ROZŁOŻENIE O MINIMALNYM KOSZCIE

Zakładamy istnienie w systemie transportowym jednego elementu aktywnego, którego celem działania jest takie wykorzystanie wyposażenia systemu, żeby koszt realizacji zapotrzebowania na przewóz był minimalny.

Działanie to prezentuje centralny, dla całego systemu punkt widzenia

Działanie takie nazywamy planowaniem ruchu a wynik działania (decyzję) planem ruchu

Przy założeniu, że ruch pojazdów odbywa się według planu, planowanie ruchu staje się metodą organizowania ruchu a plan ruchu opisem organizacji ruchu.

Koszt jako kryterium oceny jakości organizacji ruchu może być wyrażony w liczbie jednostek:

-czasu

- zatrudnienia elementów wyposażenia np., pojazdogodzin, pojazdokilometrów

-:pracy” przewozowej np. bruttotonokilometrów „paskm”

- pieniężnych złotówek

Koniecznych dla realizacji danego zapotrzebowania na przewóz przy danym wyposażeniu systemu.

Na organizację ruchu nakładane są warunki i ograniczenia wynikające z :

-celu działania np. realizacji całego zapotrzebowania na przewóz przez system transportowy.

-celu wyposażenia np. przepustowości dróg, pojemności stacji, liczby i ładowności pojazdów

-założonej jakości transportu np. terminowości, częstości, czasu dostawy (Just-in-time).

Problem organizowania ruchu można odnieść do

Całego systemu transportowego lub jego wydzielonej części np. stacji, linii, rejonu, traktując te część jako system transportowy

Statycznym modelem organizowania ruchu w systemie transportowym jest zadanie rozłożenia potoku ruchu w sieci transportowej

W modelu tym odwzorowaniem są warunki, ograniczenia i kryteria oceny jakości rozwiązania w zakresie umożliwiającym osiągnięcie celu zaplanowanych badań.

Dla kryterium prezentującego centralny dla całego systemu transportowego punkt widzenia, optymalnym rozłożeniem potoku ruchu jest rozłożenie o minimalnym koszcie realizacji zapotrzebowania na przewóz.

Korzystając z oznaczeń wprowadzonych w poprzednio, zadanie rozłożenia potoku ruchu w ogólnej postaci sformułujemy przy założeniach:

1. Dane jest zapotrzebowanie na przewóz z dokładnością do wartości liczbowych.

2. dane są koszty przewozu drogami systemu transportowego z dokładnością do wartości funkcji wiążących koszt przewozu z intensywnością potoku ruchu.

3. Ruch pojazdów odbywa się drogami systemu transportowego wyznaczonymi przez plan ruchu.

4. Wybór dróg przewozu jest działaniem centralnym, zgodnym z kryterium „maksimum korzyści” albo „minimum kosztu” systemu transportowego jako całości.

5. Jednorodny potok ruchu pojazdów ładownych

6. Ściśle jednorodny potok ruchu pojazdów próżnych

7. Zapotrzebowanie na przewóz wyrażone bezpośrednio w liczbie pojazdów.

Założenie (1) nie przesądza sposobu dojścia do wartości liczbowych

W rzeczywistości zapotrzebowanie na przewóz jest zmienne w czasie i to zarówno w odniesieniu do pojedynczego cyklu jak i kolejnych cykli działania systemu transportowego np. kolejnych dób.

Problemem prognozowania zapotrzebowania jest odrębnym zagadnieniem.

W modelach statycznych naturalnie jest dążenie do operowania wartościami uśrednionymi, tak żeby poszukiwane rozwiązanie sprawdzało się w przeciętnych warunkach.

Założenie (2) nie przeszkadza sposobu dojścia do wartości funkcji wiążącej koszt przewozu z wielkością potoku ruchu. Czynniki istotne omawiano poprzednio.

W rzeczywistości charakterystyki dróg, charakterystyki pojazdów oraz własności potoku ruchu są zmienne w czasie. Tak więc funkcję wymienioną w założeniu (2) traktujemy jako uśrednioną agregującą rzeczywiste własności drogi i potoku ruchu.

Przy założeniach (5), (6), (7) zapotrzebowanie na przewóz wyznacza jednoznacznie liczbę pojazdów ładownych w źródłach oraz liczbę pojazdów próżnych ujściach sieci transportowej.

Pojazdy próżne są przemieszczane z ujść do źródeł sieci transportowej drogami o najniższym koszcie zapewniając pokrycie zapotrzebowania źródeł. Pojazdy próżne nie są adresowane do określonych źródeł potoku ruchu.

1. Ogólna postać zadania rozłożenia potoku ruchu sformułujemy jak niżej:

Dla danych <W,L>, [cij(.),[xab] obliczyć [xij] spełniające:

- warunki realizacji znp

Dla wszystkich <a,b>
- przejazdy ładowne

Dla wszystkich a należących do A	Przejazdy próżne
Dla wszystkich b należących do B

warunki NP. (nieujemności), AP (addytywności), ZP (warunki (równania) zachowania potoku ruchu),

- kryterium

Pierwszy warunek dotyczy potoku ruchu pojazdów ładownych. Dla potoku jednorodnego źródła a należącego do A związane są z ujściami b należących do B relacjami przewozu <a,b>.

Wygodnie jest formułować ten warunek operując drogami p należących do
, łączącymi węzły a,b oraz potokami ruchu
przepływającymi tymi…..

W celu usunięcia ewentualnych sprzeczności w rozłożeniu potoku ruchu w sieci transportowej możliwe jest

Ograniczenia sieci transportowej wyrażone w postaci funkcji cij(xij) ( przy omówieniu kosztów przewozu) wprowadzone zostały bezpośrednio do funkcji kryterium.

W wielu przypadkach wygodne jest wyrażenie funkcji kryterialnej, operując drogami w sieci transportowej

min

Pierwszy człon funkcji kryterium odpowiada kosztowi przemieszczenia pojazdów ładownych.

Wartość
jest kosztem przejścia potoku ruchu
drogą

Droga ta składa się z wielu łuków przenoszących również inne składowe potoku ruchu.

W rezultacie koszt przejścia
jest uzależniony od rozłożenia potoku ruchu [xa] w całej sieci transportowej, co zaznaczono symbolem x bez wskaźników.

Drugi człon funkcji kryterium odpowiada kosztowi przemieszczenia pojazdów próżnych

Uwagi dotyczące
jak wyżej.

Rozwiązanie [xij] spełniające kryterium zadania charakteryzuje równość i jednocześnie minimalną wartość kosztów krańcowych na wykorzystanych drogach relacji przewozu.

Dla każdej relacji <a,b> oraz dowolnych dwóch dróg p,q należących do
takich, że
>0 oraz
>0 zachodzi

Przedstawiony wyżej ogólny model organizowania ruchu przybiera różną postać w różnych systemach transportowych silnie związaną z:

- rodzajem zapotrzebowania na przewóz

- sposobem traktowania pojazdu

- uwarunkowaniami narzuconymi przez otoczenie.

Różne jest planowanie ruchu przy przewozie pasażerów i ładunków. Organizacja ruchu w przewozie ładunków masowych różni się od organizacji ruchu w przewozie niewielkich partii ładunku. Organizacja ruchu pojazdów z własnym napędem np. samochodów, różni się od organizacji ruchu jednostek transportowych - opakowań ładunku np. wagonów, kontenerów.

Wymienione wyżej czynniki skłaniają do wprowadzenia pojęcia technologii przewozu, realizowanej w systemie transportowym oraz rozpatrywanie jej w kontekście innych technologii przewozu, realizowanych w tymże systemie transportowym.

Technologią przewozu nazywamy sposób wykorzystania wyposażenia systemu transportowego w realizacji zapotrzebowania na przewóz. Opis technologii przewozu jest założeniem dla organizowania ruchu w systemie transportowym.

Szczegółowy opis różnych technologii przewozu jest tematem wykładów przedmiotu kierunkowych i specjalnościowych.

Na rys, przedstawiono klasyfikację dokonaną z punktu widzenia specyfikacji problemów modelowania organizacji ruchu.

ROZŁOŻENIE RÓWNOWAGI

Zakładamy istnienie w systemie transportowym wielu kierowców (dysponentów) pojazdów. Każdy z kierowców (dysponentów) wybiera jedną drogę zgodnie z własnymi kryterium oceny kosztu przewozu.

Decyzję prezentują lokalne dla każdego kierowcy (dysponenta) punkty widzenia

Przy założeniu, że ruch pojazdów odbywa się zgodnie z rozumianymi jak wyżej decyzjami, organizacja ruchu powstaje jako wynik wielu decyzji wielu decydentów

Opisem organizacji ruchu jest rozłożenie potoku ruchu w drogach systemu transportowego. Rozłożenie takie nazywamy rozłożeniem opisowym, gdyż opisuje ono skutek zbioru decyzji lokalnych.

Przy rozłożeniu potoku ruchu, ustalonym jako wynik wielu decyzji wielu niezależnych decydentów, żaden z tych decydentów nie może zwiększyć swojej korzyści zmieniając drogę.

Tak ustalone rozłożenie potoku ruchu nazywamy rozłożeniem równowagi.

Kosztem jako kryterium oceny jakości drogi (przejazdu) może być wyrażony w liczbie jednostek:

-czasu

-pieniężnych

Na organizację ruchu nie można nałożyć żadnych ograniczeń, gdyż jest ona tylko opisem stanu systemu transportowego.

Statystycznym modelem organizowania ruchu w systemie transportowym jest zadanie rozłożenia potoku ruchu w sieci transportowej.

W modelu tym odwzorowane są warunki, ograniczenia i kryteria decyzji lokalnych w zakresie umożliwiającym osiągnięcie celu zaplanowanych badań.

Dla kryteriów prezentujących lokalne dla każdego pojazdu punkty widzenia powstanie rozłożenie równowagi optymalne z punktu widzenia każdego lokalnego decydenta.

Korzystając z oznaczeń już wprowadzonych zadanie rozłożenia potoku ruchu w ogólnej postaci sformułujemy przy założeniach:

1. Dane są koszty przewozu drogami systemu transportowego z dokładnością do funkcji wiążących koszt przewozu z intensywnością potoku ruchu.

2. Wybór drogi dokonywany jest niezależnie przez każdego z decydentów zgodnie z kryterium „maksimum korzyści” lub „minimum strat” przemieszczenia.

3. Jednorodny potok ruchu pojazdów.

Założenia (1), (2) ograniczają odwzorowanie kosztu przewozu tylko do składnika k(x), to znaczy kosztu ruchu pojazdu.

Przy uczynionych założeniach rozróżnienie pojazdów lądowych i pojazdów próżnych nie jest istotne.

Oczywiste jest także wyrażenie wielkości zapotrzebowania na przewóz bezpośrednio w liczbie pojazdów.

Rozpatrzmy zbiór dróg P^ab relacji <a,b> sieci transportowej o strukturze <W,L>, charakterystykach c_ij(x_ij).

Przy założeniach (1), (2), (3) potok ruchu x^ab przepływający drogami p należącymi do P^ab rozkłada się według zasady Wardropa.

Zasadzie tej nadajemy postać twierdzenia:

W sieci transportowej o strukturze <W,L>, charakterystykach c_ij(x_ij), <i,j> należących do L wyrażonych funkcjami.

Dla każdej relacji <a,b> oraz potoku x^ab spełniającego założenia (1), (2), (3) potok x^ab rozkłada się na drogi p należącego do P^ab tak że:

Dla każdej drogi p należącego do P^ab takiej, że x^pab >0 koszt przemieszczenia wynosi α^ab,

Dla każdej drogi p należącego do P^ab takiej, że c^pab > α^ab zachodzi x^pab= 0

Warunki te możemy zapisać krótko w postaci implikacji

Wartość c^pab(x) jest kosztem przejścia ruchu x^pab drogą p należącą do P^ab. Droga ta składa się z łuków przenoszących również potok ruchu innych relacji.

W rezultacie koszt przejścia c^pab(x) jest uzależniony od rozłożenia potoku ruchu w całej sieci transportowej, co zaznaczono symbolem x bez wskaźników

Warunki zasady Wardropa dzielą zbiór dróg P^ab na dwa podzbiory.

P^ab_x>0 podzbiór dróg relacji <a,b>, dla których potok x^pab>0

P^ab_x=0 podzbiór dróg relacji <a,b>, dla których potok x^pab=0

Dla wszystkich p należących do P^ab_x>0 koszt ruchu c^pab(x) jest równy α^ab, gdzie α^ab jest parametrem rozkładu potoku ruchu relacji <a,b>

Parametr ten ma wymiar średniego kosztu przewozu.

Rozłożenie potoku ruchu [x_ij] dokonane wg zasady Wardropa charakteryzuje równość i jednocześnie minimalna wartość kosztów średnich na wykorzystanych drogach kazdej relacji przewozu.

Dla każdej relacji <a,b> oraz dowolnych dwóch dróg p,q należących do P^ab takich, że x^pab> 0 oraz x^qab >0 zachodzi:

Równość kosztów średnich na wykorzystanych drogach relacji przewozu charakteryzuje rozłożenie potoku ruchu [x_ij] optymalne z punktu widzenia wszystkich decydentów.

W tym miejscu optimum rozumiemy jako sytuację, w której żaden z decydentów nie może zwiększyć swojej korzyści (zmniejszyć strat) wybierając inną drogę przejazdu.

Z przedstawionych wyżej własności wynika ogólne twierdzenie o optymalnym rozłożeniu potoku ruchu w sieci transportowej przy założeniach (1), (2), (3).

Dla danej sieci transportowej i danego zapotrzebowania na przewóz wyrażonego liczbami pojazdów w relacjach przewozu przy swobodnym wyborze dróg przez kierowców (dysponentów) pojazdów, z których każdy posługuje się kryterium „maksimum korzyści”.

Optymalnym rozłożeniem potoku ruchu jest takie, dla których zachodzi równość kosztów średnich na wykorzystywanych drogach relacji przewozu.

Zadanie rozłożenia potoku ruchu w sieci transportowej sformułujemy jak niżej:

Dla danych <W,L> [c_ij(`)]. [x^ab]

Obliczyć [x_ij] spełniające:

• warunki realizacji znp

• warunki NP., AP, ZP sformułowane poprzednio,

• kryterium

• 
  

MODEL LINIOWY

Nieliniową zależność średniego kosztu przewozu od wielkości potoku ruchu c_ij(x_ij) można aproksymować funkcją odcinkami liniową. Najprostszą aproksymacją jest przyjęcie określonej wartości c_ij jako średniego kosztu przewozu niezależnego od intensywności potoku ruchu w określonym przedziale wielkości tego potoku.

Układ parametrów c_ij, e_ij, d_ij i ograniczeńe_ij<x_ij<d_ij pozwala na odwzorowanie średniego kosztu przewozu w sposób równoważny aproksymacji nieliniowej zależności c_ij(x_ij) funkcją odcinkami liniową.

Ograniczenia e_ij≤x_ij≤d_ij odcinają obszary szybko rosnących strat, wynikajacych z małego wykorzystania wyposażenia (dolne ograniczenie) oraz rosnącego wpływu kongestii (górne ograniczenie).

Wartości e_ij,d_ij mają sens norm nałożonych na wyposażenie systemu transportowego.

W interpretacji technicznej wartości e_ij, d_ij określają intensywność potoku ruchu, między którymi wyposażenie połączenia odwzorowanego łukiem <i,j> może być wykorzystane w sposób spełniający określone normy techniczne.

W interpretacji ekonomicznej wartości e_ij, d_ij określają intensywność potoku ruchu między którymi wykorzystanie połączenia odwzorowanego łukiem <i,j> spełnia określone normy opłacalności

W obu przypadkach wartości liczbowe e_ij, d_ij wiążą ze sobą charakterystyki dróg i własności potoku ruchu.

Wartości te wyrażone są w jednostkach potoku ruchu.

Z punktu widzenia modelu systemu transportowego normy te mają charakter wartości narzuconych arbitralnie.

Pojawia się pojęcie modelu, który nie jest bezpośrednim odwzorowaniem systemu transportowego, a odwzorowaniem układu norm nałożonych na system transportowy.

Na ogół parametrowi d_ij nadajemy interpretację przepustowości łuku sieci transportowej.

Tak rozumiane pojęcie przepustowości wykorzystywane jest w formułowaniu ograniczeń intensywności potoku ruchu, nakładanych na łuki sieci transportowej.

Pojecie przepustowości można odnieść również do węzłów interpretując ją jako normę ograniczającą intensywność potoku ruchu.

Modele liniowe ściśle jednorodnego potoku ruchu stanowią najlepiej poznaną część teorii organizowania ruchu o doborze opanowanych metodach obliczeniowych.

Klasyczne modele liniowe:

1. zadanie transportowe.

2. Zadanie przydziału

3. Zadanie wyznaczenia minimalnej drogi

4. Zadanie wyznaczenia maksymalnego przepływu o minimalnym koszcie

Są podstawą budowy modeli dostosowanych do specyfikacji bedań realnych problemów transportu.

Jak wiemy z definicji, potok ściśle jednorodny spełnia warunek addytywności w odniesieniu do źródeł i ujść sieci transportowej, co pozwala na przekształcenie tej sieci do postaci o jednym źródle i jednym ujściu

1. Zadanie transportowe jest modelem optymalnego organizowania ruchu (planowania ruchu) w sposób minimalizujący koszt realizacji znp. Wyrażonego wydajnością (podażą) źródeł i chłonnością (popytem) ujść sieci transportowej

2. Zadanie przydziału jest modelem optymalnego organizowania ruchu (planowania ruchu) dla jednostkowego znp między wszystkimi źródłami i ujściami sieci transportowej

3. Zadanie wyznaczenia minimalnej drogi między wybraną parą węzłów sieci transportowej jest modelem optymalnego organizowania ruchu (planowania ruchu) dla jednostkowego znp między dwoma wybranymi węzłami sieci transportowej.

4. Zadanie wyznaczenia maksymalnego przepływu o minimalnym koszcie jest modelem optymalnego organizowania ruchu (planowania ruchu) w sposób maksymalizujący wykorzystanie sieci transportowej między wybranymi węzłami sieci.

Z tego powodu znp nie jest ograniczone a ograniczenie przepływu potoku ruchu przez sieć transportową jest wynikiem skończonej przepustowości łuku sieci.

Modele (a), (b), (c), (d), mogą być tematem wykładów i ćwiczeń prowadzonych w ramach przedmiotu „badania operacyjne”.

Uogólnieniem modeli (a), (b), (c), (d), jest zadanie wyznaczenia maksymalnego przepływu o minimalnym koszcie przy odpowiednim rozszerzeniu struktury sieci transportowej.

Rozszerzenie struktury sieci wykorzystuje własności ściśle jednorodnego potoku ruchu, pozwalające na odwzorowanie znp. Charakterystykami łuków dołączonych w sposób równoważny odwzorowaniu znp w modelach (a), (b), (c)

MODEL NIELINIOWY

Odwzorowanie nieliniowego związku między kosztem przewozu i intensywnością potoku ruchu k_ij(x_ij) w sposób przedstawiony w postaci podobnej do paraboli prowadzi do konieczności wyrażenia kryterium zadania rozłożenia potoku ruchu w postaci funkcji celu, nieliniowej względem zmiennych decyzyjnych tego zadania x_ij.

Nieliniowość związku k_ij(x_ij) jest w istocie odwzorowaniem ograniczeń sieci transportowej przy określonych własnościach potoku ruchu przepływającego przez tę sieć.

W rezultacie ograniczenia sieci transportowej zostają wyrażone bezpośrednio w funkcji celu, co upraszcza opis zadania, komplikując jednocześnie metody jego rozwiązywania w sposób charakterystyczny dla modeli nieliniowych.

Nieliniowymi modelami organizowania ruchu nazywamy model rozłożenia potoku ruchu w sieci transportowej, w którym zbiór równań określających zależności między zmiennymi decyzyjnymi (warunki ograniczenia funkcja celu) zawiera równania nieliniowe.

W funkcji celu wyrażone są ograniczenia sieci transportowej

Jak już wiemy z poprzednich definicji kryterium optymalnej organizacji ruchu jest wyrażone w postaci minimum kosztu ponoszonego przez:

1. System transportowy jako całość dla przypadku rozłożenia o minimalnym koszcie

2. Każdego z kierowców (dysponentów) pojazdów tworzących potok ruchu dla przypadku rozłożenia równowagi

Wprowadzenie ograniczeń sieci transportowej do funkcji celu zadania rozłożenia potoku ruchu odcina wartości zmiennych decyzyjnych x_ij

Nieliniowy model organizowania ruchu sformułujemy w postaci zadania rozłożenia potoku ruchu w sieci transportowej przy założeniach dla przypadku

1. (minimalno-kosztowego) oraz dla przypadku (2) (równowagi)

Dla danych <W,L>, [k_ij(.)], [x^ab] obliczyć [x_ij] spełniające warunki realizacji znp

gdzie x= [x_ij]- rozłożenie potoku ruchu w sieci transportowej.

Dla ilustracji przykład dla sieci transportowej o postaci dwóch dróg równoległych.

Układ danych przedstawiono na rys. Jednostką kosztu ruchu jest minuta, a jednostką potoku ruchu tysiąc pojazdów na godzinę.

Wprowadzając numery dróg 1,2 oraz symbole x₁, x₂ tak że:

X₁=x₁₂=x₂₄=x₄₅

X₂=x₁₃=x₃₅

Możemy uprościć układ sumując średnie koszty przejścia jednostki potoku ruchu drogami 1 oraz 2.

Należy podkreślić, że funkcje c₁(x₁), c₂(x₂) z założenia są produktem identyfikacji i odwzorowują związki między czasem jazdy i wielkością potoku ruchu uzyskane empirycznie.

Po uproszczeniu model organizowania ruchu dla dwóch dróg równoległych przedstawimy jak niżej.

Dla danej struktury w postaci dwóch dróg równoległych 1, 2 o charakterystykach

[12x²₁+ 300, 5x²₂+ 600]

oraz znp [10]

obliczyć rozłożenia potoku ruchu [x⁰₁, x⁰₂].

Spełniające warunek realizacji znp

X₁+ x₂= 10

Oraz kryteria

m₁(x⁰₁)= m₂(x⁰₂)

c₁(x^s₁)= c₂(x^s₂)

Symbolami [x⁰₁; x⁰₂] oznaczono rozwiązanie optymalne z punktu widzenia systemu transportowego.

X⁰₁c₁(x⁰₁)+ x⁰₂c₂(x⁰₂) = 6572 tys. Poj. Min/ h

Wartości [x^s₁,x^s₂] obliczymy rozwiązując układ równań

x₁+x₂=x^ab

c₁(x₁)=c₂(x₂)

Po podstawieniu

x₁+x₂=10

12x²₁+300=5x²₂+600

Po rozwiązaniu tego układu równań dla dodatnich pierwiastków równania kwadratowego otrzymamy poszukiwane wartości

x^s₁=5,7 tys. poj. /h

x^s₂= 4,3 tys. poj. /h

oraz koszt tego rozwiązania równy

x⁰₁c₁(x^s₁)+ x^s₂c₂(x^s₂)= 6900 tys. poj. Min/ h

Graficzna interpretacja uzyskanych rozwiązań przedstawiono na rys.

MODEL OTOCZENIA SYSTEMU TRANSPORTOWEGO

Założenia systemowe

System transportowy nie jest systemem izolowanym

Sprzężenia z otoczeniem są istotną własnością systemu, która musi być odwzorowana w modelu.

Odwzorowanie to przenosi do modelu własności otoczenia systemu transportowego istotne z punktu widzenia celu i zakresu badań zaplanowanych z modelami

Odwzorowanie związków systemu transportowego z otoczeniem nazywamy modelem otoczenia systemu transportowego

Model ten zawiera opis:

-źródeł zapotrzebowania na przewóz (klientów, usługobiorców)

• wpływu innych systemów transportowych działających w otoczeniu systemu badanego (konkurentów)

• sterowania nadrzędnego obejmującego swoim zasięgiem systemy transportowe oraz źródła zapotrzebowania na przewóz (decydentów politycznych)

Szczegółowość odwzorowania wyżej wymienionych własności otoczenia systemu transportowego wynika z celu i zakresu badań, dla których model jest konstruowany.

Niezależnie od celów modelowania pozostają jednakże charakterystyczne dla transportu ogólne cechy modelu otoczenia systemu transportowego.

Łączne zapotrzebowanie na przewóz dzieli się na zapotrzebowanie skierowane do badanego systemu transportowego (1), zapotrzebowanie zaniechane ze względów ekonomicznych oraz zapotrzebowanie skierowane do innych systemów transportowych.

O podziale zapotrzebowania na przewóz decyduje oferta przewozowa (2)

Podział zapotrzebowania na przewóz podlega pośrednio sterowaniu nadrzędnemu, które obejmuje systemy transportowe (3) i źródła zapotrzebowania na przewóz (4)

---