c.d. opisu matematycznego elementów automatyki

Element całkujący idealny

-równanie różniczkowe:

Uwaga!!! Całka w wyrażeniu jest całką oznaczoną!

-równanie po transformacji Laplace’a:

-transmitancja operatorowa:

ki

– współczynnik wzmocnienia elementu całkującego

(ma jednostki np..: [m / (s V)] )

1/ ki = Ti

czas całkowania elementu całkującego (w

sekundach -określany tylko wtedy gdy sygnały:
wejściowy i wyjściowy są w tych samych jednostkach:
np. napięcie-napięcie, ciśnienie-ciśnienie itp.)









t

y

dt

t

x

ki

t

y

0

)

0

(

)

(

)

(

s

ki

s

x

s

y

s

G





)

(

)

(

)

(

s

s

x

ki

s

y

)

(

)

(





• Przykład całkowania napięcia zasilającego silnik elektryczny

(bieżący wynik całkowania jest wysokością na jaką uniesie się

masa

)

• Interpretacja czasu całkowania:
Definicja: czas całkowania elementu całkującego idealnego

jest to czas, po którym sygnał wyjściowy osiągnie wartość
równą wartości skoku jednostkowego przyłożonego do wejścia
elementu.

Przykłady urządzeń technicznych, których dynamikę można

opisać równaniem analogicznym do równania elementu

całkującego idealnego

• Przykłady całkowania sygnałów zmiennych w

czasie

Element całkujący rzeczywisty ( z

inercją)

Równanie różniczkowe:

Równanie po transformacji Laplace’a:

Transmitancja operatorowa:

Uwaga:

T( w sekundach)- stała

czasowa elementu całkującego
rzeczywistego









t

o

dt

t

x

ki

t

y

dt

t

dy

T

)

(

)

(

)

(

s

s

x

ki

s

y

s

y

s

T

)

(

)

(

)

(















sT

s

ki

s

G







1

)

(

Odpowiedź elementu całkującego rzeczywistego na

skok jednostkowy

• Całkowanie sygnału sinusoidalnego przez element

całkujący rzeczywisty

Element różniczkujący idealny

-równanie różniczkowe:

-równanie po transformacji Laplace’a:

-transmitancja operatorowa:
Uwaga: współczynnik kd nazywa się wzmocnieniem

elementu różniczkującego idealnego – ma jednostki
np..[ms/v].

Jeśli sygnały: wejściowy i wyjściowy mają te same

jednostki np. metr i metr to jednostką kd są sekundy
i wtedy kd nazywa się czasem różniczkowania Tr [s]

dt

t

dx

kd

t

y

)

(

)

(





)

(

)

(

s

x

s

kd

s

y







s

kd

s

G





)

(

Różniczkowanie sygnału elementem różniczkującym

idealnym

Różniczkowanie sygnału sinusoidalnego

Przykład urządzenia, które różniczkuje sygnał

wyjściowy idealnie

Element różniczkujący rzeczywisty ( z inercją)

-równanie różniczkowe:
-równanie po transformacji Laplace’a:

-transmitancja operatorowa:

Uwaga: stała T jest stałą czasową w sekundach elementu

różniczkującego rzeczywistego, kd to współczynnik
wzmocnienia (czas różniczkowania Tr –w sekundach dla
sygnałów o tych samych jednostkach)

dt

t

dx

kd

t

y

dt

t

dy

T

)

(

)

(

)

(









)

(

)

(

)

(

s

x

s

kd

s

y

s

y

s

T













sT

s

kd

s

G







1

)

(

Odpowiedź elementu różniczkującego rzeczywistego

na skok jednostkowy

Przykład wykorzystania elementu różniczkującego

rzeczywistego do tworzenia impulsów

synchronizujących

Przykłady urządzeń różniczkujących rzeczywistych





s

Tr

s

Tr

s

U

s

U

s

Tr

s

U

s

U

s

Tr

s

U

s

Tr

s

U

s

U

s

Tr

Tr

C

R

dt

t

dU

C

R

t

U

dt

dU

C

R

dt

t

dU

R

t

U

C

dt

dU

R

t

U

t

i

ale

R

dt

t

di

t

i

C

dt

dU

R

t

i

t

U

R

t

i

dt

t

i

C

U

t

















































































1

)

(

1

)

(

2

1

)

(

2

)

(

1

)

(

2

)

(

2

)

(

1

)

(

2

)

(

2

1

)

(

2

)

(

2

1

1

)

(

2

)

(

)

(

)

(

1

1

)

(

)

(

2

)

(

)

(

1

1

0