CAŁKI NIEOZNACZONE 

 

Definicja 

Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli 

 

 

'

F x

f x



 dla każdego 

x

I



. 

 

Twierdzenie (podstawowe o funkcjach pierwotnych) 

Niech F będzie funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I. Wtedy: 

1. 

 

 

G x

F x

C





 gdzie 

C



R

, jest funkcją pierwotną funkcji f na I, 

2.  Każdą funkcję pierwotną funkcji f na I można przedstawić w postaci 

 

c

x

F



, gdzie 

R



c

. 

 

Twierdzenie (warunek wystarczający istnienia funkcji pierwotnej) 

Jeżeli funkcja jest ciągła na przedziale, to ma funkcję pierwotną na tym przedziale. 
 

Definicja (całka nieoznaczona) 

Niech F będzie funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I. Całką nieoznaczoną funkcji f na 
przedziale I nazywamy zbiór funkcji 

 





;

F x

C C





R

 

Całkę nieoznaczoną funkcji f oznaczamy przez 

 

f x dx



 

 
Niech funkcja f ma funkcję pierwotną na przedziale I. Wtedy dla każdego 

I

x



 

 





 

x

f

dx

x

f







 

Niech funkcja  f ma pochodną na przedziale I. Wtedy dla każdego 

I

x



 

 

 

C

x

f

dx

x

f









, gdzie 

R

C



 

 

Twierdzenie (o liniowości całki nieoznaczonej) 

Niech funkcje f i g  mają funkcje pierwotne oraz niech 

R







,

. Wtedy  

 

 





 

 













dx

x

g

dx

x

f

dx

x

g

x

f









 

 

Twierdzenie (o całkowaniu przez części) 

Jeżeli funkcje f i g  mają ciągłe pochodne, to  

   

   

   













dx

x

g

x

f

x

g

x

f

dx

x

g

x

f

 

 

Twierdzenie (o całkowaniu przez podstawianie) 

Jeżeli  

1.  funkcja 

R

I

f



:

 jest ciągła na przedziale I 

2.  funkcja 

I

J



:



 ma ciągłą pochodną na przedziale J, to  

 

 

   

 

 

C

t

F

dt

t

t

f

dx

x

f



















 

 
 
 
 

 

34 

C

AŁKI NIEOZNACZONE WAŻNIEJSZYCH FUNKCJI ELEMENTARNYCH

 

 

∫ 0𝑑𝑥 = 𝐶     dla 𝑥𝜖ℝ 

∫ 𝑐𝑑𝑥 = 𝑐𝑥 + 𝐶     dla   𝑥𝜖ℝ     𝑜𝑟𝑎𝑧    𝐷 ∈ ℝ 

∫ 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝐶     dla  𝑥𝜖ℝ

 

∫ 𝑥

𝛼

𝑑𝑥 =

𝑥

𝛼+1

𝛼 + 1

+ 𝐶     dla 𝛼 ≠ −1   oraz 𝑥𝜖ℝ  

∫ 𝑥𝑑𝑥 =

𝑥

2

2

+ 𝐶     dla  𝑥𝜖ℝ 

 

∫

𝑑𝑥

𝑥

=

ln

|𝑥| + 𝐶     dla 𝑥𝜖ℝ − {0}

 

∫ 𝑎

𝑥

𝑑𝑥 =

𝑎

𝑥

ln

𝑎

+ 𝐶     dla 𝑎𝜖(0,1) ∪ (1, ∞)   oraz  𝑥𝜖ℝ 

 

∫ 𝑒

𝑥

𝑑𝑥 = 𝑒

𝑥

+ 𝐶     dla  𝑥𝜖ℝ

 

∫ 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥 = −𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐶     dla  𝑥𝜖ℝ

 

∫ 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝐶     dla  𝑥𝜖ℝ

 

∫

𝑑𝑥

𝑠𝑖𝑛

2

𝑥

= −𝑐𝑡𝑔𝑥 + 𝐶     dla  𝑥𝜖(𝑘𝜋, (𝑘 + 1)𝜋),    gdzie 𝑘𝜖ℤ

 

∫

𝑑𝑥

𝑐𝑜𝑠

2

𝑥

= 𝑡𝑔𝑥 + 𝐶     dla  𝑥𝜖 (−

𝜋
2

+ 𝑘𝜋,

𝜋
2

+ 𝜋) ,    gdzie 𝑘𝜖ℤ

 

∫

1

1 +

𝑥

2

𝑑𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 + 𝐶     dla  𝑥𝜖ℝ

 

∫

−1

1 +

𝑥

2

𝑑𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔𝑥 + 𝐶     dla  𝑥𝜖ℝ

 

∫

1

√1 −

𝑥

2

𝑑𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝐶     dla  𝑥𝜖(−1,1)

 

∫

−1

√1 −

𝑥

2

𝑑𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐶     dla  𝑥𝜖(−1,1)

 

 

Definicja 

Funkcję wymierną 

 

 

 

L x

W x

M x



  nazywamy  właściwą,  gdy  stopień  wielomianu  w  liczniku 

jest mniejszy od stopnia wielomianu w mianowniku. W przeciwnym przypadku mówimy, że 
funkcja wymierna jest niewłaściwa. 
 

Definicja  

Funkcję  wymierną  właściwą  postaci 





n

A

x

a



,  gdzie 

R

A

a

R

n





,

,

,  nazywamy  ułamkiem 

prostym pierwszego rodzaju. 

Funkcję  wymierną  właściwą  postaci 





2

n

Bx

C

x

bx

c







,  gdzie 

R

C

B

c

b

R

n





,

,

,

,

,  oraz 

2

4

0

b

c

 





, nazywamy ułamkiem prostym drugiego rodzaju. 

 
 

 

35 

Twierdzenie (o rozkładzie funkcji wymiernej na ułamki proste) 

Każda funkcja wymierna właściwa rzeczywista jest sumą ułamków prostych. Przedstawienie 
to jest jednoznaczne. Funkcja wymierna właściwa  

 



 

 





 

 



1

2

1

2

2

2

2

1

2

1

1

2

2

...

...

s

r

l

l

l

k

k

k

r

s

s

L x

x

x

x

x

x

x

x

b x c

x

b x c

x

b x c



















 

jest  sumą 

1

2

...

r

k

k

k

  

  ułamków  prostych  pierwszego  rodzaju  oraz 

1

2

...

s

l

l

l

  

  ułamków 

prostych drugiego rodzaju, przy czym 
  czynnikowi 





i

k

i

x

x



 odpowiada suma k

i

 ułamków prostych pierwszego rodzaju postaci:  









1

2

2

...

i

i

ik

i

i

k

i

i

i

A

A

A

x

x

x

x

x

x



 







, gdzie 

1

2

,

,...,

1

i

i

i

ik

A A

A

i

r



 

, 

  czynnikowi 





2

j

l

j

j

x

b x c





  odpowiada  suma  l

j

  ułamków  prostych  drugiego  rodzaju 

postaci: 









1

1

2

2

2

2

2

2

...

j

j

j

jl

jl

j

j

j

j

l

j

j

j

j

j

j

B x C

B x C

B x C

x

b x c

x

b x c

x

b x c









 













,  

gdzie 

1

2

1

2

,

,...,

,

,

,...,

1

j

j

j

j

jl

j

j

jl

B

B

B

C

C

C

j

s



 

. 

 

C

AŁKOWANIE UŁAMKÓW PROSTYCH PIERWSZEGO RODZAJU

 

Do obliczania całek z ułamków prostych pierwszego rodzaju stosujemy podstawienie 

t

x

a

 

 

i następnie korzystamy ze wzoru: 

 

 

 

1

ln

1

1

1

t

C dla

t dt

t

C dla

















 



 



 

 





 

 

C

AŁKOWANIE UŁAMKÓW PROSTYCH DRUGIEGO RODZAJU

 

Do obliczania całek z ułamków prostych drugiego rodzaju stosujemy wzór  





















2

2

2

2

2

2

n

n

n

Bx C dx

x b dx

B

Bb

dx

C

x

bx c

x

bx c

x

bx c









































 

Pierwszą  z  tych  całek  obliczamy  za  pomocą  podstawienia 

2

t

x

bx c







,  a  drugą  po 

sprowadzeniu 

trójmianu 

2

x

bx c





 

do 

postaci 

kanonicznej: 





2

2

2

2

4

b

b

x

p

q

x

c











 























 i podstawieniu  x

p

q t

 



 za pomocą wzoru: 





















1

1

2

2

2

2

3

2

1

2

1

n

n

n

dx

x

n

dx

n

a

x

a

n

a x

a

x

a

























 

 

Literatura 

1.  M. Gewert, Z. Skoczylas: Analiza matematyczna 1. Definicje, twierdzenia, wzory. 
2.  M. Gewert, Z. Skoczylas: Analiza matematyczna 1. Przykłady i zadania. 
3.  W. Krysicki, L. Włodarski: Analiza matematyczna w zadaniach, część I.