Logistyka - nauka

Logistyka 6/2013

137

Krzysztof Ficoń

1

Wstęp

Teoria zbiorów rozmytych

2

zaproponowana po

raz pierwszy w roku 1965 przez L.A. Zadeha stawia

sobie za cel sformalizowane wyrażenie niejednoznacz-

ności i niepewności występującej w codziennym na-

szym życiu. Natomiast zadaniem logiki rozmytej, która

w rozważaniach L.A. Zadeha pojawiła się pod koniec

lat 60. XX wieku, jest formalne naśladowanie ludzkie-

go sposobu wnioskowania, czyli logiczne dochodzenia

do konkluzji na podstawie przesłanek. Od zarania dzie-

jów człowiek znacznie częściej i sprawnej posługiwał

się jakościowymi pojęciami nieostrymi, niż ilościo-

wym systemem liczb. Ludzka inteligencja operuje

przede wszystkim wieloznacznym, kontekstowym sys-

temem artykulacji myśli za pomocą różnych kategorii

opisowych i jakościowych.

Przykładowo dla wyrażenia wzrostu ludzi po-

sługujemy się najczęściej nieostrymi pojęciami „niski”,

„średni”, „wysoki” z płynnymi (rozmytymi) rozgrani-

czeniami między nimi. Choć te przedziały zmienności

są subiektywne i względne człowiek niezwykle spraw-

nie operuje nimi i co najważniejsze jest powszechnie

dość jednoznacznie rozumiany. Podobnie w języku

potocznym na określenie temperatury używamy kate-

gorii jakościowych typu: „niska”, „średnia”, „wysoka”,

albo „zimno”, „ciepło”, „gorąco”. Także prędkość sa-

mochodu zdecydowanie częściej opisujemy za pomocą

takich przedziałów (zbiorów) jak: „mała”, „średnia”,

„duża”, choć w kwestiach spornych (kodeks drogowy)

wymagane są dokładne jej wartości.

1

prof. dr hab. inż. Krzysztof Ficoń – Akademia Marynarki

Wojennej

2

Pojęcie zbioru rozmytego stanowi uogólnienie pojęcia

zbioru klasycznego (ostrego) i oznacza dopuszczenie, aby
funkcja charakterystyczna (przynależności) tego zbioru
przyjmowała obok stanów krańcowych 0 i 1 – (element
należy lub nie należy do zbioru) także wszystkie wartości
pośrednie z przedziału [0,1].

Logika rozmyta stanowi podstawę matematycz-

nej teorii zbiorów rozmytych, a także bardzo utylitar-

nego modelowania rozmytego, które często odnoszone

jest do systemów (modeli) rozmytych. Systemy

i aplikacje rozmyte są stosowane wszędzie tam gdzie

nie posiadamy dostatecznej wiedzy o dokładnym funk-

cjonowaniu danego układu lub nie potrafimy zapisać

tych zasad w sformalizowanej postaci matematycznej.

Dotychczas brak odpowiedniego modelu matematycz-

nego eliminował dany system z analitycznych badań,

a często z jakichkolwiek prób modelowania, także

symulacyjnego. Modelowanie rozmyte stosowane jest

zarówno w obszarze nauk ścisłych i technicznych,

a ostatnio także w naukach społecznych czy ekono-

micznych, gdzie zachodzi konieczność podejmowania

decyzji w sytuacji niepełnej lub niekompletnej infor-

macji np. o całym otoczeniu wewnętrznym bądź ze-

wnętrznym.

Modelowanie rozmyte różnych systemów teo-

retycznych jak też fizycznych polega na wyrażeniu

podstawowych właściwości systemu stosunkowo łatwo

definiowanymi regułami lingwistycznymi, bazującymi

na funkcjach i zmiennych lingwistycznych operujący-

mi w obszarze eksperckiej bazy wiedzy. Okazuje się że

często przybliżenie skomplikowanych systemów za

pomocą jakościowych pojęć i operacji lingwistycznych

jest nie tylko znacznie prostsze i efektywniejsze, ale co

jest zaskakujące, zwłaszcza w naukach technicznych

zupełnie wystarczające niż odtwarzanie ich za pomocą

formalnych modeli matematycznych. Największe suk-

cesy odnosi intuicyjne modelowanie rozmyte właśnie

w naukach technicznych, o czym decydują tzw. ste-

rowniki rozmyte, typu Mamdaniego oraz Takago-

Sugeno.

Schemat działania sterownika rozmytego
FLC

Sterownik rozmyty FLC (Fuzzy Logic Control-

ler) jest modelem matematycznym opisanym za pomo-

Zastosowanie zbiorów rozmytych do określenia bezpiecznej

prędkości podróżnej pasażerskiego statku morskiego

Logistyka 6/2013

138

Logistyka - nauka

cą zmiennych lingwistycznych oraz reguł logicznych

definiujących dopuszczalne operacje na tych zmien-

nych. Z matematycznego punktu widzenia sterownik

rozmyty aproksymuje pewną funkcję realizowaną

przez system rzeczywisty z określoną dokładnością.

Działanie modelowego sterownika rozmytego dekom-

ponowane jest na kilka sekwencyjnie realizowanych

etapów, które mogą przebiegać według zróżnicowa-

nych zasad i różnych schematów teoretycznych (lo-

gicznych). W przypadku nauk technicznych konceptu-

alna konstrukcja sterownika jest pochodną użytych

modeli logiczno-lingwistycznych i ciągle trwają próby

znalezienia rozwiązania najdoskonalszego

3

.

W klasycznych sterownikach (systemach)

rozmytych możemy wyróżnić trzy chronologicznie

aktywowane bloki funkcjonalne odgrywające podsta-

wową rolę w procesie wnioskowania rozmytego: blok

rozmywania (fuzyfikacji), wnioskowania (inferencji)

i wyostrzania (defuzyfikacji) (Rys.1)

4

.

Rys. 1. Schemat ideowy sterownika rozmytego FLC

Pracę systemu Fuzzy inicjuje blok fuzyfikacji

na wejściu którego pojawia się pewien sygnał sterujący

w postaci ostrej np. jako liczba lingwistyczna (rzeczy-

wista). Ponieważ system sterowania z logiką Fuzzy

operuje na zbiorach rozmytych, dlatego konkretna war-

tość ostra (liczbowa) podawana na jego wejście podle-

ga operacji rozmywania, w wyniku której wartość wej-

ściowa zostaje odwzorowana w zbiór rozmyty. For-

malnie oznacza to wygenerowanie wartości funkcji

przynależności dla poszczególnych podzbiorów (ter-

mów) zbioru rozmytego. Zadaniem bloku rozmywania

(fuzyfikacji) jest przekształcenie liczbowych danych

wejściowych skojarzonych ze zmienną lingwistyczną

3

Pionierską aplikacją cieszącą się wielką popularnością ze

względu na swoją prostotę i uniwersalność okazał się tzw.
sterownik Mamdaniego opracowany przez brytyjskiego
inżyniera E.H. Mamdaniego w roku 1974.

4

Wszystkie zamieszczone w pracy rysunki i tabele stanowią

opracowanie własne autora artykułu.

na stopień spełnienia predykatów w poprzednikach

reguł wiążących daną zmienną lingwistyczną

5

.

Proces wnioskowania rozmytego warunkuje ba-

za reguł, która określa sposób wyprowadzania konklu-

zji (wniosków) na podstawie odpowiednio przygoto-

wanych przesłanek. Dzięki regułom zawartym w bazie

reguł budowane są relacje przyczynowo-skutkowe

opisujące badany system. Blok wnioskowania realizuje

zasadniczą funkcję sterownika rozmytego, gdyż

w oparciu o bazę reguł logicznych generuje odpowied-

nie konkluzje. Na jego wejściu pojawia się rozmyta

wartość zmiennej lingwistycznej w postaci odpowied-

nich funkcji przynależności. Natomiast na wyjściu

występuje zbiór rozmyty będący efektem wnioskowa-

nia. Wnioskowanie przeprowadza się na podstawie

zestawu logicznych formuł zawartych w bazie reguł.

W bazie reguł przechowywana jest wiedza dotycząca

rozważanego problemu, zapisana w postaci logicznych

reguł posiadających przesłanki i konkluzje. Przesłanki

obrazują przyczyny, natomiast konkluzje logiczne ich

efekty. Poszczególne przesłanki mogą być grupowane

zgodnie z przyjętą konwencją zapisywania reguł lo-

gicznych.

Baza reguł zawiera reguły logiczne określające

zależności przyczynowo-skutkowe istniejące w syste-

mie pomiędzy zbiorami rozmytymi wejść i wyjść.

Zbiór reguł zbudowany jest ze zdań logicznych wyko-

rzystujących operatory logiczne takich jak: „IF”,

„AND”, „OR” „THEN”, które opisują zależności po-

między wartościami na wejściu modelu wnioskującego

a wartościami na wyjściu tego modelu. Najczęściej

stosuje się proste reguły logiczne postaci:

IF (x IS A) AND/OR/NOT (y IS B) THEN (z IS C) (1)

gdzie:

x,y,z – zmienne lingwistyczne, A,B,C – zbiory rozmy-

te reprezentujące określone wartości zmiennych x,y,z.

Blok wnioskowania operuje na rozmytych

zmiennych wejściowych, które zostały zamienione na

5

Najczęściej stosowaną w praktyce metodą rozmywania jest

metoda typu singleton, w której wartości ostrej x podanej na
wejściu i skojarzonej ze zmienną lingwistyczną A przypisuje
się zbiór rozmyty X o stopniu przynależności 1 dla x oraz 0
dla wszystkich innych elementów dziedziny. Jako wartość
spełnienia predykatu logicznego A is B uznaje się zbiór
powstały w wyniku przecięcia (z użyciem wybranej
T-normy) zbioru X ze zbiorem skojarzonym z termem B.

Logistyka - nauka

Logistyka 6/2013

139

stopnie spełnienia odpowiednich predykatów w prze-

słankach reguł logicznych. W bloku wnioskowania

następuje uruchomienie każdej reguły, której przesłan-

ki są spełnione celem wyznaczenia zbioru rozmytego

będącego wynikiem jej działania.

Ostatnim etapem działania modelu Fuzzy opar-

tego na logice rozmytej jest wyostrzanie (defuzyfika-

cja). Wielkością wyjściową bloku wyostrzania jest

bądź N zbiorów rozmytych z wieloma funkcjami przy-

należności, bądź jeden zbiór rozmyty z jedną funkcją

przynależności. Wobec tego pojawia się problem od-

wzorowania tych zbiorów rozmytych w jedną ostrą

wartość wyjściową, będącą odpowiedzią sterownika

rozmytego na wymuszenia wejściowe. Odwzorowanie

to nazywa się wyostrzeniem. Istnieje wiele metod wy-

ostrzania wynikowego zbioru rozmytego na określoną

wartość rzeczywistą stanowiącą wyjście modelu

6

.

Zastosowanie Zadehowskiej teorii zbiorów roz-

mytych i zasad logiki rozmytej do sterowania proce-

sami fizycznymi czy zarządzania różnymi systemami

nie wymaga formalnej znajomości tych procesów czy

systemów. Mówiąc wprost należy jedynie sformułować

zasady postępowania w formie logicznych, rozmytych

reguł zdroworozsądkowych opisujących działanie tego

systemu w konkretnych warunkach. Wystarczy tzw.

wiedza ekspercka i odpowiednio bogate doświadczenie

w określonej dziedzinie, aby zbudować zbiór reguł

logicznych realizujących określone zadanie. Za pomo-

cą nieostrej logiki rozmytej budowany jest zestaw re-

guł formalnie opisujących funkcjonowanie danego

urządzenia czy systemu.

Modelowanie warunków podróży MS
„Titanic” w dniu 14 kwietnia 1912r.

Dla dalszych badań w rozpatrywanym metamo-

delu przyjmiemy założenie, że prędkość marszowa MS

„Titanica” (V) w tragicznym momencie zderzenia

z górą lodową była funkcją pewnych niejawnych, ale

logicznych parametrów

7

, takich jak:

6

Do najbardziej popularnych należą: metoda środka maksi-

mum (MOM), pierwszego maksimum (FOM), ostatniego
maksimum (LOM), środka ciężkości (COA, COG) i środka
sum (BOA). Najbardziej popularna jest metoda środka cięż-
kości (Center of Gravity).

7

Zgodnie z zasadami modelowania Fuzzy jawna postać

jakiekolwiek funkcji kryterium (f) nie jest ani pożądana, ani
konieczna. Mechanizmy tych funkcji zastępują bowiem

V = f(A,B,C,D) = f(RKZ, RKP) (2)

gdzie:

A – aktualny zasięg widoczności wzrokowej na morzu,

B – prognozowane przeszkody nawigacyjne na kursie

statku,

C – przestrzeganie obowiązujących przepisów w że-

gludze morskiej,

D – presja różnych czynników, głównie czynnika cza-

sowego,

RZ=f(A,B) – ryzyko żeglugi (3)

RP=f(C,D) – ryzyko procedur (4)

Z formalnego punktu widzenia każdy z tych pa-

rametrów jest złożoną funkcją wielu zmiennych i sta-

łych, której postać jest trudna do analitycznego okre-

ślenia. Przykładowo wielkości te są funkcjami takich

zmiennych jak, np.:

A = f(α

i

, i=1,I

α

) (5)

gdzie:

α

1

– pora roku, pora dnia i nocy,

α

2

– opady atmosferyczne (deszcz, śnieg),

α

3

– lokalne zamglenia i mgły,

α

4

– burze i anomalie atmosferyczne,

α

5

– skuteczność systemu obserwacji wzrokowej,

α

6

– sprawność wewnętrznego systemu przekazywania

meldunków itp.

B = f(β

i

, i=1,I

β

) (6)

gdzie:

β

1

– ruch statków na trasie,

β

2

– góry i pola lodowe,

β

3

– inne przeszkody nawodne i podwodne,

β

4

– stan morza, siła i kierunek wiatru,

β

5

– sprawność systemów i urządzeń antykolizyjnych

itd.

C = f(γ

i

, i=1,I

γ

) (7)

gdzie:

γ

1

– przepisy o zapobieganiu zderzeniom na morzu,

γ

2

– zasady dobrej praktyki morskiej,

γ

3

– system ostrzegania i łączności zewnętrznej i we-

wnętrznej,

reguły wnioskowania rozmytego sporządzane na podstawie
wiedzy eksperckiej odpowiednich specjalistów.

Logistyka 6/2013

140

Logistyka - nauka

γ

4

– kwalifikacje i zachowania załogi,

γ

5

– wyposażenie statku i atesty urządzeń itd.

D = f(δ

i

, i=1,I

δ

) (8)

gdzie:

δ

1

– jakość i realność harmonogramu rejsu,

δ

2

– rzeczywisty czas wyjścia z portu,

δ

3

– planowany termin wejścia do portu docelowego,

δ

4

– prestiż rejsu, statku i armatora,

δ

5

– zgodność aktualnej pozycji z planem rejsu.

Opracowanie analitycznych formuł precyzyj-

nego wyznaczenia zależności (5)-(8) jest zadaniem

niezwykle trudnym i złożonym wymagającym wiedzy

z wielu dyscyplin naukowych, nawigacyjnych, mete-

orologicznych i technicznych. Ostateczna kompilacja

tych wyrażeń do postaci funkcji (2), (3), (4) a w osta-

teczności (1) jest zadaniem równie skomplikowanym

i bardzo trudnym. Operowanie analitycznym aparatem

opartym na matematyczno-fizycznych formułach wy-

znaczenia aktualnej prędkości V jest mało efektywne

i niezwykle złożone. Należy podkreślić, że prezento-

wany model (2)-(8) jest bardzo prosty i w żadnym

przypadku nie wyczerpuje najważniejszych czynników

mających wpływ na rzeczywistą prędkość chwilową

statku w podróży morskiej. Dlatego do wielokryterial-

nego szacowania bezpiecznej prędkości chwilowej

statku MS „Titanic” w krytycznym momencie zderze-

nia z górą lodową wykorzystamy aparat formalny teorii

zbiorów rozmytych i logiki rozmytej pozwalający na

ominięcie „narzędziowej rafy” wynikającej z koniecz-

ności matematycznego modelowania formuł (2)-(8)

8

.

Biorąc pod uwagę wyrażenie (2)-(4) oraz (5)-

(8) model wyznaczania bezpiecznej prędkości V że-

glugi MS „Titanic” możemy formalnie zapisać w po-

staci dwupoziomowego, szeregowo-równoległego ste-

rownika rozmytego za pomocą wyrażenia (9), którego

graficzną interpretację przedstawia rys.1:

8

Jak zauważył Kacprzak [x, s. 24] ideę modelowania roz-

mytego stosuje się w następujących przypadkach: 1) gdy nie
dysponuje się modelem procesu sterowanego, ponieważ jest
zbyt skomplikowany, a jego identyfikacja zbyt trudna albo
zbyt kosztowna, 2) gdy dysponujemy doświadczonym ope-
ratorem-ekspertem, który na bazie bogatej wiedzy i własne-
go doświadczenia potrafi sprawnie sterować tym obiektem.

(9)

Rys. 2. Schemat dwupoziomowego sterownika rozmytego
do wyznaczania bezpiecznej prędkości żeglugi

Jak wynika ze wzoru (9) i rys. 2 proces wyzna-

czania bezpiecznej prędkości statku MS „Titanic” za

pomocą modelowania Fuzzy został zdekomponowany

na trzy oddzielne etapy dotyczące konstrukcji trzech

standardowych sterowników Mamdaniego S1, S2 i S3.

Są to klasyczne sterowniki posiadające dwa wejścia

sygnałowe i jedno wyjście sterujące, będące szukanym

ostrym parametrem rozmytym.

Celem wyznaczenia szukanej prędkości bez-

piecznej V wykorzystany zostanie tzw. model Mamda-

niego posługujący się rozmytymi zdaniami warunko-

wymi i złożoną regułą wnioskowania. Dla eksperta-

człowieka najbardziej naturalnym sposobem wyrażania

reguł jest użycie jakościowych określeń języka natu-

ralnego typu: „duży”, „średni”, „mały”, „zły”, „neu-

tralny”, „dobry” itp. Wszystkie wielkości lingwistycz-

ne będziemy utożsamiać ze zbiorami rozmytymi.

Przykładowo zbiorami rozmytymi w badanym

modelu będą: widoczność (A), przeszkody (B), przepi-

sy (C), presja (D), z których każdy ma swoją dziedzinę

reprezentującą, np. umowne wartości odpowiedniej

funkcji przynależności. Oznacza to, że wszystkie

zmienne funkcji (2)–(4) powinny być wyrażone w ka-

tegoriach jakościowych za pomocą odpowiednich

zmiennych lingwistycznych. Dla uproszczenia rozwa-

żań przyjmiemy, że wszystkie zmienne lingwistyczne

(A’, B’, C’, D’) będą wyrażone za pomocą trzech jako-

ściowych kategorii wartości, odpowiadających nie-

ostrym, rozmytym podzbiorom standardowym typu:

„mały”, „średni”, „duży”. W teorii Fuzzy podzbiory te

nazywają się termami i obrazują strukturę logiczną

danego zbioru rozmytego. Poszczególnym wartościom

lingwistycznym zostaną przypisane ponadto określone

statyczne przedziały liczbowe, które obrazują fizyczną

skalę zmienności tych parametrów.

Logistyka - nauka

Logistyka 6/2013

141

Wyznaczanie rozmytej wartości ryzyka
żeglugi RZ

W pierwszej kolejności zostanie wyznaczone ry-

zyko żeglugi (RZ) na podstawie dwóch parametrów –

widoczność na morzu (A) i przeszkody nawigacyjne na

trasie rejsu (B). Reprezentują one zmienne lingwi-

styczne „widoczność” i „przeszkody”, które mogą

przyjmować wartości lingwistyczne jak w tabeli 1.

Dodatkowo oprócz odpowiadających tym zmiennym

zbiorów rozmytym przedstawiono ich przedziały

zmienności wyrażone w umownych skalach i jednost-

kach miary. Ponadto w tabeli 1 przedstawiono opis

lingwistyczny wynikowego zbioru rozmytego – „ryzy-

ko żeglugi” z niezbędnymi termami i zakresem ich

zmienności.

Tabela 1. Wartości lingwistyczne i rozmyte argumentów
(A, B) ryzyka żeglugi RZ

Widoczność

(A) (0÷10)

Mała

AM ≤ 3

Średnia

1 ≤ AS ≤ 7

Dobra

AS ≥ 5

Przeszkody (B)

(0÷12)

Brak

BB ≤ 3

Normalne

1 ≤ BN ≤ 6

Groźne

BG ≥ 4

Ryzyko żeglugi

(0÷100%)

Małe

RZM ≤ 40

Średnie

20 ≤ RZS ≤

80

Duże

RZD ≥ 60

Graficzne zobrazowanie zmiennych lingwi-

stycznych A, B i RZ oraz odpowiadających im zbiorów

rozmytych A, B i RZ wraz z funkcjami przynależności

µ(A), µ(B) i µ(RZ) przedstawiono na rys. 3 i 4.

Celem prowadzenia dalszych rozważań zakła-

damy, że według opinii eksperta zmienne lingwistycz-

ne A i B przyjmują aktualnie następujące wartości

lingwistyczne: „widoczność” A=1,2, „przeszkody”

B=5,6. Aby wyznaczyć stopnie przynależności tych

wartości do odpowiednich zbiorów rozmytych należy

skorzystać z analitycznej postaci właściwej funkcji

przynależności – w tym przypadku trapezowej

9

.

Rys. 3. Schemat operacji rozmywania zmiennych wejścio-
wych A=1,2 i B=5,6

9

xxxx

Rys. 4. Struktura i parametry wyjściowego zbioru
rozmytego RZ - „ryzyko żeglugi”

Przyjętym wartościom ostrym zmiennej lin-

gwistycznej A=1,2 i B=5,6 odpowiadają następujące

stopnie przynależności – tabela 2:

Tabela 2. Stopnie przynależności przykładowych
wartości ostrych do zbiorów rozmytych A i B

Zbiór roz-
myty

Stopnie przynależności

A –

widoczność

µ

AM

(1,2)=0,9

µ

AS

(1,2)=0,1

µ

AD

(1,2)=0

B –

przeszkody

µ

BB

(5.6)=0

µ

BN

(5,6)=0,2

µ

BG

(5,6)=0,8

Dane zawarte w tabeli 2 można interpretować

w sposób następujący. Wartość „widoczność” A=1,2

odpowiada przynależności w stopniu 0,9 do zbioru

rozmytego AM – „Widoczność mała” oraz w stopniu

0,9 do zbioru rozmytego AS –„Widoczność średnia”.

Natomiast wartość „przeszkody” B=5,6 odpowiada

przynależności w stopniu 0,2 do zbioru BN – „Prze-

szkody normalne” oraz w stopniu 0,8 do zbioru BG –

„Przeszkody groźne”.

Do oceny ryzyka żeglugi RKZ wykorzystamy

schemat wnioskowania oparty na regułach określonych

przez eksperta, którego wiedza merytoryczna została

implementowana, np. przez inżyniera wiedzy w postaci

zestawu reguł logicznych opartych na modelu Mamda-

niego. W przypadku najbardziej popularnego systemu

rozmytego zawierającego dwa wejścia i jedno wyjście

dobór reguł wnioskowania można wstępnie zaplano-

wać za pomocą dwuwymiarowej macierzy decyzyjnej

– tabela 3, której współrzędnymi są zmienne wejścio-

we – zbiory rozmyte A oraz B, stanowiące przesłanki

wnioskowania, a elementami macierzy projektowane

konkluzje RZ(A,B).

Logistyka 6/2013

142

Logistyka - nauka

Tabela 3. Macierz reguł wnioskowania rozmytego
dla przesłanek A, B definiujących rozmyte zbiory
ryzyka żeglugi (RZ)

Przeszkody

nawigacyjne

Widoczność

Mała

(AM)

Średnia

(AS)

Dobra

(AD)

Brak (BB)

RZS

RZM

RZM

Normalne (BN)

RZD

RZS

RZM

Groźne (BG)

RZD

RZD

RZS

Zgodnie z ogólnym schematem wnioskowania

rozmytego w bloku inferencji dokonamy selekcji reguł

logicznych ze względu na ich aktualność. Aby ocenić

stopnie przynależności poszczególnych zmiennych

wejściowych A – „widoczność” i B – „przeszkody” do

zbioru rozmytego RZ – „ryzyko żeglugi” należy

sprawdzić warunek prawdziwości przesłanek tj. zgod-

ności z przyjętymi założeniami. Jak wynika z tabeli 3

spośród dopuszczalnego zbioru obejmującego 9 reguł

warunek ten spełniają tylko 4 reguły (RG) odznaczają-

ce się prawdziwością przesłanek:

RG21: IF (A=AM) AND (B=BN) THEN (RZ=RZD)

RG22: IF (A=AM) AND (B=BG) THEN (RZ=RZD)

RG31: IF (A=AS) AND (B=BN) THEN (RZ=RZS)

RG32: IF (A=AS) AND (B=BG) THEN (RZ=RZD)

Zgodnie ze schematem Mamdaniego do powyż-

szych reguł aktywnych {R21, R22, R31 R32} zastosu-

jemy operator typu MIN-MAX. W tym celu ustalimy

minimum ze stopni przynależności poszczególnych

przesłanek każdej reguły, co wyraża następujący układ

równań logicznych:

0,9/AM ∧ 0,2/BN = 0,2/RZD (RZ.1)

0,9/AM ∧ 0,8/BG = 0,8/RZD (RZ.2)

0,1/AS ∧ 0,2/BN = 0,1/RZS (RZ.3)

0,1/AS ∧ 0,8BG = 0,1/RZD (RZ.4)

Wartości zmiennych lingwistycznych lewej

strony układu równań (RZ.1)-(RZ.4) dotyczą przesła-

nek zbioru aktywnych reguł logicznych {RG22, RG23,

RG32, RG33} połączonych operatorem koniunkcji

(AND). Zgodnie z operatorem MIN prawa strona tego

układu zawiera elementy minimalne. Celem uzyskania

rozmytego wyniku wnioskowania dla zbioru reguł

{RG21, RG22, RG31, RG32} zastosujemy do układu

(RZ.1)-(RZ.4) operator MAX, którego działanie obra-

zuje wyrażenie (RZ.5):

0,2/AS∨0,8/BG∨0,1/AS∨0,1/BG = 0,1/RZS∨0,8/RZD

(RZ.5)

Lewa strona wyrażenia (RZ.5) daje nam szukane

rozwiązanie, czyli wartość lingwistyczną ryzyka że-

glugi (RZ) w postaci dwóch zbiorów rozmytych, które

będziemy interpretować następująco. Lingwistyczna

wartość ryzyka żeglugi RZ należy w stopniu 0,2 do

zbioru rozmytego AS – ryzyko średnie i w stopniu 0,8

do zbioru rozmytego BG – ryzyko duże.

Operowanie dwoma zbiorami rozmytymi i funk-

cją przynależności jest mało komunikatywne, dlatego

informacja ta w bloku defuzyfikacji podlega ostrzeniu,

czyli transformacji do liczbowej wartości lingwistycz-

nej. Zgodnie z przyjętą metodologią operację defuzyfi-

kacji przeprowadzimy za pomocą popularnej metody

środka ciężkości (CG). Ze względów obliczeniowych

wykorzystamy jej uproszczoną dyskretną wersję posta-

ci:

Z wykresu rys. 4 odczytujemy, że otrzymana

w wyniku defuzyfikacji ostra wartość „ryzyka żeglugi”

RZ=81,1 odpowiada pełnej przynależności do zbioru

RZD – „ryzyko żeglugi duże”.

Wyznaczanie rozmytej wartości ryzyka
procedur RP

Analogiczne postępowanie należy przeprowa-

dzić celem wyznaczenia rozmytej wartości „ryzyka

procedur” (RP), którego zasadnicze etapy zostały

przedstawione poniżej.

Tabela 4. Wartości lingwistyczne i rozmyte
argumentów (C,D) ryzyka procedur RP

Przepisy

(C) (0÷6)

Niedostatecz.

CN ≤ 2

Dostatecznie

1 ≤ CD ≤ 5

Dobrze

CB ≥ 4

Presja (D)

(0÷1)

Mała

DM ≤ 0,3

Średnia

0,2 ≤ DS ≤ 0,7

Duża

DD ≥ 0,6

Ryzyko

procedur

(0÷100%)

Małe

RPM ≤ 40

Średnie

20 ≤ RPS ≤ 80

Duże

RPD ≥ 60

Logistyka - nauka

Logistyka 6/2013

143

Rys. 5. Schemat operacji rozmywania zmiennych
C=1,6 i D=0,65

Rys. 6. Struktura i parametry wyjściowego zbioru
rozmytego RP - „ryzyko procedur”

Tabela 5. Stopnie przynależności przykładowych
wartości ostrych do zbiorów rozmytych C i D

Zbiór

rozmyty

Stopnie przynależności

C –

przepisy

µ

CN

(1,6)=0,4

µ

CD

(1,6)=0,6

µ

CB

(1,6)=0

D –

presja

µ

DM

(0,65)=0

µ

DS

(0,65)=0,25 µ

DD

(0,65)=0,75

Tabela 6. Macierz reguł wnioskowania rozmytego
dla przesłanek C, D definiujących rozmyte zbiory
ryzyka procedur (RP)

Presja (D)

Przepisy (C)

Niedostatecz.

(CN)

Dostatecznie

(CD)

Dobrze

(CB)

Mała (DM)

RPM

RPM

RPM

Średnia (DS)

RPD

RPS

RPM

Duża (DD)

RPD

RPD

RPM

RG21: IF (C=CN) AND (D=DS) THEN (RZ=RPD)

RG22: IF (C=CN) AND (D=DD) THEN (RZ=RPD)

RG31: IF (C=CD) AND (D=DS) THEN (RZ=RPS)

RG32: IF (C=CD) AND (D=DD) THEN (RZ=RPD)

0,4/CN ∧ 0,25/DS = 0,25/RPD (RP.1)

0,4/CN ∧ 0,75/DD = 0,4/RPD (RP.2)

0,6/CN ∧ 0,25/DS = 0,25/RPS (RP.3)

0,6/CN ∧ 0,75/DD = 0,6/RPD (RP.4)

0,25/RPD ∨ 0,4/RPD ∨ 0,25/RPS ∨ 0,6/RPD =

0,25/RZS ∨ 0,6/RZD (RP.5)

Z wykresu rys. 6 odczytujemy, że otrzymana w

wyniku defuzyfikacji ostra wartość „ryzyka procedur”

RP=74,7 odpowiada częściowej przynależności RPS –

„ryzyko procedur średnie” oraz RPD – „ryzyko proce-

dur duże”, co ma drugorzędne, informacyjne znacznie

wobec

wyznaczonej

ostrej

wartości

sterującej

RP=74,7.

Wyznaczanie rozmytej wartości bez-
piecznej prędkości statku VB

Biorąc pod uwagę standardową postać sterow-

nika (modułu) S3 – dwa wejścia i jedno wyjście – zu-

pełnie identyczne postępowanie należy przeprowadzić

celem wyznaczenia rozmytej wartości bezpiecznej

prędkości (VB), którego najważniejsze etapy zostały

przedstawione poniżej.

Tabela 7. Wartości lingwistyczne i rozmyte argumentów
(RZ, RP) prędkości V

Ryzyko żeglugi

(RZ) (0÷100)

Małe

RZM ≤ 2

Średnie

1 ≤ RZS ≤ 5

Duże

RZD ≥ 4

Ryzyko proce-

dur (RP)

(0÷100)

Małe

RPM ≤

0,3

Średnie

0,2 ≤ RPS ≤

0,7

Duża

RPD ≥ 0,6

Prędkość VB

(0÷100%)

Małe

RPM ≤ 40

Średnie

20 ≤ RPS ≤ 80

Duże

RPD ≥ 60

Rys. 7. Struktura zmiennej wejściowej RZ –
„ryzyko żeglugi”

Logistyka 6/2013

144

Logistyka - nauka

Rys. 8. Schemat operacji rozmywania zmiennej
wejściowej RP=74,7

Rys. 9. Struktura i parametry wyjściowego zbioru
rozmytego V - „prędkość”

Tabela 8. Stopnie przynależności przykładowych warto-
ści ostrych do zbiorów rozmytych RZ i RP

Zbiór

rozmyty

Stopnie przynależności

Ryzyko

żeglugi

µ

RZM

(81,7)=

= 0

µ

RZS

(81,7)=

= 0

µ

RZD

(81,7)=

= 1

Ryzyko

procedur

µ

RPM

(74,7)=

= 0

µ

RPS

(74,7)=

= 0,265

µ

RPD

(74,7)=

= 0,735

Tabela 9. Macierz reguł wnioskowania rozmytego dla
przesłanek RZ, RP definiujących zbiory prędkości (V)

Ryzyko żeglugi

(RZ)

Ryzyko procedur (RP)

Małe

(RPM)

Średnie

(RPS)

Duże

(RPD)

Małe (RZM)

VD

VD

VS

Średnie (RZS)

VD

VM

VM

Duże (RZD)

VS

VM

VBM

RG32: IF (RZ=D) AND (RP=S) THEN (V=VM)

RG33: IF (RZ=D) AND (RP=D) THEN (V=VBM)

1/RZD i 0,265/RPS =0,265/VM (VB.1)

1/RZD i 0,735/RPD=0,735/VBM (VB.2)

0,265/ VM ∨ 0,735/ VBM = 0,265/VM ∨ 0,735/VBM

Z wykresu rys. 9 odczytujemy, że otrzymana

w wyniku defuzyfikacji ostra wartość „prędkości”

VB=5,08 odpowiada częściowej przynależności do

termu VPBM – „prędkość bardzo mała” i VPM –

„prędkość mała”, co ma drugorzędne, informacyjne

znacznie wobec poszukiwanej ostrej wartości sterują-

cej. W tym przypadku istotna jest bezpieczna wartość

prędkości V=5,08 wyznaczona ze względu na przyjęte

założenia modelowe: „widoczność” A=1,2, „przeszko-

dy” B=5,6 oraz „przepisy” C=1,6, „presja” D=0,65.

Zalecana przez szeregowo-równoległy model

rozmyty Fuzzy stosunkowo mała prędkość żeglugi

V=5,08 jest bezpośrednim wynikiem bardzo dużego

ryzyka żeglugi RZ=81,1% oraz równie dużego ryzyka

procedur RP=74,7%. Niestety w roku 1912 nie znana

była ani teoria zbiorów rozmytych, ani tym bardziej

sterowniki rozmyte Mamdaniego, dlatego przeprowa-

dzone rozważania bardziej potwierdzają zasadność

rozważanej teorii i przydatność modelowania rozmyte-

go FLC niż wykorzystanie ich do antycypowania rze-

czywistych zdarzeń czy sterowania np. tradycyjnym

telegrafem okrętowym.

Wnioski końcowe

W prezentowanej pracy obszarem aplikacji teorii

zbiorów rozmytych i logiki rozmytej Zadeha było kla-

syczne zadanie sterowania prędkością obiektu tech-

nicznego, w tym przypadku statku MS. „Titanic”

w krytycznym momencie rejsu w dniu 14 kwietnia

1912 r. podczas zderzenia z górą lodową. Co prawda,

z nawigacyjnego punktu widzenia o bezpieczeństwie

żeglugi, oprócz szeregu rozmaitych czynników natury

technicznej, organizacyjnej czy normatywnej decydują

przede wszystkim dwa parametry ruchu statku tj. kurs

i prędkość. W modelu zajęliśmy się tylko sterowaniem

prędkością statku, albowiem wyznaczenie kursu jest

zadaniem ściśle nawigacyjnym i podlega specjalistycz-

nym, głównie graficznym procedurom planowania

podróży drogą morską.

Prędkość natomiast jest parametrem dynamicz-

nym, który może być bieżąco korygowany na zasadzie

prostego automatu typu: „wolniej”, „szybciej”, „cała

naprzód”, „stop” itp. Taka interpretacja jest szczegól-

nie bliska rozmytej teorii Fuzzy, posługującej się nie-

ostrymi zmiennymi i wartościami lingwistycznymi.

Omawiany przykład potwierdził pełną przydatność

teorii zbiorów rozmytych, a konkretnie idei sterowni-

ków Mamdaniego do symulacyjnego wyznaczania

Logistyka - nauka

Logistyka 6/2013

145

bezpiecznej prędkości statku z punktu widzenia przyję-

tych kryteriów i warunków brzegowych.

Sterowniki rozmyte należą dziś do standardowe-

go wyposażenia wielu instalacji, obiektów i urządzeń

technicznych począwszy od szerokiego asortymentu

sprzętu AGD (klimatyzatory, pralki, kuchenki mikrofa-

lowe, odbiorniki telewizyjne) poprzez sterowniki (au-

topiloty) montowane w środkach transportowych (sa-

moloty, samochody, statki), a także duże urządzenia

dźwigowe, suwnice portowe aż do skomplikowanych

systemów chłodzenia w elektrowniach atomowych,

sterowania turbinami i agregatami prądotwórczymi,

czy wreszcie sterowania czynnikiem produkcyjnym

w instalacjach chemicznych i przemysłowych.

Obszar technicznych zastosowań sterowników

rozmytych ciągle się poszerza, a ostatnio dołączyły do

tego zastosowania nietechniczne, w takich dziedzinach

jak medycyna, ekonomia, handel, ubezpieczenia, czy

bezpieczeństwo. W ogólności jest to sfera podejmowa-

nia decyzji, najczęściej w warunkach ryzyka, czyli

zarządzania i kierowania różnymi procesami gospodar-

czo-społecznymi.

Streszczenie

Przedmiotem rozważań jest klasyczne zadanie

sterowania prędkością obiektu technicznego, którym

jest statek pasażerski, w tym przypadku MS „Titanic”

w swoim dziewiczym rejsie przez Atlantyk w krytycz-

nym momencie 14 kwietnia 1912 roku podczas zde-

rzenia z górą lodową. Do wyznaczenia bezpiecznej

prędkości statku wykorzystano teorię zbiorów rozmy-

tych sformułowaną w roku 1965 przez L.A. Zadeha.

W tym celu został wykorzystany mechanizm działania

tzw. sterowników rozmytych Mamdaniego, który po-

służył do budowy modelu logiczno-lingwistycznego

procedury dynamicznego sterowania prędkością statku

w

zależności

od

warunków

nawigacyjno-

hydrologicznych i rzeczywistej presji różnych innych

czynników, mających wpływ na decyzje kierującego

statkiem.

Abstract

The subject of discussion is the classical task of

controlling the speed of a ship - MS "Titanic" in the

maiden voyage across the Atlantic at a critical time

April 14, 1912, during a collision with an iceberg. To

determine the safe speed vessel used fuzzy set theory

formulated in 1965 by L.A. Zadeh. For this purpose,

the mechanism of action has been reached so. Mamda-

ni fuzzy controllers. It was used to build the model of

logical-linguistic control procedures at ship depending

on the navigation and the actual pressure hydrological

and various other factors that affect the decisions of

the captain.

Literatura

1. Driakov D., Hellendoorn H., Reinfrank M.;

Wprowadzenie do sterowania rozmytego. WNT
Warszawa, 1996.

2. Ficoń K.; Sztuczna inteligencja. 1ie tylko dla

humanistów. BEL Studio Warszawa, 2012.

3. Flasiński M.; Wstęp do sztucznej inteligencji.

WN PWN Warszawa, 2011.

4. Gulley N.; Rogerjang J.S.; Fuzzy Logic Toolbox.

The Math Works, 1995.

5. Kacprzak J.; Wieloetapowe sterowanie rozmyte.

WNT Warszawa, 2001.

6. Kisielewicz A.; Sztuczna inteligencja i logika.

Posumowanie

przedsięwzięcia

naukowego.

WNT Warszawa, 2011.

7. Mamdani E.H.; Advances in the linguistic syn-

thesis of fuzzy controllers. International Journal
of Man-Machine Studies, 1977 (8).

8. Mamdani E.H.; Applications of fuzzy algorithms

for the control of a simple dynamic plant.
Proccedings of IEE 1976 (121).

9. Piegat A.; Modelowanie i sterowanie rozmyte.

AOW EXIT Warszawa 2003.

10. Rasiowa H.; Wstęp do matematyki współczesnej.

BM t. 30, PWN Warszawa, 1979.

11. Rutkowski L.; Metody i techniki sztucznej inteli-

gencji. WN PWN Warszawa, 2006.

12. Takagi T., Sugeno M.; Derivation of fuzzy con-

trol rules from human operator’s control ac-
tions. Proccedings of IFAC 1983 (Juli).

13. Zadeh L. A.; Fuzzy algorithm. Information and

Control, 1968 (12)

14. Zadeh L. A.; Fuzzy logic and approximate rea-

soning. Synthese, 1975 (30).

15. Zadeh L. A.; Fuzzy sets. Information and Con-

trol, 1965 (8).