Twierdzenie Banacha

o punkcie stałym

Piotr

Arciszewski

Jedno z twierdzeń Banacha o punkcie stałym dla

każdego przekształcenia zwężającego ciąg obrazów
punktów (figur) jest zbieżny do punktu stałego.

Przekształcenia zwężające, to przekształcenia

mające własność powodującą zmniejszanie się odległości
punktów po przekształceniu.

Przekształcenie takie np. jednokładność w skali

0<S<1(ma punkt, który przechodzi na siebie samego).
Zastosowanie

wielokrotne

takiej

jednokładności

przybliża kolejno otrzymywane punkty do środka
jednokładności.

D

E

F

C

A

B

O

1-q

q

1

1

q

q

2

q

3

q

4

Z rysunku widzimy, że trójkąty AOD i EDF są podobne.

Możemy więc napisać następujące proporcje:

ED

EF

AD

AO



czyli

ED

AO

1

1



q

q

q

q

q

n

S















4

3

2

1

1

q

S





1

1

1

q

S





1

1

A

F

E

B

a

0

a

0

q

a

0

q

a

0

q

2

O

Do twierdzenia o sumie szeregu geometrycznego,

zamiast

kwadratów,

możemy

użyć

innych

figur

geometrycznych przekształcanych przez jednokładność o
współczynniku skali równym q. A oto jeszcze jeden dowód tego
doświadczenia

tym

razem

posługując

się

trójkątami

równobocznymi zamiast kwadratów.

Inne przekształcenie to przekształcenie, które

zbliża punkty na osi liczbowej np. 1+0,5x x

Po kolejnym zastosowaniu tego przekształcenia dla

dowolnej liczby otrzymujemy wyniki, których kalkulator
już nie rozróżnia. O to przykład dla liczby 7.

To jest położenie naszej liczby na osi

liczbowej.

2

1

0

3

4

5

6

-
1

7

2

1

0

3

4

5

6

-
1

7

5

,

4

1

5

,

0

7







2

1

0

3

4

5

6

-
1

7

25

,

3

1

5

,

0

5

,

4







2

1

0

3

4

5

6

-
1

7

625

,

2

1

5

,

0

25

,

3







2

1

0

3

4

5

6

-
1

7

3125

,

2

1

5

,

0

625

,

2







2

1

0

3

4

5

6

-
1

7

15625

,

2

1

5

,

0

3125

,

2







2

1

0

3

4

5

6

-
1

7

078125

,

2

1

5

,

0

15625

,

2







To przekształcenie jest rozwiązaniem zadania o

cegle:

Cegła waży kilo i pół cegły.

Ile waży cegła?

x = 1 + 0,5x

x = 1 + 0,5x / - 0,5x

0,5x = 1

x = 2