PODSTAWOWE POJĘCIA AUTOMATYKI

PODSTAWOWE POJĘCIA AUTOMATYKI

Etymologicznie automatyka pochodzi od grec.

: samoczynny.

Dzieje automatyki sięgają czasów starożytnych.
Automatyka jako samodzielna dziedzina wiedzy wyodrębniła się w latach 20 -tych XX wieku.

Automatyka
Automatyka

znacz. potocznym

Automatyka

stosowana

•

dyscyplina naukowa zajmująca się podstawami teoretycznymi,

dział techniki zajmujący się praktyczną realizacją urządzeń i systemów
sterowania,
dziedzina wiedzy lub techniki mająca na celu zastąpienie czynności
człowieka lub ich ograniczenie,
obowiązują normy określające oznaczenia, słownictwo i definicje, np.
norma PN-78/M.-42000 dla automatyki przemysłowej.

Działy automatyki jako dyscypliny naukowej:

•

analiza układów dynamicznych,

•

teoria sterowania, w szczególności teoria sterowania
optymalnego, stosuje metody: modelowania symulacyjnego (np.
symulacja komputerowa),

•

teoria regulacji automatycznej, zajmuje się stabilnością i
jakością regulacji,

•

sterowanie procesami złożonymi: automatyzacja procesów,
automatyzacja kompleksowa,

•

telemechanika,

pomiary automatyczne i przetwarzanie danych.

Automatyzacja - wprowadzanie do przemysłu i transportu automatycznych:

•

środków
technicznych,

•

urządzeń,

•

systemów.

Działających na zasadzie
samoregulacji i wykonujących
określone czynności lub
działania bez udziału człowieka
lub przy ograniczonym
działaniu człowieka

Podstawą teoretyczną i techniczną automatyzacji
jest automatyka

Sygnał -

przebieg wielkości fizycznej, którego co najmniej jeden parametr zależy od
przesyłanej informacji np. kształt, amplituda, częstotliwość, czy jest dyskretny itd.

Sterowanie -

celowe oddziaływanie na określony obiekt (urządzenie lub proces), tak, aby osiągnąć
pożądane zachowanie obiektu (urządzenia lub pożądane cechy procesu).

Obiekt sterowania (obiekt sterowany) -

obiekt, który jest przedmiotem sterowania.

Sterowanie, jeśli odbywa się w określonym przedziale czasu i oddziaływuje w tym przedziale
czasu na zjawiska zachodzące w obiekcie jest także procesem.
Sterowanie odbywa się za pośrednictwem sygnałów:
Sygnały wejściowe (wymuszające)

to wielkości z otoczenia obiektu sterowania oddziaływujące na ten obiekt:

wielkości sterujące (użyteczne) zwane sterowaniami,
wielkości zakłócające zwane zakłóceniami.

Sygnały wyjściowe

to wielkości wyjściowe obiektu sterowania oddziaływujące na otoczenie.

(W ogólnym przypadku sygnały wejściowe i wyjściowe rozpatruje się jako wektory o wielu
składowych np. U(t), Y(t), Z(t), są przypadki, że do analizy określonego problemu zamiast
sygnałów w postaci wektorów, rozpatruje się sygnały jednej zmiennej.)

Rys. Obiekt sterowania i otoczenie obiektu

Powyższy rysunek nie przedstawia jednak struktur sterowania.

Ze względu na strukturę układu w którym odbywa się sterowanie rozróżniamy:

sterowanie w układzie otwartym,
sterowanie w układzie zamkniętym tj. w układzie ze sprzężeniem zwrotnym.

Regulacja

to sterowanie w układzie zamkniętym zawierającym węzeł sumacyjny za pomocą
którego realizowane jest ujemne sprzężenie zwrotne.

Regulator

to układ sterowania działający w układzie zamkniętym.

Regulacja automatyczna

to sterowanie samoczynne w układzie zamkniętym czyli samoczynne utrzymywanie
wymaganych sygnałów wejściowych (warunków pracy urządzenia).

Uchyb regulacji

różnica między sygnałem zadanym a sygnałem wyjściowym.

Stan układu -

najmniej liczny zbiór wielkości,
którego znajomość w chwili początkowej t

i znajomość wymuszeń w przedziale (t

,t]

pozwalają wyznaczy stan i odpowiedź układu w dowolnej chwili t > t

Istnieją układy dla których znajomość stanu układu w chwili początkowej t

i wymuszenia u(t)

dla t > t

pozwala wyznaczyć stan i odpowiedź układu dla t > t

Stan ustalony -

stan w którym nie występują zmiany sygnałów wejściowych i wyjściowych, czyli
wszystkie pochodne sygnałów wejściowych i wyjściowych względem czasu są
zerowe.

Atrybutem zmiany jest czas - zmiana może odbywać się tylko w czasie.
Stan nieustalony -

stan nierównowagi lub stan, który nie jest stanem równowagi.

Stan nieustalony może mieć charakter przejściowy tj. do chwili wystąpienia stanu ustalonego.
Charakterystyka statyczna elementu (obiektu, układu) -

to zależność między sygnałem wyjściowym a sygnałem wejściowym y =f(u) w
stanach ustalonych.
Właściwości ch-k statycznych:

ch. statyczne idealnych elementów liniowych są prostymi bez ograniczeń,
ch. statyczne elementów rzeczywistych odbiegają od ch. el. Idealnych ze

względu na: 1) ograniczenia sygnałów i 2) zakresy nieliniowości.

ch. statyczna jest zbiorem punktów równowagi.

Charakterystyki dynamiczne elementu (obiektu, układu) -

to zależności czasowe sygnałów wejściowych, wyjściowych i innych określonych
wielkości, czyli charakterystyki określające zmienność tych wielkości w czasie np. w
stanach nieustalonych.

Do najważniejszych charakterystyk dynamicznych należą:

  ch. skokowa,
  ch. amplitudowo-fazowa,
  ch. amplitudowa,
  ch. fazowa,
  ch-ki logarytmiczne.

Zastosowanie charakterystyk statycznych i dynamicznych:

  określają własności elementów,
  są niezbędne dla projektowania układów automatyki,
  są przydatne przy tworzeniu modeli układów sterowania i regulacji.

Podstawowym wyrażeniem określającym własności dynamiczne elementu jest transmitancja
operatorowa, czyli tzw. funkcja przejścia.

PODSTAWY AUTOMATYKI - WYKŁAD 2.

Treść wykładu:

1. Działy automatyki: kontrola i sygnalizacja, blokada i zabezpieczenie,
2. Sterowanie sekwencyjne i sterowanie procesami ciągłymi.

Rodzaje układów sterowania. Sposoby regulacji. Automatyka kompleksowa.

Wśród podstawowych działów automatyki wyróżnia się następujące działy:

Kontrola
automatyczna

obejmuje grupę urządzeń i systemów automatyki, które zbierają i
analizują informacje o obiekcie sterowanym lub o procesie i
przekazują te informacje w postaci bezpośredniej lub przetworzonej do
operatora (ów) systemu.

przykład: urządzenie kontrolujące położenie windy w wieżowcu.

Sygnalizacja
automatyczna

obejmuje grupę urządzeń i systemów automatyki, w których sygnały
wejściowe i sygnały wyjściowe są kontrolowane i mierzone za pomocą
czujników i elementów pomiarowych.

przykład: urządzenia sygnalizacji włamaniowej i pożarowej.

urz. sygn. automat. - zwalniają obsługę od konieczności ciągłego
dozoru i śledzenia.

Zabezpieczenie
automatyczne i
blokada automatyczna

obejmują grupę urządzeń i systemów automatyki, w których sygnały
wejściowe i sygnały wyjściowe lub kombinacje tych sygnałów są
kontrolowane i mierzone za pomocą czujników i elementów
pomiarowych, tak , aby niedopuszczalne lub przekroczone wartości
wielkości sterujących i sterowanych nie spowodowały awarii,
uszkodzeń i niebezpiecznego oddziaływania na środowisko.

przykład: urządzenia zabezpieczające silnik elektryczny przed
przeciążeniem,

urz. zabez. automat. są zbliżone do urz. sygn. automat.

Układy regulacji

obejmują grupę urządzeń i systemów automatyki, w których, regulacji
podlega wiele sygnałów wyjściowych, przy czym sygnały wejściowe
lub kombinacje tych sygnałów działają na więcej niż jeden sygnał
wyjściowy, są kontrolowane i mierzone za pomocą czujników i
elementów pomiarowych i podlegają regulacji automatycznej za
pomocą wielu regulatorów,

przykład: układy automatycznej regulacji wielkości wyjściowych
kotła parowego (w elektrowni lub w zakładzie dostarczającym ciepło
dla dzielnicy mieszkaniowej): ciśnienie pary, poziom wody, ciśnienie
pary w komorze kotła, temperatura pary przegrzanej itd.

Systemy sterowania
dla systemów
złożonych

systemy złożone to struktury sterowania w których wyróżnia się
odrębnie funkcjonujące części: elementy automatyki, urządzenia
automatyki, obiekty i podsystemy.

przykład: system sterowania procesami technologicznymi w rafinerii,
system kierowania i sterowania ruchem pociągów na linii kolejowej.

Prezentacja powyższych struktur sterowania pozwala na analizę istoty sterowania jak i funkcji
człowieka strukturach automatyki.

Sterowanie

- celowe oddziaływanie na określony obiekt (urządzenie lub proces), tak, aby osiągnąć
pożądane zachowanie obiektu (urządzenia lub pożądane cechy procesu).

Interpretacja sterowania zawiera pojęcie punktu pracy, który należy do obszaru
(przestrzeni) kontrolowanych wielkości. Obszar wielkości kontrolowanych należy do
przestrzeni stanów obiektu bądź procesu.
Można przyjąć, że sterowanie w swej istocie polega na działaniu, aby wartości wielkości
sterowanych mieściły się w tej przestrzeni i należały do obszaru wielkości kontrolowanych.
Wymiar takiej przestrzeni zależy od liczności wielkości sterowanych lub regulowanych.
Dotyczy to układów automatyki zbudowanych z pojedynczych elementów automatyki lub
urządzeń a także systemów sterowania dla systemów złożonych np. systemów
kompleksowego sterowania.

Ze względu na rolę jaką spełnia człowiek w sterowaniu, wyróżnia się:

•

sterowanie ręczne - oddziaływanie na obiekt poprzez operatora,

•

sterowanie automatyczne - sterowanie bez udziału operatora ale operator jest
niezbędny ze względu na funkcję dozoru i kontroli,

•

sterowanie rozumiane jako wspomaganie operatora - system proponuje
operatorowi ze względu na cel sterowania opcjonalne rozwiązania sterowania,
operator podejmuje decyzję o sposobie sterowania.

Ze względu na

charakter procesu

, który jest przedmiotem sterowania wyróżnia się:

•

sterowanie sekwencyjne - zapewniające wykonanie poszczególnych sekwencji
(kolejności stanów) procesu, sterowanie sekwencyjne odbywa się za pomocą automatu
(lub zaprogramowanego procesora), który steruje przejściem do kolejnych sekwencji
procesu, w ramach określonej sekwencji może wystąpić sterowanie ciągłe, np.
sterowanie procesem mycia samochodów w myjni.

•

sterowanie procesami ciągłymi wymaga ciągłego (nieustannego) oddziaływania
sygnałów sterujących na obiekt, jeśli układ sterowania jest regulatorem to wymaga się
ciągłego działania sprzężenia zwrotnego, np. procesy chemiczne w reaktorach
chemicznych.

Ze względu na

sposób oddziaływania układu sterowania

na obiekt lub proces wyróżnia

się układy sterowania:

•

układy zwykłe - układy sterowania o stałej strukturze, parametrach i
charakterystykach, np. układ regulacji temperatury cieczy chłodzącej w obiegu
chłodzenia silnika spalinowego,

•

układy adaptacyjne - układy sterowania w których istnieje możliwość
automatycznego doboru parametrów i charakterystyk a nawet możliwa jest
rekonfiguracja sprzętowa, np. włączenie urządzeń rezerwowych w przypadku awarii
głównych urządzeń sterujących.

PODSTAWY AUTOMATYKI - WYKŁAD 3.

Temat wykładu: Układ dynamiczny jako przedmiot automatyki

1. Model matematyczny układu dynamicznego.
2. Układy liniowe i nieliniowe - definicje i podstawowe różnice między tymi układami.

Zasady i zastosowanie rachunku operatorowego w automatyce.

1. Model matematyczny układu dynamicznego

W praktyce inżynierskiej występują dwa typy problemów:

A. Zbadanie obiektu automatyki - poznanie obiektu: własności statyczne i własności

dynamiczne.

B. Wykonanie projektu obiektu automatyki lub udoskonalenie obiektu istniejącego.

Rozwiązanie problemów A i B sprowadza się do identyfikacji obiektu.
Atrybutem identyfikacji jest jednoznaczność, co wymaga zastosowania opisu
matematycznego obiektu.

Model - opis (wyobrażenie) obiektu (procesu) rzeczywistego --> różne sposoby opisu.
Model matematyczny - to model:

a. sformalizowany za pomocą aparatu matematycznego,

b. produkt abstrakcyjny.

Układ dynamiczny to układ:

A. w którym sygnały czyli przebiegi wielkości fizycznych rozpatruje się jako funkcje

czasu.

B. według T. Kaczorka: opisany przez trójkę: s:={T, W, B}, gdzie:

T - zbiór chwil czasowych,
W - zbiór wartości sygnałów (wartości sygnałów tworzą przestrzeń),
B - zbiór trajektorii w:=T-->W spełniających prawa rządzące obiektem (określające
zachowanie obiektu).

Model matematyczny układu dynamicznego - sformalizowany model układu
dynamicznego. Podstawy formalizacji tworzą spostrzeżenia:

1. własności obiektów dynamicznych mogą być opisane przy pomocy modeli

(sformalizowanych),

2. dla opisu własności dynamicznych różnych obiektów dynamicznych poszukuje się

takich samych (wspólnych) metod.

Układ dynamiczny nazywamy:

Układem ciągłym - jeśli T=R, gdzie R - zbiór liczb rzeczywistych, czyli czas jest

zmienną ciągłą,
Układem dyskretnym - jeśli T=C, gdzie C - zbiór liczb całkowitych, czyli czas jest
zmienną dyskretną.

Istnieje wiele klas modeli matematycznych układów dynamicznych. Jedną z takich klas to
klasa modeli wejściowo-wyjściowych.

Własności (niektóre) obiektów dynamicznych:

1. Przebiegi sygnałów układu dynamicznego w czasie zależą nie tylko od aktualnych

wartości wymuszeń, ale zależą także od wymuszeń, które były w przeszłości,

2. Aby układ był układem dynamicznym musi zawierać co najmniej jedną zmienną

stanu,

3. Niekiedy do opisu układu dynamicznego wystarczą opisy wejść i wyjść bez jawnego

wprowadzenia zmiennych stanu,

4. Przechowują energię.

Model matematyczny układu statycznego - sformalizowany model układu, którego
przebiegi sygnałów są niezależne od czasu

Własności obiektu statycznego:

1. Między wyjściami a wejściami obowiązuje zależność funkcyjna bez czasu:

Y=F(U, Z)

2. Charakterystyka statyczna jednoznacznie opisuje układ statyczny,
3. Układ statyczny nie ma zmiennych stanu,
4. Układy statyczne to układy rozpraszające energię.

Stan układu:

A. Najmniej liczny zbiór wielkości dostarczających ilość informacji, które wystarczają do

oceny zachowania się układu (obiektu) w przyszłości czyli jednoznacznie określają
zachowanie się układu.

B. Współrzędne wektora stanu w przestrzeni stanów (współrzędne końca wektora stanu).

Ze względu na budowę układy dynamiczne dzielimy:

A. układy dynamiczne o elementach skupionych - takie układy w których wyróżnia się

skończoną liczbę składowych elementów dynamicznych.

B. Układy dynamiczne o elementach rozłożonych - takie układy w których nie można

wyróżnić odrębnych elementów tzn., że układ nie może być analizowany jako układ
złożony z elementów składowych.

2. Układy liniowe i nieliniowe - definicje i podstawowe różnice między tymi układami

Układy statyczne i dynamiczne mogą być liniowe lub nieliniowe.

Dla układów rzeczywistych n = m

Ocena własności liniowego układu dynamicznego może zostać dokonana:

A. na podstawie równania różniczkowego, nie zawsze jest to dogodna metoda, ponieważ

zakłada rozwiązanie tego równania i analizę tego rozwiązania,

B. bez konieczności rozwiązywania równań różniczkowych.

Możliwość B zakłada wprowadzenie wyrażeń uzyskanych w drodze przekształceń całkowych
tzw. transformacji równania różniczkowego. Do takich przekształceń należy przekształcenie
Laplace'a.
Przekształcenie Laplace'a przyporządkowuje określonej funkcji czasu f(t)
transformatę operatorową F(s) jako funkcję zmiennej zespolonej s. Transformatę oblicza się
na podstawie wzoru:

Znając transformatę F(s) można obliczyć oryginał tj. funkcję f(t) drogą przekształcenia
odwrotnego:

Zmienna zespolona s nazywana jest także operatorem różniczkującym, stąd zbiór reguł i
zasad dotyczących przekształceń Laplace'a i operacji na transformatach nosi nazwę rachunku
operatorowego.
W praktyce nie stosuje się bezpośrednio obliczeń na podstawie powyższych wzorów
zestawionych także poniżej ale stosuje się tablice transformat i funkcji oryginalnych.

, równanie różniczkowe obiektu inercyjnego gdzie:

T - stała czasowa inercji,
k - stały współczynnik.
Na podstawie twierdzenia 1. (o sumie funkcji) i 2. (transformata pochodnej) przekształcamy
kolejno obie strony równania na formę operatorową:

przyjmując f

=0, y(t) Y(s), u(t) U(s), otrzymujemy operatorową postać równania:

Tablica wybranych transformat i oryginałów

Transformata

F(s)

Oryginał f(t)

(impuls Diraca)

(skok jednostkowy)

Przykład:

Dana jest funkcja zespolona:

. Określić funkcję oryginalną tj. funkcję w dziedzinie

czasu t. Na podstawie 2 wiersza tablicy transformat i oryginałów znajdujemy:

Funkcją oryginalną jest tzw. impuls jednostkowy.

Przykład:

Dana jest funkcja zespolona

, określić funkcję oryginalną tj. w dziedzinie czasu t.

Na podstawie 3 wiersza tablicy transformat i oryginałów znajdujemy:

, a jaka będzie postać funkcji oryginału dla funkcji zespolonej:

2. Transmitancja operatorowa i wyznaczanie transmitancji.

Pojęcie transmitancji odnosi się do układu dynamicznego o następujących właściwościach:

1. jednowymiarowy (o jednym wejściu u(t) i jednym wyjściu y(t)),
2. liniowy,
3. ciągły,
4. stacjonarny,

5. o stałych skupionych.

Układ taki opisuje zwykłe, liniowe równanie różniczkowe o stałych parametrach:

Interpretacja tego równania jest następująca:
Obiekt dynamiczny zostaje pobudzony wymuszeniem (sterowaniem) u(t) dla t>0, a w wyniku
wymuszenia (sterowania) powstaje odpowiedź: y(t).
Dla tak zdefiniowanych obiektów wprowadza się pojęcie transmitancji operatorowej.

Transmitancją operatorową obiektu dynamicznego,

o wielkości wejściowej (sterującej) - u(t) i wielkości wyjściowej - y(t) nazywamy iloraz
transformat Laplace'a: wielkości wyjściowej - y(s) i wielkości wejściowej - u(s) przy
zerowych warunkach początkowych:

Własności transmitancji:

1. w wyniku pomnożenie transformaty wejścia u(s) przez transmitancję G(s) otrzymuje

się transformatę wyjścia y(s), czyli odpowiedź, a przebieg czasowy odpowiedzi y(t)
znajduje się jako transformatę odwrotną,

2. określa właściwości dynamiczne obiektu np.- badanie stabilności na podstawie analizy

sygnału wyjściowego,

3. umożliwia wyznaczanie charakterystyk obiektu dynamicznego.

Podstawy obliczania transmitancji operatorowej

Znajdujemy transformatę Laplace'a obu stron równania:

Po znalezieniu transformat obu stron równania, na podstawie poznanych twierdzeń Laplace'a
otrzymujemy:

gdzie:

Po wyłączeniu przed nawias y(s) i u(s) otrzymujemy:

Po zsumowaniu wyrażeń w nawiasach otrzymujemy:

Podstawiając powyższe wyrażenie do definicji transmitancji otrzymujemy wzór do obliczania
transmitancji:

Przykład obliczania transmitancji operatorowej

Wyznaczyć transmitancję następującego dynamicznego obiektu liniowego (inercyjnego)
opisanego równaniem różniczkowym:

Aby wyznaczyć transmitancję stosujemy następujące przekształcenia Laplace'a
(przechodzimy z dziedziny czasu - t do obszaru zmiennej zespolonej s: t s) :

PODSTAWY AUTOMATYKI - WYKŁAD 5.

Temat wykładu: Przykłady wyznaczania transmitancji. Analiza dynamicznych układów

liniowych.

1. Przykłady wyznaczania transmitancji.
2. Własności i charakterystyki dynamicznych układów liniowych.

Transmitancja widmowa. Charakterystyki częstotliwościowe - cz. 1.

1. Przykłady wyznaczania transmitancji

Wykorzystując własność transmitancji, że transformatę wyjścia, czyli odpowiedzi y(s) = i(s)
znajduje się przez mnożenie transmitancji G(s) przez transformatę wejścia u(s), dla
wymuszenia skokowego : u(t) = k * 1(t), otrzymujemy:

2. Własności i charakterystyki dynamicznych układów liniowych

Dla poznania własności układów dynamicznych przyjmuje się pewien umownie

ustalony zbiór czynników. Jest to istotne z tego względu, że poznanie czyli identyfikacja
obiektu może dotyczyć różnych obiektów dynamicznych, których własności mogą zostać
porównane.

Innym sposobem poznania własności obiektów dynamicznych może być analiza tych

obiektów polegająca na wyróżnieniu w strukturach tych obiektów układów dynamicznych,
których własności zostały już zbadane. Takimi obiektami są np. układy o tzw. prostej
dynamice tworzące zbiór podstawowych obiektów dynamicznych. Na podstawie własności
obiektów zbadanych wnioskuje się o własnościach obiektu złożonego.

zerowych warunkach początkowych sygnału funkcji jednostkowej y(t)=1(t).

(Funkcja sygnału jednostkowego została wprowadzona przy omawianiu tablicy transformat i oryginałów)

Transformatę Laplace'a odpowiedzi skokowej określamy następująco:

Odpowiedzi jednostkowe y(t)=h(t) dla konkretnych układów zostały podane w przykładach 1.
i 2.na początku tego wykładu.
Powyższe rozumowanie jest przykładem kolejnej własności transmitancji:
transmitancja operatorowa może być zastosowana do wyznaczania odpowiedzi skokowej
obiektu dynamicznego

3. (także 3.2. według schematu z punktu 2.) Transmitancja widmowa. Charakterystyki
częstotliwościowe.

Podstawą charakterystyk częstotliwościowych jest

transmitancja widmowa.

Pojęcie transmitancji widmowej (analogicznie jak w przypadku transmitancji operatorowej)
odnosi się do układu dynamicznego o następujących właściwościach:

1. jednowymiarowy (o jednym wejściu u(t) i jednym wyjściu y(t)),
2. liniowy,
3. ciągły,
4. stacjonarny,

5. o stałych skupionych.

Układ taki opisuje zwykłe, liniowe równanie różniczkowe o stałych parametrach:
Interpretacja tego równania jest następująca:
Obiekt dynamiczny (bez oddziaływania zakłóceń) zostaje pobudzony wymuszeniem u(t) dla

Między transmitancjami: operatorową i widmową występują relacje:

Transformaty Fouriera umożliwiają bezpośrednie przejście z dziedziny czasu do dziedziny j .
W tym przypadku transmitancja widmowa wyraża się wzorem

Transmitancja widmowa jest podstawą określania i wyznaczania m. in. następujących
charakterystyk częstotliwościowych obiektów dynamicznych:

1. Charakterystyka amplitudowo-

fazowa:

przedstawia krzywą, którą kreśli koniec wektora
poprowadzony ze środka układu współrzędnych,
przy zmianach pulsacji kątowej .

2. Charakterystyka amplitudowa:

A( ) = f

( )

przedstawia zależność (wykres) modułu A( )
transmitancji G(j ) w funkcji .

3. Charakterystyka logarytmiczna

amplitudowa: L

( )[dB]=20log A(

)

przedstawia zależność (wykres) zmiennej L

( )

będącej logarytmem dziesiętnym modułu
transmitancji A( ) od pulsacji określonej na skali
logarytmicznej. (Jeśli: 20log A( )=1dB to 20log A(

)=log10

20 *1/20

, 20log A( )=20log10

1/20

, zatem:

A=10

1/20

=1,22)

4. Charakterystyka fazowa:

( )

przedstawia zależność (wykres) argumentu ( )
transmitancji od pulsacji .

5. Charakterystyka logarytmiczna

fazowa:

( - logarytmiczne)

przedstawia zależność (wykres) argumentu ( )
transmitancji od pulsacji określonej na skali
logarytmicznej.

PODSTAWY
AUTOMATYKI -
WYKŁAD 6.

Treść wykładu:

1. Charakterystyki częstotliwościowe - cz. 2.

Sposoby przedstawiania charakterystyk częstotliwościowych.

2. Człony złożone - przykład analizy.

1. Charakterystyki częstotliwościowe - cz. 2.
Sposoby przedstawiania charakterystyk częstotliwościowych.

Zastosowanie logarytmicznych charakterystyk częstotliwościowych:
Logarytmiczne charakterystyki częstotliwościowe stosuje się do wyznaczania charakterystyk
wypadkowych obiektów lub układów złożonych ze znanych elementów liniowych
połączonych szeregowo:

1. wyznaczenie modułu wypadkowej charakterystyki amplitudowej - moduł wypadkowy

wyznacza się mnożąc moduły A( ) poszczególnych elementów składowych,

2. wyznaczenie wypadkowej charakterystyka L

( ) - charakterystykę wypadkową

wyznacza się poprzez dodanie rzędnych logarytmicznych charakterystyk składowych
poszczególnych elementów składowych.

Przykład:
Wyznaczyć charakterystyki częstotliwościowe dla obiektu inercyjnego (I rzędu)

W celu wyznaczenia poszczególnych charakterystyk przekształcamy wyrażenie na
transmitancję powyższego układu inercyjnego, tak, aby otrzymać poszczególne składowe:
rzeczywistą i urojoną:

1. Wyznaczenie charakterystyki amplitudowo-fazowej:

Podstawiając do powyższych wzorów różne wartości pulsacji w zakresie od 0 do 8, dla T=1,
otrzymujemy poniższą tabelkę z wartościami P( ) i Q( ):

10.

0,1

0,5

100

1000

P( ) 1,000 0,990 0,800 0,500 0,038 0,010 0,000 0,000 0,000

3. Wyznaczenie charakterystyki fazowej ( )

4. Wyznaczanie charakterystyki amplitudowej logarytmicznej ( - w skali logarytmicznej):

5. Wyznaczanie charakterystyki fazowej logarytmicznej ( - w skali logarytmicznej):

Tabela wartości do wykreślenia charakterystyk obiektu inercyjnego o transmitancjach:

•

amplitudowej A( ),

•

fazowej ( ),

•

logarytmicznej Lm( ),

•

logarytmiczna fazowa ( ),

10.

11.

0,1

0,5

100 1,00E+03 1,00E+04 1,00E+05

P( )

1,000 0,990 0,800 0,500 0,038 0,010 0,000 0,000 0,000

0,000

Q( )

0,000 -0,099

-0,40

-0,50

-0,192 -0,099

-0,02

-0,01

-0,001

0,000

A( ),
k=1

0,99504 0,894 0,707 0,1961 0,0995 0,02 0,01

0,001

1E-04

1E-05

( )

[radiany]

0,00 -0,10 -0,46 -0,79 -1,37 -1,47 -1,55 -1,56

-1,57

( )

[stopnie]

0,00 -5,71

-26,5

-45,0

-78,69 -84,29

-88,8

-89,4

-89,94

-89,99

-90,00

Lm( )

0 -0,0432 -0,97 -3,01 -14,15 -20,04 -34

-40

-60

-80

-100

A( ),
k=100

100 99,5037 89,44 70,71 19,612 9,9504

0,1

0,01

0,001

( )

[radiany]

0,00 -0,10 -0,46 -0,79 -1,37 -1,47 -1,55 -1,56

-1,57

( )

[stopnie]

0,00 -5,71

-26,5

-45,0

-78,69 -84,29

-88,8

-89,4

-89,94

-89,99

-90,00

Lm( ),
k=100

40 39,9568 39,03 36,99 25,85 19,957 6,019 -0

-20

-40

-60

log( )

-1

-0,3

0,699

1,699

Charakterystyka amplitudowa A( ), k=1

Charakterystyka fazowa ( )[stopnie], k=1

Charakterystyka logarytmiczna Lm( ), k=1

Charakterystyka logarytmiczna fazowa ( )[stopnie], k - nieistotne

A) Założenia i opis pracy układu

1. Silnik sterowany jest napięciem E

2. Napięcie E

podawane jest na wirnik silnika.

3. Napięcie wzbudzenia stojana U

=const, nie będzie dalej rozpatrywane.

4. Napięcie U

na wyjściu prądnicy jest proporcjonalne do prędkości obrotowej silnika.

5. Regulator prędkości zmieniając napięcie E

na wirniku silnika, reguluje prędkość

obrotową silnika.

6. Zmiana obciążenia silnika następuje poprzez zmianę momentu obciążenia M

obc

7. Zmianę obrotów silnika wykazuje napięcie U

prądnicy wprowadzane do regulatora.

8. Automatyczna regulacja prędkości obrotowej silnika odbywa się za pomocą regulatora

proporcjonalnego.

9. W regulatorze na podstawie Y

wartości zadanej prędkości obrotowej i napięcia

prądnicy powstaje uchyb.

10. Zmiana uchybu wpływa na napięcie E

, co z kolei wpływa na prędkość obrotową

silnika.

B) Ułożenie równań różniczkowych dotyczących silnika

•

równanie napięć i prądów wirnika: E

-E

. = E

-k

Y = RI,

•

równanie momentów obrotowych: Jdy/dt = k

I-M

obc

Transmitancja silnika wyraża się wzorem (bez wyprowadzenia):

C) Narysowanie struktury układu

Przed narysowaniem struktury sporzšdza się zestawienie elementów i sygnałów układu.

Element układu
regulacji

Wejście

Wyjście

Transmitancja

Regulator

- wartość zadana

obrotów,
U

- napięcie prądnicy

- napięcie wirnika

= k

-U

)=k

- uchyb

Silnik elektryczny

- napięcie wirnika,

- napięcie

wzbudzenia,
M

obc

- moment obciążenia

Y - prędkość obrotowa
silnika

Prądnica
tachometryczna

Y - prędkość obrotowa
silnika

- napięcie prądnicy

Na podstawie powyższego zestawienia tworzy się schemat strukturalny

Na podstawie schematu wyznacza się transmitancję układu sterowania
Wypadkową transmitancję układu sterowania wyznacza się wyznaczając odpowiednio
transmitancję układu bez gałęzi sprzężenia zwrotnego (układ otwarty) a następnie po
uwzględnieniu transmitancji sprzężenia zwrotnego (na podstawie wzoru)

1. Transmitancja układu otwartego - wypadkowa transmitancja regulatora G

(s) i silnika

(s):

2. Transmitancja prądnicy G

(s):

3. Transmitancja układu zamkniętego ze sprzężeniem zwrotnym:

Na podstawie powyższej transmitancji można wyznaczyć zależność uchybu (s) jako funkcję
wymuszenia Y

(s) i Y(s) i uzyskać charakterystykę zmian (s), zależnie od M

obc

PODSTAWY AUTOMATYKI - WYKŁAD 7.

Treść
wykładu:

Człony złożone - c. d.
Budowa i przekształcanie schematów blokowych układów liniowych
jednowymiarowych.

Celem przekształceń schematów blokowych jest takie przedstawienie ich struktury, aby
można było wyznaczyć transmitancję zastępczą (wypadkową) i zbadać własności dynamiczne
układu.

Zasady obowiązujące przy tworzeniu i przekształcaniu schematów blokowych oraz przy

wyznaczaniu transmitancji wypadkowej.

1. Warunkiem koniecznym poprawnego przekształcania schematów jest zachowanie własności

układu. Układ po przekształceniach musi posiadać własności układu oryginalnego, co
oznacza, że tym samym sygnałom wejściowym i wyjściowym odpowiadają te same sygnały
po przekształceniach.

2. Dodawanie i odejmowanie sygnałów na schemacie blokowym reprezentowane jest za

pomocą węzłów sumacyjnych, (p. rys. poniżej). Sygnały wejściowe węzła, zależnie od ich
wpływu na sygnał wyjściowy oznacza się "+" lub "-". Sygnał wyjściowy jest algebraiczną
sumą sygnałów dochodzących do węzła.

3. W przypadku, gdy ten sam sygnał podawany jest na więcej niż jeden blok, wówczas do

schematu wprowadza się węzeł zaczepowy (rozgałęźny), (p. rys. poniżej). Suma sygnałów
wyjściowych z węzła jest równa sygnałowi wejściowemu do węzła.

4. Transmitancja wypadkowa G(s) szeregowo (łańcuchowo) połączonych członów jest równa

iloczynowi transmitancji tych członów.

4. Równanie stanu i równanie wyjścia.

5. Schemat blokowy układu opisanego równaniem stanu i równaniem wyjścia.

1. Wprowadzenie.

Metody opisu własności układu dynamicznego (liniowego):

Układ dynamiczny

to układ w którym sygnały czyli przebiegi wielkości fizycznych rozpatruje się jako
funkcje czasu.

A. Równanie różniczkowe (całkowe, różnicowe).
B. Model wejściowo-wyjściowy

charakterystyki statyczne,

charakterystyki dynamiczne



czasowe (odpowiedzi na wymuszenie skokowe i impulsowe),



częstotliwościowe (odpowiedzi na wymuszenia harmoniczne).

C. Transmitancja operatorowa i widmowa, rachunek operatorowy.

Kolejną metodą analizy układów dynamicznych jest

metoda zmiennych stanu.

Zalety metody zmiennych stanu w stosunku do metod A, B i C:

•

ujmują więcej niż relacje miedzy wejściem (+zakłócenia) a wyjściem, ponieważ
uwzględniają matematyczny opis zjawisk zachodzących wewnątrz układu sterowania,

•

pozwalają na ocenę własności dynamicznych poprzez matematyczny opis sygnałów
wejściowych, wyjściowych i stanu układu - równania stanu i równania wyjścia
obiektu,

•

pozwalają na ocenę sterowalności i obserwowalności układu, czyli pozwalają ocenić
czy można określić stan układu i czy można skutecznie układem sterować, czyli
określają pełną dynamikę układu,

•

pozwalają na ocenę własności dynamicznych układów nieliniowych.

Metoda zmiennych stanu wprowadza następujące pojęcia:

1. stan układu

dynamicznego,

2. przestrzeń stanu,
3. wektor stanu,

4. trajektoria stanu.

Pojęcia te są podstawą matematycznego modelu
przestrzeni stanów.

2. Pojęcie stanu układu dynamicznego.

Stan układu (1, T. Kaczorek)

najmniej liczny zbiór wielkości, którego znajomość w chwili początkowej t

znajomość wymuszeń w przedziale (t

,t] pozwalają wyznaczyć stan i odpowiedź

układu w dowolnej chwili t> t

Stan układu (2)

najmniej liczny zbiór wielkości, które pozwalają na ocenę zachowania się obiektu
(układu) w przyszłości, czyli do jednoznacznie określają zachowanie układu.

Stan układu (3, T. Kaczorek)

zbiór liniowo niezależnych wielkości, który:

•

jednoznacznie określa skutki przeszłych oddziaływań na układ,

•

jest wystarczający do wyznaczenia zachowania się układu (procesu) w
przyszłości.

Określenia stanu układu dotyczą układów dla których znajomość stanu układu w chwili
początkowej t

i wymuszenia u(t) dla t> t

pozwala wyznaczyć stan i odpowiedź układu dla t>

Wielkości:

nazywamy zmiennymi stanu lub współrzędnymi stanu.

Stan układu można interpretować jako pamięć, ponieważ na podstawie stanu (w przeszłości)
można określić aktualny stan czyli własności obiektu, a także stan czyli własności w
przyszłości.

Przykład
Przykładem współrzędnych stanu dla np.:

1. układu mechanicznego może być zbiór liniowo niezależnych wielkości takich jak:

współrzędne położenia tego układu,

I pochodna współrzędnych położenia,

II pochodna współrzędnych położenia.

2. maszyny elektrycznej może być zbiór liniowo niezależnych wielkości takich jak:

prąd w obwodzie wirnika,

siła elektromotoryczna,

strumień magnetyczny,

prędkość obrotowa.

Wielkości charakteryzujące obiekt dynamiczny nie muszą mieć sensu fizycznego, mogą być
więc wielkościami abstrakcyjnymi, np. zmienna określona zależnością:

, gdzie: E(t) - siła elektromotoryczna, L - indukcyjność, J - moment

bezwładności.

3. Model matematyczny przestrzeni stanów, wektor stanu, trajektoria stanu.

1. Rozpatrujemy dowolny, dynamiczny, ciągły, liniowy lub nieliniowy układ tj. taki,

który może być opisany równaniem różniczkowym lub układem równań
różniczkowych.

2. Istnieją przypadki, że równanie różniczkowe lub układ równań różniczkowych można

doprowadzić do postaci normalnej, czyli do układu równań różniczkowych,
zwyczajnych I rzędu.

Równanie różniczkowe zwyczajne to związek funkcji jednej zmiennej
niezależnej i pochodnych tej funkcji.

Rząd równania różniczkowego to rząd najwyższej pochodnej występującej w
danym równaniu.

Równanie różniczkowe zwyczajne I rzędu to równanie o postaci:

W szczególnych przypadkach, gdy równanie różniczkowe zwyczajne I rzędu
daje się rozwiązać względem y', wtedy równanie przybiera postać normalną:
y'= f(t, y) a y = f(t).

3. Aby opisać układ dynamiczny ciągły przy pomocy równań różniczkowych:

I stopnia,

zwyczajnych,

o postaci normalnej

wyróżnia się n-liniowo niezależnych wielkości fizycznych lub abstrakcyjnych,
oznaczając je odpowiednio:

4. Niech w chwili początkowej t=t

, istnieje stan początkowy reprezentowany przez n -

liczb:

5. Wyróżnione n - liniowo niezależne wielkości fizyczne lub abstrakcyjne nazywają się

współrzędnymi stanu lub zmiennymi stanu.

6. Współrzędne stanu zapisuje się w postaci wektorowej:

7. Współrzędne stanu zmieniają się w czasie, zgodnie z rozwiązaniami n - równań.

różniczkowych.

Wprowadzając do powyższych zapisów macierze, otrzymujemy uproszczony zapis

wektorowo - macierzowy z uwzględnieniem wektorów :

X(t),

U(t) i Y(t)

U(t)

- wektor sygnałów

wejściowych,

U(t)=

X(t)

- wektor stanu,

X(t)=

Y(t)

- wektor sygnałów
wyjściowych,

Y(t)=

- macierz stanu o wymiarach

n x n,

- macierz wejść wymiarach

n x r,

- macierz wyjść o wymiarach

m x n,

Układ opisany równaniami stanu i równaniami wyjścia może być przedstawiony w formie
schematu blokowego.

Przedstawiony model układu dynamicznego można traktować jako podstawowy schemat
opisany równaniami stanu i równaniami wyjścia.
Schemat ten ulega modyfikacjom zależnie od równań stanu i równań wyjścia.
Równania stanu i równania wyjścia zależą od własności danego układu.

A. Przypadek jednowymiarowego układu sterowania, gdy wektory U(t) i Y(t) są

reprezentowane przez odpowiednio przez pojedyncze składowe u(t) i y(t).

dla U(t)=u(t) macierz B staje się macierzą kolumnową b o wymiarach n x 1,

dla Y(t)=y(t) macierz C staje się macierzą wierszową c o wymiarach 1 x n.

Macierze b i c:

Równania stanu:

C. Przypadek układu dynamicznego, gdy sygnały sterujące oddziaływują także na

sygnały wyjściowe U(t) Y(t). W tym przypadku równanie wyjścia Y(t)=Y[X(t),
U(t)] zostaje rozbudowane o macierz D.

Macierz D:

Równania stanu:

PODSTAWY AUTOMATYKI - WYKŁAD 9.

Treść wykładu: Analiza układów dynamicznych metodą zmiennych stanu. 2. cz.

1. Związek między równaniem stanu, równaniem wyjścia a macierzą transmitancji.
2. Zasady doboru zmiennych stanu.

3. Sterowalność i obserwowalność układów liniowych. Ocena sterowalności i

obserwowalności

1. Związek między równaniem stanu, równaniem wyjścia a macierzą transmitancji.

Punktem wyjścia niech będzie układ dynamiczny:

•

liniowy,

•

stacjonarny,

•

wielowymiarowy.

Układ taki opisują równania układu: równanie stanu i równanie wyjścia:

, gdzie wektory U(t), X(t) i Y(t) są

określone następująco:

U(t)

- wektor sygnałów

wejściowych,

X(t)

- wektor stanu,

Y(t)

- wektor sygnałów

wyjściowych,

U(t)=

X(t)=

Y(t)=

Powyższy wektorowo-macierzowy opis układu rozszerza się wprowadzając transmitancję
macierzową G(s). Uwzględniając transformaty wektora wejść U(t) U(s) i odpowiednio
wektora wyjść Y(t) Y(s), można sformułować równanie:

Y(s) = G(s)U(s)

Elementami transmitancji macierzowej G(s) są transmitancje łączące poszczególne wejścia i
wyjścia (rys. poniżej):

Równania stanu poddajemy przekształceniom Laplace'a:

i otrzymujemy:

Równanie stanu przyjmuje postać:

s X(s) - A X(s)=B U(s)

(sI - A) X(s) = B U(s)

Na podstawie równania stanu wyznaczamy: X(s) = B (sI - A)

-1

U(s)

Wyznaczoną wartość transformaty wektora stanu X(s) podstawiamy do równania wyjścia i
otrzymujemy:

Y(s) = C X(s) = C B (sI - A)

-1

U(s)

Dzieląc obustronnie powyższe wyrażenie na Y(s) przez U(s), otrzymujemy wyrażenie na

transmitancję macierzową:

gdzie:
G(s) - macierzowa transmitancja operatorowa,
X(s) - transformata wektora stanu, wymiar wektora X(s) - n,
U(s) - transformata wektora wejść, wymiar wektora U(s) - r,
Y(s) - transformata wektora wyjść, wymiar wektora Y(s) - m.,
A - macierz stanu o wymiarach n x n,
B - macierz wejść o wymiarach n x r,
C - macierz wyjść o wymiarach m x n,
I - macierz jednostkowa o wymiarach n x n,
adj(sI - A) - macierz dołączona (nieosobliwa) - m. nieosobliwa to taka macierz, której
kolumny są liniowo niezależne),
det(sI - A) - wyznacznik macierzy,
macierz jednostkowa I to taka macierz w której w k-tej kolumnie na k-tym miejscu występuje
1 a pozostałe pozycje są 0.
W przypadku gdy układ jest układem jednowymiarowym tj. U(t)=u(t) a Y(t)=y(t) to
transmitancja macierzowa wyraża się następująco:

Zastosowanie macierzy transmitancji:

•

analiza, rozwiązywanie zadań sterowania i badanie stabilności układów o wielu
wejściach i wyjściach oraz układów wielopoziomowych,

•

wyznaczanie zmiennych stanu i macierzy A, B i C równań układu,

•

w przypadku transmitancji skalarnej G(s) dokonując zestawienia poznanych wyrażeń
na tę transmitancję, mamy:

, oraz

widać więc, że człon (sI - A)

-1

poprzez swój wyznacznik det(sI - A) ma bezpośredni związek

z wielomianem n-tego stopnia występującym w mianowniku transmitancji.

Wielomian jak i wyznacznik są to odpowiednio: wielomian charakterystyczny układu i
wielomian charakterystyczny macierzy A.
Jeśli wielomian charakterystyczny zostanie przyrównany do 0 można wyznaczyć miejsca
zerowe wielomianu charakterystycznego, które nazywają się pierwiastkami
charakterystycznymi równania:

Miejsca zerowe, czyli pierwiastki charakterystyczne to wartości dla których transmitancja jest
nieokreślona.
Zatem macierz A i wielomian charakterystyczny pozwalają na ocenę własności dynamicznych
układu.

2. Zasady doboru zmiennych stanu.

•

wyboru zmiennych stanu można dokonać na podstawie:

analizy zjawisk zachodzących w obiekcie (układzie, procesie)

macierzy transmitancji

•

na podstawie analizy zjawisk obiektu (układu, procesu)

formułuje się równania

opisujące dynamikę układu, należy dążyć aby zmiennym stanu przyporządkować
sygnały występujące w obiekcie,

•

w przypadku, gdy znana jest macierz transmitancji G(s)

, szuka się macierzy A, B i C

spełniających równania:
G(s) = C (sI - A)

-1

B oraz

należy jednak uwzględniać, że:

macierz transmitancji nie dostarcza informacji o ilości zmiennych stanu,

ten sam układ może być opisany innymi zmiennymi stanu,

•

w ogólnym przypadku, dobór zmiennych stanu powinien uwzględniać:

minimalizację liczby zmiennych stanu, czyli minimalny rozmiar macierzy stanu

wybrane zmienne stanu muszą spełniać warunek niezależności liniowej,

jeśli wybrano więcej niż jeden zestaw zmiennych stanu to przejście od jednych

współrzędnych do innych musi być wzajemnie jednoznaczne,

•

rodzaje zmiennych stanu:

fizykalne,

fazowe,

kanoniczne (nie będą omawiane),
zmienne fizykalne:

wybiera się minimalną liczbę n -liniowo niezależnych wielkości
reprezentujących sygnały fizyczne,

na podstawie relacji określających dynamikę zmian tych wielkości układa się
równania stanu,
zmienne fazowe:

dobór zmiennych fazowych następuje przy następujących

założeniach dotyczących układu dynamicznego, układ dynamiczny jest:

liniowy,

stacjonarny,

ciągły,

jednowymiarowy,

warunki takie spełnia następujące równanie różniczkowe opisujące układ dynamiczny:

np. równanie:

Transmitancja takiego układu wyraża się następująco:

, gdzie

Dla takiego układu zmienne fazowe wyznacza się wybierając:

pierwszą zmienną stanu jako jeden z sygnałów,

kolejne zmienne stanu jako kolejne pochodne tego sygnału.

Jako zmienną stanu można także wybrać sygnał wyjściowy: y(t)=x

(t) i kolejne

pochodne tego sygnału:

Na podstawie tych równań tworzy się
równania stanu (I rzędu, zwyczajne, o
postaci normalnej), jak niżej:

Zapisując powyższe równania stanu w postaci wektorowo-macierzowej otrzymujemy:

gdzie:
A

- macierz stanu n x n (tzw. macierz Frobeniusa),

- macierz wejść n x 1 (macierz kolumnowa),

- macierz wyjść 1 x n (macierz wierszowa),

Własności fizykalnych i fazowych zmiennych stanu:

fizykalne

fazowe

model matematyczny staje się
modelem fizycznym,

możliwość pomiaru wielkości
fizycznych,

można narysować schemat
blokowy układu,

możliwość syntezy układu
sterowania w przypadku sprzężenie
zwrotnego uzależnionego od
wektora stanu.

zmienne fazowe mogą mieć
znaczenie fizykalne,

ułatwiają analizę dynamiki układów,

ułatwiają analizę układów w
stanach przejściowych
(nieustalonych),

ułatwiają modelowanie analogowe,
ponieważ przez wprowadzenie
elementów całkujących i
proporcjonalnych.

3. Sterowalność i obserwowalność układów liniowych. Ocena sterowalności i
obserwowalności

Jako podstawę rozważań dotyczących sterowalności i obserwowalności przyjmuje się układ
dynamiczny:

•

liniowy,

•

stacjonarny,

•

wielowymiarowy,

opisany równaniem stanu i równaniem wyjścia.

Układ jest sterowalny

(całkowicie), gdy: ograniczone przedziałami ciągłe sterowanie U(t) przeprowadza
układ z dowolnego stanu początkowego X(t

) w chwili t=t

do dowolnego stanu

końcowego X(t

) w chwili t=t

w skończonym przedziale czasu t

-t

=0.

Sterowalność

oznacza możliwość osiągnięcia dowolnego stanu układu w skończonym czasie za
pomocą dopuszczalnego sterowania.

Układy niesterowalne

to układy, które są niecałkowicie sterowalne. Układ niecałkowicie sterowalny to
układ, który przy określonym doborze zmiennych stanu zawiera takie zmienne stanu,
których nie można za pomocą ograniczonego przedziałami ciągłego sterowania
przeprowadzić z dowolnej wartości początkowej X

) do X

Na podstawie definicji sterowalności całkowitej i niecałkowitej wprowadza się także
odpowiednie pojęcia sterowalności ze względu na wyjście, które określają zmiany wektora
sygnałów wyjściowych w chwilach t

i t

Układ jest obserwowalny

(całkowicie), jeśli przy danym dowolnym sterowaniu U(t), istnieje skończona chwila
t

, po której, na podstawie znajomości wektora sygnałów wyjściowych Y(t) i wektora

sterowania U(t) w przedziale od t

do t

można wyznaczyć stan układu X(t

) w

dowolnej chwili początkowej t

Obserwowalność

oznacza, że na podstawie przebiegu sygnału wyjściowego w skończonym przedziale
czasu, można określić stan układu w dowolnej chwili tego przedziału.

Własności układów sterowalnych i obserwowalnych:
Układ sterowalny:

•

to układ w którym wektor sygnałów wejściowych oddziaływuje na wszystkie
zmienne stanu, czyli zapewnia skuteczne sterowanie,

•

zmiana wektora wejść wywołuje różne zmiany każdej współrzędnej stanu.

Układ obserwowalny:

•

to układ w którym istnieją relacje między wszystkimi sygnałami wektora
wyjściowego a sygnałami wektora stanu, czyli na podstawie przeprowadzonej
w skończonym czasie obserwacji (analizy) sygnałów wyjściowych i
sterujących można jednoznacznie określić wektor stanu początkowego,

•

zmiana wektora stanu wywołuje różne zmiany wyjścia czyli musi zachodzić
odróżnienie wpływu każdej zmiennej stanu na zmianę obserwowanego
wektora wyjść.

Układ niesterowalny:

•

to układ w którym wektor wejść U(t) nie ma wpływu na wszystkie zmienne
stanu.

Układzie nieobserwowalny:

•

to układ w którym między dowolnym wektorem wyjść Y(t) nie zachodzą
relacje między wszystkimi zmiennymi stanu X(t).

Ocena sterowalności i obserwowalności

może być przeprowadzona na podstawie analizy:

•

postaci kanonicznej równania stanu i równania wyjścia,

•

bezpośredniej analizy schematu blokowego.

Ocena sterowalności i obserwowalności (na podstawie analizy postaci kanonicznej
równania stanu i równania wyjścia)

Warunek sterowalności:
Warunkiem koniecznym i dostatecznym (wystarczającym) sterowalności jest, aby macierz

o n - wierszach i m - kolumnach miała rząd n, czyli n -

liniowo niezależnych kolumn.

Warunek obserwowalności:
Warunkiem koniecznym i dostatecznym (wystarczającym) obserwowalności jest, aby
macierz:

o wymiarach m x n miała rząd n, czyli zawierała n - liniowo niezależnych

wierszy.
Dla ułatwienia analizy macierzy O, wprowadza się macierz W, która jest transpozycją
macierzy O. Warunek obserwowalności odnoszący się do macierzy W formułuje się
następująco: układ jest całkowicie obserwowalny wtedy i tylko wtedy, gdy rząd macierzy

jest równy n.

Podczas analizy układów sterowania mogą wystąpić, o ile istnieją, 4 rodzaje przypadków
określających części analizowanego układu pod względem sterowalności i obserwowalności.
Układ sterowania może więc zawierać części:

c. po uwzględnieniu definicji transmitancji tj.

, transmitancja

wypadkowa wyraża się następująco:

na podstawie powyższego wyrażenia można utworzyć równania stanu i
wyjścia obiektu dynamicznego.

2. Wyprowadzenie równań obiektu dynamicznego i macierzy.

a. Wymnażając stronami równanie p.1c otrzymujemy:

a po przejściu do dziedziny czasu otrzymujemy:

b. Otrzymane równanie jest równaniem różniczkowym II rzędu, zatem można

utworzyć dwa równania różniczkowe I rzędu, które odpowiadać będą dwóm
równaniom stanu o postaci normalnej. Jako zmienną stanu obieramy sygnał
wyjściowy y(t) a wtedy, zgodnie z zasadami doboru zmiennych fazowych,
można utworzyć relacje:

Zatem równania obiektu dynamicznego są następujące:

2 równania stanu i równanie wyjścia

Macierze odnoszące się do powyższego układu równań są następujące: A=

, b=

, c=

, d= , proszę napisać samodzielnie

PODSTAWY AUTOMATYKI - WYKŁAD 10.

Treść

1. Analiza układów dynamicznych metodą zmiennych stanu. cz.- 3.

wykładu:

Ocena sterowalności i obserwowalności - zadanie 2.

2. Podstawowe człony dynamiczne: właściwości i charakterystyki

3. Układy regulacji cz. 1.

Zadanie. (przykład zastosowania zmiennych fazowych jako zmiennych stanu, wyznaczenie
równań układu i wyznaczenie sterowalności i obserwowalności)
Dane jest równanie różniczkowe opisujące drgania sprężyny o stałej k i współczynniku
tłumienia c.

•

wyprowadzić równania układu i odpowiadające tym równaniom macierze,

•

wyznaczyć sterowalność i obserwowalność.

Obierając zmienną fazową x(t) (położenie) jako sygnał wyjściowy y(t) oraz uwzględniając, że
równanie opisujące zjawisko jest równaniem II stopnia, czyli, że wymaga to wprowadzenia 2
zmiennych stanu, otrzymujemy równania:
y(t) = x

(t) oraz

(t) = x

(t), które stają się podstawą do napisania równań układu:

Na podstawie tak sformułowanych równań tworzy się macierze a następnie na podstawie
macierzy bada się sterowalność i obserwowalność:

A =

, b =

, c =

, d =

Sprawdzić, czy powyższy układ jest sterowalny?

1. Warunkiem koniecznym i dostatecznym sterowalności jest, aby macierz

była rzędu n (czyli, żeby miała n - liniowo niezależnych kolumn, wyznacznik takiej
macierzy jest różny od zera).

2. Układ, którego sterowalność będziemy sprawdzać jest układem o jednym wejściu

, czyli równanie stanu ma postać:

, a macierz

S nie może być osobliwa.

3. Układ z jednym wejściem jest sterowalny jeśli:

w celu wyznaczenia macierzy S określamy kolejno poszczególne macierze:

Jak widać w macierzy S występują 2 niezależne liniowo kolumny, a wartość
wyznacznika jest -49, czyli wyznacznik jest różny od 0, czyli układ jest sterowalny.

Sprawdzić, czy powyższy układ jest obserwowalny?

1. Warunkiem koniecznym i dostatecznym obserwowalności jest, aby macierz

była rzędu n (czyli, żeby miała n - liniowo niezależnych kolumn).

2. Układ, którego obserwowalność będziemy sprawdzać jest układem o jednym wyjściu

, czyli równanie wyjścia ma postać:

czyli warunkiem koniecznym i wystarczającym jest, aby macierz W nie była osobliwa,
jest aby wartość wyznacznika det W

3. Obliczenia dot. obserwowalności:

2. Podstawowe człony dynamiczne: właściwości i charakterystyki

Podstawowe człony dynamiczne to układy, których własności dynamiczne zostały
wyczerpująco zbadane.

Analizując dynamiczny układ automatyki lub projektując nowy układ automatyki, o ile to
możliwe, poszukuje się w strukturach badanych lub projektowanych układów, elementów
będących podstawowymi członami dynamicznymi, tak, aby można było na podstawie
znajomości tych członów wnioskować o analizowanym lub projektowanym układzie.

Podając zbiór informacji o układzie automatyki a w szczególności o określonym,
podstawowym członie dynamicznym podaje się i określa następujące własności,
charakterystyki i informacje:

1. Równanie dynamiki

2. Transmitancja operatorowa

3. Wartości własne

4. Charakterystyki dynamiczne (najważniejsze)

- skokowa,

- amplitudowo-fazowa,

- amplitudowa,

- fazowa

5. Równania układu i macierze

- równanie(a) stanu

- równanie(a) wyjścia

- macierze

Element proporcjonalny (bezinercyjny)

1. Równanie:

statyczne: y = k u,

dynamiczne: y(t) = k u(t), gdzie k - współczynnik wzmocnienia
(proporcjonalności), może być dodatni lub ujemny,

2. Transmitancja operatorowa: G(s) = k,
3. Wartości własne: nie określa się, nie występuje wielomian charakterystyczny,
4. Charakterystyki:

statyczna: y = k u

skokowa:

amplitudowo-fazowa: G(j ) = P( ) + jQ( ) = k, zatem: P( ) = k, Q(j ) = 0

amplitudowa:

fazowa:

5. Równania układu i macierze:

równania stanu: nie występują,

5. Równania układu i macierze:

, zakładając, że sygnał wyjścia jest sygnałem stanu

otrzymujemy:

Na podstawie powyższych równań dla T=1 i k=1 tworzymy macierze:

Element całkujący (idealny)

1. Równanie:

gdzie:
T - stała czasowa,
k - współczynnik wyrażający stosunek prędkości odpowiedzi do wartości
wymuszającej

po scałkowaniu dla zerowych warunków początkowych otrzymujemy:

2. Transmitancja operatorowa: na podstawie równania (p.1.)

3. Wartości własne: dla s=0 transmitancja G(s) jest nieokreślona,
4. Charakterystyki:

statyczna: u=0

skokowa:

Na podstawie powyższych równań tworzymy macierze:

Wyprowadzenie macierzy na podstawie transmitancji:

na podstawie powyższych równań tworzymy macierze:

W powyższy sposób, tak, jak zostały przedstawione człony:

1. proporcjonalny,
2. inercyjny,
3. całkujący,

należy w ramach przygotowania do egzaminu, w formie własnego studium
opanować wiedzę dotyczącą kolejnych członów dynamicznych:

4. różniczkujący,
5. przesuwnik fazowy,
6. dwuinercyjny,
7. oscylacyjny.

KONIEC WYKŁADU 10.

PODSTAWY AUTOMATYKI - WYKŁAD 11.

Treść wykładu: Układy regulacji cz. 1.

1. Wprowadzenie do regulacji
2. Wymagania dla układów automatycznej regulacji

1. Wprowadzenie do regulacji

•

Regulacja to sterowanie w układzie zamkniętym ze sprzężeniem zwrotnym tzn., że
sygnały z wyjścia obiektu oddziaływują na sygnały wejściowe.

•

Stosowanie regulacji jest jedną z metod eliminacji skutków zakłóceń.

•

Elementy układu sterowania to: obiekt sterowania i regulator.

•

Do omówienia przykładowego układu regulacji przedstawionego poniżej na rysunku,
przyjmujemy, że jest to układ regulacji jednej zmiennej.

•

Dla układów regulacji określa się tzw. zadanie sterowania. Gdy zadanie sterowania
odnosi się do jednego sygnału wyjściowego to sygnał ten nazywa się sygnałem
regulowanym.

•

Sygnały które występują w układzie regulacji jednej zmiennej to:

y0(t) sygnał zadany (wejściowy), określany jako tzw. zadanie sterowania,

y(t) sygnał wyjściowy, zwany także sygnałem regulowanym,
u(t) sygnał sterujący, zwany sygnałem nastawiającym

(t)

sygnał uchybu regulacji (w idealnym regulatorze uchyb powinien przyjmować
wartość 0)

z(t) sygnał zakłócenia

Zagadnienie dotyczące układów regulacji mogą być rozpatrywane w zakresie:

•

analizy układów regulacji,

•

syntezy układów regulacji.

Analiza obejmuje badanie układów regulacji (regulatorów i obiektów) przy pomocy metod
stosowanych do badania układów dynamicznych. Wynikiem analizy jest identyfikacji
układów regulacji.
Synteza to szereg kolejnych działań niezbędnych dla zaprojektowania układu regulacji.
Działania te obejmują:

•

opis matematyczny obiektu,

•

opis zadania sterowania, czyli charakterystyki sygnału zadanego,

•

opis zakłóceń,

•

dobór wskaźników jakości regulacji,

•

założenia dotyczące sygnałów układu regulacji i struktury regulatora.

Wynikiem syntezy jest projekt układu regulacji zawierający opis matematyczny regulatora
spełniający założenia współczynników jakości regulacji.

Rodzaje układów regulacji
Można wyróżnić, zależnie od przyjętego kryterium klasyfikacji, następujące rodzaje układów
regulacji:

a. zależnie od liczby regulowanych wielkości:

jednowymiarowe (regulacja jednej zmiennej)

wielowymiarowe (regulacja wielu sygnałów wyjściowych).

b. poprzez analogię do układów dynamicznych:

ciągłe,

impulsowe,

liniowe,

nieliniowe

c. ze względu na charakter sygnału zadanego y

(t), układy regulacji mogą być układami:

regulacji stałowartościowej, gdy sygnał y

(t)=y

=const.

regulacji programowalnej, gdy przebieg sygnału jest zaprogramowany
(przewidziany z góry),

regulacji nadążnej, gdy sygnał y

(t) ma charakter nie przewidziany,

regulacji ekstremalnej, gdy celem regulacji jest utrzymanie sygnału
wyjściowego lub sygnałów wyjściowych na poziomie wartości ekstremalnych
(minimalnych lub maksymalnych)

d. ze względu na możliwość zmiany własności regulatora

w czasie jego pracy:

układy adaptacyjne, gdy dla zmieniających się w czasie pracy równań obiektu
następuje dostosowanie, czyli adaptacja równań regulatora,

układy optymalne, gdy osiąga się możliwie najlepsze wartości
współczynników jakości, niezależnie od struktury regulatora,

układy suboptymalne, gdy przy określonym typie regulatora uzyskuje się
najlepsze współczynniki jakości

Do analizy układu regulacji przyjmujemy, że regulator jak i obiekt jako elementy układu
regulacji są układami:

•

ciągłymi,

•

liniowymi

a regulator jest układem jednej zmiennej czyli jest układem jednowymiarowym.
Schemat blokowy takiego układu z oznaczeniami poszczególnych transmitancji przedstawia
rysunek poniżej. Występujące na rysunku, jak i w wyrażeniach oznaczenia nazwy sygnałów i
transmitancji określa się następująco:

(s)

transformata sygnału zadanego (wejściowego),</TD< tr>

y(s)

transformata sygnału wyjściowego (regulowanego), </TD< tr>

u(s)

transformata sygnału sterującego (nastawiającego) </TD< tr>

(s)

transformata sygnał uchybu regulacji </TD< tr>

z(s)

transformata zakłócenia </TD< tr>

(s) transmitancja obiektu regulacji względem sygnału sterującego u(s)</TD< tr>

(s)

transmitancja regulatora </TD< tr>

(s) transmitancja obiektu regulacji względem sygnału zakłócającego </TD< tr>

(s)

transmitancja wypadkowa układu otwartego (toru otwartego) układu regulacji </TD<
tr>

G(s)

transmitancja układu zamkniętego </TD< tr>

(s) transmitancja zakłóceniowa układu zamkniętego </TD< tr>

G (s) transmitancja uchybowa </TD< tr>

Do dalszej analizy układu regulacji na podstawie powyższego rysunku określa się
transformaty następujących sygnałów:

Przyjmuje się:

, gdy zakłócenie oddziaływuje bezpośrednio na wyjście i

, gdy zakłócenie działa bezpośrednio na wejściu obiektu

transmitancja układu zamkniętego:

transmitancja uchybowa:

transmitancja zakłóceniowa układu zamkniętego:

Na podstawie powyższych relacji wnioskuje się o zachowaniu układu regulacji.
Układ statyczny i astatyczny

1. W układach regulacji całkowity uchyb regulacji jest złożeniem (sumą) dwóch

składników:

gdzie

- uchyb przejściowy, zwany także dynamicznym,

- uchyb statyczny (uchyb w stanie ustalonym).

2. W przypadku stabilnego układu regulacji tzn. po dostatecznie długim czasie, wartość

uchybu (t) ustala się na poziomie

tj. uchybu statycznego, ponieważ uchyb

upływem czasu dąży do zera.

, na podstawie twierdzenia granicznego rachunku

operatorowego.

4. Uwzględniając powyższą relację można określić zachowanie układu regulacji w

przypadkach:

- zmiany sygnału zadanego y

, jako wymuszenia skokowego

zatem uchyb statyczny (w stanie ustalonym)

, niezależnie od amplitudy wymuszenia

A byłby równy 0, gdyby granica transmitancji układu otwartego
- skokowej zakłócenia z(t)=z 1(t)

zatem uchyb statyczny (w stanie ustalonym)

,byłby równy 0 jeśli

co zaszłoby w przypadku gdyby transmitancja regulatora miała działanie całkujące:

, czyli wystąpiłby biegun dla s=0.

Gdy regulator i obiekt nie mają własności całkujących, to w stanie ustalonym uchyb
statyczny jest wyrażeniem:

Na podstawie powyższych rozważań wprowadza się pojęcia układu statycznego i
układu astatycznego.

Układ statyczny regulacji to układ, którego uchyb statyczny w stanie ustalonym przy
wymuszeniu skokowym y

(t) lub z(t) jest różny od zera, niezależnie od amplitudy

wymuszenia, tzn., że w układzie statycznym występują różne od zera proporcjonalne
do wartości skokowego lub stałego pobudzenia uchyby ustalone.

Układ astatyczny regulacji to układ w którym uchyb statyczny, czyli uchyb ustalony
przy wymuszeniu skokowym jest równy 0.

Warunkiem koniecznym astatyzmu zamkniętego układu regulacji są całkowe własności
regulatora.

2. Wymagania dla układów automatycznej regulacji Wymagania stawiane układom
automatycznej regulacji to:

•

dokładność regulacji,

•

stabilność regulacji,

•

wymagania odnoszące się do wskaźników jakości regulacji.

Dokładność regulacji to wielkość różnicy między sygnałem wartości zadanej y

(t) a

sygnałem wyjściowym y(t).

W praktyce dąży się do uzyskania tzw. dokładności wystarczającej lub określa się
dopuszczalną bezwzględną wartość uchybu dynamicznego i uchybu ustalonego.
Dokładność dynamiczną osiąga się poprzez dobór parametrów i korekcji regulatora.
Dokładność statyczną ustala się na dopuszczalnym poziomie. Kryterium dokładności
statycznej jest jednoznaczne: albo układ regulacji jest astatyczny i nie ma uchybu albo
jest statyczny i posiada uchyb. Zerowanie uchybu ustalonego osiąga się wprowadzając
do regulatora układy całkujące. Dążenie do zerowania uchybu może powodować
utratę stabilności.

transmitancji G

(s).

2. Ocena stabilności zamkniętego układu regulacji może zostać dokonana na podstawie

układu otwartego. Mianowniki wyrażeń określających transmitancję układu
zamkniętego zawierają wyrażenie 1+G

(s), które można traktować jak równanie

charakterystyczne:

i znaleźć wartości s, które spełniają to równanie. Aby układ był stabilny, pierwiastki
równania charakterystycznego powinny znajdować się w lewej półpłaszczyźnie
zmiennej zespolonej s. W praktyce do oceny stabilności stosuje się metody
algebraiczne.

Wskaźniki regulacji

1. wskaźnik uchybu
ustalonego

określa się przez podanie:
1. wartości dopuszczalnej w
jednostkach fizycznych,
2. w jednostkach względnych

2. czas regulacji t

przedział czasu od chwili wymuszenie
do chwili w której uchyb przejściowy:

, nie przekroczy

5% wartości maksymalnej tj.

3. współczynnik
przeregulowania

iloraz największej wartości uchybu

o znaku przeciwnym do

maksymalnej wartości uchybu
przejściowego (tj.

), =

Częstotliwościowe wskaźniki regulacji określa się na podstawie charakterystyk

częstotliwościowych (amplitudowej, amplitudowo-fazowej i fazowej).

dla układu otwartego:

4. częstotliwość
graniczna modułu
L

charakterystyki

amplitudowej

oznacza częstotliwość

. dla której

5. częstotliwość
graniczna fazy
(argumentu)
(warunek
stabilności układu
zamkniętego:

)

oznacza częstotliwość

. dla której

6. zapas fazy

określa odchylenie charakterystyki fazowej od
wartości -180

dla częstotliwości

7. zapas modułu

(amplitudy
) lub wielkość

określa odchylenie charakterystyki amplitudowej od
wartości 0 [dB] dla częstotliwości