[
GEOMETRIA ANALITYCZNA – WYKŁAD 10
]
10 maja 2010
Stron
a
1
Uzasadnienie, że prosta styczna do okręgu 𝑥
2
+ 𝑦
2
= 𝑟
2
w punkcie 𝑃
0
= 𝑥
0
, 𝑦
0
ma równanie:
𝑥
0
𝑥 + 𝑦
0
𝑦 = 𝑟
2
1) Równanie 𝑥
0
𝑥 + 𝑦
0
𝑦 = 𝑟
2
jest równaniem prostej gdy zachodzi warunek 𝑥
0
2
+ 𝑦
0
2
≠ 0. Jest to
spełnione ponieważ mamy 𝑥
0
2
+ 𝑦
0
2
= 𝑟
2
> 0.
2) Punkt 𝑃
0
leży na prostej o równaniu 𝑥
0
𝑥 + 𝑦
0
𝑦 = 𝑟
2
ponieważ 𝑥
0
𝑥
0
+ 𝑦
0
𝑦
0
= 𝑥
0
2
+ 𝑦
0
2
= 𝑟
2
(bo 𝑃
0
spełnia równanie okręgu).
3) Prosta przecina okrąg tylko w jednym punkcie (jest to punkt 𝑃
0
), ponieważ zachodzi:
𝑥
2
+ 𝑦
2
= 𝑟
2
𝑥
0
𝑥 + 𝑦
0
𝑦 = 𝑟
2
Układ równao ma dokładnie jedno
rozwiązanie
𝑦 =
1
𝑦
0
𝑟
2
− 𝑥
0
𝑥 𝑔𝑑𝑦 𝑦
0
≠ 0
𝑥
2
+
1
𝑦
0
2
𝑟
4
− 2𝑟
2
𝑥
0
𝑥 + 𝑥
0
2
𝑥
2
= 𝑟
2
𝑥
2
1 +
𝑥
0
2
𝑦
0
2
+ 𝑥 ∙
−2𝑟
2
𝑥
0
𝑦
0
2
+
𝑟
4
𝑦
0
2
− 𝑟
2
= 0
∆=
4𝑟
4
𝑥
0
2
𝑦
0
4
− 4 ∙
𝑦
0
2
+ 𝑥
0
2
𝑦
0
2
∙
𝑟
4
− 𝑟
2
𝑦
0
2
𝑦
0
2
= 4
𝑟
4
𝑥
0
2
− 𝑟
2
∙ 𝑟
2
𝑟
2
− 𝑦
0
2
𝑦
0
4
=
= 4
𝑟
4
𝑥
0
2
− 𝑟
2
+ 𝑦
0
2
𝑦
0
4
= 0
Układ równao ma dokładnie jedno rozwiązanie
∎
[
GEOMETRIA ANALITYCZNA – WYKŁAD 10
]
10 maja 2010
Stron
a
2
Okrąg: 𝑥
2
+ 𝑦
2
= 𝑟
2
Środek: 𝑆 = 0, 0
Prosta styczna: 𝑙
𝑠𝑡
: 𝑥
0
𝑥 + 𝑦
0
𝑦 = 𝑟
2
𝑁
= 𝑥
0
𝑦
0
⊥ 𝑙
𝑠𝑡
Zauważmy, że 𝑆𝑃
0
= 𝑥
0
𝑦
0
Ponadto : 𝑆𝑃
0
= 𝑟
Skoro 𝑆𝑃
0
= 𝑁
⇒ 𝑆𝑃
0
⊥ 𝑙
𝑠𝑡
Prosta normalna do okręgu w punkcie 𝑃
0
jest to prosta przechodząca przez punkt 𝑃
0
i prostopadła
do stycznej w tym punkcie.
Zadanie.
Napisad równanie okręgu o środku 𝑆 = 5 −3 , który jest styczny do prostej 𝑙: 4𝑥 + 3𝑦 − 2 = 0.
𝑑 𝑆,
𝑙 = 𝑟
𝑟 =
4 ∙ 5 − 3 ∙ 3 − 2
16 + 9
=
9
5
Równanie okręgu:
𝑥 − 5
2
+ 𝑦 + 3
2
=
81
25
[
GEOMETRIA ANALITYCZNA – WYKŁAD 10
]
10 maja 2010
Stron
a
3
ELIPSA, HIPERBOLA, PARABOLA - krzywe stożkowe.
Jeżeli powierzchnię zwaną stożkiem obrotowym przetniemy płaszczyzną nieprzechodzącą przez
wierzchołek stożka to otrzymamy pewną krzywą zwaną krzywą stożkową, jest to albo okrąg albo
elipsa albo hiperbola, albo parabola.
ELIPSA
HIPERBOLA
Jest to miejsce geometryczne punktu 𝑃 którego odległości od dwóch ustalonych punktów 𝐹 𝑖 𝐹′
zwanych ogniskami spełniają warunek:
𝑃𝐹
+ 𝑃𝐹′
= 2𝑎
𝑃𝐹
− 𝑃𝐹′
= 2𝑎
gdzie 2𝑎 jest stałą dodatnią
większą
mniejszą
niż odległośd ognisk.
𝐹𝐹′
- ogniskowa (długośd odcinka pomiędzy ogniskami) (liczba)
𝐹𝐹′
- ogniskowa jako odcinek (pojecie geometryczne)
Niech 𝐹𝐹′
= 2𝑐
2𝑐 - ogniskowa dla elipsy jest 𝑎 > 𝑐
𝑐 - półogniskowa
dla hiperboli jest 𝑎 < 𝑐
𝑃𝐹
𝑃𝐹′
- promienie wodzące punktu 𝑃.
[
GEOMETRIA ANALITYCZNA – WYKŁAD 10
]
10 maja 2010
Stron
a
4
Parabola – jest to miejsce geometryczne punktu 𝑃 którego odległości od ustalonego punktu 𝐹
zwanego ogniskiem i od ustalonej prostej k (nie przechodzącej przez 𝐹) zwanej kierownicą, są równe
tzn.
𝑃𝐹
= 𝑑 𝑃, 𝑘
Zapiszemy równania krzywych stożkowych w odpowiednio dobranym układzie współrzędnych.
Dla elipsy i hiperboli układ współrzędnych dobierzemy tak aby ogniska leżały na osi ox symetrycznie
względem punktu 0, 0 .
Wówczas dla punktu 𝑃 o współrzędnych 𝑥
𝑦 leżącego na elipsie lub hiperboli otrzymujemy na
podstawie definicji następujący (przekształcony już) warunek:
𝑎
2
− 𝑐
2
∙ 𝑥
2
+ 𝑎
2
𝑦
2
= 𝑎
2
𝑎
2
− 𝑐
2
Dla elipsy mamy:
𝑎 > 𝑐 > 0 ⇒ 𝑎
2
− 𝑐
2
> 0 𝑝𝑟𝑧𝑦𝑗𝑚𝑖𝑗𝑚𝑦 𝑎
2
− 𝑐
2
= 𝑏
2
Zatem otrzymamy:
𝑥
2
𝑎
2
+
𝑦
2
𝑏
2
= 1
Równanie osiowe elipsy.
Gdy 𝑎 = 𝑏 to otrzymamy równanie okręgu
(szczególny przypadek elipsy).
Dla okręgu ogniskowa redukuje się do 0.
Wierzchołki elipsy: 𝑎,
0 , −𝑎, 0 , 0, 𝑏 , 0, −𝑏
2𝑎 – oś wielka (najdłuższa średnica)
2𝑏 - oś mała (najkrótsza średnica)
0, 0 - środek elipsy (środek symetrii)
[
GEOMETRIA ANALITYCZNA – WYKŁAD 10
]
10 maja 2010
Stron
a
5
Dla hiperboli mamy:
𝑐 > 𝑎 > 0 ⇒ 𝑎
2
− 𝑐
2
< 0 𝑝𝑟𝑧𝑦𝑗𝑚𝑖𝑗𝑚𝑦 𝑎
2
− 𝑐
2
= −𝑏
2
Zatem otrzymujemy:
𝑥
2
𝑎
2
−
𝑦
2
𝑏
2
= 1
Równanie osiowe hiperboli.
Gdy 𝑎 = 𝑏 to hiperbolę nazywamy równo
osiową równanie ma wtedy postad:
𝑥
2
− 𝑦
2
= 𝑎
2
Wierzchołki hiperboli: 𝑎,
0 , −𝑎, 0
2𝑎 - oś rzeczywista (najkrótsza)
2𝑏 - oś urojona (najdłuższa)
𝑃 = 0, 0 - środek hiperboli
Asymptoty hiperboli:
𝑦 =
𝑏
𝑎
𝑥
[
GEOMETRIA ANALITYCZNA – WYKŁAD 10
]
10 maja 2010
Stron
a
6
Dla paraboli układ współrzędnych dobierzemy tak aby ognisko leżało na dodatniej części osi ox a
kierownica była prostopadła do osi ox przy czym jej przecięcie z osią ox ma byd punktem
symetrycznym do ogniska względem punktu 0, 0 .
Oznaczmy odległośd punktu 𝑑 𝐹,
𝑘 = 𝑝 𝑔𝑑𝑧𝑖𝑒 𝑝 > 0 .
Równanie kierownicy k:
𝑥 = −
1
2
𝑝
Wówczas punkt 𝑃 = 𝑥
𝑦 leżący na paraboli spełnia warunek:
𝑦
2
= 2𝑝𝑥
Równanie wierzchołkowe paraboli
Wierzchołek paraboli: 0, 0
Oś ox – oś paraboli
p – półparametr
2p – parametr paraboli
𝑝 > 0 𝑝 =
𝑏
2
𝑎
[
GEOMETRIA ANALITYCZNA – WYKŁAD 10
]
10 maja 2010
Stron
a
7
Parametr krzywej stożkowej jest to liczba 2p która jest równa długości cięciwy przechodzącej przez
ognisko i prostopadłej do odpowiedniej osi:
Dla elipsy: do osi wielkiej
Dla hiperboli: do osi rzeczywistej
Dla paraboli: do osi paraboli
Zatem otrzymujemy
2𝑝 = 2
𝑏
2
𝑎
Dla elipsy i hiperboli natomiast dla paraboli mamy 2p.
Mimośród krzywej stożkowej oznaczamy symbolem e i wynosi:
𝑐
𝑎
< 1 𝑑𝑙𝑎 𝑒𝑙𝑖𝑝𝑠𝑦
𝑐
𝑎
> 1 𝑑𝑙𝑎 ℎ𝑖𝑝𝑒𝑟𝑏𝑜𝑙𝑖
1 𝑑𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑏𝑜𝑙𝑖