CAŁKI NIEOZNACZONE

Definicja

Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli

 

 

'

F x

f x



dla każdego

x

I



.

Twierdzenie (podstawowe o funkcjach pierwotnych)

Niech F będzie funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I. Wtedy:

1.

 

 

G x

F x

C





gdzie

C



R

, jest funkcją pierwotną funkcji f na I,

2. Każdą funkcję pierwotną funkcji f na I można przedstawić w postaci

 

c

x

F



, gdzie

R



c

.

Twierdzenie (warunek wystarczający istnienia funkcji pierwotnej)

Jeżeli funkcja jest ciągła na przedziale, to ma funkcję pierwotną na tym przedziale.

Definicja (całka nieoznaczona)

Niech F będzie funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I. Całką nieoznaczoną funkcji f na
przedziale I nazywamy zbiór funkcji

 





;

F x

C C





R

Całkę nieoznaczoną funkcji f oznaczamy przez

 

f x dx



Niech funkcja f ma funkcję pierwotną na przedziale I. Wtedy dla każdego

I

x



 





 

x

f

dx

x

f







Niech funkcja f ma pochodną na przedziale I. Wtedy dla każdego

I

x



 

 

C

x

f

dx

x

f









, gdzie

R

C



Twierdzenie (o liniowości całki nieoznaczonej)

Niech funkcje f i g mają funkcje pierwotne oraz niech

R







,

. Wtedy

 

 





 

 













dx

x

g

dx

x

f

dx

x

g

x

f









Twierdzenie (o całkowaniu przez części)

Jeżeli funkcje f i g mają ciągłe pochodne, to

   

   

   













dx

x

g

x

f

x

g

x

f

dx

x

g

x

f

Twierdzenie (o całkowaniu przez podstawianie)

Jeżeli

1. funkcja

R

I

f



:

jest ciągła na przedziale I

2. funkcja

I

J



:



ma ciągłą pochodną na przedziale J, to

 

 

   

 

 

C

t

F

dt

t

t

f

dx

x

f



















34

C

AŁKI NIEOZNACZONE WAŻNIEJSZYCH FUNKCJI ELEMENTARNYCH

∫ 0𝑑𝑥 = 𝐶 dla 𝑥𝜖ℝ

∫ 𝑐𝑑𝑥 = 𝑐𝑥 + 𝐶 dla 𝑥𝜖ℝ 𝑜𝑟𝑎𝑧 𝐷 ∈ ℝ

∫ 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝐶 dla 𝑥𝜖ℝ

∫ 𝑥

𝛼

𝑑𝑥 =

𝑥

𝛼+1

𝛼 + 1

+ 𝐶 dla 𝛼 ≠ −1 oraz 𝑥𝜖ℝ

∫ 𝑥𝑑𝑥 =

𝑥

2

2

+ 𝐶 dla 𝑥𝜖ℝ

∫

𝑑𝑥

𝑥

=

ln

|𝑥| + 𝐶 dla 𝑥𝜖ℝ − {0}

∫ 𝑎

𝑥

𝑑𝑥 =

𝑎

𝑥

ln

𝑎

+ 𝐶 dla 𝑎𝜖(0,1) ∪ (1, ∞) oraz 𝑥𝜖ℝ

∫ 𝑒

𝑥

𝑑𝑥 = 𝑒

𝑥

+ 𝐶 dla 𝑥𝜖ℝ

∫ 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥 = −𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐶 dla 𝑥𝜖ℝ

∫ 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝐶 dla 𝑥𝜖ℝ

∫

𝑑𝑥

𝑠𝑖𝑛

2

𝑥

= −𝑐𝑡𝑔𝑥 + 𝐶 dla 𝑥𝜖(𝑘𝜋, (𝑘 + 1)𝜋), gdzie 𝑘𝜖ℤ

∫

𝑑𝑥

𝑐𝑜𝑠

2

𝑥

= 𝑡𝑔𝑥 + 𝐶 dla 𝑥𝜖 (−

𝜋
2

+ 𝑘𝜋,

𝜋
2

+ 𝜋) , gdzie 𝑘𝜖ℤ

∫

1

1 +

𝑥

2

𝑑𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 + 𝐶 dla 𝑥𝜖ℝ

∫

−1

1 +

𝑥

2

𝑑𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔𝑥 + 𝐶 dla 𝑥𝜖ℝ

∫

1

√1 −

𝑥

2

𝑑𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝐶 dla 𝑥𝜖(−1,1)

∫

−1

√1 −

𝑥

2

𝑑𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐶 dla 𝑥𝜖(−1,1)

Definicja

Funkcję wymierną

 

 

 

L x

W x

M x



nazywamy właściwą, gdy stopień wielomianu w liczniku

jest mniejszy od stopnia wielomianu w mianowniku. W przeciwnym przypadku mówimy, że
funkcja wymierna jest niewłaściwa.

Definicja

Funkcję wymierną właściwą postaci





n

A

x

a



, gdzie

R

A

a

R

n





,

,

, nazywamy ułamkiem

prostym pierwszego rodzaju.

Funkcję wymierną właściwą postaci





2

n

Bx

C

x

bx

c







, gdzie

R

C

B

c

b

R

n





,

,

,

,

, oraz

2

4

0

b

c

 





, nazywamy ułamkiem prostym drugiego rodzaju.

35

Twierdzenie (o rozkładzie funkcji wymiernej na ułamki proste)

Każda funkcja wymierna właściwa rzeczywista jest sumą ułamków prostych. Przedstawienie
to jest jednoznaczne. Funkcja wymierna właściwa

 



 

 





 

 



1

2

1

2

2

2

2

1

2

1

1

2

2

...

...

s

r

l

l

l

k

k

k

r

s

s

L x

x

x

x

x

x

x

x

b x c

x

b x c

x

b x c



















jest sumą

1

2

...

r

k

k

k

  

ułamków prostych pierwszego rodzaju oraz

1

2

...

s

l

l

l

  

ułamków

prostych drugiego rodzaju, przy czym
 czynnikowi





i

k

i

x

x



odpowiada suma k

i

ułamków prostych pierwszego rodzaju postaci:









1

2

2

...

i

i

ik

i

i

k

i

i

i

A

A

A

x

x

x

x

x

x



 







, gdzie

1

2

,

,...,

1

i

i

i

ik

A A

A

i

r



 

,

 czynnikowi





2

j

l

j

j

x

b x c





odpowiada suma l

j

ułamków prostych drugiego rodzaju

postaci:









1

1

2

2

2

2

2

2

...

j

j

j

jl

jl

j

j

j

j

l

j

j

j

j

j

j

B x C

B x C

B x C

x

b x c

x

b x c

x

b x c









 













,

gdzie

1

2

1

2

,

,...,

,

,

,...,

1

j

j

j

j

jl

j

j

jl

B

B

B

C

C

C

j

s



 

.

C

AŁKOWANIE UŁAMKÓW PROSTYCH PIERWSZEGO RODZAJU

Do obliczania całek z ułamków prostych pierwszego rodzaju stosujemy podstawienie

t

x

a

 

i następnie korzystamy ze wzoru:

1

ln

1

1

1

t

C dla

t dt

t

C dla

















 



 



 

 





C

AŁKOWANIE UŁAMKÓW PROSTYCH DRUGIEGO RODZAJU

Do obliczania całek z ułamków prostych drugiego rodzaju stosujemy wzór





















2

2

2

2

2

2

n

n

n

Bx C dx

x b dx

B

Bb

dx

C

x

bx c

x

bx c

x

bx c









































Pierwszą z tych całek obliczamy za pomocą podstawienia

2

t

x

bx c







, a drugą po

sprowadzeniu

trójmianu

2

x

bx c





do

postaci

kanonicznej:





2

2

2

2

4

b

b

x

p

q

x

c











 























i podstawieniu x

p

q t

 



za pomocą wzoru:





















1

1

2

2

2

2

3

2

1

2

1

n

n

n

dx

x

n

dx

n

a

x

a

n

a x

a

x

a

























Literatura

1. M. Gewert, Z. Skoczylas: Analiza matematyczna 1. Definicje, twierdzenia, wzory.
2. M. Gewert, Z. Skoczylas: Analiza matematyczna 1. Przykłady i zadania.
3. W. Krysicki, L. Włodarski: Analiza matematyczna w zadaniach, część I.