Metody badania zbieżności szeregów.
Szeregi Taylora i Laurenta.
Przemysław Łodyga, Damian Wiśnios
Wydział Fizyki i Informatki Stosowanej AGH
Kraków,16 listopada 2009
P. Łodyga, D. Wiśnios (WFiIS)
Kraków,16 listopada 2009
1 / 24
Metody badania zbieżności szeregów.
Szeregi Taylora i Laurenta.
Przemysław Łodyga, Damian Wiśnios
Wydział Fizyki i Informatki Stosowanej AGH
Kraków,16 listopada 2009
P. Łodyga, D. Wiśnios (WFiIS)
Kraków,16 listopada 2009
1 / 24
Za pomoc w przygotowaniu prezentacji dziękujemy
doktorowi Wojciechowi Karasiowi
P. Łodyga, D. Wiśnios (WFiIS)
Kraków,16 listopada 2009
2 / 24
PLAN PREZENTACJI
1
Definicja zbieżności szeregu
Kryterium porównawcze
Kryterium d’Alamberta i Cauchy’ego
Kryterium Raabego - porównanie z szeregiem harmonicznym
Kryterium Gaussa
Kryterium całkowe
2
3
Definicja
Twierdzenie
Zbieżność szeregu Laurenta
Badanie zbieżności szeregu Laurenta
4
P. Łodyga, D. Wiśnios (WFiIS)
Kraków,16 listopada 2009
3 / 24
Kryteria zbieżności szeregów
Definicja zbieżności szeregu
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW
Definicja zbieżności szeregu
Jeżeli istnieje
lim
n→∞
n
X
k=1
a
n
= A
, gdzie A jest liczbą skończoną, to szereg
∞
X
k=1
a
n
nazywamy zbieżnym do A.
P. Łodyga, D. Wiśnios (WFiIS)
Kraków,16 listopada 2009
4 / 24
Kryteria zbieżności szeregów
Kryterium porównawcze
Kryterium porównawcze
Niech będą dane dwa szeregi dodatnie A i B:
∞
X
k=1
a
n
,
∞
X
k=1
b
n
Jeżeli dla każdego n n
0
zachodzi nierówność a
n
¬ b
n
, to ze zbieżności
szeregu B wynika zbieżność szeregu A, bądź z rozbieżności szeregu A
wynika rozbieżność szeregu B.
Kryterium porównawcze w postaci granicznej
Przy założeniach jak w postaci zwykłej stwierdzamy, że jeżeli istnieje
granica różna od zera i nieskończoności:
lim
n→∞
a
n
b
n
to szeregi te są tej samej natury.
P. Łodyga, D. Wiśnios (WFiIS)
Kraków,16 listopada 2009
5 / 24
Kryteria zbieżności szeregów
Kryterium porównawcze
Przykład
Porównajmy szereg harmoniczny: weźmy na pewno rozbieżny szereg
∞
X
n=1
[ln (n + 1) − ln (n)]
∞
X
n=1
ln
1 +
1
n
Widać wyraźnie, iż
lim
n→∞
ln(1 +
1
n
)
1
n
= 1
a więc szereg harmoniczny
1
n
jest rozbieżny.
P. Łodyga, D. Wiśnios (WFiIS)
Kraków,16 listopada 2009
6 / 24
Kryteria zbieżności szeregów
Kryterium d’Alamberta i Cauchy’ego
Kryterium d’Alamberta - porównanie z szeregiem geometrycznym
Weźmy szereg dodatni typu
P
a
n
. Jeżeli
lim
n→∞
a
n+1
a
n
= λ
to:
1. λ > 1 szereg jest rozbieżny
2. λ < 1 szereg jest zbieżny
a jeżeli λ = 1 - kryterium nie przynosi nam informacji o zbieżności szeregu.
Kryterium Cauchy’ego - porównanie z szeregiem geometrycznym
Jeżeli istnieje
lim
n→∞
n
√
a
n
= λ
, to
1. λ > 1 szereg jest rozbieżny
2. λ < 1 szereg jest zbieżny
a jeżeli λ = 1 - kryterium nie przynosi nam informacji o zbieżnożci szeregu.
P. Łodyga, D. Wiśnios (WFiIS)
Kraków,16 listopada 2009
7 / 24
Kryteria zbieżności szeregów
Kryterium Raabego
Kryterium Raabego - porównanie z szeregiem harmonicznym
Zdefiniujmy sobie ciąg Raabego R
n
o wyrazach R
n
= n(
a
n
a
n+1
− 1).
Jeżeli dla n > n
0
spełniony jest warunek, iż R
n
r , gdzie r = const > 1,
to szereg jest zbieżny. Jeśli natomiast R
n
< 1, szereg jest rozbieżny.
Pokażmy to:
Rozpatrzmy odpowiednio duże n: n(
a
n
a
n+1
− 1) > r > 1 co jest
równoznaczne temu, że (*)
a
n
a
n+1
> 1 +
r
n
Weźmy dowolne s takie, że
r > s > 1. Wiemy, iż
lim
n→∞
(1 +
1
n
)
s
− 1
1
n
= s
z tego wyciągamy prosty wniosek, iż
∃n
0
: ∀n > n
0
:
(1 +
1
n
)
s
− 1
1
n
< r
czyli (1 +
1
n
)
s
< 1 +
r
n
, stosując (*) otrzymujemy
a
n
a
n+1
> (1 +
1
n
)
s
.
P. Łodyga, D. Wiśnios (WFiIS)
Kraków,16 listopada 2009
8 / 24
Kryteria zbieżności szeregów
Kryterium Raabego
Po prawej mamy więc wyrażenie równoznaczne z
1
(n+1)s
1
ns
, tj. stosunku
dwóch kolejnych wyrazów zbieżnego szeregu harmonicznego, co z
kryterium porównawczego dowodzi kryterium Raabego.
Dla rozbieżności dowód jest znacznie prostszy: skoro n(
a
n
a
n+1
− 1) ¬ 1, to
a
n+1
a
n
1
n+1
1
n
, gdzie po prawej stronie mamy wyrazy rozbieżnego szeregu
harmonicznego. Dzięki temu pokazujemy, iż kryterium to jest silniejsze od
kryterium d’Alamberta, a de facto kryterium d’Alamberta to tylko dwa
przypadki kryterium Raabego - takie, gdy granicami ciągu Raabego są +∞
i −∞. Mimo to, jeżeli granica ta jest równa 1, nadal nie znamy zbieżności
szeregu.
P. Łodyga, D. Wiśnios (WFiIS)
Kraków,16 listopada 2009
9 / 24
Kryteria zbieżności szeregów
Kryterium Raabego
Przykłady
1) Rozpatrzmy szereg
∞
X
n=1
n!
(x + 1)(x + 2)...(x + n)
(x > 0)
Ciąg d’Alamberta ma postać D
n
=
(n+1)
x +n+1
jego granicą jest więc 1. Ciąg
Raabego natomiast ma postać R
n
= n(
(x +n+1)
n+1
− 1) tj.
n
n+1
x jego granica
jest zależna od x i tak określona jest zbieżność (nie jest przy x=1, ale tutaj
łatwo zauważyć, iż przy takim x szereg ten możnaby przedstawić
∞
X
n=1
n!
(1 + n)!
=
∞
X
n=1
1
1 + n
czyli rozbieżny szereg harmoniczny.
P. Łodyga, D. Wiśnios (WFiIS)
Kraków,16 listopada 2009
10 / 24
Kryteria zbieżności szeregów
Kryterium Raabego
2) Rozpatrzmy szereg
∞
X
n=1
1
n!
n
e
n
Tutaj ciąg Raabiego zdefiniowany jest jako R
n
= n
e
(1+
1
n
)
n
− 1
. Obliczenie
jego granicy jest możliwe dzięki regule de l’Hospitala, której formalizm
wymaga od nas przepisania go jako:
1
x
e
(1+x )
1
x
− 1
(x → 0), a następnie
przybliżeniu logarytmu naturalnego poprzez (ln x + 1 = x −
x
2
2
) i granica
ta wynosi
1
2
- szereg jest rozbieżny (! zwróćmy szczególną uwagę na to, iż
w kryterium d’Alamberta liczba < 1 implikuje zbieżność szeregu, tutaj
rozbieżność)
P. Łodyga, D. Wiśnios (WFiIS)
Kraków,16 listopada 2009
11 / 24
Kryteria zbieżności szeregów
Kryterium Raabego
Literatura następnie podaje nam kryterium Kummera, będące schematem
tworzenia kryteriów oraz Bertranda, będącym - napisaną według tego
schematu - silniejszą wersją kryterium Raabego. Kryteria te możemy w
nieskończoność komplikować, poszerzając ich zakres działania. ”Szeregiem
kryteriów” można by nazwać kryterium Gaussa, które sumuje kryteria
d’Alamberta, Raabego i Bertranda (a mogłoby również sumować inne
kryteria powstałe wg schematu Kummera).
P. Łodyga, D. Wiśnios (WFiIS)
Kraków,16 listopada 2009
12 / 24
Kryteria zbieżności szeregów
Kryterium Gaussa
Kryterium Gaussa
Zapiszmy:
a
n
a
n+1
= λ +
R
n
+
Θ
n
n
2
R jest granicą ciągu Raabiego. I teraz - jeżeli λ 6= 1 przypadek sprowadza
się do kryterium d’Alamberta. Jeżeli jednak λ = 1, zapisujemy ciąg
Raabiego jako
R
n
= n
a
n
a
n+1
− 1
= R +
Θ
n
n
Tu oczywiście rozstrzygającym jest kryterium Raabiego, jeżeli jednak R=1,
zapisujemy nowy ciąg
B
n
= ln n(R
n
− 1) tj. B
n
= Θ
n
ln n
n
Ciąg ten w granicy zmierza do 0, gdyż Θ
n
jest ograniczone - z kryterium
Bertranda ciąg jest więc rozbieżny (zbieżny byłby, gdyby ta granica była
większa od 1 - przy tej okazji przedstawiliśmy również kryterium
Bertranda)
P. Łodyga, D. Wiśnios (WFiIS)
Kraków,16 listopada 2009
13 / 24
Kryteria zbieżności szeregów
Kryterium Gaussa
Przykład: Szereg Gaussa (hipergeometryczny)
F (α, β, γ, x ) = 1 +
∞
X
n=1
α(α + 1)...(α + n − 1)β(β + 1)...(β + n − 1)
n!γ(γ + 1)...(γ + n − 1)
x
n
=
1+
αβ
1 · 2 · γ
x +
α(α + 1)β(β + 1)
1 · 2 · γ(γ + 1)
x
2
+
α(α + 1)(α + 2)β(β + 1)(β + 2)
1 · 2 · 3 · γ(γ + 1)(γ + 2)
x
3
+...
α, β, γ > 0
lim
n→∞
a
n+1
a
n
= lim
n→∞
(α + n)(β + n)
(1 + n)(γ + n)
x = x
Przypadki dla x 6= 1 są rozstrzygnięte podług kryterium d’Alamberta, a
więc nie są interesujące. Dla x=1
a
n
a
n+1
=
(1 + n)(γ + n)
(α + n)(β + n)
=
(1 +
1
n
)(1 +
γ
n
)
(1 +
α
n
)(1 +
β
n
)
P. Łodyga, D. Wiśnios (WFiIS)
Kraków,16 listopada 2009
14 / 24
Kryteria zbieżności szeregów
Kryterium Gaussa
Korzystając ze związku
1
1+
x
n
= 1 −
x
n
+
x
2
1+
x
n
·
1
n
2
otrzymujemy
a
n
a
n+1
= 1 +
γ−α−β+1
n
+
θ
n
n
2
tj. postać pożądaną dla kryterium Gaussa. Z
tego tez kryterium widzimy, że dla γ − α − β > 0 szereg jest zbieżny, a dla
γ − α − β ¬ (!)0 rozbieżny
P. Łodyga, D. Wiśnios (WFiIS)
Kraków,16 listopada 2009
15 / 24
Kryteria zbieżności szeregów
Kryterium całkowe
Kryterium całkowe
Niech funkcja f będzie funkcją ciągłą w przedziale [1; +∞] nieujemną i
malejącą. Wtedy szereg
∞
X
1
f (n)
i
Z
∞
1
f (x )dx
są tej samej natury (czyli jednocześnie zbieżne lub rozbieżne).
Przykład
∞
X
n=3
1
n ln n ln ln n
Z
∞
3
1
x ln x ln ln x
dx =
ln ln ln x
∞
3
= +∞
A więc szereg jest rozbieżny.
P. Łodyga, D. Wiśnios (WFiIS)
Kraków,16 listopada 2009
16 / 24
Szereg Taylora
Twierdzenie Taylora
SZEREG TAYLORA
Twierdzenie Taylora
Jeżeli f(z) jest funkcją analityczną w obszarze D, to w otoczeniu każdego
punktu z
0
obszaru D jest ona rozwijalna w szereg potęgowy postaci:
f (z) = a
0
+ a
1
(z − z
0
) + a
2
(z − z
0
)
2
+ ... + a
n
(z − z
0
)
n
+ ... =
=
∞
X
n=0
a
n
(z − z
0
)
n
Współczynniki a
n
dane są wzorami:
a
n
=
f
(n)
(z
0
)
n!
P. Łodyga, D. Wiśnios (WFiIS)
Kraków,16 listopada 2009
17 / 24
Szereg Laurenta
Definicja
SZEREG LAURENTA
Definicja
Mamy dane dwa szeregi:
∞
X
n=0
a
n
(z − z
0
)
n
,
∞
X
n=1
a
−n
(z − z
0
)
n
Pierwszy z nich jest zbieżny w kole o środku w punkcie z
0
i promieniu R,
natomiast drugi na zewnątrz koła o środku w punkcie z
0
i promieniu r
R =
1
lim
n→∞
sup
n
p
|a
n
|
,
r = lim
n→∞
sup
n
q
|a
−n
|
Szeregiem Laurenta nazywamy sumę tych szeregów
∞
X
n=−∞
a
n
(z − z
0
)
n
=
∞
X
n=1
a
−n
(z − z
0
)
n
+
∞
X
n=0
a
n
(z − z
0
)
n
P. Łodyga, D. Wiśnios (WFiIS)
Kraków,16 listopada 2009
18 / 24
Szereg Laurenta
Twierdzenie
Twierdzenie
Jeżeli funkcja f (z) jest analityczna i jednoznaczna w pierścieniu kołowym
r < |z − z
0
| < R to daje się w tym pierścieniu rozwinąć w szereg Laurenta
postaci
f (z) =
∞
X
n=1
a
−n
(z − z
0
)
n
+
∞
X
n=0
a
n
(z − z
0
)
n
gdzie a
n
=
1
2πi
R
C
f (ζ)
(ζ−z
0
)
n+1
d ζ
Szereg
∞
X
n=0
a
n
(z − z
0
)
n
nazywamy częścią regularną, natomiast szereg
∞
X
n=1
a
−n
(z − z
0
)
n
częścią osobliwą funkcji f (z)
P. Łodyga, D. Wiśnios (WFiIS)
Kraków,16 listopada 2009
19 / 24
Szereg Laurenta
Zbieżność szeregu Laurenta
Zbieżność szeregu Laurenta
Szereg Laurenta jest zbieżny w punkcie z
0
jeśli szeregi
∞
X
n=0
a
n
(z − z
0
)
n
,
∞
X
n=1
a
−n
(z − z
0
)
n
są w tym punkcie zbieżne, natomiast jeżeli jeden z nich jest rozbieżny to
wtedy szereg Laurenta jest rozbieżny. Zatem jeżeli:
1
r > R, to szereg Laurenta jest rozbieżny,
2
r = R, może być zbieżny tylko w punktach leżących na okręgu
|z − z
0
= R,
3
r < R, jest zbieżny w każdym punkcie pierścienia kołowego
r < |z − z
0
| < R
P. Łodyga, D. Wiśnios (WFiIS)
Kraków,16 listopada 2009
20 / 24
Szereg Laurenta
Badanie zbieżności szeregu Laurenta
Badanie zbieżności szeregu Laurenta
Zbadajmy zbieżność szeregu
∞
X
−∞
a
n
(z − i )
n
=
∞
X
1
1
2
−n
1
(z − i )
n
+
∞
X
0
1
3
n
(z − i )
n
Pierwszy z tych szeregów jest zbieżny na zewnątrz koła o środku w
punkcie z
0
= i i promieniu
r = lim
n→∞
sup
n
s
1
2
−n
= 2
Drugi natomiast jest zbieżny w kole o promieniu
R =
1
lim
n→∞
sup
n
s
1
3
n
= 3
P. Łodyga, D. Wiśnios (WFiIS)
Kraków,16 listopada 2009
21 / 24
Szereg Laurenta
Badanie zbieżności szeregu Laurenta
Ponieważ r < R, więc szereg Laurenta jest zbieżny w każdym punkcie
pierścienia kołowego
2 < |z − i | < 3
P. Łodyga, D. Wiśnios (WFiIS)
Kraków,16 listopada 2009
22 / 24
Bibliografia
BIBLIOGRAFIA
1
G. M. Fichtenholc, Rachunek różniczkowy i całkowy, t.2
2
F. Bierski, Funkcje zespolone
3
A. Marczyk, Wykład z matematyki IV
P. Łodyga, D. Wiśnios (WFiIS)
Kraków,16 listopada 2009
23 / 24
Bibliografia
Serdecznie dziękujemy za udział w prezentacji
P. Łodyga, D. Wiśnios (WFiIS)
Kraków,16 listopada 2009
24 / 24