9

WYKŁAD 2

Układy złożone z elementów biernych

Bierne elementy elektroniczne to :

opór R:

)

(

)

(

t

Ri

t

u

=

indukcyjność L:

dt

t

di

L

t

u

)

(

)

(

=

i pojemność C:

∫

=

=

dt

t

i

C

C

q

t

u

)

(

1

)

(

Rozważmy obwód złożony z tych elementów połączonych szeregowo, zasilany ze

źródła napięciowego o zmiennej sile elektromotorycznej reprezentowanej przez część

rzeczywistą wyrażenia: u(t)=U

0

e

j

ω

t

, gdzie U

0

oznacza amplitudę napięcia, a

ω=2πν -

częstotliwość kołową

1

. Natężenie prądu płynącego przez układ ma podobną postać:

i(t)=I

0

e

j

ω

t

.

u(t)

R

L

C

~

Skorzystamy z drugiego prawa Kirchhoffa :

C

dt

t

i

dt

t

di

L

t

Ri

t

u

∫

+

+

=

)

(

)

(

)

(

)

(

Podstawiając powyższe postaci natężenia oraz napięcia i dzieląc stronami przez I

0

otrzymujemy:

U

0

= = +

I

Z R

j L

j C

o

1

+

ω

ω

Wielkość Z jest impedancją powyższego obwodu i jest wielkością zespoloną. Możemy w

niej wyróżnić impedancje poszczególnych elementów: oporu: Z

R

=R, indukcyjności: Z

L

=j

ωL

oraz pojemności: Z

C

=1/j

ωC. Dokonaliśmy w ten sposób uogólnienia prawa Ohma dla

prądów zmiennych: napięcie u(t) jest liniowym funkcjonałem prądu i(t). Nadal obowiązują

prawa Kirchhoffa. W ogólności dla innych obwodów postać algebraiczna impedancji może

10

być inną liczbą zespoloną. W powyższym przypadku, przy szeregowym połączeniu

impedancji uzyskujemy wzór na impedancję wypadkową : Z

W

= Z

1

+Z

2

+...+Z

n

, analogiczny

jak przy łączeniu oporów. Przy równoległym połączeniu impedancji :

1/Z

W

=1/Z

1

+1/Z

2

+...+1/Z

n

.

Część rzeczywistą impedancji nazywa się rezystancją, część urojoną - reaktancją. Stosunek

reaktancji do rezystancji jest równy tangensowi kąta przesunięcia fazowego

ϕ między

napięciem i natężeniem.

Reprezentacja impedancji na płaszczyźnie zespolonej :

Rezystancja opisuje zdolność obwodu do

zamiany energii elektrycznej na ciepło: P =

1

2 0

I R

2

,

natomiast pojemność i indukcyjność - zdolność do

magazynowania energii elektrycznej, odpowiednio: E

Cu t

C

=

1

2

2

( ) - w polu elektrycznym

pojemności oraz E

Li t

L

=

1

2

2

( ) w polu magnetycznym indukcyjności.

Z

Im(Z)

Re(Z)

φ

Należy pamiętać, że opór, indukcyjność i pojemność to pojęcia teoretyczne.

Rzeczywiste konstrukcje, jak opornik, cewka czy kondensator zawierają wielkości

pasożytnicze oznaczone na rysunku poniżej indeksem p:

opór R

indukcyjność L

pojemność C

opornik

cewka

kondensator

R

L

p

C

p

L

C

p

L

p

C

R

p

R

p

R

d

⇒

⇒

⇒

- a więc są złożonymi impedancjami. Przy pewnych częstotliwościach sygnału wielkości

pasożytnicze mogą istotnie zniekształcić własności danego elementu.

1

Tutaj

oznacza jednostkę urojoną, w odróżnieniu od prądu i.

j

= −1

11

Obwód drgający

Rozważmy obwód złożony z szeregowo połączonych: indukcyjności, pojemności i
oporu. Kondensator został naładowany do napięcia
U

C0

, po czym zamknięto wyłącznik. Ruch ładunku w

obwodzie opisuje równanie :

0

)

=

C

dt

t

(

)

(

)

(

+

+

∫

i

dt

t

di

L

t

Ri

,

które łatwo można przekształcić w liniowe równanie
różniczkowe drugiego stopnia :

0

)

(

1

=

t

i

C

)

(

)

(

2

2

+

+

dt

t

di

R

dt

t

i

d

L

.

Zakładamy, że rozwiązanie ma postać wykładniczą :

. Podstawiając je do powyższego równania różniczkowego otrzymujemy

równanie algebraiczne:

i t

Ae

t

( )

=

α

L

R

C

α

α

2

1

+

+

= 0 , którego pierwiastki mają wartość:

α

1

2

2

= −

R

R

4

+

− L C

L

oraz

α

2

2

4

2

= −

−

−

R

R

L C

L

. Rozwiązanie równania ruchu

ładunku w obwodzie jest kombinacją liniową
rozwiązań z

α

1

i

α

2

:

R

C

L

i t

A e

( )

A

2

A e

t

t

=

+

1

2

1

2

α

α

,

przy czym wartości amplitud A

1

i A

2

możemy

wyznaczyć z warunków początkowych :

i

A

A

A

( )

,

0

0

1

2

1

= =

+

⇒

= − ,

(

)

U

L

di
dt

Ri

LA

A

U

L

C

t

C

0

0

1

1

2

1

0

1

2

=

+

=

−

⇒

=

−

=

α

α

α

α

,

Przypadki :

(

)

0

2

4

6

8

10

0

0.5

1

natężenie [mA]

czas [

µs]

Układ antyoscylacyjny

L=2 mH, C=1 nF, R=5kΩ

U

C0

=5 V

• Jeżeli R

L

2

4

≥

C , wtedy R

L C

2

4

−

)

(

2

1

t

t

e

e

α

α

−

jest liczbą

rzeczywistą i rozwiązania mają charakter
dwuwykładniczy :

, a więc po

wzbudzeniu prąd w obwodzie zanika.

)

(

1

A

t

i

=

0

10

20

30

-2

0

2

natężenie [mA]

czas [

µs]

Układ drgający :

L=2 mH, C=1 nF, R=300 Ω

U

C0

=5 V

• Gdy R

L

2

4

<

C , wtedy R

L

2

4

−

C jest liczbą

urojoną i rozwiązania mają charakter oscylacyjny

:

)

sin(

)

(

2

0

t

e

L

U

t

i

x

t

L

R

x

C

ω

ω

−

=

2

, gdzie częstotliwość

oscylacji

2

2

4

1

L

R

LC

x

−

=

ω

.

2

Skorzystaliśmy tutaj z tożsamości :

j

e

e

x

jx

jx

2

−

−

=

sin

.

12

• W szczególnym przypadku, gdy R=0 otrzymujemy drgania niegasnące [3] :

i t

U

C L

t

C

( )

sin(

)

=

0

ω

0

, gdzie częstotliwość oscylacji :

ω

0

1

=

LC .

Filtr rezonansowy szeregowy.

Obecnie

będziemy analizowali pracę

szeregowego układu RLC, do którego dołączono
napięciowe

źródło sygnału przemiennego o

częstotliwości

ω. Ze wzoru na dzielnik napięcia

otrzymujemy napięcie na poszczególnych elementach :

C

j

L

j

R

C

j

t

u

t

u

we

C

ω

ω

ω

1

)

(

)

(

+

+

=

,

,

C

j

L

j

R

t

Ru

t

u

t

u

we

R

WY

ω

ω

1

)

(

)

(

)

(

+

+

=

=

u t

j Lu

t

R

j L

j C

L

we

( )

( )

=

+

+

ω

ω

ω

1

Stosunek amplitud napięcia wyjściowego do wejściowego (tzw. transmitancja układu)

wynosi:

(

)

2

2

1

C

L

R

R

U

U

we

wy

ω

ω −

+

=

,

a przesunięcie fazowe między sygnałem
wejściowym i wyjściowym :

RC

LC

arctan

ω

ω

ϕ

1

2

−

=

Układ ten nazywany jest filtrem
rezonansowym szeregowym. Pasmo jego
przepuszczania zlokalizowane jest w okolicach
częstotliwości

ω

0

1

=

LC .

Pasmo przenoszenia filtru rozciąga się od

ν

g1

do

ν

g2

,, nazywanych częstościami

granicznymi. Dla częstości granicznych
zachodzi równość :

-

U

U

wy

we

= 1 2

, oraz :

ϕ

π

=

4

.

u

we

(t)

L

R

C

u

wy

(t)

10

3

10

4

10

5

10

6

10

7

10

8

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,

częstotliwosc [Hz]

U

WY

/U

WE

L = 2 mH, C = 1 nF

R=50

Ω

R=300

Ω

ν

g1

ν

g2

1

2

/

10

3

10

4

10

5

10

6

10

7

częstotliwość [Hz]

faza [rad]

ν

g1

ν

g2

π/4

-

π/4

L=2 mH, C=1 nF

R=300

Ω

R=50

Ω

π/2

π/2

[3] Ponieważ w rzeczywistym obwodzie zawsze występuje dodatnia rezystancja (np.
pasożytnicza), aby uzyskać R=0 do obwodu należy wprowadzić rezystancję ujemną, którą jest
np. wzmacniacz albo inny odpowiedni element elektroniczny.

13

Dla częstotliwości

ω

0

1

=

/ LC moduły napięć na poszczególnych elementach obwodu mają

odpowiednio wartości :

U

U

R

L

C

C

=

0

, U

U

R

L

C

L

=

0

, U

R

=U

0

.

a impedancja obwodu wynosi R. Dla tej częstotliwości znika łączna impedancja elementów

reaktancyjnych, a napięcia na kondensatorze i indukcyjności osiągają wartości maksymalne.

Zjawisko to nosi nazwę rezonansu, a

ω

0

to częstotliwość rezonansowa. W rezonansie

amplitudy napięcia na indukcyjności lub na pojemności mogą przekroczyć amplitudę napięcia

wejściowego. Wielkość:

Q

U

U

U

U

R

L

C

L

C

=

=

=

0

0

1

,

nazywana jest dobrocią obwodu

4

. Inna postać dobroci :

Q

U

U

j

L

R

T

I L
I R

T

E

P

L

L

=

=

=

=

0

0

1

2 0

2

1

2 0

2

2

2

ω

π

π

Ogólna definicja : Dobroć wyraża stosunek energii zmagazynowanej w układzie

rezonansowym (E

L

) do mocy traconej w nim (P) w ciągu jednego okresu drgań (T).

Magazynowanie energii w elementach reaktancyjnych obwodu rezonansowego o

wysokiej dobroci i wywołane przez nie „podbijanie” napięcia jest wykorzystywane do filtracji

i transformowania sygnałów o określonej częstotliwości.

Filtr rezonansowy równoległy :

u(t)

R

C

L

u

wy

(t)

u

t

u t

wy

( )

( )

=











j C

j L

R

j C

j L

+






+

+






−

−

ω

ω

ω

ω

1

1

1

1

Dla częstotliwości rezonansowej

ω

0

1

=

/ LC

napięcie wyjściowe osiąga wartość minimalną.

.

4

Wykazać (to co widać na rysunkach na poprzedniej stronie), że Q=

ω

0

/

∆ω, gdzie ∆ω jest

szerokością połówkową charakterystyki układu rezonansowego, czyli funkcji

f(

ω)=|u

C

(

ω,t)/u(ω,t)|.

14

PRACOWNIA WSTĘPNA

Instrukcja do ćwiczenia nr.2 pt. „Układ oscylujący”

1. Cel ćwiczenia.

• Zaznajomienie się z oscyloskopem i generatorem.
• Zbadanie własności układu oscylującego RLC

2. Wymagania :

• Materiał z poprzednich wykładów i ćwiczeń.
• Biegła umiejętność rozwiązywania obwodów z elementami RLC.
• Znajomość przepływu prądu przez układ oscylujący.

3. Wykonanie ćwiczenia.

• Zmontować na płytce

obwód drgający według

podanego obok

schematu. W pierwszej

kolejności do budowy

układu użyć opornika o

wartości 50

Ω.

• Zbudować układ

pomiarowy podłączając na

wejście obwodu drgającego

generator, Wyjścia obwodu

drgającego łączymy z

kanałem B oscyloskopu.

Sygnał z wyjścia generatora

poprzez trójnik należy doprowadzić do kanału A oscyloskopu. Podstawa czasu

oscyloskopu powinna być wyzwalana w sposób zewnętrzny, z dodatkowych wyjść

generatora.

L

C = 1 nF

50

Ω

lub
510

Ω

W E

W Y

R

generator

oscyloskop

obwód

B

A

ext. trig.

WE

WY

WY

(trójnik BNC)

WY

dod.

• Na wejście obwodu podać z generatora sygnał prostokątny o maksymalnej amplitudzie i

o częstotliwości 1 kHz. Zbocza narastające i opadające tego sygnału pobudzają w

obwodzie drgania gasnące.

15

• Dokonać pomiaru kształtu pojedynczego

ciągu oscylacji, szczególnie starannie

rejestrując jego maksima i minima oraz

przejścia przez zero. Należy pamiętać o

zmienianiu czułości i podstawy czasu

oscyloskopu tak, by osiągnąć jak największą

dokładność. W czasie pomiaru umieścić

obwód rezonansowy zdala od innych

przedmiotów i nie przybliżać do niego rąk,

by nie zakłócić jego parametrów

pasożytniczym wpływem otoczenia.

0,000000

0,000005

0,000010

0,000015

0,000020

0,000025

0,000030

-0,004

-0,002

0,000

0,002

0,004

0,000000

0,000005

0,000010

0,000015

0,000020

0,000025

0,000030

• Wymienić w układzie opornik na 510 Ω i dokonać powtórnego pomiaru przebiegu prądu.

• Do zarejestrowanych przebiegów dopasować funkcję U

0

e

-at

cos(

ωt). Nanieść tę funkcję na

punkty doświadczalne. Na podstawie podanych na wykładzie wzorów na a i

ω wyznaczyć

indukcyjność obwodu. Dla poprawnej interpretacji wyników należy uwzględnić

rezystancję wyjściową generatora (50

Ω). Czy pojemności kabli i rezystancja wejściowa

oscyloskopu mają istotny wpływ na pracę obwodu oscylującego ? Czym wyjaśnić

rozbieżności wartości L otrzymane dla R=50

Ω i R= 510 Ω ?

Dodatek 4. Dopasowanie funkcji U

0

e

-at

cos (

ωt) do danych doświadczalnych.

• Miejsca zerowe szukanej funkcji wyznaczone są przez miejsca zerowe funkcji cosinus.

Okres tej funkcji (a dzięki temu i częstotliwość

ω) znajdujemy więc jako podwojoną

średnią arytmetyczną z odległości czasowych miedzy kolejnymi miejscami zerowymi.

• Tworzymy pomocniczy wykres (współrzędne : czas - napięcie, oś napięciowa -

logarytmiczna) dla bezwzględnych wartości zarejestrowanych maksimów i minimów.

Punkty doświadczalne ułożą się wzdłuż prostej : ln(

U) = -a(t-t

0

) + lnU

0

5

. Należy

dopasować tę prostą do punktów doświadczalnych, znajdując współczynnik nachylenia a

(a tym samym współczynnik tłumienia dla funkcji wykładniczej) oraz amplitudę U

0.

.

5

t

0

jest czasem wystąpienia pierwszego ekstremum po momencie wzbudzenia oscylacji.

16

Dodatek 5. Opisy.

Podstawą pozytywnej oceny pracy doświadczalnej jest rzetelne przeprowadzenie
eksperymentu, ale praca może być dobrze oceniona tylko wtedy, gdy jej wyniki zostaną poprawnie
opisane. Właściwe przedstawianie rezultatów swej pracy jest sztuką, której warto się uczyć.
Opis

doświadczenia z pracowni studenckiej powinien być zwięzły i zawierać tylko niezbędne

informacje. Nie ocenia się narzędzia, którym się posłużono (rachunek ręczny, suwak logarytmiczny,
kalkulator, maszyna do pisania, komputer), ale stronę merytoryczną i formę opisu, który musi być
czytelny.
W zasadzie opis powinien składać się z trzech części :
• wstępu, w którym wyjaśnia się cel doświadczenia. Nie należy tracić miejsca na podawanie historii

zjawisk i życiorysów odkrywców, ani przepisywać z podręczników partii materiałów z opisami
zjawiska.

• rozwinięcia, który zawiera przebieg doświadczenia , jego schemat, wyjaśnienia co do przebiegu

pomiaru, wyniki i ich dyskusję a także wnioski,

• zakończenia, będącego jednocześnie podsumowaniem, zawierającym wnioski ogólne.
Bardzo

ważna jest komunikatywność opisów - informacje powinny być przedstawione w taki

sposób, by były dobrze i jednoznacznie zrozumiałe dla czytającego. Poza poprawnym językiem należy
posłużyć się poprawną formą przedstawienia rezultatów. Wszystkie rysunki powinny być
ponumerowane i podpisane. Ideałem jest włączanie (choćby przez wklejanie) rysunku do odnoszącego
się do niego tekstu.

W czasie pomiarów dane są zwykle zapisywane w postaci tabeli, jednak, poza wyjątkowymi

przypadkami (takim przypadkiem jest ćwiczenie I z Pracowni Wstępnej), w opisie powinny się one
znaleźć w postaci wykresu. Tabele pomiarowe można dołączyć jako dodatek do opisu na jego końcu.
Wykres

spełni swoją rolę, jeżeli będzie

starannie opracowany. Należy zastanowić się, czy
zastosujemy na osiach skalę logarytmiczną, czy
liniową, czy jakąkolwiek inną. Oś powinna być
opisana, posiadać jasno zaznaczoną podziałkę i
podane jednostki. Przy wyborze skali logarytmicznej
(w skali ogólności nieliniowej) zaznaczamy na skali
nie logarytmy wartości, ale ich rzeczywiste wielkości.
Punkty doświadczalne powinny być reprezentowane
za pomocą odpowiednich symboli; powinny być
zaznaczone niepewności ich wartości wyliczone w
oparciu o rzetelny rachunek błędów. Jeżeli na tym
samym rysunku przedstawiamy różne serie
pomiarowe, stosujemy różne symbole.

Jeżeli badane zjawisko posiada swój opis

teoretyczny którego wynikiem jest konkretna funkcja
(jak w przypadku rezonansu) należy dopasować krzywą teoretyczną do danych doświadczalnych i
sprawdzić, czy parametry dopasowania potwierdzają zgodność teorii z doświadczeniem w granicach
błędu eksperymentalnego. Na osiach zaznaczmy charakterystyczne wielkości krzywej teoretycznej.
Niedopuszczalne jest łączenie punktów doświadczalnych prostą łamaną. Błędem jest także
ciągnięcie krzywej przez punkty doświadczalne przy pomocy krzywika. Krzywikiem można się
posłużyć aproksymując krzywą teoretyczną, ale wpierw należy zaznaczyć kilka punktów
teoretycznych. Wszystkie rysunki powinny być ponumerowane i podpisane. Dobrze jest włączać
rysunki (choćby przez wklejanie) do odnoszącego się do nich tekstu.

1

3

1

4

1

5

1

6

1

7

1

8

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,

częstotliwosc [Hz]

U

WY

/U

WE

ν

g1

ν

g2

1

2

/

Błąd !!

3 4 5 6 - błąd

Rysunek nie jest dodatkiem do tekstu, gdyż często dostarcza więcej informacji niż

wielostronicowy opis. Nie zwalnia to jednak autora pracy z konieczności przedyskutowania rysunku w
opisie.
Opracowując wyniki doświadczenia prezentujemy zwykle kilka tez. Należy jednoznacznie
wskazać w opisie fakt potwierdzający daną tezę.

17

Dodatek 6. Oscyloskop.

Oscyloskop jest uniwersalnym urządzeniem pomiarowym służącym do badania i wizualizacji

zmiennych przebiegów elektrycznych.

OSCYLOSKOP JEDNOKANAŁOWY- uproszczony schemat blokowy

jaskrawość

astygmatyzm

ostrość

działo

elektronowe

płytki odchylania

poziomego

płytki odchylania

pionowego

WZMACNIACZ ODCHYLANIA

PIONOWEGO;

dobór czułości i położenia obrazu

w pionie

WE „X”

WE „Y”

RODZAJ SPRZĘŻENIA:

DC, AC, GND

WZMACNIACZ ODCHYLANIA

POZIOMEGO;

położenie obrazu w poziomie,

rozdzielczość czasowa x5 (czułość),

GENERATOR

PODSTAWY

CZASU

rozdzielczość

czasowa

wygaszanie

napięcie

czas

świecenie

wyga-
szenie

świecenie

wyga-
szenie

Sygnał generatora podstawy czasu

18

Sposoby wyzwalania podstawy czasu

GENERATOR

PODSTAWY CZASU

ust. progu wyzwalania

WYBÓR SPOSOBU

WYZWALANIA:

ZEWnętrzny,

WEWnętrzny,

AUTOmatyczny

WE. Synchr. zew

WE Y

Uproszczony schemat oscyloskopu dwukanałowego

WE Y1

WE Y2

WZMACNIACZE ODCH. PIONOWEGO Y1 I Y2

niezależny dobór czułości i położenia obrazów na ekranie

PRZEŁĄCZNIK

ELEKTRON.

wybór kanału

(Y1 lub Y2)

albo

przełączanie

między kanałami

typu ALT lub

CHOPP.

GENERATOR

PODSTAWY CZASU

WYBÓR

WYZWALANIA :

z kanału Y1

lub Y2