1

Niezawodność układów

• Elementy i układy

• Układ szeregowy
• Układ równoległy

• Granice niezawodności układów

o elementach skorelowanych

• Elementy jednakowo skorelowane

• Układ szeregowy
• Układ równoległy elementów ciągliwych

• Elementy niejednakowo skorelowane

• Układ równoległy
• Układ szeregowy

2

Niezawodność układów

Układ jest zbiorem elementów
wzajemnie ze sobą połączonych.

Awaria jednego z elementów
nie oznacza awarii całego układu.

Awaria elementu może polegać
na osiągnięciu stanu granicznego
(n.p. stanu granicznego nośności).

3

Niezawodność układów

•Element kruchy - element nazywa się doskonale kruchym,

jeżeli po awarii staje się bezużyteczny.

•Element ciągliwy - element nazywa się doskonale ciągliwym,

jeżeli po awarii zachowuje zdolność przenoszenia obciążeń.

o

b

c

ią

że

n

ie

przemieszczenie

zerwanie

o

b

c

ią

że

n

ie

przemieszczenie

ciągliwy

kruchy

4

Układ szeregowy

• Układ elementów konstrukcyjnych nazywa się

szeregowym, jeżeli ulega on awarii, wtedy
gdy jeden z jego elementów ulega awarii.
Nazywa się go także układem najsłabszego ogniwa.

przekrój

poprzeczny

przykład
układu
szeregowego

przykład
układu
równoległego

5

Układ szeregowy

• Przykład układu szeregowego

układ ulegnie awarii,
jeżeli ulegnie awarii
jeden z jego elementów

przykłady układów szeregowych kruchych i ciągliwych

6

Układ szeregowy

• Awaria układu oznacza, że jego nośność R

jest mniejsza niż obciążenie q.

• Prawdopodobieństwo jego awarii P

f

wynosi

• Jeżeli nośności poszczególnych jego elementów

są statystycznie niezależne, prawdopodobieństwo
awarii układu można obliczyć następująco:





 

q

F

q

R

P

P

R

f







7

Układ szeregowy









 





















































































n

1

i

f

n

1

i

i

R

n

n

2

2

1

1

n

n

2

2

1

1

n

n

2

2

1

1

R

f

i

i

P

1

1

)

q

(

F

1

1

)

q

R

(

P

1

...

)

q

R

(

P

1

)

q

R

(

P

1

1

)

q

R

(

P

...

)

q

R

(

P

)

q

R

(

P

1

)

q

R

(

...

)

q

R

(

)

q

R

(

P

1

)

q

R

(

P

1

)

q

R

(

P

)

q

(

F

P

8

Przykład

• Element AB jest belką stalową (W1054)

o wskaźniku sprężystości przekroju Z = 1200 cm

3

i granicy plastyczności F

y

= 250 MPa

• Element BC jest liną stalową o średnicy D = 2,5 cm

i wytrzymałości Fu = 400 MPa.

• Obliczyć wskaźnik niezawodności układu.

P = 180 kN

2 m

2 m

2,5 m

9

Przyjęto następujące parametry statystyczne
wytrzymałości elementów:

Dla elementu AB:



AB

= 1,07 v

AB

= 0,13 rozkład log.-normalny

Dla elementu BC:



BC

= 1,19 v

AB

= 0,14 rozkład normalny

10

Stąd:







kNm

321

300

07

,

1

R

n

AB

AB

R

AB













 

kNm

42

321

13

,

0

V

AB

AB

R

AB

R











a ponieważ R

AB

ma rozkład logarytmiczno-normalny:





kNm

129

,

0

V

1

ln

2

AB

R

ln

AB









 

kNm

76

,

5

5

,

0

ln

2

R

ln

R

R

ln

AB

AB

AB













Jako nośność belki AB przyjęto jej zdolność
do przeniesienia momentu zginającego;
czyli jej nośność nominalna :









kNm

300

10

250

0012

,

0

ZF

R

3

y

n

AB









11

Jako nośność pręta BC przyjęto jego zdolność
do przeniesienia osiowej siły rozciągającej;
czyli jego nośność nominalna:

Stąd:









kN

196

10

400

025

,

0

4

F

D

4

AF

R

3

2

u

2

y

n

BC





















kN

234

196

19

,

1

R

n

BC

BC

R

BC

















kN

33

234

14

,

0

V

BC

BC

R

BC

R











12



 

kNm

180

4

4

180

4

PL

M

max

AB







Belka AB ulegnie awarii, jeżeli jej zdolność przeniesienia
momentu zginającego będzie mniejsza niż moment:

















6

R

ln

R

ln

R

AB

AB

f

10

41

,

5

40

,

4

180

ln

180

F

180

R

P

P

AB

AB

AB













































Stąd jej prawdopodobieństwo awarii:

13

Pręt BC ulegnie awarii, jeżeli jego zdolność przeniesienia
siły rozciągającej będzie mniejsza niż siła:





kN

90

2

180

2

P

N

BC







Stąd jego prawdopodobieństwo awarii:





 





6

R

R

R

BC

BC

f

10

67

,

5

39

,

4

90

90

F

90

R

P

P

BC

BC

BC













































14

Cały układ ulegnie awarii, gdy ulegnie awarii belka lub pręt::











6

6

6

2

1

i

f

f

10

11,08

10

5,67

1

10

5,41

1

1

P

1

1

P

i

































Często wygodniej jest porównywać wskaźniki niezawodności
a nie prawdopodobieństwa:









40

,

4

10

41

,

5

AB

P

6

1

f

1

AB

dla

































39

,

4

10

67

,

5

BC

P

6

1

f

1

BC

dla

































24

,

4

10

08

,

11

P

6

1

f

1

ukad

ukladu

dla

























Wskaźniki niezawodności elementów 

AB

i 

BC

są większe

niż wskaźnik niezawodności całego układu 

układu

.

Jest to charakterystyczne dla układu szeregowego,
który jest „mniej niezawodny” niż każdy z jego elementów.

15

Dany jest układ szeregowy o dowolnej liczbie elementów.
Niech n oznacza liczbę elementów układu.
Jeżeli prawdopodobieństwo awarii każdego z nich = 0,05,
to prawdopodobieństwo awarii układu wynosi:













n

n

n

1

i

f

f

95

,

0

1

05

,

0

1

1

P

1

1

P

i





















n

P

f

 = -

-1

(P

f

)

1

0,050

1,64

2

0,098

1,29

3

0,142

1,07

5

0,227

0,75

10

0,401

0,25

Przykład

16

Układ równoległy

Układ równoległy może składać się
z elementów kruchych lub ciągliwych.

Przyjmuje się, że układy te są równoległe,
ponieważ do ich awarii konieczna jest
awaria wszystkich elementów składowych.

17

Układ równoległy

elementów doskonale ciągliwych

Układ równoległy n elementów doskonale ciągliwych
ulega awarii, gdy ulegają awarii wszystkie jego elementy
(t.j. przekraczają granicę plastyczności).

Niech R

i

oznacza nośność i-tego elementu układu.

Nośność układu jest sumą nośności wszystkich elementów.

Jeżeli nośności te są nieskorelowane, to:







n

1

i

i

R

R











n

1

i

R

R

i











n

1

i

2

R

2

R

i

18

Układ równoległy

elementów doskonale ciągliwych

Prawdopodobieństwo awarii układu można obliczyć następująco.









































n

1

i

f

n

1

i

i

R

n

R

2

R

1

R

n

n

2

2

1

1

n

n

2

2

1

1

f

i

i

n

2

1

P

)

q

(

F

)

q

(

F

...

)

q

(

F

)

q

(

F

)

q

R

(

P

...

)

q

R

(

P

)

q

R

(

P

)

q

R

(

...

)

q

R

(

)

q

R

(

P

P

19

Układ równoległy

elementów doskonale ciągliwych

Ponadto, jeżeli zmienne R

i

mają jednakowe rozkłady losowe

(t.j. jednakowe funkcje gęstości prawdopodobieństwa),
wtedy wartość średnia i wariancja nośności układu wynoszą:

i

R

R

n





2

R

2

R

i

n





a wskaźnik zmienności wynosi:

i

i

i

R

R

R

R

2

R

R

R

R

V

n

1

n

1

n

n

V





















20

Przykład

Dany jest układ równoległy dwóch elementów
doskonale ciągliwych.

kN

5

2

1

R

R









20

,

0

V

V

2

1

R

R





Nośność każdego z nich ma rozkład normalny
o następujących parametrach:

21

Odchylenie standardowe nośności każdego z elementów:

kN

1

V

1

1

2

1

R

R

R

R













Ponieważ nośności te mają jednakowe rozkłady:

kN

10

n

i

R

R









kN

2

kN

2

n

R

2

R

2

R

i



















14

,

0

20

,

0

2

1

V

n

1

V

i

R

R







22

Układ równoległy

elementów kruchych

Niech R

1

, R

2

, ..., R

n

oznaczają nośności elementów 1, 2, ..., n.

Załóżmy, że są one uporządkowane rosnąco R

1

< R

2

< ... < R

n

Nośność układu R wyniesie:



 







n

1

n

3

2

1

R

,

R

2

,

,

R

2

n

,

R

1

n

,

nR

max

R











23

Układy hybrydowe (złożone)

Często układy konstrukcyjne są kombinacjami
układów szeregowych i równoległych.
Nazywa się hybrydowymi lub złożonymi.

Elementy 1 i 2 tworzą układ równoległy,
ten zaś tworzy z elementem 3 układ szeregowy.

24

Zmienne logiczne

Założenie: każdy element może znajdować się
tylko w jednym z dwóch stanów

• awaryjnym

• bezawaryjnym (bezpiecznym)

Wprowadza się zmienne losowe S

i

i F

i

:









awarii

ulegl

elemet

jezeli

awarii

ulegl

nie

element

jezeli

0

1

S

i













awarii

ulegl

element

jezeli

awarii

ulegl

nie

element

jezeli

1

0

S

1

F

i

i

survival - przetrwanie failure - awaria

25

Zmienne logiczne

Stan układu opisać można za pomocą wektora:





n

2

1

S

,

,

S

,

S

S





 









awarii

ulegl

uklad

jezeli

awarii

ulegl

nie

uklad

jezeli

0

1

S

S

uklad

 









n

1

i

i

n

2

1

uklad

S

S

...

S

S

S

S

 

 



















n

1

i

i

S

uklad

F

1

1

S

S

1

F

S

Definiuje się funkcję układu,

W układzie szeregowym, awaria jednego elementu
oznacza awarię całego układu

lub

26

Zmienne logiczne

W układzie równoległym, jeżeli przynajmniej jeden element
nie uległ awarii, nie ulegnie awarii cały układ.

( i słusznie, bo jeżeli przynajmniej jeden i-ty element nie uległ awarii,

to dla tego elementu S

i

= 1 czyli (1-S

i

) = 0 czyli iloczyn = 1 )

 















n

1

i

i

uklad

S

1

1

S

S

 

 







n

1

i

i

uklad

F

F

S

lub

27

Układ szeregowy

elementów o dodatniej korelacji

W przypadku układu szeregowego elementów skorelowanych,


ij

0, można przyjąć następującą dolną i górną granicę

prawdopodobieństwa awarii:

































n

1

i

i

f

i

i

1

F

P

1

1

P

1

F

P

max

wszystkie elementy

są całkowicie skorelowane

( ij = 1 )

wszystkie elementy

są nieskorelowane

( ij = 0 )

28

Przykład

Dany jest układ szeregowy dwóch elementów
doskonale ciągliwych.

Wskaźniki niezawodności elementów 

e

= 3,5

a ich nośności mają rozkłady normalne.

Określić dolną i górną granicę
prawdopodobieństwa awarii układu.

29

Skoro dwa elementy mają jednakowe rozkłady nośności,
dolna granica prawdopodobieństwa awarii układu wynosi:

Prawdopodobieństwo awarii układu zawiera się
w granicach:

























000233

,

0

5

,

3

1

F

P

1

F

P

1

F

P

max

e

2

1

i

i















































000466

,

0

000233

,

0

1

1

1

F

P

1

1

1

F

P

1

1

2

2

1

n

1

1

i



























000466

,

0

P

000233

,

0

f





natomiast górna granica wynosi:

Przykład - c.d.

30

Układ równoległy

elementów o dodatniej korelacji













1

F

P

min

P

1

F

P

i

i

f

n

1

1

i













wszystkie elementy

są nieskorelowane

( ij = 0 )

wszystkie elementy

są całkowicie skorelowane

( ij = 1 )

Granice prawdopodobieństwa układu równoległego
elementów skorelowanych, 

ij

0, są następujące:

31

Wskaźniki niezawodności
prętów AB i CD wynoszą:


AB

= 3,00 i 

CD

= 3,25.

Układ ulega awarii
(t.j. nie może przenieść
przyłożonego obciążenia)
gdy jego elementy AB i CD
osiągną granicę plastyczności.

Określić dolną i górną granicę
prawdopodobieństwa awarii układu.

Przykład

32

Górna granica jest najmniejszym prawdopodobieństwem
awarii poszczególnych elementów:

















4

CD

i

i

10

77

,

5

25

,

3

1

F

P

1

F

P

min

























 

 





7

n

1

1

i

10

79

,

7

000577

,

0

00135

,

0

25

,

3

00

,

3

1

F

P

























4

f

7

10

77

,

5

P

10

79

,

7













Przykład - c.d.

Dolna granica jest iloczynem prawdopodobieństw awarii
poszczególnych elementów:

Prawdopodobieństwo awarii układu mieści się
w granicach:

33

Dolne i górne granice prawdopodobieństwa awarii

układu szeregowego wg Ditlevsena

Górną granicą jest:

Dolną granicą jest:







































n

i

j

2

i

j

i

n

1

i

i

f

1

F

1

F

P

max

1

F

P

P











 













































n

2

i

1

i

1

j

i

i

i

i

f

0

,

1

F

1

F

P

1

F

P

max

1

F

P

P

34

Układy elementów

jednakowo skorelowanych

Rozważmy układ n elementów.
R

i

(i = 1, 2, ... , n) oznacza nośność i-tego elementu.

Aby dokładnie obliczyć prawdopodobieństwo awarii układu,
należy przyjąć następujące założenia:

• nośności elementów mają rozkłady normalne

• nośności wszystkich elementów są jednakowo skorelowane,

współczynnik korelacji wynosi 

• wszystkie przyłożone obciążenia są deterministyczne

i stałe w czasie

• wszystkie elementy zaprojektowano tak, aby miały jednakowy

wskaźnik niezawodności 

e

.

35

Układ szeregowy

elementów jednakowo skorelowanych

Dla układu szeregowego n elementów, Stuart (1958) wyprowadził
następujący wzór na obliczenie prawdopodobieństwa awarii:

gdzie:


e

- wskaźnik niezawodności każdego z elementów

()

- dystrybuanta prawdopodobieństwa rozkładu normalnego

 ()

- funkcja gęstości prawdopodobieństwa rozkładu normalnego

 - współczynnik korelacji jednakowy dla wszystkich par elementów.

 

dt

t

1

t

1

P

n

e

f

























































36

Układ szeregowy

elementów jednakowo skorelowanych

Prawdopodobieństwa awarii układów szeregowych
elementów jednakowo skorelowanych

37

Układ szeregowy

elementów jednakowo skorelowanych

Wskaźniki niezawodności układów szeregowych
elementów jednakowo skorelowanych

38

Przykład

Obliczyć prawdopodobieństwo awarii kratownicy.
Przyjąć dla wszystkich elementów 

e

= 3,0

i współczynnik korelacji między elementami  = 0,85.

39

Ponieważ kratownica jest statystycznie wyznaczalna, awaria
jednego z elementów doprowadzi do awarii układu; stąd

 

dt

t

1

t

1

P

3

e

f

























































prawdopodobieństwo awarii układu:

4

f

10

05

,

29

P







 





 

4

e

element

f

10

50

,

13

3

P





















prawdopodobieństwo awarii każdego z elementów:

Przykład - c.d.

40

Układ równoległy elementów ciągliwych

jednakowo skorelowanych

Nośność układu równoległego n elementów ciągliwych wynosi:







n

1

i

i

R

R

jeżeli nośności wszystkich elementów mają ten sam rozkład:

e

n

1

i

R

R

n

i

















































































n

1

n

1

n

n

n

2
e

2
e

2
e

n

n

j

i

2
e

ij

n

1

i

2
e

n

1

i

n

1

j

R

R

ij

2

R

j

i

41

Układ równoległy elementów ciągliwych

jednakowo skorelowanych

Aby wyznaczyć wskaźnik niezawodności układu ,

należy, dla każdego elementu, określić związek między
jego wskaźnikiem niezawodności 

e

a wartością średnią 

e

i odchyleniem standardowym 

e

jego nośności.

Dla i-tego elementu, funkcja stanu granicznego ma postać:

Wskaźnik niezawodności elementu wynosi:

Stąd:

 

i

i

i

q

R

R

g





e

i

e

e

q











e

e

e

i

q











42

Układ równoległy elementów ciągliwych

jednakowo skorelowanych

Skoro 

e

, 

e

i 

e

są jednakowe dla wszystkich elementów,

funkcja stanu granicznego układu ma postać:

a wskaźnik niezawodności układu wynosi:

 

ukladu

q

R

R

g





R

ukladu

R

ukladu

q











e

e

e

ukladu

n

n

q











43

Układ równoległy elementów ciągliwych

jednakowo skorelowanych

Związek między 

układu

, 

e

i :























































































n

1

n

n

1

n

n

n

1

n

n

n

1

n

n

n

n

e

2

e

e

e

e

2
e

e

e

e

e

ukladu

44

Układ równoległy elementów ciągliwych

jednakowo skorelowanych

Prawdopodobieństwo awarii układu:

45

Układ równoległy elementów ciągliwych

jednakowo skorelowanych

Wskaźnik niezawodności układu:

46

Układy elementów

niejednakowo skorelowanych

Założenia:

• Nośności elementów mają rozkłady normalne

o jednakowych parametrach 

e

i 

e

.

• Wszystkie przyłożone obciążenia są deterministyczne

i stałe w czasie.

• Wszystkie elementy zaprojektowano tak, aby miały

jednakowy wskaźnik niezawodności 

e

.

47

Układ równoległy

elementów ciągliwych

Macierz korelacji między elementami jest następująca:

Wskaźniki niezawodności układu wynosi:

R

ukladu

R

ukladu

q











 









































1

1

1

2

n

1

n

n

2

21

n

1

12









48

Układ równoległy

elementów ciągliwych

gdzie:

oraz

Po podstawieniu do:

i przekształceniach, otrzymujemy:

R

ukladu

R

ukladu

q











e

R

n





















































n

n

j

i

ij

e

n

n

j

i

ij

e

e

n

n

j

i

e

ij

n

i

e

R

n

i

n

j

R

ij

R

n

n

j

i

























2

2

2

2

1

2

1

1

2

)

(

49

Układ równoległy

elementów ciągliwych



























































































n

n

j

i

ij

e

n

n

j

i

ij

2

e

n

n

j

i

ij

2
e

e

e

n

n

j

i

ij

2
e

e

e

e

e

uklad

n

1

1

n

n

n

n

n

n

)

n

n

(

n

50

Układ równoległy

elementów ciągliwych

Definiując współczynnik „korelacji średniej”:

otrzymujemy ostatecznie:













n

n

j

i

ij

)

1

n

(

n

1













)

1

n

(

1

n

e

system

51

Obliczyć wskaźnik niezawodności układu.
Wskaźnik niezawodności elementów 

e

= 4,0

Macierz korelacji jest następująca:

 





























1

0,5

0,3

0,1

0,5

1

0,2

0,2

0,3

0,2

1

0,4

0,1

0,2

0,4

1

Przykład

52

0.283

12

3,4

]

0,5

0,3

0,1

0,5

0,2

0,2

0,3

0,2

0,4

0,1

0,2

0,4

[

)

3

(

4

1

)

1

n

(

n

1

n

n

j

i

ij









































5,88

)

0,283

)(

3

(

1

4

4,0

)

1

n

(

1

n

e

uklad



















Przykład - c.d.

53

Jeżeli wszystkie elementy są nieskorelowane,

Jeżeli wszystkie elementy są doskonale skorelowane,

0





1





8,0

)

0

)(

3

(

1

4

4,0

)

1

n

(

1

n

e

uklad



















4,0

)

1

)(

3

(

1

4

4,0

)

1

n

(

1

n

e

uklad



















Przykład - c.d.

54

Układ szeregowy

Prawdopodobieństwo awarii można w przybliżeniu
obliczyć następująco:

Przybliżenie to jest zwykle bardzo dobre w przypadku
małych wartości n (liczby elementów).
W przypadku dużych wartości n można je poprawić
stosując następujący wzór:

 

dt

t

1

t

1

P

n

e

f





























































)

,

2

(

P

)

,

2

(

P

)

,

n

(

P

P

max

f

f

f

f













55

Obliczyć prawdopodobieństwo awarii układu:

Wskaźnik niezawodności elementów 

e

= 3,0

Macierz korelacji jest następująca:

 





































1

0,5

0,2

0,1

0

0,5

1

0,5

0,2

0,1

0,2

0,5

1

0,5

0,2

0,1

0,2

0,5

1

0,5

0

0,1

0,2

0,5

1

Przykład

56

Stąd, przy

Górne i dolne oszacowanie prawdopodobieństwa awarii
można obliczyć stosując wzór Ditlevsena:

Z drugiej strony, P

f

można także obliczyć nastepująco:

4

f

4

10

2

,

64

P

10

8

,

63













0,283

12

3,4

)

1

n

(

n

1

n

n

j

i

ij





















4

f

10

5

,

65

P







5

n

,









Przykład - c.d.

57

lub bardziej precyzyjnie:





















4

f

4

4

4

f

f

f

f

10

9

,

64

P

10

2

,

26

10

8

,

26

10

5

,

65

50

,

0

P

28

,

0

P

28

,

0

P

P

2

1































n = 2



max

Przykład - c.d.

58

Podsumowanie

układ

korelacja

opis

szeregowy

 = 0

niezawodność układu < niezawodność elementu

 = 1

niezawodność układu = niezawodność elementu

równoległy

 = 0

niezawodność układu > niezawodność elementu

 = 1

niezawodność układu = niezawodność elementu

UKŁAD SZEREGOWY UKŁAD RÓWNOLEGŁY

nieskorelowany całkowicie skorelowany nieskorelowany

niezawodność

układu

niezawodność

elementu

59

Przykład

Rozważmy zgrzeiny punkowe w ceownikach zimno-giętych.
Wytrzymałość zgrzein na ścinanie determinują nośność wspornika.
Zgrzeiny można traktować jako jako układ równoległy,
ponieważ wszystkie muszą ulec awarii aby uległ awarii cały układ.

zgrzeina punktowa

ceowników

zimno-giętych

zgrzeina punktowa

ściana

P

60

Przykład - c.d.

Siły ścinające zgrzein V

i

są stałe.

Nośność zgrzein na ścinanie R

i

określone są krzywą zależności
naprężeń i odkształceń.

n

a

p

rę

że

n

ia

przemieszczenia

R

i

Rozważymy dwa skrajnie przeciwne
przypadki:

1. nośności zgrzein całkowicie skorelowane

(jeżeli jedna jest wadliwa, wszystkie pozostałe też są
wadliwe).

2. nośności zgrzein nieskorelowane

(jeżeli jedna jest wadliwa, pozostałe mogą być
wadliwe,
dobre lub przeciętne).

61

Całkowita nośność ze względu na siły ścinające:















n

1

i

i

n

2

1

V

R

R

R

R

R









n

1

i

i

V

R

R

V

R







 



























1

n

1

i

n

1

i

j

j

i

2

R

2

R

2

R

2

R

R

,

R

Cov

2

n

2

1

V



dla R

i

skorelowanych lub nieskorelowanych

zależy, czy R

i

są skorelowane, czy nie

dla Ri nieskorelowanych = 0

Przykład - c.d.

62

Wyprowadzenie powyższego wzoru:

niech

wtedy







n

1

i

i

i

X

a

Y

 









n

1

i

i

i

X

a

Y

E

Y







































































































































n

1

i

n

1

j

j

i

j

i

n

1

i

i

i

n

1

i

n

1

j

j

j

i

i

j

i

n

1

i

n

1

j

j

j

i

i

j

i

2

n

1

i

i

i

i

2

n

1

i

i

i

n

1

i

i

i

2

2

Y

X

,

X

Cov

a

a

2

a

X

X

X

X

E

a

a

X

X

X

X

a

a

E

X

X

a

E

X

a

X

a

E

Y

Y

E

gdzie X

i

są zmiennymi losowymi

(skorelowanymi lub nieskorwlowanymi)

Przykład - c.d.

63

Dla zgrzein nieskorelowanych,

V

n

1

i

2

R

R

n

1

i

2

R

2

R

R

V

i

V

i

V





















jeżeli R

i

są zmiennymi losowymi, dla których

(wszystkie mają tę samą dystrybuantę), wtedy

 

 

x

F

x

F

1

R

i



i

V

R

n

R 

2

R

2

R

i

V

n





1

1

1

V

R

1

R

1

2

R

R

V

n

1

n

n

R

R

n

n

V



























 







1

V

R

R

V

n

1

V 

dla nieskorelowanych elementów
współczynnik zmienności układu
współczynnikowi zmienności elementu

n

1



Przykład - c.d.

64

Dla zgrzein całkowicie skorelowanych,





j

i

1

R

,

R

Cov

h

wszystkic

dla

j

i

j

i

R

R

j

i

R

R













więc





j

i

R

R

j

i

R

,

R

Cov







 

























1

n

1

i

n

1

i

j

R

R

n

1

i

2

R

2

R

j

i

i

V

2

jeżeli wszystkie rozkłady są jednakowe, wtedy





























 

 

















1

n

1

i

n

1

i

j

2

R

1

n

1

i

n

1

i

j

2

R

2

R

2

R

1

2

n

2

n

1

1

1

V

ale



 







2

n

1

n

1

2

2

n

1

n

1

1

n

1

i

n

1

i

j



















 











Przykład - c.d.

65

więc

stąd





2

R

2

2

R

2

R

1

1

V

n

2

n

1

n

2

n























1

1

V

R

1

2

R

R

V

R

n

n

V







1

V

R

R

V

V 

dla skorelowanych elementów
współczynnik zmienności układu

= współczynnikowi zmienności elementu

Stąd, dla elementów częściowo skorelowanych,

1

V

1

R

R

R

V

V

V

n

1





Przykład - c.d.