2013-05-28 

1 

1 

Metody   probabilistyczne 

 

 

 

 

Dynamika zjawisk 

2 

Analiza dynamiki zjawisk 

 

Problemy: 

 



szereg czasowy, chronologiczny (momentów, okresów), 



średni poziom zjawiska w czasie (średnia arytmetyczna, średnia 
chronologiczna), 



miary dynamiki (indeksy indywidualne, agregatowe), 



średnie tempo zmian zjawiska w czasie, 



wygładzanie szeregu czasowego (mechaniczne, analityczne), 



analiza wahań okresowych (wskaźniki sezonowości), 

2013-05-28 

2 

3 

Szereg czasowy 



Szereg czasowy  { y

t

 }  -  

uporządkowany ciąg wyników obserwacji 

zjawiska w czasie. 



Szeregi czasowe dzielimy na szeregi: 



okresów (poziomy zjawiska w całych okresach, - strumienie: liczba 
urodzin, liczba mieszkań oddanych w miesiącu, w roku) 



momentów (poziomy zjawiska w ustalonych momentach okresów – 
zasoby: liczba ludności na terenie województwa, stan zatrudnienia w 
firmie) 

Moment/okres  t 

1 

2 

3 

4 

5 

6 

7 

Rok 

2000 

2001 

2002 

2003 

2004 

2005 

2006 

Liczba pojazdów 

w UE-27 [tys.] 

205 581  210 561 

214 584 

217 492 

221 097 

225 654 

229 954  

Liczba 

wypadków 

śmiertelnych  na 

drogach  UE-27 

56 412 

54 314 

53 331 

50 355 

47 262 

45 296 

42 953  

„

Wypadki”  -  szereg  okresów (łączna  liczba 

wypadków  w każdym  roku  

„Pojazdy”   -  szereg  momentów (w 

każdym  roku stan na 31.XII 

4 

Średni poziom zjawiska w czasie 

Średni poziom zjawiska w czasie liczymy odmiennie w zależności od 

rodzaju szeregu jako: 

 



średnią arytmetyczną dla szeregu okresów 
 
 
 



średnia chronologiczna dla szeregu momentów 
 







n

t

t

y

n

y

1

1

1

2

1

2

1

1

2

1















n

y

y

y

y

y

n

n

ch



2013-05-28 

3 

5 

Średni poziom zjawiska w czasie - przykład 



„Wypadki”  -  szereg okresów (łączna liczba wypadków w każdym roku) 
 
 
 



„Pojazdy”  -  szereg momentów (w każdym roku stan na 31.XII) 

Moment/okres  t 

1 

2 

3 

4 

5 

6 

7 

Rok 

2000 

2001 

2002 

2003 

2004 

2005 

2006 

Liczba pojazdów 

w UE-27 [tys.] 

205 581  210 561 

214 584 

217 492 

221 097 

225 654 

229 954  

Liczba 

wypadków 

śmiertelnych  na 

drogach  UE-27 

56 412 

54 314 

53 331 

50 355 

47 262 

45 296 

42 953  

W latach  2000-2006 

średnio w roku 

zarejestrowanych  było  399 332,2 tys. pojazdów 

samochodowych 

W latach  2000-2006 

średnia roczna 

liczba wypadków  drogowych  wyniosła   

49 989,0 wypadków 

0

49989

7

42953

45296

54314

56412

y

,















2

399332

1

7

229954

2

1

225654

210561

205581

2

1

y

ch

,

















6 

Miary dynamiki 



Przyrosty: 



absolutne 



jednopodstawowe 



łańcuchowe 



względne  



jednopodstawowe 



łańcuchowe 



Indeksy dynamiki: 



indywidualne 



jednopodstawowe 



łańcuchowe 



agregatowe (zespołowe) 



jednopodstawowe 



łańcuchowe  

2013-05-28 

4 

7 

Miary dynamiki o podstawie stałej i zmennej 

Miary dynamiki o podstawie stałej (jednopodstawowe) 



Określają zmiany jakie następowały w kolejnych okresach 
(momentach) t w odniesieniu do okresu (momentu) podstawowego 
(bazowego) t*. 



Ogólnie okresem (momentem) bazowym może być dowolny okres 
(moment) k, tj. t*=k. 



Dalej (dla wygody) przyjmiemy, że 

okresem bazowym 

będzie 

pierwszy okres

, okres, tj. t*=1.  

 

Miary dynamiki o podstawie ruchomej  (łańcuchowe) 



Określają one zmiany jakie następowały w kolejnych okresach 
(momentach) t 

w odniesieniu do okresu (momentu) bezpośrednio 

poprzedzającego)  tj. t*= t - 1. 

8 

Przyrosty absolutne 



Określają one, o ile wzrósł (zmalał) poziom zjawiska w okresie 
badanym (t

) w porównaniu z jego poziomem w okresie przyjętym za 

podstawę porównania (t*). 



Przyrosty absolutne są mianowane tak samo jak badana cecha. 



jednopodstawowe (t*=1)   

 

 

 

 



łańcuchowe (t*=t-1)  

1

t

1

t

y

y







1

t

t

1

t

t

y

y











2013-05-28 

5 

9 

Przyrosty absolutne - 

przykład 

dla okresu t=5: 



Przyrost absolutny 
jednopodstawowy 
 
 
 



Przyrost absolutny łańcuchowy  

Przyrosty absolutne 

Moment 

/okres t 

Liczba 

wypadków 

Jednopods

tawowe 

Łańcu 
chowe 

1 

56412 

- 

- 

2 

54314 

-2098 

-2098 

3 

53331 

-3081 

-983 

4 

50355 

-6057 

-2976 

5 

47262 

-9150 

-3093 

6 

45296 

-11116 

-1966 

7 

42953 

-13459 

-2343 

9150

56412

47262

y

y

1

5

1

5















2976

50355

47262

y

y

4

5

4

5















 

Przyrost absolutny 

informuje,  o ile  jednostek  wzrósł (znak  plus) lub zmalał 

(znak  minus) poziom  badanego  zjawiska  w okresie  t w stosunku  do poziomu  z 

okresu  t* będącego  podstawą  porównania 

10 

Przyrosty względne   (wskaźniki tempa zmian) 



Określają one stosunek przyrostu absolutnego w okresie badanym (t) do 
jego poziomu w okresie przyjętym za podstawę porównania (t*). 



Przyrosty względne są wielkościami niemianowanymi. 



Wyrażamy je zawsze w ułamkach, ale interpretujemy w procentach. 

 



jednopodstawowe (t*=1) 

 

 

 

 

 

 



łańcuchowe (t*=t-1)  

1

1

t

1

1

t

1

t

y

y

y

y

d









1

t

1

t

t

1

t

1

t

t

1

t

t

y

y

y

y

d



















2013-05-28 

6 

11 

Przyrosty względne (wskaźniki tempa zmian) - 

przykład 

dla okresu t

=5 przyrost względny: 



jednopodstawowy 
 
 
 
 



łańcuchowy  

Przyrosty względne 

Moment/

okres t 

Liczba 

wypadków 

Jednopod- 

stawowe 

Łańcu-

chowe 

1 

56412 

- 

- 

2 

54314 

-0,037 

-0,037 

3 

53331 

-0,055 

-0,018 

4 

50355 

-0,107 

-0,056 

5 

47262 

-0,162 

-0,061 

6 

45296 

-0,197 

-0,042 

7 

42953 

-0,239 

-0,052 

162

0

56412

9150

y

d

1

1

5

1

5

,













061

0

50355

3093

y

d

4

4

5

4

5

,













Przyrost względny  (wskaźnik  tempa  zmian)  informuje:   

o ile % wzrósł (znak plus) lub zmalał  (znak minus)  poziom  badanego 

zjawiska  w okresie  t w stosunku do poziomu  z okresu  t*  

będącego  podstawą  porównania 

12 

Indywidualne  indeksy dynamiki 



Określają one stosunek poziomu zjawiska w okresie badanym (t) 
do jego poziomu w okresie przyjętym za podstawę porównania (t*). 



Indeksy dynamiki 

są wielkościami niemianowanymi. 



Wyrażamy je zawsze w ułamkach, ale interpretujemy w procentach. 



jednopodstawowe (t*=1)   
 
 
   



łańcuchowe (t*= t - 1)  

1

t

1

t

1

t

d

1

y

y

i







1

t

t

1

t

t

1

t

t

d

1

y

y

i













2013-05-28 

7 

13 

Indywidualne  indeksy dynamiki - 

przykład 

 dla okresu indywidualny indeks 

dynamiki: 



jednopodstawowy 

 

 

 



łańcuchowy  

Indeksy  indywidualne 

Moment 

/okres t 

Liczba 

wypadków 

Jednopod- 

stawowe 

Łańcu-

chowe 

1 

56412 

1,000 

- 

2 

54314 

0,963 

0,963 

3 

53331 

0,945 

0,982 

4 

50355 

0,893 

0,944 

5 

47262 

0,838 

0,939 

6 

45296 

0,803 

0,958 

7 

42953 

0,761 

0,948 

838

0

56412

47262

y

y

i

1

5

1

5

,







939

0

50355

47262

y

y

i

4

5

4

5

,







„Indeks  dynamiki  – 1” informuje  o ile  % wzrósł (znak  plus)  

lub zmalał  (znak minus) poziom  badanego  zjawiska w okresie  t 

w stosunku do poziomu  z okresu  t

* będącego  podstawą  porównania 

14 

Średnie tempo zmian zjawiska w czasie 



Średnie indeks zmian zjawiska w czasie wyznacza się jako 
średnią geometryczną z indeksów łańcuchowych: 
 
 
 



Jeżeli w liczeniu indeksów jednopodstawowych przyjmiemy okres 
pierwszy jako bazowy (t

*=1), to wzór ten upraszcza się do: 

 

 

 



Średniookresowe tempo zmian zjawiska w czasie wyznacza się 
jako: 

1

n

1

2

2

3

2

n

1

n

1

n

n

G

i

*

i

*

*

i

*

i

i













1

n

1

n

1

n

1

n

G

y

y

i

i









1

i

T

G

n





2013-05-28 

8 

15 

Średnie tempo zmian  zjawiska w czasie - przykład 

Dla szeregu „Wypadki”  



średni indeks zmian liczby 
wypadków wynosi:  
 

 

 



średniookresowe tempo zmian 
liczby wypadków wynosi:  

Indeksy  indywidualne 

Moment 

/okres t 

Liczba 

wypadków 

Jednopods-

tawowe 

Łańcu-

chowe 

1 

56412 

1,000 

- 

2 

54314 

0,963 

0,963 

3 

53331 

0,945 

0,982 

4 

50355 

0,893 

0,944 

5 

47262 

0,838 

0,939 

6 

45296 

0,803 

0,958 

7 

42953 

0,761 

0,948 

W ciągu  badanych  n okresów  poziom 

badanego  zjawiska 

rósł (znak plus) lub 

malał (znak minus) średnio  z okresu  na 

okres 

o wyliczoną  wartość-1 (%). 

956

0

761

0

i

i

6

1

7

1

7

G

,

,









044

0

1

956

0

1

i

T

G

n

,

,













W ciągu 7 kolejnych  lat (2000-2006)  liczba 

wypadków  drogowych  w UE-27 malała 

(znak  minus

) średnio  z roku na rok o 4% 

(malała  średnio  o 4% w stosunku do roku 

poprzedniego). 

16 

Analiza dynamiki zjawisk na wykresach 

Dynamika zjawiska 

(zjawisk) może być wizualizowana za pomocą wykresów. 



W celu uniknięcia pomyłek należy zwracać szczególną uwagę na dopiski w 
tytule. 



rok, miesiąc, itp. poprzedni = 1 (lub ... = 100) oznacza wykres dynamiki 
opisanej indeksami 

łańcuchowymi; 



rok xxxx 

= 1, miesiąc xx = 1, itp. (lub ... = 100) oznacza wykres dynamiki 

opisanej indeksami 

o stałej podstawie, którą jest okres podany w 

dopisku. 

Dynamika liczby pojazdów i wypadków w UE-27 

w latach 2000-2006 (rok 2000 = 1)

0,000

0,200

0,400

0,600

0,800

1,000

1,200

2000

2001

2002

2003

2004

2005

2006

Liczba w ypadków

Liczba pojazdów

Dynamika liczby pojazdów i wypadków w UE-27 

w latach 2000-2006 (rok poprzedni = 1)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

2000

2001

2002

2003

2004

2005

2006

Liczba w ypadków

Liczba pojazdów

2013-05-28 

9 

17 

Przyczyny zmian poziomu zjawiska w określonym czasie 



główne – działają na zjawisko stale z niezmiennym nasileniem, 
wytyczają kierunek zmian zjawiska w czasie – zw. 

trendem 

(tendencją rozwojową)

, 



okresowe: 



koniunkturalne

 (cykliczne) 

– są wynikiem zmian w otoczeniu 

zjawiska (w gospodarce światowej), mają różny kierunek i 
natężenie, 



sezonowe 

– działają regularnie krótkich rocznych cyklach wahań, 

zależą od kalendarza, cyklu upraw, 



przypadkowe, losowe 

– wywołują nieregularne odchylenia 

wielkości zjawiska od poziomu, jakiego oczekujemy na podstawie 
działania innych czynników, ich wpływ jest nieprzewidywalny 
zarówno co do siły jak i kierunku. 

18 

Dekompozycja szeregu czasowego 

określenie sposobu nakładania się poszczególnych składowych: 



addytywne - Y = T+S+P 

zakłada się: 



funkcja trendu jest liniowa (lub można ją do takiej sprowadzić), 



składowe T, S, P są niezależne, 



składowe są wyrażane jako wielkości absolutne (posiadające 
miano), 



multiplikatywne 

– Y = T*S*P 



trend jest wyrażany w takich jednostkach jak badane zjawisko, 



składowe są wielkościami względnymi (wskaźnikami), 



wahania sezonowe i przypadkowe są proporcjonalne do 
wielkości trendu. 

 

 

 

gdzie: T- trend, S 

– wahania sezonowe, P- wahania przypadkowe. 

2013-05-28 

10 

19 

Wygładzanie szeregu czasowego 

Wygładzanie jest to zabieg prowadzący do: 



eliminacji wahań i 



wyodrębnienia tendencji rozwojowej badanego zjawiska 
(

tendencja rosnąca, malejąca bądź stabilizacja

). 

Trend (tendencja rozwojowa) 

– powolne, regularne, systematyczne 

zmiany określonego zjawiska obserwowane w dostatecznie długim 
przedziale czasowym i będące rezultatem działania przyczyn 
głównych. 

 
Szeregi czasowe wygładzamy stosując metody: 



mechaniczną (wykorzystanie średnich ruchomych) oraz 



analityczną (dopasowanie odpowiedniej funkcji do danych 
szeregu czasowego). 

20 

Wygładzanie mechaniczne   

(średnie ruchome k-okresowe) 

Oznaczenia: kolejne wartości szeregu czasowego: 
 

 

Średnie ruchome wyznaczamy różnie w zależności od ich długości (k). 



Inaczej, gdy k jest nieparzyste, np. k = 3, 5, 7, itd. 
Inaczej zaś gdy k jest parzyste, np. k = 2, 4, 6, itd. 
 



Gdy k jest nieparzyste (np. k

=3), to średnie ruchome wyznacza się 

następująco: 

 

 

 

 

 

itd. aż do przedostatniego okresu  

n

n

n

y

y

y

y

y

y

,

,

,

,

,

,

1

2

3

2

1







3

3

2

1

2

y

y

y

y







3

4

3

2

3

y

y

y

y







3

1

2

1

n

n

n

n

y

y

y

y













Przy k

=3 straci się jedną  informację  na początku  i jedną  na końcu  szeregu 

czasowego  (1+1=2 straty). 
Przy k

=5 straty  wyniosą  już 2+2=4,  a przy k=7 wyniosą  aż 3+3=6  

2013-05-28 

11 

21 

Wygładzanie mechaniczne   

(średnie ruchome k-okresowe) 

Reguła: im dłuższa średnia ruchoma (im większe k), tym większe 

straty na informacji, ale za to lepsze wygładzenie i możliwość 
zaobserwowania tendencji rozwojowej badanego zjawiska. 



Gdy k jest parzyste (np. k

=4), to średnie ruchome wyznacza się 

następująco (tzw. 

średnia scentrowana

): 

4

2

1

2

1

5

4

3

2

1

3

y

y

y

y

y

y











4

2

1

2

1

6

5

4

3

2

4

y

y

y

y

y

y











4

2

1

2

1

1

2

3

4

2

n

n

n

n

n

n

y

y

y

y

y

y





















itd. aż do 

22 

Średnie ruchome k-okresowe - przykład 



Wielkość przewozów ( y

t 

) firmy ABC [w tys. km] w ciągu 12 kolejnych 

okresów (t) przedstawia poniższa tabela. W dwóch ostatnich kolumnach 
pokazano średnie ruchome o różnej długości (k nieparzyste i parzyste). 

okres 

wielkość 

przewozów 

średnie ruchome 

nieparzyste 

parzyste 

t 

y

t

 

k=3 

k=5 

k=4 

k=6 

1 

121 

x 

x 

x 

x 

2 

146 

133 

x 

x 

x 

3 

132 

161 

147 

152 

x 

4 

204 

156 

165 

162 

164 

5 

132 

183 

174 

178 

175 

6 

212 

179 

190 

186 

187 

7 

192 

205 

191 

196 

202 

8 

211 

204 

225 

217 

219 

9 

209 

241 

232 

236 

238 

10 

303 

253 

257 

256 

x 

11 

247 

289 

x 

x 

x 

12 

316 

x 

x 

x 

x 

3

3

2

1

2

y

y

y

y







k - nieparzyste 

k - parzyste 

4

2

1

2

1

5

4

3

2

1

3

y

y

y

y

y

y











2013-05-28 

12 

23 

Średnie ruchome k-okresowe - wykres 

Wielkość przewozów firmy ABC 

(wygładzanie k nieparzyste)

0

50

100

150

200

250

300

350

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

yt

k=3

k=5

Wielkość przewozów firmy ABC 

(wygładzanie k parzyste)

0

50

100

150

200

250

300

350

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

yt

k=4

k=6

24 

Wygładzanie analityczne (liniowa funkcja trendu) 

Wygładzanie szeregu czasowego polega tutaj na oszacowaniu liniowej funkcji 

trendu: 

 

 



Nieznane parametry  a  i  b  wyliczamy na podstawie danych z szeregu 
czasowego stosując następujące wzory: 
 

 

 

 

 

 



a 

– oznacza okresowe tempo wzrostu (a>0) lub ubytku (a<0) wielkości 

badanego zjawiska 



b 

– oznacza stan zjawiska w okresie wyjściowym (tzn. dla t=0) 

b

at

y

t





ˆ

 



 

















n

t

n

t

t

t

t

y

y

t

t

a

1

2

1

t

a

y

b





2013-05-28 

13 

25 

Ocena dopasowania linii trendu 



współczynnik zbieżności (φ

2

): 

 

 

 

 

 

gdzie:      0 ≤ φ

2

 

≤ 1 

 

 

 

Im φ

2

 

jest bliższy 0, tym dopasowanie jest lepsze

. 

 



Popularniejszą miarą dopasowania jest współczynnik determinacji (R

2

): 

 

 

 

 

 

gdzie

:     0 ≤ R

2

 

≤ 1  

 

 

 

Tutaj im R

2

 

jest bliższy 1, tym dopasowanie jest lepsze. 























n

t

t

n

t

t

t

y

y

y

y

1

2

1

2

2

ˆ



Popularna interpretacja R

2

 : 

liniowa funkcja trendu w (R

2

 



100)% opisuje kształtowanie się 

badanego zjawiska. 

 

2

2

1







R

26 

Liniowa funkcja trendu - 

przykład 

t 

y

t

 

t-t

śr 

y

t

-y

śr 

(t-t

śr

)*(y

t

-y

śr

) 

(t-t

śr

)

2 

(y

t

-y

śr

)

2 

y

t

^ 

1 

121 

-5,5 

-81 

445,5 

30,25 

6561 

116 

2 

146 

-4,5 

-56 

252 

20,25 

3136 

131 

3 

132 

-3,5 

-70 

245 

12,25 

4900 

147 

4 

204 

-2,5 

2 

-5 

6,25 

4 

163 

5 

132 

-1,5 

-70 

105 

2,25 

4900 

179 

6 

212 

-0,5 

10 

-5 

0,25 

100 

194 

7 

192 

0,5 

-10 

-5 

0,25 

100 

210 

8 

211 

1,5 

9 

13,5 

2,25 

81 

226 

9 

209 

2,5 

7 

17,5 

6,25 

49 

241 

10 

303 

3,5 

101 

353,5 

12,25 

10201 

257 

11 

247 

4,5 

45 

202,5 

20,25 

2025 

273 

12 

316 

5,5 

114 

627 

30,25 

12996 

288 

78 

2425 

2246,5 

143 

4053 

5

6

12

78

,





t

202

12

2425





y

7

15

143

5

2246

,

,





a

100

5

6

7

15

202









,

,

b

100

7

15

  

  

t

  

y

t





,

ˆ

2013-05-28 

14 

27 

Liniowa funkcja trendu - 

przykład 

Wielkość przewozów firmy ABC (wygładzanie trendem)

y = 15,71x + 99,97

R

2

 = 0,7833

0

50

100

150

200

250

300

350

0

2

4

6

8

10

12

yt

Liniow y (yt)

28 

Liniowa funkcja trendu 

– ocena dopasowania 

t 

y

t

 

y

t

^ 

(y

t

-y

t

^) 

(y

t

-y

śr

) 

(y

t

-y

t

^)

2 

(y

t

-y

śr

)

2 

1 

121 

116 

5 

-81 

25 

6561 

2 

146 

131 

15 

-56 

225 

3136 

3 

132 

147 

-15 

-70 

225 

4900 

4 

204 

163 

41 

2 

1681 

4 

5 

132 

179 

-47 

-70 

2209 

4900 

6 

212 

194 

18 

10 

324 

100 

7 

192 

210 

-18 

-10 

324 

100 

8 

211 

226 

-15 

9 

225 

81 

9 

209 

241 

-32 

7 

1024 

49 

10 

303 

257 

46 

101 

2116 

10201 

11 

247 

273 

-26 

45 

676 

2025 

12 

316 

288 

28 

114 

784 

12996 

suma 

9838 

45053 

218

0

45053

9838

2

,







782

0

218

0

1

2

,

,







R

Liniowa  funkcja trendu y

t

^ = 15,7 t + 100  wygładzająca  wahania 

przypadkowe  opisuje  wielkość  przewozów  firmy ABC w 78,2% (R

2

=0,782). 

Wartość współczynnika  determinacji  R

2

 

zauważalnie  odbiega  od jedności. 

Wniosek: 
Obok wahań 
przypadkowych 
występują  również 
inne  wahania,  np. 
wahania  sezonowe 
(cykliczne). 

 























n

i

i

n

i

i

i

y

y

y

y

1

2

1

2

2

ˆ



2013-05-28 

15 

29 

Analiza wahań okresowych 



Aby wyodrębnić wahania sezonowe (cykliczne) w szeregu o n 

okresach należy podzielić ten szereg na s cykli. 



Podział musi być taki, aby w każdym cyklu występowała stała 
liczba k faz cyklu 

(długość cyklu sezonowego). 



Działania mające na celu wyodrębnienie wahań sezonowych: 



Wygładzić szereg czasowy { y

t

 } analitycznie (lub mechanicznie 

średnią ruchomą k-okresową). Na podstawie wyznaczonej funkcji 

trendu obliczyć wartości teoretyczne { y

t

^ }. 



Uwolnić szereg czasowy  od trendu.  



Gdy amplitudy wahań (różnice między wielkościami 

rzeczywistymi zmiennej a teoretycznymi z funkcji trendu są: 



w przybliżeniu takie same (wahania bezwzględnie stałe), 
 
 



zmieniają się w tym samym stosunku (wahania względnie stałe). 
 
 
. 

k

 

mod

 

t

j

  

n

1,2,...,

t

  











t

j

t

t

P

S

yˆ

y

k

 

mod

 

t

j

  

n

1,2,...,

t

  







t

j

t

t

P

*

S

*

yˆ

y

30 

Analiza wahań okresowych 



 

W tym celu należy wyliczyć wielkości: 



dla modelu addytywnego: 
 



dla modelu multiplikatywnego: 
 
 



Wielkości te zawierają wahania przypadkowe i sezonowe. 



Pozbywanie się wahań przypadkowych w wielkościach w

t

. 

W tym celu dla jednoimiennych okresów  i (tj. okresów należących do 

tej samej fazy) wyliczyć ich średnią arytmetyczną : 



dla modelu addytywnego i multiplikatywnego:   
 
 
 
 



dla każdej fazy  i=1, 2, ... ,k.  (k = 4 dla kwartałów,  k= 12 dla 

miesięcy). 



Są to tzw. surowe wskaźniki sezonowości. 

t

t

t

y

y

w



ˆ

/



t

t

t

y

y

w



ˆ





k

w

c

k

j

j

i

i









1

0

,

'

2013-05-28 

16 

31 

Analiza wahań okresowych 



Interpretacja:  

(wskaźnik surowy – 1)



100% : 

”O ile procent poziom zjawiska w danej fazie cyklu jest wyższy (znak plus) 
lub niższy (znak minus) od poziomu jaki byłby osiągnięty, gdyby nie było 
wahań cyklicznych, a rozwój następował zgodnie z trendem”. 
 



Suma takich wskaźników w

t

 

dla wszystkich faz powinna być równa:  



dla modelu addytywnego 

– 0, 



dla modelu multiplikatywnego - k. 



Jeżeli tak nie jest, to należy surowe wskaźniki sezonowości skorygować 
tzn. wyznaczyć wartość w

kor

: 

 
 
a następnie: 



dla modelu addytywnego - 

wyznaczyć różnice: 

 



dla modelu multiplikatywnego wyznaczyć iloraz: 

 

 

kor

i

i

w

c

c

'



k

c

w

i

kor





'

kor

i

i

w

c

c





'

32 

Prognoza na kolejny okres 

τ 



Dla modelu addytywnego: 

 

 

 

 



Dla modelu multiplikatywnego: 

 

 

 

 



Y

τ

 – prognoza na moment τ 



Ŷ

τ

 -  wstępna prognoza na podstawie modelu trendu, 



j = τ mod k. 

 

j

S

y

y

*

ˆ

*







j

S

y

y









ˆ

*

2013-05-28 

17 

33 

Analiza wahań okresowych - przykład 

t 

y

t

 

y

t

^ 

w

t

=y

t

/y

t

^ 

kwartał 

I 

II 

III 

IV 

1 

121 

116 

1,04 

I 

1,04 

2 

146 

131 

1,11 

II 

1,11 

3 

132 

147 

0,9 

III 

0,9 

4 

204 

163 

1,25 

IV 

1,25 

5 

132 

179 

0,74 

I 

0,74 

6 

212 

194 

1,09 

II 

1,09 

7 

192 

210 

0,91 

III 

0,91 

8 

211 

226 

0,93 

IV 

0,93 

9 

209 

241 

0,87 

I 

0,87 

10 

303 

257 

1,18 

II 

1,18 

11 

247 

273 

0,9 

III 

0,9 

12 

316 

288 

1,1 

IV 

1,1 

∑w

it

 

2,65 

3,38 

2,71 

3,28 

Surowe wskaźniki  sezonowości c

i

‘ = ∑w

it

/s  0,883 

1,127  0,903  1,093 

∑c

i

‘=  4,006 

w

kor

=∑c

i

’ /4=  

1,0015 

Czyste wskaźniki  sezonowości c

i

=c

i

’/w

kor 

0,882 

1,125  0,902  1,091 

∑c

i

= 

4,000 

s=3 
k=4 

34 

Prognozy dla kolejnych kwartałów - przykład 



Jeżeli pomnożymy w każdym okresie teoretyczny poziom zjawiska  przez 
odpowiedni dla danego okresu wskaźnik sezonowości, to otrzymamy 
teoretyczny 

poziom zjawiska uwzględniający wahania sezonowe  

t 

y

t

 

y

t

^ 

kwartał  wskaźniki  sezonowości  skorygowany  y

t

^ 

1 

121 

116 

I 

0,882 

102,3 

2 

146 

131 

II 

1,125 

147,4 

3 

132 

147 

III 

0,902 

132,5 

4 

204 

163 

IV 

1,091 

177,9 

5 

132 

179 

I 

0,882 

157,8 

6 

212 

194 

II 

1,125 

218,3 

7 

192 

210 

III 

0,902 

189,3 

8 

211 

226 

IV 

1,091 

246,6 

9 

209 

241 

I 

0,882 

212,5 

10 

303 

257 

II 

1,125 

289,2 

11 

247 

273 

III 

0,902 

246,1 

12 

316 

288 

IV 

1,091 

314,3 

Prognoza  dla kolejnych  kwartałów 

13 

304 

I 

0,882 

268,0 

14 

320 

II 

1,125 

360,1 

15 

336 

III 

0,902 

303,0 

16 

351 

IV 

1,091 

383,1 

2013-05-28 

18 

35 

Prognozy dla kolejnych kwartałów - wykres 

Wielkość przewozów firmy ABC (wygładzanie, 

sezonowość, prognozy)

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

0

2

4

6

8

10

12

14

16

yt

trend 

trend sezonow y