Wprowadzenie do rachunku tensorowego

2011-01-24

A. Marynowicz

Strona 1

Wprowadzenie do rachunku tensorowego

Tensorami nazywamy ogólnie takie obiekty jak skalary, wektory i wielkości wyższych
rzedów. Tak więc tensorem rzędu zerowego (np. A, czyli wielkość o walencji 0) są skalary,
pierwszego (np. j

i

, czyli wielkość o walencji 1) wektory, zaś reprezentacją tensora rzędu

drugiego (np. d

ij

) jest macierz 2x2. Tensory rzędów (czyli walencji) wyższych (np. 3-go, 4-

go) nie możemy już zapisać na ,,płaszczyźnie’’.

Operacje na tensorach rządzą się pewnymi zasadami (algebra tensorów):

1.

ij

ij

ij

B

A

C

+

=

- dodawanie tensorów

2.

n

ijkl

n

kl

ij

c

b

a

=

- iloczyn tensorowy dwóch tensorów jest tensorem o walencji równej

sumie walencji składników

3.

Istnieje tzw. tensor jednostkowy – zwany deltą Kroneckera





















=

1

0

0

0

1

0

0

0

1

ij

δ

, czyli







≠

=

=

j

i

dla

0

j

i

dla

1

ij

δ

4.

Zamianę wskaźników dokonujemy poprzez przemnożenie danego tensora przez tensor
jednostkowy

jk

ik

ij

a

a

=

δ

5.

Niezmienniki tensora:

(

)

( )

ij

ji

ij

jj

ii

ii

ij

A

A

A

A

A

A

A

det

2

1

=

−

=

=

⇒

III

II

I

Równania tensorowe
Jednym z ,,zastosowań’’ tensorów jest umożliwienie zapisu relacji funkcyjnej między parą
wektorów, czyli np. dla wektorów a

i

i b

j

będzie

j

ij

i

b

B

a

=

,

natomiast dla pary tensorów będzie

kl

ijkl

ij

C

B

A

=

Konwencja sumacyjna Einsteina

W zapisie równań tensorowych powszechnie wykorzystuje się tzw. notację sumacyjną
Einsteina, pozwalającą zapisać skomplikowane wyrażenia w zwięzłej postaci. Konwencja ta
mówi, że sumowania dokonujemy po powtarzających się wskaźnikach, np.

3

3

2

2

1

1

3

1

x

a

x

a

x

a

x

a

x

a

i

i

i

j

j

ij

j

ij

+

+

=

≡

∑

=

Te powtarzające się wskaźniki nazywa się wskaźnikami niemymi. Mają one tą właściwość,
ż

e można je wymienić na dowolne inne, np.:

k

ik

j

ij

x

a

x

a

≡

UWAGA! Przy przekształceniach należy zwrócić uwagę na to, żeby dany wskaźnik nie
powtórzył się więcej niż 2 razy po jednej stronie równania

(dotyczy iloczynów!).

Wprowadzenie do rachunku tensorowego

2011-01-24

A. Marynowicz

Strona 2

Przykłady zadań z równaniami tensorowymi

Poniżej podam kilka przykładów, bez wyjaśnienia podstaw fizycznych – po te odsyłam do
wykładów.

Przykład 1.
Pole przemieszczeń w nieograniczonym ciele sprężystym ma postać:

j

j

i

i

x

B

x

u

=

(1)

Należy wyznaczyć tensor odkształceń w postaci:

i

j

j

i

ij

u

u

,

,

2

+

=

ε

(2)

oraz naprężeń

ij

kk

ij

ij

G

δ

λε

ε

σ

+

=

2

(3)

a następnie sprawdzić równanie równowagi wewnętrznej

0

,

=

+

i

j

ij

F

ρ

σ

(4)

Z równania tego należy, przyjmując znane

i

F

ρ

, wyznaczyć składowe wektora

A

i

.

Rozwiązanie
Aby to zadanie rozwiązać należy w pierwszej kolejności obliczyć pochodne (cząstkowe)
z wektora przemieszczeń

u

i

. Pochodną (cząstkową) w zapisie tensorowym oznacza się

przecinkiem i wskazuje po jakiej współrzędnej się ją liczy – to po przecinku, np.

j

i

j

i

x

x

x

,

≡

∂

∂

,

jk

i

k

j

i

x

x

x

x

,

2

≡

∂

∂

∂

, itp…

Należy jeszcze pamiętać o pochodnej mieszanej (z iloczynu funkcji). Mamy więc w naszym
przypadku (po zamianie indeksu

j na k w iloczynie! – powód podano wyżej):

[

] [ ]

[

]

j

i

k

k

ij

kj

k

i

k

k

ij

j

k

k

i

k

k

j

i

j

k

k

i

k

k

j

i

j

k

k

i

j

i

B

x

x

B

B

x

x

B

x

B

x

x

B

x

x

B

x

x

B

x

x

B

x

u

+

=

=

+

=

+

=

+

=

=

δ

δ

δ

,

,

,

,

,

,

(5)

Wektor

B

i

jest wektorem stałych, stąd pochodna jego jest równa zero. Wykorzystano tu także

zależności (można to łatwo rozpisać)

ij

j

i

x

δ

=

,

oraz

j

kj

k

B

B

=

δ

.

Pochodną

u

j,i

otrzymujemy podobnie, zamieniając wskaźniki i oraz j, stąd otrzymamy

i

j

k

k

ij

i

j

B

x

x

B

u

+

=

δ

,

(6)

wiedząc, że

ji

ij

δ

δ

=

.

Podstawiając (5) i (6) do (2) otrzymamy:

i

j

j

i

k

k

ij

ij

B

x

B

x

x

B

+

+

=

δ

ε

2

2

.

(7)

Następnie podstawiamy to do równania fizycznego (3)

(

)

(

)

(

)

λ

δ

λδ

δ

σ

4

2

4

2

+

+

+

=

=

=

+

+

+

=

G

x

B

B

x

B

x

G

x

B

B

x

B

x

x

B

G

k

k

ij

i

j

j

i

k

k

ij

i

j

j

i

k

k

ij

ij

K

(8)

Wprowadzenie do rachunku tensorowego

2011-01-24

A. Marynowicz

Strona 3

Występujące w (3) wyrażenie

kk

ε

otrzymano z przekształcenia (7):

k

k

k

k

k

k

k

k

l

l

k

k

k

k

l

l

kk

kk

x

B

B

x

x

B

B

x

x

B

B

x

B

x

x

B

8

2

6

2

3

2

2

2

=

+

=

+

⋅

⋅

=

+

+

=

δ

ε

,

czyli

k

k

kk

x

B

4

=

ε

.

Chcąc otrzymać ostatni element, czy wyliczyć siłę masową z równania równowagi, musimy
obliczyć pochodną z równania (8), czyli

(

)

[

]

(

)

[

]

}

}

(

)

}

(

)

)

4

6

(

4

2

4

4

2

4

2

,

3

,

,

,

,

,

λ

λ

δ

λ

λ

δ

σ

δ

δ

+

=

+

+

=

=





















+

+





















+

=

=

+

+

+

=

G

B

B

G

GB

x

B

G

B

x

B

x

G

G

x

B

B

x

B

x

G

i

i

i

B

j

k

k

ij

i

j

j

B

j

j

i

j

k

k

ij

j

i

j

j

i

j

ij

j

kj

i

ij

3

2

1

3

2

1

Wykorzystano tu fakt, że pochodna z

ij

δ

jest równa zero. Mając tak policzoną pochodną

otrzymamy równanie równowagi

)

4

6

(

λ

ρ

+

−

=

G

B

F

i

i

,

(9)

z którego, przy znanym

i

F

ρ

, wyznaczymy składowe wektora

i

B :

3

3

2

2

1

1

4

6

4

6

4

6

F

G

B

F

G

B

F

G

B

λ

ρ

λ

ρ

λ

ρ

+

−

=

+

−

=

+

−

=

(10)

Równania (7), (8), (9) i (10) stanowią rozwiązanie zadania.

Przykład 2.
Pole przemieszczeń w nieograniczonym ciele sprężystym ma postać:

(

)

j

j

i

i

i

B

x

B

x

u

−

=

(11)

Wyznaczyć wielkości z przykładu 1 (tylko zamiast A

i

wyznaczyć składowe B

i

).

Rozwiązanie
Możemy na początku przekształcić (zamieniając indeksy ,,nieme’’ (czyli nie występujące po
lewej stronie równania) j na k) (11)

(

)

k

i

k

k

k

i

j

i

i

j

j

i

j

j

i

i

i

B

B

x

B

x

x

B

B

x

B

x

x

B

x

B

x

u

−

=

−

=

−

=

Mamy więc:

[ ]

}

}

}

(

)

i

i

j

k

k

ij

i

j

B

k

kj

i

k

k

ij

i

j

k

j

k

i

k

j

i

i

B

k

j

k

k

j

k

i

j

i

B

x

B

B

x

B

B

B

x

B

x

B

B

B

x

x

x

x

B

B

x

B

x

x

u

j

kj

ij

j

j

k

−

+

=

=

−

+

=

−

















+

=

−

=

δ

δ

δ

δ

δ

δ

3

2

1

3

2

1

,

,

,

,

,

,

oraz

(

)

j

j

i

k

k

ij

i

j

B

x

B

B

x

u

−

+

=

δ

,

.

Tak więc tensor odkształcenia ma postać

j

i

i

j

j

i

k

k

ij

ij

x

B

x

B

B

B

B

x

+

+

−

=

2

2

2

δ

ε

(12)

Wprowadzenie do rachunku tensorowego

2011-01-24

A. Marynowicz

Strona 4

Tensor

kk

ε

:

k

k

k

k

kk

B

B

x

B

−

=

4

ε

Stąd tensor naprężeń (równanie fizyczne):

ij

k

k

k

k

j

i

i

j

j

i

k

k

ij

ij

B

B

B

x

B

B

B

x

B

x

B

x

G

δ

λ

δ

σ

)

4

(

)

2

2

(

−

+

−

+

+

=

(13)

Pochodna z wyrażenia (13) ma postać

(uwaga na x

j,j

=3)

[

] [ ] [ ] [

]

[

] [

]

i

B

ij

j

k

k

B

j

k

k

j

j

i

B

j

i

j

B

j

j

i

B

j

k

k

ij

j

ij

B

G

B

B

B

x

B

B

B

x

B

x

B

x

G

i

j

i

i

i

)

4

6

(

)

4

(

)

2

2

(

4

0

,

,

0

,

3

,

,

2

,

,

λ

δ

λ

δ

σ

λ

+

=

−

+

−

+

+

=

4

4

4

4

3

4

4

4

4

2

1

4

3

42

1

4

3

42

1

4

3

42

1

3

2

1

3

2

1

43

42

1

(14)

Wstawiając (14) do równania równowagi (4) otrzymamy wyrażenie na składowe wektora siły
masowej

i

i

B

G

F

)

4

6

(

λ

ρ

+

−

=

(15)

Ostatecznie składowe wektora

i

B wyliczymy przekształcając (15), czyli otrzymamy

[

]

i

i

F

G

B

ρ

λ

1

4

6

−

+

−

=

(16)

czyli po rozpisaniu:

(

)

(

)

(

)

3

1

3

2

1

2

1

1

1

4

6

4

6

4

6

F

G

B

F

G

B

F

G

B

ρ

λ

ρ

λ

ρ

λ

−

−

−

+

−

=

+

−

=

+

−

=

(17)

co kończy zadanie.