9
WYKŁAD 2
Układy złożone z elementów biernych
Bierne elementy elektroniczne to :
opór R:
)
(
)
(
t
Ri
t
u
=
indukcyjność L:
dt
t
di
L
t
u
)
(
)
(
=
i pojemność C:
∫
=
=
dt
t
i
C
C
q
t
u
)
(
1
)
(
Rozważmy obwód złożony z tych elementów połączonych szeregowo, zasilany ze
źródła napięciowego o zmiennej sile elektromotorycznej reprezentowanej przez część
rzeczywistą wyrażenia: u(t)=U
0
e
j
ω
t
, gdzie U
0
oznacza amplitudę napięcia, a
ω=2πν -
częstotliwość kołową
1
. Natężenie prądu płynącego przez układ ma podobną postać:
i(t)=I
0
e
j
ω
t
.
u(t)
R
L
C
~
Skorzystamy z drugiego prawa Kirchhoffa :
C
dt
t
i
dt
t
di
L
t
Ri
t
u
∫
+
+
=
)
(
)
(
)
(
)
(
Podstawiając powyższe postaci natężenia oraz napięcia i dzieląc stronami przez I
0
otrzymujemy:
U
0
= = +
I
Z R
j L
j C
o
1
+
ω
ω
Wielkość Z jest impedancją powyższego obwodu i jest wielkością zespoloną. Możemy w
niej wyróżnić impedancje poszczególnych elementów: oporu: Z
R
=R, indukcyjności: Z
L
=j
ωL
oraz pojemności: Z
C
=1/j
ωC. Dokonaliśmy w ten sposób uogólnienia prawa Ohma dla
prądów zmiennych: napięcie u(t) jest liniowym funkcjonałem prądu i(t). Nadal obowiązują
prawa Kirchhoffa. W ogólności dla innych obwodów postać algebraiczna impedancji może
10
być inną liczbą zespoloną. W powyższym przypadku, przy szeregowym połączeniu
impedancji uzyskujemy wzór na impedancję wypadkową : Z
W
= Z
1
+Z
2
+...+Z
n
, analogiczny
jak przy łączeniu oporów. Przy równoległym połączeniu impedancji :
1/Z
W
=1/Z
1
+1/Z
2
+...+1/Z
n
.
Część rzeczywistą impedancji nazywa się rezystancją, część urojoną - reaktancją. Stosunek
reaktancji do rezystancji jest równy tangensowi kąta przesunięcia fazowego
ϕ między
napięciem i natężeniem.
Reprezentacja impedancji na płaszczyźnie zespolonej :
Rezystancja opisuje zdolność obwodu do
zamiany energii elektrycznej na ciepło: P =
1
2 0
I R
2
,
natomiast pojemność i indukcyjność - zdolność do
magazynowania energii elektrycznej, odpowiednio: E
Cu t
C
=
1
2
2
( ) - w polu elektrycznym
pojemności oraz E
Li t
L
=
1
2
2
( ) w polu magnetycznym indukcyjności.
Z
Im(Z)
Re(Z)
φ
Należy pamiętać, że opór, indukcyjność i pojemność to pojęcia teoretyczne.
Rzeczywiste konstrukcje, jak opornik, cewka czy kondensator zawierają wielkości
pasożytnicze oznaczone na rysunku poniżej indeksem p:
opór R
indukcyjność L
pojemność C
opornik
cewka
kondensator
R
L
p
C
p
L
C
p
L
p
C
R
p
R
p
R
d
⇒
⇒
⇒
- a więc są złożonymi impedancjami. Przy pewnych częstotliwościach sygnału wielkości
pasożytnicze mogą istotnie zniekształcić własności danego elementu.
1
Tutaj
oznacza jednostkę urojoną, w odróżnieniu od prądu i.
j
= −1
11
Obwód drgający
Rozważmy obwód złożony z szeregowo połączonych: indukcyjności, pojemności i
oporu. Kondensator został naładowany do napięcia
U
C0
, po czym zamknięto wyłącznik. Ruch ładunku w
obwodzie opisuje równanie :
0
)
=
C
dt
t
(
)
(
)
(
+
+
∫
i
dt
t
di
L
t
Ri
,
które łatwo można przekształcić w liniowe równanie
różniczkowe drugiego stopnia :
0
)
(
1
=
t
i
C
)
(
)
(
2
2
+
+
dt
t
di
R
dt
t
i
d
L
.
Zakładamy, że rozwiązanie ma postać wykładniczą :
. Podstawiając je do powyższego równania różniczkowego otrzymujemy
równanie algebraiczne:
i t
Ae
t
( )
=
α
L
R
C
α
α
2
1
+
+
= 0 , którego pierwiastki mają wartość:
α
1
2
2
= −
R
R
4
+
− L C
L
oraz
α
2
2
4
2
= −
−
−
R
R
L C
L
. Rozwiązanie równania ruchu
ładunku w obwodzie jest kombinacją liniową
rozwiązań z
α
1
i
α
2
:
R
C
L
i t
A e
( )
A
2
A e
t
t
=
+
1
2
1
2
α
α
,
przy czym wartości amplitud A
1
i A
2
możemy
wyznaczyć z warunków początkowych :
i
A
A
A
( )
,
0
0
1
2
1
= =
+
⇒
= − ,
(
)
U
L
di
dt
Ri
LA
A
U
L
C
t
C
0
0
1
1
2
1
0
1
2
=
+
=
−
⇒
=
−
=
α
α
α
α
,
Przypadki :
(
)
0
2
4
6
8
10
0
0.5
1
natężenie [mA]
czas [
µs]
Układ antyoscylacyjny
L=2 mH, C=1 nF, R=5kΩ
U
C0
=5 V
• Jeżeli R
L
2
4
≥
C , wtedy R
L C
2
4
−
)
(
2
1
t
t
e
e
α
α
−
jest liczbą
rzeczywistą i rozwiązania mają charakter
dwuwykładniczy :
, a więc po
wzbudzeniu prąd w obwodzie zanika.
)
(
1
A
t
i
=
0
10
20
30
-2
0
2
natężenie [mA]
czas [
µs]
Układ drgający :
L=2 mH, C=1 nF, R=300 Ω
U
C0
=5 V
• Gdy R
L
2
4
<
C , wtedy R
L
2
4
−
C jest liczbą
urojoną i rozwiązania mają charakter oscylacyjny
:
)
sin(
)
(
2
0
t
e
L
U
t
i
x
t
L
R
x
C
ω
ω
−
=
2
, gdzie częstotliwość
oscylacji
2
2
4
1
L
R
LC
x
−
=
ω
.
2
Skorzystaliśmy tutaj z tożsamości :
j
e
e
x
jx
jx
2
−
−
=
sin
.
12
• W szczególnym przypadku, gdy R=0 otrzymujemy drgania niegasnące [3] :
i t
U
C L
t
C
( )
sin(
)
=
0
ω
0
, gdzie częstotliwość oscylacji :
ω
0
1
=
LC .
Filtr rezonansowy szeregowy.
Obecnie
będziemy analizowali pracę
szeregowego układu RLC, do którego dołączono
napięciowe
źródło sygnału przemiennego o
częstotliwości
ω. Ze wzoru na dzielnik napięcia
otrzymujemy napięcie na poszczególnych elementach :
C
j
L
j
R
C
j
t
u
t
u
we
C
ω
ω
ω
1
)
(
)
(
+
+
=
,
,
C
j
L
j
R
t
Ru
t
u
t
u
we
R
WY
ω
ω
1
)
(
)
(
)
(
+
+
=
=
u t
j Lu
t
R
j L
j C
L
we
( )
( )
=
+
+
ω
ω
ω
1
Stosunek amplitud napięcia wyjściowego do wejściowego (tzw. transmitancja układu)
wynosi:
(
)
2
2
1
C
L
R
R
U
U
we
wy
ω
ω −
+
=
,
a przesunięcie fazowe między sygnałem
wejściowym i wyjściowym :
RC
LC
arctan
ω
ω
ϕ
1
2
−
=
Układ ten nazywany jest filtrem
rezonansowym szeregowym. Pasmo jego
przepuszczania zlokalizowane jest w okolicach
częstotliwości
ω
0
1
=
LC .
Pasmo przenoszenia filtru rozciąga się od
ν
g1
do
ν
g2
,, nazywanych częstościami
granicznymi. Dla częstości granicznych
zachodzi równość :
-
U
U
wy
we
= 1 2
, oraz :
ϕ
π
=
4
.
u
we
(t)
L
R
C
u
wy
(t)
10
3
10
4
10
5
10
6
10
7
10
8
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,
częstotliwosc [Hz]
U
WY
/U
WE
L = 2 mH, C = 1 nF
R=50
Ω
R=300
Ω
ν
g1
ν
g2
1
2
/
10
3
10
4
10
5
10
6
10
7
częstotliwość [Hz]
faza [rad]
ν
g1
ν
g2
π/4
-
π/4
L=2 mH, C=1 nF
R=300
Ω
R=50
Ω
π/2
π/2
[3] Ponieważ w rzeczywistym obwodzie zawsze występuje dodatnia rezystancja (np.
pasożytnicza), aby uzyskać R=0 do obwodu należy wprowadzić rezystancję ujemną, którą jest
np. wzmacniacz albo inny odpowiedni element elektroniczny.
13
Dla częstotliwości
ω
0
1
=
/ LC moduły napięć na poszczególnych elementach obwodu mają
odpowiednio wartości :
U
U
R
L
C
C
=
0
, U
U
R
L
C
L
=
0
, U
R
=U
0
.
a impedancja obwodu wynosi R. Dla tej częstotliwości znika łączna impedancja elementów
reaktancyjnych, a napięcia na kondensatorze i indukcyjności osiągają wartości maksymalne.
Zjawisko to nosi nazwę rezonansu, a
ω
0
to częstotliwość rezonansowa. W rezonansie
amplitudy napięcia na indukcyjności lub na pojemności mogą przekroczyć amplitudę napięcia
wejściowego. Wielkość:
Q
U
U
U
U
R
L
C
L
C
=
=
=
0
0
1
,
nazywana jest dobrocią obwodu
4
. Inna postać dobroci :
Q
U
U
j
L
R
T
I L
I R
T
E
P
L
L
=
=
=
=
0
0
1
2 0
2
1
2 0
2
2
2
ω
π
π
Ogólna definicja : Dobroć wyraża stosunek energii zmagazynowanej w układzie
rezonansowym (E
L
) do mocy traconej w nim (P) w ciągu jednego okresu drgań (T).
Magazynowanie energii w elementach reaktancyjnych obwodu rezonansowego o
wysokiej dobroci i wywołane przez nie „podbijanie” napięcia jest wykorzystywane do filtracji
i transformowania sygnałów o określonej częstotliwości.
Filtr rezonansowy równoległy :
u(t)
R
C
L
u
wy
(t)
u
t
u t
wy
( )
( )
=
j C
j L
R
j C
j L
+
+
+
−
−
ω
ω
ω
ω
1
1
1
1
Dla częstotliwości rezonansowej
ω
0
1
=
/ LC
napięcie wyjściowe osiąga wartość minimalną.
.
4
Wykazać (to co widać na rysunkach na poprzedniej stronie), że Q=
ω
0
/
∆ω, gdzie ∆ω jest
szerokością połówkową charakterystyki układu rezonansowego, czyli funkcji
f(
ω)=|u
C
(
ω,t)/u(ω,t)|.
14
PRACOWNIA WSTĘPNA
Instrukcja do ćwiczenia nr.2 pt. „Układ oscylujący”
1. Cel ćwiczenia.
• Zaznajomienie się z oscyloskopem i generatorem.
• Zbadanie własności układu oscylującego RLC
2. Wymagania :
• Materiał z poprzednich wykładów i ćwiczeń.
• Biegła umiejętność rozwiązywania obwodów z elementami RLC.
• Znajomość przepływu prądu przez układ oscylujący.
3. Wykonanie ćwiczenia.
• Zmontować na płytce
obwód drgający według
podanego obok
schematu. W pierwszej
kolejności do budowy
układu użyć opornika o
wartości 50
Ω.
• Zbudować układ
pomiarowy podłączając na
wejście obwodu drgającego
generator, Wyjścia obwodu
drgającego łączymy z
kanałem B oscyloskopu.
Sygnał z wyjścia generatora
poprzez trójnik należy doprowadzić do kanału A oscyloskopu. Podstawa czasu
oscyloskopu powinna być wyzwalana w sposób zewnętrzny, z dodatkowych wyjść
generatora.
L
C = 1 nF
50
Ω
lub
510
Ω
W E
W Y
R
generator
oscyloskop
obwód
B
A
ext. trig.
WE
WY
WY
(trójnik BNC)
WY
dod.
• Na wejście obwodu podać z generatora sygnał prostokątny o maksymalnej amplitudzie i
o częstotliwości 1 kHz. Zbocza narastające i opadające tego sygnału pobudzają w
obwodzie drgania gasnące.
15
• Dokonać pomiaru kształtu pojedynczego
ciągu oscylacji, szczególnie starannie
rejestrując jego maksima i minima oraz
przejścia przez zero. Należy pamiętać o
zmienianiu czułości i podstawy czasu
oscyloskopu tak, by osiągnąć jak największą
dokładność. W czasie pomiaru umieścić
obwód rezonansowy zdala od innych
przedmiotów i nie przybliżać do niego rąk,
by nie zakłócić jego parametrów
pasożytniczym wpływem otoczenia.
0,000000
0,000005
0,000010
0,000015
0,000020
0,000025
0,000030
-0,004
-0,002
0,000
0,002
0,004
0,000000
0,000005
0,000010
0,000015
0,000020
0,000025
0,000030
• Wymienić w układzie opornik na 510 Ω i dokonać powtórnego pomiaru przebiegu prądu.
• Do zarejestrowanych przebiegów dopasować funkcję U
0
e
-at
cos(
ωt). Nanieść tę funkcję na
punkty doświadczalne. Na podstawie podanych na wykładzie wzorów na a i
ω wyznaczyć
indukcyjność obwodu. Dla poprawnej interpretacji wyników należy uwzględnić
rezystancję wyjściową generatora (50
Ω). Czy pojemności kabli i rezystancja wejściowa
oscyloskopu mają istotny wpływ na pracę obwodu oscylującego ? Czym wyjaśnić
rozbieżności wartości L otrzymane dla R=50
Ω i R= 510 Ω ?
Dodatek 4. Dopasowanie funkcji U
0
e
-at
cos (
ωt) do danych doświadczalnych.
• Miejsca zerowe szukanej funkcji wyznaczone są przez miejsca zerowe funkcji cosinus.
Okres tej funkcji (a dzięki temu i częstotliwość
ω) znajdujemy więc jako podwojoną
średnią arytmetyczną z odległości czasowych miedzy kolejnymi miejscami zerowymi.
• Tworzymy pomocniczy wykres (współrzędne : czas - napięcie, oś napięciowa -
logarytmiczna) dla bezwzględnych wartości zarejestrowanych maksimów i minimów.
Punkty doświadczalne ułożą się wzdłuż prostej : ln(
U) = -a(t-t
0
) + lnU
0
5
. Należy
dopasować tę prostą do punktów doświadczalnych, znajdując współczynnik nachylenia a
(a tym samym współczynnik tłumienia dla funkcji wykładniczej) oraz amplitudę U
0.
.
5
t
0
jest czasem wystąpienia pierwszego ekstremum po momencie wzbudzenia oscylacji.
16
Dodatek 5. Opisy.
Podstawą pozytywnej oceny pracy doświadczalnej jest rzetelne przeprowadzenie
eksperymentu, ale praca może być dobrze oceniona tylko wtedy, gdy jej wyniki zostaną poprawnie
opisane. Właściwe przedstawianie rezultatów swej pracy jest sztuką, której warto się uczyć.
Opis
doświadczenia z pracowni studenckiej powinien być zwięzły i zawierać tylko niezbędne
informacje. Nie ocenia się narzędzia, którym się posłużono (rachunek ręczny, suwak logarytmiczny,
kalkulator, maszyna do pisania, komputer), ale stronę merytoryczną i formę opisu, który musi być
czytelny.
W zasadzie opis powinien składać się z trzech części :
• wstępu, w którym wyjaśnia się cel doświadczenia. Nie należy tracić miejsca na podawanie historii
zjawisk i życiorysów odkrywców, ani przepisywać z podręczników partii materiałów z opisami
zjawiska.
• rozwinięcia, który zawiera przebieg doświadczenia , jego schemat, wyjaśnienia co do przebiegu
pomiaru, wyniki i ich dyskusję a także wnioski,
• zakończenia, będącego jednocześnie podsumowaniem, zawierającym wnioski ogólne.
Bardzo
ważna jest komunikatywność opisów - informacje powinny być przedstawione w taki
sposób, by były dobrze i jednoznacznie zrozumiałe dla czytającego. Poza poprawnym językiem należy
posłużyć się poprawną formą przedstawienia rezultatów. Wszystkie rysunki powinny być
ponumerowane i podpisane. Ideałem jest włączanie (choćby przez wklejanie) rysunku do odnoszącego
się do niego tekstu.
W czasie pomiarów dane są zwykle zapisywane w postaci tabeli, jednak, poza wyjątkowymi
przypadkami (takim przypadkiem jest ćwiczenie I z Pracowni Wstępnej), w opisie powinny się one
znaleźć w postaci wykresu. Tabele pomiarowe można dołączyć jako dodatek do opisu na jego końcu.
Wykres
spełni swoją rolę, jeżeli będzie
starannie opracowany. Należy zastanowić się, czy
zastosujemy na osiach skalę logarytmiczną, czy
liniową, czy jakąkolwiek inną. Oś powinna być
opisana, posiadać jasno zaznaczoną podziałkę i
podane jednostki. Przy wyborze skali logarytmicznej
(w skali ogólności nieliniowej) zaznaczamy na skali
nie logarytmy wartości, ale ich rzeczywiste wielkości.
Punkty doświadczalne powinny być reprezentowane
za pomocą odpowiednich symboli; powinny być
zaznaczone niepewności ich wartości wyliczone w
oparciu o rzetelny rachunek błędów. Jeżeli na tym
samym rysunku przedstawiamy różne serie
pomiarowe, stosujemy różne symbole.
Jeżeli badane zjawisko posiada swój opis
teoretyczny którego wynikiem jest konkretna funkcja
(jak w przypadku rezonansu) należy dopasować krzywą teoretyczną do danych doświadczalnych i
sprawdzić, czy parametry dopasowania potwierdzają zgodność teorii z doświadczeniem w granicach
błędu eksperymentalnego. Na osiach zaznaczmy charakterystyczne wielkości krzywej teoretycznej.
Niedopuszczalne jest łączenie punktów doświadczalnych prostą łamaną. Błędem jest także
ciągnięcie krzywej przez punkty doświadczalne przy pomocy krzywika. Krzywikiem można się
posłużyć aproksymując krzywą teoretyczną, ale wpierw należy zaznaczyć kilka punktów
teoretycznych. Wszystkie rysunki powinny być ponumerowane i podpisane. Dobrze jest włączać
rysunki (choćby przez wklejanie) do odnoszącego się do nich tekstu.
1
3
1
4
1
5
1
6
1
7
1
8
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,
częstotliwosc [Hz]
U
WY
/U
WE
ν
g1
ν
g2
1
2
/
Błąd !!
3 4 5 6 - błąd
Rysunek nie jest dodatkiem do tekstu, gdyż często dostarcza więcej informacji niż
wielostronicowy opis. Nie zwalnia to jednak autora pracy z konieczności przedyskutowania rysunku w
opisie.
Opracowując wyniki doświadczenia prezentujemy zwykle kilka tez. Należy jednoznacznie
wskazać w opisie fakt potwierdzający daną tezę.
17
Dodatek 6. Oscyloskop.
Oscyloskop jest uniwersalnym urządzeniem pomiarowym służącym do badania i wizualizacji
zmiennych przebiegów elektrycznych.
OSCYLOSKOP JEDNOKANAŁOWY- uproszczony schemat blokowy
jaskrawość
astygmatyzm
ostrość
działo
elektronowe
płytki odchylania
poziomego
płytki odchylania
pionowego
WZMACNIACZ ODCHYLANIA
PIONOWEGO;
dobór czułości i położenia obrazu
w pionie
WE „X”
WE „Y”
RODZAJ SPRZĘŻENIA:
DC, AC, GND
WZMACNIACZ ODCHYLANIA
POZIOMEGO;
położenie obrazu w poziomie,
rozdzielczość czasowa x5 (czułość),
GENERATOR
PODSTAWY
CZASU
rozdzielczość
czasowa
wygaszanie
napięcie
czas
świecenie
wyga-
szenie
świecenie
wyga-
szenie
Sygnał generatora podstawy czasu
18
Sposoby wyzwalania podstawy czasu
GENERATOR
PODSTAWY CZASU
ust. progu wyzwalania
WYBÓR SPOSOBU
WYZWALANIA:
ZEWnętrzny,
WEWnętrzny,
AUTOmatyczny
WE. Synchr. zew
WE Y
Uproszczony schemat oscyloskopu dwukanałowego
WE Y1
WE Y2
WZMACNIACZE ODCH. PIONOWEGO Y1 I Y2
niezależny dobór czułości i położenia obrazów na ekranie
PRZEŁĄCZNIK
ELEKTRON.
wybór kanału
(Y1 lub Y2)
albo
przełączanie
między kanałami
typu ALT lub
CHOPP.
GENERATOR
PODSTAWY CZASU
WYBÓR
WYZWALANIA :
z kanału Y1
lub Y2