Metody badania zbieżności szeregów.

Szeregi Taylora i Laurenta.

Przemysław Łodyga, Damian Wiśnios

Wydział Fizyki i Informatki Stosowanej AGH

Kraków,16 listopada 2009

P. Łodyga, D. Wiśnios (WFiIS)

Kraków,16 listopada 2009

1 / 24

Za pomoc w przygotowaniu prezentacji dziękujemy
doktorowi Wojciechowi Karasiowi

P. Łodyga, D. Wiśnios (WFiIS)

Kraków,16 listopada 2009

2 / 24

PLAN PREZENTACJI

1

Kryteria zbieżności szeregów

Definicja zbieżności szeregu
Kryterium porównawcze
Kryterium d’Alamberta i Cauchy’ego
Kryterium Raabego - porównanie z szeregiem harmonicznym
Kryterium Gaussa
Kryterium całkowe

2

Szereg Taylora

Twierdzenie Taylora

3

Szereg Laurenta

Definicja
Twierdzenie
Zbieżność szeregu Laurenta
Badanie zbieżności szeregu Laurenta

4

Bibliografia

P. Łodyga, D. Wiśnios (WFiIS)

Kraków,16 listopada 2009

3 / 24

Kryteria zbieżności szeregów

Definicja zbieżności szeregu

KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW

Definicja zbieżności szeregu

Jeżeli istnieje

lim

n→∞

n

X

k=1

a

n

= A

, gdzie A jest liczbą skończoną, to szereg

∞

X

k=1

a

n

nazywamy zbieżnym do A.

P. Łodyga, D. Wiśnios (WFiIS)

Kraków,16 listopada 2009

4 / 24

Kryteria zbieżności szeregów

Kryterium porównawcze

Kryterium porównawcze

Niech będą dane dwa szeregi dodatnie A i B:

∞

X

k=1

a

n

,

∞

X

k=1

b

n

Jeżeli dla każdego n ­ n

0

zachodzi nierówność a

n

¬ b

n

, to ze zbieżności

szeregu B wynika zbieżność szeregu A, bądź z rozbieżności szeregu A
wynika rozbieżność szeregu B.

Kryterium porównawcze w postaci granicznej

Przy założeniach jak w postaci zwykłej stwierdzamy, że jeżeli istnieje
granica różna od zera i nieskończoności:

lim

n→∞

a

n

b

n

to szeregi te są tej samej natury.

P. Łodyga, D. Wiśnios (WFiIS)

Kraków,16 listopada 2009

5 / 24

Kryteria zbieżności szeregów

Kryterium porównawcze

Przykład

Porównajmy szereg harmoniczny: weźmy na pewno rozbieżny szereg

∞

X

n=1

[ln (n + 1) − ln (n)]

∞

X

n=1

ln



1 +

1

n



Widać wyraźnie, iż

lim

n→∞

ln(1 +

1
n

)

1
n

= 1

a więc szereg harmoniczny

1
n

jest rozbieżny.

P. Łodyga, D. Wiśnios (WFiIS)

Kraków,16 listopada 2009

6 / 24

Kryteria zbieżności szeregów

Kryterium d’Alamberta i Cauchy’ego

Kryterium d’Alamberta - porównanie z szeregiem geometrycznym

Weźmy szereg dodatni typu

P

a

n

. Jeżeli

lim

n→∞

a

n+1

a

n

= λ

to:
1. λ > 1 szereg jest rozbieżny
2. λ < 1 szereg jest zbieżny
a jeżeli λ = 1 - kryterium nie przynosi nam informacji o zbieżności szeregu.

Kryterium Cauchy’ego - porównanie z szeregiem geometrycznym

Jeżeli istnieje

lim

n→∞

n

√

a

n

= λ

, to
1. λ > 1 szereg jest rozbieżny
2. λ < 1 szereg jest zbieżny
a jeżeli λ = 1 - kryterium nie przynosi nam informacji o zbieżnożci szeregu.

P. Łodyga, D. Wiśnios (WFiIS)

Kraków,16 listopada 2009

7 / 24

Kryteria zbieżności szeregów

Kryterium Raabego

Kryterium Raabego - porównanie z szeregiem harmonicznym

Zdefiniujmy sobie ciąg Raabego R

n

o wyrazach R

n

= n(

a

n

a

n+1

− 1).

Jeżeli dla n > n

0

spełniony jest warunek, iż R

n

­ r , gdzie r = const > 1,

to szereg jest zbieżny. Jeśli natomiast R

n

< 1, szereg jest rozbieżny.

Pokażmy to:
Rozpatrzmy odpowiednio duże n: n(

a

n

a

n+1

− 1) > r > 1 co jest

równoznaczne temu, że (*)

a

n

a

n+1

> 1 +

r

n

Weźmy dowolne s takie, że

r > s > 1. Wiemy, iż

lim

n→∞

(1 +

1
n

)

s

− 1

1
n

= s

z tego wyciągamy prosty wniosek, iż

∃n

0

: ∀n > n

0

:

(1 +

1
n

)

s

− 1

1
n

< r

czyli (1 +

1
n

)

s

< 1 +

r

n

, stosując (*) otrzymujemy

a

n

a

n+1

> (1 +

1
n

)

s

.

P. Łodyga, D. Wiśnios (WFiIS)

Kraków,16 listopada 2009

8 / 24

Kryteria zbieżności szeregów

Kryterium Raabego

Po prawej mamy więc wyrażenie równoznaczne z

1

(n+1)s

1

ns

, tj. stosunku

dwóch kolejnych wyrazów zbieżnego szeregu harmonicznego, co z
kryterium porównawczego dowodzi kryterium Raabego.
Dla rozbieżności dowód jest znacznie prostszy: skoro n(

a

n

a

n+1

− 1) ¬ 1, to

a

n+1

a

n

­

1

n+1

1
n

, gdzie po prawej stronie mamy wyrazy rozbieżnego szeregu

harmonicznego. Dzięki temu pokazujemy, iż kryterium to jest silniejsze od
kryterium d’Alamberta, a de facto kryterium d’Alamberta to tylko dwa
przypadki kryterium Raabego - takie, gdy granicami ciągu Raabego są +∞
i −∞. Mimo to, jeżeli granica ta jest równa 1, nadal nie znamy zbieżności
szeregu.

P. Łodyga, D. Wiśnios (WFiIS)

Kraków,16 listopada 2009

9 / 24

Kryteria zbieżności szeregów

Kryterium Raabego

Przykłady

1) Rozpatrzmy szereg

∞

X

n=1

n!

(x + 1)(x + 2)...(x + n)

(x > 0)

Ciąg d’Alamberta ma postać D

n

=

(n+1)

x +n+1

jego granicą jest więc 1. Ciąg

Raabego natomiast ma postać R

n

= n(

(x +n+1)

n+1

− 1) tj.

n

n+1

x jego granica

jest zależna od x i tak określona jest zbieżność (nie jest przy x=1, ale tutaj
łatwo zauważyć, iż przy takim x szereg ten możnaby przedstawić

∞

X

n=1

n!

(1 + n)!

=

∞

X

n=1

1

1 + n

czyli rozbieżny szereg harmoniczny.

P. Łodyga, D. Wiśnios (WFiIS)

Kraków,16 listopada 2009

10 / 24

Kryteria zbieżności szeregów

Kryterium Raabego

2) Rozpatrzmy szereg

∞

X

n=1

1

n!



n

e



n

Tutaj ciąg Raabiego zdefiniowany jest jako R

n

= n



e

(1+

1
n

)

n

− 1



. Obliczenie

jego granicy jest możliwe dzięki regule de l’Hospitala, której formalizm

wymaga od nas przepisania go jako:

1
x



e

(1+x )

1

x

− 1



(x → 0), a następnie

przybliżeniu logarytmu naturalnego poprzez (ln x + 1 = x −

x

2

2

) i granica

ta wynosi

1
2

- szereg jest rozbieżny (! zwróćmy szczególną uwagę na to, iż

w kryterium d’Alamberta liczba < 1 implikuje zbieżność szeregu, tutaj
rozbieżność)

P. Łodyga, D. Wiśnios (WFiIS)

Kraków,16 listopada 2009

11 / 24

Kryteria zbieżności szeregów

Kryterium Raabego

Literatura następnie podaje nam kryterium Kummera, będące schematem
tworzenia kryteriów oraz Bertranda, będącym - napisaną według tego
schematu - silniejszą wersją kryterium Raabego. Kryteria te możemy w
nieskończoność komplikować, poszerzając ich zakres działania. ”Szeregiem
kryteriów” można by nazwać kryterium Gaussa, które sumuje kryteria
d’Alamberta, Raabego i Bertranda (a mogłoby również sumować inne
kryteria powstałe wg schematu Kummera).

P. Łodyga, D. Wiśnios (WFiIS)

Kraków,16 listopada 2009

12 / 24

Kryteria zbieżności szeregów

Kryterium Gaussa

Kryterium Gaussa

Zapiszmy:

a

n

a

n+1

= λ +

R

n

+

Θ

n

n

2

R jest granicą ciągu Raabiego. I teraz - jeżeli λ 6= 1 przypadek sprowadza
się do kryterium d’Alamberta. Jeżeli jednak λ = 1, zapisujemy ciąg
Raabiego jako

R

n

= n



a

n

a

n+1

− 1



= R +

Θ

n

n

Tu oczywiście rozstrzygającym jest kryterium Raabiego, jeżeli jednak R=1,
zapisujemy nowy ciąg
B

n

= ln n(R

n

− 1) tj. B

n

= Θ

n

ln n

n

Ciąg ten w granicy zmierza do 0, gdyż Θ

n

jest ograniczone - z kryterium

Bertranda ciąg jest więc rozbieżny (zbieżny byłby, gdyby ta granica była
większa od 1 - przy tej okazji przedstawiliśmy również kryterium
Bertranda)

P. Łodyga, D. Wiśnios (WFiIS)

Kraków,16 listopada 2009

13 / 24

Kryteria zbieżności szeregów

Kryterium Gaussa

Przykład: Szereg Gaussa (hipergeometryczny)

F (α, β, γ, x ) = 1 +

∞

X

n=1

α(α + 1)...(α + n − 1)β(β + 1)...(β + n − 1)

n!γ(γ + 1)...(γ + n − 1)

x

n

=

1+

αβ

1 · 2 · γ

x +

α(α + 1)β(β + 1)

1 · 2 · γ(γ + 1)

x

2

+

α(α + 1)(α + 2)β(β + 1)(β + 2)

1 · 2 · 3 · γ(γ + 1)(γ + 2)

x

3

+...

α, β, γ > 0

lim

n→∞

a

n+1

a

n

= lim

n→∞

(α + n)(β + n)

(1 + n)(γ + n)

x = x

Przypadki dla x 6= 1 są rozstrzygnięte podług kryterium d’Alamberta, a
więc nie są interesujące. Dla x=1

a

n

a

n+1

=

(1 + n)(γ + n)

(α + n)(β + n)

=

(1 +

1
n

)(1 +

γ
n

)

(1 +

α

n

)(1 +

β

n

)

P. Łodyga, D. Wiśnios (WFiIS)

Kraków,16 listopada 2009

14 / 24

Kryteria zbieżności szeregów

Kryterium Gaussa

Korzystając ze związku

1

1+

x
n

= 1 −

x
n

+

x

2

1+

x
n

·

1

n

2

otrzymujemy

a

n

a

n+1

= 1 +

γ−α−β+1

n

+

θ

n

n

2

tj. postać pożądaną dla kryterium Gaussa. Z

tego tez kryterium widzimy, że dla γ − α − β > 0 szereg jest zbieżny, a dla
γ − α − β ¬ (!)0 rozbieżny

P. Łodyga, D. Wiśnios (WFiIS)

Kraków,16 listopada 2009

15 / 24

Kryteria zbieżności szeregów

Kryterium całkowe

Kryterium całkowe

Niech funkcja f będzie funkcją ciągłą w przedziale [1; +∞] nieujemną i
malejącą. Wtedy szereg

∞

X

1

f (n)

i

Z

∞

1

f (x )dx

są tej samej natury (czyli jednocześnie zbieżne lub rozbieżne).

Przykład

∞

X

n=3

1

n ln n ln ln n

Z

∞

3

1

x ln x ln ln x

dx =



ln ln ln x



∞

3

= +∞

A więc szereg jest rozbieżny.

P. Łodyga, D. Wiśnios (WFiIS)

Kraków,16 listopada 2009

16 / 24

Szereg Taylora

Twierdzenie Taylora

SZEREG TAYLORA

Twierdzenie Taylora

Jeżeli f(z) jest funkcją analityczną w obszarze D, to w otoczeniu każdego
punktu z

0

obszaru D jest ona rozwijalna w szereg potęgowy postaci:

f (z) = a

0

+ a

1

(z − z

0

) + a

2

(z − z

0

)

2

+ ... + a

n

(z − z

0

)

n

+ ... =

=

∞

X

n=0

a

n

(z − z

0

)

n

Współczynniki a

n

dane są wzorami:

a

n

=

f

(n)

(z

0

)

n!

P. Łodyga, D. Wiśnios (WFiIS)

Kraków,16 listopada 2009

17 / 24

Szereg Laurenta

Definicja

SZEREG LAURENTA

Definicja

Mamy dane dwa szeregi:

∞

X

n=0

a

n

(z − z

0

)

n

,

∞

X

n=1

a

−n

(z − z

0

)

n

Pierwszy z nich jest zbieżny w kole o środku w punkcie z

0

i promieniu R,

natomiast drugi na zewnątrz koła o środku w punkcie z

0

i promieniu r

R =

1

lim

n→∞

sup

n

p

|a

n

|

,

r = lim

n→∞

sup

n

q

|a

−n

|

Szeregiem Laurenta nazywamy sumę tych szeregów

∞

X

n=−∞

a

n

(z − z

0

)

n

=

∞

X

n=1

a

−n

(z − z

0

)

n

+

∞

X

n=0

a

n

(z − z

0

)

n

P. Łodyga, D. Wiśnios (WFiIS)

Kraków,16 listopada 2009

18 / 24

Szereg Laurenta

Twierdzenie

Twierdzenie

Jeżeli funkcja f (z) jest analityczna i jednoznaczna w pierścieniu kołowym
r < |z − z

0

| < R to daje się w tym pierścieniu rozwinąć w szereg Laurenta

postaci

f (z) =

∞

X

n=1

a

−n

(z − z

0

)

n

+

∞

X

n=0

a

n

(z − z

0

)

n

gdzie a

n

=

1

2πi

R

C

f (ζ)

(ζ−z

0

)

n+1

d ζ

Szereg

∞

X

n=0

a

n

(z − z

0

)

n

nazywamy częścią regularną, natomiast szereg

∞

X

n=1

a

−n

(z − z

0

)

n

częścią osobliwą funkcji f (z)

P. Łodyga, D. Wiśnios (WFiIS)

Kraków,16 listopada 2009

19 / 24

Szereg Laurenta

Zbieżność szeregu Laurenta

Zbieżność szeregu Laurenta

Szereg Laurenta jest zbieżny w punkcie z

0

jeśli szeregi

∞

X

n=0

a

n

(z − z

0

)

n

,

∞

X

n=1

a

−n

(z − z

0

)

n

są w tym punkcie zbieżne, natomiast jeżeli jeden z nich jest rozbieżny to
wtedy szereg Laurenta jest rozbieżny. Zatem jeżeli:

1

r > R, to szereg Laurenta jest rozbieżny,

2

r = R, może być zbieżny tylko w punktach leżących na okręgu
|z − z

0

= R,

3

r < R, jest zbieżny w każdym punkcie pierścienia kołowego
r < |z − z

0

| < R

P. Łodyga, D. Wiśnios (WFiIS)

Kraków,16 listopada 2009

20 / 24

Szereg Laurenta

Badanie zbieżności szeregu Laurenta

Badanie zbieżności szeregu Laurenta

Zbadajmy zbieżność szeregu

∞

X

−∞

a

n

(z − i )

n

=

∞

X

1



1

2



−n

1

(z − i )

n

+

∞

X

0



1

3



n

(z − i )

n

Pierwszy z tych szeregów jest zbieżny na zewnątrz koła o środku w
punkcie z

0

= i i promieniu

r = lim

n→∞

sup

n

s



1

2



−n

= 2

Drugi natomiast jest zbieżny w kole o promieniu

R =

1

lim

n→∞

sup

n

s



1
3



n

= 3

P. Łodyga, D. Wiśnios (WFiIS)

Kraków,16 listopada 2009

21 / 24

Szereg Laurenta

Badanie zbieżności szeregu Laurenta

Ponieważ r < R, więc szereg Laurenta jest zbieżny w każdym punkcie
pierścienia kołowego

2 < |z − i | < 3

P. Łodyga, D. Wiśnios (WFiIS)

Kraków,16 listopada 2009

22 / 24

Bibliografia

BIBLIOGRAFIA

1

G. M. Fichtenholc, Rachunek różniczkowy i całkowy, t.2

2

F. Bierski, Funkcje zespolone

3

A. Marczyk, Wykład z matematyki IV

P. Łodyga, D. Wiśnios (WFiIS)

Kraków,16 listopada 2009

23 / 24

Bibliografia

Serdecznie dziękujemy za udział w prezentacji

P. Łodyga, D. Wiśnios (WFiIS)

Kraków,16 listopada 2009

24 / 24