NIEZAWODNOŚĆ UKŁADÓW

NIEZAWODNOŚĆ UKŁADÓW

Układ konstrukcyjny jest zbiorem elementów
wzajemnie ze sobą połączonych.

Awaria jednego z elementów układu
nie oznacza awarii całego układu.

(Awaria elementu będzie teraz oznaczać
przekroczenie jego stanu granicznego nośności.)

NIEZAWODNOŚĆ UKŁADÓW

NIEZAWODNOŚĆ UKŁADÓW



Rodzaje elementów:

- elementy idealnie kruche
- elementy idealnie ciągliwe



Rodzaje układów:

- układy szeregowe
- układy równoległe
- układy mieszane



Korelacja między elementami:

- elementy nieskorelowane
- elementy częściowo skorelowane
- elementy całkowicie skorelowane

Elementy kruche i ciągliwe

Elementy kruche i ciągliwe

Element kruchy

Element kruchy

(doskonale kruchy)

- po przekroczeniu stanu granicznego nośności (w wyniku awarii)

traci zdolność przenoszenia obciążenia

Element ciągliwy

Element ciągliwy

(doskonale ciągliwy)

- po przekroczeniu stanu granicznego nośności (w wyniku awarii)

zachowuje zdolność przenoszenia obciążenia

n

a

p

rę

że

n

ia

odksztalcenia

zerwanie

n

a

p

rę

że

n

ia

odkształcenia

element kruchy

element ciągliwy

Układy szeregowe i równoległe

Układy szeregowe i równoległe

Układ szeregowy

Układ szeregowy

(układ najsłabszego ogniwa)

- ulegnie awarii, gdy jeden z jego elementów ulegnie awarii

Układ równoległy

Układ równoległy

- ulegnie awarii, gdy wszystkie jego elementy ulegną awarii

przekrój

poprzeczny

przykład
układu
szeregowego

przykład
układu
równoległego

Oznaczenia:

Oznaczenia:

układ szeregowy:

układ równoległy:

układ mieszany:

1

2

3

1

2

n

1 2

n

Przykłady

Przykłady

P

P

P

P

P

układy szeregowe

Przykłady

Przykłady

układy równoległe

P

P

Przykłady

Przykłady

P

P

P

układy mieszane

P

P

P

2 kształtowniki

Układ szeregowy

Układ szeregowy

elementów ciągliwych lub kruchych, nieskorelowanych

elementów ciągliwych lub kruchych, nieskorelowanych

Prawdopodobieństwo awarii układu:











 













 



































 





















































n

1

i

f

f

f

f

n

n

2

2

1

1

n

n

2

2

1

1

n

n

2

2

1

1

f

i

n

2

1

P

-

1

-

1

P

-

1

P

-

1

P

-

1

-

1

q

R

P

-

1

q

R

P

-

1

q

R

P

-

1

-

1

q

R

P

q

R

P

q

R

P

-

1

q

R

q

R

q

R

P

-

1

q

R

P

-

1

q

R

P

P









n – liczba elementów
R

i

– nośność i-tego elementu, zmienna losowa

R – nośność układu, zmienna losowa
q – obciążenie układu, wartość stała
q

i

– obciążenie w i-tym elemencie, wartość stała

Awarie

elementów

- niezależne

zdarzenia

losowe

1

2

n









n

n

n

1

i

f

f

0,95

1

0,05

1

1

P

1

1

P

i





















Przykład 1

Przykład 1

Układ szeregowy jest „mniej niezawodny” niż każdy z jego

elementów.

n P

f

 = -

-1

(P

f

)

----------------------------------------
1

0,050

1,64

2

0,098

1,29

3

0,142

1,07

5

0,227

0,75

10

0,401

0,25

05

,

0

P

i

f



Dany jest układ szeregowy n elementów
nieskorelowanych.
Prawdopodobieństwo awarii każdego z elementów
wynosi Obliczyć prawdopodobieństwo awarii układu P

f

.

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10

Przykład 1 cd.

Przykład 1 cd.

Układ szeregowy jest „mniej niezawodny” niż każdy z jego

elementów.

n

n

P

f układu



układu

Prawdopodobieństwo awarii układu:







 













 













































n

1

i

f

f

f

f

n

n

2

2

1

1

n

n

2

2

1

1

f

i

n

2

1

P

P

P

P

q

R

P

q

R

P

q

R

P

q

R

q

R

q

R

P

q

R

P

P







Układ równoległy

Układ równoległy

elementów ciągliwych, nieskorelowanych

elementów ciągliwych, nieskorelowanych

Awarie

elementów

- niezależne

zdarzenia

losowe

1 2

n

n – liczba elementów
R

i

– nośność i-tego elementu, zmienna losowa

R – nośność układu, zmienna losowa
q – obciążenie układu, wartość stała
q

i

– obciążenie w i-tym elemencie, wartość stała

Przykład 2

Przykład 2

Układ równoległy jest „bardziej niezawodny” niż każdy z jego

elementów.

05

,

0

P

i

f



Dany jest układ równoległy n elementów
nieskorelowanych.
Prawdopodobieństwo awarii każdego z elementów
wynosi Obliczyć prawdopodobieństwo awarii układu P

f

.

 





n

n

f

n

1

i

f

f

0,05

P

P

P

i

i











n P

f

 = -

-1

(P

f

)

----------------------------------------------
1

5,00010

-2

1,64

2

2,50010

-3

2,81

3

1,25010

-4

3,66

5

3,12510

-7

4,98

10

9,76610

-14

7,35

0.0

2.5

5.0

7.5

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10

Przykład 2 cd.

Przykład 2 cd.

n



układu

Układ równoległy jest „bardziej niezawodny” niż każdy z jego

elementów.

n

P

f układu

Układ równoległy

Układ równoległy

elementów ciągliwych, nieskorelowanych – przypadek szczególny

elementów ciągliwych, nieskorelowanych – przypadek szczególny

Nośność układu jest sumą nośności poszczególnych elementów:







n

1

i

i

R

R

wtedy:











n

1

i

R

R

i











n

1

i

2

R

R

i

gdzie:

n – liczba elementów
R – nośność układu, zmienna losowa
R

i

– nośność i-tego elementu, zmienna losowa



Ri

– wartość średnia nośności i-tego elementu



Ri

– odchylenie standardowe i-tego elementu

Układ równoległy

Układ równoległy

elementów ciągliwych, nieskorelowanych – przypadek szczególny

elementów ciągliwych, nieskorelowanych – przypadek szczególny

Jeżeli nośności elementów R

i

mają jednakowe rozkłady:

wtedy:

i

i

R

n

1

i

R

R

n













i

i

i

R

2

R

n

1

i

2

R

R

n

n



















i

i

i

R

R

R

R

R

R

V

n

1

n

n

V















2
Q

2

R

2

R

Q

R

V

















Układ równoległy

Układ równoległy

elementów ciągliwych, nieskorelowanych – przypadek szczególny

elementów ciągliwych, nieskorelowanych – przypadek szczególny

• Jeżeli obciążenie układu q jest sumą obciążeń poszczególnych

elementów q

i

q

i

– stałe (wielkości deterministyczne)

• Poszczególne elementy mają jednakowe wskaźniki niezawodności



i

dla elementu:

i

i

i

i

i

i

R

i

R

2
Q

2

R

Q

R

i

q

























dla układu:

i

R

i

R

R

i

R

R

R

2
Q

2

R

Q

R

n

q

n

n

nq

n

q

i

i

i

i

























































i

n





i

n

1

i

i

nq

q

q









Przykład 3

Przykład 3

Układ równoległy jest „bardziej niezawodny” niż każdy z jego

elementów.

05

,

0

P

i

f



Dany jest układ równoległy n elementów
nieskorelowanych.
Prawdopodobieństwo awarii każdego z elementów
wynosi Obliczyć prawdopodobieństwo awarii układu P

f

.

i







n

n  P

f

=(-)

----------------------------------------------
1

1,64 5,00010

-2

2

2,33 1,00010

-2

3

2,85 2,19310

-3

5

3,68 1,17510

-4

10

5,20 9,88510

-8

0.0

2.5

5.0

7.5

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10

Przykład 3 cd.

Przykład 3 cd.

n



układu

Układ równoległy jest „bardziej niezawodny” niż każdy z jego

elementów.

n

P

f układu

przypadek szczególny

przypadek szczególny

Układ szeregowy

Układ szeregowy

elementów ciągliwych lub kruchych, częściowo skorelowanych

elementów ciągliwych lub kruchych, częściowo skorelowanych

n

P

f

n





e

= 1,00



e

= 0,75



e

= 0,50



e

= 0,25



e

= 0,00



e

= 1,00



e

= 0,75



e

= 0,00



e

= 3,00 P

e

= 1,3510

-3

Układ równoległy

Układ równoległy

elementów ciągliwych, częściowo skorelowanych

elementów ciągliwych, częściowo skorelowanych

0.000

1.000

2.000

3.000

4.000

5.000

6.000

7.000

8.000

9.000

10.000

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0.0000

0.0005

0.0010

0.0015

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

n

P

f



e

= 1,00



e

= 0,75



e

= 0,50



e

= 0,00



e

= 3,00 P

e

= 1,3510

-3





e

= 0,50



e

= 0,25



e

= 1,00



e

= 0,75



e

= 0,00

n

Układ szeregowy

Układ szeregowy

elementów ciągliwych lub kruchych, częściowo skorelowanych

elementów ciągliwych lub kruchych, częściowo skorelowanych

 













n

1

i

f

f

f

i

i

i

P

-

1

-

1

P

P

max

Prawdopodobieństwo awarii

układu szeregowego

elementów całkowicie skorelowanych

( 

ij

= 1 )

Prawdopodobieństwo awarii

układu szeregowego

elementów nieskorelowanych

( 

ij

= 0 )

1

2

n

Układ równoległy

Układ równoległy

elementów ciągliwych, częściowo skorelowanych

elementów ciągliwych, częściowo skorelowanych

 

i

i

f

i

f

n

1

i

f

P

P

P

min









Prawdopodobieństwo awarii

układu równoległego

elementów nieskorelowanych

( 

ij

= 0 )

Prawdopodobieństwo awarii

układu równoległego

elementów całkowicie skorelowanych

( 

ij

= 1 )

1 2

n

układ

korelacja

opis

szeregowy

 = 0

niezawodność układu < niezawodność elementu

 = 1

niezawodność układu = niezawodność elementu

równoległy

 = 0

niezawodność układu > niezawodność elementu

 = 1

niezawodność układu = niezawodność elementu

UKŁAD SZEREGOWY UKŁAD RÓWNOLEGŁY

nieskorelowany całkowicie skorelowany nieskorelowany

niezawodność

układu

niezawodność

elementu