Idea testu statystycznego i podstawowe poj ˛ecia
Etapy testowania hipotez statystycznych
Rodzaje mo˙zliwych bł ˛edów podczas testowania hipotez
Idea budowy obszaru odrzucenia testu
PODSTAWY WNIOSKOWANIA
STATYSTYCZNEGO – cze¸ ´s ´c II
Agnieszka Rossa
Agnieszka Rossa
Idea testu statystycznego i podstawowe poj ˛ecia
Etapy testowania hipotez statystycznych
Rodzaje mo˙zliwych bł ˛edów podczas testowania hipotez
Idea budowy obszaru odrzucenia testu
Szkic wykładu
1
2
Idea testu statystycznego i podstawowe poj ˛ecia
3
Etapy testowania hipotez statystycznych
4
Rodzaje mo˙zliwych bł ˛edów podczas testowania hipotez
5
Idea budowy obszaru odrzucenia testu
Agnieszka Rossa
Idea testu statystycznego i podstawowe poj ˛ecia
Etapy testowania hipotez statystycznych
Rodzaje mo˙zliwych bł ˛edów podczas testowania hipotez
Idea budowy obszaru odrzucenia testu
Weryfikacja hipotez statystycznych
Obok estymacji drugim działem wnioskowania sta-
tystycznego jest
weryfikacja hipotez statystycznych
.
Weryfikacja hipotez statystycznych (lub te˙z testowanie
hipotez) obejmuje zbiór reguł uogólniania wyników z próby
na populacj ˛e. Jednak algorytm post ˛epowania przebiega
tutaj w odwrotnym kierunku ni˙z stosowany w estymacji.
W przypadku weryfikacji hipotez, najpierw
formułuje si ˛e
pewne przypuszczenie dotycz ˛
ace konkretnej popu-
lacji
, a nast ˛epnie sprawdza (odpowiednimi metodami), czy
mo˙zna je odrzuci´c, uznaj ˛
ac za fałszywe, czy te˙z nie.
Agnieszka Rossa
Idea testu statystycznego i podstawowe poj ˛ecia
Etapy testowania hipotez statystycznych
Rodzaje mo˙zliwych bł ˛edów podczas testowania hipotez
Idea budowy obszaru odrzucenia testu
Weryfikacja hipotez statystycznych
Obok estymacji drugim działem wnioskowania sta-
tystycznego jest
weryfikacja hipotez statystycznych
.
Weryfikacja hipotez statystycznych (lub te˙z testowanie
hipotez) obejmuje zbiór reguł uogólniania wyników z próby
na populacj ˛e. Jednak algorytm post ˛epowania przebiega
tutaj w odwrotnym kierunku ni˙z stosowany w estymacji.
W przypadku weryfikacji hipotez, najpierw
formułuje si ˛e
pewne przypuszczenie dotycz ˛
ace konkretnej popu-
lacji
, a nast ˛epnie sprawdza (odpowiednimi metodami), czy
mo˙zna je odrzuci´c, uznaj ˛
ac za fałszywe, czy te˙z nie.
Agnieszka Rossa
Idea testu statystycznego i podstawowe poj ˛ecia
Etapy testowania hipotez statystycznych
Rodzaje mo˙zliwych bł ˛edów podczas testowania hipotez
Idea budowy obszaru odrzucenia testu
Weryfikacja hipotez statystycznych
Obok estymacji drugim działem wnioskowania sta-
tystycznego jest
weryfikacja hipotez statystycznych
.
Weryfikacja hipotez statystycznych (lub te˙z testowanie
hipotez) obejmuje zbiór reguł uogólniania wyników z próby
na populacj ˛e. Jednak algorytm post ˛epowania przebiega
tutaj w odwrotnym kierunku ni˙z stosowany w estymacji.
W przypadku weryfikacji hipotez, najpierw
formułuje si ˛e
pewne przypuszczenie dotycz ˛
ace konkretnej popu-
lacji
, a nast ˛epnie sprawdza (odpowiednimi metodami), czy
mo˙zna je odrzuci´c, uznaj ˛
ac za fałszywe, czy te˙z nie.
Agnieszka Rossa
Idea testu statystycznego i podstawowe poj ˛ecia
Etapy testowania hipotez statystycznych
Rodzaje mo˙zliwych bł ˛edów podczas testowania hipotez
Idea budowy obszaru odrzucenia testu
Weryfikacja hipotez statystycznych – Przykład 1
Przykład 1.
Jedn ˛
a z pierwszych prób testowania przypuszczenia
dotycz ˛
acego pewnej populacji podj ˛
ał John Arbuthnot
w roku 1710.
Chciał si ˛e przekona´c, czy populacj ˛e londy ´nskich nowo-
rodków charakteryzuje prawidłowo´s´c, i˙z rodzi si ˛e wi ˛ecej
chłopców ni˙z dziewczynek (obecnie tego rodzaju prawi-
dłowo´s´c jest powszechnie uznawana).
W tym celu przeanalizował dane dotycz ˛
ace płci noworod-
ków, które urodziły si ˛e w Londynie w ci ˛
agu ostatnich 82 lat
i stwierdził, ˙ze we wszystkich przeanalizowanych latach
liczba chłopców była wi ˛eksza ni˙z liczba dziewczynek.
Pytanie:
Czy zaobserwowane wyniki ´swiadcz ˛
a o pewnej
prawidłowo´sci, czy te˙z s ˛
a przypadkowe?
Agnieszka Rossa
Idea testu statystycznego i podstawowe poj ˛ecia
Etapy testowania hipotez statystycznych
Rodzaje mo˙zliwych bł ˛edów podczas testowania hipotez
Idea budowy obszaru odrzucenia testu
Weryfikacja hipotez statystycznych – Przykład 1
Przykład 1.
Jedn ˛
a z pierwszych prób testowania przypuszczenia
dotycz ˛
acego pewnej populacji podj ˛
ał John Arbuthnot
w roku 1710.
Chciał si ˛e przekona´c, czy populacj ˛e londy ´nskich nowo-
rodków charakteryzuje prawidłowo´s´c, i˙z rodzi si ˛e wi ˛ecej
chłopców ni˙z dziewczynek (obecnie tego rodzaju prawi-
dłowo´s´c jest powszechnie uznawana).
W tym celu przeanalizował dane dotycz ˛
ace płci noworod-
ków, które urodziły si ˛e w Londynie w ci ˛
agu ostatnich 82 lat
i stwierdził, ˙ze we wszystkich przeanalizowanych latach
liczba chłopców była wi ˛eksza ni˙z liczba dziewczynek.
Pytanie:
Czy zaobserwowane wyniki ´swiadcz ˛
a o pewnej
prawidłowo´sci, czy te˙z s ˛
a przypadkowe?
Agnieszka Rossa
Idea testu statystycznego i podstawowe poj ˛ecia
Etapy testowania hipotez statystycznych
Rodzaje mo˙zliwych bł ˛edów podczas testowania hipotez
Idea budowy obszaru odrzucenia testu
Weryfikacja hipotez statystycznych – Przykład 1
Przykład 1.
Jedn ˛
a z pierwszych prób testowania przypuszczenia
dotycz ˛
acego pewnej populacji podj ˛
ał John Arbuthnot
w roku 1710.
Chciał si ˛e przekona´c, czy populacj ˛e londy ´nskich nowo-
rodków charakteryzuje prawidłowo´s´c, i˙z rodzi si ˛e wi ˛ecej
chłopców ni˙z dziewczynek (obecnie tego rodzaju prawi-
dłowo´s´c jest powszechnie uznawana).
W tym celu przeanalizował dane dotycz ˛
ace płci noworod-
ków, które urodziły si ˛e w Londynie w ci ˛
agu ostatnich 82 lat
i stwierdził, ˙ze we wszystkich przeanalizowanych latach
liczba chłopców była wi ˛eksza ni˙z liczba dziewczynek.
Pytanie:
Czy zaobserwowane wyniki ´swiadcz ˛
a o pewnej
prawidłowo´sci, czy te˙z s ˛
a przypadkowe?
Agnieszka Rossa
Idea testu statystycznego i podstawowe poj ˛ecia
Etapy testowania hipotez statystycznych
Rodzaje mo˙zliwych bł ˛edów podczas testowania hipotez
Idea budowy obszaru odrzucenia testu
Weryfikacja hipotez statystycznych – Przykład 1
Przykład 1.
Jedn ˛
a z pierwszych prób testowania przypuszczenia
dotycz ˛
acego pewnej populacji podj ˛
ał John Arbuthnot
w roku 1710.
Chciał si ˛e przekona´c, czy populacj ˛e londy ´nskich nowo-
rodków charakteryzuje prawidłowo´s´c, i˙z rodzi si ˛e wi ˛ecej
chłopców ni˙z dziewczynek (obecnie tego rodzaju prawi-
dłowo´s´c jest powszechnie uznawana).
W tym celu przeanalizował dane dotycz ˛
ace płci noworod-
ków, które urodziły si ˛e w Londynie w ci ˛
agu ostatnich 82 lat
i stwierdził, ˙ze we wszystkich przeanalizowanych latach
liczba chłopców była wi ˛eksza ni˙z liczba dziewczynek.
Pytanie:
Czy zaobserwowane wyniki ´swiadcz ˛
a o pewnej
prawidłowo´sci, czy te˙z s ˛
a przypadkowe?
Agnieszka Rossa
Idea testu statystycznego i podstawowe poj ˛ecia
Etapy testowania hipotez statystycznych
Rodzaje mo˙zliwych bł ˛edów podczas testowania hipotez
Idea budowy obszaru odrzucenia testu
Weryfikacja hipotez statystycznych – Przykład 1
Rozwi ˛
azanie.
Przyjmijmy na chwil ˛e, ˙ze prawdziwe jest nast ˛epuj ˛
ace
przypuszczenie
, które oznaczymy symbolem H
0
:
H
0
: Prawdopodobie ´
nstwo p urodzenia chłopca jest
takie samo, jak urodzenia dziewczynki, czyli p =
1
2
.
Hipoteza ta implikuje jednocze´snie przypuszczenie, ˙ze
z takim samym prawdopodobie ´nstwem liczba urodzonych
w okre´slonym roku chłopców jest wi ˛eksza lub mniejsza od
liczby urodzonych dziewczynek.
Przy tym zało˙zeniu wydaje si ˛e bardzo mało prawdopodo-
bne, aby przez kolejne 82 lata liczba chłopców przewy˙z-
szała liczb ˛e dziewczynek.
Obliczmy szans ˛e tego wyniku, zakładaj ˛
ac prawdziwo´s´c H
0
.
Agnieszka Rossa
Idea testu statystycznego i podstawowe poj ˛ecia
Etapy testowania hipotez statystycznych
Rodzaje mo˙zliwych bł ˛edów podczas testowania hipotez
Idea budowy obszaru odrzucenia testu
Weryfikacja hipotez statystycznych – Przykład 1
Rozwi ˛
azanie.
Przyjmijmy na chwil ˛e, ˙ze prawdziwe jest nast ˛epuj ˛
ace
przypuszczenie
, które oznaczymy symbolem H
0
:
H
0
: Prawdopodobie ´
nstwo p urodzenia chłopca jest
takie samo, jak urodzenia dziewczynki, czyli p =
1
2
.
Hipoteza ta implikuje jednocze´snie przypuszczenie, ˙ze
z takim samym prawdopodobie ´nstwem liczba urodzonych
w okre´slonym roku chłopców jest wi ˛eksza lub mniejsza od
liczby urodzonych dziewczynek.
Przy tym zało˙zeniu wydaje si ˛e bardzo mało prawdopodo-
bne, aby przez kolejne 82 lata liczba chłopców przewy˙z-
szała liczb ˛e dziewczynek.
Obliczmy szans ˛e tego wyniku, zakładaj ˛
ac prawdziwo´s´c H
0
.
Agnieszka Rossa
Idea testu statystycznego i podstawowe poj ˛ecia
Etapy testowania hipotez statystycznych
Rodzaje mo˙zliwych bł ˛edów podczas testowania hipotez
Idea budowy obszaru odrzucenia testu
Weryfikacja hipotez statystycznych – Przykład 1
Rozwi ˛
azanie.
Przyjmijmy na chwil ˛e, ˙ze prawdziwe jest nast ˛epuj ˛
ace
przypuszczenie
, które oznaczymy symbolem H
0
:
H
0
: Prawdopodobie ´
nstwo p urodzenia chłopca jest
takie samo, jak urodzenia dziewczynki, czyli p =
1
2
.
Hipoteza ta implikuje jednocze´snie przypuszczenie, ˙ze
z takim samym prawdopodobie ´nstwem liczba urodzonych
w okre´slonym roku chłopców jest wi ˛eksza lub mniejsza od
liczby urodzonych dziewczynek.
Przy tym zało˙zeniu wydaje si ˛e bardzo mało prawdopodo-
bne, aby przez kolejne 82 lata liczba chłopców przewy˙z-
szała liczb ˛e dziewczynek.
Obliczmy szans ˛e tego wyniku, zakładaj ˛
ac prawdziwo´s´c H
0
.
Agnieszka Rossa
Idea testu statystycznego i podstawowe poj ˛ecia
Etapy testowania hipotez statystycznych
Rodzaje mo˙zliwych bł ˛edów podczas testowania hipotez
Idea budowy obszaru odrzucenia testu
Weryfikacja hipotez statystycznych – Przykład 1
Rozwi ˛
azanie.
Przyjmijmy na chwil ˛e, ˙ze prawdziwe jest nast ˛epuj ˛
ace
przypuszczenie
, które oznaczymy symbolem H
0
:
H
0
: Prawdopodobie ´
nstwo p urodzenia chłopca jest
takie samo, jak urodzenia dziewczynki, czyli p =
1
2
.
Hipoteza ta implikuje jednocze´snie przypuszczenie, ˙ze
z takim samym prawdopodobie ´nstwem liczba urodzonych
w okre´slonym roku chłopców jest wi ˛eksza lub mniejsza od
liczby urodzonych dziewczynek.
Przy tym zało˙zeniu wydaje si ˛e bardzo mało prawdopodo-
bne, aby przez kolejne 82 lata liczba chłopców przewy˙z-
szała liczb ˛e dziewczynek.
Obliczmy szans ˛e tego wyniku, zakładaj ˛
ac prawdziwo´s´c H
0
.
Agnieszka Rossa
Idea testu statystycznego i podstawowe poj ˛ecia
Etapy testowania hipotez statystycznych
Rodzaje mo˙zliwych bł ˛edów podczas testowania hipotez
Idea budowy obszaru odrzucenia testu
Weryfikacja hipotez statystycznych – Przykład 1
Nazwijmy
sukcesem
zdarzenie, ˙ze liczba chłopców
urodzonych w danym roku jest wi ˛eksza ni˙z liczba
dziewczynek.
Je´sli prawdziwe jest przypuszczenie H
0
, to
prawdopodo-
bie ´
nstwo sukcesu
wynosi w przybli˙zeniu
1
2
.
Pomijamy tu zdarzenie jednakowej liczby chłopców
i dziewczynek, poniewa˙z w du˙zej populacji noworodków
prawdopodobie ´nstwo takiego zdarzenia jest bardzo małe.
Niech X oznacza liczb ˛e lat w ci ˛
agu n = 82 lat, w których
liczba chłopców była wi ˛eksza od liczby dziewczynek.
Zauwa˙zymy, ˙ze w ogólnym przypadku X jest zmienn ˛
a
losow ˛
a o rozkładzie dwumianowym.
Obliczymy prawdopodobie ´nstwo zdarzenia, ˙ze X = 82,
przy zało˙zeniu prawdziwo ´sci H
0
.
Agnieszka Rossa
Idea testu statystycznego i podstawowe poj ˛ecia
Etapy testowania hipotez statystycznych
Rodzaje mo˙zliwych bł ˛edów podczas testowania hipotez
Idea budowy obszaru odrzucenia testu
Weryfikacja hipotez statystycznych – Przykład 1
Nazwijmy
sukcesem
zdarzenie, ˙ze liczba chłopców
urodzonych w danym roku jest wi ˛eksza ni˙z liczba
dziewczynek.
Je´sli prawdziwe jest przypuszczenie H
0
, to
prawdopodo-
bie ´
nstwo sukcesu
wynosi w przybli˙zeniu
1
2
.
Pomijamy tu zdarzenie jednakowej liczby chłopców
i dziewczynek, poniewa˙z w du˙zej populacji noworodków
prawdopodobie ´nstwo takiego zdarzenia jest bardzo małe.
Niech X oznacza liczb ˛e lat w ci ˛
agu n = 82 lat, w których
liczba chłopców była wi ˛eksza od liczby dziewczynek.
Zauwa˙zymy, ˙ze w ogólnym przypadku X jest zmienn ˛
a
losow ˛
a o rozkładzie dwumianowym.
Obliczymy prawdopodobie ´nstwo zdarzenia, ˙ze X = 82,
przy zało˙zeniu prawdziwo ´sci H
0
.
Agnieszka Rossa
Idea testu statystycznego i podstawowe poj ˛ecia
Etapy testowania hipotez statystycznych
Rodzaje mo˙zliwych bł ˛edów podczas testowania hipotez
Idea budowy obszaru odrzucenia testu
Weryfikacja hipotez statystycznych – Przykład 1
Nazwijmy
sukcesem
zdarzenie, ˙ze liczba chłopców
urodzonych w danym roku jest wi ˛eksza ni˙z liczba
dziewczynek.
Je´sli prawdziwe jest przypuszczenie H
0
, to
prawdopodo-
bie ´
nstwo sukcesu
wynosi w przybli˙zeniu
1
2
.
Pomijamy tu zdarzenie jednakowej liczby chłopców
i dziewczynek, poniewa˙z w du˙zej populacji noworodków
prawdopodobie ´nstwo takiego zdarzenia jest bardzo małe.
Niech X oznacza liczb ˛e lat w ci ˛
agu n = 82 lat, w których
liczba chłopców była wi ˛eksza od liczby dziewczynek.
Zauwa˙zymy, ˙ze w ogólnym przypadku X jest zmienn ˛
a
losow ˛
a o rozkładzie dwumianowym.
Obliczymy prawdopodobie ´nstwo zdarzenia, ˙ze X = 82,
przy zało˙zeniu prawdziwo ´sci H
0
.
Agnieszka Rossa
Idea testu statystycznego i podstawowe poj ˛ecia
Etapy testowania hipotez statystycznych
Rodzaje mo˙zliwych bł ˛edów podczas testowania hipotez
Idea budowy obszaru odrzucenia testu
Weryfikacja hipotez statystycznych – Przykład 1
Nazwijmy
sukcesem
zdarzenie, ˙ze liczba chłopców
urodzonych w danym roku jest wi ˛eksza ni˙z liczba
dziewczynek.
Je´sli prawdziwe jest przypuszczenie H
0
, to
prawdopodo-
bie ´
nstwo sukcesu
wynosi w przybli˙zeniu
1
2
.
Pomijamy tu zdarzenie jednakowej liczby chłopców
i dziewczynek, poniewa˙z w du˙zej populacji noworodków
prawdopodobie ´nstwo takiego zdarzenia jest bardzo małe.
Niech X oznacza liczb ˛e lat w ci ˛
agu n = 82 lat, w których
liczba chłopców była wi ˛eksza od liczby dziewczynek.
Zauwa˙zymy, ˙ze w ogólnym przypadku X jest zmienn ˛
a
losow ˛
a o rozkładzie dwumianowym.
Obliczymy prawdopodobie ´nstwo zdarzenia, ˙ze X = 82,
przy zało˙zeniu prawdziwo ´sci H
0
.
Agnieszka Rossa
Idea testu statystycznego i podstawowe poj ˛ecia
Etapy testowania hipotez statystycznych
Rodzaje mo˙zliwych bł ˛edów podczas testowania hipotez
Idea budowy obszaru odrzucenia testu
Weryfikacja hipotez statystycznych – Przykład 1
Nazwijmy
sukcesem
zdarzenie, ˙ze liczba chłopców
urodzonych w danym roku jest wi ˛eksza ni˙z liczba
dziewczynek.
Je´sli prawdziwe jest przypuszczenie H
0
, to
prawdopodo-
bie ´
nstwo sukcesu
wynosi w przybli˙zeniu
1
2
.
Pomijamy tu zdarzenie jednakowej liczby chłopców
i dziewczynek, poniewa˙z w du˙zej populacji noworodków
prawdopodobie ´nstwo takiego zdarzenia jest bardzo małe.
Niech X oznacza liczb ˛e lat w ci ˛
agu n = 82 lat, w których
liczba chłopców była wi ˛eksza od liczby dziewczynek.
Zauwa˙zymy, ˙ze w ogólnym przypadku X jest zmienn ˛
a
losow ˛
a o rozkładzie dwumianowym.
Obliczymy prawdopodobie ´nstwo zdarzenia, ˙ze X = 82,
przy zało˙zeniu prawdziwo ´sci H
0
.
Agnieszka Rossa
Idea testu statystycznego i podstawowe poj ˛ecia
Etapy testowania hipotez statystycznych
Rodzaje mo˙zliwych bł ˛edów podczas testowania hipotez
Idea budowy obszaru odrzucenia testu
Weryfikacja hipotez statystycznych – Przykład 1
Nazwijmy
sukcesem
zdarzenie, ˙ze liczba chłopców
urodzonych w danym roku jest wi ˛eksza ni˙z liczba
dziewczynek.
Je´sli prawdziwe jest przypuszczenie H
0
, to
prawdopodo-
bie ´
nstwo sukcesu
wynosi w przybli˙zeniu
1
2
.
Pomijamy tu zdarzenie jednakowej liczby chłopców
i dziewczynek, poniewa˙z w du˙zej populacji noworodków
prawdopodobie ´nstwo takiego zdarzenia jest bardzo małe.
Niech X oznacza liczb ˛e lat w ci ˛
agu n = 82 lat, w których
liczba chłopców była wi ˛eksza od liczby dziewczynek.
Zauwa˙zymy, ˙ze w ogólnym przypadku X jest zmienn ˛
a
losow ˛
a o rozkładzie dwumianowym.
Obliczymy prawdopodobie ´nstwo zdarzenia, ˙ze X = 82,
przy zało˙zeniu prawdziwo ´sci H
0
.
Agnieszka Rossa
Idea testu statystycznego i podstawowe poj ˛ecia
Etapy testowania hipotez statystycznych
Rodzaje mo˙zliwych bł ˛edów podczas testowania hipotez
Idea budowy obszaru odrzucenia testu
Weryfikacja hipotez statystycznych – Przykład 1
Prawdopodobie ´nstwo zrealizowania si ˛e 82 sukcesów w serii
n = 82 do´swiadcze ´n (w tym przypadku do´swiadczeniami s ˛
a
kolejne lata obserwacji), przy zało˙zeniu, ˙ze prawdziwa jest
hipoteza H
0
, jest równe:
P(X=82)=
82
82
1
2
82
=
1
2
82
=
0, 0000000000000000000000002.
Komentarz:
Gdyby prawdopodobie ´nstwo urodzenia chłopca było
wi ˛eksze od
1
2
, to tak˙ze prawdopodobie ´nstwo P(X=82)
byłoby wi ˛eksze od warto´sci
1
2
82
.
Spostrze˙zenie to pozwala s ˛
adzi´c, ˙ze H
0
nie jest praw-
dziwa, co z kolei skłania do decyzji o jej odrzuceniu na
rzecz hipotezy, ˙ze p >
1
2
.
Agnieszka Rossa
Idea testu statystycznego i podstawowe poj ˛ecia
Etapy testowania hipotez statystycznych
Rodzaje mo˙zliwych bł ˛edów podczas testowania hipotez
Idea budowy obszaru odrzucenia testu
Weryfikacja hipotez statystycznych – Przykład 1
Prawdopodobie ´nstwo zrealizowania si ˛e 82 sukcesów w serii
n = 82 do´swiadcze ´n (w tym przypadku do´swiadczeniami s ˛
a
kolejne lata obserwacji), przy zało˙zeniu, ˙ze prawdziwa jest
hipoteza H
0
, jest równe:
P(X=82)=
82
82
1
2
82
=
1
2
82
=
0, 0000000000000000000000002.
Komentarz:
Gdyby prawdopodobie ´nstwo urodzenia chłopca było
wi ˛eksze od
1
2
, to tak˙ze prawdopodobie ´nstwo P(X=82)
byłoby wi ˛eksze od warto´sci
1
2
82
.
Spostrze˙zenie to pozwala s ˛
adzi´c, ˙ze H
0
nie jest praw-
dziwa, co z kolei skłania do decyzji o jej odrzuceniu na
rzecz hipotezy, ˙ze p >
1
2
.
Agnieszka Rossa
Idea testu statystycznego i podstawowe poj ˛ecia
Etapy testowania hipotez statystycznych
Rodzaje mo˙zliwych bł ˛edów podczas testowania hipotez
Idea budowy obszaru odrzucenia testu
Weryfikacja hipotez statystycznych – Przykład 1
Prawdopodobie ´nstwo zrealizowania si ˛e 82 sukcesów w serii
n = 82 do´swiadcze ´n (w tym przypadku do´swiadczeniami s ˛
a
kolejne lata obserwacji), przy zało˙zeniu, ˙ze prawdziwa jest
hipoteza H
0
, jest równe:
P(X=82)=
82
82
1
2
82
=
1
2
82
=
0, 0000000000000000000000002.
Komentarz:
Gdyby prawdopodobie ´nstwo urodzenia chłopca było
wi ˛eksze od
1
2
, to tak˙ze prawdopodobie ´nstwo P(X=82)
byłoby wi ˛eksze od warto´sci
1
2
82
.
Spostrze˙zenie to pozwala s ˛
adzi´c, ˙ze H
0
nie jest praw-
dziwa, co z kolei skłania do decyzji o jej odrzuceniu na
rzecz hipotezy, ˙ze p >
1
2
.
Agnieszka Rossa
Idea testu statystycznego i podstawowe poj ˛ecia
Etapy testowania hipotez statystycznych
Rodzaje mo˙zliwych bł ˛edów podczas testowania hipotez
Idea budowy obszaru odrzucenia testu
Weryfikacja hipotez statystycznych – Uwagi do przykładu 1
Przedstawione rozumowanie doprowadziło nas do decyzji
o odrzuceniu hipotezy H
0
postaci:
H
0
:
p =
1
2
na rzecz innego przypuszczenia (oznaczmy go przez H
1
):
H
1
:
p >
1
2
.
John Arbuthnot przeprowadził podobne rozumowanie,
cho´c oczywi´scie nie odwoływał si ˛e do wykorzystanych tu
współczesnych poj ˛e´c statystyki matematycznej. Opis jego
wywodów znale´z´c mo˙zna w ksi ˛
a˙zce:
Gigerenzer G.,
Murray D. J. (1987), Cognition as intuitive statistics,
Hillsdale: Erlbaum.
Agnieszka Rossa
Idea testu statystycznego i podstawowe poj ˛ecia
Etapy testowania hipotez statystycznych
Rodzaje mo˙zliwych bł ˛edów podczas testowania hipotez
Idea budowy obszaru odrzucenia testu
Weryfikacja hipotez statystycznych – Uwagi do przykładu 1
Przedstawione rozumowanie doprowadziło nas do decyzji
o odrzuceniu hipotezy H
0
postaci:
H
0
:
p =
1
2
na rzecz innego przypuszczenia (oznaczmy go przez H
1
):
H
1
:
p >
1
2
.
John Arbuthnot przeprowadził podobne rozumowanie,
cho´c oczywi´scie nie odwoływał si ˛e do wykorzystanych tu
współczesnych poj ˛e´c statystyki matematycznej. Opis jego
wywodów znale´z´c mo˙zna w ksi ˛
a˙zce:
Gigerenzer G.,
Murray D. J. (1987), Cognition as intuitive statistics,
Hillsdale: Erlbaum.
Agnieszka Rossa
Idea testu statystycznego i podstawowe poj ˛ecia
Etapy testowania hipotez statystycznych
Rodzaje mo˙zliwych bł ˛edów podczas testowania hipotez
Idea budowy obszaru odrzucenia testu
Weryfikacja hipotez statystycznych – Przykład 2
Załó˙zmy, ˙ze chcemy opracowa´c bardziej ogóln ˛
a procedur ˛e
testow ˛
a sprawdzaj ˛
ac ˛
a hipotez ˛e
H
0
:
p = p
0
przeciwko hipo-
tezie
H
1
:
p > p
0
, któr ˛
a mo˙zna byłoby stosowa´c w przypadku
innych zagadnie ´n.
Przyjmijmy, ˙ze dla ustalonej próby n niezale˙znych do´s-
wiadcze ´n, z których ka˙zde ko ´nczy si ˛e sukcesem lub
pora˙zk ˛
a, b ˛edziemy rejestrowa´c
liczb ˛e sukcesów
.
Prawdopodobie ´nstwo sukcesu p jest nieznane, ale przy-
puszczamy, ˙ze jest równe zadanej warto´sci p
0
. B ˛edzie to
nasza hipoteza H
0
. Ponadto, niech inna hipoteza H
1
(tj. hipoteza konkurencyjna do H
0
) zakłada, ˙ze p > p
0
.
W ogólnym przypadku liczba sukcesów w serii n niezale˙z-
nych do´swiadcze ´n jest zmienn ˛
a losow ˛
a o rozkładzie
dwumianowym. Oznaczmy t ˛e zmienn ˛
a symbolem X .
Agnieszka Rossa
Idea testu statystycznego i podstawowe poj ˛ecia
Etapy testowania hipotez statystycznych
Rodzaje mo˙zliwych bł ˛edów podczas testowania hipotez
Idea budowy obszaru odrzucenia testu
Weryfikacja hipotez statystycznych – Przykład 2
Załó˙zmy, ˙ze chcemy opracowa´c bardziej ogóln ˛
a procedur ˛e
testow ˛
a sprawdzaj ˛
ac ˛
a hipotez ˛e
H
0
:
p = p
0
przeciwko hipo-
tezie
H
1
:
p > p
0
, któr ˛
a mo˙zna byłoby stosowa´c w przypadku
innych zagadnie ´n.
Przyjmijmy, ˙ze dla ustalonej próby n niezale˙znych do´s-
wiadcze ´n, z których ka˙zde ko ´nczy si ˛e sukcesem lub
pora˙zk ˛
a, b ˛edziemy rejestrowa´c
liczb ˛e sukcesów
.
Prawdopodobie ´nstwo sukcesu p jest nieznane, ale przy-
puszczamy, ˙ze jest równe zadanej warto´sci p
0
. B ˛edzie to
nasza hipoteza H
0
. Ponadto, niech inna hipoteza H
1
(tj. hipoteza konkurencyjna do H
0
) zakłada, ˙ze p > p
0
.
W ogólnym przypadku liczba sukcesów w serii n niezale˙z-
nych do´swiadcze ´n jest zmienn ˛
a losow ˛
a o rozkładzie
dwumianowym. Oznaczmy t ˛e zmienn ˛
a symbolem X .
Agnieszka Rossa
Idea testu statystycznego i podstawowe poj ˛ecia
Etapy testowania hipotez statystycznych
Rodzaje mo˙zliwych bł ˛edów podczas testowania hipotez
Idea budowy obszaru odrzucenia testu
Weryfikacja hipotez statystycznych – Przykład 2
Załó˙zmy, ˙ze chcemy opracowa´c bardziej ogóln ˛
a procedur ˛e
testow ˛
a sprawdzaj ˛
ac ˛
a hipotez ˛e
H
0
:
p = p
0
przeciwko hipo-
tezie
H
1
:
p > p
0
, któr ˛
a mo˙zna byłoby stosowa´c w przypadku
innych zagadnie ´n.
Przyjmijmy, ˙ze dla ustalonej próby n niezale˙znych do´s-
wiadcze ´n, z których ka˙zde ko ´nczy si ˛e sukcesem lub
pora˙zk ˛
a, b ˛edziemy rejestrowa´c
liczb ˛e sukcesów
.
Prawdopodobie ´nstwo sukcesu p jest nieznane, ale przy-
puszczamy, ˙ze jest równe zadanej warto´sci p
0
. B ˛edzie to
nasza hipoteza H
0
. Ponadto, niech inna hipoteza H
1
(tj. hipoteza konkurencyjna do H
0
) zakłada, ˙ze p > p
0
.
W ogólnym przypadku liczba sukcesów w serii n niezale˙z-
nych do´swiadcze ´n jest zmienn ˛
a losow ˛
a o rozkładzie
dwumianowym. Oznaczmy t ˛e zmienn ˛
a symbolem X .
Agnieszka Rossa
Idea testu statystycznego i podstawowe poj ˛ecia
Etapy testowania hipotez statystycznych
Rodzaje mo˙zliwych bł ˛edów podczas testowania hipotez
Idea budowy obszaru odrzucenia testu
Weryfikacja hipotez statystycznych – Przykład 2
Załó˙zmy, ˙ze chcemy opracowa´c bardziej ogóln ˛
a procedur ˛e
testow ˛
a sprawdzaj ˛
ac ˛
a hipotez ˛e
H
0
:
p = p
0
przeciwko hipo-
tezie
H
1
:
p > p
0
, któr ˛
a mo˙zna byłoby stosowa´c w przypadku
innych zagadnie ´n.
Przyjmijmy, ˙ze dla ustalonej próby n niezale˙znych do´s-
wiadcze ´n, z których ka˙zde ko ´nczy si ˛e sukcesem lub
pora˙zk ˛
a, b ˛edziemy rejestrowa´c
liczb ˛e sukcesów
.
Prawdopodobie ´nstwo sukcesu p jest nieznane, ale przy-
puszczamy, ˙ze jest równe zadanej warto´sci p
0
. B ˛edzie to
nasza hipoteza H
0
. Ponadto, niech inna hipoteza H
1
(tj. hipoteza konkurencyjna do H
0
) zakłada, ˙ze p > p
0
.
W ogólnym przypadku liczba sukcesów w serii n niezale˙z-
nych do´swiadcze ´n jest zmienn ˛
a losow ˛
a o rozkładzie
dwumianowym. Oznaczmy t ˛e zmienn ˛
a symbolem X .
Agnieszka Rossa
Idea testu statystycznego i podstawowe poj ˛ecia
Etapy testowania hipotez statystycznych
Rodzaje mo˙zliwych bł ˛edów podczas testowania hipotez
Idea budowy obszaru odrzucenia testu
Weryfikacja hipotez statystycznych – Przykład 2
Pytanie:
Jaka powinna by´c minimalna liczba sukcesów,
przy której b ˛edziemy skłonni odrzuci´c hipotez ˛e
H
0
:
p = p
0
na rzecz hipotezy
H
1
:
p > p
0
, aby ryzyko, ˙ze taka decyzja
jest bł ˛edna, nie było zbyt du˙ze?
Wydaje si ˛e, ˙ze progiem powinna by´c taka liczba x , dla
której prawdopodobie ´nstwo zrealizowania si ˛e liczby suk-
cesów równej co najmniej x (wyznaczone przy zało˙zeniu
prawdziwo´sci H
0
) jest dostatecznie małe i mniejsze ni˙z
analogiczne prawdopodobie ´nstwo, uzyskane w przypadku,
gdyby zało˙zy´c prawdziwo´s´c hipotezy H
1
.
Rozwa˙zane prawdopodobie ´nstwo mo˙zna zapisa´c jako
P(X ≥ x )
. Jest ono równe nast ˛epuj ˛
acej sumie:
P(X ≥ x ) = P(X=n) + P(X=n−1) + . . . + P(X=x ).
Znajdziemy składniki tej sumy, gdy n = 20 i p
0
=
1
2
.
Agnieszka Rossa
Idea testu statystycznego i podstawowe poj ˛ecia
Etapy testowania hipotez statystycznych
Rodzaje mo˙zliwych bł ˛edów podczas testowania hipotez
Idea budowy obszaru odrzucenia testu
Weryfikacja hipotez statystycznych – Przykład 2
Pytanie:
Jaka powinna by´c minimalna liczba sukcesów,
przy której b ˛edziemy skłonni odrzuci´c hipotez ˛e
H
0
:
p = p
0
na rzecz hipotezy
H
1
:
p > p
0
, aby ryzyko, ˙ze taka decyzja
jest bł ˛edna, nie było zbyt du˙ze?
Wydaje si ˛e, ˙ze progiem powinna by´c taka liczba x , dla
której prawdopodobie ´nstwo zrealizowania si ˛e liczby suk-
cesów równej co najmniej x (wyznaczone przy zało˙zeniu
prawdziwo´sci H
0
) jest dostatecznie małe i mniejsze ni˙z
analogiczne prawdopodobie ´nstwo, uzyskane w przypadku,
gdyby zało˙zy´c prawdziwo´s´c hipotezy H
1
.
Rozwa˙zane prawdopodobie ´nstwo mo˙zna zapisa´c jako
P(X ≥ x )
. Jest ono równe nast ˛epuj ˛
acej sumie:
P(X ≥ x ) = P(X=n) + P(X=n−1) + . . . + P(X=x ).
Znajdziemy składniki tej sumy, gdy n = 20 i p
0
=
1
2
.
Agnieszka Rossa
Idea testu statystycznego i podstawowe poj ˛ecia
Etapy testowania hipotez statystycznych
Rodzaje mo˙zliwych bł ˛edów podczas testowania hipotez
Idea budowy obszaru odrzucenia testu
Weryfikacja hipotez statystycznych – Przykład 2
Pytanie:
Jaka powinna by´c minimalna liczba sukcesów,
przy której b ˛edziemy skłonni odrzuci´c hipotez ˛e
H
0
:
p = p
0
na rzecz hipotezy
H
1
:
p > p
0
, aby ryzyko, ˙ze taka decyzja
jest bł ˛edna, nie było zbyt du˙ze?
Wydaje si ˛e, ˙ze progiem powinna by´c taka liczba x , dla
której prawdopodobie ´nstwo zrealizowania si ˛e liczby suk-
cesów równej co najmniej x (wyznaczone przy zało˙zeniu
prawdziwo´sci H
0
) jest dostatecznie małe i mniejsze ni˙z
analogiczne prawdopodobie ´nstwo, uzyskane w przypadku,
gdyby zało˙zy´c prawdziwo´s´c hipotezy H
1
.
Rozwa˙zane prawdopodobie ´nstwo mo˙zna zapisa´c jako
P(X ≥ x )
. Jest ono równe nast ˛epuj ˛
acej sumie:
P(X ≥ x ) = P(X=n) + P(X=n−1) + . . . + P(X=x ).
Znajdziemy składniki tej sumy, gdy n = 20 i p
0
=
1
2
.
Agnieszka Rossa
Idea testu statystycznego i podstawowe poj ˛ecia
Etapy testowania hipotez statystycznych
Rodzaje mo˙zliwych bł ˛edów podczas testowania hipotez
Idea budowy obszaru odrzucenia testu
Weryfikacja hipotez statystycznych – Przykład 2
Pytanie:
Jaka powinna by´c minimalna liczba sukcesów,
przy której b ˛edziemy skłonni odrzuci´c hipotez ˛e
H
0
:
p = p
0
na rzecz hipotezy
H
1
:
p > p
0
, aby ryzyko, ˙ze taka decyzja
jest bł ˛edna, nie było zbyt du˙ze?
Wydaje si ˛e, ˙ze progiem powinna by´c taka liczba x , dla
której prawdopodobie ´nstwo zrealizowania si ˛e liczby suk-
cesów równej co najmniej x (wyznaczone przy zało˙zeniu
prawdziwo´sci H
0
) jest dostatecznie małe i mniejsze ni˙z
analogiczne prawdopodobie ´nstwo, uzyskane w przypadku,
gdyby zało˙zy´c prawdziwo´s´c hipotezy H
1
.
Rozwa˙zane prawdopodobie ´nstwo mo˙zna zapisa´c jako
P(X ≥ x )
. Jest ono równe nast ˛epuj ˛
acej sumie:
P(X ≥ x ) = P(X=n) + P(X=n−1) + . . . + P(X=x ).
Znajdziemy składniki tej sumy, gdy n = 20 i p
0
=
1
2
.
Agnieszka Rossa
Idea testu statystycznego i podstawowe poj ˛ecia
Etapy testowania hipotez statystycznych
Rodzaje mo˙zliwych bł ˛edów podczas testowania hipotez
Idea budowy obszaru odrzucenia testu
x
P(X = x )
P(X ≥ x )
20
0,0000
0,0000
19
0,0000
0,0000
18
0,0002
0,0002
17
0,0011
0,0013
16
0,0046
0,0059
15
0,0148
0,0207
14
0,0370
0,0577
13
0,0739
0,1316
12
0,1201
0,2517
11
0,1602
0,4119
10
0,1762
0,5881
9
0,1602
0,7483
8
0,1201
0,8684
7
0,0739
0,9423
6
0,0370
0,9793
5
0,0148
0,9941
4
0,0046
0,9987
3
0,0011
0,9998
2
0,0002
1,0000
1
0,0000
1,0000
0
0,0000
1,0000
Kolorem czerwonym zaznaczono najmniejsz ˛
a liczb ˛e sukcesów x , dla której prawdopodobie ´nstwo P(X ≥ x )
nie przekracza zadanego, dopuszczalnego poziomu. Tutaj przyj ˛eto, ˙ze poziomem tym jest liczba 0, 06.
Agnieszka Rossa
Idea testu statystycznego i podstawowe poj ˛ecia
Etapy testowania hipotez statystycznych
Rodzaje mo˙zliwych bł ˛edów podczas testowania hipotez
Idea budowy obszaru odrzucenia testu
Weryfikacja hipotez statystycznych – Przykład 2
Otrzymali´smy, i˙z x = 14 jest minimaln ˛
a liczb ˛
a sukcesów,
dla której prawdopodobie ´nstwo P(X ≥ x ), wyznaczone przy
zało˙zeniu prawdziwo´sci
H
0
:
p =
1
2
, jest mniejsze od 0, 06.
Oznacza to, ˙ze jest mało prawdopodobne, aby przy
zało˙zeniu prawdziwo´sci H
0
zaobserwowa´c 14 lub wi ˛ecej
sukcesów w serii n = 20 niezale˙znych do´swiadcze ´n.
Jednocze´snie taka liczba sukcesów jest bardziej prawdo-
podobna, gdyby zało˙zy´c prawdziwo´s´c hipotezy
H
1
:
p >
1
2
.
Gdy wi ˛ec odnotujemy 14 lub wi ˛ecej sukcesów, to podej-
miemy decyzj ˛e o odrzuceniu H
0
na rzecz H
1
.
Zbiór liczb {14, 15, 16, . . . , 20} tworzy w tym problemie tzw.
obszar odrzucenia
(lub zamiennie – obszar krytyczny),
a liczba 0, 06 jest tu przyj ˛etym
poziomem istotno ´sci
.
Agnieszka Rossa
Idea testu statystycznego i podstawowe poj ˛ecia
Etapy testowania hipotez statystycznych
Rodzaje mo˙zliwych bł ˛edów podczas testowania hipotez
Idea budowy obszaru odrzucenia testu
Weryfikacja hipotez statystycznych – Przykład 2
Otrzymali´smy, i˙z x = 14 jest minimaln ˛
a liczb ˛
a sukcesów,
dla której prawdopodobie ´nstwo P(X ≥ x ), wyznaczone przy
zało˙zeniu prawdziwo´sci
H
0
:
p =
1
2
, jest mniejsze od 0, 06.
Oznacza to, ˙ze jest mało prawdopodobne, aby przy
zało˙zeniu prawdziwo´sci H
0
zaobserwowa´c 14 lub wi ˛ecej
sukcesów w serii n = 20 niezale˙znych do´swiadcze ´n.
Jednocze´snie taka liczba sukcesów jest bardziej prawdo-
podobna, gdyby zało˙zy´c prawdziwo´s´c hipotezy
H
1
:
p >
1
2
.
Gdy wi ˛ec odnotujemy 14 lub wi ˛ecej sukcesów, to podej-
miemy decyzj ˛e o odrzuceniu H
0
na rzecz H
1
.
Zbiór liczb {14, 15, 16, . . . , 20} tworzy w tym problemie tzw.
obszar odrzucenia
(lub zamiennie – obszar krytyczny),
a liczba 0, 06 jest tu przyj ˛etym
poziomem istotno ´sci
.
Agnieszka Rossa
Idea testu statystycznego i podstawowe poj ˛ecia
Etapy testowania hipotez statystycznych
Rodzaje mo˙zliwych bł ˛edów podczas testowania hipotez
Idea budowy obszaru odrzucenia testu
Weryfikacja hipotez statystycznych – Przykład 2
Otrzymali´smy, i˙z x = 14 jest minimaln ˛
a liczb ˛
a sukcesów,
dla której prawdopodobie ´nstwo P(X ≥ x ), wyznaczone przy
zało˙zeniu prawdziwo´sci
H
0
:
p =
1
2
, jest mniejsze od 0, 06.
Oznacza to, ˙ze jest mało prawdopodobne, aby przy
zało˙zeniu prawdziwo´sci H
0
zaobserwowa´c 14 lub wi ˛ecej
sukcesów w serii n = 20 niezale˙znych do´swiadcze ´n.
Jednocze´snie taka liczba sukcesów jest bardziej prawdo-
podobna, gdyby zało˙zy´c prawdziwo´s´c hipotezy
H
1
:
p >
1
2
.
Gdy wi ˛ec odnotujemy 14 lub wi ˛ecej sukcesów, to podej-
miemy decyzj ˛e o odrzuceniu H
0
na rzecz H
1
.
Zbiór liczb {14, 15, 16, . . . , 20} tworzy w tym problemie tzw.
obszar odrzucenia
(lub zamiennie – obszar krytyczny),
a liczba 0, 06 jest tu przyj ˛etym
poziomem istotno ´sci
.
Agnieszka Rossa
Idea testu statystycznego i podstawowe poj ˛ecia
Etapy testowania hipotez statystycznych
Rodzaje mo˙zliwych bł ˛edów podczas testowania hipotez
Idea budowy obszaru odrzucenia testu
Weryfikacja hipotez statystycznych – Przykład 2
Otrzymali´smy, i˙z x = 14 jest minimaln ˛
a liczb ˛
a sukcesów,
dla której prawdopodobie ´nstwo P(X ≥ x ), wyznaczone przy
zało˙zeniu prawdziwo´sci
H
0
:
p =
1
2
, jest mniejsze od 0, 06.
Oznacza to, ˙ze jest mało prawdopodobne, aby przy
zało˙zeniu prawdziwo´sci H
0
zaobserwowa´c 14 lub wi ˛ecej
sukcesów w serii n = 20 niezale˙znych do´swiadcze ´n.
Jednocze´snie taka liczba sukcesów jest bardziej prawdo-
podobna, gdyby zało˙zy´c prawdziwo´s´c hipotezy
H
1
:
p >
1
2
.
Gdy wi ˛ec odnotujemy 14 lub wi ˛ecej sukcesów, to podej-
miemy decyzj ˛e o odrzuceniu H
0
na rzecz H
1
.
Zbiór liczb {14, 15, 16, . . . , 20} tworzy w tym problemie tzw.
obszar odrzucenia
(lub zamiennie – obszar krytyczny),
a liczba 0, 06 jest tu przyj ˛etym
poziomem istotno ´sci
.
Agnieszka Rossa
Idea testu statystycznego i podstawowe poj ˛ecia
Etapy testowania hipotez statystycznych
Rodzaje mo˙zliwych bł ˛edów podczas testowania hipotez
Idea budowy obszaru odrzucenia testu
Weryfikacja hipotez statystycznych – Przykład 2
Otrzymali´smy, i˙z x = 14 jest minimaln ˛
a liczb ˛
a sukcesów,
dla której prawdopodobie ´nstwo P(X ≥ x ), wyznaczone przy
zało˙zeniu prawdziwo´sci
H
0
:
p =
1
2
, jest mniejsze od 0, 06.
Oznacza to, ˙ze jest mało prawdopodobne, aby przy
zało˙zeniu prawdziwo´sci H
0
zaobserwowa´c 14 lub wi ˛ecej
sukcesów w serii n = 20 niezale˙znych do´swiadcze ´n.
Jednocze´snie taka liczba sukcesów jest bardziej prawdo-
podobna, gdyby zało˙zy´c prawdziwo´s´c hipotezy
H
1
:
p >
1
2
.
Gdy wi ˛ec odnotujemy 14 lub wi ˛ecej sukcesów, to podej-
miemy decyzj ˛e o odrzuceniu H
0
na rzecz H
1
.
Zbiór liczb {14, 15, 16, . . . , 20} tworzy w tym problemie tzw.
obszar odrzucenia
(lub zamiennie – obszar krytyczny),
a liczba 0, 06 jest tu przyj ˛etym
poziomem istotno ´sci
.
Agnieszka Rossa
Idea testu statystycznego i podstawowe poj ˛ecia
Etapy testowania hipotez statystycznych
Rodzaje mo˙zliwych bł ˛edów podczas testowania hipotez
Idea budowy obszaru odrzucenia testu
Weryfikacja hipotez statystycznych – Idea testu istotno ´sci
Przykład ten ilustruj ˛e ide ˛e tzw.
statystycznego testu
istotno ´sci
, który mo˙zna opisa´c jako:
procedur ˛e pozwalaj ˛
ac ˛
a okre´sli´c w zbiorze mo˙zliwych
wyników z próby dwa podzbiory: obszar odrzucenia oraz
jego dopełnienie (obszar nieodrzucenia).
Podzbiory te wyznaczamy przy zało˙zeniu, ˙ze prawdziwe
jest pewne przypuszczenie H
0
dotycz ˛
ace populacji.
Je´sli wynik z konkretnej próby znajdzie si ˛e w obszarze
odrzucenia, wówczas odrzucamy hipotez ˛e H
0
na rzecz
hipotezy alternatywnej H
1
. W przeciwnym przypadku
stwierdzamy, ˙ze nie ma podstaw do odrzucenia H
0
.
Agnieszka Rossa
Idea testu statystycznego i podstawowe poj ˛ecia
Etapy testowania hipotez statystycznych
Rodzaje mo˙zliwych bł ˛edów podczas testowania hipotez
Idea budowy obszaru odrzucenia testu
Weryfikacja hipotez statystycznych – Idea testu istotno ´sci
Przykład ten ilustruj ˛e ide ˛e tzw.
statystycznego testu
istotno ´sci
, który mo˙zna opisa´c jako:
procedur ˛e pozwalaj ˛
ac ˛
a okre´sli´c w zbiorze mo˙zliwych
wyników z próby dwa podzbiory: obszar odrzucenia oraz
jego dopełnienie (obszar nieodrzucenia).
Podzbiory te wyznaczamy przy zało˙zeniu, ˙ze prawdziwe
jest pewne przypuszczenie H
0
dotycz ˛
ace populacji.
Je´sli wynik z konkretnej próby znajdzie si ˛e w obszarze
odrzucenia, wówczas odrzucamy hipotez ˛e H
0
na rzecz
hipotezy alternatywnej H
1
. W przeciwnym przypadku
stwierdzamy, ˙ze nie ma podstaw do odrzucenia H
0
.
Agnieszka Rossa
Idea testu statystycznego i podstawowe poj ˛ecia
Etapy testowania hipotez statystycznych
Rodzaje mo˙zliwych bł ˛edów podczas testowania hipotez
Idea budowy obszaru odrzucenia testu
Weryfikacja hipotez statystycznych – Idea testu istotno ´sci
Przykład ten ilustruj ˛e ide ˛e tzw.
statystycznego testu
istotno ´sci
, który mo˙zna opisa´c jako:
procedur ˛e pozwalaj ˛
ac ˛
a okre´sli´c w zbiorze mo˙zliwych
wyników z próby dwa podzbiory: obszar odrzucenia oraz
jego dopełnienie (obszar nieodrzucenia).
Podzbiory te wyznaczamy przy zało˙zeniu, ˙ze prawdziwe
jest pewne przypuszczenie H
0
dotycz ˛
ace populacji.
Je´sli wynik z konkretnej próby znajdzie si ˛e w obszarze
odrzucenia, wówczas odrzucamy hipotez ˛e H
0
na rzecz
hipotezy alternatywnej H
1
. W przeciwnym przypadku
stwierdzamy, ˙ze nie ma podstaw do odrzucenia H
0
.
Agnieszka Rossa
Idea testu statystycznego i podstawowe poj ˛ecia
Etapy testowania hipotez statystycznych
Rodzaje mo˙zliwych bł ˛edów podczas testowania hipotez
Idea budowy obszaru odrzucenia testu
Weryfikacja hipotez statystycznych – Idea testu istotno ´sci
Przykład ten ilustruj ˛e ide ˛e tzw.
statystycznego testu
istotno ´sci
, który mo˙zna opisa´c jako:
procedur ˛e pozwalaj ˛
ac ˛
a okre´sli´c w zbiorze mo˙zliwych
wyników z próby dwa podzbiory: obszar odrzucenia oraz
jego dopełnienie (obszar nieodrzucenia).
Podzbiory te wyznaczamy przy zało˙zeniu, ˙ze prawdziwe
jest pewne przypuszczenie H
0
dotycz ˛
ace populacji.
Je´sli wynik z konkretnej próby znajdzie si ˛e w obszarze
odrzucenia, wówczas odrzucamy hipotez ˛e H
0
na rzecz
hipotezy alternatywnej H
1
. W przeciwnym przypadku
stwierdzamy, ˙ze nie ma podstaw do odrzucenia H
0
.
Agnieszka Rossa
Idea testu statystycznego i podstawowe poj ˛ecia
Etapy testowania hipotez statystycznych
Rodzaje mo˙zliwych bł ˛edów podczas testowania hipotez
Idea budowy obszaru odrzucenia testu
Weryfikacja hipotez statystycznych – Idea testu istotno ´sci
Przykład ten ilustruj ˛e ide ˛e tzw.
statystycznego testu
istotno ´sci
, który mo˙zna opisa´c jako:
procedur ˛e pozwalaj ˛
ac ˛
a okre´sli´c w zbiorze mo˙zliwych
wyników z próby dwa podzbiory: obszar odrzucenia oraz
jego dopełnienie (obszar nieodrzucenia).
Podzbiory te wyznaczamy przy zało˙zeniu, ˙ze prawdziwe
jest pewne przypuszczenie H
0
dotycz ˛
ace populacji.
Je´sli wynik z konkretnej próby znajdzie si ˛e w obszarze
odrzucenia, wówczas odrzucamy hipotez ˛e H
0
na rzecz
hipotezy alternatywnej H
1
. W przeciwnym przypadku
stwierdzamy, ˙ze nie ma podstaw do odrzucenia H
0
.
Agnieszka Rossa
Idea testu statystycznego i podstawowe poj ˛ecia
Etapy testowania hipotez statystycznych
Rodzaje mo˙zliwych bł ˛edów podczas testowania hipotez
Idea budowy obszaru odrzucenia testu
Weryfikacja hipotez statystycznych
Podstawowe poj ˛ecia i oznaczenia
Poziom istotno´sci testu statystycznego oznaczamy zwykle
symbolem
α
.
Dopuszczalny poziom istotno´sci α
ustalamy z góry
.
Powinien by´c liczb ˛
a mał ˛
a, rz ˛edu np. 0,1 lub 0,05, niekiedy
przyjmuje si ˛e warto´s´c 0,01.
Hipotezy
H
0
,
H
1
nazywamy odpowiednio
hipotez ˛
a zerow ˛
a
i
hipotez ˛
a alternatywn ˛
a
.
Agnieszka Rossa
Idea testu statystycznego i podstawowe poj ˛ecia
Etapy testowania hipotez statystycznych
Rodzaje mo˙zliwych bł ˛edów podczas testowania hipotez
Idea budowy obszaru odrzucenia testu
Weryfikacja hipotez statystycznych
Podstawowe poj ˛ecia i oznaczenia
Poziom istotno´sci testu statystycznego oznaczamy zwykle
symbolem
α
.
Dopuszczalny poziom istotno´sci α
ustalamy z góry
.
Powinien by´c liczb ˛
a mał ˛
a, rz ˛edu np. 0,1 lub 0,05, niekiedy
przyjmuje si ˛e warto´s´c 0,01.
Hipotezy
H
0
,
H
1
nazywamy odpowiednio
hipotez ˛
a zerow ˛
a
i
hipotez ˛
a alternatywn ˛
a
.
Agnieszka Rossa
Idea testu statystycznego i podstawowe poj ˛ecia
Etapy testowania hipotez statystycznych
Rodzaje mo˙zliwych bł ˛edów podczas testowania hipotez
Idea budowy obszaru odrzucenia testu
Weryfikacja hipotez statystycznych
Podstawowe poj ˛ecia i oznaczenia
Poziom istotno´sci testu statystycznego oznaczamy zwykle
symbolem
α
.
Dopuszczalny poziom istotno´sci α
ustalamy z góry
.
Powinien by´c liczb ˛
a mał ˛
a, rz ˛edu np. 0,1 lub 0,05, niekiedy
przyjmuje si ˛e warto´s´c 0,01.
Hipotezy
H
0
,
H
1
nazywamy odpowiednio
hipotez ˛
a zerow ˛
a
i
hipotez ˛
a alternatywn ˛
a
.
Agnieszka Rossa
Idea testu statystycznego i podstawowe poj ˛ecia
Etapy testowania hipotez statystycznych
Rodzaje mo˙zliwych bł ˛edów podczas testowania hipotez
Idea budowy obszaru odrzucenia testu
Weryfikacja hipotez statystycznych
Podstawowe poj ˛ecia i oznaczenia
Poziom istotno´sci testu statystycznego oznaczamy zwykle
symbolem
α
.
Dopuszczalny poziom istotno´sci α
ustalamy z góry
.
Powinien by´c liczb ˛
a mał ˛
a, rz ˛edu np. 0,1 lub 0,05, niekiedy
przyjmuje si ˛e warto´s´c 0,01.
Hipotezy
H
0
,
H
1
nazywamy odpowiednio
hipotez ˛
a zerow ˛
a
i
hipotez ˛
a alternatywn ˛
a
.
Agnieszka Rossa
Idea testu statystycznego i podstawowe poj ˛ecia
Etapy testowania hipotez statystycznych
Rodzaje mo˙zliwych bł ˛edów podczas testowania hipotez
Idea budowy obszaru odrzucenia testu
Etapy testowania hipotez statystycznych
1.
Formułujemy par ˛e wykluczaj ˛
acych si ˛e
hipotez H
0
,
H
1
dotycz ˛
acych interesuj ˛
acej nas populacji.
2.
Ustalamy dopuszczalny
poziom istotno ´sci α
.
3.
Projektujemy i przeprowadzamy eksperyment (np. losu-
jemy prób ˛e) i obliczamy
wynik z próby
.
4.
Wyznaczamy
obszar odrzucenia
testu, przy zało˙zeniu, ˙ze
prawdziwa jest hipoteza zerowa H
0
.
5.
Je´sli wynik z próby znajduje si ˛e w obszarze odrzucenia,
wówczas
odrzucamy
hipotez ˛e H
0
na rzecz H
1
. W przeciw-
nym przypadku stwierdzamy, ˙ze
nie ma podstaw do
odrzucenia H
0
.
Agnieszka Rossa
Idea testu statystycznego i podstawowe poj ˛ecia
Etapy testowania hipotez statystycznych
Rodzaje mo˙zliwych bł ˛edów podczas testowania hipotez
Idea budowy obszaru odrzucenia testu
Etapy testowania hipotez statystycznych
1.
Formułujemy par ˛e wykluczaj ˛
acych si ˛e
hipotez H
0
,
H
1
dotycz ˛
acych interesuj ˛
acej nas populacji.
2.
Ustalamy dopuszczalny
poziom istotno ´sci α
.
3.
Projektujemy i przeprowadzamy eksperyment (np. losu-
jemy prób ˛e) i obliczamy
wynik z próby
.
4.
Wyznaczamy
obszar odrzucenia
testu, przy zało˙zeniu, ˙ze
prawdziwa jest hipoteza zerowa H
0
.
5.
Je´sli wynik z próby znajduje si ˛e w obszarze odrzucenia,
wówczas
odrzucamy
hipotez ˛e H
0
na rzecz H
1
. W przeciw-
nym przypadku stwierdzamy, ˙ze
nie ma podstaw do
odrzucenia H
0
.
Agnieszka Rossa
Idea testu statystycznego i podstawowe poj ˛ecia
Etapy testowania hipotez statystycznych
Rodzaje mo˙zliwych bł ˛edów podczas testowania hipotez
Idea budowy obszaru odrzucenia testu
Etapy testowania hipotez statystycznych
1.
Formułujemy par ˛e wykluczaj ˛
acych si ˛e
hipotez H
0
,
H
1
dotycz ˛
acych interesuj ˛
acej nas populacji.
2.
Ustalamy dopuszczalny
poziom istotno ´sci α
.
3.
Projektujemy i przeprowadzamy eksperyment (np. losu-
jemy prób ˛e) i obliczamy
wynik z próby
.
4.
Wyznaczamy
obszar odrzucenia
testu, przy zało˙zeniu, ˙ze
prawdziwa jest hipoteza zerowa H
0
.
5.
Je´sli wynik z próby znajduje si ˛e w obszarze odrzucenia,
wówczas
odrzucamy
hipotez ˛e H
0
na rzecz H
1
. W przeciw-
nym przypadku stwierdzamy, ˙ze
nie ma podstaw do
odrzucenia H
0
.
Agnieszka Rossa
Idea testu statystycznego i podstawowe poj ˛ecia
Etapy testowania hipotez statystycznych
Rodzaje mo˙zliwych bł ˛edów podczas testowania hipotez
Idea budowy obszaru odrzucenia testu
Etapy testowania hipotez statystycznych
1.
Formułujemy par ˛e wykluczaj ˛
acych si ˛e
hipotez H
0
,
H
1
dotycz ˛
acych interesuj ˛
acej nas populacji.
2.
Ustalamy dopuszczalny
poziom istotno ´sci α
.
3.
Projektujemy i przeprowadzamy eksperyment (np. losu-
jemy prób ˛e) i obliczamy
wynik z próby
.
4.
Wyznaczamy
obszar odrzucenia
testu, przy zało˙zeniu, ˙ze
prawdziwa jest hipoteza zerowa H
0
.
5.
Je´sli wynik z próby znajduje si ˛e w obszarze odrzucenia,
wówczas
odrzucamy
hipotez ˛e H
0
na rzecz H
1
. W przeciw-
nym przypadku stwierdzamy, ˙ze
nie ma podstaw do
odrzucenia H
0
.
Agnieszka Rossa
Idea testu statystycznego i podstawowe poj ˛ecia
Etapy testowania hipotez statystycznych
Rodzaje mo˙zliwych bł ˛edów podczas testowania hipotez
Idea budowy obszaru odrzucenia testu
Etapy testowania hipotez statystycznych
1.
Formułujemy par ˛e wykluczaj ˛
acych si ˛e
hipotez H
0
,
H
1
dotycz ˛
acych interesuj ˛
acej nas populacji.
2.
Ustalamy dopuszczalny
poziom istotno ´sci α
.
3.
Projektujemy i przeprowadzamy eksperyment (np. losu-
jemy prób ˛e) i obliczamy
wynik z próby
.
4.
Wyznaczamy
obszar odrzucenia
testu, przy zało˙zeniu, ˙ze
prawdziwa jest hipoteza zerowa H
0
.
5.
Je´sli wynik z próby znajduje si ˛e w obszarze odrzucenia,
wówczas
odrzucamy
hipotez ˛e H
0
na rzecz H
1
. W przeciw-
nym przypadku stwierdzamy, ˙ze
nie ma podstaw do
odrzucenia H
0
.
Agnieszka Rossa
Idea testu statystycznego i podstawowe poj ˛ecia
Etapy testowania hipotez statystycznych
Rodzaje mo˙zliwych bł ˛edów podczas testowania hipotez
Idea budowy obszaru odrzucenia testu
Bł ˛edy testowania hipotez – bł ˛
ad pierwszego rodzaju
Z przedstawionych etapów testowania hipotez wynika, ˙ze
decyzj ˛e o odrzuceniu hipotezy zerowej H
0
podejmujemy
wtedy, gdy wynik z próby znajduje si ˛e w obszarze odrzu-
cenia (wyznaczonym przy zadanym poziomie istotno´sci α).
Zauwa˙zymy, ˙ze tak ˛
a decyzj ˛e podejmujemy na podstawie
analizy danych z próby losowej, maj ˛
ac nadziej ˛e, ˙ze jest
ona prawidłowa w odniesieniu do całej populacji.
Tego jednak nie mo˙zemy stwierdzi´c z cał ˛
a pewno´sci ˛
a,
poniewa˙z nie wiemy na ogół nic o prawdziwo´sci lub
nieprawdziwo´sci postawionej hipotezy H
0
(dotyczy ona
bowiem całej populacji, a nie posiadanej próby).
Dobrze byłoby jednak zna´c ryzyko ewentualnego bł ˛edu, tj.
odrzucenia hipotezy H
0
w przypadku, gdy była prawdziwa.
Agnieszka Rossa
Idea testu statystycznego i podstawowe poj ˛ecia
Etapy testowania hipotez statystycznych
Rodzaje mo˙zliwych bł ˛edów podczas testowania hipotez
Idea budowy obszaru odrzucenia testu
Bł ˛edy testowania hipotez – bł ˛
ad pierwszego rodzaju
Z przedstawionych etapów testowania hipotez wynika, ˙ze
decyzj ˛e o odrzuceniu hipotezy zerowej H
0
podejmujemy
wtedy, gdy wynik z próby znajduje si ˛e w obszarze odrzu-
cenia (wyznaczonym przy zadanym poziomie istotno´sci α).
Zauwa˙zymy, ˙ze tak ˛
a decyzj ˛e podejmujemy na podstawie
analizy danych z próby losowej, maj ˛
ac nadziej ˛e, ˙ze jest
ona prawidłowa w odniesieniu do całej populacji.
Tego jednak nie mo˙zemy stwierdzi´c z cał ˛
a pewno´sci ˛
a,
poniewa˙z nie wiemy na ogół nic o prawdziwo´sci lub
nieprawdziwo´sci postawionej hipotezy H
0
(dotyczy ona
bowiem całej populacji, a nie posiadanej próby).
Dobrze byłoby jednak zna´c ryzyko ewentualnego bł ˛edu, tj.
odrzucenia hipotezy H
0
w przypadku, gdy była prawdziwa.
Agnieszka Rossa
Idea testu statystycznego i podstawowe poj ˛ecia
Etapy testowania hipotez statystycznych
Rodzaje mo˙zliwych bł ˛edów podczas testowania hipotez
Idea budowy obszaru odrzucenia testu
Bł ˛edy testowania hipotez – bł ˛
ad pierwszego rodzaju
Z przedstawionych etapów testowania hipotez wynika, ˙ze
decyzj ˛e o odrzuceniu hipotezy zerowej H
0
podejmujemy
wtedy, gdy wynik z próby znajduje si ˛e w obszarze odrzu-
cenia (wyznaczonym przy zadanym poziomie istotno´sci α).
Zauwa˙zymy, ˙ze tak ˛
a decyzj ˛e podejmujemy na podstawie
analizy danych z próby losowej, maj ˛
ac nadziej ˛e, ˙ze jest
ona prawidłowa w odniesieniu do całej populacji.
Tego jednak nie mo˙zemy stwierdzi´c z cał ˛
a pewno´sci ˛
a,
poniewa˙z nie wiemy na ogół nic o prawdziwo´sci lub
nieprawdziwo´sci postawionej hipotezy H
0
(dotyczy ona
bowiem całej populacji, a nie posiadanej próby).
Dobrze byłoby jednak zna´c ryzyko ewentualnego bł ˛edu, tj.
odrzucenia hipotezy H
0
w przypadku, gdy była prawdziwa.
Agnieszka Rossa
Idea testu statystycznego i podstawowe poj ˛ecia
Etapy testowania hipotez statystycznych
Rodzaje mo˙zliwych bł ˛edów podczas testowania hipotez
Idea budowy obszaru odrzucenia testu
Bł ˛edy testowania hipotez – bł ˛
ad pierwszego rodzaju
Z przedstawionych etapów testowania hipotez wynika, ˙ze
decyzj ˛e o odrzuceniu hipotezy zerowej H
0
podejmujemy
wtedy, gdy wynik z próby znajduje si ˛e w obszarze odrzu-
cenia (wyznaczonym przy zadanym poziomie istotno´sci α).
Zauwa˙zymy, ˙ze tak ˛
a decyzj ˛e podejmujemy na podstawie
analizy danych z próby losowej, maj ˛
ac nadziej ˛e, ˙ze jest
ona prawidłowa w odniesieniu do całej populacji.
Tego jednak nie mo˙zemy stwierdzi´c z cał ˛
a pewno´sci ˛
a,
poniewa˙z nie wiemy na ogół nic o prawdziwo´sci lub
nieprawdziwo´sci postawionej hipotezy H
0
(dotyczy ona
bowiem całej populacji, a nie posiadanej próby).
Dobrze byłoby jednak zna´c ryzyko ewentualnego bł ˛edu, tj.
odrzucenia hipotezy H
0
w przypadku, gdy była prawdziwa.
Agnieszka Rossa
Idea testu statystycznego i podstawowe poj ˛ecia
Etapy testowania hipotez statystycznych
Rodzaje mo˙zliwych bł ˛edów podczas testowania hipotez
Idea budowy obszaru odrzucenia testu
Bł ˛edy testowania hipotez – bł ˛
ad pierwszego rodzaju c.d.
Wró´cmy zatem do
pytania:
w jakich okoliczno´sciach
odrzucamy H
0
?
Zgodnie z opisan ˛
a procedur ˛
a testowania, hipotez ˛e H
0
odrzucamy, gdy wynik z próby jest w obszarze odrzucenia
wyznaczonym dla zadanego α, przy czym α jest z zało-
˙zenia mał ˛
a liczb ˛
a dodatni ˛
a (rz ˛edu 0,1 lub mniej).
Ilekro´c test pozwala odrzuci´c hipotez ˛e zerow ˛
a H
0
, wiemy,
˙ze prawdopodobie ´nstwo bł ˛edu polegaj ˛
acego na odrzu-
ceniu hipotezy prawdziwej nie przekracza małej warto´sci
α
. Innymi słowy, ryzyko bł ˛edu jest w takich przypadkach
niewielkie.
Bł ˛
ad polegaj ˛
acy na odrzuceniu hipotezy prawdziwej
nazywamy
bł ˛edem I rodzaju
.
Agnieszka Rossa
Idea testu statystycznego i podstawowe poj ˛ecia
Etapy testowania hipotez statystycznych
Rodzaje mo˙zliwych bł ˛edów podczas testowania hipotez
Idea budowy obszaru odrzucenia testu
Bł ˛edy testowania hipotez – bł ˛
ad pierwszego rodzaju c.d.
Wró´cmy zatem do
pytania:
w jakich okoliczno´sciach
odrzucamy H
0
?
Zgodnie z opisan ˛
a procedur ˛
a testowania, hipotez ˛e H
0
odrzucamy, gdy wynik z próby jest w obszarze odrzucenia
wyznaczonym dla zadanego α, przy czym α jest z zało-
˙zenia mał ˛
a liczb ˛
a dodatni ˛
a (rz ˛edu 0,1 lub mniej).
Ilekro´c test pozwala odrzuci´c hipotez ˛e zerow ˛
a H
0
, wiemy,
˙ze prawdopodobie ´nstwo bł ˛edu polegaj ˛
acego na odrzu-
ceniu hipotezy prawdziwej nie przekracza małej warto´sci
α
. Innymi słowy, ryzyko bł ˛edu jest w takich przypadkach
niewielkie.
Bł ˛
ad polegaj ˛
acy na odrzuceniu hipotezy prawdziwej
nazywamy
bł ˛edem I rodzaju
.
Agnieszka Rossa
Idea testu statystycznego i podstawowe poj ˛ecia
Etapy testowania hipotez statystycznych
Rodzaje mo˙zliwych bł ˛edów podczas testowania hipotez
Idea budowy obszaru odrzucenia testu
Bł ˛edy testowania hipotez – bł ˛
ad pierwszego rodzaju c.d.
Wró´cmy zatem do
pytania:
w jakich okoliczno´sciach
odrzucamy H
0
?
Zgodnie z opisan ˛
a procedur ˛
a testowania, hipotez ˛e H
0
odrzucamy, gdy wynik z próby jest w obszarze odrzucenia
wyznaczonym dla zadanego α, przy czym α jest z zało-
˙zenia mał ˛
a liczb ˛
a dodatni ˛
a (rz ˛edu 0,1 lub mniej).
Ilekro´c test pozwala odrzuci´c hipotez ˛e zerow ˛
a H
0
, wiemy,
˙ze prawdopodobie ´nstwo bł ˛edu polegaj ˛
acego na odrzu-
ceniu hipotezy prawdziwej nie przekracza małej warto´sci
α
. Innymi słowy, ryzyko bł ˛edu jest w takich przypadkach
niewielkie.
Bł ˛
ad polegaj ˛
acy na odrzuceniu hipotezy prawdziwej
nazywamy
bł ˛edem I rodzaju
.
Agnieszka Rossa
Idea testu statystycznego i podstawowe poj ˛ecia
Etapy testowania hipotez statystycznych
Rodzaje mo˙zliwych bł ˛edów podczas testowania hipotez
Idea budowy obszaru odrzucenia testu
Bł ˛edy testowania hipotez – bł ˛
ad pierwszego rodzaju c.d.
Wró´cmy zatem do
pytania:
w jakich okoliczno´sciach
odrzucamy H
0
?
Zgodnie z opisan ˛
a procedur ˛
a testowania, hipotez ˛e H
0
odrzucamy, gdy wynik z próby jest w obszarze odrzucenia
wyznaczonym dla zadanego α, przy czym α jest z zało-
˙zenia mał ˛
a liczb ˛
a dodatni ˛
a (rz ˛edu 0,1 lub mniej).
Ilekro´c test pozwala odrzuci´c hipotez ˛e zerow ˛
a H
0
, wiemy,
˙ze prawdopodobie ´nstwo bł ˛edu polegaj ˛
acego na odrzu-
ceniu hipotezy prawdziwej nie przekracza małej warto´sci
α
. Innymi słowy, ryzyko bł ˛edu jest w takich przypadkach
niewielkie.
Bł ˛
ad polegaj ˛
acy na odrzuceniu hipotezy prawdziwej
nazywamy
bł ˛edem I rodzaju
.
Agnieszka Rossa
Idea testu statystycznego i podstawowe poj ˛ecia
Etapy testowania hipotez statystycznych
Rodzaje mo˙zliwych bł ˛edów podczas testowania hipotez
Idea budowy obszaru odrzucenia testu
Bł ˛edy testowania hipotez – bł ˛
ad pierwszego rodzaju c.d.
Wró´cmy zatem do
pytania:
w jakich okoliczno´sciach
odrzucamy H
0
?
Zgodnie z opisan ˛
a procedur ˛
a testowania, hipotez ˛e H
0
odrzucamy, gdy wynik z próby jest w obszarze odrzucenia
wyznaczonym dla zadanego α, przy czym α jest z zało-
˙zenia mał ˛
a liczb ˛
a dodatni ˛
a (rz ˛edu 0,1 lub mniej).
Ilekro´c test pozwala odrzuci´c hipotez ˛e zerow ˛
a H
0
, wiemy,
˙ze prawdopodobie ´nstwo bł ˛edu polegaj ˛
acego na odrzu-
ceniu hipotezy prawdziwej nie przekracza małej warto´sci
α
. Innymi słowy, ryzyko bł ˛edu jest w takich przypadkach
niewielkie.
Bł ˛
ad polegaj ˛
acy na odrzuceniu hipotezy prawdziwej
nazywamy
bł ˛edem I rodzaju
.
Agnieszka Rossa
Idea testu statystycznego i podstawowe poj ˛ecia
Etapy testowania hipotez statystycznych
Rodzaje mo˙zliwych bł ˛edów podczas testowania hipotez
Idea budowy obszaru odrzucenia testu
Bł ˛edy testowania hipotez – bł ˛
ad drugiego rodzaju
Rozwa˙zmy teraz kolejne
pytanie:
jak ˛
a decyzj ˛e mo˙zemy
podj ˛
a´c, gdy wynik z próby nie znajdzie si ˛e w obszarze
odrzucenia?
Nasuwa si ˛e pozornie oczywista odpowied´z, ˙ze decyzj ˛
a
powinno by´c przyj ˛ecie hipotezy H
0
.
Trzeba jednak pami ˛eta´c, ˙ze w przypadku takiej decyzji
mo˙zemy narazi´c si ˛e na inny bł ˛
ad, zwany
bł ˛edem II
rodzaju
, polegaj ˛
acy na przyj ˛eciu hipotezy H
0
, która
w rzeczywisto´sci mogła by´c fałszywa.
Poniewa˙z na ogół nie znamy prawdopodobie ´nstwa popeł-
nienia bł ˛edu II rodzaju, wi ˛ec w takich sytuacjach ostro˙zniej-
szym wyj´sciem jest stwierdzenie, ˙ze
nie ma podstaw do
odrzucenia H
0
(stwierdzenie takie nie rozstrzyga, czy
hipotez ˛e H
0
mo˙zna uzna´c za prawdziw ˛
a lub fałszyw ˛
a).
Agnieszka Rossa
Idea testu statystycznego i podstawowe poj ˛ecia
Etapy testowania hipotez statystycznych
Rodzaje mo˙zliwych bł ˛edów podczas testowania hipotez
Idea budowy obszaru odrzucenia testu
Bł ˛edy testowania hipotez – bł ˛
ad drugiego rodzaju
Rozwa˙zmy teraz kolejne
pytanie:
jak ˛
a decyzj ˛e mo˙zemy
podj ˛
a´c, gdy wynik z próby nie znajdzie si ˛e w obszarze
odrzucenia?
Nasuwa si ˛e pozornie oczywista odpowied´z, ˙ze decyzj ˛
a
powinno by´c przyj ˛ecie hipotezy H
0
.
Trzeba jednak pami ˛eta´c, ˙ze w przypadku takiej decyzji
mo˙zemy narazi´c si ˛e na inny bł ˛
ad, zwany
bł ˛edem II
rodzaju
, polegaj ˛
acy na przyj ˛eciu hipotezy H
0
, która
w rzeczywisto´sci mogła by´c fałszywa.
Poniewa˙z na ogół nie znamy prawdopodobie ´nstwa popeł-
nienia bł ˛edu II rodzaju, wi ˛ec w takich sytuacjach ostro˙zniej-
szym wyj´sciem jest stwierdzenie, ˙ze
nie ma podstaw do
odrzucenia H
0
(stwierdzenie takie nie rozstrzyga, czy
hipotez ˛e H
0
mo˙zna uzna´c za prawdziw ˛
a lub fałszyw ˛
a).
Agnieszka Rossa
Idea testu statystycznego i podstawowe poj ˛ecia
Etapy testowania hipotez statystycznych
Rodzaje mo˙zliwych bł ˛edów podczas testowania hipotez
Idea budowy obszaru odrzucenia testu
Bł ˛edy testowania hipotez – bł ˛
ad drugiego rodzaju
Rozwa˙zmy teraz kolejne
pytanie:
jak ˛
a decyzj ˛e mo˙zemy
podj ˛
a´c, gdy wynik z próby nie znajdzie si ˛e w obszarze
odrzucenia?
Nasuwa si ˛e pozornie oczywista odpowied´z, ˙ze decyzj ˛
a
powinno by´c przyj ˛ecie hipotezy H
0
.
Trzeba jednak pami ˛eta´c, ˙ze w przypadku takiej decyzji
mo˙zemy narazi´c si ˛e na inny bł ˛
ad, zwany
bł ˛edem II
rodzaju
, polegaj ˛
acy na przyj ˛eciu hipotezy H
0
, która
w rzeczywisto´sci mogła by´c fałszywa.
Poniewa˙z na ogół nie znamy prawdopodobie ´nstwa popeł-
nienia bł ˛edu II rodzaju, wi ˛ec w takich sytuacjach ostro˙zniej-
szym wyj´sciem jest stwierdzenie, ˙ze
nie ma podstaw do
odrzucenia H
0
(stwierdzenie takie nie rozstrzyga, czy
hipotez ˛e H
0
mo˙zna uzna´c za prawdziw ˛
a lub fałszyw ˛
a).
Agnieszka Rossa
Idea testu statystycznego i podstawowe poj ˛ecia
Etapy testowania hipotez statystycznych
Rodzaje mo˙zliwych bł ˛edów podczas testowania hipotez
Idea budowy obszaru odrzucenia testu
Bł ˛edy testowania hipotez – bł ˛
ad drugiego rodzaju
Rozwa˙zmy teraz kolejne
pytanie:
jak ˛
a decyzj ˛e mo˙zemy
podj ˛
a´c, gdy wynik z próby nie znajdzie si ˛e w obszarze
odrzucenia?
Nasuwa si ˛e pozornie oczywista odpowied´z, ˙ze decyzj ˛
a
powinno by´c przyj ˛ecie hipotezy H
0
.
Trzeba jednak pami ˛eta´c, ˙ze w przypadku takiej decyzji
mo˙zemy narazi´c si ˛e na inny bł ˛
ad, zwany
bł ˛edem II
rodzaju
, polegaj ˛
acy na przyj ˛eciu hipotezy H
0
, która
w rzeczywisto´sci mogła by´c fałszywa.
Poniewa˙z na ogół nie znamy prawdopodobie ´nstwa popeł-
nienia bł ˛edu II rodzaju, wi ˛ec w takich sytuacjach ostro˙zniej-
szym wyj´sciem jest stwierdzenie, ˙ze
nie ma podstaw do
odrzucenia H
0
(stwierdzenie takie nie rozstrzyga, czy
hipotez ˛e H
0
mo˙zna uzna´c za prawdziw ˛
a lub fałszyw ˛
a).
Agnieszka Rossa
Idea testu statystycznego i podstawowe poj ˛ecia
Etapy testowania hipotez statystycznych
Rodzaje mo˙zliwych bł ˛edów podczas testowania hipotez
Idea budowy obszaru odrzucenia testu
Budowa obszaru odrzucenia – Przykład 3
Wró´cmy do przykładu 2, w którym rozwa˙zali´smy zagad-
nienie testowania hipotezy H
0
:
p = p
0
wobec H
1
:
p > p
0
.
W szczególno´sci, wyznaczyli´smy obszar odrzucenia dla
testowania hipotezy H
0
:
p =
1
2
przeciwko H
1
:
p >
1
2
,
opieraj ˛
ac si ˛e danych z próby o liczno´sci n = 20. Obszar
odrzucenia tworzył wówczas zbiór: {14, 15, . . . , 20}.
Czy obszar odrzucenia byłby taki sam, gdyby´smy pozosta-
wili niezmienion ˛
a hipotez ˛e zerow ˛
a H
0
, ale zmienili hipotez ˛e
alternatywn ˛
a na
H
0
1
:
p <
1
2
?
W jakich okoliczno´sciach byliby´smy skłonni teraz odrzuci´c
H
0
na rzecz H
0
1
?
Wydaje si ˛e, ˙ze H
0
nale˙załoby odrzuci´c, gdyby liczba suk-
cesów była nie wi ˛eksza ni˙z pewna warto´s´c x .
Agnieszka Rossa
Idea testu statystycznego i podstawowe poj ˛ecia
Etapy testowania hipotez statystycznych
Rodzaje mo˙zliwych bł ˛edów podczas testowania hipotez
Idea budowy obszaru odrzucenia testu
Budowa obszaru odrzucenia – Przykład 3
Wró´cmy do przykładu 2, w którym rozwa˙zali´smy zagad-
nienie testowania hipotezy H
0
:
p = p
0
wobec H
1
:
p > p
0
.
W szczególno´sci, wyznaczyli´smy obszar odrzucenia dla
testowania hipotezy H
0
:
p =
1
2
przeciwko H
1
:
p >
1
2
,
opieraj ˛
ac si ˛e danych z próby o liczno´sci n = 20. Obszar
odrzucenia tworzył wówczas zbiór: {14, 15, . . . , 20}.
Czy obszar odrzucenia byłby taki sam, gdyby´smy pozosta-
wili niezmienion ˛
a hipotez ˛e zerow ˛
a H
0
, ale zmienili hipotez ˛e
alternatywn ˛
a na
H
0
1
:
p <
1
2
?
W jakich okoliczno´sciach byliby´smy skłonni teraz odrzuci´c
H
0
na rzecz H
0
1
?
Wydaje si ˛e, ˙ze H
0
nale˙załoby odrzuci´c, gdyby liczba suk-
cesów była nie wi ˛eksza ni˙z pewna warto´s´c x .
Agnieszka Rossa
Idea testu statystycznego i podstawowe poj ˛ecia
Etapy testowania hipotez statystycznych
Rodzaje mo˙zliwych bł ˛edów podczas testowania hipotez
Idea budowy obszaru odrzucenia testu
Budowa obszaru odrzucenia – Przykład 3
Wró´cmy do przykładu 2, w którym rozwa˙zali´smy zagad-
nienie testowania hipotezy H
0
:
p = p
0
wobec H
1
:
p > p
0
.
W szczególno´sci, wyznaczyli´smy obszar odrzucenia dla
testowania hipotezy H
0
:
p =
1
2
przeciwko H
1
:
p >
1
2
,
opieraj ˛
ac si ˛e danych z próby o liczno´sci n = 20. Obszar
odrzucenia tworzył wówczas zbiór: {14, 15, . . . , 20}.
Czy obszar odrzucenia byłby taki sam, gdyby´smy pozosta-
wili niezmienion ˛
a hipotez ˛e zerow ˛
a H
0
, ale zmienili hipotez ˛e
alternatywn ˛
a na
H
0
1
:
p <
1
2
?
W jakich okoliczno´sciach byliby´smy skłonni teraz odrzuci´c
H
0
na rzecz H
0
1
?
Wydaje si ˛e, ˙ze H
0
nale˙załoby odrzuci´c, gdyby liczba suk-
cesów była nie wi ˛eksza ni˙z pewna warto´s´c x .
Agnieszka Rossa
Idea testu statystycznego i podstawowe poj ˛ecia
Etapy testowania hipotez statystycznych
Rodzaje mo˙zliwych bł ˛edów podczas testowania hipotez
Idea budowy obszaru odrzucenia testu
Budowa obszaru odrzucenia – Przykład 3
Wró´cmy do przykładu 2, w którym rozwa˙zali´smy zagad-
nienie testowania hipotezy H
0
:
p = p
0
wobec H
1
:
p > p
0
.
W szczególno´sci, wyznaczyli´smy obszar odrzucenia dla
testowania hipotezy H
0
:
p =
1
2
przeciwko H
1
:
p >
1
2
,
opieraj ˛
ac si ˛e danych z próby o liczno´sci n = 20. Obszar
odrzucenia tworzył wówczas zbiór: {14, 15, . . . , 20}.
Czy obszar odrzucenia byłby taki sam, gdyby´smy pozosta-
wili niezmienion ˛
a hipotez ˛e zerow ˛
a H
0
, ale zmienili hipotez ˛e
alternatywn ˛
a na
H
0
1
:
p <
1
2
?
W jakich okoliczno´sciach byliby´smy skłonni teraz odrzuci´c
H
0
na rzecz H
0
1
?
Wydaje si ˛e, ˙ze H
0
nale˙załoby odrzuci´c, gdyby liczba suk-
cesów była nie wi ˛eksza ni˙z pewna warto´s´c x .
Agnieszka Rossa
Idea testu statystycznego i podstawowe poj ˛ecia
Etapy testowania hipotez statystycznych
Rodzaje mo˙zliwych bł ˛edów podczas testowania hipotez
Idea budowy obszaru odrzucenia testu
Budowa obszaru odrzucenia – Przykład 3
Wró´cmy do przykładu 2, w którym rozwa˙zali´smy zagad-
nienie testowania hipotezy H
0
:
p = p
0
wobec H
1
:
p > p
0
.
W szczególno´sci, wyznaczyli´smy obszar odrzucenia dla
testowania hipotezy H
0
:
p =
1
2
przeciwko H
1
:
p >
1
2
,
opieraj ˛
ac si ˛e danych z próby o liczno´sci n = 20. Obszar
odrzucenia tworzył wówczas zbiór: {14, 15, . . . , 20}.
Czy obszar odrzucenia byłby taki sam, gdyby´smy pozosta-
wili niezmienion ˛
a hipotez ˛e zerow ˛
a H
0
, ale zmienili hipotez ˛e
alternatywn ˛
a na
H
0
1
:
p <
1
2
?
W jakich okoliczno´sciach byliby´smy skłonni teraz odrzuci´c
H
0
na rzecz H
0
1
?
Wydaje si ˛e, ˙ze H
0
nale˙załoby odrzuci´c, gdyby liczba suk-
cesów była nie wi ˛eksza ni˙z pewna warto´s´c x .
Agnieszka Rossa
Idea testu statystycznego i podstawowe poj ˛ecia
Etapy testowania hipotez statystycznych
Rodzaje mo˙zliwych bł ˛edów podczas testowania hipotez
Idea budowy obszaru odrzucenia testu
Budowa obszaru odrzucenia – Przykład 3
Łatwo sprawdzi´c, odwołuj ˛
ac si ˛e do zamieszczonej
w przykładzie 2 tablicy, ˙ze najwi ˛eksz ˛
a liczb ˛
a sukcesów x ,
dla której prawdopodobie ´nstwo P(X ≤ x ) nie przekracza
zało˙zonego poziomu istotno´sci α = 0, 06 jest liczba x = 6,
wi ˛ec obszarem odrzucenia w tej wersji naszego testu byłby
zbiór {0, 1, 2, . . . , 6}.
Oznacza to, ˙ze jest mało prawdopodobne, aby przy zało-
˙zeniu prawdziwo´sci H
0
zrealizowała si ˛e liczba sukcesów
nie wi ˛eksza ni˙z 6. Natomiast zdarzenie takie byłoby
bardziej prawdopodobne przy zało˙zeniu, ˙ze prawdziwa jest
hipoteza H
0
1
.
Wniosek:
Je´sli wi ˛ec w serii n = 20 do´swiadcze ´n odnotu-
jemy liczb ˛e sukcesów ze zbioru {0, 1, 2, . . . , 6}, wtedy
odrzucimy hipotez ˛e H
0
:
p =
1
2
na rzecz H
0
1
:
p <
1
2
.
Agnieszka Rossa
Idea testu statystycznego i podstawowe poj ˛ecia
Etapy testowania hipotez statystycznych
Rodzaje mo˙zliwych bł ˛edów podczas testowania hipotez
Idea budowy obszaru odrzucenia testu
Budowa obszaru odrzucenia – Przykład 3
Łatwo sprawdzi´c, odwołuj ˛
ac si ˛e do zamieszczonej
w przykładzie 2 tablicy, ˙ze najwi ˛eksz ˛
a liczb ˛
a sukcesów x ,
dla której prawdopodobie ´nstwo P(X ≤ x ) nie przekracza
zało˙zonego poziomu istotno´sci α = 0, 06 jest liczba x = 6,
wi ˛ec obszarem odrzucenia w tej wersji naszego testu byłby
zbiór {0, 1, 2, . . . , 6}.
Oznacza to, ˙ze jest mało prawdopodobne, aby przy zało-
˙zeniu prawdziwo´sci H
0
zrealizowała si ˛e liczba sukcesów
nie wi ˛eksza ni˙z 6. Natomiast zdarzenie takie byłoby
bardziej prawdopodobne przy zało˙zeniu, ˙ze prawdziwa jest
hipoteza H
0
1
.
Wniosek:
Je´sli wi ˛ec w serii n = 20 do´swiadcze ´n odnotu-
jemy liczb ˛e sukcesów ze zbioru {0, 1, 2, . . . , 6}, wtedy
odrzucimy hipotez ˛e H
0
:
p =
1
2
na rzecz H
0
1
:
p <
1
2
.
Agnieszka Rossa
Idea testu statystycznego i podstawowe poj ˛ecia
Etapy testowania hipotez statystycznych
Rodzaje mo˙zliwych bł ˛edów podczas testowania hipotez
Idea budowy obszaru odrzucenia testu
Budowa obszaru odrzucenia – Przykład 3
Łatwo sprawdzi´c, odwołuj ˛
ac si ˛e do zamieszczonej
w przykładzie 2 tablicy, ˙ze najwi ˛eksz ˛
a liczb ˛
a sukcesów x ,
dla której prawdopodobie ´nstwo P(X ≤ x ) nie przekracza
zało˙zonego poziomu istotno´sci α = 0, 06 jest liczba x = 6,
wi ˛ec obszarem odrzucenia w tej wersji naszego testu byłby
zbiór {0, 1, 2, . . . , 6}.
Oznacza to, ˙ze jest mało prawdopodobne, aby przy zało-
˙zeniu prawdziwo´sci H
0
zrealizowała si ˛e liczba sukcesów
nie wi ˛eksza ni˙z 6. Natomiast zdarzenie takie byłoby
bardziej prawdopodobne przy zało˙zeniu, ˙ze prawdziwa jest
hipoteza H
0
1
.
Wniosek:
Je´sli wi ˛ec w serii n = 20 do´swiadcze ´n odnotu-
jemy liczb ˛e sukcesów ze zbioru {0, 1, 2, . . . , 6}, wtedy
odrzucimy hipotez ˛e H
0
:
p =
1
2
na rzecz H
0
1
:
p <
1
2
.
Agnieszka Rossa
Idea testu statystycznego i podstawowe poj ˛ecia
Etapy testowania hipotez statystycznych
Rodzaje mo˙zliwych bł ˛edów podczas testowania hipotez
Idea budowy obszaru odrzucenia testu
Budowa obszaru odrzucenia – Przykład 4
Rozwa˙zmy teraz
pytanie
: jak okre´sli´c obszar odrzucenia
w konstruowanym przez nas te´scie, gdyby hipoteza alter-
natywna była postaci:
H
00
1
:
p 6=
1
2
(przy tej samej hipotezie
zerowej H
0
:
p =
1
2
).
Zauwa˙zymy, ˙ze w tym przypadku obszar odrzucenia
powinien uwzgl ˛ednia´c zarówno małe, jak i du˙ze liczby
sukcesów, bowiem takie wyniki b ˛ed ˛
a przemawiały prze-
ciwko hipotezie zerowej H
0
, na korzy´s´c hipotezy H
00
1
.
Poszukujemy wi ˛ec takich liczb x
1
i x
2
, dla których
P(X ≤ x
1
) ≤
α
2
oraz
P(X ≥ x
2
) ≤
α
2
, a tym samym
P(X ≤ x
1
) +
P(X ≥ x
2
) ≤ α
, dla ustalonego α i przy za-
ło˙zeniu prawdziwo´sci H
0
. Np. x
1
=
5, x
2
=
15, gdy α=0, 06.
Obszar odrzucenia dla α = 0, 06 i n = 20 jest tu wi ˛ec sum ˛
a
zbiorów: {0, 1, . . . , 5} oraz {15, 16, . . . , 20}.
Agnieszka Rossa
Idea testu statystycznego i podstawowe poj ˛ecia
Etapy testowania hipotez statystycznych
Rodzaje mo˙zliwych bł ˛edów podczas testowania hipotez
Idea budowy obszaru odrzucenia testu
Budowa obszaru odrzucenia – Przykład 4
Rozwa˙zmy teraz
pytanie
: jak okre´sli´c obszar odrzucenia
w konstruowanym przez nas te´scie, gdyby hipoteza alter-
natywna była postaci:
H
00
1
:
p 6=
1
2
(przy tej samej hipotezie
zerowej H
0
:
p =
1
2
).
Zauwa˙zymy, ˙ze w tym przypadku obszar odrzucenia
powinien uwzgl ˛ednia´c zarówno małe, jak i du˙ze liczby
sukcesów, bowiem takie wyniki b ˛ed ˛
a przemawiały prze-
ciwko hipotezie zerowej H
0
, na korzy´s´c hipotezy H
00
1
.
Poszukujemy wi ˛ec takich liczb x
1
i x
2
, dla których
P(X ≤ x
1
) ≤
α
2
oraz
P(X ≥ x
2
) ≤
α
2
, a tym samym
P(X ≤ x
1
) +
P(X ≥ x
2
) ≤ α
, dla ustalonego α i przy za-
ło˙zeniu prawdziwo´sci H
0
. Np. x
1
=
5, x
2
=
15, gdy α=0, 06.
Obszar odrzucenia dla α = 0, 06 i n = 20 jest tu wi ˛ec sum ˛
a
zbiorów: {0, 1, . . . , 5} oraz {15, 16, . . . , 20}.
Agnieszka Rossa
Idea testu statystycznego i podstawowe poj ˛ecia
Etapy testowania hipotez statystycznych
Rodzaje mo˙zliwych bł ˛edów podczas testowania hipotez
Idea budowy obszaru odrzucenia testu
Budowa obszaru odrzucenia – Przykład 4
Rozwa˙zmy teraz
pytanie
: jak okre´sli´c obszar odrzucenia
w konstruowanym przez nas te´scie, gdyby hipoteza alter-
natywna była postaci:
H
00
1
:
p 6=
1
2
(przy tej samej hipotezie
zerowej H
0
:
p =
1
2
).
Zauwa˙zymy, ˙ze w tym przypadku obszar odrzucenia
powinien uwzgl ˛ednia´c zarówno małe, jak i du˙ze liczby
sukcesów, bowiem takie wyniki b ˛ed ˛
a przemawiały prze-
ciwko hipotezie zerowej H
0
, na korzy´s´c hipotezy H
00
1
.
Poszukujemy wi ˛ec takich liczb x
1
i x
2
, dla których
P(X ≤ x
1
) ≤
α
2
oraz
P(X ≥ x
2
) ≤
α
2
, a tym samym
P(X ≤ x
1
) +
P(X ≥ x
2
) ≤ α
, dla ustalonego α i przy za-
ło˙zeniu prawdziwo´sci H
0
. Np. x
1
=
5, x
2
=
15, gdy α=0, 06.
Obszar odrzucenia dla α = 0, 06 i n = 20 jest tu wi ˛ec sum ˛
a
zbiorów: {0, 1, . . . , 5} oraz {15, 16, . . . , 20}.
Agnieszka Rossa
Idea testu statystycznego i podstawowe poj ˛ecia
Etapy testowania hipotez statystycznych
Rodzaje mo˙zliwych bł ˛edów podczas testowania hipotez
Idea budowy obszaru odrzucenia testu
Budowa obszaru odrzucenia – Przykład 4
Rozwa˙zmy teraz
pytanie
: jak okre´sli´c obszar odrzucenia
w konstruowanym przez nas te´scie, gdyby hipoteza alter-
natywna była postaci:
H
00
1
:
p 6=
1
2
(przy tej samej hipotezie
zerowej H
0
:
p =
1
2
).
Zauwa˙zymy, ˙ze w tym przypadku obszar odrzucenia
powinien uwzgl ˛ednia´c zarówno małe, jak i du˙ze liczby
sukcesów, bowiem takie wyniki b ˛ed ˛
a przemawiały prze-
ciwko hipotezie zerowej H
0
, na korzy´s´c hipotezy H
00
1
.
Poszukujemy wi ˛ec takich liczb x
1
i x
2
, dla których
P(X ≤ x
1
) ≤
α
2
oraz
P(X ≥ x
2
) ≤
α
2
, a tym samym
P(X ≤ x
1
) +
P(X ≥ x
2
) ≤ α
, dla ustalonego α i przy za-
ło˙zeniu prawdziwo´sci H
0
. Np. x
1
=
5, x
2
=
15, gdy α=0, 06.
Obszar odrzucenia dla α = 0, 06 i n = 20 jest tu wi ˛ec sum ˛
a
zbiorów: {0, 1, . . . , 5} oraz {15, 16, . . . , 20}.
Agnieszka Rossa
Idea testu statystycznego i podstawowe poj ˛ecia
Etapy testowania hipotez statystycznych
Rodzaje mo˙zliwych bł ˛edów podczas testowania hipotez
Idea budowy obszaru odrzucenia testu
Uwagi:
1.
Wyznaczone w przykładach 2–4 obszary odrzucenia
zostały obliczone dla p
0
=
1
2
,
n = 20, α = 0, 06. Obszary te
zmieni ˛
a si ˛e, gdy przyjmiemy inne warto´sci dla p
0
, n lub α.
2.
Dla dowolnego testu weryfikuj ˛
acego warto´s´c parametru
populacji zakłada si ˛e, ˙ze w hipotezie zerowej H
0
okre´slona
jest tylko jedna warto´s´c tego parametru (np. p =
1
2
).
3.
Hipoteza alternatywna jest hipotez ˛
a konkurencyjn ˛
a do H
0
i mo˙ze dopuszcza´c wiele mo˙zliwych warto´sci parametru
(np. zapis H
1
:
p >
1
2
oznacza, ˙ze dopuszczamy ka˙zd ˛
a
warto´s´c prawdopodobie ´nstwa p, wi ˛eksz ˛
a od
1
2
).
4.
Posta´c hipotezy alternatywnej dobieramy w zale˙zno´sci od
problemu oraz od naszej wiedzy o badanym zagadnieniu.
5.
Test istotno´sci weryfikuje bezpo´srednio tylko hipotez ˛e H
0
,
ale obszar odrzucenia testu jest zale˙zny od hipotezy H
1
.
Agnieszka Rossa
Idea testu statystycznego i podstawowe poj ˛ecia
Etapy testowania hipotez statystycznych
Rodzaje mo˙zliwych bł ˛edów podczas testowania hipotez
Idea budowy obszaru odrzucenia testu
Uwagi:
1.
Wyznaczone w przykładach 2–4 obszary odrzucenia
zostały obliczone dla p
0
=
1
2
,
n = 20, α = 0, 06. Obszary te
zmieni ˛
a si ˛e, gdy przyjmiemy inne warto´sci dla p
0
, n lub α.
2.
Dla dowolnego testu weryfikuj ˛
acego warto´s´c parametru
populacji zakłada si ˛e, ˙ze w hipotezie zerowej H
0
okre´slona
jest tylko jedna warto´s´c tego parametru (np. p =
1
2
).
3.
Hipoteza alternatywna jest hipotez ˛
a konkurencyjn ˛
a do H
0
i mo˙ze dopuszcza´c wiele mo˙zliwych warto´sci parametru
(np. zapis H
1
:
p >
1
2
oznacza, ˙ze dopuszczamy ka˙zd ˛
a
warto´s´c prawdopodobie ´nstwa p, wi ˛eksz ˛
a od
1
2
).
4.
Posta´c hipotezy alternatywnej dobieramy w zale˙zno´sci od
problemu oraz od naszej wiedzy o badanym zagadnieniu.
5.
Test istotno´sci weryfikuje bezpo´srednio tylko hipotez ˛e H
0
,
ale obszar odrzucenia testu jest zale˙zny od hipotezy H
1
.
Agnieszka Rossa
Idea testu statystycznego i podstawowe poj ˛ecia
Etapy testowania hipotez statystycznych
Rodzaje mo˙zliwych bł ˛edów podczas testowania hipotez
Idea budowy obszaru odrzucenia testu
Uwagi:
1.
Wyznaczone w przykładach 2–4 obszary odrzucenia
zostały obliczone dla p
0
=
1
2
,
n = 20, α = 0, 06. Obszary te
zmieni ˛
a si ˛e, gdy przyjmiemy inne warto´sci dla p
0
, n lub α.
2.
Dla dowolnego testu weryfikuj ˛
acego warto´s´c parametru
populacji zakłada si ˛e, ˙ze w hipotezie zerowej H
0
okre´slona
jest tylko jedna warto´s´c tego parametru (np. p =
1
2
).
3.
Hipoteza alternatywna jest hipotez ˛
a konkurencyjn ˛
a do H
0
i mo˙ze dopuszcza´c wiele mo˙zliwych warto´sci parametru
(np. zapis H
1
:
p >
1
2
oznacza, ˙ze dopuszczamy ka˙zd ˛
a
warto´s´c prawdopodobie ´nstwa p, wi ˛eksz ˛
a od
1
2
).
4.
Posta´c hipotezy alternatywnej dobieramy w zale˙zno´sci od
problemu oraz od naszej wiedzy o badanym zagadnieniu.
5.
Test istotno´sci weryfikuje bezpo´srednio tylko hipotez ˛e H
0
,
ale obszar odrzucenia testu jest zale˙zny od hipotezy H
1
.
Agnieszka Rossa
Idea testu statystycznego i podstawowe poj ˛ecia
Etapy testowania hipotez statystycznych
Rodzaje mo˙zliwych bł ˛edów podczas testowania hipotez
Idea budowy obszaru odrzucenia testu
Uwagi:
1.
Wyznaczone w przykładach 2–4 obszary odrzucenia
zostały obliczone dla p
0
=
1
2
,
n = 20, α = 0, 06. Obszary te
zmieni ˛
a si ˛e, gdy przyjmiemy inne warto´sci dla p
0
, n lub α.
2.
Dla dowolnego testu weryfikuj ˛
acego warto´s´c parametru
populacji zakłada si ˛e, ˙ze w hipotezie zerowej H
0
okre´slona
jest tylko jedna warto´s´c tego parametru (np. p =
1
2
).
3.
Hipoteza alternatywna jest hipotez ˛
a konkurencyjn ˛
a do H
0
i mo˙ze dopuszcza´c wiele mo˙zliwych warto´sci parametru
(np. zapis H
1
:
p >
1
2
oznacza, ˙ze dopuszczamy ka˙zd ˛
a
warto´s´c prawdopodobie ´nstwa p, wi ˛eksz ˛
a od
1
2
).
4.
Posta´c hipotezy alternatywnej dobieramy w zale˙zno´sci od
problemu oraz od naszej wiedzy o badanym zagadnieniu.
5.
Test istotno´sci weryfikuje bezpo´srednio tylko hipotez ˛e H
0
,
ale obszar odrzucenia testu jest zale˙zny od hipotezy H
1
.
Agnieszka Rossa
Idea testu statystycznego i podstawowe poj ˛ecia
Etapy testowania hipotez statystycznych
Rodzaje mo˙zliwych bł ˛edów podczas testowania hipotez
Idea budowy obszaru odrzucenia testu
Uwagi:
1.
Wyznaczone w przykładach 2–4 obszary odrzucenia
zostały obliczone dla p
0
=
1
2
,
n = 20, α = 0, 06. Obszary te
zmieni ˛
a si ˛e, gdy przyjmiemy inne warto´sci dla p
0
, n lub α.
2.
Dla dowolnego testu weryfikuj ˛
acego warto´s´c parametru
populacji zakłada si ˛e, ˙ze w hipotezie zerowej H
0
okre´slona
jest tylko jedna warto´s´c tego parametru (np. p =
1
2
).
3.
Hipoteza alternatywna jest hipotez ˛
a konkurencyjn ˛
a do H
0
i mo˙ze dopuszcza´c wiele mo˙zliwych warto´sci parametru
(np. zapis H
1
:
p >
1
2
oznacza, ˙ze dopuszczamy ka˙zd ˛
a
warto´s´c prawdopodobie ´nstwa p, wi ˛eksz ˛
a od
1
2
).
4.
Posta´c hipotezy alternatywnej dobieramy w zale˙zno´sci od
problemu oraz od naszej wiedzy o badanym zagadnieniu.
5.
Test istotno´sci weryfikuje bezpo´srednio tylko hipotez ˛e H
0
,
ale obszar odrzucenia testu jest zale˙zny od hipotezy H
1
.
Agnieszka Rossa
Document Outline
- Wprowadzenie
- Idea testu statystycznego i podstawowe pojcia
- Etapy testowania hipotez statystycznych
- Rodzaje mozliwych bldów podczas testowania hipotez
- Idea budowy obszaru odrzucenia testu
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
podstawy wnioskowania cz I
Podstawy Pedagogiki Specjalnej cz II oligo B
Podstawy Pedagogiki Specjalnej cz II oligo C
(15)Syst.rz-d. Cz. II, Prawne podstawy bezpieczeństwa państwa
Egzamin ze statystyki cz.II (wnioskowanie statystyczne), Egzamin ze statystyki cz
Podstawy edytorstwa wykład cz II
W -- Zwiazki karbonylowe cz. II, podstawy chemii organicznej
Podstawy Pedagogiki Specjalnej cz II oligo D
Podstawy 1 cz 1 II
Materiały z wykładu przedmiotu Podstawy działalnosci gospodarczej statystyka cz II
Podstawowe węzły wspinaczkowe cz II
Podstawy Pedagogiki Specjalnej cz II oligo B
Podstawy Pedagogiki Specjalnej cz II oligo C
VBA Podstawy cz II
więcej podobnych podstron