ANALIZA SYSTEMOWA

PODEJMOWANIE DECYZJI

Paweł Akielaszek 139987

Konrad Zaleski 140167

Plan prezentacji

• Analiza systemowa Vs. podejmowanie decyzji

• Rozdział zadań w układzie równoległych realizatorów

– Przypadek ciągły

– Przypadek dyskretny

• Przykład rozdział zadań w układzie równoległych realizatorów

+ wykresy Gantt’a

• Podsumowanie

• Literatura

Analiza systemowa

Vs.

Podejmowanie

decyzji

obiekt /

system

WE

WY

Analiza systemowa

Vs.

Podejmowanie

decyzji

Dane:
• model systemu
• wartość WE Є U

(zbiór

możliwych decyzji)

Dane:
• model systemu
• pożądana wartość WY
• U

(zbiór możliwych decyzji)

Szukane:
• wartość WY

Szukane:
• wartość WE

(taka, że na

WY uzyskamy pożądaną wartość)

Analiza systemowa

Vs.

Podejmowanie

decyzji

modele Φ(u)

Dane

S

zu

k

a

n

e

u

y

zawsze mamy rozwiązanie

Szukane

D

a

n

e

u

y

może nie mieć rozwiązania

modele Φ(u)

Analiza systemowa

Vs.

Podejmowanie

decyzji

Trzy typowe zadania podejmowania decyzji

- w odniesieniu do celu (efektu), pożądanych własności -

1

o

y*  (y = y

R

)

rozwiąż równanie

(układ równań)

2

o

y*  (y

Rmin

≤ y ≤

y

Rmax

)

rozwiązanie nierówności

(układ nierówności)

3

o

y*  (

ekstremum

y)

MAX lub MIN

rozwiąż zadanie

optymalizacyjne

Analiza systemowa

Vs.

Podejmowanie

decyzji

1

o

y*  (y = y

R

)

rozwiąż równanie (układ

równań)

u*

y*

y*  pożądana wartość

u*  decyzja zapewniająca uzyskanie y*

Analiza systemowa

Vs.

Podejmowanie

decyzji

2

o

y*  (y

Rmin

≤ y ≤ y

Rmax

)

rozwiązanie

nierówności

(układ nierówności)

u*

y

Rmin

y

Rmax

u*

I

y

Rmin

y

Rmax

u*

Il

nie ma
rozwiązania

Analiza systemowa

Vs.

Podejmowanie

decyzji

3

o

y*  (

ekstremum

y)

rozwiąż

zadanie

optymalizacyjne

u*

max

y

max

u

y

max

u*

max

Analiza systemowa

Vs.

Podejmowanie

decyzji

Przykłady

Dane:
• model systemu y = 2u

2

+ 3

• zbiór możliwych decyzji U = { 0,5 ≤ u ≤ 2,5}

1

o

y*  (y = 4)

2

o

y*  (2 ≤ y ≤ 4)

3

o

y*  (max y)

Szukane:
• decyzja (u* Є U)  (y Є y*)

Analiza systemowa

Vs.

Podejmowanie

decyzji

Przykład nr 1 – pożądane wyjście to KONKRETNA WARTOŚĆ

Ad. 1

o

y*  (y = 4):

y = 2u

2

+ 3

y = y* = 4

2u

2

+ 3 = 4

2u

2

= 1

u

2

= ½

Rozwiązanie:

u* =

kandydaci: u* = { , }

2

1

2

1

2

1



Analiza systemowa

Vs.

Podejmowanie

decyzji

Przykład nr 2 - posiadane wyjście to WARTOŚĆ Z ZAKRESU

Ad. 2

o

y*  (2 ≤ y ≤ 4):

y = 2u

2

+ 3

y ≤ 4
y ≥ 2
u ≤ 2,5
u ≥ 0,5

po analizie: u* = { 0,5 ≤ u ≤ }

2

1

u*

Analiza systemowa

Vs.

Podejmowanie

decyzji

Przykład nr 3 - pożądane wyjście to WARTOŚĆ MINIMALNA

Ad. 3

o

y*  ( min y ):

y = 2u

2

+ 3

U* = { 0,5 ≤ u ≤ 2,5 }

-3

3

0

-1

-2

2

1

2

4

6

8

10

12

14

16

18

Analiza systemowa

Vs.

Podejmowanie

decyzji

Przykład nr 3 - pożądane wyjście to WARTOŚĆ MINIMALNA

Ad. 3

o

y*  ( min y ):

y = 2u

2

+ 3

U* = { 0,5 ≤ u ≤ 2,5 }

y’(u) = 4·u
4·u = 0  u

min

= 0

u

min

Є { 0,5 ≤ u ≤ 2,5 }

-3

3

0

-1

-2

2

1

2

4

6

8

10

12

14

16

18

u*

0,5

2,5

Analiza systemowa

Vs.

Podejmowanie

decyzji

Przykład nr 3 - pożądane wyjście to WARTOŚĆ MINIMALNA

Ad. 3

o

y*  ( min y ):

y = 2u

2

+ 3

U* = { 0,5 ≤ u ≤ 2,5 }

y’(u) = 4·u
4·u = 0  u

min

= 0

u

min

Є { 0,5 ≤ u ≤ 2,5 }

u* = u

min

= 0,5

-3

3

0

-1

-2

2

1

2

4

6

8

10

12

14

16

18

u*

0,5

2,5

Rozważmy PRZYPADEK CIĄGŁY:

– cel - minimalizacja t

F

– założenia:

Z - zbiór zadań
R - liczba realizatorów

Rozdział zadań w układzie równoległych
realizatorów







R

i

i

Z

u

1

0



i

u



























R

u

u

u

u

....

2

1

decyzje:

Rozdział zadań w układzie równoległych
realizatorów

efekt: t

F

= max {T

1

,T

2

,..T

R

}

ψ

Algorytm

decyzyjny

y* = min y

U

u

Φ

1

Φ

2

Φ

R

m

a

x

t

F

=y

…

T

1

T

2

T

3

modele czasowe Φ

okoliczności

(zakłócenia)

(zbiór możliwych
decyzji)

T

i

= α

i

· u

i

γ

i

α, γ – parametry modelu

Rozdział zadań w układzie równoległych
realizatorów

Przykład jak ustala się U

Z = 4 – ilość zadań
R = 3 – ilość realizatorów
N = 15 – ilość możliwych kombinacji

u

1

u

2

1 2 3 4

4

3

2

1

u

1

= 2

u

2

= 1

u

3

= Z – (u

1

+ u

2

) = 1

Rozdział zadań w układzie równoległych
realizatorów

• Zagadnienie: wyznaczanie decyzji u, czyli przydział zadań między

realizatorów

• Dane:

(I) zbiór decyzji U zależny od R oraz Z
(Z – zbiór zadań, R – liczba realizatorów)

(II) czasowe charakterystyki realizatorów (modele wielomianowe)

T

i

= α

i

· u

iγ

i

(i=1, 2, …, R)

• Szukane: jak wyznaczyć

(u* Є U)  y=y* czyli t

F

(u)  t

F

(u*)  min t

F

(u)

Rozdział zadań w układzie równoległych
realizatorów

• Rozwiązanie:

(1) REALIZATORY RÓŻNORODNE (ogólny)

γ

i

– różne, α

i

– różne

* korzystamy z „idei”:

t

F

 min jeśli T

1

=T

2

=…=T

R

** układ równań:

T

1

= T

2

 α

1

· u

1γ

1

= α

2

· u

2γ

2

T

2

= T

3

 α

2

· u

2γ

2

= α

3

· u

3γ

3

…

T

R-1

= T

R



α

R-1

·

u

R-1γ

R-1

=

α

R

·

u

Rγ

R

chcemy aby wszystkie
realizatory skończyły
pracę w tym samym
czasie

Rozdział zadań w układzie równoległych
realizatorów

• Rozwiązanie:

(2) REALIZATORY JEDNORODNE

γ

1

= γ

2

= … = γ, α

i

– różne

ψ  u

i

= ψ (Z, R, γ, {

α

1

, α

2

,…, α

R

})

Algorytm podejmowania decyzji:

Z

u

R

i

i

i

i













1

1

1

)

(

)

(









Rozdział zadań w układzie równoległych
realizatorów

• Rozwiązanie:

(3) REALIZATORY LINIOWE

γ = 1, α

i

– różne

Algorytm podejmowania decyzji:

Z

u

R

i

i

i

i







1

1

1





Rozdział zadań w układzie równoległych
realizatorów

Przykład zadania z realizatorami liniowymi:

Dane:

• Z=4, R=3

• oraz α

1

=10, α

2

=7.5, α

3

=10

Aby rozwiązać zadanie podstawiamy
odpowiednie wartości do wzoru:

Z

u

R

i

i

i

i







1

1

1

































2

,

1

*

6

,

1

*

2

,

1

*

*

3

2

1

u

u

u

u

Po obliczeniu
otrzymujemy
rozwiązanie:

Rozdział zadań w układzie równoległych
realizatorów

Rozważmy PRZYPADEK DYSKRETNY

(realizatory

liniowe)

:

Model czasowo - kosztowy

Algorytm

decyzyjny

cel:
min J(t

F

, K

F

)

U
(zbiór decyzji)

modele
{α

i

}, {β

i

}

α

1

β

1

max

α

2

β

2

α

R

β

R

+

+

+

T

1

T

2

T

R

K

1

K

2

K

R

y

1

=t

F

y

2

=K

F

…

Model czasowy (realizatora)

T

i

= α

i

· u

i

Model kosztowy (realizatora)

K

i

= β

i

· u

i

Rozdział zadań w układzie równoległych
realizatorów

System ma dwa wyjścia:

y

1

= t

F

= max {T

i

}

R

oraz

y

2

= K

F

=

Problem:

jak wyznaczyć najlepszą decyzję?

wskaźniki jakości (J)

Rozdział zadań w układzie równoległych
realizatorów





R

i

i

K

1

Wskaźniki jakości:

J (u) = J ( t

F

(u), K

F

(u) )

1

o

J (u) = t

F

(u) · K

F

(u)

2

o

J (u) = t

F

(u) + иK

F

(u)

и – współczynnik wagowy

(a) и  0 => J(u) ≈ t

F

(u)

(b) и  ∞ => J(u) ≈ K

F

(u)

(c) и  1 => J(u) = t

F

(u) + K

F

(u)

3

o

(a) ( min t

F

(u) ) ^ ( K

F

(u) ≤ K

kryt

)

(b) ( min K

F

(u) ) ^ ( t

F

(u) ≤ t

kryt

)

Rozdział zadań w układzie równoległych
realizatorów

Rozdział zadań w układzie równoległych
realizatorów

• Przykład systemu z rozdziałem zadań w układzie

równoległych realizatorów, wyliczanie J

Czas

α

1

=10

α

2

=5

α

3

=10

Koszt = spalanie

β

1

=1

β

2

=2

β

3

=3

Zadanie: rozwieźć 4 pizze. Jak rozdzielić zadania na dostawców

aby wskaźnik jakości był jak najmniejszy?

Rozdział zadań w układzie równoległych
realizatorów

α

1

=10 α

2

=5 α

3

=10

β

1

=1 β

2

=2 β

3

=3

Lp

u

1

u

2

u

3

T

1

T

2

T

3

T

f

K

1

K

2

K

3

K

f

T

f

(u)*T

k

(

u)

T

f

(u)

+T

k

(u

)

1.

4

0

0

2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.

10.
11.
12.
13.
14.
15.

Rozdział zadań w układzie równoległych
realizatorów

α

1

=10 α

2

=5 α

3

=10

β

1

=1 β

2

=2 β

3

=3

Lp

u

1

u

2

u

3

T

1

T

2

T

3

T

f

K

1

K

2

K

3

K

f

T

f

(u)*T

k

(

u)

T

f

(u)

+T

k

(u

)

1.

4

0

0

40

0

0

40

2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.

10.
11.
12.
13.
14.
15.

Rozdział zadań w układzie równoległych
realizatorów

α

1

=10 α

2

=5 α

3

=10

β

1

=1 β

2

=2 β

3

=3

Lp

u

1

u

2

u

3

T

1

T

2

T

3

T

f

K

1

K

2

K

3

K

f

T

f

(u)*T

k

(

u)

T

f

(u)

+T

k

(u

)

1.

4

0

0

40

0

0

40

4

0

0

4

2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.

10.
11.
12.
13.
14.
15.

Rozdział zadań w układzie równoległych
realizatorów

α

1

=10 α

2

=5 α

3

=10

β

1

=1 β

2

=2 β

3

=3

Lp

u

1

u

2

u

3

T

1

T

2

T

3

T

f

K

1

K

2

K

3

K

f

T

f

(u)*T

k

(

u)

T

f

(u)

+T

k

(u

)

1.

4

0

0

40

0

0

40

4

0

0

4

160

44

2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.

10.
11.
12.
13.
14.
15.

Rozdział zadań w układzie równoległych
realizatorów

α

1

=10 α

2

=5 α

3

=10

β

1

=1 β

2

=2 β

3

=3

Lp

u

1

u

2

u

3

T

1

T

2

T

3

T

f

K

1

K

2

K

3

K

f

T

f

(u)*T

k

(

u)

T

f

(u)

+T

k

(u

)

1.

4

0

0

40

0

0

40

4

0

0

4

160

44

2.

3

1

0

30

5

0

30

3

2

0

5

150

35

3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.

10.
11.
12.
13.
14.
15.

Rozdział zadań w układzie równoległych
realizatorów

α

1

=10 α

2

=5 α

3

=10

β

1

=1 β

2

=2 β

3

=3

Lp

u

1

u

2

u

3

T

1

T

2

T

3

T

f

K

1

K

2

K

3

K

f

T

f

(u)*T

k

(

u)

T

f

(u)

+T

k

(u

)

1.

4

0

0

40

0

0

40

4

0

0

4

160

44

2.

3

1

0

30

5

0

30

3

2

0

5

150

35

3.

3

0

1

30

0

10

30

3

0

3

6

180

36

4.

2

2

0

20

10

0

20

2

4

0

6

120

26

5.

2

1

1

20

5

10

20

2

2

3

7

140

27

6.

2

0

2

20

0

20

20

2

0

6

8

160

28

7.

1

3

0

10

15

0

15

1

6

0

7

105

22

8.

1

2

1

10

10

10

10

1

4

3

8

80

18

9.

1

1

2

10

5

20

20

1

2

6

9

180

29

10.

2

1

2

20

5

20

20

2

2

6

10

200

30

11.

0

4

0

0

20

0

20

0

8

0

8

160

28

12.

0

3

1

0

15

10

15

0

6

3

9

135

24

13.

0

2

2

0

10

20

20

0

4

6

10

200

30

14.

0

1

3

0

5

30

30

0

2

9

11

330

41

15.

0

0

4

0

0

40

40

0

0

12

12

480

52

Rozdział zadań w układzie równoległych
realizatorów

α

1

=10 α

2

=5 α

3

=10

β

1

=1 β

2

=2 β

3

=3

Lp

u

1

u

2

u

3

T

1

T

2

T

3

T

f

K

1

K

2

K

3

K

f

T

f

(u)*T

k

(

u)

T

f

(u)

+T

k

(u

)

1.

4

0

0

40

0

0

40

4

0

0

4

160

44

2.

3

1

0

30

5

0

30

3

2

0

5

150

35

3.

3

0

1

30

0

10

30

3

0

3

6

180

36

4.

2

2

0

20

10

0

20

2

4

0

6

120

26

5.

2

1

1

20

5

10

20

2

2

3

7

140

27

6.

2

0

2

20

0

20

20

2

0

6

8

160

28

7.

1

3

0

10

15

0

15

1

6

0

7

105

22

8.

1

2

1

10

10

10

10

1

4

3

8

80

18

9.

1

1

2

10

5

20

20

1

2

6

9

180

29

10.

2

1

2

20

5

20

20

2

2

6

10

200

30

11.

0

4

0

0

20

0

20

0

8

0

8

160

28

12.

0

3

1

0

15

10

15

0

6

3

9

135

24

13.

0

2

2

0

10

20

20

0

4

6

10

200

30

14.

0

1

3

0

5

30

30

0

2

9

11

330

41

15.

0

0

4

0

0

40

40

0

0

12

12

480

52

Rozdział zadań w układzie równoległych
realizatorów

• Wykresy Gantt’a –przykładowe ilustracje dla

wybranych decyzji:

(5)

(6)

(8)

(9)

R

1

R

2

R

3

R

1

R

2

R

3

R

1

R

2

R

3

t

F

= 20, t

N

=

15

t

F

= 20, t

N

=

20

t

F

= 20, t

N

=

15

R

1

R

2

R

3

t

F

= 10, t

N

=

0

Wykresy Gantt'a pokazują na osi czasu rozdział zadań na poszczególne realizatory.

Możemy odczytać czas pracy systemu (t

F

) oraz czas pusty (t

n

).

Podsumowanie

Omówione zagadnienia:
1.

Różnice między analizą systemowa a podejmowaniem
decyzji,

2.

3 typowe zadania podejmowania decyzji (rozwiązanie
równania, nierówności i zad. optymalizacyjnego)

3.

Problem rozkładu zadań w ukł. równoległych realizatorów

-

przypadek ciągły

-

przypadek dyskretny

4.

Czym jest wskaźnik jakości i kiedy jest nam potrzebny +
przykład zadania

5.

Wykresy Gantt’a – obrazowe przedstawienie czasu pracy
realizatorów i systemu

Literatura

[1] Notatki z wykładów dr inż. Leszek Koszałka
[2] Wikipedia www.wikipedia.org
[3] Wykresy Gantt’a www.ganttchart.com