Informatyka Stosowana, Rok 1.

Egzamin z Matematyki, 29 I 2007.

ZADANIA

1. Dana jest funkcja f : x 7→ arcsin

1

1−x

.

(a) Wyznacz dziedzinę funkcji f ;

(b) Wyznacz równania wszystkich asymptot wykresu funkcji f ;

(c) Oblicz f

0

(−1).

2. Oblicz (o ile istnieją) granice następujących ciągów:

(a) a

n

=



n

3

+4n

n+n

3



n

3

−1

(b) b

n

=

√

4n

2

+ n − 2n

(c) c

n

= (1 + 2

n

+ 4

n+1

)

1

n

(d) d

n

=

n

n+1

cos

nπ

2

3. Wyznacz ekstrema funkcji f : x 7→ (x

2

− 2x) ln x −

3
2

x

2

+ 4x. Podaj przedziały monotonicz-

ności funkcji f .

4.

(a) Oblicz długość łuku krzywej y = 1 − ln(sin x) dla x ∈ (0,

π

4

).

(b) Oblicz objętość bryły powstałej przez obrót krzywej o równaniu y =

4

√

8 − 2x − x

2

wo-

kół osi O

x

.

5. Znajdź rzut stycznej do wykresu krzywej Γ :











x =

1

cos t

y = ctgt

z = t

2

w punkcie A = (2, −

√

3

3

,

π

2

9

)

na płaszczyznę styczną do wykresu powierzchni S : e

x
y

+ z arccos xy

2

z

2

= 1 w punkcie

B = (0, 1, 0).

6. Znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji f :

f (x, y) = x

2

+ y

2

+ 8y − 6x w zbiorze A =

(x, y) : x

2

+ y

2

6 100, y > 0

.

Informatyka Stosowana, Rok 1.

Egzamin z Matematyki, 29 I 2007.

TEORIA

1.

(a) Podaj definicję pochodnej funkcji f w punkcie x

0

.

(b) Stosując tę definicję oblicz f

0

(2), gdy f (x) =

3

√

x.

2.

(a) Udowodnij, że dla x > 0:

arctg

1

x

+ arctgx =

π

2

.

(b) Sformułuj i udowodnij twierdzenie, z którego korzystałeś.

3.

(a) Podaj definicję

+∞

R

−∞

f (x)dx.

(b) Oblicz

+∞

R

−∞

dx

2x

2

+ 4x + 4

4. Stosując odpowiednią definicję oblicz poniższe granice lub uzasadnij, że nie istnieją:

(a)

lim

(x,y)→(0,0)

x

2

y

x

4

+ y

3

(b)

lim

(x,y)→(0,0)

(x + y) sin

1

x

sin

1
y

5. Sformułuj i udowodnij twierdzenie całkowe o wartości średniej.