. Stan wirtualny przemieszcze
ń
z
2
=1
Obliczaj
ąc pracę sił w stanie rzeczywistym z
1
=1 na przemieszczeniach wirtualnych jak na rysunku 1.22
otrzymujemy:
r
21
⋅1
1
3
⋅
EI
3
=0 ⇒r
11
=
EI
9
(1.14)
Obliczaj
ąc pracę sił w stanie rzeczywistym z
2
=1 na przemieszczeniach wirtualnych jak na rysunku 1.22
otrzymujemy:
r
22
⋅1
1
3
⋅
EI
3
0,26 EI⋅
1
4
1,3421,342 EI⋅
1
2
0,13EI⋅
1
8
0,671 EI⋅
1
2
=0 ⇒r
22
=1,87 EI
(1.15)
Obliczaj
ąc pracę sił w stanie rzeczywistym z
3
=1 na przemieszczeniach wirtualnych jak na rysunku 1.22
otrzymujemy:
Anna Zielona gr 3KBI Metoda przemieszcze
ń
AlmaMater
Ψ
12
= -
1
3
z
2
=1
Ψ
34
= -
1
3
1
3
Ψ
01
=
1
1
2
Ψ
45
=
1
1
2
Ψ
14
= -
1
1
4
Ψ
23
= -
1
1
4
Ψ
46
=
1
1
8
v
A
v
B
u
1
Cz
ęść 1
PROJEKT NR 1 – OBLICZANIE RAMY METOD
Ą PRZEMIESZCZEŃ
12
r
23
⋅1EI⋅
1
3
1,042EI⋅
1
4
1,7890,894EI⋅
1
2
1,042 EI⋅
1
8
=0 ⇒r
23
=0,8782 EI
(1.16)
Aby obliczy
ć pracę sił w stanie rzeczywistym P oprócz wirtualnych kątów obrotu prętów przedstawionych na
rysunku 1.22. musimy zna
ć również wirtualne przemieszczenia pionowe punktów A, B (punkty przyłożenia sił
wypadkowych od obci
ążenia ciągłego na prętach 14 i 23) oraz poziome przemieszczenie wirtualne węzła 1
(jako droga, na której prac
ę wykonuje pozioma siła 10 [kN]).
Warto
ści szukanych przemieszczeń wyznaczam z równania łańcucha kinematycznego:
01
02 ⋅
01
= u
1
⇒
u
1
=2 ⋅
1
2
=
1
012A
0
01
2
23
=
v
A
⇒ v
A
=
1
2
2 ⋅
1
4
=0
01B
0
01
2
14
=
v
B
⇒
v
B
=
1
2
2 ⋅
1
4
=0
(1.17)
St
ąd z zasady pracy wirtualnej:
R
2P
⋅112 ⋅
1
4
1
⋅10=0 ⇒ R
2P
=7 [kN ]
(1.18)
Uwzgl
ędniając powyższe wartości współczynników r
ik
układ równa
ń kanonicznych 1.3. przyjmie postać:
{
EI
9
z
1
EI
9
z
2
EI
3
z
3
=0
EI
9
z
1
1,87EI z
2
0,879 EI z
3
7=0
EI
3
z
1
0,879EI z
2
4,873 EI z
3
12=0
}
(1.19)
Rozwi
ązanie powyższego układu jest następujące:
EI z
1
=4,735
EI z
2
=2,352
EI z
3
=2,362
(1.20)
Podstawiaj
ąc wartości niewiadomych (1.20) do wzorów 1.9. otrzymam następujące wartości przęsłowych
momentów przyw
ęzłowych:
Anna Zielona gr 3KBI Metoda przemieszcze
ń
AlmaMater
Cz
ęść 1
PROJEKT NR 1 – OBLICZANIE RAMY METOD
Ą PRZEMIESZCZEŃ
13
M
01
=1,578
M
10
=0
M
12
=0
M
21
=0
M
14
=0
M
41
=10,152
M
23
=0
M
32
=0
M
34
=0
M
43
=0
M
45
=7,381
M
54
=5,268
M
64
=0
M
46
=2,767
[kNm]
(1.21)
Rys.1.23. Momenty zginaj
ące w układzie statycznie niewyznaczalnym M
(n)
[kNm]
Maksymalne warto
ści momentów wynoszą:
∣M
max1
∣=7,381 [kNm ]
dla pr
ętów o sztywności EI
1
∣M
max2
∣=10,152 [kNm]
dla pr
ętów o sztywności EI
2
Wst
ępną poprawność wyników wykazuję poprzez sprawdzenie równowagi węzła 4:
10,152
2,767
7,381
Rys.1.24 Równowaga w
ęzła 4
Anna Zielona gr 3KBI Metoda przemieszcze
ń
AlmaMater
10,152
4
1,578
5,268
7,381
2,767
7,46
1,58
Cz
ęść 1
PROJEKT NR 1 – OBLICZANIE RAMY METOD
Ą PRZEMIESZCZEŃ
14
∑
M
=7,3812,76710,152=0,004 ≈0 [kNm]
(1.22)
Maj
ąc określone wartości momentów zginających na każdym pręcie układu mogę obliczyć wartości sił
tn
ących w tych prętach
∑
M
0
=0 ⇒T
01
=T
10
=0,706 [kN ]
Rys.1.25. Pr
ęt 01
T
12
=T
21
=0 [kN]
T
34
=T
43
=0 [kN]
∑
M
2
=0 ⇒T
32
=4 [kN]
∑
M
3
=0 ⇒T
23
=4 [kN]
Rys.1.26. Pr
ęt 23
∑
M
1
=0 ⇒T
41
=14,538 [kN ]
∑
M
4
=0 ⇒T
14
=9,462 [kN ]
Rys.1.27. Pr
ęt 14
∑
M
4
=0 ⇒T
64
=0,692 [kN ]
∑
M
6
=0 ⇒T
46
=0,692 [kN ]
Rys.1.28. Pr
ęt 46
∑
M
4
=0 ⇒T
54
=5,657 [kN]
T
45
=T
54
=5,657 [kN ]
Rys.1.29 Pr
ęt 45
Anna Zielona gr 3KBI Metoda przemieszcze
ń
AlmaMater
1
0
N
01
N
10
T
10
T
01
1,578
2
3
N
23
N
32
T
32
T
23
2 [kN/m]
1
4
N
14
N
41
T
41
T
14
6 [kN/m]
10,152
4
6
N
46
N
64
T
64
T
46
2,767
N
54
N
45
T
54
T
45
7,381
4
5
Cz
ęść 1
PROJEKT NR 1 – OBLICZANIE RAMY METOD
Ą PRZEMIESZCZEŃ
15
Zestawiaj
ąc otrzymane wyniki otrzymuję:
4
4
-
+
+
-
9,462
14,538
+ 5,657
+
0,692
+
0,706
Rys.1.30. Siły tn
ące w układzie statycznie niewyznaczalnym T
(n)
[kN]
Wyznaczaj
ąc wartości sił normalnych występujących w zadanej ramie korzystam z równowagi węzłów.
4 [kN]
N
12
=N
21
N
34
=N
43
2
3
Rys.1.31. Równowaga w
ęzłów 2 i 3
Z równowagi w
ęzła 2:
N
12
=N
21
=4 [kN ]
(1.23)
Z równowagi w
ęzła 3:
N
34
=N
43
=4 [kN ]
(1.24)
10
4
N
14
=N
41
9,462
0,706
N
01
=N
10
α
α
1
Rys.1.32.Równowaga w
ęzła 1
Anna Zielona gr 3KBI Metoda przemieszcze
ń
AlmaMater
Cz
ęść 1
PROJEKT NR 1 – OBLICZANIE RAMY METOD
Ą PRZEMIESZCZEŃ
16
Dane:
sin
=
5
5
; cos
=
2
5
5
Z równowagi w
ęzła 1:
∑
Y
=0 :49,462N
01
cos
0,706 sin=0 ⇒N
01
=N
10
=14,698 [kN ]
∑
X
=0 :10N
14
0,706 cos 14,698 sin=0 ⇒N
14
=N
41
=15,942 [kN ]
(1.25)
Dla pr
ęta 46 otrzymujemy:
N
46
=N
64
=0 [kN ]
(1.26)
4
15,942
14,538
0,692
N
45
=N
54
α
α
5,657
4
Rys.1.33.Równowaga w
ęzła 4
Dane:
sin
=
5
5
; cos
=
2
5
5
Z równowagi w
ęzła 4:
∑
X
=0 :15,9425,657cos N
45sin
=0 ⇒ N
45
=N
54
=24,333 [kN]
(1.27)
Zestawiaj
ąc otrzymane wyniki otrzymuję:
Rys.1.34. Siły normalne w układzie statycznie niewyznaczalnym N
(n)
[kN]
Anna Zielona gr 3KBI Metoda przemieszcze
ń
AlmaMater
4
4 -
-
-
-
14,698
-
15,942
24,333
Cz
ęść 1
PROJEKT NR 1 – OBLICZANIE RAMY METOD
Ą PRZEMIESZCZEŃ
17
Aby sprawdzi
ć poprawność uzyskanych wyników dokonuję kontroli statycznej:
10 kN
2 kN/m
6 kN/m
0,706
14,698
α
α
0,692
24,333
α
α
5,657
1,578
5,268
Rys.1.35. Kontrola statyczna-siły działaj
ące na zadany układ
∑
X
=0 :0,706 cos14,698 sin105,657 cos 24,333 sin =0,00014 ≈0 [kN ]
∑
Y
=0 :14,69824,333 cos 0,7065,657sin 0,6922 ⋅46 ⋅4=0,00423 ≈0 [kN ]
∑
M
1
=0:1,5780,706⋅
5
5,2686 ⋅4 ⋅22 ⋅4 ⋅20,692 ⋅824,333cos ⋅5sin ⋅2
5,657 cos ⋅2sin ⋅5=0,0187 ≈0 [kNm]
Anna Zielona gr 3KBI Metoda przemieszcze
ń
AlmaMater
Cz
ęść 1
PROJEKT NR 1 – OBLICZANIE RAMY METOD
Ą PRZEMIESZCZEŃ
18
Sprawdzenie napr
ężeń normalnych wywołanych momentami zginającymi.
Napr
ężenia określam wg zależności:
=
∣M
max
∣
I
y
⋅z
max
≤
dop
Przyjmuj
ę:
dop
=19 [kN /cm
2
]
Na pr
ętach o sztywności EI
1
maksymalny moment zginaj
ący:
∣M
max1
∣=7,381 [kNm]=738,1 [kNcm]
dla
I
1
=3060 [cm
4
], I 220 z
max
=11 cm
st
ąd:
=
738,1
3060
⋅11 =2,65 [
kN
cm
2
]
2,65
[
kN
cm
2
]≤19 [
kN
cm
2
]
Na pr
ętach o sztywności EI
2
maksymalny moment zginaj
ący:
∣M
max 2
∣=10,152 [kNm ]=1015,2 [kNcm]
dla
I
2
=4250 [cm
4
], I 240 z
max
=12 cm
st
ąd:
=
1015,2
4250
⋅12=2,87 [
kN
cm
2
]
2,87
[
kN
cm
2
]≤19 [
kN
cm
2
]
Napr
ężenia w obu przypadkach są znacznie mniejsze od dopuszczalnych . Wniosek: kształtowniki, z których
wykonano konstrukcj
ę mogłyby mieć mniejsze przekroje.
Anna Zielona gr 3KBI Metoda przemieszcze
ń
AlmaMater