Analiza Funkcjonalna
WPPT IIIr. semestr letni 2011
Twierdzenie Hahna–Banacha
05/06/2008
Twierdzenie Hahna–Banacha (o przedÃlu˙zaniu funkcjonaÃlu):
Niech V
0
b¸edzie
podprzestrzeni¸a liniow¸a przestrzeni liniowej unormowanej V (nawet nie zakÃladamy
zupeÃlno´sci) i niech P
0
b¸edzie funkcjonaÃlem okre´slonym na V
0
, o normie r. Wtedy
istnieje, okre´slony na V funkcjonaÃl P o normie r taki, ˙ze P |
V
0
= P
0
.
Dow´od. Najpierw udowodnimy to twierdzenie dla funkcjonaÃl´ow rzeczywistych un-
ormowanych, gdzie V
0
i V traktowane s¸a jako przestrzenie rzeczywiste. Rozwa˙zmy
rodzin¸e wszelkich unormowanych ,,przedÃlu˙ze´
n” rzeczywistych, funkcjonaÃlu P
0
na
podprzestrzenie zawieraj¸ace V
0
:
P = {(V
0
, P
0
) : P
0
∈ V
0∗
, V
0
⊃ V
0
, kP
0
k = 1, P
0
|
V
0
= P
0
}
Rodzina ta jest niepusta, gdy˙z zawiera (V
0
, P
0
). W rodzinie tej wprowadzamy
cz¸e´sciowy porz¸adek wg. relacji ,,by´c przedÃlu˙zeniem”:
(V
00
, P
00
) < (V
0
, P
0
) ⇐⇒ V
00
⊃ V
0
& P
00
|
V
0
= P
0
.
Sprawdzamy zaÃlo˙zenia Lematu Kuratowskiego–Zorna: je´sli (V
α
, P
α
) jest Ãla´
ncuchem
(pozbiorem uporz¸adkowanym liniowo) w P, to jego kres g´orny okre´slamy jako par¸e
(V
0
, P
0
), gdzie V
0
=
S
α
V
α
(to jest podprzestrze´
n liniowa V ) oraz na tej sumie
okre´slamy P
0
wzorem P
0
(v) = P
α
(v) bior¸ac dowolne α takie, ˙ze v ∈ V
α
. Elemen-
tarnie sprawdza si¸e, ˙ze (V
0
, P
0
) ∈ P oraz, ˙ze para ta dominuje caÃly Ãla´
ncuch.
Zatem z Lematu K–Z wynika istnienie elementu maksymalnego (V
0
, P
0
) w P (czyli
maksymalnego przedÃlu˙zenia dla (V
0
, P
0
), kt´orego nie mo˙zna przedÃlu˙zy´c na ˙zadn¸a
podprzestrze´
n istotnie wi¸eksz¸a ni˙z V
0
). Poka˙zemy, ˙ze V
0
= V , co zako´
nczy dow´od.
Je´sli V
0
6= V , to w V istnieje wektor w /
∈ V
0
. Niech V
00
= Lin(V
0
∪{w}). Oczywi´scie
V
00
⊃ V
0
i zawieranie to jest istotne. Ka˙zdy wektor v ∈ V
00
wyra˙za si¸e jako
v = v
0
+ αw, gdzie v
0
∈ V
0
i α ∈ R. Przedstawienie to jest jednoznaczne, gdy˙z
gdyby byÃly dwa r´o˙zne, to odejmuj¸ac je stronami doszliby´smy do tego, ˙ze w ∈ V
0
.
Trzeba ustali´c jak¸a warto´s´c funkcjonaÃlu przypisa´c wektorowi w. Zauwa˙zmy, ˙ze dla
dowolnych v
1
, v
2
∈ V
0
mamy
P
0
(v
1
) − P
0
(v
2
) ≤ |P
0
(v
1
) − P
0
(v
2
)| ≤ kv
1
− v
2
k ≤ kv
1
− wk + kv
2
− wk
zatem
P
0
(v
1
) − kv
1
− wk ≤ P
0
(v
2
) + kv
1
− wk.
St¸ad supremum po wszystkich v
1
wyra˙zenia po lewej musi by´c nie wi¸eksze od infi-
mum po v
2
wyra˙zenia po prawej:
m = sup
v
1
(P
0
(v
1
) − kv
1
− wk) ≤ M = inf
v
2
(P
0
(v
2
) + kv
1
− wk).
Mo˙zemy teraz wektorowi w przypisa´c dowolnie wybran¸a liczb¸e r z przedziaÃlu [m, M ]
i b¸edzie dobrze. Czyli wektorowi v = v
0
+ αw (α ∈ R) przyporz¸adkujemy
P
00
(v) = P
0
(v
0
) + αr.
Oczywi´scie jest to rozszerzenie P
0
na V
00
Liniowo´s´c jest elementarna.
Trzeba
sprawdzi´c norm¸e. Z jednorodno´sci, (dziel¸ac przez −α) wystarczy to robi´c na wek-
torach postaci v = v
0
− w. Wtedy mamy
|P
00
(v)| = |P
0
(v
0
) − r|.
Ale
−P
0
(v
0
) + r ≤ −P
0
(v
0
) + M ≤ −P
0
(v
0
) + P
0
(v
0
) + kv
0
− wk = kvk
oraz
P
0
(v
0
) − r ≤ P
0
(v
0
) − m ≤ P
0
(v
0
) − P
0
(v
0
) + kv
0
− wk = kvk.
Pokazali´smy, ˙ze kP
00
k osi¸agana na V
00
nie przekracza 1. PrzedÃlu˙zyli´smy na istotnie
wi¸eksz¸a przestrze´
n V
00
rzekomo nieprzedÃlu˙zalny funkcjonaÃl P
0
. Ta sprzeczno´s´c im-
plikuje, ˙ze V
0
= V , co ko´
nczy dow´od w przypadku rzeczywistym. (Unormowanie
nie stanowi istotnego ograniczenia, na mocy jednorodno´sci normy).
PozostaÃl przypadek zespolony. Ka˙zdy funkcjonaÃl zespolony P
0
na podprzestrzeni
V
0
zespolonej przestrzeni V zapisuje si¸e jako
P
0
= P
r
0
+ iP
i
0
gdzie P
r
0
= Re(P
0
) i P
i
0
= Im(P
0
) s¸a funkjconaÃlami rzeczywistymi na V
0
trak-
towanej jako rzeczywista podprzestrze´
n rzeczywistej przestrzeni V . Ponadto mamy
zale˙zno´s´c:
Re(P
0
(iv)) = Re(iP
0
(v)) = −Im(P
0
(v)),
czyli
P
i
0
(v) = −P
r
0
(iv).
Tym sposobem wyrazili´smy P
0
przez de facto JEDEN funkcjonaÃl rzeczywisty P
r
0
,
jak nast¸epuje:
P
0
(v) = P
r
0
(v) − iP
r
0
(iv).
Je´sli chodzi o norm¸e, to oczywi´scie kP
r
0
k ≤ kP
0
k. Z drugiej strony, |P
0
(v)| =
p
|P
r
0
(v)|
2
+ |P
r
0
(iv)|
2
≤ kP
r
0
kkvk, co implikuje, ˙ze kP
r
0
k = kP
0
k.
Z Tw. Hahna–Banacha udowodnionego ju˙z dla funkcjonaÃl´ow rzeczywistych, przedÃlu˙zamy
teraz P
r
0
do funkcjonaÃlu rzeczywistego P
r
okre´slonego na caÃlej przestrzeni V , nie
zwi¸ekszaj¸ac normy. Wreszcie definiujemy
P (v) = P
r
(v) − iP
r
(iv).
Sprawdzenie, ˙ze to jest ju˙z funckjonaÃl zespolony (trzeba sprawdzi´c wyci¸aganie
staÃlych zespolonych), ˙ze przedÃlu˙za P , i ˙ze nie zwi¸eksza normy jest kompletnie ele-
mentarne.
Tomasz Downarowicz
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
8 Twierdzenia Banacha i Baire'a
Twierdzenie Banacha
8. Twierdzenia Banacha i Baire'a
Tales twierdzenie
Twierdzenie Talesa
Analiza Matematyczna Twierdzenia
Czas nie istnieje, to iluzja – twierdzą (niektórzy) fizycy cz 2
10 2009 Twierdzenia mod n
Opis programu komputerowego Twierdzenie Pitagorasa-dowód i z, wrzut na chomika listopad, Informatyka
Twierdzenie sinusów i cosinusów
Algebra Liniowa 2 Definicje Twierdzenia Wzory Jurlewicz Skoczylas
07 Twierdzenie o istnieniu i jednoznaczno
Fizycy twierdzą, że Wszechświat może przypominać gigantyczny mózg
16 Z Twierdzenia energetyczne
ABY 0027 Linie wroga 2 Twierdza rebelii
Pewne samobójcze twierdzenie Towarzystwa Strażnica
Dowód twierdzenia Thevenina, AGH, 5 semestr, elektra
więcej podobnych podstron