PowerPoint Presentation

Związki pomiędzy modelami

Poddamy obecnie przekształceniu Laplace’a macierzowe równania modelu układu

w przestrzeni stanów. Skorzystamy tu z twierdzenia o różniczkowaniu

(transformacie pochodnej). Przyjmiemy następujący warunek początkowy:

x(0)=x0.

Uporządkujmy równanie przez przeniesienie składników z transformatą X(s) na

jedną stronę równani

Ostateczne transformata X(s) wyniesie:

gdzie: I – macierz jednostkowa.

Jeśli wstawimy powyższą transformatę do równania odpowiedzi, to transformata

odpowiedzi układu będzie miała postać:

Transformata odpowiedzi Y(s) układu składa się z dwóch składników. Pierwszy

składnik generowany jest przez niezerowe warunki początkowe:. Drugi składnik,

to pobudzenie układu przez sygnał wejściowy U(s).

( )

s s

( )

s s

= +

( )

[

]

[

]

( )

I A x

I A BU

( )

[

]

[

]

{

}

( )

C I A x

C I A B D U

Macierz transmitancji

• Dla zerowych warunków początkowych mamy:

• ,

• gdzie:

• .

• Macierz nazywana jest macierzą transmitancji układu i wiąże ona ze

sobą transformaty sygnałów wejściowych i sygnałów wyjściowych przy

zerowych warunkach początkowych. Ponieważ wektor ma wymiar , a

wektor ma wymiar , to zgodnie z zasadami rachunku macierzowego

macierz będzie miała wymiar , czyli:

• , natomiast:

. Macierz transmitancji przetwarza sygnały wejściowe na sygnały

wyjściowe .

( )

[

]

( )

C I A B D

( )

�

L
L
L

( )

Y s

�

( )

U s

�

Oscylator-cd

• Równanie różniczkowe drugiego rzędu zawiera dwa

elementy całkujące. Zdefiniujmy zmienne stanu i
jako:

• wówczas otrzymamy:

• lub:

• Równanie wyjść jest określone zależnością:

Równania te mogą zostać zapisane w postaci

wektorowo-macierzowej jako:

( )

( ), ( )

( )

x t

y t

x t

y t

= &

y x

= =

& &

(

)

ky by

0
1

�

� �

�

� �

�

� �

�

� �

�

� �

[

]

1 0

� �

Oscylator

• Równanie (e) jest równaniem stanu, a równanie (f) jest

równaniem wyjścia układu. Równania te można zapisać
w standardowej postaci:

• gdzie:
• .
• Mając możemy wyznaczyć . A więc po podstawieniu:

•

x Ax Bu

Cx Du

[

]

1 0 ,

�

� �

�

� �

�

� �

�

� �

�

� �

[

]

1 0

( ) 1 0

0 1

G s

�

� � �

�

� � �

�

� �

� � �

�

� � �

�

� � �

�

( )

(

)

G s

C I A B D

Oscylator

•

W pierwszej kolejności należy wyznaczyć

macierz odwrotną. Jeśli oznaczymy

•

to tok postępowania jest następujący:

•

wyznaczamy macierz dopełnień

algebraicznych: ;

•

wyznaczamy macierz dołączoną, która

jest transponowaną macierzą dopełnień

algebraicznych: ;

•

wyznaczamy macierz odwrotną z

równania: .

•

Wobec tego szukana macierz odwrotna

jest równa:

•

Po podstawieniu znalezionej do równania

otrzymujemy:

•

czyli ostatecznie transmitancja układu

ma postać:

•

�

( )

�

=�

�

det( )

�

[

]

( )

1 0

G s

�

� �

�

� �

�

� �

�

� �

�

( )

G s

bs k

+ +

Diagonalizacja macierzy stanu

•

Rozważymy transformację jednorodnego równania stanu:

•

do postaci diagonalnej lub postaci kanonicznej Jordana. W tym celu

wprowadzimy nowy wektor stanu , który uzyskamy przez

transformację liniową (obrót) pierwotnego (wynikającego na przykład

z praw fizyki) wektora stanu, z wykorzystaniem nieosobliwej

kwadratowej macierzy transformacji (obrotu) :

•

Ponieważ macierz jest nieosobliwa, to mamy również transformację

odwrotną:

•

Podstawimy obecnie pierwsze równanie transformacji

•

do jednorodnego macierzowego równania stanu:

•

Lewostronne pomnożenie powyższego związku przez macierz

odwrotną do macierzy transformacji prowadzi do nowego równania

stanu:

•

Poprzez odpowiedni wybór macierzy transformacji możemy otrzymać

nową macierz stanu w postaci diagonalnej :

•

( )

x t

( )

0 =

( )

ATx

( )

T ATx

�

Λ T AT

K
K

( )

-1

T x

Diagonalizacja-cd

•

Jak wiadomo z kursu matematyki wartości własne macierzy określimy badając

macierz, gdzie s jest zmienną zespoloną, a jest macierzą jednostkową. Porównanie do

zera wyznacznika tej macierzy:

•

pozwala wyliczyć wartości własne macierzy stanu , które oznaczamy przez pi, Jednym

słowem, wartości własne są miejscami zerowymi powyższego wielomianu

charakterystycznego . Wielomian charakterystyczny przyrównany do zera jest

równaniem charakterystycznym.

•

Obecnie pokażemy, że macierz stanu jak i transformowana macierz stanu (dla

dowolnego ) ma te same wartości własne. Tym samym wartości własne są wielkością

charakteryzującą układ i nie zależą od jego opisu matematycznego. Niech

•

Równanie charakterystyczne ma teraz postać:

•

W powyższym przekształceniu wykorzystano twierdzenie, że wyznacznik z iloczynu

macierzy równy jest iloczynowi wyznaczników poszczególnych macierzy. Zgodnie z

rachunkiem macierzowym wyznacznik macierzy odwrotnej jest odwrotnością

wyznacznika macierzy , czyli:. Tym samym wykazaliśmy, że macierz i macierz mają te

same wartości własne.















D= -

I T AT

I A T

(

)

det

= -

I A

Wektory i wartości własne

•

Macierz T diagonalizującą macierz stanu , nazywamy

macierzą modalną lub odprzęgającą, gdyż po transformacji

jednorodne macierzowe równanie stanu rozpada się na n

niezależnych równań, z których każde opisuje jedną modę

(postać). Zbudowana jest z wektorów własnych macierzy ,

które oznaczymy przez ν

. Celem dowodu przekształcamy:

•

Po wymnożeniu macierzy po prawej stronie, otrzymamy:

•

•
•

Zgodnie z przyjętym założeniem, przyjmujemy, że kolumny

macierzy są wektorami własnymi. Tym samym i-ty wektor

własny ma postać:

•

Z reguł mnożenia macierzy, można zauważyć, że każda

kolumna macierzy po lewej stronie równania jest

reprezentowana przez macierz kolumnową:

•
•

Jeśli się porówna kolejne kolumny równania i wykorzysta

powyższe związki, to otrzyma się układ n równań, które

pozwalają na obliczanie wektorów :

•

, .

•

Równania powyższe można zapisać w innej postaci:

•

, .

�

AT T

K
K























1 



1 











Wektory i wartości własne-cd

•

Nietrywialne rozwiązanie ostatnich równań ze względu na wektory własne znajdziemy w

przypadku, gdy:

•

.Warunek ten jest spełniony dla wszystkich pi, gdyż wartości własne są miejscami zerowymi

wielomianu charakterystycznego. Równania zadania własnego są układem równań

jednorodnych. Tym samym mają rozwiązanie zerowe lub nieskończoną liczbę rozwiązań o tym

samym kierunku w przestrzeni stanów. Dlatego zazwyczaj przeprowadza się normalizowanie

wektora własnego, przyjmując na przykład, że jego norma euklidesowa (długość wektora)

wynosi jeden. Przy diagonalizacji korzystamy z macierzy , która musi być nieosobliwa. Macierz

zbudowana jest z wektorów własnych. Tym samym warunkiem diagonalizacji macierzy jest, aby

jej wektory własne były liniowo niezależne. Przypominamy, że wektory są liniowo zależne, gdy

można znaleźć takie współczynniki c

, że.

•

Diagonalizacja jest możliwa, gdy wszystkie wartości własne są różne od siebie. Gdy mamy

wartości własne wielokrotne, to związane z nimi wektory własne stają się liniowo zależne i w

miejsce macierzy diagonalnej otrzymujemy postać quasi-diagonalną, gdzie na przekątnej

macierzy stanu mamy tak zwane klatki Jordana.

p -

I A

�

v 0

Przykład

•

Mamy następującą macierz stanu:

•

Należy znaleźć wartości własne i wektory własne tej macierzy. Przedstawić postać diagonalną

macierzy stanu. Rozwiązanie Równanie charakterystyczne ma postać:

•

Wartości własne są pierwiastkami powyższego równania kwadratowego i wynoszą:

•

.Znajdziemy pierwszy wektor własny podstawiając:

•

Z powyższego uzyskujemy dwa równania:

•

co prowadzi do nieskończonej liczby rozwiązań: Aby znaleźć rozwiązanie szczegółowe musimy

jeden z elementów wektora własnego przyjąć. Wówczas pozostałe elementy, aby zachować

proporcje, muszą zostać wyliczone. Na przykład niech . Wówczas , czyli mamy:

•

Drugi wektor własny znajdujemy na podobny sposób. Otrzymamy dwa równania:

•

Stąd: i dla otrzymamy drugi wektor własny:

•

Z powyższych wektorów własnych

•

budujemy modalną macierz transformacji :

•

















det



































 p













1
2













v





p























Przykład-cd

• Przeprowadzimy teraz diagonalizację macierzy stanu:

• .

• Uzyskaliśmy diagonalną macierz stanu z wartościami własnymi na

głównej przekątnej:

• .

• Przeprowadzimy teraz normalizację wektorów własnych. W tym

celu przyjmiemy, że ich norma Euklidesa wynosi 1, czyli:

• ,

• Przyjmujemy, że , wówczas , oraz że ,

wówczas . Wstawimy te zależności do powyższych wzorów

otrzymując dwa równania:

• ,

• .

• W wyniku prostych obliczeń otrzymamy , . Tym

samym znormalizowane wektory będą miały postać:

• , .



























   

1
2















v 





 c























Wielokrotne bieguny

•

Jeśli macierz ma wielokrotne własności własne, to nie można znaleźć n liniowo niezależnych wektorów własnych, a

tym samym nie można przeprowadzić diagonalizacji. Jordan wykazał, że w tym samym przypadku zawsze można

znaleźć macierz o postaci:

•

gdzie: p są wartościami własnymi, natomiast q przyjmuje wartość 0 lub 1. Wartość 1 związana jest z biegunami

wielokrotnymi

•

Przyjmijmy, że układ ma tylko jeden biegun, czyli biegun jest n-krotny. Wówczas mamy:

•

Zauważymy, że powyższe (dla różnych biegunów) związki możemy w tym wypadku zastosować jedynie do pierwszej

kolumny. Dla kolejnych kolumn wykorzystamy poprzednie wektory własne w następujący sposób:

•

co prowadzi do ogólnego związku:

•

Na bazie tego wzoru można wyznaczyć kolejne kolumny macierzy transformacji .











































1 



Przykład

•

Macierz

•

Równanie charakterystyczne

•

macierzy ma postać:

•

Wartości własne są identyczne p1=p2=-1, czyli mamy

przypadek własności własnych wielokrotnych

(dwukrotnych). Mamy znaleźć macierz T, która da w

wyniku:

•

Znajdziemy pierwszy z wektorów v1 z zależności:

•

otrzymując po przyjęciu: , że:

•

Drugi wektor znajdujemy z zależności:

, czyli z równania:

•

Po przyjęciu: , wynik jest następujący:

•

Ostatecznie macierz transformacji ma postać:

•









 





det



































1 













 p



















Obrót (transformacja) układu

• Powyżej poddaliśmy transformacji jednorodne równanie stanu. Obecnie poddamy

transformacji pełny niejednorodny model w przestrzeni stanu, czyli model:

• Wprowadzimy do tych równań transformację, gdzie tym razem macierz T jest dowolną

macierzą kwadratową nieosobliwą. W tym przypadku macierz modalna jest tylko jedną z

nieskończenie dużej liczby możliwych transformacji. W wyniku transformacji otrzymamy:

• Po odpowiednich przekształceniach uzyskujemy ponownie klasyczny model w przestrzeni

stanu:

• gdzie tym razem nowe macierze modelu związane są z poprzednimi następującymi

zależnościami:

• Zauważmy, że macierz D nie podlega transformacji, gdyż łączy bezpośrednio sygnały

wejściowe u(t) z sygnałami wyjściowymi y(t), a te nie uległy zmianie. Z matematycznego

punktu widzenia transformacja jest realizowana przez obrót układu współrzędnych stanu.



































Niezmienniczość układu wejście-

wyjście

• Pomimo transformacji układu zachowanie dynamiczne układu nie uległo

zmianie. Tym samym zależności wejścia-wyjścia (np. transmitancja)

powinny być identyczne dla obu układów. Aby to wykazać, podstawimy

nowe macierze modelu do wzoru na transmitancję:

• a następnie wykorzystamy wzory na macierze, uzyskując:

• .

• Ponieważ iloczyn macierzy T i jej odwrotności jest macierzą

jednostkową, to po przekształceniach otrzymujemy z powrotem

zależność:

• Tym samym widzimy, że macierz transmitancji dla danego układu

dynamicznego nie zależy od przyjętego wektora stanu. Aby więc uzyskać

model w przestrzeni stanu na podstawie znanej transmitancji, należy

przyjąć, jeden z wielu możliwych układ współrzędnych stanu. Wybór

wektora stanu nie jest zagadnieniem trywialnym. Najczęściej

sprowadzamy model w przestrzeni stanu do jednej z postaci

kanonicznych. Jest wiele użytecznych postaci kanonicznych modelu,

ale najczęściej wykorzystywane są dwie: postać kanoniczna

obserwowalna i postać kanoniczna sterowalna.

 











 1

 











 













Postać kanoniczna obserwowalna

•

W postaci kanonicznej obserwowalnej tak dobieramy macierz transformacji T, aby:

•

, lub

•

gdzie: jest macierzą, najczęściej kwadratową, o wymiarach odpowiadających wymiarowi

wektora pomiaru y(t), natomiast 0 jest macierzą zerową. Zauważmy, że równanie pomiaru

przyjmie postać:

•

a tym samym wektor stanu został tak obrócony, że od razu widać, które elementy tego

wektora znajdują odzwierciedlenie w wektorze pomiaru, a które nie są mierzone nawet w

sposób pośredni. W szczególnym przypadku można uzyskać taką transformację, że:

•

czyli:

•

lub

•

Ta ostatnia tożsamość oznacza, że pierwsze (ostatnie) r elementów wektora stanu jest

mierzone bezpośrednio.





















C 













Postać kanoniczna sterowalna

• W postaci kanonicznej sterowalnej tak dobieramy macierz transformacji

T, aby:

• lub

• gdzie: jest macierzą, najczęściej kwadratową, o wymiarach

odpowiadających wymiarowi wektora sterowań u(t), natomiast 0 jest

macierzą zerową. Zauważmy, że równanie stanu przyjmie postać:

• a tym samym wektor stanu został tak obrócony, że od razu widać które

elementy tego wektora znajdują odzwierciedlenie w wektorze sterowań, a

które nie są sterowane nawet w sposób pośredni. W szczególnym przypadku

można uzyskać taką transformację, że:

• ,

• czyli:

• lub .

• Ta ostatnia tożsamość oznacza, że pierwsze (ostatnie) m elementów wektora

stanu jest sterowane bezpośrednio.

















 ~



B 













Układ SISO

• Dla przykładu rozważymy układ o jednym wejściu i jednym wyjściu opisanym

transmitancją:

• .W powyższym układzie rząd licznika jest mniejszy od rzędu mianownika o 1.

Można wykazać, że układ taki transformuje się do następującej postaci

kanonicznej sterowalnej:

• ,

• .

• Ponieważ układ ma jedno wejście i jedno wyjście, to macierz sterowania

redukuje się do wektora kolumnowego, gdy macierz pomiaru redukuje się do

wektora wierszowego. Macierz sterowań ma charakterystyczny dla postaci

kanonicznej sterowalnej wygląd. Z tej macierzy od razu widać, że sterowanie

wpływa bezpośrednio na pierwszy element wektora stanu. Tak jak przyjęto,

wektory oznaczymy małymi literami, otrzymując:

•

Jak pokażemy w kolejnym rozdziale, nie jest to jedyna postać kanoniczna

sterowalna dla danego układu. Co więcej, pokażemy w jaki sposób

praktycznie przechodzić od transmitancji do zapisu w przestrzeni stanów.

•

W przypadku układów o wielu wejściach i wielu wyjściach (MIMO)

trzeba skorzystać z zależności wyprowadzonych w teorii sterowania aby z

macierzy transmitancji uzyskać model kanoniczny w przestrzeni stanów.

 

























































Document Outline