POLITECHNIKA WARSZAWSKA 

WIECZOROWE STUDIA ZAWODOWE 

RADIOKOMUNIKACJA I TECHNIKI MULTIMEDIALNE 

 

 

 

 

 

Preskrypt wykładu 

 

 

 

 

PODSTAWY METROLOGII 

 

 

Wydanie 3 poprawione 

 

 

 

 

 

 

Opracował:  dr inŜ. Jerzy Olędzki 

 

 

 

 

 

 

 

Warszawa 2003 

 

2 

 

Wykład 1 

Wstęp do pomiarów 

 

Wielkość, jednostka, wartość, system wielkości, system jednostek. O błędzie pomiaru i narzę-

dziach  pomiarowych. O sygnałach i ich przetwarzaniu. Typowe elektryczne przyrządy pomia-

rowe.  

 

Pojęcia podstawowe metrologii 

 

Pomiar to doświadczenie, którego celem jest wyznaczenie pewnej liczby, zwanej war-

tością  liczbową  wielkości  albo  miarą  wielkości.  Tak  jak  liczność  jest  abstrakcyjną  cechą 

zbioru;  tak  wielkość  jest  abstrakcyjną  cechą  obiektów  określonej  kategorii,  np.  długość  jest 

cechą odcinków, masa jest cechą przedmiotów materialnych. Wartość liczbowa wielkości od-

noszącej  się  do  wybranego  obiektu  jest  liczbą  równą  stosunkowi  tej  wielkości  do  wielkości 

przyjętej  jako  jednostka  miary.  Pomiar  polega  na  porównywaniu  pod  względem  mierzonej 

wielkości badanego obiektu z obiektami o znanych wartościach tej wielkości, czyli wzorcami, 

tak jak przy pomiarze długości linijką lub waŜeniu za pomocą wagi dźwigniowej i odwaŜni-

ków.  Liczność  jest  cechą  daną  w  sposób  naturalny.  Wielkość  musi  być  najpierw 

zdefiniowana, a mierzyć ją moŜna dopiero po przyjęciu jednostki miary. 

Metrologia jest nauką o pomiarach. Nazwa metrologia pochodzi od greckich słów 

µετρον

 – 

miara i 

λογος

 – słowo, nauka. Zamiast metrologia uŜywa się takŜe nazwy miernictwo, od cza-

sownika mierzyć czyli wykonywać pomiary. 

Wielkość  (niekiedy  opatruje  się  ją  przymiotnikiem  mierzalna)  jest  cechą  zjawiska,  ciała  lub 

substancji, którą moŜna rozróŜniać jakościowo i określać ilościowo. Przykłady wielkości: dłu-

gość  –  cecha  odcinków,  masa  –  cecha  przedmiotów,  ładunek  elektryczny  –  cecha 

przedmiotów naładowanych elektrycznie. 

Wartość  wielkości  jest  wyraŜeniem  ilościowym  przejawu  wielkości  zwykle  jako  iloczynu 

liczby  (zwanej  wartością  liczbową  wielkości)  i  jednostki  miary  wielkości.  Tak  określoną 

wartość nazywa się takŜe wartością mianowaną. 

Jednostka miary wielkości jest określonym, umownie przyjętym przejawem wielkości, z któ-

rym porównuje się inne przejawy tej wielkości, w celu ich ilościowego wyraŜenia w stosunku 

do tego przejawu. Jednostce miary przyporządkowuje się wartość liczbową jeden. 

 

 

3 

O błędzie pomiaru i narzędziach pomiarowych 

 

Nieodłączną cechą pomiaru jest jego niedokładność, co oznacza, Ŝe wartość zmierzona 

~

x

 (otrzymana w wyniku pomiaru) róŜni się na ogół od wartości prawdziwej  x&  wielkości mie-

rzonej. Miarą niedokładności pomiaru są błędy pomiaru: prawdziwy błąd pomiaru i graniczny 

błąd pomiaru

. 

 

Pomiary  wykonuje  się  za  pomocą  narzędzi.  Narzędzia  charakterystyczne  dla 

pomiarów nazywają się narzędziami pomiarowymi. Do narzędzi pomiarowych naleŜą: wzorce 

miar

, przyrządy pomiarowe i przetworniki pomiarowe. 

 

Wzorzec miary

 jest narzędziem, substancją lub zjawiskiem fizycznym odtwarzającym, 

w  granicach  określonej  niedokładności,  przejaw  wielkości  o  określonej  wartości.  O  wzorcu 

miary (wielkości) mówi się, Ŝe odtwarza określoną wartość wielkości. Wzorzec jest wzorcem 

jednomiarowym

,  jeŜeli  odtwarza  jedną  tylko  wartość  wielkości  i  wzorcem  wielomiarowym, 

jeŜeli  odtwarza  wiele  wartości  wielkości. Deklarowana  wartość  wielkości,  którą  odtwarza 

wzorzec nazywa się wartością nominalną wzorca lub wskazaniem wzorca. 

Przykład 1 

(a)

 

Międzynarodowy prototyp metra przechowywany w Międzynarodowym Biurze Miar (BIPM) w Sèvres pod 

ParyŜem i wyskalowana linijka są wzorcami miar długości. 

(b)

 

 Międzynarodowy prototyp kilograma przechowywany w Międzynarodowym Biurze Miar (BIPM) w Sèvres 

pod ParyŜem i odwaŜniki są wzorcami miary masy. 

(c)

 

Opornik wzorcowy, kondensator wzorcowy, ogniwo wzorcowe są wzorcami miar wielkości elektrycznych. 

(d)

 

Stałe punkty termometryczne Międzynarodowej Praktycznej Skali Temperatur są wzorcami temperatury. 

 

Przyrząd  pomiarowy

  jest  narzędziem  pomiarowym  przeznaczonym  do  wykonywania 

pomiarów, samodzielnie lub w połączeniu z innymi urządzeniami, z udziałem lub bez udziału 

człowieka,  tworzącym  zamkniętą  całość  konstrukcyjną.  Najpopularniejszy  przyrząd  pomia-

rowy to przyrząd pomiarowy wskazujący czyli miernik, tj. przyrząd formujący sygnał przeno-

szący odczytywalną przez człowieka informację o wartości wielkości mierzonej. Sygnał for-

mowany przez miernik nazywa się wskazaniem miernika, a część miernika formująca wskaza-

nie  –  urządzeniem  wskazującym.  Nazwy  mierników  tworzy  się  przez  dodanie  końcówki  -

omierz

  do  nazwy  wielkości  mierzonej  (np.  długościomierz,  częstościomierz)  lub  do  nazwy 

jednostki mierzonej wielkości (np. amperomierz, woltomierz, sekundomierz). 

 

Wskazanie miernika jest analogowe, jeŜeli ma postać przesunięcia wskazówki wzdłuŜ 

skali pomiarowej, przesunięcie wskazówki mierzy się porównując je ze wskazami (kreskami) 

tworzącymi skalę, tak jak przy pomiarze długości wyskalowaną linijką, z tym, Ŝe linijka jest 

 

4 

wyskalowana w jednostkach długości, skala miernika zaś w jednostkach wielkości mierzonej. 

Wskazanie jest cyfrowe, jeŜeli ma postać ciągu wyświetlanych cyfr, reprezentujących wartość 

liczbową wielkości mierzonej. Miernik o wskazaniu analogowym nazywa się miernikiem ana-

logowym

,  miernik  o  wskazaniu  cyfrowym  –  miernikiem  cyfrowym.  Na  rys.1  schematycznie 

pokazano widok woltomierza analogowego i woltomierza cyfrowego. 

 

 

Rys.1. Woltomierz analogowy (a) i cyfrowy (b) 

 

Miernik analogowy moŜe mieć wskazanie analogowo-ciągłe, tzn. jego wskazówka, przy cią-

głych zmianach wielkości mierzonej, porusza się ruchem ciągłym, lub analogowo-dyskretne, 

tzn.  jego  wskazówka,  przy  ciągłych  zmianach  wielkości  mierzonej,  porusza  się  ruchem 

skokowym. 

Przykład 2 

(a)

 

Amperomierz  magnetoelektryczny,  termometr  rtęciowy  (wskazówką  termometru  rtęciowego  jest  koniec 

słupa rtęci) i waga spręŜynowa są miernikami analogowymi. 

(b)

 

Zegar mechaniczny i kwarcowy są miernikami analogowo-dyskretnymi. 

(c)

 

Woltomierz cyfrowy i częstościomierz cyfrowy są miernikami cyfrowymi. 

 

Miernik wielkości x wskazuje wartość  ~

x

 tej wielkości (jest to wartość zmierzona lub 

wskazanie  miernika).  Charakterystycznym  dla  miernika  jest  jego  zakres  pomiarowy 

[X

min

, X

max

], tzn. przedział, wewnątrz którego mieści się wskazanie  ~

x

 miernika. RóŜnica gór-

nej granicy X

max

 i dolnej granicy X

min

 zakresu pomiarowego 

X

X

X

mm

=

−

max

min

 

(1) 

nazywa się długością zakresu pomiarowego i jest waŜnym parametrem miernika. Zwykle za-

kres pomiarowy zaczyna się od zera [0, X

max

], długość takiego zakresu pomiarowego, równa 

 

5 

górnej  granicy  zakresu  pomiarowego  X

mm

  =  X

max

,  jest  nazywana  wprost  zakresem  pomiaro-

wym, a zakres miernika określa się podając tylko X

max

. Dla mierników cyfrowych zakres po-

miarowy,  zwykle  zaczynający  się  od  zera  jest  określony  liczbą  cyfr  i  wartością  jednostki 

ostatniego  rzędu  q  czyli  tzw.  cyfrą.  Wartość  jednostki  ostatniego  rzędu  q  (zwana  takŜe 

wartością  cyfry,  kwantem,  czułością  lub  LSB  od  ang.  least  significant  bit)  jest  podawana  w 

jednostkach wielkości mierzonej, równa się ona prawie zawsze dziesiętnej podwielokrotności 

jednostki  wielkości  mierzonej.  Zakres  miernika  cyfrowego  moŜe  być  podawany  jako  zakres 

wielkości  mierzonej  [0,  X

max

),  częściej  nawet  jako  X

max

,  lub  zakres  wskazań  cyfrowych  [0, 

N

max

), częściej nawet jako N

max

, przy czym zachodzi 

X

N

q

max

max

=

 

(2) 

a  N

max

 jest zwiększoną o jeden największą liczbą (nie uwzględniając przecinka, który wyzna-

cza wartość kwantu q) wskazywaną przez miernik. Stosuje się nazwy: 

•

 

miernik M cyfrowy czyli miernik o M cyfrach mogących przyjmować wartości 0,1,...,9 kaŜda; 

dla takiego miernika N

max

 = 10

M

, 

•

 

miernik  M  i 

1

/

2

  cyfrowy  czyli  miernik  o  M  cyfrach  mogących  przyjmować  wartości  0,1,...,9 

kaŜda, i pierwszej mogącej przyjmować wartości 0 i 1; dla takiego miernika  N

max

 = 2

⋅

10

M

, 

•

 

miernik  M  i  3/4 cyfrowy czyli miernik o M cyfrach mogących przyjmować wartości 0,1,...,9 

kaŜda, i pierwszej mogącej przyjmować wartości 0,1,2,4; dla takiego miernika  N

max

 = 5

⋅

10

M

. 

 

 KaŜdy miernik z natury jest niedokładny, wskazanie miernika  x

~  róŜni się od wartości 

prawdziwej  x&  wielkości mierzonej.  

 

 

 

O sygnałach i ich przetwarzaniu 

 

Sygnałem pomiarowym

 będziemy nazywali sygnał przenoszący informację o wartości 

wielkości  mierzonej  (ogólnie  o  tzw.  mezurandzie)  lub  informację  innego  rodzaju  niezbędną 

dla realizacji pomiaru. Sygnał pomiarowy ma trzy elementy: 

•

 

treść sygnału

 czyli informację (wiadomość) przenoszoną przez sygnał, 

•

 

nośnik  sygnału

  czyli  zjawisko  przenoszące  treść  sygnału,  nośnik  jest  często  utoŜsamiany  z 

wielkościami  modelującymi  zjawisko  przenoszące  informację,  wielkości  te  są  nazywane 

wielkościami nośnymi

 lub wprost nośnikami, 

 

 

6 

•

 

kod sygnału

 czyli zaleŜność między treścią a nośnikiem, zwykle kod ma  postać zaleŜności 

między treścią a wartością nośnika, którą moŜe być wartość wielkości nośnej, parametr roz-

kładu wielkości nośnej lub inna reprezentacja nośnika. 

Treści sygnałów pomiarowych albo są liczbami rzeczywistymi, albo są sprowadzalne do liczb 

rzeczywistych.  W  praktyce  treść  sygnału  jest  nazywana  wprost  sygnałem,  a  przez  wartość 

sygnału

 rozumie się wartość treści sygnału. 

 

Niektóre sygnały pomiarowe mają tę właściwość, Ŝe ich treści mogą być wyznaczone 

przez człowieka za pomocą jego zmysłu wzroku. Sygnały te są nazywane sygnałami wizual-

nymi

 lub wskazaniami, jeŜeli są formowane przez przyrządy pomiarowe. 

 

Szczególny rodzaj sygnału pomiarowego, tzw. sygnał naturalny, ma nośnik w postaci 

pojedynczej  wielkości  fizycznej,  treścią  sygnału  są  zaś  wartości  liczbowe  tej  wielkości. 

Jednym  z  sygnałów  naturalnych  jest  wielkość  mierzona.  Bardziej  złoŜoną  postać  mają 

sygnały  modulowane

,  w  których  treść  sygnału  jest  przenoszona  przez  parametr  rozkładu 

czasowego  wielkości  nośnej.  Osobną  grupę  stanowią  sygnały  losowe,  których  nośniki  są 

modelowane  procesami  stochastycznymi,  a  treść  jest  przenoszona  przez  charakterystyki 

probabilistyczne nośników. 

 

ZaleŜnie od natury fizycznej nośnika rozróŜnia się sygnały elektryczne, optyczne, me-

chaniczne  itp.  Szczególne  znaczenie,  ze  względu  na  łatwość  formowania,  kształtowania  i 

przesyłania mają sygnały elektryczne, chociaŜ moŜna juŜ obserwować wzrastające znaczenie 

sygnałów optycznych przesyłanych światłowodami. 

Przykład 3 

(a)

 

Napięcie  z    ogniwa  termoelektrycznego  platyna  -  platyna-rod  jest  sygnałem  prostym,  wartości  napięcia  są 

zaleŜne od treści sygnału - róŜnicy temperatur złącza roboczego i złącza odniesienia. 

(b)

 

Wskazanie przyrządu pomiarowego analogowego lub cyfrowego jest sygnałem wizualnym. 

(c)

 

Sygnał  o  nośniku  sinusoidalnie  zmiennym  x(t) 

=

 sin (2

π

 f 

+

 

ϕ

),  w  którym  treść  jest  przenoszona  przez 

amplitudę A lub częstotliwość f lub fazę początkową 

ϕ

 jest sygnałem modulowanym amplitudowo lub czę-

stotliwościowo lub fazowo. 

 

Wśród  sygnałów  pomiarowych  wyróŜnia  się  dwie  grupy  sygnałów:  sygnały 

analogowe i sygnały cyfrowe. 

 

Sygnał analogowy jest to sygnał pomiarowy, którego treściami są liczby rzeczywiste, 

a kod sygnału, tzn. zaleŜność treści od nośników ma postać funkcji wartości lub parametrów 

rozkładu czasowego wielkości nośnych. Wśród sygnałów analogowych rozróŜnia się sygnały 

analogowo-ciągłe

 (zwane często wprost sygnałami analogowymi), których treści mogą przyj-

mować  dowolne  wartości  z  pewnego  przedziału  liczb  rzeczywistych  i  sygnały  analogowo-

 

7 

dyskretne

 (zwane takŜe sygnałami kwantowymi), których treściami są tylko niektóre wartości 

z  pewnego  przedziału  liczb  rzeczywistych.  Kod  sygnału  analogowego,  czyli  zaleŜność  C 

wartości treści x sygnału od wartości chwilowej u nośnika lub wartości chwilowych nośników 

u

1

, u

2

,..., u

L

 ma ogólną postać 

)

,...,

,

(

  

lub

  

)

(

L

2

1

u

u

u

C

x

u

C

x

=

=

 

(3) 

Dla  sygnału  naturalnego  kod  jest  identycznością.  Wygodniej  jest  jednak  przedstawiać  kod 

jako 







=

=

=

=

=

)

,...,

,

(

   

lub

  

)

(

nawet  

 

a

  

,

  

zwykle

  

),

(

L

2

1

u

u

u

F

U

u

F

U

U

x

U

K

x

U

f

x

 

(4) 

Gdzie  f()   – funkcja rzeczywista, 

 

K

    – współczynnik proporcjonalności, 

 

U

    – parametr nośnika (nośników) przenoszący treść sygnału, 

 

F

() – operator określający parametr. 

Parametrem  kodu  moŜe  być  amplituda  lub  częstotliwość  nośnika  harmonicznego,  wartość 

skuteczna nośnika okresowo zmiennego itp. Dla sygnałów analogowo-ciągłych x jest zmienną 

ciągłą (moŜe przyjmować dowolne wartości), dla sygnału analogowo-dyskretnego – zmienną 

dyskretną. 

Przykład 4 

(a)

 

Wielkość,  której  wartość  jest  przedmiotem  pomiaru  (czyli  tzw.  mezurandem),  napięcie  z  ogniwa 

termoelektrycznego jako sygnał o róŜnicy temperatur i wskazanie analogowego przyrządu pomiarowego są 

sygnałami analogowo-ciągłymi. 

(b)

 

Wskazanie  zegarka  mechanicznego  i  zegarka  cyfrowego  ze  wskazaniem  analogowym  oraz  sygnał  wyj-

ściowy  przetwornika  cyfrowo-analogowego  sygnału  cyfrowego  w  napięcie  są  sygnałami  analogowo-dys-

kretnymi. 

 

Sygnał cyfrowy jest to sygnał pomiarowy,  w którym treściami są liczby  rzeczywiste 

przedstawione w zapisie cyfrowym, a nośniki sygnału kodują poszczególne cyfry oddzielnie. 

ZaleŜnie od podstawy systemu zapisu liczby rozróŜnia się sygnały jedynkowe czyli unitarne

1

, 

sygnały  dwójkowe

  czyli  binarne,  sygnały  dziesiętne  czyli  dekadowe,  sygnały  szesnastkowe 

czyli  heksadecymalne  itd.  Cyfry  zapisu  dziesiętnego  mogą  być  kodowane  w  systemie 

dwójkowym,  co  prowadzi  do  sygnału  dwójkowo-dziesiętnego.  Cyfry  zapisu  szesnastkowego 

są zawsze kodowane w systemie dwójkowym. 

                                                           

1

  Zapis  jedynkowy,  historycznie  pierwszy  system  zapisu,  operuje  cyfrą  o  jednej  wartości  1  i  zapisuje  liczbę 

k jako  ciąg  k  jedynek.  Pierwowzorem  zapisu  jedynkowego  był  system  nacięć  na  kiju.  Elektryczny  sygnał 
w kodzie jedynkowym ma postać paczek impulsów, kaŜda paczka sygnalizuje liczbę liczbą impulsów w paczce. 

 

8 

 

Szczególne  znaczenie  mają  sygnały  zero-jedynkowe  czyli  dwustanowe,  najczęściej 

o naturze  elektrycznej.  Sygnał  zero-jedynkowy  jest  zbiorem  sygnałów  elementarnych  (np. 

napięć  elektrycznych),  z  których  kaŜdy  moŜe  przyjmować  jeden  z  dwóch  dopuszczalnych 

stanów (np. napięcie bliskie zeru i napięcie bliskie wartości 5 V) umownie oznaczanych jako 

„0” i „1” czyli tzw. „zero logiczne” i „jedynka logiczna”. Pojedynczy sygnał elementarny w 

jego  aspekcie  informacyjnym  jest  nazywany  bitem,  sygnał  zero-jedynkowy  złoŜony  z  M 

sygnałów  elementarnych  jest  sygnałem  M-bitowym.  Wartością  nośnika  sygnału  zero-

jedynkowego  M  bitowego  jest  ciąg  zero-jedynkowy  uporządkowany  od  bitu  najmniej 

znaczącego{a

0

, a

1

,...,      a

M-2

, a

M-1

}  lub  uporządkowany  od  bitu  najbardziej  znaczącego 

{b

1

, b

2

,..., b

M-1

, b

M

},  gdzie  poszczególne  bity  am i bj mogą przyjmować wartości „0” lub „1”, 

przy  czym  wygodnie  jest  utoŜsamiać  „zero  logiczne”  z  liczbą  0,  a  „jedynkę  logiczną”  z 

liczbą 1. Sygnał M bitowy ma 2

M

 róŜnych wartości nośnika - ciągów zero-jedynkowych. Kod 

sygnału  jest  przyporządkowaniem  liczb,  stanowiących   treści   sygnału,  ciągom   zero-

jedynkowym,  stanowiącym  wartości  nośnika  sygnału.  JeŜeli  treścią  sygnału  jest  liczba 

naturalna k zapisana w systemie dwójkowym, to kod takiego najprostszego sygnału, zwanego 

sygnałem dwójkowym w kodzie naturalnym

, moŜna przedstawić jako  

k

a

b

m

m

M

m

M

j

j

j

M

=

=

=

−

−

=

∑

∑

0

1

1

2

2

2

 

(5) 

Sygnał  dwójkowo-dziesiętny

,  kodujący  liczbę  całkowitą  k  zapisaną  ciągiem  K  cyfr 

dziesiętnych d

M-1

, d

M-2

,..., d

1

, d

0

, jest sygnałem M = 4 K bitowym z bitami uporządkowanymi 

w  czwórki  (zwane  dekadami),  z  których  kaŜda  koduje  dwójkowo  jedną  cyfrę  dziesiętną. 

RozróŜnia  się  sygnały  cyfrowe  równoległe,  w  których  poszczególne  cyfry  (lub  bity) 

przenoszone przez oddzielne nośniki (rozdział w przestrzeni), i sygnały cyfrowe szeregowe, w 

których  poszczególne  cyfry  (lub  bity)  przenoszone  są  w  sekwencji  czasowej  przez  jeden 

nośnik (rozdział w czasie). 

 

ZaleŜnie od związków treści sygnału z czasem rozróŜnia się sygnały pomiarowe ciągłe 

w czasie i sygnały dyskretne w czasie. Sygnał ciągły w czasie jest to sygnał pomiarowy, któ-

rego nośniki są modelowane funkcjami czasu ciągłego, a treść sygnału jest określona dla kaŜ-

dej chwili czasu. Sygnał dyskretny w czasie jest to sygnał pomiarowy, którego treść jest okre-

ślona dla wybranych chwil czasu. 

ZaleŜność treści x 

sygnału ciągłego od czasu t modeluje się ciągłą funkcją czasu 

x

t

=

f ( )  

(6) 

 

9 

przy czym t jest zmienną rzeczywistą ciągłą i stąd mówi się o czasie ciągłym. Sygnał ciągły w 

czasie  moŜe  więc  jednoznacznie  odtwarzać  treść  o  postaci  funkcji  rzeczywistej  argumentu 

rzeczywistego ciągłego. 

 

ZaleŜność treści x 

sygnału dyskretnego od czasu modeluje się zwykle funkcją czasu 

dyskretnego, tzn. przedstawia się ją w postaci ciągu { x(i) | i 

∈

 N } treści sygnału indeksowa-

nych  numerem  i  (gdzie  N  –  zbiór  liczb  całkowitych)  kolejnych  treści,  zwanym  czasem 

dyskretnym. 

 

Konstruuje się takŜe modele sygnału dyskretnego w czasie przyjmując jako argument 

czas  ciągły.  Modele  takie  oddają  sposób  przekazywania  sygnału  w  czasie  rzeczywistym.  Z 

tego punktu widzenia rozróŜnić moŜna dwie skrajne postaci sygnału dyskretnego: 

•

 

sygnał impulsowy modelowany ciągiem wąskich impulsów w chwilach czasu ti o wysoko-

ściach równych kolejnym treściom x(i), zwykle impulsom tym nadaje się postać impulsów 

Diraca  

∑

∞

−∞

=

−

=

i

i

t

t

i

x

t

x

)

(

)

(

)

(

δ

 

(7) 

gdzie 

δ

(

)

t

t

i

−

 - impuls d-Diraca w chwili 

t

t

i

=

. 

•

 

sygnał z „pamięcią” modelowany funkcją schodkową 

[

)

x t

x i

t

t t

i

i

( )

( )

,

=

∈

+

dla

1

 

(8) 

Obydwa typy sygnałów dyskretnych mają ten sam model w dziedzinie czasu ciągłego. Chwile 

ti, nazywane chwilami próbkowania, są zwykle równoodległe od siebie, czas t między sąsied-

nimi  chwilami  próbkowania  nazywa  się  czasem  lub  okresem  próbkowania  (lub  repetycji)  a 

jego odwrotność częstotliwością próbkowania (lub repetycji). Chwile próbkowania są zwykle 

wyznaczane przez dodatkową składową sygnału, zwaną sygnałem taktującym. 

 

Sygnały analogowe mogą być ciągłe i dyskretne w czasie. Sygnały cyfrowe są prawie 

zawsze sygnałami dyskretnymi w czasie z pamięcią. 

 

Typowe elektryczne przyrządy pomiarowe 

Typowymi przyrządami do pomiarów w obwodach prądu stałego są: 

•

 

amperomierz czyli przyrząd do pomiaru natęŜenia prądu (zwykle zamiast nazwy  natęŜenie 

prądu uŜywa się nazwy skróconej – prąd), 

•

 

woltomierz czyli przyrząd do pomiaru napięcia, 

•

 

omomierz czyli przyrząd do pomiaru rezystancji. 

Typowymi przyrządami do pomiarów w obwodach prądu okresowo zmiennego są: 

 

10

•

 

amperomierz czyli przyrząd do pomiaru prądu, prawie wyłącznie stosowane są amperomierze 

mierzące wartość skuteczną prądu, 

•

 

woltomierz  czyli  przyrząd  do  pomiaru  napięcia,  prawie  wyłącznie  stosowane  są 

woltomierze mierzące wartość skuteczną napięcia, 

•

 

watomierz  czyli  przyrząd  do  pomiaru  mocy  czynnej,  a  ściślej  wartości  średniej  okresowej 

iloczynu napięcia i prądu, 

•

 

częstościomierz czyli przyrząd do pomiaru częstotliwości napięcia okresowo zmiennego. 

Oprócz wyŜej wymienionych jako typowy przyrząd pomiarowy elektryczny moŜna uznać 

•

 

oscyloskop, zwany takŜe oscylografem, czyli przyrząd odwzorowujący rozkład czasowy na-

pięcia krzywą narysowaną na ekranie. 

Do  końca  lat  sześćdziesiątych  kaŜdy  z  wymienionych  ośmiu  przyrządów  był  w  zasadzie 

budowany jako oddzielny przyrząd, obecnie przewaŜnie buduje się tzw. 

•

 

multimetry  czyli  przyrządy  łączące  wiele  funkcji,  zawsze  amperomierza  i  woltomierza 

prądu stałego i zmiennego, omomierza i częstościomierza. 

 

Amperomierz, jako przyrząd mierzący prąd, włącza się szeregowo w obwód badany 

"przepuszczając"  przez  amperomierz  mierzony  prąd  i  (rys.2a).  Amperomierz  prądu  stałego 

mierzy wartość chwilową (stałą w czasie) prądu i (zwykle oznacza się ją symbolem I). Więk-

szość amperomierzy prądu okresowo zmiennego mierzy wartość skuteczną prądu I

rms

 (zwykle 

oznacza się ją takŜe symbolem I, skrót "rms" pochodzi z ang. 

root mean square value – pier-

wiastek z wartości średnio kwadratowej) 

∫

−

=

=

t

T

t

t

i

T

I

I

d

rms

2

1

 

(9) 

gdzie T – okres zmienności prądu. 

Amperomierz  jest  dwójnikiem,  dla  prądu  stałego  opisuje  się  go  rezystancją  R

A

,  dla  prądu 

zmiennego  impedancją  Z

A

  (posiadającą  zresztą  zwykle  przewaŜającą  składową 

rezystancyjną).  Włączenie  amperomierza  do  obwodu  badanego  zmienia  wartość  mierzonego 

prądu i, stąd teŜ od amperomierza wymaga się bardzo małej rezystancji (impedancji). 

 

 

 

 

 

 

 

11

 

Rys.2. Włączanie mierników: (a) amperomierza, (b) woltomierza, (c) omomierza. 

 

Woltomierz,  jako  przyrząd  mierzący  napięcie,  włącza  się  równolegle  do  badanego 

dwójnika  "przykładając"  do  woltomierza  mierzone  napięcie  u  (rys.2b).  Woltomierz  prądu 

stałego mierzy wartość chwilową (stałą w czasie) napięcia u (zwykle oznacza się ją symbolem U). 

Większość woltomierzy prądu okresowo zmiennego mierzy wartość skuteczną napięcia Urms 

(zwykle oznacza się ją takŜe symbolem U 

∫

−

=

=

t

T

t

t

u

T

U

U

d

rms

2

1

 

(10) 

gdzie T – okres zmienności napięcia. 

Woltomierz  jest  dwójnikiem,  dla  prądu  stałego  opisuje  się  go  rezystancją  R

V

,  dla  prądu 

zmiennego  impedancją  Z

V

  (zwykle  modeluje  się  ją  równolegle  połączoną  rezystancją  R

V

  i 

pojemnością C

V

). Włączenie woltomierza do obwodu badanego zmienia wartość mierzonego 

napięcia u, stąd teŜ od woltomierza wymaga się bardzo duŜej rezystancji i małej pojemności. 

 

Amperomierze  i  woltomierze  analogowe  prądu  stałego  wymagają  zwykle 

odpowiedniej polaryzacji włączanego prądu i napięcia. Amperomierze i woltomierze cyfrowe 

prądu  stałego  wskazują  wartość  wielkości  mierzonej  i  jej  polaryzację.  Dla  amperomierzy  i 

woltomierzy  prądu  zmiennego  kierunek  włączonego  prądu  i  napięcia  nie  wpływa  na 

wskazanie miernika. 

 

Omomierz,  w  odróŜnieniu  od  amperomierza  i  woltomierza,  jest  dwójnikiem  aktyw-

nym. Sposób przyłączania omomierza pokazano na rys.2c. 

 

Watomierz,  w  odróŜnieniu  od  amperomierza  i  woltomierza,  jest  czwórnikiem,  ma 

dwa obwody wejściowe: napięciowy i prądowy. Watomierz mierzy wartość średnią okresową 

iloczynu napięcia u

WU

 obwodu napięciowego watomierza i prądu i

WI

 obwodu prądowego 

∫

−

=

t

T

t

t

i

u

T

P

d

WI

WU

W

1

 

(11) 

gdzie: P

W

 – wskazanie watomierza, T    – okres napięcia i prądu. 

A

(b)

(c)

(a)

 

12

Aby watomierz mierzył moc czynną wydzielaną w dwójniku o napięciu u i prądzie i, włącza 

się  go  obwodem  napięciowym  równolegle  i  obwodem  prądowym  szeregowo  do  badanego 

dwójnika  (rys.3).  MoŜliwe  są  dwa  układy  połączeń:  układ,  w  którym  prądy  watomierza  i 

odbiornika  są  równe  (rys.3a)  i  układ,  w  którym  napięcia  watomierza  i  odbiornika  są  równe 

(rys.3b).  Zaniedbując  nierówność  napięć  w  układzie  równo-prądowym  i  nierówność  prądów 

w układzie równo-napięciowym mamy 

 

 

 

Rys.3. Dwa sposoby włączania watomierza przy pomiarze mocy odbiornika: 

(a) równo-prądowy, (b) równo-napięciowy. 

 

P

t

i

u

T

P

t

T

t

=

=

∫

−

d

W

1

 

(12) 

a w szczególnym przypadku prądu harmonicznego 

ϕ

cos

I

U

P

P

=

=

W

 

(13) 

gdzie 

ϕ

 – przesunięcie fazowe między napięciem i prądem. 

Przy 

ϕ

 = 

±

1

/

2 

π

  wskazanie  watomierza  będzie  zerowe  przy  niezerowym  napięciu  i  prądzie; 

stąd  teŜ,  jeŜeli  obwody  watomierza  nie  mają  zabezpieczenia  przed  przeciąŜeniem,  wskazane 

jest  włączanie  do  obwodu  pomiarowego  watomierza  takŜe  woltomierza  i  amperomierza,  jak 

na  rys3.  Przy 

ϕ

 

< 

 –

1

/

2 

π

  i 

ϕ

 

>

 

1

/

2

 

π

  wskazanie  watomierza  będzie  ujemne  (wskazówka 

watomierza  analogowego  odchyla  się  w  przeciwną  stronę  względem  skali),  w  takim 

przypadku  naleŜy  zmienić  kierunek  prądu  i

WI

  obwodu  prądowego  watomierza  albo  kierunek 

napięcia  u

WU

  obwodu  napięciowego  i  wskazanie  watomierza  przyjmować  jako  ujemne. 

Watomierz  ma  wyróŜniony  zacisk  (kropka  na  rys.3)  w  obwodzie  prądowym  i  napięciowym, 

jeŜeli  przesunięcie  fazowe  między  prądem  wpływającym  do  wyróŜnionego  zacisku  i 

napięciem  skierowanym  do  wyróŜnionego  zacisku  spełnia 

ϕ≤

 1/2 

π, 

to  wskazanie 

watomierza jest dodatnie. 

 

Częstościomierz włącza się do obwodu tak jak woltomierz. 

 

13

 

Oscyloskop,  zwany  takŜe  oscylografem,  w  swojej  pierwotnej  wersji  był  przyrządem 

do obserwacji krzywej wykresu funkcji x(t) opisującej rozkład czasowy wielkości x okresowo 

zmiennej. Urządzeniem wskazującym oscyloskopu jest ekran z ruchomą plamką świetlną. 

Ruch plamki ma dwa stopnie swobody w 

dwóch  osiach  prostokątnego  układu 

współrzędnych. Ruch w osi pionowej jest ste-

rowany  wielkością  x,  ruch  w  osi  poziomej  – 

specjalnie  uformowaną  wielkością  okresową 

p o piłozębnym rozkładzie czasowym (rys.4), 

zwaną podstawą czasu. JeŜeli okres podstawy 

czasu jest K-wielokrotnością okresu wielkości 

obserwowanej,  to  na  ekranie,  wskutek  nakła-

dania  się  ruchu  plamki  świetlnej,  powstaje 

obraz  K  okresów  krzywej  x(t).  Okres  pod-

stawy  czasu jest dobierany przez mierzącego, 

proces  tego  doboru  nazywa  się  synchroniza-

cją.  Tak  właśnie  działa  oscyloskop  kato-

dowy,  zwany  takŜe  oscyloskopem analo-

gowym. 

 

 

Rys. 4. Powstawanie obrazu krzywej x(t) na ekranie 

oscyloskopu (x okresowo zmienne).

 

 

 

Oscyloskop włącza się do badanego obwodu tak jak woltomierz. 

 

W  dalszych  wykładach  będziemy  bardziej  szczegółowo  omawiali  właściwości  tych  i 

innych  jeszcze  elektrycznych  przyrządów  pomiarowych,  sposoby  ich  wykorzystania  do  po-

miaru  róŜnych  wielkości  w  róŜnych  sytuacjach.  Stosunkowo  mało  miejsca  będziemy 

poświęcali  budowie  przyrządów  pomiarowych,  ograniczając  się  do  krótkiego  wyjaśnienia 

zasady działania wybranych przyrządów.  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14

Wykład 2 

 

Pomiary w inŜynierii 

 

Typowe obiekty pomiarów. Pomiar jako identyfikacja parametryczna. Modelowanie struktury 

i parametrów obiektu. O przetwornikach, czujnikach, systemach pomiarowych i komputerach. 

 

Obiekty pomiarów 

 

Właściwości obiektów fizycznych najogólniej modeluje się za pomocą cech abstrakcji 

zwanych wielkościami. Wielkości te, choć nazywane fizycznymi, są w istocie wyidealizowa-

nymi cechami wyidealizowanych obiektów. Idealizacja obiektu, którego właściwość jest mo-

delowana wielkością polega między innymi na izolacji tej właściwości od innych właściwości 

obiektu i jego otoczenia. 

 

Zawęzimy  pojęcie  obiektu  fizycznego  do  fragmentu  rzeczywistości  wyodrębnionego 

ze swojego otoczenia wyraźnymi granicami, którymi są najczęściej powierzchnie nieciągłości 

gęstości  masy.  Istnienie  tych  granic  nie  oznacza,  Ŝe  obiekt  nie  oddziałuje  na  otoczenie  i  nie 

podlega  jego  oddziaływaniu.  Przeciwnie,  między  obiektem  a  otoczeniem  zachodzi  wymiana 

energii  lub  masy  (ma  miejsce  dopływ  energii  promieniowania  cieplnego  czy  energii  prądu 

elektrycznego,  dopływ  określonego  surowca  oraz  wypływ  określonego  wyrobu).  Punkty  lub 

obszary  graniczne  obiektu,  przez  które  odbywa  się  wymiana  energii  lub  masy,  nazywa  się 

zwykle wejściami lub wyjściami, albo ogólnie - wrotami, obiektu. 

 

Przepływ energii i masy przez wrota obiektu opisuje się za pomocą wielkości fizycz-

nych, takich jak strumień energii, strumień masy, strumień objętości lub gęstość energii, pole 

prędkości  przepływu,  natęŜenie  pola  elektrycznego.  Często  wrota  opisuje  się  parą  skojarzo-

nych  wielkości  (takich  jak  siła  i  prędkość,  prąd  i  napięcie),  których  iloczyn  charakteryzuje 

moc przepływającą przez wrota. W ogólnym przypadku wielkości opisujące wrota są zmienne 

w czasie i zaleŜne od współrzędnych przestrzennych. 

Wśród wielkości opisujących wrota wyróŜnimy:  

  (i) wielkości  wejściowe,  utoŜsamiane  z  przyczynami  zjawisk  zachodzących  w  obiekcie,  a 

nazywane takŜe wymuszeniami, 

 (ii) wielkości wyjściowe, utoŜsamiane ze skutkami zjawisk zachodzących w obiekcie, a nazywane 

takŜe odpowiedziami, 

 

15

 (iii) wielkości wpływające, których wartości podlegają stabilizacji podczas operacji związanych z 

tworzeniem i wykorzystaniem modelu obiektu, 

(iv) czynniki  zakłócające,  których  skutkiem  jest  występowanie  rozbieŜności  między  odpowiedzią 

obiektu i odpowiedzią modelu na to samo wymuszenie; najczęściej przyporządkowuje się je 

do wyjścia, mimo, Ŝe pojawiają się w róŜnych punktach modelowanego obiektu. 

 

Model matematyczny obiektu jest jego opisem za pomocą liczb, zmiennych, zbiorów, 

równań, funkcji, relacji, obrazów itd., umoŜliwiającym przewidywanie zachowania obiektu w 

róŜnych  warunkach.  Jest  to  zawsze  opis  przybliŜony  w  tym  sensie,  Ŝe  tylko  w  przybliŜeniu 

pozwala przewidywać zachowanie modelowanego obiektu. 

 

KaŜda gałąź techniki, kaŜda dyscyplina nauki ma swoje typowe obiekty pomiarów. W 

elektryce  i  telekomunikacji  bada  się  np.  obwód  elektryczny  i  jego  parametry,  poszczególne 

elementy  tego  obwodu,  źródła  i  odbiorniki  sygnałów,  linie  przesyłowe,  uziemienia  i 

zerowania,  właściwości  elementów  komutujących  i  wyłączających,  właściwości  materiałów 

izolacyjnych,  przewodzących,  magnetycznych.  Itp.  ,  itd.  W  takich  badaniach  oprócz 

pomiarów  wielkości  elektrycznych  bardzo  często  występuje  potrzeba  wyznaczania  wartości 

wielkości  nieelektrycznych.  MoŜna  wymienić  tu  przykładowo  pomiary  temperatury, 

wilgotności, przesunięć, napręŜeń, ciśnienia, przepływu, emisji światła. 

 

Pomiar jako identyfikacja parametryczna 

 

Z  punktu  widzenia  klasycznej  teorii  eksperymentu  sposób  uzyskania  danych  do 

identyfikacji parametrów modelu jest nieistotny. Przy identyfikacji obiektów fizycznych dane 

te są wynikiem doświadczenia: ich źródłem są przede wszystkim pomiary. We współczesnej 

inŜynierii  i  badaniach  naukowych  pozyskiwanie  danych  do  identyfikacji  (nastawianie  lub 

pomiary  wartości  wielkości  wejściowych,  pomiary  wartości  wielkości  wyjściowych  i 

wpływających)  oraz  sama  identyfikacja  parametrów  (obliczanie  ich  wartości)  są  coraz 

częściej zachodzącymi na siebie ogniwami spójnego procesu. Ta spójność wynika zarówno z 

faktu, Ŝe oba typy operacji są (lub mogą być) wykonywane przez ten sam system pomiarowy, 

jak  i  z  wzajemnych  związków  zachodzących  między  nimi:  metoda  identyfikacji  moŜe 

warunkować  sposób  pomiaru  i  odwrotnie  -  metoda  pomiarowa  moŜe  wpływać  na  sposób 

identyfikacji. Tak więc granica między pomiarami a identyfikacją parametryczną jest trudna, 

a niekiedy wręcz niemoŜliwa do wytyczenia; co  więcej - rozdzielne traktowanie pomiarów i 

identyfikacji  moŜe  grozić  zagubieniem  lub  zaniedbaniem  istotnych  elementów  procesu 

poznawczego, któremu pomiary i identyfikacja słuŜą. 

 

16

 

Identyfikacja  modelu  obiektu  jest  ciągiem  operacji  mających  na  celu  określenie 

modelu  matematycznego  obiektu,  tzn.  wybór  adekwatnej  struktury  modelu  (identyfikacja 

strukturalna)  oraz  wyznaczenie  wartości  jego  parametrów  (identyfikacja  parametryczna). 

Identyfikacja  strukturalna  jest  zagadnieniem  trudno  algorytmizowanym:  wybór  struktury 

modelu  opiera  się  na  ogół  na  przesłankach  intuicyjnych,  na  precedensach  technicznych  i 

doświadczeniach opisanych w literaturze przedmiotu. 

 

Identyfikacją  jest  w  istocie  takŜe  pomiar  wartości  wielkości,  pomiar  rozkładu 

wielkości i pomiar (wyznaczanie) charakterystyki zaleŜności między wielkościami. Operacje 

prowadzone  są  bowiem  według  tego  samego  schematu  logicznego  co  identyfikacja 

parametrów, ich podstawą jest model matematyczny obiektu (ściślej jego struktura), ich celem 

jest uszczegółowienie ("wykończenie" lub "uzupełnienie") modelu konkretnego obiektu przez 

wyznaczenie  "brakujących"  jego  elementów  -  wartości  lub  rozkładów  wielkości, 

charakterystyk zaleŜności między wielkościami, wartości parametrów modelu. SpostrzeŜenie 

to  prowadzi  do  identyfikacyjno-parametrycznej  koncepcji  pomiaru,  traktującej  pomiar  jako 

identyfikację  modelu  matematycznego  obiektu  badanego,  przy  apriorycznie  danej  strukturze 

tego modelu.  

 

Przedstawimy  zręby  tej  koncepcji.  ZałóŜmy,  Ŝe  dany  jest  obiekt  badany  (mierzony) 

oraz  struktura  modelu  matematycznego  tego  obiektu,  a  celem  pomiaru  jest  wyznaczenie 

wartości (szeroko rozumianych - liczb, funkcji, ciągów liczb itd.) mezurandu m. Typ struktury 

modelu zaleŜy od rodzaju i charakteru mezurandu. Rozpatrzymy cztery typy struktur modelu 

stanowiących  podstawę  czterech  typów  pomiarów,  ograniczając  się  do  modeli  o  jednym 

wyjściu i jednym wejściu lub bez wejścia. 

 

JeŜeli mezurandem jest wartość wielkości lub rozkład wielkości, to model mierzonego 

obiektu jest modelem "bez wejścia" i moŜna go przedstawić w postaci 







=

∈

y

m

y

    

Y

 

(1) 

 

przy czym Y  jest przestrzenią zmienności wielkości y.  

 

JeŜeli mezurandem jest reprezentacja wielkości, to model mierzonego obiektu jest mo-

delem "bez wejścia" i moŜna go przedstawić w postaci 







∈

=

∈

  

M

  

Y

m

y

F

m

y

),

(

 

(2) 

 

 

17

 

JeŜeli  mezurandem  jest  charakterystyka  zaleŜności  między  wielkością  y  a  wielkością 

x,  to  model  mierzonego  obiektu  jest  modelem  o  jednym  wejściu  (opisanym  wielkością  x)  i 

jednym wyjściu (opisanym wielkością y) i moŜna go przedstawić w postaci 







=

∈

∈

)

(

,

x

y

m

y

x

   

Y

  

X

 

(3) 

 

JeŜeli mezurandami są parametry zaleŜności między wielkościami x i y, to taki pomiar 

jest równoznaczny z identyfikacją parametryczną. Modelem mierzonego obiektu jest model o 

jednym wejściu (opisanym wielkością x) i jednym wyjściu (opisanym wielkością y) i moŜna 

go przedstawić w postaci 











=

=

∈

∈

p

m

p

  

Y

  

X

0

)

,

,

(

,

y

x

H

y

x

 

 

(4) 

gdzie: H - operator definiujący równanie modelu. 

 

Operacje  wyznaczania  parametrów  pewnych  zaleŜności  są  tradycyjnie  nazywane  po-

miarami (np. pomiar rezystancji, indukcyjności, pojemności), operacje wyznaczania parame-

trów  innych  zaleŜności  są  z  kolei  traktowane  jako  operacje  identyfikacji.  Proponowany  tu 

sposób podejścia cechuje pełna jednolitość – wszystkie omówione tu operacje, takŜe (3) i (4), 

nazwiemy pomiarami. 

 

Modelowanie struktury i parametrów obiektu 

 

Model  matematyczny  obiektu  oprócz  wielkości  opisujących  wrota  obejmuje 

specyfikację matematyczną tych wielkości jako zmiennych oraz równanie modelu. Wielkości 

specyfikuje się określając przestrzenie ich zmienności. Przestrzeniami tymi mogą być zbiory 

liczb rzeczywistych albo klasy funkcji czasu lub współrzędnych przestrzennych.  

 

Podział wielkości modelujących obiekt na wielkości wejściowe, wielkości wyjściowe, 

wielkości  wpływające  i  czynniki  zakłócające  wynika  z  filozofii  modelowania 

matematycznego, którą - w nieco uproszczony sposób - moŜna sformułować następująco: 

- model odwzorowuje tylko niektóre zjawiska lub właściwości obiektu (istotne z punktu widze-

nia  przeznaczenia  modelu),  przedstawiając  je  w  postaci  równania  modelu,  wiąŜącego 

wielkości wejściowe (modelujące przyczyny istotnych  zjawisk zachodzących w obiekcie lub 

czynniki  odpowiedzialne  za  jego  istotne  właściwości)  z  wielkościami  wyjściowymi 

(modelującymi przejawy tych zjawisk lub właściwości); 

 

18

- na zjawiska i właściwości istotne z punktu widzenia modelu mają takŜe wpływ inne zjawiska 

zachodzące w obiekcie i jego otoczeniu; w celu uniezaleŜnienia się od wpływu tych zjawisk 

ustala się ich natęŜenie, stabilizując wielkości wpływające; 

- poznanie  zjawisk  w  obiekcie  ma  zawsze  ograniczony  charakter  i  dlatego  wielkości 

wpływające  nie  opisują  wszystkich  zjawisk,  a  ich  stabilizacja  nie  eliminuje  wpływu  innych 

zjawisk  na  wyjścia;  tę  ograniczoną  poznawalność  obiektu  uwzględnia  się  w  modelu 

wprowadzając doń czynniki zakłócające. 

 

Biorąc  pod  uwagę  charakter  wielkości  wejściowych  i  wyjściowych  moŜna  podzielić 

modele np. na statyczne i dynamiczne, stacjonarne i niestacjonarne, modele o stałych skupio-

nych i o stałych rozłoŜonych. Modele o stałych skupionych charakteryzują się niezaleŜnością 

wielkości wejściowych i wyjściowych od współrzędnych przestrzennych, podczas gdy w mo-

delach  o  stałych  rozłoŜonych  taka  zaleŜność  ma  miejsce  przynajmniej  dla  niektórych  z  tych 

wielkości. Modele statyczne charakteryzują się niezaleŜnością wielkości wejściowych i wyj-

ściowych od czasu. Modele dynamiczne opierają się na załoŜeniu, Ŝe przynajmniej niektóre z 

tych wielkości są zmienne w czasie.  

Najogólniej rozróŜnia się dwa typy modeli obiektów: 

- modele funkcyjne, traktujące modelowany obiekt jako całość („black box”) i opisujące go za 

pomocą równań wiąŜących wielkości wejściowe i wyjściowe w dziedzinie czasu lub częstotli-

wości, 

- modele  o  postaci  kilkuelementowych  obwodów  zastępczych,  których  parametry  są  w  bezpo-

średnim związku z  poszukiwanymi charakterystykami modelowanych obiektów. 

Oba typy modeli są zbieŜne dla przypadków stosunkowo prostych - dwu, trzy elementowych. 

Gdy  liczba  elementów  obwodu  zastępczego  wzrasta,  pojawia  się  problem  jednoznacznego 

wyznaczenia parametrów tych elementów. Problem ten nie ma rozwiązania ogólnego. Stąd - 

dla  takich  przypadków  -  obserwuje  się  wyraźną  tendencję  do  odchodzenia  od  modeli  obwo-

dowych w stronę modeli funkcyjnych. 

 

Dla  uproszczenia  rozwaŜymy  tylko  modele  o  jednym  wejściu  x  i  jednym  wyjściu  y, 

obejmujące wielkości niezaleŜne od współrzędnych przestrzennych. Wielkość wejściową x(t) 

i  wyjściową  y(t)  będziemy  nazywać,  odpowiednio,  sygnałem  wejściowym  i  wyjściowym. 

Struktura  modelu  powinna  obejmować  specyfikację  przestrzeni  sygnałów  x(t)  i  y(t), 

obejmującą  w  szczególności  ograniczenia  dotyczące  zakresów  wartości  sygnałów  i  ich 

pochodnych. 

 

Model obiektu opisuje jego zachowanie i właściwości tylko w przybliŜeniu. Spowodo-

wane  jest  to  dwoma  przyczynami:  niedokładnością  wyznaczenia  parametrów  modelu  oraz 

 

19

nieadekwatnością  struktury  modelu.  Niedokładność  wyznaczenia  parametrów  modelu  jest 

spowodowana przez: 

- błędy przyjętej metody identyfikacji parametrów modelu oraz błędy jej realizacji (błędy obli-

czeń), 

- błędy danych uŜytych do identyfikacji parametrów modelu. 

Nieadekwatność struktury modelu wynika z zawsze ograniczonej poznawalności rzeczywisto-

ści (niekiedy wymuszona jest ograniczeniami technicznymi) i objawia się: 

-  pominięciem,  wśród  wielkości  modelujących  obiekt,  czynników  istotnych  dla  przebiegu 

zjawisk w obiekcie i właściwości obiektu; 

- niewłaściwą specyfikacją wielkości modelujących obiekt (wejściowych, wyjściowych i wpły-

wających); 

- przyjęciem niewłaściwego typu równania modelu. 

 

RozwaŜmy zagadnienia niedokładności i nieadekwatności modelu na przykładzie mo-

delu liniowego o jednym wejściu i jednym wyjściu. ZałoŜymy, Ŝe modelowany obiekt istnieje 

w rzeczywistości, a wiedza o nim ma charakter empiryczny. Zamiast "prawdziwych" wartości 

wielkości  wejściowej  x& ,  wyjściowej  y&   i  wpływającej  w

&   (dla  wygody  ograniczymy  się  do 

jednej wielkości wpływającej) obiektu (rys.1) znane są odpowiednie wartości zmierzone:  x

~ , 

y

~  i  w~ , przy czym 











∆

+

=

∆

+

=

∆

+

=

   

~

~

~

w

w

w

y

y

y

x

x

x

&

&

&

&

&

&

 

 

 

(11) 

gdzie: 

x

∆

&

- błąd prawdziwy nastawienia wartości wielkości wejściowej, 

y

∆

&

- błąd prawdziwy 

pomiaru  wartości  wielkości  wyjściowej, 

w

∆

&

-  błąd  prawdziwy  stabilizacji  wielkości 

wpływającej.  Zamiast  więc  obiektu  ("chmurka"  na  rys.1)  dostępny  jest  tylko  pewien  jego 

obraz  składający  się  z  wyników  obserwacji  i  pomiarów  (wielokąt  na  rys.1).  Stanowią  one 

dane  wejściowe  do  identyfikacji  parametrów  równania  modelu  i  na  ogół  mogą  być 

uporządkowane w ciąg par odpowiadających sobie wartości 

{

}

N

i

i

y

i

x

,...,

2

,

1

 

  

)

(

~

),

(

~

=

 

 

 

 

 

20

 

Rys.1. Identyfikacja parametrów modelu na podstawie wyników pomiarów 

 

ZałóŜmy, Ŝe równanie modelu ma postać 

R

X

  

  

⊂

∈

+

=

x

dla

x

a

a

y

1

0

 

(11) 

Na podstawie zebranych danych 

{

}

)

(

~

),

(

~

i

y

i

x

, stosując np. metodę najmniejszych kwadratów, 

moŜemy wyznaczyć estymaty parametrów 

0

ˆ

a  i 

1

ˆ

a

, którym odpowiada równanie modelu 

x

a

a

y

1

0

ˆ

ˆ

ˆ

+

=

 

(12) 

ZauwaŜmy,  Ŝe  ze  względu  na  błędy  danych  pomiarowych,  moŜliwy  błąd  metody 

identyfikacji, błędy obliczeniowe, a takŜe - nieadekwatność przyjętej struktury modelu, 

0

ˆ

a  i 

1

ˆ

a

 są tylko estymatami parametrów, obarczonymi pewnymi błędami. Wpływ tych błędów na 

jakość  zidentyfikowanego  modelu  ocenia  się  według  róŜnych  kryteriów  zaleŜności  od 

przeznaczenia modelu. Najczęściej są to: 

- błędy  odwzorowania  wielkości  wyjściowej,  odpowiadające  zadanym  wartościom  wielkości 

wejściowej, 

- błędy  odwzorowania  wielkości  wejściowej,  odpowiadające  zadanym  wartościom  wielkości 

wyjściowej, 

- błędy wyznaczonych parametrów modelu. 

Ograniczmy nasze rozwaŜania do tego pierwszego kryterium, definiując  błąd wyznaczonego 

modelu jako 

O BIEKT

x

~

x

&

y

&

y

∆

&

w

~

w

&

w

∆

&

y

~

x

∆

&

 

21

y

x

a

a

y

y

&

&

&

&

−

+

=

−

=

1

0

ˆ

ˆ

ˆ

∆

 

(13) 

ZałóŜmy wstępnie, Ŝe struktura modelu została wybrana w sposób adekwatny, tzn. istnieją 

takie wartości 

0

0

a

a

&

=

 i 

1

1

a

a

&

=

, dla których 

X

   

   

∈

+

=

x

dla

x

a

a

y

&

&

&

&

&

1

0

 

(14) 

Wówczas błąd zidentyfikowanego modelu przybiera postać 

x

a

a

a

a

&

&

&

&

)

ˆ

(

ˆ

1

1

0

0

−

+

−

=

∆

 

(15) 

i moŜe być w całym przedziale zmienności wielkości x oszacowany przez liczbę 

∆

)

 zwaną 

błędem granicznym modelu 

x

a

a

a

a

x

)

ˆ

(

ˆ

sup

1

1

0

0

X

&

&

)

−

+

−

=

∈

∆

 

(16) 

 

Y

-A

x

is

X-Axis

Y

-A

x

is

X-Axis

a)

b)

 

Rys.2. Przykład  ilustrujący  zagadnienie  adekwatności  modelu:  a) dwie  aproksymacje  liniowe; 

b) aproksymacja liniowa i kwadratowa 

 

Na rys.2 przedstawiono linią przerywaną przykład charakterystyki (14); kropkami oznaczono 

dane  pomiarowe 

{

}

)

(

~

),

(

~

i

y

i

x

,  zaś  linią  ciągłą  -  wynik  identyfikacji,  tzn.  charakterystykę  li-

niową, której parametry 

0

ˆ

a  i 

1

ˆ

a

 wyznaczono na podstawie tych danych. 

ZałóŜmy  teraz,  Ŝe  struktura  modelu  liniowego  jest  nieadekwatna,  poniewaŜ  zadowalającą 

zgodność  z  wynikami  "bardzo  dokładnych"  pomiarów  zapewnia  dopiero  równanie 

kwadratowe 

2

2

1

0

x

a

x

a

a

y

&

&

&

&

&

&

+

+

=

 

(17) 

 

22

Przykład  charakterystyki  statycznej  takiej  postaci,  danych  pomiarowych  oraz  wyniku 

identyfikacji  przedstawiono  na  rys.2b.  Błąd  zidentyfikowanego  modelu  ma  w  tym  wypadku 

postać 

R

 

,

  

)

ˆ

(

ˆ

2

2

1

1

0

0

∈

−

−

+

−

=

x

x

a

x

a

a

a

a

&

&

&

&

&

&

&

∆

 

(18) 

 

Choć  źródłem  błędu  modelu  jest  zarówno  nieadekwatność  struktury  modelu  jak 

niedokładność identyfikacji jego parametrów, nie sposób ilościowo określić, w jakim stopniu 

dwa  te  czynniki  w  nim  partycypują.  Co  więcej,  globalna  ocena  błędu  modelowania  postaci 

(15)  lub  (18),  czy  nawet  (16),  jest  w  praktyce  wysoce  problematyczna  ze  względu  na  brak 

wstępnej  informacji  o  adekwatnej  strukturze  modelu  i  dokładnych  wartościach  jego 

parametrów. Błędu modelu nie moŜna takŜe wyznaczyć ze wzoru (13), gdyŜ zamiast wartości 

prawdziwych  x&   i  y&   znane  są  tylko  przybliŜone  wartości  x

~ ,  y~ .  Błąd  ten  moŜna  jedynie 

oszacować.  W  ogólności  polega  to  na  tym,  Ŝe  jako  od-  niesienia  do  oceny  adekwatności  i 

niedokładności  modelu  Mp,  który  nazwiemy  podstawowym,  uŜywa  się  albo  odpowiednio 

dokładnego  obrazu  obiektu  Mo,  albo  doskonalszego  modelu  Mr,  który  nazwiemy 

rozszerzonym (rys.3). 

Obraz  obiektu  Mo  jest  tabelaryczną  formą  modelu  obiektu;  wartości  wielkości  wejściowej  i 

wyjściowej 

{

}

)

(

~

),

(

~

i

y

i

x

, tworzące ten model, nie muszą (a nawet nie powinny) być identyczne 

z wartościami, na podstawie których wyznaczono parametry modelu podstawowego. 

Model  rozszerzony  Mr  róŜni  się  tym  od  podstawowego,  Ŝe  ma  bogatszą  strukturę  (większą 

liczbę  wielkości  wejściowych,  wyjściowych  i  wpływających,  większą  liczbę  parametrów); 

jego  parametry  zostały  wyznaczone  na  podstawie  dokładniejszych  danych  pomiarowych; 

znane są błędy graniczne identyfikacji tych parametrów.  

W obu przypadkach model podstawowy Mp jest porównywany nie z "rzeczywistością"  ale z 

innym modelem:  

z Mo 

y

y

~

ˆ

~

−

=

∆

 

(19) 

bądź z Mr 

y

y

(

(

−

=

ˆ

∆

 

(20) 

Błędy 

∆

~

 i 

∆

(

 są traktowane jako estymaty błędu prawdziwego

∆

& . 

 

 

 

 

23

 

 

Rys.3. Wyznaczanie błędów modelu 

 

NaleŜy zdawać sobie sprawę z tego, Ŝe ocena nieadekwatności i niedokładności modelu pod-

stawowego Mp polega nie na wyznaczaniu błędu prawdziwego lecz jedynie na oszacowaniu 

błędu  granicznego.  Z  tego  teŜ  powodu  znacznie  wygodniejsze  jest  porównywanie  modelu 

podstawowego Mp z modelem rozszerzonym Mr niŜ z obrazem obiektu Mo. Do oszacowania 

błędu  granicznego  nie  jest  na  ogół  potrzebna  znajomość  pełnego  modelu  rozszerzonego: 

wystarcza wyznaczenie tylko niektórych jego elementów.  

 

O przetwornikach, czujnikach, systemach pomiarowych i komputerach 

 

Urządzenie,  które  wytwarza  sygnał  elektryczny  proporcjonalny  do  stanu  fizycznego 

lub wielkości fizycznej, jest zwykle zwane przetwornikiem. Ściślej mówiąc nazwa ta powinna 

być  zastrzeŜona  dla  urządzeń,  które  przetwarzają  jedną  postać  energii  w  drugą,  np.  energię 

mechaniczną w energię elektryczną. Wynikałoby z tego, Ŝe urządzenie takie dla wytworzenia 

sygnału  elektrycznego  na  wyjściu  powinno  pobrać  pewną  porcję  energii  z  otaczającego  je 

środowiska.  Dla  procesu  pomiaru  najkorzystniej  jest  jednak,  gdy  przetwornik  otrzymuje 

energię  potrzebną  do  wytworzenia  sygnału  wyjściowego  ze  źródła  zewnętrznego,  nie  zaś  z 

obiektu  pomiaru.  Przetwornik  nie  pobierający  energii  z  mierzonego  obiektu  jest  zwykle 

MODEL

PODSTAWOWY

MODEL

ROZSZERZONY

x

OBIEKT

y

y

(

(

−

=

∆

ˆ

y

~

yˆ

y

(

y

y

~

ˆ

~

−

=

∆

 

24

zwany  czujnikiem,  choć  nie  jest  to  wyróŜnik  terminologiczny  stosowany  konsekwentnie. 

Równie  często  przyjmuje  się,  Ŝe  czujnik  jest  tym  elementem  toru  pomiarowego,  który 

bezpośrednio  reaguje  na  wielkość  mierzoną.  Podstawową  charakterystyką  czujnika  jest 

charakterystyka  przetwarzania  wiąŜąca  sygnał  wyjściowy  z  sygnałem  wejściowym.  W 

przetwarzaniu pomiarowym nie naleŜy zatem brać dosłownie określenia „przetwarzanie”, np. 

przetwarzanie temperatury  na rezystancję. Chodzi tu jedynie o powiązanie funkcyjne dwóch 

wielkości: wejściowej i wyjściowej. KaŜdej wartości wielkości wejściowej jest jednoznacznie 

przyporządkowana ściśle określona wartość wielkości wyjściowej. 

NajwaŜniejsze wymagania stawiane czujnikom to: 

- bardzo  dobre  charakterystyki  jakościowe:  stałość  (powtarzalność)  charakterystyki  przetwa-

rzania, duŜa czułość na wielkość mierzoną, a mała na inne wielkości wpływające, duŜa moc 

sygnału  wyjściowego,  mała  moc  szumów,  szeroki  zakres  pomiarowy,  moŜliwie  słabe  od-

działywanie na źródło sygnału mierzonego, duŜa dokładność, liniowość przetwarzania, duŜa 

szybkość przetwarzania, brak histerezy; 

- wysoka  niezawodność  pracy,  długi  czas  „Ŝycia”,  odporność  na  pasoŜytnicze  wpływy  ze-

wnętrzne; 

- technologiczność konstrukcji: małe wymiary i cięŜar, prosta konstrukcja, niski koszt własny. 

Oczywistym  jest,  Ŝe  wykonanie  czujników,  odpowiadających  wszystkim  przytoczo-

nym tu wymaganiom jest zadaniem niezwykle trudnym. Powoduje to, Ŝe - dla sprostania tym 

wymaganiom  -  stosowane  jest  dziś  dość  często  wspomaganie  mikrokomputerowe.  W  szcze-

gólności mikrokomputer pozwala na zlinearyzowanie nieliniowej charakterystyki przetwarza-

nia,  minimalizację  wpływu  szumów  własnych  czujnika  i  szumów  zewnętrznych,  korekcję 

wpływu  zmian  temperatury  otoczenia  czujnika,  korekcję  wpływu  zmian  czułości  i  pełzania 

zera, a takŜe na autodiagnostykę czujnika. Obserwowane tendencje rozwoju konstrukcji czuj-

ników wskazują na coraz większą integrację czujnika z poprawiającymi jego jakość układami 

współpracującymi.  Przy  wykorzystaniu  technologii  układów  scalonych  duŜej  skali  integracji 

do  obudowy  czujników  wmontowywane  są  układy  zasilania,  wzmacniacze,  przetworniki 

analogowo-cyfrowe,  mikrokomputery  oraz  układy  interfejsu.  Buduje  się  takŜe  czujniki  gru-

powe. Połączenie kilku czujników w jednym korpusie pozwala na jednoczesne pomiary wielu 

wielkości. Np. czujnik mierzący jednocześnie temperaturę i wilgotność jest szczególnie uŜy-

teczny  w  urządzeniach  klimatyzacyjnych.  Z  drugiej  strony  nowe,  ciekawe  moŜliwości 

powstają przy łączeniu czujnika z elementem wykonawczym (aktuatorem). 

 

Zbieranie  i  przetwarzanie  wyników  pomiarów  z  wielu  czujników  (przetworników) 

kaŜe  zastanowić  się  nad  obecną  i  przyszłą  rolą  systemów  pomiarowych.  Jest  wiele  definicji 

 

25

systemu  pomiarowego,  ale  wydaje  się,  Ŝe  wobec  dość  pośpiesznej  ich  ewolucji  naleŜy 

powracać  do  źródłosłowu,  tj.  do  złoŜenia  definicji  systemu  jako  uporządkowanego 

wewnętrznie  zbioru  (tu  środków  technicznych)  tworzącego  pewną  całość  i  przymiotnika 

„pomiarowy”,  czyli  słuŜący  do  pomiarów.  W  tym  znaczeniu  systemem  pomiarowym  będzie 

zarówno  linijka,  miernik  magnetoelektryczny,  multimetr  cyfrowy,  jak  i  obsługiwany  przez 

komputer  zestaw  aparatury  do  zbierania  danych  pomiarowych  z  duŜego  obiektu 

przemysłowego, czy  stacja telemetrii kosmicznej  rejestrująca wyniki pomiarów przesyłane z 

Marsa. 

 

Najstarsze  systemy  pomiarowe  były  obsługiwane  wyłącznie  przez  człowieka  -  przez 

niego były takŜe odczytywane i rejestrowane wyniki pomiarów. Następnym etapem rozwoju 

było  powstanie  systemów  pomiarowych  zapisujących  wynik  pomiaru  samoczynnie  -  w 

postaci  analogowej  lub  cyfrowej.  Dalszym  krokiem  naprzód  było  wyposaŜenie  systemu  w 

programowane  wejścia,  pozwalające  na  sterowanie  pracą  systemu  za  pomocą  sygnałów 

cyfrowych  generowanych  z  układu  sterującego  o  sztywnych  sekwencjach  sygnałów 

sterujących.  Istotny  przełom  w  rozwoju  tych  ostatnich  stanowiło  wprowadzenie  w  miejsce 

układu  sterującego,  komputera,  który  nie  tylko  ustawia  programowane  wejścia  elementów 

systemu,  lecz  takŜe  odczytuje  sygnały  wprowadzane  przez  operatora  oraz  prowadzi  złoŜone 

niekiedy  przetwarzanie  sygnałów  wyjściowych.  Aby  zapewnić  właściwą  pracę  podzespołów 

systemu  konieczna  jest  normalizacja  wszystkich  środków  technicznych  tworzących  system, 

począwszy  od  wymiarów  gabarytowych  podzespołów  systemu,  poprzez  konstrukcję 

okablowania, a na poziomach sygnałów wyjściowych, kodach i konwencjach programowych 

skończywszy.  Stąd  teŜ  obecnie  podstawowym  zadaniem  przy  konstruowaniu  i  eksploatacji 

systemów  pomiarowych  jest  zapewnienie  odpowiedniej  standaryzacji  i  kompatybilności 

wymienionych środków. Przedstawiony tu kierunek rozwoju nie powinien jednak przesłaniać 

faktu,  Ŝe  w  praktyce  w  laboratoriach  naukowych  i  przemysłowych,  w  kontroli  produkcji  i 

urzędach miar są uŜytkowane systemy wszystkich wymienionych wyŜej generacji. 

 

Oddzielny rozdział zagadnień technicznych w konstruowaniu i eksploatacji systemów 

pomiarowych, to współpraca operatora z systemem. Zdolność człowieka do wyciągania wnio-

sków  ogólnych  z  wielu  oddzielnych  informacji,  a  takŜe  jego  zdolności  adaptacyjne,  umoŜli-

wiające  prawidłowe  reagowanie  na  nieprzewidziane  sytuacje,  powodują,  Ŝe  systemy  pomia-

rowe i dzisiaj i w przyszłości powinny w załoŜeniach swej struktury i algorytmu działania, te 

właśnie  zdolności  operatora  uwzględniać.  Skuteczne  uczestniczenie  operatora  w  działaniu 

systemu wymaga wyprowadzenia i przedstawienia informacji w takiej postaci i za pomocą ta-

kich środków by powodować moŜliwie najmniejsze jego zmęczenie fizyczne i psychiczne. W 

 

26

związku  z  tym  istnieje  konieczność  zredukowania  ilości  informacji  oraz  przyjęcia  takiego 

sposobu  wizualizacji,  by  nie  przeciąŜyć  zdolności  percepcyjnej  operatora.  Jeśli  przyjąć  dla 

współczesnych  rozwiązań  systemów  pomiarowych  określenie  „inteligentne”,  to  abstrahując 

od  dość  zawiłych  prób  oceny  owej  „inteligencji”,  moŜna  zaryzykować  stwierdzenie,  Ŝe 

podstawową jej miarą jest łatwość programowania i obsługi takiego systemu. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

27

Wykład 3 i 4 

 

Podstawowe pojęcia teorii błędów 

 

Przedział  niepewności.  Błąd  prawdziwy  i  graniczny;  błąd    bezwzględny,  względny,  sprowa-

dzony. Błędy systematyczne  i  przypadkowe. Przenoszenie błędów.  Typowe przypadki szaco-

wania błędów. Ogólne procedury szacowania błędów. 

 

1. Wprowadzenie 

 

Pomiar  jest  zawsze  operacją  niedokładną,  to  znaczy  estymata  wartości  prawdziwej 

mezurandu otrzymana jako wynik pomiaru róŜni się na ogół od wartości prawdziwej, równość 

estymaty i estymowanej wartości jest zdarzeniem wyjątkowym, a fakt jego zajścia pozostaje 

nieznany.  Istotą  pomiaru  jest  jednak  to, Ŝe 

niedokładność wyniku pomiaru moŜna zawsze 

oszacować, to znaczy moŜna zawsze określić graniczną odległość między znanym wynikiem 

pomiaru a nieznaną wartością prawdziwą mezurandu. 

 

Szacowanie  niedokładności  pomiaru  jest  jedną  z  podstawowych  czynności,  która  po-

winna  być  wykonywana  w  procesie  mierzenia.  Niestety,  jest  jednak  czynnością  nie  lubianą, 

niedocenianą i wykonywaną, najoględniej mówiąc, nie najlepiej. Co gorsza, często mierzący 

rezygnuje z oceny niedokładności wykonanego pomiaru. Dostępna literatura przedmiotu, za-

równo krajowa jak i zagraniczna, zagadnienia niedokładności pomiaru omawia wyrywkowo i 

pobieŜnie,  traktując  je  raczej  jako  dodatek  upiększający  do  "prawdziwej"  metrologii,  która 

jest  encyklopedią  zasad  działania  i  budowy  narzędzi  pomiarowych,  dodatek  wprawdzie 

upiększający, ale praktycznie nieuŜyteczny. 

 

Przedmiotem  naszych  rozwaŜań  będą  pomiary,  których  mezurandami  są  wartości 

wielkości  fizycznych  –  wartości  liczbowe  lub  wartości  mianowane  czyli  iloczyny  wartości 

liczbowych  i  jednostki  miary  wielkości.  Warto  dodać,  Ŝe  pojęcie  mezurandu  (to,  co  jest 

mierzone) jest uogólnieniem pojęcia wielkości mierzonej ale na poziomie naszych rozwaŜań 

moŜe być z nim utoŜsamiane. 

 

Przedmiotem rozwaŜań jest zasadniczo niedokładność i błędy pomiaru, rozwaŜania te 

jednak  odnoszą  się  do  niedokładności  i  błędów  innych  operacji,  np.  tworzenia  reprezentacji 

cyfrowych liczb rzeczywistych, aproksymacji, obliczeń numerycznych, a takŜe operacji skła-

dających się na pomiar. 

 

 

28

2. Przedział niepewności. Błąd pomiaru 

 

Pomiar  jest  zawsze  niedokładny,  tzn.  wartość  zmierzona  mezurandu  xˆ   (tj. 

wyznaczona w procesie pomiaru) róŜni się od wartości prawdziwej mezurandu x& . Oznacza to, 

Ŝe wynik pomiaru jest liczbą przybliŜoną, moŜna więc go interpretować jako przedział [ xˆ ] w 

przestrzeni liczb rzeczywistych czyli na osi liczbowej, wewnątrz którego znajduje się wartość 

prawdziwa mezurandu 

x&  

∈

 [ xˆ ] 

(1) 

Przedział ten moŜna nazwać przedziałem niepewności wyniku pomiaru i dopatrywać się jego 

analogii z przedziałem ufności estymaty parametru rozkładu zmiennej losowej. Przedział nie-

pewności wyniku pomiaru ustala się najczęściej jako przedział symetryczny 

[ ]

]

ˆ

ˆ

 ,

ˆ

ˆ

[

ˆ

max

max

x

x

x

x

x

∆

+

∆

−

=

 

(2) 

W  ogólności  wynik  jakiegokolwiek  pomiaru  mezurandu  x  podawany  jest  w  niezbyt 

poprawnej formie matematycznej 

x

x

x

ˆ

ˆ

max

∆

±

=

&

 

(3) 

Wygodnie  jest  zawsze  definiować 

∆

x  jako  wielkość  dodatnią,  tak  aby  x + 

∆

x  było  zawsze 

największą  prawdopodobną  wartością  wielkości  mierzonej,  a  x - 

∆

x  było  jej  wartością 

najmniejszą. 

Wartości 

xˆ

max

∆

±

  nazywają  się  błędami  granicznymi  lub  granicami  błędu  lub 

niepewnościami  granicznymi  lub  niepewnościami  rozszerzonymi.  Graficzną  interpretację 

przedziałowej postaci wyniku pomiaru pokazano na rys.1a. 

 

 

 

Rys.1. Wynik  pomiaru  ma  postać  przedziału  niepewności,  wartość  prawdziwa  x& mezurandu  leŜy 

wewnątrz  przedziału  niepewności  wyniku  pomiaru  (a),  błąd  prawdziwy 

∆∆∆∆

x  leŜy  wewnątrz 

przedziału niepewności błędu (b). 

 

Błąd  bezwzględny  (prawdziwy  i  graniczny)  wyraŜa  się  w  jednostkach  wielkości  mierzonej; 

błąd  względny  i  odniesiony  są  ułamkami,  najczęściej  wyraŜa  się  je  w  procentach  (%), 

promilach (‰) lub w częściach milionowych (ppm). 

 

Obok granicznych błędów pomiaru definiuje się prawdziwy błąd pomiaru 

 

29

x

x

x

&

−

=

∆

ˆ

ˆ

 

(4) 

 

Zachodzi  

]

ˆ

 

,

ˆ

[

ˆ

max

max

x

x

x

∆

∆

−

∈

∆

 

(5) 

przy czym przedział 

]

ˆ

 

,

ˆ

[

max

max

x

x

∆

∆

−

 moŜna nazwać przedziałem niepewności błędu pomiaru. 

Graficzną  interpretację  przedziału  niepewności  błędu  pokazano  na  rys.1b.  Przymiotnik 

"prawdziwy"  prawie  zawsze,  a  przymiotnik  "graniczny"  bardzo  często  pomija  się,  i  o  jaki 

błąd chodzi, wynika z kontekstu. 

 

Błąd  graniczny 

xˆ

max

∆

  powinien  nazywać  się  błędem  granicznym  bezwzględnym,  a 

błąd  prawdziwy 

xˆ

∆

  –  błędem  prawdziwym  bezwzględnym,  gdyŜ  oprócz  nich  definiuje  się 

błąd prawdziwy względny 

x

x

x

x

x

x

&

&

&

−

=

∆

=

ˆ

ˆ

ˆ

δ

 

(6) 

i błąd graniczny względny 

x

x

x

ˆ

ˆ

ˆ

max

max

∆

=

δ

 

(7) 

 

KaŜdy  przedział 

]

ˆ

[

]

ˆ

[

x

x

⊃

∗

  jest  takŜe  przedziałem  niepewności,  a  kaŜdy 

x

x

ˆ

ˆ

max

max

∆

>

∆

∗

  jest 

takŜe błędem granicznym, sztuka jednak polega na określeniu moŜliwie wąskiego przedziału 

niepewności i moŜliwie małego błędu granicznego.  

W  tak  prostym  doświadczeniu  jak  pomiar  wysokości  szafki  łatwo  moŜna  określić  zakres  od 

x - 

∆

x  do  x + 

∆

x,  w  którym  na  pewno  mieści  się  szukana  wartość.  Niestety  w  większości 

pomiarów  przeprowadzanych  w  nauce  i  inŜynierii  bardzo  trudno  sformułować  taki  wniosek. 

W szczególności, jeśli pragniemy być całkowicie pewni, Ŝe mierzona wielkość leŜy pomiędzy 

x - 

∆

x  i  x + 

∆

x,  nasze  oszacowanie  daje  zbyt  duŜą  wartość 

∆

x  -  tak,  Ŝe  staje  się  ona  prawie 

bezuŜyteczna. Aby tego uniknąć, wybieramy często taką wartość 

∆

x, Ŝeby powiedzmy w 70% 

być  pewnym,  Ŝe  szukana  wielkość  jest  gdzieś  między  x - 

∆

x  i  x + 

∆

x.  Nie  moŜemy  tego 

zrobić bez szczegółowej znajomości praw statystyki, rządzących procesem pomiaru. Na razie 

zadowólmy  się  zdefiniowaniem  błędu 

∆

x  jako  takiego,  przy  którym  z  „rozsądnym 

prawdopodobieństwem"  moŜna  powiedzieć,  Ŝe  mierzona  przez  nas  wielkość  leŜy  gdzieś 

pomiędzy x - 

∆

x i x + 

∆

x. 

 

30

Przedział  niepewności  jest  modelem  niedokładności  i  jako  model  jest  teŜ  niedokładny,  tzn. 

błędy  graniczne  wyznaczające  przedział  niepewności  są  takŜe  liczbami  przybliŜonymi. 

Przedział  niepewności  wyniku  pomiaru  powinien  być  bezpieczny,  to  znaczy  wartość 

prawdziwa  mezurandu  powinna  leŜeć  wewnątrz  przedziału  niepewności.  Bezpieczeństwo 

takie zapewnia się przyjmując szeroki przedział niepewności. Przedział niepewności wyniku 

pomiaru  powinien  być  realistyczny,  to  znaczy  nie  powinien  być  zbyt  szeroki.  Wymagania 

bezpieczeństwa  i  realizmu  są  przeciwstawne.  PoniewaŜ  błędy  graniczne  są  same  obarczone 

błędami,  nie  ma  absolutnej  pewności,  Ŝe  wartość  prawdziwa  mezurandu  leŜy  wewnątrz 

przedziału niepewności. Im przedział niepewności jest szerszy, tym pewność ta jest większa. 

Im  przedział  niepewności  węŜszy,  tym  pewność  ta  mniejsza.  Miarę  stopnia  pewności,  Ŝe 

wartość  prawdziwa  leŜy  wewnątrz  przedziału  niepewności,  wprowadza  się  nadając 

przedziałowi niepewności sens probabilistyczny. 

 

Probabilistyczna 

interpretacja 

przedziału 

niepewności 

wymaga 

przyjęcia 

hipotetycznego doświadczenia (hipotetycznego, to znaczy faktycznie nie wykonywanego, ale 

precyzyjnie  zdefiniowanego),  którego  wynikiem  jest  otrzymywanie  przedziału  niepewności 

jako  zdarzenia  losowego.  Powtarzając  to  doświadczenie  otrzymuje  się  róŜne  przedziały 

niepewności,  niektóre  z  nich  obejmują  wartość  prawdziwą  mezurandu,  niektóre  z  nich 

wartości prawdziwej nie obejmują. Owe hipotetyczne doświadczenie randomizujące przedział 

niepewności  moŜna  interpretować  jako  hipotetyczne  powtarzanie  pomiaru.  Hipotetyczne 

powtarzanie  pomiaru  powinno  pozwalać  oszacować  od  dołu  prawdopodobieństwo  1

−

α

 

zachodzenia zdarzenia 

[

]

{

}

α

−

≥

∆

+

∆

−

∈

1

ˆ

ˆ

,

ˆ

ˆ

Pr

max

max

x

x

x

x

x&

 

(8) 

Prawdopodobieństwo 

α

−

1

, przez analogię do przedziału ufności w statystyce, moŜna nazy-

wać  takŜe  poziomem  ufności.  Probabilistyczną  zaleŜność  (8)  moŜna  odnieść  do  błędu  praw-

dziwego  xˆ

∆

 pisząc 

[

]

{

}

α

−

≥

∆

∆

−

∈

∆

1

xˆ

,

xˆ

xˆ

Pr

max

max

 

(9) 

Przedziały  dane  zaleŜnościami  (8)  i  (9)  są  przedziałami  niepewności  na  poziomie 

ufności (1–

α

), a błędy graniczne dane tymi zaleŜnościami są błędami granicznymi na poziomie 

ufności (1–

α

.) 

 

Przedział  niepewności 

[

]

x

x

x

x

ˆ

ˆ

,

ˆ

ˆ

max

max

∆

+

∆

−

  jest  przedziałem  losowym,  a  więc  dla 

kaŜdego  hipotetycznego  pomiaru  będzie  na  ogół  inny.  Niektóre  z  tych  przedziałów  będą 

zawierały wartość prawdziwą mezurandu, a inne nie będą jej zawierały. Jednak w długiej serii 

 

31

hipotetycznie  powtórzonych  pomiarów  względna  częstość  przypadków,  gdy  przedział 

niepewności zawiera wartość prawdziwą powinna być większa od  1

−

α

. W tym sensie  1

−

α

 

jest  miarą  zaufania,  Ŝe  określony  dla  jednego  pomiaru  przedział  niepewności  obejmuje 

wartość prawdziwą. 

 

Nie  mówi  się  tu  jednak  o  prawdopodobieństwie,  Ŝe  nieznana  wartość  prawdziwa 

mezurandu  będzie  zawarta  w  jakimś  stałym  przedziale.  Mówi  się  tu  jedynie  o 

prawdopodobieństwie, Ŝe przedział losowy zawiera wartość prawdziwą. Losowość przedziału 

niepewności  oznacza,  Ŝe  dla  kaŜdego  hipotetycznego  pomiaru  będzie  na  ogół  inne  xˆ   i  inne 

∆

max

xˆ , co oznacza, Ŝe zarówno  xˆ  jak i 

∆

max

xˆ  są realizacjami zmiennych losowych. 

 

Przedział 

niepewności 

wyniku 

pomiaru 

jest 

przekonywującym 

modelem 

niedokładności pomiaru. Przedział niepewności moŜe (

ale nie musi) mieć określony poziom 

ufności.  JeŜeli  przy  przedziale  niepewności  nie  podano  poziomu  ufności,  przyjmuje  się,  Ŝe 

jest  to  przedział  zdeterminowany  w  sensie  zaleŜności  (1).  Przedział  niepewności  określa  się 

za  pomocą  parametrów  niepewności,  przy  czym  parametr  niepewności  bywa  nazywany 

wprost  niepewnością.  Ściślej  jednak,  przez  niepewność  pomiaru  naleŜałoby  rozumieć  cechę 

pomiaru  polegającą  na  tym,  Ŝe  wynik  pomiaru  jest  liczbą  przybliŜoną,  tzn.  ma  postać 

przedziału. 

 

Doskonałą  ilustracją  pojęcia  liczby  przybliŜonej  i  przedziału  niepewności  jest 

zapisywanie  liczb  rzeczywistych  za  pomocą  skończonej  liczby  cyfr  czyli  cyfrowa 

reprezentacja liczb rzeczywistych i operacja zaokrąglania wartości liczbowych (p.3). 

 

W praktyce zarówno błąd prawdziwy jak i błąd graniczny nazywa się wprost błędem, 

a  który  jest  to  błąd,  wynika  z  kontekstu.  Podobnie  pomija  się  przymiotniki  bezwzględny  i 

względny, o jaki błąd chodzi, wskazują jednostki błędu. W zdaniu: 

 

 

"długość przedmiotu zmierzono z błędem 1%" 

i zdaniu równowaŜnym mu: 

 

 

"błąd pomiaru długości przedmiotu wynosi 1%" 

i podobnych im chodzi o graniczny błąd względny. Często takŜe treść powyŜszych zdań prze-

kazuje się jako: 

 

 

"długość przedmiotu zmierzono z niedokładnością (lub niepewnością) 1%" 

 

 

"niedokładność (lub niepewność) pomiaru długości przedmiotu wynosi 1%". 

Niekiedy  zamiast  terminu  "niedokładność"  w  sensie  granicznego  błędu  pomiaru  uŜywa  się 

terminu  "dokładność",  takie  sformułowanie  jest  logicznie  błędne.  Symbole  dodatkowe 

 

32

odróŜniające  wartość  zmierzoną  i  wartość  prawdziwą,  gdy  występuje  tylko  jedna  z  nich, 

pomija się zakładając, Ŝe znaczenie symbolu wynika z kontekstu. 

 

Graniczny bezwzględny błąd pomiaru 

∆

max

x i graniczny względny błąd pomiaru 

δ

max

x 

są  miarami  niedokładności  pomiaru.  Błąd  bezwzględny  jest  miarą  szczegółową,  określającą 

niedokładność,  gdy  ustalona  jest  wartość  wielkości  mierzonej  i  określony  jest  cel  pomiaru. 

Porównajmy na przykład pomiar długości obarczony błędem bezwzględnym 1 mm. Błąd taki 

moŜe być odpowiedni dla stolarza, jest nieosiągalny dla astronoma, a zbyt duŜy dla zegarmi-

strza. Pomiary obarczone błędem względnym 1% natomiast mogą zadowolić kaŜdego z nich. 

 

3. Cyfrowa reprezentacja liczb rzeczywistych i zaokrąglanie 

 

Reprezentacja cyfrowa liczb rzeczywistych jest to operacja zastępowania liczb rze-

czywistych ich zapisami cyfrowymi czyli ciągami cyfr. Reprezentacja cyfrowa dziesiętna ma 

postać ciągów cyfr z przecinkiem 

d

d

d d

J

d

d

d

d

J

J

d

d

d d

d

d

d

J

J

K

K

K

K

J

J

K

K

J

J

−

−

−

−

+

−

−

−

+

=

>

<










1

2

1 0

1

2

1

1

2

1 0

1

1

0

00 0

0

0

...

(

)

( )

...

...

, (

)

( )

...

,

...

, (

)

( )

dla

a

dla

 zer przed przecinkiem

b

dla

 cyfr po przecinku

c

 

(10) 

gdzie:  D

K-1

 = 1,2,...,9 – pierwsza cyfra znacząca, 

d

k

 = 0,1,...,9 dla k = J, J+1,...,K–2 (K > J+1) – pozostałe cyfry znaczące, 

M = K–J – liczba cyfr znaczących, 

k – numer pozycji, lub wprost pozycja, cyfry w zapisie, 

J – pozycja ostatniej cyfry znaczącej, czyli cyfry, która moŜe być róŜna od zera. 

Cyframi  znaczącymi  danej  liczby  w  zapisie  dziesiętnym  nazywamy  wszystkie  jej  cyfry  z 

wyjątkiem  początkowych  zer.  Np.  liczba  14,00827  ma  siedem  cyfr  znaczących,  zaś  liczba 

0,000038  ma  tylko  dwie  cyfry  znaczące.  Przecinka  w  zapisie  (10)  nie  stawia  się,  jeŜeli  ostatnia 

cyfra znacząca znajduje się na pozycji J 

≥

 0. Zapisowi (10) moŜna nadać jednolitą postać 

J

M

M

J

J

J

K

K

d

d

d

d

d

d

d

d

10

)

...

(

10

)

...

(

0

1

2

1

1

2

1

⋅

=

⋅

∗

∗

∗

−

∗

−

+

−

−

 

(11) 

gdzie 

∗

i

d  (i  0,1,...,M–1) – cyfry numerowane począwszy od ostatniej znaczącej w lewo. 

Zapisy (10) i (11) reprezentują dokładnie liczbę 

∑

∑

−

=

−

=

∗

=

=

1

1

0

10

10

10

ˆ

K

J

k

M

i

i

i

J

k

k

d

d

x

 

(12) 

 

33

Liczba  xˆ  istnieje dokładnie 9

⋅

10

K-J-1

 począwszy od 10

K-1

 do 10

K

 –1, wszystkie są całkowitymi 

wielokrotnościami  10

J

.  Pozostałe  liczby  rzeczywiste  z  przedziału  [10

K-1

, 10

K

 )  wyraŜa  się 

takŜe ciągami (10) i (11), przyjmując zwykle, Ŝe ciąg reprezentujący dokładnie liczbę  xˆ , jest 

przybliŜoną reprezentacją  ~

x  kaŜdej liczby z przedziału  

[

)

J

J

x

x

x

10

ˆ

  

,

10

ˆ

2

1

2

1

⋅

+

⋅

−

∈

&

 

(13) 

Popełnia się w ten sposób błąd, którego wartość graniczna wynosi 

J

10

2

1

⋅

. 

ZauwaŜmy,  Ŝe  nie  jest  moŜliwe  jednoznaczne  określenie  błędu  granicznego 

reprezentacji (10), jeŜeli nie jest znana liczba cyfr znaczących. JeŜeli bowiem d

J

 = 0, to cyfra 

ta  moŜe  być  potraktowana  jako  nieznacząca.  Z  tego  względu  zaleca  się  stosowanie  zapisu 

wykładniczego  (11).  Z  tego  samego  powodu  nie  wolno  pomijać  w  zapisie  (10c)  końcowych 

zer znaczących. 

Przykład 1 

Następujące zapisy, choć dokładnie reprezentują tę samą liczbę, oznaczają róŜne liczby przybliŜone x, poniewaŜ 

odpowiadają im róŜne błędy graniczne: 

129

⋅

102 

⇒ 

x 

∈

 [12850; 12950) 

∆

max = 50  

1290

⋅

101 

⇒ 

x 

∈

 [12895; 12905) 

∆

max = 5 

12900 

⇒ 

x 

∈

 [12899,5; 12900,5) 

∆

max = 0,5 

12900,0 

⇒ 

x 

∈

 [12899,95; 12900,05) 

∆

max = 0,05 

12900,00 

⇒ 

x 

∈

 [12899,995; 12900,005) 

∆

max = 0,005 

 

 

Format stałoprzecinkowy ma postać (10), przy czym liczby M i J są ustalone i znane, 

a  kaŜda  z  cyfr  znaczących  moŜe  przyjmować  wartość  0, 1,...,9.  W  formacie  stałoprzecinko-

wym  moŜna  przedstawiać,  ze  stałym  granicznym  błędem  bezwzględnym  0,5

⋅

10

J

,  liczby  rze-

czywiste  x  z  przedziału  w  przybliŜeniu  [0, 10

M+J

 ),  a  ściślej  z  przedziału  [–0,5

⋅

10

J

; 10

M+J

 –

 0,5

⋅

10

J

 ). Graniczny błąd względny jest w tym przedziale zmienny i zmienia się w zakresie 

od    0,5

⋅

10

-M

  (dla  x 

≈

10

M+J

 ) do 

∞

  (dla  x  =  0).  Uzupełnienie  zapisu  (11)  znakiem  +  lub  –  z 

lewej  strony  umoŜliwia  rozszerzenie  zakresu  reprezentowanych  liczb  do  przedziału  [–

10

M+J

, 10

M+J

). 

 

Format zmiennoprzecinkowy zapisuje liczbę x w postaci 

c

m

x

10

⋅

=

 

(14) 

gdzie m 

=

 

±

0, d

-1

 d

-2

 ... d

-M

  jest  M-cyfrową mantysą z niezerową pierwszą cyfrą (d

-1

 

≠

 0), a 

c = 

±

 c

K-1

 c

K-2

 ... c

0

  jest  K-cyfrową cechą z dowolnymi cyframi.  Liczby  M i K są ustalone i 

 

34

znane. W formacie zmiennoprzecinkowym moŜna przedstawiać liczby rzeczywiste o module 

zawartym  w  przedziale  od  0,1

⋅

10– (10

K

 –1)  do 10 (10

K

 –1).  Graniczny  błąd  bezwzględny 

zapisu w formacie zmiennoprzecinkowym  wynosi 0,5

⋅

10

-M

 

⋅

10 c, a  graniczny błąd względny 

zapisu zmienia się w przedziale od 0,5

⋅

10

-M

 (dla x 

≈

10 c) do 5

⋅

10

-M

 (dla x = 0,1 

⋅

10 c). 

 

Zaokrąglanie jest operacją zastępowania cyfrowej reprezentacji x liczby rzeczywistej  x&  cy-

frową  reprezentacją  y  tejŜe  liczby  x& ,  ale  o  mniejszej  ilości  cyfr  znaczących.  Liczbę  x 

będziemy  nazywali  liczbą  zaokrąglaną,  a  liczbę  y  –  liczbą  zaokrągloną.  Niech  liczba 

zaokrąglona  y  ma  ostatnią  cyfrę  znaczącą  na  pozycji  J,  niech  dalej  liczba  zaokrąglana  x  jest 

zapisana  w  postaci  ciągu  cyfr  (d

K-1

 d

K-2

 ... d

J+1

 d

J

 , d

J-1

 d

J-2

 ...)

⋅

10

J

 .  Zaokrąglanie  normalne 

jest określone zaleŜnością 

















≥

+

⋅

<

⋅

=

=

−

+

−

−

+

−

−

5

 

dla

10

10

)

...

(

5

 

dla

10

)

...

(

)

(

round

1

1

2

1

1

2

1

J

J

J

J

J

K

K

J

J

J

K

K

J

d

d

d

d

d

x

d

d

d

d

x

y

 

(15) 

gdzie round

J

 () – operator zaokrąglania normalnego do ostatniej cyfry znaczącej na pozycji J. 

Zaokrąglanie  w  górę  polega  na  utworzeniu  y  przez  odrzucenie  wszystkich  cyfr  x  po  d

J

  i 

dodaniu  doń  10

J

  (jeŜeli któraś  z  odrzuconych  cyfr  jest  róŜna  od  zera)  lub  pozostawieniu  tak 

otrzymanej  reprezentacji  (jeŜeli  wszystkie  odrzucone  cyfry  są  zerami).  Zaokrąglanie  w  dół 

czyli  obcinanie  polega  na  utworzeniu  y  przez  odrzucenie  wszystkich  cyfr  x  po  d

J

 .  Bardziej 

rozsądne jest stosowanie powyŜszych reguł nie bezpośrednio do x, lecz do round

J-1

(x). 

 

Zasada  zaokrąglania  normalnego  (15)  odnosi  się  do  liczby  zaokrąglanej  x,  która  jest 

reprezentacją  cyfrową  liczby  rzeczywistej,  a  więc  jest  obarczona  granicznym  błędem  bez-

względnym 0,5

⋅

10

J-L

, gdzie L liczba odrzucanych cyfr. Zaokrąglanie zwiększa błąd do 0,5

⋅

10

J

.  

 

Przykład 2 

Zaokrąglić liczbę 1953,5091 do formatów z ostatnią cyfrą znaczącą kolejno na miejscach od trzeciego po prze-

cinku do czwartego przed przecinkiem. 

Stosując (15) mamy kolejno: 1953,509; 1953,51; 1953,5; 1954; 195

⋅

101; 20

⋅

102; 2

⋅

103. 

 

 

Odrębne  zasady  zaokrąglania  stosuje  się  do  liczb  obarczonych  błędami  granicznymi 

róŜnymi od 0,5

⋅

10

J-L

. Liczbę przybliŜoną x 

±

 

∆

max

x zaokrągla się do y 

±

 

∆

max

y, gdzie y i 

∆

max

y 

są  wyraŜone  w  tym  samym  formacie,  tak  aby  przedział  [y – 

∆

max

y, y + 

∆

max

y]  obejmował 

 

35

przedział [x + 

∆

max

x, x + 

∆

max

x] i był mu najbliŜszy z obu stron. Często jednak poprzestaje się 

na zaokrąglaniu normalnym x do y i na zaokrąglaniu do góry 

∆

max

x do 

∆

max

y. 

 

Zaokrąglanie  naleŜy  stosować  ostroŜnie  i  tylko  w  razie  konieczności.  KaŜda  bowiem 

operacja  tego  typu  prowadzi  do  nieodwracalnych  strat  informacji.  W  przeszłości, 

zaokrąglanie  było  stosowane  w  celu  minimalizacji  liczby  cyfr  znaczących  danych, 

przeznaczonych  do  dalszych  obliczeń  przy  uŜyciu  w  najlepszym  razie  arytmometru 

korbkowego. Upowszechnienie komputerów wyeliminowało niemal całkowicie tę motywację. 

Pozostało  jedynie  zaokrąglanie  danych  przeznaczonych  do  publikacji,  interpretacji  przez 

człowieka  itp.  Podając  dane  obarczone  błędami  estymatę  wartości  i  graniczny  błąd 

bezwzględny wyraŜa się w tym samym formacie, przyjmując dla błędu jedną lub dwie cyfry 

znaczące.  

Warto  tu  podkreślić  podstawowe  zasady  podawania  błędów  pomiaru,  poniewaŜ  zbyt 

często  dochodzi  tu  do  nieporozumień.  Jeśli  mierzymy  rezystancję  opornika  R  z 

rozdzielczością  pozwalającą  na  otrzymanie  wyniku  czterocyfrowego,  byłoby  absurdem 

podawanie odpowiedzi w postaci: 

R = 29,82 ±0,02385 

Ω

 

- 

źle!!!

 

Przy  bardzo  dokładnych  pomiarach  moŜna  czasem  podawać  błędy  z  dwiema  cyframi 

znaczącymi,  jednak  dla  potrzeb  niezbyt  zaawansowanej  praktyki  pomiarów  moŜna  przyjąć 

regułę, Ŝe błędy powinny być zaokrąglane do jednej cyfry znaczącej. Tak więc, jeśli z jakichś 

rachunków otrzymujemy błąd 

∆

x = 0,02385 

Ω

, wynik ten powinien być zaokrąglony do 

∆

x = 

0,02 

Ω

, rezultat pomiaru zaś naleŜy przepisać w postaci  

R = 29,82 ±0,02 

Ω

 

- dobrze!!! 

Od  tej  reguły  jest  tylko  jeden  istotny  wyjątek.  OtóŜ  jeśli  pierwszą  cyfrą  znaczącą  błędu 

∆

x 

jest  l,  to  lepiej  zachować  w  zapisie 

∆

x  dwie  cyfry  znaczące  zamiast  jednej.  Przypuśćmy  na 

przykład,  Ŝe  nasze  obliczenia  dają  błąd 

∆

x  =  0,14.  Zaokrąglenie  tej  wartości  do 

∆

x  =  0,1 

prowadziłoby  do  40%  zmniejszenia  błędu,  moŜna  zatem  dowodzić,  Ŝe  mniej  mylące  byłoby 

pozostawienie  dwóch  cyfr  znaczących,  czyli 

∆

x  =0,14.  Ten  sam  argument  moŜna  by 

ewentualnie zastosować, kiedy pierwszą cyfrą znaczącą jest 2, nie działa ona jednak dla cyfr 

większych. 

Kiedy  juŜ  oceniliśmy  błąd  pomiaru,  naleŜałoby  się  zastanowić,  które  z  cyfr  wartości 

zmierzonej są znaczące. Wynik zapisany jako 

C = 6051,78 ±30 nF 

 

36

jest wprost niedorzeczny. Błąd 30 nF oznacza, Ŝe cyfra na trzecim miejscu liczby 6051,78 (a 

więc 5) mogłaby być w rzeczywistości równa 2 lub 8. Jasne jest zatem, Ŝe ostatnie cyfry l, 7 

oraz 8 nie mają zupełnie znaczenia i powinny zniknąć po zaokrągleniu. Poprawny zapis tego 

wyniku powinien zatem wyglądać następująco: 

C = 6050 ± 30 nF 

Ogólna reguła moŜe więc przyjąć następującą formę: 

Ostatnia cyfra znacząca w kaŜdym wyniku powinna być tego samego rzędu 

(stać na tym samym miejscu dziesiętnym) co błąd. 

Na  przykład  wynik  92,81  z  błędem  0,3  powinien  być  zaokrąglony  do  92,8  ±0,3.  Jeśli  błąd 

równy  jest  3,  to  ten  sam  rezultat  naleŜałoby  zapisać  jako  93±3,  jeśli  zaś  błąd  wynosi  30,  to 

odpowiedź powinna brzmieć 90 ±30. 

Jest jeszcze jeden wyjątek od podanej tu reguły. Jeśli pierwsza cyfra błędu jest mała (l lub być 

moŜe  2),  to  mogłoby  być  właściwe  pozostawienie  w  odpowiedzi  jeszcze  jednej  cyfry 

znaczącej. Przykładowo, wynik taki jak: 

L = 27,6 ± l cm 

jest  zupełnie  rozsądny.  W  tym  przypadku  naleŜałoby  się  zgodzić,  Ŝe  jego  zaokrąglenie  do 

28 ± l powodowałoby utratę informacji. 

Zwróćmy uwagę, Ŝe wymiar błędu bezwzględnego jakiejkolwiek mierzonej wielkości jest taki 

sam jak wymiar owej wielkości. Zapis, w którym jednostki (nF, cm

2 

itd.) pojawiają się tylko 

na  końcu  wyniku,  będzie  zatem  bardziej  czytelny  i  ekonomiczny.  W  ten  sam  sposób,  jeśli 

mierzona wartość jest tak duŜa bądź mała, Ŝe wymaga zastosowania zapisu wykładniczego (tj. 

uŜycia  formy 3•10

3 

zamiast 3000), to prościej i czytelniej jest podać odpowiedź i błąd w tej 

samej formie. Przykładowo wynik 

Q = (1,61 ± 0,05)•10

-19

 C 

jest o wiele prostszy do odczytania i zrozumienia, niŜ gdyby był zapisany w postaci: 

Q = 1,61•10

-19

 C ± 5•10

-21

 C 

 

4. Szacowanie granicznego błędu pomiaru bezpośredniego. Model zdeterminowany. 

 

Pomiar  bezpośredni  jest  to  pomiar,  w  którym  estymatę  mezurandu  wyznacza  się 

wprost ze wskazania przyrządu pomiarowego. Błąd pomiaru bezpośredniego ma w przypadku 

ogólnym  trzy  składowe:  błąd  instrumentalny  wnoszony  przez  zastosowany  przyrząd 

pomiarowy,  błąd  odczytu  popełniany  przez  człowieka  przy  odczytywaniu  wskazania 

przyrządu oraz błąd metody powodowany nieidealnym informatycznym sprzęŜeniem między 

 

37

przyrządem  a  obiektem  mierzonym

2

.  Błąd  prawidłowego  odczytu  wskazania  przyrządu 

cyfrowego  jest  równy  zeru,  błąd  prawidłowego  odczytu  wskazania  przyrządu  analogowego 

jest  zwykle  wliczany  do  błędu  granicznego  określonego  w  danych  przyrządu,  błąd  metody 

zaleŜy  od  szczegółowych  warunków  danego  pomiaru.  RozwaŜać  więc  będziemy  tylko  błąd 

instrumentalny. 

 

Błąd instrumentalny moŜna traktować jako błąd systematyczny, tzn. przyjmujący war-

tość niezmienną przy powtarzaniu pomiaru tej samej wartości mezurandu w identycznych wa-

runkach.  Błąd  instrumentalny 

∆

x   jest  nieznany  co  do  wartości,  wiadomo  o  nim,  Ŝe  spełnia 

warunek  

∆

∆

x

x

≤

max

 

(16) 

gdzie 

∆

max

x

 jest granicznym błędem przyrządu pomiarowego określonym przez wytwórcę. 

 

Miernik wielkości x wskazuje wartość  ~

x  tej wielkości (jest to wartość zmierzona lub 

wskazanie  miernika).  Charakterystycznym  dla  miernika  jest  jego  zakres  pomiarowy 

[X

min

, X

max

], tzn. przedział, wewnątrz którego mieści się wskazanie  ~

x  miernika. RóŜnica gór-

nej granicy X

max

 i dolnej granicy X

min

 zakresu pomiarowego 

X

X

X

mm

=

−

max

min

 

(17) 

nazywa się długością zakresu pomiarowego i jest waŜnym parametrem miernika. Zwykle za-

kres pomiarowy zaczyna się od zera [0, X

max

], długość takiego zakresu pomiarowego, równa 

górnej  granicy  zakresu  pomiarowego  X

mm

 = X

max

,  jest  nazywana  wprost  zakresem  pomiaro-

wym, a zakres miernika określa się podając tylko X

max

. Dla mierników cyfrowych zakres po-

miarowy,  zwykle  zaczynający  się  od  zera  jest  określony  liczbą  cyfr  i  wartością  jednostki 

ostatniego  rzędu  q.  Wartość  jednostki  ostatniego  rzędu  q  (zwana  takŜe  wartością  cyfry, 

kwantem,  czułością  lub  LSD  od  ang.  least  significant  digit)  jest  podawana  w  jednostkach 

wielkości mierzonej, równa się ona zawsze dziesiętnej podwielokrotności lub wielokrotności 

jednostki  wielkości  mierzonej.  Zakres  miernika  cyfrowego  moŜe  być  podawany  jako  zakres 

wielkości  mierzonej  [0,  X

max

),  częściej  nawet  jako  X

max

,  lub  zakres  wskazań  cyfrowych 

[0, N

max

), częściej nawet jako N

max

, przy czym zachodzi 

X

N

q

max

max

=

 

(18) 

                                                           

2

  Innymi  słowy,  błąd  metody  powstaje  wówczas,  gdy  przyrząd  mierzy  nie  to,  co  powinien  mierzyć;  np. 

woltomierz  przy  pomiarze  napięcia  źródła  w  stanie  jałowym  mierzy  napięcie  źródła  obciąŜonego  impedancją 
woltomierza,  woltomierz  połączony  ze  źródłem  "długimi"  przewodami  mierzy  napięcie  zniekształcone 
zakłóceniami indukowanymi w przewodach. 

 

38

a  N

max

  jest  zwiększoną  o  jeden  największą  liczbą  (nie  uwzględniając  przecinka,  który 

wyznacza wartość kwantu q) wskazywaną przez miernik. Stosuje się niekiedy nazwy: 

•

 

miernik  M  cyfrowy  czyli  miernik  o  M  cyfrach,  mogących  przyjmować  wartości  0,1,...,9 

kaŜda, dla takiego miernika N

max

 = 10

M

, 

•

 

miernik  M  i 

1

/

2

  cyfrowy,  w  którym  pierwsza  cyfra  moŜe  przyjmować  wartości  0  i  1,  a 

pozostałe  M cyfr – wartości 0,1,...,9 kaŜda; dla takiego miernika  N

max

 = 2

⋅

10

M

, 

•

 

miernik  M  i 

3

/

4

  cyfrowy,  w  którym  pierwsza  cyfra  moŜe  przyjmować  wartości  0,1,..., K–1, 

(

)

2

9

< ≤

K

a  pozostałe  M  cyfr  moŜe  przyjmować  wartości  0,1,...,9  kaŜda,  dla  takiego 

miernika N

max

 = K

⋅

10

M

. 

 

KaŜdy miernik z natury jest niedokładny, wskazanie miernika  ~

x  róŜni się od wartości 

prawdziwej  x&   wielkości  mierzonej.  Niedokładność  miernika  opisuje  nieznany  prawdziwy 

błąd  wskazania  i  znany  graniczny  błąd  instrumentalny  miernika.  Wytwórca  gwarantuje,  Ŝe 

błąd  prawdziwy  wskazania  miernika  nie  przekracza  podanej  przez  niego  wartości  błędu 

granicznego. 

 

Dla  elektrycznych  mierników  analogowych  graniczny  błąd  bezwzględny  i  graniczny 

błąd względny są określane zwykle przez klasę dokładności k przyrządu i wynoszą 













=

=

∆

x

X

x

X

x

~

100

max

max

max

max

k

k

δ

 

(19) 

Klasa dokładności k przyrządu jest granicznym błędem bezwzględnym wyraŜonym w procen-

tach długości zakresu. Norma polska PN 84/E 06501 Mierniki elektryczne analogowe o dzia-

łaniu bezpośrednim i ich przybory ustala następujące klasy dokładności: 

0,05; 0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5 i 2;5 

Klasę dokładności podaje się na skali przyrządu. 

 

Dla  przyrządów  cyfrowych  graniczny  błąd  pomiaru  (wskazania)  określa  się  zwykle 

jako  sumę  błędu 

δ

R

  podanego  w  procentach  od  wartości  mierzonej  (wskazanej)  i  błędu 

wynikającego z braku pewności co do n ostatnich jednostek (kwantów) wskazania cyfrowego. 

Ten drugi składnik błędu granicznego jest zwany błędem od długości zakresu 

max

X

 i czasem 

jest  podawany  w  procentach  jako 

δ

FS

  (

δ

FS

 = 100 n/N

max

).  Często  graniczny  błąd  przyrządu 

cyfrowego  zapisuje  się  stosując  nazwy  angielskie 

δ

R

% rdg + n dgt  lub 

δ

R

% rdg + 

δ

FS

%

3

. 

                                                           

3

  R, rgd pochodzi od reading – odczyt, dgt od digit – cyfra, skrót FS pochodzi od Full Scale - pełny zakres. 

 

39

Graniczny  błąd bezwzględny  pomiaru i  graniczny  błąd  względny pomiaru dla tak opisanego 

miernika cyfrowego wynoszą  













+

±

=

+

±

=

+

±

=

+

±

=

∆

)%

100

(

)%

(

100

)

(

)

100

(

max

max

max

max

N

n

N

N

x

q

N

N

q

n

N

x

FS

R

R

R

FS

R

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

 

(20) 

gdzie:  N - wskazanie cyfrowe wartości mierzonej bez uwzględniania przecinka. 

Do wykresów błędów miernika analogowego i cyfrowego jeszcze wrócimy. 

Przykład 3 

(a)

 

Woltomierz analogowy o zakresie [0; 300 V] i klasie dokładności 0,5 wskazał: 

(1) 295 V,   (2) 153 V,   (3) 101 V,   (4) 32 V  

Obliczyć graniczne błędy pomiaru bezwzględne i względne oraz podać wyniki pomiaru w pełnej postaci. Gra-

niczny bezwzględny błąd pomiaru jest jednakowy dla wszystkich pomiarów i wynosi 

∆

max

U = 0,005 

⋅

 300 V = 1,5 V 

Graniczne względne błędy pomiaru są róŜne dla róŜnych pomiarów, oblicza się je z (19). 

(1) 

 U = 295,0 V 

±

 1,5 V 

U 

∈

 [293,5 V; 296,5 V] 

δ

maxU = 0,508% 

≈

 0,5% 

(2) 

 U = 153,0 V 

±

 1,5 V 

U 

∈

 [151,5 V; 154,5 V] 

δ

maxU = 0,980% 

≈

 1,0% 

(3) 

 U = 101,0 V 

±

 1,5 V 

U 

∈

 [  99,5 V; 102,5 V] 

δ

maxU = 1,485% 

≈

 1,5% 

(4) 

U =   32,0 V 

±

 1,5 V 

U 

∈

 [  30,5 V;   33,5 V] 

δ

maxU = 4,687% 

≈

 4,7% 

Graniczny względny błąd pomiaru  (4) jest zbyt duŜy, przeszło dziewięć razy większy niŜ w okolicy końca 

zakresu, naleŜałoby zastosować przyrząd o mniejszym zakresie. 

(b)

 

Woltomierz  czterocyfrowy  o  błędzie  0,05% rdg + 5 dgt  (i  o  dekadowo  zmienianych  zakresach)  wskazał  na 

zakresie 10 V: 

(1) 9,837 V,   (2) 6,667 V,   (3) 1,017 V,   (4) 0,333 V 

Obliczyć graniczne błędy pomiaru bezwzględne i względne oraz podać wyniki pomiaru w pełnej postaci. 

Zakres wskazań cyfrowych woltomierza wynosi Nmax = 10

4

 V, wartość jego ostatniej cyfry, czyli kwant, – 

q = 10–

3

 V. Graniczne błędy pomiaru bezwzględny i względny oblicza się z (20). 

(1) 

∆

maxU = 9,919

⋅

10–3 V 

≈

 10

⋅

10–3 V  U = 9,837 V 

±

 0,010 V 

δ

maxU = 0,1008% 

≈

 0,1% 

(2) 

∆

maxU = 8,333

⋅

10–3 V 

≈

 8

⋅

10–3 V  U = 6,667 V 

±

 0,008 V 

δ

maxU = 0,1250% 

≈

 0,13% 

(3) 

∆

maxU = 5,509

⋅

10–3 V 

≈

 6

⋅

10–3 V  U = 1,017 V 

±

 0,006 V 

δ

maxU = 0,5416% 

≈

 0,54% 

(4) 

∆

maxU = 5,167

⋅

10–3 V 

≈

 5

⋅

10–3 V  U =  0,333 V 

±

 0,005 V 

δ

maxU = 1,5515% 

≈

 1,55% 

Graniczny względny błąd pomiaru (4) jest zbyt duŜy, przeszło piętnaście razy większy niŜ w okolicy końca 

zakresu - naleŜałoby zastosować mniejszy zakres przyrządu. 

 

 

 

40

x

max

∆

x

max

∆

−

x

max

δ

max

X

max

X

100

FS

R

max

δ

δ

+

−

X

100

FS

R

max

δ

δ

+

X

100

FS

max

δ

X

100

FS

max

δ

X

−

x

max

∆

x

max

∆

−

max

X

max

k X

∗

max

k

-

X

∗

100

k

k

=

∗

x

max

δ

max

X

x

∆

x

δ

x

∆

x

δ

x

~

x

~

)

~

(x

N

)

~

(x

N

∗

k

(a)

(b)

FS

R

δ

δ

+

R

δ

 

 

Rys.2.  Dopuszczalny  obszar  błędu  bezwzględnego  i  górna  połówka  dopuszczalnego  obszaru  błędu 

względnego: (a) miernika analogowego klasy k; (b) miernika cyfrowego o granicznym błędzie 

δδδδ

R

% 

odczytu  + 

δδδδ

FS

%  długości  zakresu;  (błąd  bezwzględny  pomiaru  miernikiem  musi  leŜeć  w  obszarze 

zaciemnionym!!!) 

 

Z  powyŜszych  przykładów  i  analizy  (19)  oraz  (20),  a  takŜe  z  wykresów  na  rys.2  widać,  Ŝe 

niedokładność  pomiaru  zaleŜy  od  wyboru  zakresu  miernika.  Im  wskazanie  bliŜsze  końca 

zakresu,  tym  mniejszy  graniczny  względny  błąd  pomiaru.  MoŜliwość  zmniejszenia 

granicznego  błędu  względnego  poprzez  wybór  zakresu  miernika  jest  uwarunkowany 

asortymentem przyrządów, jakim dysponuje mierzący. Dla miernika analogowego jest 

[

]

[

]









∈

∈

k

 

 

,

k

    

,

1

~

max

max

max

h

x

X

X

h

x

δ

 

(21) 

tzn.  jeŜeli  wskazanie  przekracza  1/h-część  zakresu,  to  błąd  względny  nie  przekracza 

h-krotnego  błędu  na  końcu  zakresu.  Najczęściej  przyjmuje  się  h  =  4,  co  moŜna  na  ogół 

 

41

spełnić,  gdyŜ  zakresy  mierników  pozostają  do  siebie  zwykle  w  stosunku  1:3:10.  Mierniki 

cyfrowe mają zakresy rozłoŜone dekadowo, przez co dla miernika cyfrowego jest 

[

)

[

)







+

+

∈

∈

FS

R

FS

R

max

max

max

10

 ,

 ,

1

,

0

~

δ

δ

δ

δ

δ

x

X

X

x

 

(22) 

Spełnienie  powyŜszego  wymaga  takiego  doboru  zakres  pomiarowego  miernika  cyfrowego, 

Ŝeby dla miernika 

M cyfrowego pierwsza cyfra była niezerowa, 

M i 1/2 cyfrowego zakazane były takŜe kombinacje pierwszej i drugiej cyfry 00 i 01, 

M i 3/4 cyfrowego zakazane były takŜe kombinacje pierwszej i drugiej cyfry 00, 01,..., 0(K–1). 

Współczesne mierniki cyfrowe mają oprócz ręcznego wyboru zakresu pomiarowego równieŜ 

wybór automatyczny. Warunki (21) i (22) nie dotyczą zakresu najmniejszego. 

 

5. Prawo propagacji błędów  

 

Często wykonuje się pomiar pośredni wielkości y polegający na bezpośrednich pomia-

rach wielkości x

1

,..., x

M

, związanych z  y znaną zaleŜnością 

)

,

,

(

1

J

x

x

f

y

K

=

 

(23) 

i  obliczeniu  wartości  y.  W  szczególnym  przypadku  pomiar  pośredni  y  moŜe  polegać  na 

bezpośrednim pomiarze jednej tylko wielkości x i obliczeniu 

y

f x

=

( )  

(24) 

Operacja  wyznaczania  błędu  prawdziwego 

∆

y  wartości  funkcji  y  w  zaleŜności  od  błędów 

prawdziwych 

∆

x

1

..., 

∆

x

J

 argumentów x

1

,..., x

J

 nazywa się propagacją błędów lub składaniem 

błędów  lub  przenoszeniem  błędów,  a  formuła  określająca  tę  zaleŜność  –  prawem  propagacji 

(składania lub przenoszenia) błędów. Prawo przenoszenia błędów odnosi się takŜe do sytuacji 

ogólniejszej określania błędu wartości funkcji (23) obliczonej na podstawie niedokładnych ar-

gumentów obarczonych błędami dowolnego pochodzenia. 

 

Najczęściej  operuje  się  prawem  składania  błędów  bezwzględnych  w  postaci  zwanej 

prawem róŜniczki zupełnej 

∆

∆

y

K

x

m

m

M

m

=

=

∑

1

 

(25) 

 

42

gdzie: 

M

M

M

m

x

x

x

x

x

x

f

x

K

~

,

,

~

)

,

,

(

1

1

1

=

=

=

K

K

∂

∂

 

M

x

x

~

,

,

~

1

K

 

−

 znane estymaty wartości argumentów. 

lub prawem składania błędów względnych w postaci zwanej prawem róŜniczki logarytmicznej 

δ

δ

y

k

x

m

m

M

m

=

=

∑

1

 

(26) 

gdzie: 

M

M

M

M

M

M

M

m

x

x

x

x

x

x

f

x

x

x

x

x

x

x

f

x

x

x

k

~

,

,

~

)]

,

,

(

[

ln 

~

,

,

~

)

,

,

(

)

,

,

(

f

1

1

1

1

1

1

1

1

=

=

=

=

=

=

=

K

K

K

K

K

∂

∂

∂

∂

 

Prawo róŜniczki zupełnej wyprowadza się z definicji błędu bezwzględnego funkcji 

)

~

,

,

~

(

)

~

,

,

~

(

)

,

,

(

)

~

,

,

~

(

~

1

1

1

1

1

M

M

M

M

M

x

x

x

x

f

x

x

f

x

x

f

x

x

f

y

y

y

∆

−

∆

−

−

=

=

−

=

−

=

∆

K

K

&

K

&

K

&

 

(27) 

rozwijając 

)

,...,

(

1

M

x

x

f

&

&

 w szereg potęgowy wokół punktu 

M

x

x

~

,...,

~

1

 i pomijając wyrazy z błę-

dami  w  potędze  większej  niŜ  jeden  oraz  z  iloczynami  błędów,  jako  znacznie  mniejsze  od 

wyrazów z błędami w potędze pierwszej. Prawo róŜniczki logarytmicznej wyprowadza się z 

definicji błędu względnego funkcji 

)

~

,

,

~

(

)

,

,

(

1

1

M

M

x

x

f

y

x

x

f

y

y

y

y

K

&

K

&

&

∆

≈

∆

=

∆

=

δ

 

(28) 

i prawa róŜniczki zupełnej. ZaleŜności 

)

,...,

(

1

M

x

x

f

y

&

&

&

=

 i 

M

x

x

&

& ,...,

1

 są dokładnymi, ale niezna-

nymi,  wartościami  funkcji  i  argumentów,  a 

)

~

,...,

~

(

~

1

M

x

x

f

y

=

  i 

M

x

x

~

,...,

~

1

  są  niedokładnymi,  ale 

znanymi, wartościami funkcji i argumentów. Obydwa prawa moŜna stosować, gdy spełniony 

jest  warunek  pomijalności  wyrazów  z  błędami  w  wyŜszych  potęgach.  Warunek  ten  nie  jest 

spełniony w pobliŜu punktów zaniku pochodnych pierwszego rzędu. 

 

Stosując prawa składania błędów dla najczęściej spotykanych funkcji (23), moŜna wy-

prowadzić  dla  nich  stosunkowo  proste  formuły  zestawione  w  Tablicy  1.  Błąd  funkcji  nie 

umieszczonej w Tablicy 1 oblicza się albo stosując prawo róŜniczki zupełnej lub logarytmicz-

nej, albo, jeŜeli funkcję tę moŜna wyrazić jako kombinację funkcji prostych, stosując kolejno 

reguły podane w Tablicy 1. 

 

 

 

43

Tablica 1. Błędy niektórych funkcji 

Funkcja 

błąd funkcji 

bezwzględny 

∆

y lub względny 

δ

y 

y

K x

=

 

∆

∆

y

K

x

y

x

=

=

,

δ

δ

 

y

x

x

=

+

1

2

 

∆

∆

∆

y

x

x

=

+

1

2

 

y

x

x

=

−

1

2

 

∆

∆

∆

y

x

x

=

−

1

2

 

y

x x

=

1

2

 

δ

δ

δ

y

x

x

=

+

1

2

 

y

x

x

x

=

≠

1

2

2

0

,

 

δ

δ

δ

y

x

x

=

−

1

2

 

y

x

x

k

=

>

,

0

 

x

k

y

δ

δ

=

 

y

x

x

=

>

ln

,

0  

δ

y

x

=

∆

 

y

x

a

x

a

=

>

>

log

,

,

0

0

 

δ

δ

y

a

x

=

1

ln

 

y

x

=

e

 

∆

y

x

=

δ

 

y

a

a

x

=

>

,

0

 

∆

y

a

x

=

ln

δ

 

y

x

x

=

<

sin

,

| |

1
2

π

 

∆

∆

y

x

x

=

cos

 

y

x

x

=

<

≤

cos ,

| |

0

1
2

π

 

∆

∆

y

x

x

= −

sin

 

y

x

=

arc tg

 

∆

∆

y

x

x

=

+

1

1

2

 

 

Przykład 2 

Błąd funkcji 

y

x

x x

=

arc cos

1

2 3

 wyznaczymy wprowadzając zmienną pomocniczą 

x

x

x x

y

=

=

1

2 3

cos

 

Teraz mamy 

(

)

∆

∆

∆

∆

y

y

x x

x

x

x x

x

x

x x

x

x

y

x

x

x

= −

−

−













=

−

+

+

1

1

2

3

1

1

2

2

3

2

1

2

3

2

3

1

2

3

sin

sin

δ

δ

δ

 

gdyŜ 

d

d

(arc cos

x

x

x

y

)

sin

= −

−

= −

1

1

1

2

 

 

44

Błąd funkcji 

3

3

2

1

x

x

y

x

=

 wyznaczymy logarytmując tę funkcję. Jest  

ln

ln

ln

y

x

x

x

=

+

2

1

3

3

 i dalej 

δ

δ

y

y

x

x

x

x

x

x

x

x

=

=

+

=

+

=

∆

∆

∆

∆

(ln )

(

ln

)

( ln

)

ln

(

ln

)

(ln

)

2

1

3

2

1

2

1

3

3

3

 

[

]

=

+

+

=

+











+

=

+

+

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

2

1

1

2

3

2

1

1

1

2

3

2

1

2

1

2

3

3

3

3

ln

(ln

)

ln

(ln

)

ln

ln

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

∆

 

Błąd funkcji 

y

x

x

x

x

=

−

1

2

2

2

3

2

2

4

 obliczamy jako 

δ

δ

δ

δ

y

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

y

x

x

x

x

y

x

x

x

x

x

x

x

x

=

−













=

−













−

=













−





























=













−





























=

1
2

1

2

2

2

3

2

2

4

1
2

1

2

2

2

3

2

2

4

1

2

2

2

3

2

2

4

2

1

2

2

2

3

2

2

4

2

1

2

2

2

1

2

2

2

3

2

2

4

3

2

2

4

1

2

1

2

∆

∆

∆

 

=

−

−

−

















=

−

−













−

















1

2

2

2

2

4

1

2

2

1

2

2

2

1

2

3

2

2

4

3

2

2

1

2

2

2

1

1

2

2

2

3

2

2

4

2

3

2

2

4

3

y

x

x

x

x

x

x

x

x

y

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

(

)

(

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

 

 

6. Szacowanie granicznego błędu pomiaru pośredniego. Model zdeterminowany 

 

Prawa i reguły z poprzedniego rozdziału odnoszą się do obliczania błędu prawdziwego 

funkcji: bezwzględnego 

∆

y lub względnego 

δ

y. Na ich podstawie moŜna dalej oszacować błąd 

graniczny  funkcji:  bezwzględny 

∆

max

y  lub  względny 

δ

max

y  w  zaleŜności  od  błędów 

granicznych  argumentów:  bezwzględnych 

∆

max

x

1

,...,

∆

max

x

M

  lub  względnych 

δ

max

x

1

,...,

δ

max

x

M

. 

Operacja  ta  nazywa  się  składaniem  niepewności  lub  składaniem  błędów  granicznych. 

Stosowane są dwie metody składania niepewności. 

 

Metoda najgorszego rozłoŜenia zakłada najgorsze z moŜliwych rozłoŜenie błędów 

∆

x

m

 

(lub 

δ

x

m

)  poszczególnych  argumentów  –  wszystkie  mają  wartości  skrajne 

±

∆

max

x

m

  (lub 

±

δ

max

x

m

), ich moduły są równe błędom granicznym, a znaki takie, jak znaki odpowiadają-

cych im współczynników wraŜliwości. Graniczny błąd pomiaru określa wzór 

∆

∆

max

max

max

max

y

K

x

y

k

x

m

m

m

M

m

m

m

M

=

=















=

=

∑

∑

1

1

δ

δ

 

(29) 

Metoda najgorszego rozłoŜenia daje oszacowanie zawyŜone, ale pewne. Metodę najgorszego 

rozłoŜenia stosuje się przy małej liczbie argumentów M i tam, gdzie zaleŜy na duŜej pewności 

oszacowania przedziału niepewności. 

 

 

45

 

Metoda  losowego  rozłoŜenia  zakłada,  bardziej  realistycznie,  Ŝe  błędy  systematyczne 

estymat  wartości  poszczególnych  wielkości  wejściowych  są  rozłoŜone  w  róŜnych  punktach 

wewnątrz swoich przedziałów niepewności [-

∆

max

x

m

, 

∆

max

x

m

], niekoniecznie na ich krańcach. 

Losowe rozłoŜenie błędów systematycznych jest rozkładem zbioru błędów 

J

x

x

∆

∆

,...,

1

, a nie 

pojedynczych błędów 

∆

x

j

. Graniczny błąd pomiaru określa wzór

4

 

∆

∆

max

max

max

max

(

)

(

)

y

K

x

y

k

x

m

m

m

M

m

m

m

M

=

=















=

=

∑

∑

3

3

2

2

1

2

2

1

δ

δ

 

(30) 

Metodę losowego rozłoŜenia stosuje się przy większej liczbie argumentów obarczonych błę-

dami niezaleŜnymi od siebie. 

Przykład 3 

Funkcja  y  jest  iloczynem:  (a)  czterech,  (b)  dziewięciu,  (c)  dwudziestu  pięciu  i  (d)  stu  argumentów,  z  których 

kaŜdy  jest  obarczony  granicznym  błędem  względnym 

δ

maxxm = 1%.  Prawdziwy  względny  błąd  funkcji  jest 

sumą  prawdziwych  względnych  błędów  wszystkich  argumentów.  Szacując  graniczny  względny  błąd  funkcji 

δ

maxy metodą najgorszego rozłoŜenia otrzymuje się wartości: (a) 4%, (b) 9%, (c) 25% i (d) 100% (!!!), a sza-

cując metodą losowego rozłoŜenia: (a) 3,5%, (b) 5,2%, (c) 8,7% i (d) 18%. 

 

7. Szacowanie granicznego błędu pomiaru bezpośredniego. Model losowy 

 

Metodę szacowania niepewności pomiaru przedstawioną w p.4 i p.6 moŜna stosować 

przyjmując  zdeterminowany  model  błędu  pomiaru.  Model  ten  moŜe  być  zastosowany,  jeŜeli 

wyniki pomiarów tej samej wartości mezurandu powtarzane w tych samych warunkach (takie 

pomiary nazywają się pomiarami powtarzanymi w warunkach powtarzalności) są jednakowe. 

Często zdarza się jednak, Ŝe pomiary powtarzane w warunkach powtarzalności róŜnią się mię-

dzy  sobą.  Niech  wyniki  pojedynczych  powtarzanych  pomiarów  wynoszą  x(1), x(2),..., x(N). 

W  takich  sytuacjach  przyjmuje  się  losowy  model  błędu  pomiaru,  zakładając,  Ŝe  wynik 

pomiaru x jest obarczony błędem 

∆

=

∆

x

, modelowanym zmienną losową. Błąd ten rozkłada 

                                                           

4

  ZaleŜność  tę  otrzymuje  się  zakładając  równomierny  rozkład  błędów  wewnątrz  przedziału  niepewności  i 

przyjmując  tzw.  trójsigmowy  przedział  ufności,  co  odpowiada  wysokiemu  poziomowi  ufności  0,9973.  Godząc 
się z mniejszym poziomem ufności 0,916 moŜna graniczny błąd pomiaru szacować z zaleŜności 

 

∆

∆

max

max

(

)

y

K

x

m

m

m

M

=

=

∑

2

2

1

 lub 

δ

δ

max

max

(

)

y

k

x

m

m

m

M

=

=

∑

2

2

1

 

 

46

się na dwie składowe: błąd systematyczny 

ξ

=

∆

x

s

, niezmienny dla kaŜdego pomiaru, i błąd 

przypadkowy 

∆

r

x

=

ε

 będący zmienną losową o zerowej wartości oczekiwanej. Jest więc 

ε

ξ

+

+

=

∆

+

=

x

x

x

&

&

 

(31) 

Zmiennymi losowymi są x, 

∆

 i 

ε

. Wartości oczekiwane tych zmiennych wynoszą 

odpowiednio 

0

)

(

   

,

)

(

   

,

)

(

=

=

∆

+

=

ε

ξ

ξ

E

E

x

x

E

&

 

(32) 

Błąd  systematyczny  definiuje  się  jako  wartość  oczekiwaną  błędu  pomiaru  powtarzanego  w 

warunkach powtarzalności, a błąd przypadkowy  – jako centrowany (tzn.  z zerową wartością 

oczekiwaną) błąd pomiaru powtarzanego w warunkach powtarzalności.

 

 

 

O błędzie przypadkowym przyjmuje się zwykle, Ŝe jest zmienną losową o rozkładzie 

normalnym z zerową wartością oczekiwaną i wariancją 

2

σ

, zapisuje się to 

ε

 

∈

 

N 

(0, 

σ

2

) 

(33) 

Wynik pomiaru jest takŜe zmienną losową o rozkładzie normalnym 

X 

∈

 

N 

(

ξ

+

x&

, 

σ

2

) 

(34) 

gdzie 

)

(

2

2

x

σ

σ

=

  jest  wariancją  błędu  przypadkowego  i  wariancją  zmiennej  losowej 

modelującej wynik pojedynczego pomiaru. Błąd systematyczny spełnia 

ξ

 

∈

 

[−

ξ

max

,

 

ξ

max

]

 

(35) 

gdzie 

ξ

max

max

=

∆

s

x   jest  granicznym  błędem  systematycznym.  Najczęściej  błąd 

systematyczny  jest  błędem  instrumentalnym,  jego  wartość  graniczną 

ξ

max  wyznacza  się  z 

danych o przyrządach pomiarowych. 

 

Estymatą  xˆ   wartości  prawdziwej  mezurandu  x&   jest  średnia  arytmetyczna  wyników 

serii pojedynczych pomiarów 

∑

=

=

N

n

n

y

N

y

1

)

(

1

 ,   

∑

=

=

+

+

=

N

n

n

N

y

y

1

)

(

1

   

,

ε

ε

ε

ξ

&

 

(36) 

obarczona błędem składającym się z błędu systematycznego 

ξ

=

∆

yˆ

s

 i błędu przypadkowego 

ε

=

∆

yˆ

r

  (równego  średniej  arytmetycznej  błędów  przypadkowych  pojedynczych  pomiarów) 

spełniających 

 

47

ξ

 

∈

 

[−

ξ

max

,

 

ξ

max

] 

   i

   

N

x

x

2

2

2

)

(

   

,

)]

(

,

0

[

N

σ

σ

σ

ε

=

∈

 

(37) 

Odpowiednio do granicznego błędu systematycznego określa się graniczny błąd przypadkowy 

jako połowę szerokości przedziału ufności na poziomie ufności  

N

x

x

z

2

2

1

max

)

(

,

)

(

σ

σ

σ

ε

α

=

=

−

 

(38) 

gdzie 

α

−

1

z

 jest kwantylem rzędu 1–

α

/2 rozkładu normalnego standaryzowanego 

N

 (0,1). Naj-

częściej przyjmuje się 

3

1

=

−

α

z

 (błąd trójsigmowy) z 

99

,

0

9973

,

0

1

≈

=

−

α

 lub 

2

1

=

−

α

z

 (błąd 

dwusigmowy) z  1

0 9545

0 95

− =

≈

α

,

,

. Zwykle wariancja 

2

σ

 jest nieznana, wyznacza się jej 

estymatę 

s

x

N

x n

x

N

x n

n

N

n

N

2

2

1

2

1

1

1

1

1

( )

[ ( )

]

[

( )]

=

−

−

=

−

=

=

∑

∑

∆

d

 

(39) 

gdzie 

∆

d

x n

x n

x

( )

( )

=

−

 jest odchyleniem wskazania od średniej arytmetycznej. Graniczny błąd 

przypadkowy oblicza jako 

ε

α

max

( ) ,

( )

=

=

−

z

s x

s

x

s

N

1

2

2

 

(40) 

Formuła ta jest formułą przybliŜoną, moŜna ją uściślić zastępując kwantyle rozkładu normal-

nego kwantylami rozkładu t-Studenta. Graniczny błąd pomiaru oblicza się 

max

max

max

ε

ξ

+

=

∆

y

 

(41) 

czyli jako sumę granicznego błędu systematycznego i granicznego błędu przypadkowego. Ta-

kie liczenie granicznego błędu pomiaru odpowiada hipotetycznemu powtarzaniu serii pomia-

rów  w  warunkach  powtarzalności,  a  więc  zawsze  tego  samego  błędu  systematycznego.  Ta 

metoda szacowania niepewności będzie nazywana 

metodą powtarzania błędu systematycz-

nego. 

 

Często  zachodzi  potrzeba  porównywania  wyników  pomiarów  wykonywanych  w  róŜ-

nych laboratoriach. Wtedy lepiej jest obliczać graniczny błąd pomiaru 

metodą randomizacji 

i centryzacji błędu systematycznego, jako 

3

)

(

ˆ

2

max

2

2

1

max

ξ

α

+

=

∆

−

y

s

z

x

 

(42) 

co odpowiada hipotetycznemu powtarzaniu serii pomiarów, kaŜdej z innym błędem systema-

tycznym,  losowo  wybieranym  z  równomiernego  rozkładu  błędu  systematycznego  w 

przedziale 

[−

ξ

max

,

 

ξ

max

]. 

Fizycznie  taką  sytuację  moŜna  byłoby  stworzyć  wykonując  kaŜdą 

 

48

serię pomiarów innym przyrządem, losowo wybranym z populacji wszystkich przyrządów o 

tym samym granicznym błędzie instrumentalnym 

ξ

max

. 

 

Przedstawioną metodykę obliczeń ograniczono do szacowania błędu granicznego bez-

względnego, bez trudu moŜna ją rozszerzyć na szacowanie błędu granicznego względnego. 

 

Przykład 4 

Woltomierzem  cyfrowym  o  maksymalnym  wskazaniu  cyfrowym  3999  i  niedokładności  (granicznym  błędzie 

pomiaru) 0,5% odczytu plus 3 jednostki ostatniego rzędu wykonano serię dziesięciu pomiarów napięcia. Wyniki 

pomiarów  podano  w  drugiej  kolumnie  tablicy.  Tablica  ta  będzie  tablicą  wzorcową  do  rozwiązywania  zadań 

podobnego typu z zastrzeŜeniem, Ŝe obecnie stosowane kalkulatory (nie mówiąc juŜ o komputerach) pozwalają 

otrzymać wartości 

x

 i  s  bez potrzeby wypełniania trzeciej i czwartej kolumny tablicy. 

Pomiary  powinny  być  wykonane  (zgodnie  z  zasadami  sztuki  mierzenia)  na  zakresie  100,0 V,  wartość  cyfry 

ostatniego rzędu (kwant) tego zakresu wynosi 0,1 V.  Na podstawie danych o niedokładności woltomierza obli-

czamy graniczny błąd systematyczny jego wskazań 

V

0,8

=

V

1

,

0

3

V

0

,

100

005

,

0

ˆ

s

max

×

+

×

=

∆

x

 

 

n 

x(n) 

∆

dx(n) 

[

∆

xd(n)]2 

 

V 

V 

V2 

1 

2 

3 

4 

5 

6 

7 

8 

9 

10 

97,1 

95,6 

101,6 

102,9 

102,8 

95,5 

104,3 

99,1 

102,5 

103,5 

-3,4 

-4,9 

1,1 

2,4 

2,3 

-5,0 

3,8 

-1,4 

2,0 

3,0 

11,56 

24,01 

1,21 

5,76 

5,29 

25,00 

14,44 

1,96 

4,00 

9,00 

Σ

 

1004,9 

-0,1 

102,23 

 

Na podstawie danych wyników pojedynczych pomiarów x(n) obliczamy 

V

5

,

100

V

49

,

100

10

V

9

,

1004

)

(

1

1

=

=

=

=

∑

=

N

n

n

x

N

x

 

 

49

stąd  obliczamy  odchylenia  od  średniej 

∆

d

x(n)=  x(n)– 

x

  i  ich  sumę,  której  zerowa  wartość  (lub  bliska  zeru  ze 

względu na zaokrąglanie średniej arytmetycznej 

x

) jest sprawdzianem poprawności obliczeń, a na jej podstawie 

obliczamy estymatę wariancji błędu przypadkowego i wskazań 

[

]

2

2

1

2

d

2

V

36

,

11

9

V

23

,

102

)

(

1

1

≈

=

∆

−

=

∑

=

N

n

n

x

N

s

  ,  

oraz estymaty wariancji i odchylenia standardowego średniej arytmetycznej wskazań 

2

2

2

2

V

136

,

1

10

V

36

,

11

)

(

=

=

=

N

s

x

s

  ,    

V

1

,

1

V

066

,

1

)

(

≈

=

x

s

 

Obliczamy  graniczny  błąd  pomiaru  metodą  powtarzania  błędu  systematycznego.  Jest  on  sumą  granicznego 

błędu systematycznego i granicznego błędu przypadkowego 

x

x

x

ˆ

ˆ

ˆ

r

max

s

max

max

∆

+

∆

=

∆

 

Graniczny błąd przypadkowy na poziomie ufności bliskim 0,95 obliczamy jako 

V

2

,

2

)

(

2

ˆ

r

max

=

=

∆

x

s

x

 

i stąd ostatecznie 

V

0

,

3

=

V

8

,

0

V

2

,

2

ˆ

ˆ

ˆ

r

max

s

max

max

+

=

∆

+

∆

=

∆

x

x

x

  ,   

V

0

,

3

V

5

,

100

±

=

x&

 

Obliczamy  graniczny  błąd  pomiaru  metodą  randomizacji  i  centryzacji  błędu  systematycznego  przyjmując 

dalej poziom ufności bliski 0,95 

(

)

V

4

,

2

V

162

,

1

2

V

136

,

1

3

)

V

8

,

0

(

2

)

(

3

ˆ

2

ˆ

2

2

2

2

2

s

max

max

≈

×

=

+

=

+

∆

=

∆

x

s

x

x

   ,   

V

4

,

2

V

5

,

100

±

=

x&

 

Otrzymaliśmy dwie róŜne wartości błędu granicznego, róŜnica między nimi wynosząca około 20%, wynikająca z 

róŜnej  interpretacji  błędu  granicznego,  nie  powinna  nikogo  przeraŜać,  gdyŜ  dopuszczalny  błąd  oszacowania 

błędu jest rzędu dziesiątków procent. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

50

Wykład 5, 6 i 7 

 

Metody pomiarowe i narzędzia pomiarowe I 

 

 

Przetwarzanie sygnałów pomiarowych i przetworniki pomiarowe. Model przetwornika analo-

gowego.  Parametry  charakterystyczne.  Normalizacja  błędów  przetwarzania.  Przetworze-

niowo-sygnałowy  model  pomiaru.  Wzorzec  i  komparator.  Komparacja  równoczesna  i  nie 

równoczesna - kompensacja i podstawienie. Pomiary analogowe. 

 

1. Przetwarzanie sygnałów pomiarowych 

Przetwarzaniem sygnałów pomiarowych nazywa się operację zamiany sygnału pomiarowego 

w inny sygnał pomiarowy z zachowaniem, w granicach określonej niedokładności, ustalonego 

związku między treściami obu sygnałów. Sygnał przetwarzany nazywa się sygnałem wejścio-

wym,  sygnał  przetworzony  -  sygnałem  wyjściowym,  związek  między  treściami  sygnałów  - 

równaniem  przetwarzania.  Funkcja  wyraŜająca  zaleŜność  treści  sygnału  wyjściowego  od 

treści sygnału wejściowego nazywa się funkcją przetwarzania. Funkcja wyraŜająca zaleŜność 

treści  sygnału  wejściowego  od  treści  sygnału  wyjściowego  nazywa  się  odwrotną  funkcją 

przetwarzania.  

W niniejszych rozwaŜaniach pominiemy na początku zagadnienia niedokładności przetwarza-

nia, rozwaŜać więc będziemy przetwarzanie dokładne według równania przetwarzania. Odpo-

wiednio  do  wyróŜnionych  dwóch  rodzajów  sygnałów:  analogowego  i  cyfrowego,  wyróŜnia 

się cztery typy przetwarzania: 

•

 

przetwarzanie analogowe, 

•

 

przetwarzanie analogowo-cyfrowe, 

•

 

przetwarzanie cyfrowo-analogowe, 

•

 

przetwarzanie cyfrowe. 

 

Przetwarzanie  analogowe

  jest  przetwarzaniem  sygnału  analogowego  w  analogowy. 

Równanie przetwarzania analogowego moŜe mieć postać identyczności lub równania algebra-

icznego  liniowego  lub  nieliniowego  wiąŜącego  treści  sygnałów,  ale  moŜe  takŜe  mieć  postać 

równania róŜniczkowo-całkowego, zawierającego pochodne i całki rozkładów czasowych sy-

gnałów,  lub  równania  róŜnicowego.  Istnieje  wiele  rodzajów  przetwarzania  analogowego, 

ograniczymy się do krótkiego omówienia kilku tylko rodzajów.