Podstawowe liniowe człony dynamiczne

automatyki. Równania różniczkowe,

transmitancje operatorowe,

charakterystyki czasowe

1. Element proporcjonalny:

-Równanie różniczkowe: y(t) = k x(t) (rzędu

zerowego)

-Równanie po transformacji Laplace’a: y(s) = k x(s)

-Transmitancja operatorowa:

-„k” – współczynnik wzmocnienia elementu proporcjonalnego
(proporcjonalności)
jeśli „k” > 1 to element jest wzmacniaczem sygnału;
jeśli „k” < 1 to element jest dzielnikiem sygnału

-

element proporcjonalny c.d.

- Charakterystyka statyczna (zależność funkcyjna pomiędzy

ustalonym sygnałem wejściowym i ustalonym sygnałem
wyjściowym):

-Stany nieustalone:
( można analizować przebieg zmian w czasie sygnału

wyjściowego jako odpowiedź na wybrany sygnał wyjściowy np.
skok jednostkowy, liniowy itp..

- odpowiedź na skok jednostkowy i sygnał liniowy dla „k” =3

y(t)=3x(t)

- Element proporcjonalny c.d.
Przykłady urządzeń technicznych będących elementami

proporcjonalnymi

-Elektroniczny wzmacniacz operacyjny:

- Sztywna równoważnia ( np. w regulatorach pneumatycznych):

- Przekładnia mechaniczna: (np. w kole sterowym):

2. Element inercyjny I rzędu

-równanie różniczkowe

:

-równanie po transformacie Laplace’a:

-transmitancja operatorowa:

)

(

)

(

)

(

t

x

k

t

y

dt

t

dy

T







)

(

)

(

)

(

s

x

k

s

y

s

y

s

T











sT

k

s

x

s

y

s

G







1

)

(

)

(

)

(

element inercyjny c.d.
- Charakterystyka statyczna (zależność funkcyjna pomiędzy

ustalonym sygnałem wejściowym i ustalonym sygnałem
wyjściowym):

Stany nieustalone:
(odpowiedź na skok jednostkowy)

Definicja stałej czasowej elementu inercyjnego I rzędu

Stała czasowa elementu inercyjnego I rzędu to czas,

po którym sygnał wyjściowy y(t) osiąga wartość
równą 63.2% swojej wartości ustalonej po
pobudzeniu go skokiem jednostkowym

Odpowiedź elementu inercyjnego I rzędu na skok jednostkowy

• Przykłady elementów inercyjnych I rzędu
-elektryczny układ RC ( filtr

dolnoprzepustowy)

Równanie oczka elektrycznego

Równanie różniczkowe wiążące U2(t) z U1(t)

Równanie po transformacji Laplace’a:

Transmitancja operatorowa:

R

i

t

U

t

U







)

(

2

)

(

1







t

dt

i

c

t

U

0

1

)

(

2

C

dt

dU

t

i





2

)

(

R

C

dt

t

dU

t

U

t

U









)

(

2

)

(

2

)

(

1

)

(

1

)

(

2

)

(

2

t

U

t

U

dt

t

dU

C

R









T

C

R





sT

s

G





1

1

)

(

)

(

1

)

(

2

)

(

2

s

U

s

U

s

U

s

T









Odpowiedź na skok jednostkowy

- Statek jako obiekt sterowania prędkością kątową

3. Elementy inercyjne wyższych rzędów

- Element inercyjny II rzędu

- Równanie różniczkowe:

- Równanie po transformacji Laplace’a:

- Transmitancja operatorowa:

)

(

)

(

)

(

)

2

1

(

)

(

2

1

2

2

t

x

k

t

y

dt

t

dy

T

T

dt

t

y

d

T

T

















)

(

)

(

)

(

)

2

1

(

)

(

2

1

2

s

x

k

s

y

s

y

s

T

T

s

y

s

T

T





















)

(

]

1

)

2

1

(

2

1

[

)

(

2

s

x

k

s

T

T

s

T

T

s

y



















)

(

)]

2

1

(

)

1

1

[(

)

(

s

x

k

T

s

T

s

s

y

















)

(

)]

2

1

(

)

1

1

[(

)

(

s

x

k

T

s

T

s

s

y

















)

2

1

(

)

1

1

(

)

(

)

(

)

(

sT

sT

k

s

x

s

y

s

G











Uwagi:

- element inercyjny II rzędu charakteryzuje się dwiema stałymi

czasowymi

T1 i T2 oraz wzmocnieniem „k”;
- związek pomiędzy sygnałem wejściowym x(t)i sygnałem

wyjściowym y(t) opisuje liniowe równanie różniczkowe drugiego
stopnia;

- transmitancja takiego elementu może być przedstawiona jako

iloczyn transmitancji dwóch elementów inercyjnych I rzędu;

- własności dynamiczne zależą od wartości T1 i T2: element może

odpowiedzieć na skok jednostkowy aperiodycznie lub oscylacyjnie.

Własności dynamiczne (odpowiedź na skok jednostkowy)

- Elementy inercyjne wyższych rzędów

- Elementy te można opisywać transmitancjami będącymi

iloczynami transmitancji I rzędu np.: transmitancja elementu III
rzędu ma postać:

- doświadczalne wyznaczenie stałych czasowych T1, T2, T3 jest

trudne

( z reguły nie wiemy którego rzędu jest element inercyjny)
- odpowiedzi na skok jednostkowy elementów wyższych rzędów:

)

3

1

(

)

2

1

(

)

1

1

(

)

(

)

(

)

(

sT

sT

sT

k

s

x

s

y

s

G















4. Element opóźniający:

- Równanie różniczkowe ( zerowego rządu):

- Równanie po transformacji Laplace;a:

- Transmitancja operatorowa:

- Charakterystyki (statyczna, odpowiedź na skok jednostkowy):

)

(

)

(

0

t

t

x

t

y





0

)

(

)

(

t

s

e

s

x

s

y









0

)

(

t

s

e

s

G







Aproksymacja elementu inercyjnego wyższego rzędu elementem inercyjnym

I rzędu z opóźnieniem

- W opisie matematycznym elementów inercyjnych stosuje się uproszczenia zastępując złożone

transmitancje z wieloma stałymi czasowymi elementem inercyjnym I rzędu z opóźnieniem

- Procedura określenia Tz i to:
- 1. określićpunk przegięcia krzywej,
- 2. poprowadzic styczną w punkcie przegięcia,
- 3. poprowadzić styczną poziomą do krzywej dla nieskończoności,
- 4. odczytać z punktów przecięcia wartości stycznych i osi czasu wartości
„Tz” oraz „to”,
5. przyjąc transmitancję elementu inercyjnego wyższegorzędu jako:

Procedura określenia „Tz” i „to”(zastepczej stałej

czasowej i zastępczego opóźnienia)

- 1. określić punkt przegięcia krzywej,
- 2. poprowadzić styczną w punkcie przegięcia,
- 3. poprowadzić styczną poziomą do krzywej (dla czasu w

nieskończoności),

- 4. odczytać z punktów przecięcia stycznych i osi czasu wartości
„Tz” oraz „to”,
5. przyjąc transmitancję elementu inercyjnego wyższego rzędu

jako:

gdzie:

0

1

)

(

t

s

e

Tz

s

k

s

G













ustalone

ustalone

x

y

k







5. Element inercyjny II rzędu oscylacyjny

Równanie różniczkowe:

- dla przypadku :

- Przy oznaczeniach:

ωo częstotliwość drgań własnych
β współczynnik tłumienia

)

(

)

(

)

(

)

2

1

(

)

(

2

1

2

2

t

x

k

t

y

dt

t

dy

T

T

dt

t

y

d

T

T

















0

2

1

4

)

2

1

(

2











T

T

t

T

2

0

1

2

1





T

T

0

2

)

2

1

(







 T

T

• c.d. element oscylacyjny

- Równanie po transformacji Laplace’a:

- Wyrażenie w nawiasie może mieć pierwiastki:
• dwa pierwiastki rzeczywiste β > 1 (element inert. II rzedu)
• pierwiastek podwójny rzeczywisty β = 1 (element inert. II rzędu)
• dwa pierwiastki zespolone β < 1 (element oscylacyjny )
Odpowiedź elementu oscylacyjnego na skok jednostkowy dla

różnych β)

)

(

]

1

2

1

[

)

(

0

2

2

0

s

x

k

s

s

s

y



















