MO - starcie ostateczne

WSTĘP PORZĄDKUJĄCY INFORMACJE:

1. Metody rozwiązywania układów równań liniowych:

a) metody eliminacyjne

- metoda eliminacji Gaussa

- metoda Jordana

b) metody dekompozycyjne

- metoda Gaussa - Doolittle'a

- metoda Gaussa - Crouta

- metoda Choleskiego

c) metody przybliżone

- metoda iteracyjna Gaussa

- metoda Gaussa - Seidla

- metoda Nadrelaksacji

2. Metody rozwiązywania równań nieliniowych (układów równań nieliniowych):

a) metoda przeszukiwania

b) metoda połowienia kroku

c) metoda lokalnego minimum

d) metoda Monte Carlo

e) metoda siecznych

f) metoda siecznych z przyspieszeniem

g) metoda stycznych (Newtona)

1. INTERPOLACJA

- zadanie: proces numeryczny prowadzący do wyznaczenia równania funkcji

- cechy:

* jej równanie może się zmieniać między węzłami interpolacji;

* poszukiwana funkcja interpolująca (lub funkcje interpolujące) muszą przechodzić przez wszystkie

węzły interpolacji;

* stosowana zazwyczaj przy niewielkiej liczbie punktów węzłowych.

2. RODZAJE INTERPOLACJI

1) Wielomianowa Newtona (w zależności od stopnia wielomianu może być to interpolacja: liniowa,

kwadratowa, sześcienna itd.)

a) interpolacja liniowa:

* poszukiwany wielomian jest stopnia pierwszego;

* stosowana najczęściej do funkcji tablicowanych;

* stała odległość między punktami;

b) Interpolacja kwadratowa:

* tzw. wielomian drugiego rzędu;

* wybór trzech punktów leżących najbliżej siebie w jednakowych odległościach;

* położenie punktów opisane za pomocą paraboli drugiego stopnia.

c) Interpolacja wielomianowa dowolnego stopnia n

2) Wielomianowa Czybyszewa

3) Wielomianowa Lagrange'a

4) Trygonometryczna (wśród nich interpolacja szeregami Fouriera)

metody zamknięte

metody otwarte

metody dokładne

metody przybliżone

Metoda interpolacji szeregami Fouriera oraz wielomianowa Czybyszewa są metodami kolokacji.

Kolokacja - dane są wartosci y1,y2,...yn w punktach x1,x2...xn. Szukamy funkcji y=f(x) w postaci

kombinacji liniowej y=a1f1(x)+a2f2(x)+....+anfn(x) gdzie funkcje f1(x).... fn(x) są z góry załóżone

3. APROKSYMACJA

- zadanie: proces numeryczny polegający na wyznaczeniu przybliżonego przebiegu funkcji dla danego

zbioru punktów, w których znane są wartości funkcji.

- cechy:

* znaczna liczba punktów pomiarowych;

* poszukujemy jednej funkcji przybliżającej, która niekoniecznie przechodzi przez wszystkie punkty

pomiarowe;

* funkcja przybliżająca przechodzi tak aby błąd przybliżenia był jak najmniejszy.

4. SPOSOBY APROKSYMACJI ZE WZGLĘDU NA KRYTERIUM BŁĘDU
- kryterium:
* minimum sumy błędów;
* minimum wartości bezwzględnej błędów;
* minimum błędu maksymalnego (tzw. kryterium minimax);
* sumy kwadratów błędów.

5. RODZAJE APROKSYMACJI ZE WZGLĘDU NA PRZYJĘTE KRYTERIUM OSZACOWANIA BŁĘDÓW

1) Aproksymacja interpolacyjna:

* aproksymacja, w której żądamy aby funkcja aproksymująca przechodziła przez wszystkie punkty

pomiarowe (tak jak to jest w interpolacji), ale musi to być jedna funkcja dla całego zakresu punktów

pomiarowych.

2) Aproksymacja jednostajna

* jako kryterium minimalizacji błędów przyjmuje się kryterium minimax (minimum błędu

maksymalnego).

3) Metoda najmniejszych kwadratów

- najczęściej stosowany sposób aproksymacji;

- żądamy w nim spełnienia kryterium minimum sumy kwadratów błędów;

- przebieg:

* wartości funkcji y

, y

, ..., y

dane są w punktach x

,...,x

* szukamy funkcji jako kombinacji liniowej pewnych funkcji
* w odróżnieniu od interpolacji: l << n
* błąd i-tego równania,
* współczynniki a

dobieramy tak, aby błąd był jak najmniejszy

* kwadrat błędu ma być minimalny, dlatego liczymy pochodną i przyrównujemy ją do zera
* powstaje układ L równań z L niewiadomymi

6. SKĄD SIĘ WZIĘŁA NAZWA METODY NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW
- nazwa pochodzi od kryterium minimum sumy kwadratów błędów, którego spełnienia żądamy
w owej metodzie.

7. RÓŻNICE MIĘDZY INTERPOLACJĄ, A APROKSYMACJĄ

INTERPOLACJA

APROKSYMACJA

Kilka funkcji przybliżających

Jedna funkcja przybliżająca

Funkcje przechodzą przez wszystkie punkty
pomiarowe

Funkcja nie musi przechodzić przez wszystkie
punkty pomiarowe – funkcja przechodzi tak,
aby błąd przybliżenia punktów pomiarowych
był jak najmniejszy

Niewielka liczba punktów pomiarowych

Znaczna liczba punktów pomiarowych

8. METODA ELIMINACJI GAUSSA (metoda eliminacyjna rozwiązania układów liniowych)

- w podstawowym wariancie tej metody wyróżniamy dwa etapy rozwiązania:

1) eliminacja (krok w przód) -przekształcenie pełnej macierzy współczynników do macierzy trójkątnej

2) rekursja (krok wstecz) - znajdujemy wartości niewiadomych posługując się przekształconą

trójkątną macierzą współczynników

Cechy metody eliminacji Gaussa:

* może się tak zdarzyć, że dla detA 0 pewien dzielnik będzie równy "0", wówczas należy przestawić

wiersze, tak by na głównej przekątnej eliminowanego równania występował element różny od zera;

* w efekcie eliminacji wyrazy na głównej przekątnej macierzy współczynników A zawsze przyjmują

wartość jedynki;

* gdy detA=0, to zmiana wiersza nie usunie dzielenia przez zero;

* gdy macierz współczynników jest dodatnio określona, to wszystkie dzielniki

i otrzymujemy

algorytm bez przestawiania wierszy;

* liczba operacji arytmetycznych niezbędnych do rozwiązania układu "n" równań jest rzędu

9. METODA JORDANA (metoda eliminacyjna rozwiązania układów liniowych)

- rozwiązanie:

1) przekształcenie macierzy współczynników poszerzonej o wektor prawych stron w taki sposób by

już na etapie eliminacji przekształcić ją w macierz jednostkową

2) redukcja przeprowadzana w całej j-tej kolumnie

10. RÓZNICE MIĘDZY METODĄ ELIMINACJI GAUSSA, A METODĄ JORDANA:

Metoda eliminacji Gaussa

Metoda Jordana

Przekształcenie macierzy współczynników do
macierzy trójkątnej

Przekształcenie macierzy współczynników
poszerzonej o wektor prawych stron

Występuje rekursja

Nie występuje rekursja

Proces eliminacji mniej pracochłonny

Proces eliminacji bardziej pracochłonny (około
1,5 razy więcej operacji)

11. METODA GAUSSA - DOOLITTLE'A (metoda dekompozycyjna rozwiązywania układów liniowych)

- w metodzie tej dokonujemy dekompozycji macierzy A na dolną macierz trójkątna L posiadającą

jedynki na głównej przekątnej i górną trójkątną macierz U

- gdy

stosuje się przestawienie wierszy

12. METODA GAUSSA - CROUTA (metoda dekompozycyjna rozwiązywania układów liniowych)

- w metodzie tej dokonujemy dekompozycji macierzy A na dolną trójkątną macierz L i górną trójkątną

macierz U posiadającą jedynki na głównej przekątnej (odwrotnie niż w metodzie Gaussa - Doolittle'a)

- w przypadku gdy

stosuje się przestawienie wierszy

13. METODA CHOLESKIEGO (metoda dekompozycyjna rozwiązywania układów liniowych)

- metoda ta może być stosowana jedynie w przypadku, gdy macierz współczynników jest symetryczna

i dodatnio określona.

- polega na rozkładzie macierzy na dwie jednakowe macierze trójkątne =>

- zaletą tej metody jest fakt uzyskania tylko jednej macierzy trójkątnej

- wadami tej metody są:

* pojawiająca się operacja pierwiastkowania - powoduje ona znaczne wydłużenie czasu obliczeń

* ograniczenie dotyczące typu macierzy współczynników (dość oczywisty fakt)

14. CZYM RÓŻNI SIĘ METODA CHOLESKIEGO OD INNYCH METOD DEKOMPOZYCYJNYCH

- w metodach dekompozycyjnych przypuszczamy, że macierz A można wyrazić jako iloczyn macierzy
trójkątnej dolnej L i trójkątnej górnej U => A = L U :

* w metodzie Gaussa - Doolittle’a zakładamy „jedynki” na głównej przekątnej macierzy trójkątnej
dolnej L;
* w metodzie Gaussa - Crouta zakładamy „jedynki” na głównej przekątnej macierzy trójkątnej
górnej U;
Natomiast w metodzie Choleskiego macierz A jest rzeczywista, symetryczna i dodatnio określona, to
ma ona rozkład na czynniki A=S S

, gdzie S jest macierzą trójkątną o elementach dodatnich na

głównej przekątnej.

15. CZYM RÓŻNIĄ SIĘ METODY ELIMINACYJNE OD DEKOMPOZYCYJNYCH
Eliminacyjne:
Zalety: mała liczba operacji (jedna eliminacja i jedna rekursja).
Wady: zostaje naruszony wektor prawych stron [P].
Dekompozycyjne:
Zalety: W razie zmiany wektora prawych stron [P] nie trzeba zmieniać lewej strony równania.
Wady: Należy wykonać 2 rekursje (kroki wsteczne).

16. JAK SPRAWDZIĆ CZY W METODZIE DEKOMPOZYCJI DOBRZE ROZŁOŻONO MACIERZE
WSPÓŁCZYNNIKÓW?
- należy najzwyczajniej przemnożyć te dwie macierze przez siebie.

17. METODA ITERACYJNA GAUSSA (metoda przybliżona rozwiązywania układów liniowych)

Postępowanie:
1) wyznaczenie niewiadomej

2) zakładamy dowolne, wstępne wartości poszukiwanych niewiadomych
3) podstawiamy obrane w poprzednim kroku postępowania i wyznaczamy nowe wartości

4) powtarzamy krok 3 do uzyskania żądanej dokładności rozwiązania (poprzez porównanie wartości
niewiadomych w kolejnych iteracjach)

18. METODA GAUSSA - SEIDLA (metoda przybliżona rozwiązywania układów liniowych)

Postępowanie:
1) wyznaczamy niewiadomą

2) zakładamy dowolne, wstępne wartości poszukiwanych niewiadomych
3) wstawiamy do równania 1 przyjęte wartości zmiennych

wyznaczając nową wartość

niewiadomej

4) wyznaczamy wartość

na podstawie wyznaczonej w bieżącym kroku wartości

i starej

wartości

5) wyznaczamy nową wartość

na podstawie wyznaczonych w bieżącym kroku wartości

6) powtarzamy krok 3, 4 i 5 aż do uzyskania zadanej/pożądanej dokładności rozwiązania

19. METODA NADRELAKSACJI (metoda przybliżona rozwiązywania układów liniowych)

Postępowanie:

1) zakładamy dowolne wartości poszukiwanych niewiadomych

2) obliczenie poprawki ∆

oraz nową wartość

∆

3) obliczamy poprawkę ∆

oraz nową wartość

∆

4) obliczamy poprawkę ∆

oraz nową wartość

∆

5) operacje powtarzamy aż do uzyskania założonej wartości błędu maksymalnego

20. WSPÓŁCZYNNIK NADRELAKSACJI

Współczynnik nadrelaksacji – w, występuje w metodzie nadrelaksacji, która należy do metod
przybliżonych rozwiązywania układów liniowych;

0<w<2 zwykle 1,2<w<1,45

Jeżeli macierz A jest macierzą symetryczną i dodatnio określoną to zbieżność w procesie iteracji
osiąga się dla 0<w<2.
Jeżeli w=1 to metoda nadrelaksacji zmienia się w metodą Gaussa-Seidla.

21. ZALETY METOD PRZYBLIŻONYCH ROZWIĄZYWANIA UKŁADÓW LINIOWYCH

- są szczególnie proste , gdy macierz współczynników układów równań ma wiele składników
o jednakowej wielkości;
- dają duże oszczędności czasu, gdy macierz współczynników jest rzadka (dużo zer)
- są niewrażliwe na błędy w trakcie obliczeń (arytmetyczne pomyłki nie powodują uzyskania błędnego
rezultatu, a jedynie przedłużają proces iteracji)
- są szczególnie dogodne dla komputerów o małej pamięci i dla kalkulatorów

22. ILE I JAKIE STOPNIE SWOBODY MA DANY ELEMENT

Rama płaska – 2 translacje, 1 obrót → 3 stopnie swobody w węźle
Kratownica płaska – 2 translacje → 2 stopnie swobody w węźle
Ruszt – 1 translacja, 2 obroty → 3 stopnie swobody w węźle
Kratownica przestrzenna – 3 translacje → 3 stopnie swobody w węźle
Rama przestrzenna – 3 translacje, 3 obroty → 6 stopni swobody w węźle
Płyta –1 translacja, 2 obroty → 3 stopnie swobody w węźle
Powłoka – 3 translacje, 3 obroty → 6 stopni swobody w węźle
Konstrukcja pracująca w płaskim stanie naprężenia PSN – 2 translacje → 2 stopnie swobody w węźle.
Konstrukcja pracująca w płaskim stanie odkształcenia PSO– 2 translacje → 2 stopnie swobody
w węźle.
Trzeba pamiętać, że WĘZEŁ ramy płaskiej ma 3 stopnie swobody, ale ELEMENT będzie miał 6 (bo ma
węzły na obu końcach). W przypadku ramy przestrzennej węzeł ma 6 stopni swobody, a element 12.

23. MACIERZ KONSTYTUTYWNA

Macierz konstytutywna - [D] - (macierz sprężystości) jest to macierz określająca właściwości
materiału z jakiego wykonano dany element.
* izotopowy materiał – stal, beton;
* ortotropowy materiał - drewno.

24. MACIERZ SZTYWNOŚCI
- zawiera reakcje w założonych więzach od danego stanu przemieszczenia jednostkowego.
Można ją wyznaczyć metodą jednostkowych stanów przemieszczeń. W układach statycznie
niewyznaczalnych bardziej opłacalne jest wyznaczenie macierzy podatności i odwracając ją uzyskać
macierz sztywności układu .

W układach geometrycznie niezmiennych, wyznacznik z macierzy sztywności [K] jest różny od

zera;

Macierz sztywności [K]musi być macierzą symetryczną – wynika to z tw. o wzajemności

reakcji;

W układzie lokalnym (tzn. dla danego pręta) macierz sztywności [K] jest macierzą osobliwą;

W układzie globalnym macierz sztywności jest nieosobliwa => detA 0

Macierz sztywności dowolnego elementu prętowego, w której nie uwzględniamy warunków

brzegowych jest macierzą osobliwą.

Macierz sztywności elementu kratowego – macierz ta zawiera w każdym wyrazie element

EA/l

Macierz sztywności elementu belkowego – przemieszczenia w dowolnym punkcie można

zapisać wielomianem 3 stopnia. Macierz ta zawiera w każdym wyrazie element EI/l

25. MACIERZ PODATNOŚCI
- zawiera przemieszczenia od danego jednostkowego obciążenia.

Można ją wyznaczyć metodą jednostkowych stanów obciążeń i skorzystać z zależności macierzy

odwrotne F

-1

= K , przy tym że F musi być macierzą nieosobliwą.

Symetria macierzy podatności wynika z twierdzenia o wzajemności przemieszczeń.

Macierz podatności [F] jest osobliwa, jeśli pewne przemieszczenia δi należące do wektora

{∆} są liniowo zależne

26. CZY ELEMENTY MACIERZY SZTYWNOŚCI PRĘTA KRATOWEGO ZWIĘKSZAJĄ SIĘ, JEŚLI

ZWIĘKSZYMY POLE PRZEKROJU?

TAK, ponieważ macierz sztywności elementu kratowego, to macierz, która zawiera w każdym wyrazie
element EA/l - pole przekroju A znajduje się w liczniku każdego elementu tej macierzy, więc jeśli pole
przekroju będzie większe, to elementy macierzy sztywności pręta kratowego zwiększą się.

27. CZY POD WPŁYWEM TEMPERATURY MACIERZ SZTYWNOŚCI/SPRĘŻYSTOŚCI ZMIENI SIĘ?

TAK, ponieważ powoduje ona zmianę modułu Younga E.

28. CZY MACIERZ SZTYWNOŚCI ZALEŻY OD DŁUGOŚCI PRĘTA?
TAK, ponieważ macierz sztywności, to macierz, która zawiera w każdym wyrazie element 1/l
gdzie  l to długość pręta. Znajduje się ona w mianowniku każdego elementu tej macierzy, więc jeśli
długość pręta  będzie większa, to elementy macierzy sztywności pręta kratowego zmniejszą się.

29. CZY MACIERZ SZTYWNOŚCI ZALEŻY OD PRZEKROJU POPRZECZNEGO?
TAK. W kratownicy bezpośrednio zależy od A. Natomiast w normalnej belce, macierz sztywności
zależy od momentu bezwładności, który zależy od A. Elementy te są w liczniku, zatem wraz z ich
wzrostem rosną też elementy macierzy sztywności.

30. CO TO JEST I KIEDY STOSUJEMY KONDENSACJĘ MACIERZY SZTYWNOŚCI?

Kondensacja: eliminuje nieistotne, niezerowe przemieszczenia, którym odpowiadają zerowe wartości
sił przywęzłowych.
Kondensacja jest to po prostu redukcja (kondensacja) stopni swobody / proces uwzględnienia
przegubów wewnętrznych.
Np. Jeżeli interesuje wyłącznie jedno przemieszczenie w ogromnym układzie to zamiast za każdym
razem obliczać wielką macierz sztywności, kondensujemy ją do jednego stopnia swobody i dostajemy
K [1x1].

31. JAKA JEST RÓŻNICA MIĘDZY KONDENSACJĄ, A MODYFIKACJĄ?
- kondensacja - uwzględnienie przegubu dotyczy węzłów wewnętrznych
- modyfikacja - dotyczy uwzględnienia przegubu na podporze

32. KIEDY I W JAKIM CELU WYKONUJE SIĘ MODYFIKACJĘ MACIERZY SZTYWNOŚCI?

Modyfikacja macierzy sztywności (uwzględniamy warunek brzegowy).
Modyfikacja polega na usunięciu wierszy i kolumn dotyczących tych stopni swobody, w których
przemieszczenia są równe 0 .
Jeżeli w wyniku modyfikacji utworzymy pręt, który jest statycznie wyznaczalny lub statycznie
niewyznaczalny to jego macierz sztywności przestaje być macierzą osobliwą.

33. PROCES ZMIANY MACIERZY SZTYWNOŚCI DLA BELKI OBUSTRONNIE UTWIERDZONEJ W BELKĘ

PRZEGUBOWO UTWIERDZONĄ

Proces ten to kondensacja macierzy sztywności - czyli proces uwzględniania tego, że w niektórych
stopniach swobody siły są zerowe.

34. MACIERZ ALOKACJI

[A] – macierz alokacji definiuje zależność między lokalnymi przemieszczeniami przywęzłowymi,
a przemieszczeniami globalnymi.
Macierz alokacji zawiera wektory alokacji ściśle związane z macierzami sztywności elementów.
Wektor alokacji zawiera nr globalnych stopni swobody. Dzięki nim jesteśmy w stanie
przyporządkować wyrazy macierzy sztywności elementu do globalnej macierzy sztywności.

35. WEKTOR ALOKACJI
Wektor alokacji - wektor zawierający "adresy" poszczególnych przemieszczeń lokalnych; wiąże ze
sobą przemieszczenia.

36. MACIERZ TRANSFORMACJI (CO TO JEST I KIEDY SIĘ JĄ STOSUJE)

Macierz transformacji jest macierzą ortogonalną
[T]

= [T]

-1

Mając macierz sztywności w układzie lokalnym, znajdziemy macierz sztywności w układzie globalnym
przez przekształcenie przy pomocy macierzy transformacji.

37. AGREGACJA

Agregacja – składanie macierzy sztywności układu z macierzy sztywności poszczególnych elementów.
Budujemy macierz sztywności [K] umieszczając poszczególne bloki macierzy sztywności elementów w
odpowiednich miejscach macierzy sztywności. W razie konieczności, kiedy bloki nakładają się na
siebie to dodajemy je do siebie.
W podobny sposób składamy wektor sił przywęzłowych od obciążeń przęsłowych – ten proces
nazywamy procesem agregacji – prowadzi on do otrzymania globalnej macierzy sztywności [K] i
globalnego wektora sil węzłowych {P}.

38. PROCES SKŁADANIA MACIERZY SZTYWNOŚCI UKŁADU Z MACIERZY SZTYWNOŚCI

POSZCZEGÓLNYCH ELEMENTÓW

- proces ten nazywamy AGREGACJĄ.

39. JAK UWZGLĘDNIAMY PODPORY SPRĘŻYSTE W GLOBALNEJ MACIERZY SZTYWNOŚCI?

Jeżeli w danym elemencie występuje podpora sprężysta na danym stopniu swobody, to

uwzględnienie tej podpory uzyskujemy poprzez dodatnie

do wyrazu na głównej przekątnej

macierzy sztywności w wierszu i kolumnie odpowiadającej danemu stopniowi swobody.

??? 40. SZTYWNOŚĆ

- siła, która jest potrzebna do uzyskania jednostkowego wydłużenia bezwzględnego

??? 41. PODATNOŚĆ

- przemieszczenie na skutek działania jednostkowej siły

42. PSN - JAKIE SĄ ZMIENNE SKŁADOWE WEKTORA PRZEMIESZCZEŃ WĘZŁOWYCH?

Konstrukcja pracująca w płaskim stanie naprężenia – 2 translacje (UX, UZ – przemieszczenia wzdłuż
osi X i Z) → 2 stopnie swobody w węźle.

43. ROZKŁAD NAPRĘŻEŃ PO GRUBOŚCI W PSN (POKAZAĆ ZA POMOCĄ TRÓJKĄTA).
Po grubości rozkład jest stały. Ponadto w całym elemencie naprężenie jest stałe zarówno na
wysokości jak i długości.
Programy obliczeniowe np. Robot stosują uśrednianie naprężeń z sąsiednich elementów w węzłach
(stąd mamy ładne kolorowe mapy).
Dla elementu (w PSN i PSO) trójkątnego z 3 węzłami naprężenia w każdym punkcie elementu są stałe.

44. JAK OBLICZYĆ ODKSZTAŁCENIA W ŚRODKU ELEMENTU TRÓJKĄTNEGO, GDY MAMY
ODKSZTAŁCENIA W WĘZŁACH?
Dla elementu (w PSN i PSO) trójkątnego z 3 węzłami odkształcenia w każdym punkcie elementu są
stałe.

45. JAKA JEST RÓŻNICA W OBLICZENIACH PSN I PSO W METODZIE ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH
DLA ELEMENTÓW TRÓJKĄTNYCH Z TRZEMA WĘZŁAMI?
PSN – płaski stan naprężenia
PSO – płaski stan odkształcenia
Różne wektory odkształceń początkowych {ε

}

Różnica zachodzi także na etapie budowania zależności, równań konstytutywnych, zarówno dla
elementów izotropowych (izotopowy materiał – stal, beton), jak i dla ortotropowych (ortotropowy
materiał - drewno) → czyli występuje różnica przy zapisie macierzy sprężystości (konstytutywnej) -
[D].
Należy jednak pamiętać, że dla elementu w PSN i PSO trójkątnego z 3 węzłami naprężenia w każdym
punkcie elementu są stałe, a siły masowe dzielą się równomiernie na wszystkie węzły tego elementu.
Licząc w PSO przyjmuje się jednostkowa grubość (grubość nie ma znaczenia), w przeciwieństwie do
PSN, gdzie zawsze grubość jest podana.

46. FUNKCJA KSZTAŁTU

Kryteria doboru:
1. Funkcja kształtu musi być dobrana tak, aby nie pozwoliła na wytworzenie się stanu napięcia w
elemencie, jeżeli przemieszczenia węzłów powodują jedynie ruch elementu jako ciała sztywnego.
2. Funkcja kształtu musi być dobrana tak, aby przy zgodności przemieszczeń węzłów z warunkiem
stałych odkształceń można było te stałe odkształcenia otrzymać.
3. Funkcje kształtu muszą być dobrane tak, aby odkształcenia na granicach między sąsiednimi
elementami były skończone (chociaż mogą nie być określone).
Gdzie występuje:
Występuje w Metodzie Elementów Skończonych, która rozpoczęła swój żywot w latach 60.
Co opisuje:
Funkcja kształtu opisuje zależność między przemieszczeniami wewnątrz elementu,
a przemieszczeniami węzłów.

47. METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH (MES)

* MES-metoda elementów skończonych, powstała w latach 60. Służy do rozwiązywania równań
różniczkowych.
* Jest ona metodą przybliżoną (wyniki są przybliżone i trzeba je sprawdzić).
* Stosowana dla prętów staje się metodą dokładną.
* Metoda ta polega na podziale kontinuum na części i ich rozpatrywanie.
* Elementy są połączone w węzłach, ale nie są połączone w sposób ciągły.
5 etapów rozwiązywania problemu stateczności w MES:
1) Myślowy podział kontinuum na pewną liczbę elementów skończonych
2) Zakładamy iż elementy te połączone są ze sobą w skończonej liczbie punktów znajdujących się na
ich obwodach - punkty te nazywamy węzłami.
Przemieszczenia tych punktów stanowić będą podstawowy układ niewiadomych.
3) Dobranie odpowiednich funkcji określających stan przemieszczeń wewnątrz każdego elementu
skończonego.
4) Funkcje przemieszczeń (funkcje kształtu) definiują jednoznacznie stan odkształcenia wewnątrz
elementów.
Odkształcenia te wraz z odkształceniami początkowymi i własnościami sprężystymi materiału
określają stan naprężeń w elemencie.
5) Określony zostaje układ sił skupionych w węzłach równoważących napięcia na brzegach
elementów oraz wszystkie inne siły.

48. CZY ELEMENT TRÓJKĄTNY W PSO MA STAŁY WEKTOR PRZEMIESZCZEŃ?
Nie, bo wektor przemieszczeń węzłowych zależy od funkcji kształtu N, która z kolei jest różna dla
różnych węzłów wiec wektor q nie jest stały.

49. STOPIEŃ SWOBODY
Liczba niezależnych przemieszczeń dla typowego niepodpartego węzła w zależności od rodzaju
konstrukcji.

50. METODY ROZWIĄZYWANIA UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH (RÓWNAŃ NIELINIOWYCH)

1) Metoda przeszukiwania
- zakładamy, że poszukiwany pierwiastek znajduje się w przedziale <a,b>. Dzielimy go na "n" równych
podprzedziałów i obliczamy wartości funkcji w punktach podziału. Poszukujemy takich dwóch
odciętych, dla których wartość funkcji ma przeciwne znaki. Pierwiastek może znajdować się w tym
podprzedziale.
Zalety:
- prostota rozwiązania
Wady:
- krok przeszukiwania może okazać się zbyt duży, co może skutkować pominięciem jakiegoś
pierwiastka
- nie można znaleźć pierwiastków, w których funkcja osiąga minimum lub maksimum
- zwiększenie dokładności wymaga zmniejszenia kroku przeszukiwania, co wydłuża czas obliczeń

2) Metoda połowienia kroku
- stosuje się ją zwykle jako uzupełnienie metody przeszukiwania. Po określeniu przedziału, w którym
znajduje się pierwiastek, dzielimy ten przedział na dwie części i sprawdzamy, w której z nich funkcja
zmienia znak. Przyjmujemy, że pierwiastek znajduje się w tym podprzedziale.
Zalety:
- w porównaniu z metodą przeszukiwania, mamy tu mniejszą liczbę kroków potrzebnych do
osiągnięcia żądanej dokładności

3) Metoda lokalnego minimum
- w metodzie tej poszukuje się punktu, w którym funkcja osiąga minimum.
Dany przedział <a,b> przeszukujemy z krokiem o długości h. Jeśli funkcja maleje, to posuwamy się
dalej w tym samym kierunku z tym samym krokiem, jeśli nie, zawracamy i połowimy długość kroku do
wartości h/2.

4) Metoda Monte Carlo
- punkty, w których obliczamy wartości funkcji w przyjętym przedziale <a,b> wybiera się losowo w
seriach po "n". Po każdym losowaniu zapamiętuje się najmniejszą wartość funkcji oraz wartość
odpowiadającej jej zmiennej "x". W ten sposób po większej liczbie losowań znajduje się minimum
funkcji.
Zalety:
- stwarza szanse wylosowania punktów, które mogłyby zostać pominięte przy przeszukiwaniu
systematycznym;
- daje szanse wylosowania minimum globalnego (nie tylko lokalnego);
- metoda ta zalecana jest dla funkcji nieregularnych, gdyż nie bierze pod uwagę zachowania się
funkcji w otoczeniu punktu
Wady:
- czasochłonność

5) Metoda siecznych
- w metodzie tej zastępujemy wykres funkcji na odcinku <a,b> przez wielomian pierwszego stopnia,
następnie wyznaczamy pierwiastek.
Za lepsze przybliżenie wartości pierwiastka przyjmuje się punkt, w którym wielomian pierwszego
stopnia ma wartość zerową.
Jeżeli dokładność nie jest wystarczająca przyjmuje się punkt "x" jako nową granicę przedziału.

6) Metoda siecznych z przyspieszeniem
- na początku wyznaczamy wartość funkcji dla dwóch dowolnych wartości zmiennej niezależnej "x".
Na tej podstawie obliczamy kolejne przybliżone rozwiązania.
* metoda ta nie zawsze jest zbieżna, aczkolwiek jeśli jest, to w odróżnieniu od metody siecznych, jest
zbieżna szybciej.

7) Metoda stycznych (Newtona)
- metoda ta znacznie szybciej prowadzi do obliczenia pierwiastka niż metoda siecznych, aczkolwiek
wymaga ona zgrubnego oszacowania pierwszego przybliżenia, co nie zawsze jest łatwe.
Dodatkowo poza znajomością samej funkcji musimy znać też jej pochodną.