WYKŁAD 6
ATOM WODORU W
MECHANICE KWANTOWEJ
(równanie Schrődingera,
separacja zmiennych, stan
podstawowy,
pierwszy stan wzbudzony)
WYKŁAD 6
ATOM WODORU W
MECHANICE KWANTOWEJ
(równanie Schrődingera,
separacja zmiennych, stan
podstawowy,
pierwszy stan wzbudzony)
ZALEŻNE OD CZASU RÓWNANIE
SCHRŐDINGERA
H
ˆ
t
t
,
r
h
i
ZALEŻNE OD CZASU RÓWNANIE
SCHRŐDINGERA
H
ˆ
t
t
,
r
h
i
t
,
r
t
t
U
ˆ
t
t
,
r
ZALEŻNE OD CZASU RÓWNANIE
SCHRŐDINGERA
H
ˆ
t
t
,
r
h
i
t
t
,
r
H
ˆ
h
i
t
,
r
t
,
r
H
ˆ
h
i
1
t
1
t
,
r
t
t
U
ˆ
t
t
,
r
ZALEŻNE OD CZASU RÓWNANIE
SCHRŐDINGERA
H
ˆ
t
t
,
r
h
i
t
t
,
r
H
ˆ
h
i
t
,
r
t
,
r
H
ˆ
h
i
1
t
1
t
,
r
t
t
U
ˆ
t
t
,
r
t
,
r
H
ˆ
h
i
t
t
,
r
t
t
,
r
t
t
,
r
t
,
r
H
ˆ
t
t
,
r
h
i
Elektron w
atomie H
t
,
r
H
ˆ
t
t
,
r
h
i
r
k
t
i
exp
Fala
de’Broglie’a?
Elektron w
atomie H
NIE!!!
t
,
r
H
ˆ
t
t
,
r
h
i
r
k
t
i
exp
Fala
de’Broglie’a?
Elektron w
atomie H
NIE!!!
Ale jakaś kombinacja fal de’Broglie’a
mogłaby być…
t
,
r
H
ˆ
t
t
,
r
h
i
r
k
t
i
exp
Fala
de’Broglie’a?
Elektron w
atomie H
NIE!!!
r
t
i
exp
r
k
t
i
exp
i
i
Ale jakaś kombinacja fal de’Broglie’a
mogłaby być…
t
,
r
H
ˆ
t
t
,
r
h
i
r
k
t
i
exp
Fala
de’Broglie’a?
Elektron w
atomie H
NIE!!!
r
t
i
exp
r
k
t
i
exp
i
i
Ale jakaś kombinacja fal de’Broglie’a
mogłaby być…
Przyjmijmy zatem, że:
t
r
t
,
r
t
,
r
H
ˆ
t
t
,
r
h
i
t
r
t
,
r
t
,
r
H
ˆ
t
t
,
r
h
i
t
r
t
,
r
r
H
ˆ
t
dt
t
d
h
i
r
t
,
r
H
ˆ
t
t
,
r
h
i
t
r
t
,
r
r
H
ˆ
t
dt
t
d
h
i
r
H
ˆ
1
dt
d
1
h
i
t
,
r
H
ˆ
t
t
,
r
h
i
ponieważ lewa strona
zależy od czasu a prawa
od współrzędnych
przestrzennych, zatem
t
r
t
,
r
r
H
ˆ
t
dt
t
d
h
i
r
H
ˆ
1
dt
d
1
h
i
spełnienie równości
wymaga, by obie strony
były równe tej samej
stałej, np. E
t
,
r
H
ˆ
t
t
,
r
h
i
ponieważ lewa strona
zależy od czasu a prawa
od współrzędnych
przestrzennych, zatem
t
r
t
,
r
r
H
ˆ
t
dt
t
d
h
i
r
H
ˆ
1
dt
d
1
h
i
E
dt
d
1
h
i
E
H
ˆ
1
spełnienie równości
wymaga, by obie strony
były równe tej samej
stałej, np. E
dt
h
E
i
d
E
H
ˆ
Otrzymujemy dwa
równania:
niezależne od czasu równanie
Schrődingera i drugie równanie, które
możemy łatwo rozwiązać:
dt
h
E
i
d
E
H
ˆ
Otrzymujemy dwa
równania:
niezależne od czasu równanie
Schrődingera i drugie równanie, które
możemy łatwo rozwiązać:
dt
h
E
i
d
E
H
ˆ
C
t
h
E
i
ln
t
i
exp
0
Otrzymujemy dwa
równania:
niezależne od czasu równanie
Schrődingera i drugie równanie, które
możemy łatwo rozwiązać:
przez analogię do fal
e-m E musi być
energią elektronu
dt
h
E
i
d
E
H
ˆ
C
t
h
E
i
ln
t
i
exp
0
h
E
Ponieważ:
Otrzymujemy dwa
równania:
niezależne od czasu równanie
Schrődingera i drugie równanie, które
możemy łatwo rozwiązać:
przez analogię do fal
e-m E musi być
energią elektronu
dt
h
E
i
d
E
H
ˆ
C
t
h
E
i
ln
t
i
exp
0
h
E
Ponieważ:
h
T
2
2
h
h
E
Przypomnienie;
efekt
fotoelektryczny:
Otrzymujemy dwa
równania:
r
E
r
H
ˆ
Niezależne od czasu
równanie Schrődingera:
dla swobodnego
elektronu:
r
E
r
H
ˆ
r
k
i
exp
A
r
Niezależne od czasu
równanie Schrődingera:
dla swobodnego
elektronu:
(wzór
de’Broglie’a)
r
E
r
H
ˆ
m
2
p
E
2
r
k
i
exp
A
r
h
p
k
oraz:
Niezależne od czasu
równanie Schrődingera:
dla swobodnego
elektronu:
(wzór
de’Broglie’a)
r
E
r
H
ˆ
m
2
p
E
2
r
k
i
exp
A
r
h
p
k
oraz:
2
2
2
2
2
2
2
z
y
x
Niezależne od czasu
równanie Schrődingera:
2
2
m
2
h
H
ˆ
r
m
2
p
r
k
m
2
h
z
y
x
m
2
h
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Dla pojedynczej cząstki w polu
centralnym o potencjale V(r):
m
2
p
E
2
h
i
p
ˆ
widzimy, że operator
pędu:
Porównując:
2
2
m
2
h
H
ˆ
r
V
m
2
h
H
ˆ
2
2
Dla atomu wodoru:
2
1
2
2
2
2
2
1
1
2
r
,
r
V
m
2
h
m
2
h
H
ˆ
gdzie cząstka 1 to proton, a cząstka 2 to
elektron.
2
1
2
2
1
1
sm
m
m
r
m
r
m
R
1
2
r
r
r
Wprowadzamy nowe współrzędne:
współrzędne środka masy (X,Y,Z) i
współrzędne elektronu względem protonu
(x,y,z)
Ponieważ:
X
M
m
x
x
X
X
x
x
x
x
Z
,
Y
,
X
,
z
,
y
,
x
1
1
1
1
oraz:
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
2
X
M
m
X
x
M
m
2
x
X
M
m
x
X
M
m
X
x
M
m
x
x
i podobnie będzie dla składowych y, z
protonu (1).
Dla elektronu pojawi się znak plus i
masa m
2
:
X
M
m
x
x
X
X
x
x
x
x
Z
,
Y
,
X
,
z
,
y
,
x
2
2
2
2
a druga pochodna będzie równa:
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
X
M
m
X
x
M
m
2
x
x
i podobnie będzie dla składowych y, z
elektronu (2).
Zbierając wszystkie wyrazy razem
otrzymamy:
E
z
,
y
,
x
V
z
y
x
m
2
h
z
y
x
m
2
h
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
1
2
0
E
z
,
y
,
x
V
Z
Y
X
M
2
m
m
h
z
y
x
m
1
m
1
2
h
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
Po uporządkowaniu :
E
M
2
h
r
V
2
h
2
R
2
2
r
2
gdzie :
2
1
m
1
m
1
1
μ – masa
zredukowana, w
przybliżeniu równa
mniejszej z dwóch
mas
Próbujemy rozdzielić
zmienne :
R
r
R
,
r
E
M
2
h
1
r
V
1
2
h
1
2
R
2
2
r
2
Równanie to będzie spełnione
gdy:
E
M
2
h
1
r
V
1
2
h
1
2
R
2
2
r
2
,
E
r
V
1
2
h
1
1
2
r
2
2
2
R
2
E
M
2
h
1
oraz:
E
E
E
2
1
energia ruchu
względnego
elektronu –
energia
wewnętrzna
energia kinetyczna
atomu jako całości
(masa M w środku
masy)
2
2
R
2
E
M
2
h
otrzymamy:
Z
K
Y
K
X
K
i
exp
A
R
K
i
exp
A
Z
,
Y
,
X
z
y
x
Przyjmujemy, że rozwiązanie równania
Schrődingera opisujące ruch środka
masy opisane jest płaską falą
de’Broglie’a:
Po podstawieniu do
równania:
M
2
P
M
2
K
h
E
2
2
2
2
Energia potencjalna
dla elektronu w
atomie H:
Drugie równanie na energię wewnętrzną
atomu wodoru jest trudniejsze:
choć jest prostsze od równania
wyjściowego.
E
r
V
z
y
x
2
h
2
2
2
2
2
2
2
r
q
4
1
r
e
r
V
2
e
0
2
Energia potencjalna dla
elektronu w jonie H-
podobnym:
r
Ze
r
V
2
Ze względu na niewygodną postać energii
potencjalnej elektronu we współrzędnych
kartezjańskich:
przechodzimy do współrzędnych
sferycznych:
2
2
2
z
y
x
V
V
cos
r
z
sin
sin
r
y
cos
sin
r
x
mamy wówczas prostą
postać energii
potencjalnej:
r
e
r
V
V
2
Bardziej skomplikowany będzie człon
związany z energią kinetyczną. Musimy
uwzględnić zależność funkcji:
od wszystkich współrzędnych
sferycznych.
Musimy przeliczyć pochodne, np. dla x –
owej:
,
,
r
x
x
x
r
r
x
r
x
z
y
x
2
x
2
x
z
y
x
x
r
2
2
2
2
2
2
Dla funkcji radialnej, zależnej tylko od r,
ponieważ:
Otrzymamy:
Dla składowych y i z, przez analogię
otrzymamy:
x
r
r
r
x
r
x
r
r
x
r
r
1
r
r
x
x
x
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
2
2
r
r
x
r
r
x
r
r
1
r
r
x
r
r
x
r
r
1
x
2
2
2
2
2
2
2
2
r
r
y
r
r
y
r
r
1
y
i:
A po dodaniu wszystkich trzech członów:
r
r
2
r
z
y
x
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
r
r
z
r
r
z
r
r
1
z
r
(
r
r
1
r
r
r
r
1
r
r
2
r
2
2
2
2
2
2
2
Lub w innych równoważnych postaciach:
A równanie
Schrődingera
dla wodoru
dla funkcji
radialnej
przyjmie
postać:
r
r
V
r
r
r
2
r
r
2
h
r
r
V
2
r
h
2
2
2
2
2
E
r
Ze
sin
r
1
sin
sin
r
1
r
r
r
r
1
2
h
2
2
2
2
2
2
2
2
2
a w przypadku najbardziej ogólnym, gdy
funkcja ψ zależy od wszystkich
współrzędnych sferycznych:
Jako próbne rozwiązanie wstawimy
funkcję:
r
e
r
0
r
exp
E
r
Ze
r
h
2
h
r
exp
E
r
Ze
r
exp
r
r
2
r
2
h
2
2
2
2
2
2
2
2
0
r
Ze
r
h
0
E
2
h
2
2
2
2
Równanie to będzie
spełnione tylko
wtedy gdy:
Otrzymaliśmy wyrażenia na dwie
nieznane stałe:
Pierwsze wyrażenie to stała zwana
promieniem Bohra, a drugie to energia,
tzw. Rydberg.
Otrzymaliśmy taką samą energię jak w
modelu Bohra dla n = 1
R
2
4
2
2
2
B
2
2
E
h
2
e
Z
2
h
E
r
1
h
Ze
Prawdopodobieństwo znalezienia
elektronu w odległości od r do r+dr od
jądra wyniesie:
dr
e
r
4
dr
r
4
r
dV
r
dP
r
2
2
2
2
2
co oznacza, że radialny rozkład
prawdopodobieństwa:
r
2
2
e
r
dr
dP
r
f
a maksimum tego rozkładu znajdziemy
tak:
;
0
e
r
2
re
2
dr
df
r
2
2
r
2
1
r
1
podobnie jak w modelu Bohra, dla orbity
n = 1
Funkcja falowa 1s dla wodoru i radialny
rozkład gęstości prawdopodobieństwa
Inne rozwiązanie próbne; funkcja z
„węzłem” w płaszczyźnie xy:
Wyliczamy pierwszą pochodną:
i drugą pochodną:
r
zf
r
r
x
dr
df
z
r
zf
x
3
2
2
2
2
2
2
2
r
x
r
1
dr
df
z
r
x
dr
f
d
z
r
zf
x
Analogicznie dla drugiego wyrazu (po y):
Ale trzeci człon będzie inny:
i druga pochodna po z:
3
2
2
2
2
2
2
2
r
y
r
1
dr
df
z
r
y
dr
f
d
z
r
zf
y
r
z
dr
df
r
f
r
zf
z
2
3
3
2
3
2
2
2
2
r
z
r
z
2
dr
df
r
z
dr
f
d
r
z
dr
df
r
zf
z
Zbierając razem trzy pochodne
cząstkowe:
r
4
dr
df
z
dr
f
d
z
r
1
r
5
dr
df
z
dr
f
d
z
r
zf
z
r
zf
y
r
zf
x
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Otrzymamy równanie Schrődingera w
postaci:
0
f
E
r
Ze
dr
df
r
4
dr
f
d
2
h
2
2
2
2
podobnej do równania dla stanu
podstawowego.
Spróbujemy zatem podobnego
rozwiązania:
Po wstawieniu do równania
Schrődingera otrzymamy następujące
równanie:
spełnienie którego wymaga by:
r
e
r
f
0
E
r
Ze
r
h
2
2
h
2
2
2
2
2
h
E
2
2
r
Ze
r
h
2
2
2
oraz
Z drugiego warunku otrzymujemy:
a energia w tym stanie wyniesie:
2
h
E
2
2
r
Ze
r
h
2
2
2
oraz
2
1
h
2
Ze
2
2
0
2
4
2
wzb
E
4
1
h
8
e
Z
E
Warto zauważyć, że rozwiązania takie
jak:
lub ich kombinacje, takie jak:
r
x
xe
r
y
ye
r
z
ze
y
x
y
x
r
z
i
i
ze
są także dobrymi rozwiązaniami, o tej
samej energii, nieprzewidzianymi przez
model Bohra (degeneracja)