Mat. Statystyka. Wykład 4 c.d. R. Rempała Materiały dydaktyczne

1

Wykłady 4.c.d.

Funkcje charakterystyczne

wielowymiarowych zm. los

.,

średnia i wariancja z próby losowej w modelu normalnym, rozkłady

2



c.d.,

rozkłady t-Studenta, rozkłady F-Snedecora.

Funkcje charakterystyczne wielowymiarowych zmiennych losowych

W

poprzednim

wykładzie

mówiliśmy

jedynie

o

funkcjach

charakterystycznych jednowymiarowych zmiennych losowych. Obecnie
podamy definicję i podstawowe własności funkcji charakterystycznych w
przypadku wektorów losowych.

D e f i n i c j a . Funkcją charakterystyczną wektora losowego

n

R

:

X





nazywamy przekształcenie

C

R

:

n

X





, dane wzorem

n

X

,

t

i

X

R

t

,

Ee

)

t

(







,

gdzie X=(X

1

, X

2

, …, X

n

) oraz t=(t

1

, t

2

, …, t

n

), a symbol <·,·> oznacza euklidesowy

iloczyn skalarny.

Własności funkcji charakterystycznej wektora losowego X=(X

1

, X

2

, …, X

n

)

Niech X=(X

1

, X

2

, …, X

n

) będzie wektorem losowym, t=(t

1

, t

2

, …, t

n

)

n

R



. Wówczas funkcja charakterystyczna





n

2

1

X

t

,...,

t

,

t



ma

następujące własności:

i)





1

0

,...,

0

,

0

X





;

ii)









n

n

2

1

n

2

1

X

R

t

,...,

t

,

t

1

t

,...,

t

,

t









;

iii)









n

2

1

X

n

2

1

X

t

,...,

t

,

t

t

,...,

t

,

t









;

iv)





 

1

X

1

X

t

0

,...,

0

,

t

1







,

gdzie

 

1

X

t

1



,

to

funkcja

charakterystyczna zmiennej losowej X

1

.

Dowody w przypadkach i)- iii) są podobne do jednowymiarowych.
Własnośd iv) jest konsekwencją definicji. Mamy bowiem





 

1

X

X

it

X

,

t

i

1

X

t

Ee

Ee

0

,...,

0

,

t

1

1

1











Mat. Statystyka. Wykład 4 c.d. R. Rempała Materiały dydaktyczne

2

Przytoczymy teraz twierdzenie, które wskazuje na związek niezależności
zmiennych losowych z iloczynem funkcji charakterystycznej.

T w i e r d z e n i e 4 . 1 ( O z w i ą z k u F . C h. z ni e za l eż no ś ci ą z mi e n ny ch )
Zmienne losowe X

1

, X

2

, …, X

n

są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy









 

 

 

n

X

2

X

1

X

n

2

1

X

,...,

X

,

X

t

...

t

t

t

,...,

t

,

t

n

2

1

n

2

1

















. (*)

Dowód. Z niezależności zmiennych wynika już równośd (*). Wystarczy
skorzystad z faktu, że wartośd oczekiwana iloczynu zm. los.

n

,

,

2

,

1

i

,

e

i

i

X

it





jest iloczynem wartości oczekiwanych tych zmiennych.

Mamy więc

)

t

(

)

t

(

)

Ee

Ee

Ee

)

e

e

e

(

E

Ee

)

t

,

,

t

(

,

,

n

n

X

1

1

X

n

X

n

it

2

X

2

it

1

X

1

it

n

X

n

it

2

X

2

it

1

X

1

it

)

n

X

n

t

1

X

1

t

(

i

n

1

)

n

X

1

X

(

































Dowód wynikania w przeciwną stronę pomijamy.

Twierdzenie jest ważne, ponieważ daje jeszcze jedną charakteryzację
niezależności zmiennych.

Próba losowa c.d.



Niech

n

2

1

X

,

,

X

,

X



będzie próbą losową prostą pochodzącą z

pewnego rozkładu (czasami nazywanego rozkładem
teoretycznym). W wykładzie występują tylko próby losowe
proste. Zatem przymiotnik prosta bardzo często pomijamy.



Przypominamy: Określenie próba losowa prosta oznacza, iż
tworzące ją zm. los. są niezależne i mają takie same rozkłady
jak ten rozkład , z którego pochodzi próba. Można założyd (i taki
założenie wprowadziliśmy), że zmienne tworzące próbę
określone są na tej samej przestrzeni probabilistycznej.

Mat. Statystyka. Wykład 4 c.d. R. Rempała Materiały dydaktyczne

3

Modele normalne

Definicja. Mówimy, że model statystyczny jest normalny jeśli
wiadomo, że próba losowa pochodzi z rozkładu normalnego.

Najważniejsze Statystyki w modelu normalnym

Założenie. Niech

n

2

1

X

,

,

X

,

X



będzie próbą prostą pochodzącą z

rozkładu N(





,

).

a)

Rozkład średniej:

)

X

X

X

(

n

1

X

n

2

1











Wiemy, z poprzednich rozważao, że przy założeniach normalności
średnia arytmetyczna







n

1

i

i

X

n

1

X

ma rozkład normalny

)

n

,

(

N





Standaryzacja prowadzi więc do zmiennej

n

X

U









, która ma rozkład

)

1

,

0

(

N

.

Wykorzystaliśmy fakt, znany z rachunku prawdopodobieostwa, że
suma niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie normalnym ma
rozkład normalny. Parametry rozkładu łatwo wyliczyd wykorzystując
własności wartości oczekiwanej i wariancji.

Rys.

(Por.J.Podgórski

.

Statystyka

dla studiów licencjackich.

PWE.2001str.170

).

Na rysunku

m =

)

X

(

E

Mat. Statystyka. Wykład 4 c.d. R. Rempała Materiały dydaktyczne

4

b) Rozkład Chi-kwadrat z - stopniami swobody:

2



( ).

Przypominamy definicję i podstawowe własności

Definicja.

2



( ) jest to rozkład zmiennej losowej







k

1

i

2

i

X

Y

, gdzie

k

,

,

2

,

1

i

X

i





są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie

N(0,1).

Stwierdzenia 4.1.

Rozkład

2



(k ) jest rozkładem Gamma

)

p

,

a

(

dla

.

2

/

k

p

,

2

/

1

a





Dowód był podany na poprzednim wykładzie.



Przypominamy: gęstość prawdopodobieństwa dla rozkładu

Gamma (

)

p

,

a

ma postać

f(y)=

.

0

p

,

0

a

;

0

y

,

e

y

)

p

(

a

ay

1

p

p













0

p

,

e

x

)

p

(

0

x

1

p















.

Wartośd oczekiwana i wariancja są wyrażone przez parametry w

następująco: E(Y) =

a

/

p

, Var (Y)=

2

a

/

p

.

Zatem mamy następujący wniosek wynikający z własności
rozkładu Gamma.

Wniosek 4.1. Wartość oczekiwana i wariancja zm. los. Y o rozkładzie

2



(

) przyjmują następujące wartości: E(Y)= , Var (Y)=2 .

Mat. Statystyka. Wykład 4 c.d. R. Rempała Materiały dydaktyczne

5

Przykłady gęstości rozkładów chi-kwadrat z stopniami swobody

Ważnymi statystykami w modelu normalnym są wariancje z próby.

Zajmiemy się rozkładami wariancji i ich relacjami ze średnią z próby.

(Przypominamy:



















n

1

i

2

i

2

n

1

i

2

i

2

)

)

X

X

(

n

1

S

ˆ

,

)

X

X

(

1

n

1

S

.

Twierdzenie. 4.2 W modelu normalnym

X

i

2

S

są niezależnymi

zmiennymi losowymi z następującymi rozkładami

X

~

)

n

,

(

N





2

2

S

1

n





~

2



(n-1)

Dowód pomijamy.

Rys. Gęstości rozkładów

)

k

(

2



.

Niech

X

1

,X

2

,…X

n

będzie próbą losową z

N(

Rozkłady asymetryczne.

Kształt gęstości zależy od

liczby stopni swobody.

Przy dużej liczbie stopni

swobody, rozkłady zbliżają się

do rozkładu normalnego.

Mat. Statystyka. Wykład 4 c.d. R. Rempała Materiały dydaktyczne

6

Uwaga. Zauważmy, że zarówno

X

jak i

2

S

są wyznaczone przez tę

samą próbę losową. Fakt niezależności statystyk, nie jest
oczywisty. Istotne jest tu założenie, iż próba pochodzi z rozkładu
normalnego.

Parametry statystyki S

2

Stwierdzenie 4.2:

2

2

)

S

(

E





,

Var

(

2

S

)=

1

n

2

4





.

Dowód. Na mocy Twierdzenia 4.2,

2

2

S

1

n





~

2



(n-1). Z kolei z

Wniosku 4.1 wynika, że E(

2

2

S

1

n





)=

1

n

)

S

(

E

1

n

2

2









. Z ostatniej

równości mamy więc:

2

2

)

S

(

E





.

Rozumując podobnie otrzymujemy:

Var (

2

2

S

1

n





) =

)

1

n

(

2

)

S

(

Var

)

1

n

(

2

4

2









) zatem Var (

2

S

)=

1

n

2

4





.

Wniosek 4.2. Ze związku

2

2

S

n

1

n

S

ˆ





otrzymujemy natychmiast

oraz

n

1

n

)

S

(

E

n

1

n

)

S

ˆ

(

E

)

a

2

2

2











2

4

4

2

2

2

2

2

2

n

)

1

n

(

2

1

n

2

n

)

1

n

(

)

S

(

Var

n

)

1

n

(

)

S

ˆ

(

Var

)

b



















,

c)

X

i

2

Sˆ są niezależnymi zm. los.

Mat. Statystyka. Wykład 4 c.d. R. Rempała Materiały dydaktyczne

7

c) Rozkład t-Studenta z

-stopniami swobody, t( )

Definicja. Rozkład t-Studenta z



stopniami swobody jest to rozkład

zmiennej losowej

T =



/

Y

Z

,

gdzie Z i Y są niezależnymi zmiennymi losowymi , Z o rozkładzie
N(0,1), Y o rozkładzie Chi-kwadrat z



-stopniami swobody.

(Zapis T

~t(



)) .

Stwierdzenie 4.3. Statystyka

S

/

)

X

(

n





ma rozkład t-Studenta z

(n-1) stopniami swobody.

Rozkłady t-Studenta są

indeksowane liczbą stopni

swobody

.



Są symetryczne względem

prostej t = 0.

Zwyczajowo wartości

oznacza się literą „t”.

Każdy rozkład ma gestośd

podobną do krzywej

Gaussa ze średnią zero. Przy dużych



gęstości zbliżają się do gęstości N(0,1).

Var(T) =

)

2

/(







.

Rys. Szkice gęstości rozkładów t-Studenta

Mat. Statystyka. Wykład 4 c.d. R. Rempała Materiały dydaktyczne

8

Dowód jest wnioskiem z Twierdzenia 4.2 i definicji statystyki
t-Studenta.

Niech Z =





n

)

X

(



i niech Y=

2

2

S

1

n





. Mamy więc

T =





n

)

X

(



:

S

/

)

X

(

n

S

)

1

n

(

1

n

2

2













.

Zatem statystyka

S

/

)

X

(

n





ma rozkład t-Studenta z (n-1)

stopniami swobody.

d) Rozkład F Snedecora z k i m stopniami swobody

Jest to rozkład zm. los.

m

/

U

k

/

Y

R



, gdzie Y i U są niezależne

Y

~

2



(k) i U

~

2



(m)

Zapis R

~ F(k,m). E(R) nie istnieje dla m , natomiast dla m>2

E(R)= m/(m-2). Rozkład jest stablicowany.

e) Model dwu próbek

Załóżmy, że mamy dwie niezależne próby losowe

n

2

1

X

,

,

X

,

X



i

m

2

1

Y

,

,

Y

,

Y



gdzie X

i

~ N(

)

,

X

X





Y

i

~ N(

)

,

Y

Y





Niech statystyki

2

X

S

i

,

X

będą określone dla próby

,

X

,

,

X

,

X

n

2

1



natomiast statystyki

2

Y

S

i

,

Y

dla próby

m

2

1

Y

,

,

Y

,

Y



.

Mat. Statystyka. Wykład 4 c.d. R. Rempała Materiały dydaktyczne

9

Zatem





2

X

2

Y

2

Y

2

X

2

Y

2

Y

2

X

2

X

S

S

)

1

m

(

S

)

1

m

(

1

n

S

)

1

n

(



















~F(n-1,m-1) .

Jeśli założymy, że

2

Y

2

X



 

, to

2

Y

2

X

S

/

S

~F(n-1,m-1), co jest

pomocne przy testach weryfikujących równośd wariancji w
rozkładach normalnych.

Jeśli założymy, że

2

Y

2

X



 

to

2

Y

2

X

S

/

S

~F(n-1,m-1) co jest pomocne

przy testach weryfikujących równośd wariancji w rozkładach, z

których pochodzą próby. Zauważmy, że przy założeniu

2

Y

2

X



 

iloraz

2

x

2

y

S

/

S

~F(m-1,n-1)

Ogólnie

Jeżeli

m

/

U

k

/

Y

R



, gdzie Y i U są niezależne, Y

~

2



(k), U

~

2



(m),

to na mocy definicji R

~ F(k,m). Zatem 1/R=

.

k)

F(m,

~

k

/

Y

m

/

U

Niech F

(

będzie kwantylem rzędu

z rozkładu F(k,m).

Oznacza to, że

P(R

=

, a więc P(1/

co znaczy, że

P(1/R 1/ 1-

Tak więc 1/

jest kwantylemrzędu 1- z rozkładu

k)

F(m,

.

Mamy ostatecznie następujący związek

1/ .