Podstawowe pojęcia algebry liniowej 

(uzupełnienie):

•

Określenie przestrzeni liniowej nad pewnym ciałem

 

(niepusty  zbiór  elementów,  w  którym  zdefiniowano  operację 
dodawania elementów oraz mnożenia elementów przez skalar).
Jakie warunki muszą spełniać operacje mnożenia i dodawania?
Przestrzeń liniowa rzeczywista i zespolona

φ1

φ3

φ2

φ4

φ5

φ6

L

K

c1

c
2

c3

c4

φ1+ φ2

φ3+ φ5

φ2×c1

φ4×c3

 

 

•

Liniowa zależność i liniowa niezależność wektorów

Przyjmijmy,  że  φ

1

,  φ

2

,  φ

3

,  ...  są  elementami  przestrzeni  liniowej 

(wektorami), natomiast c

1

, c

2

, c

3

, ... są skalarami.

Jeżeli  istnieją  liczby  c

1

,  c

2

,  ...,  c

n

  (z  których  co  najmniej  jedna  jest 

różna  od  zera)  takie,  że  równość  c

1

φ

1

+  c

2

φ

2

+  c

3

φ

3

+...+  c

n

φ

n

=0  jest 

spełniona, to wektory φ

1

, φ

2

, ..., φ

n

 nazywamy liniowo zależnymi (w 

przeciwnym wypadku wektory te nazywamy liniowo niezależnymi).

 

 



Przykład:
Jeżeli mamy wektory φ

1

=[2,0], φ

2

=[5,0], to możemy pokazać, że 

wektory te są liniowo zależne, gdyż można wybrać c

1

= –2.5 i c

2

= 1 

i zapisać, że –2.5×[2,0] + 1×[5,0] = 0
uwaga:  [0,0] – wektor zerowy będzie spełniał rolę elementu 
zerowego przestrzeni liniowej (czyli będzie spełniona równość c

1

φ

1

+ 

c

2

φ

2

 = 0)



Fakt,  że  wektory  φ

1

  i  φ

2

  są  liniowo  zależne  oznacza,  że  jeden  z  nich 

można wyrazić za pomocą drugiego. Wynika to z równania:

 c

1

φ

1

+ c

2

φ

2

 = 0

Jeżeli  do  naszego  zbioru  dwóch  liniowo  zależnych  wektorów 

(φ

1

=[2,0],  φ

2

=[5,0])  dodamy  jakikolwiek  wektor  φ

3

,  to  taki  zbiór 

trzech wektorów będzie na pewno liniowo zależny.

/ponieważ współczynnik c

3 

występujący w równaniu 

c

1

φ

1

+ c

2

φ

2

+ c

3

φ

3

=0 można wziąć jako równy zero i wtedy równanie to 

będzie ponownie spełnione/. 

To  stwierdzenie  jest  ogólne  i  można  je  rozszerzyć  na  dowolną  liczbę 

dodawanych  wektorów  –  wynikowy  zbiór,  uzyskany  z  połączenia 

wektorów  liniowo  zależnych  z  dowolnymi  wektorami  będzie  zawsze 

liniowo zależny (jako całość).

 

 

Uwaga ogólna: 
Jeżeli  mamy  dany  zbiór  wektorów  liniowo  zależnych  φ

1

, 

φ

2

,  ...,  φ

n

    to  przynajmniej  jeden  z  nich  można  wyrazić  za 

pomocą wektorów pozostałych
/inaczej mówiąc: przynajmniej jeden z nich jest kombinacją 
liniową wektorów pozostałych/.
Dla wektorów liniowo niezależnych, równość 
c

1

φ

1

+ c

2

φ

2

+ c

3

φ

3

+...+ c

n

φ

n

=0 

może  być  spełniona  jedynie  wtedy,  gdy  wszystkie 
współczynniki c są równe zero.

Np. wektory φ

1

=[2,0], φ

2

=[0,5] są liniowo niezależne.

 

 

 

•

Kombinacja liniowa
Kombinacją liniową wektorów φ

1

, φ

2

, ..., φ

n

 nazywamy wektor

c

1

φ

1

+ c

2

φ

2

+...+ c

n

φ

n

Jeżeli dany wektor, np. wektor Φ, można zapisać jako 
Φ= c

1

φ

1

+ c

2

φ

2

+...+ c

n

φ

n

, 

to mówimy, że wektor Φ jest kombinacją liniową wektorów φ

1

, φ

2

, ..., φ

n

. 

/stwierdzenie, że wektor Φ jest kombinacją liniową wektorów φ

1

, φ

2

, ..., 

φ

n

 oznacza tyle, że wektor Φ możemy zbudować z elementów φ

1

, φ

2

, ..., 

φ

n

,  biorąc  każdy  z  tych  elementów  z  odpowiednim  wkładem,  czyli 

współczynnikiem c/

Skalary c

1

, c

2

, c

3

, ..., c

n

 nazywamy współczynnikami kombinacji liniowej.

•

Wymiar przestrzeni liniowej
Wymiar  przestrzeni  to  maksymalna  liczba  liniowo  niezależnych 

wektorów, które można znaleźć w tej przestrzeni. Wymiar jest zgodny z 

intuicją,  gdy  myślimy  o  znanych  nam  przestrzeniach.  Np.  prosta,  którą 

można uważać za zbiór odcinków (w tym sensie prosta jest przestrzenią 

liniową, a wektorami tej przestrzeni są odcinki leżące na tej prostej) ma 

„jeden wymiar”, czyli jej wymiar wynosi 1. 

 

 

•

Płaszczyzna (przestrzeń liniowa, której wektorami są leżące na 

niej odcinki) ma wymiar 2. Znana z geometrii kartezjańska 

przestrzeń, której elementami są wektory określane przez trzy 

liczby (współrzędne) w prostokątnym układzie współrzędnych, 

ma wymiar równy 3.

•

Wymiar przestrzeni a liniowa niezależność wektorów
W  przestrzeni  o  wymiarze  równym  na  przykład  2,  której 

przykładem  jest  płaszczyzna  będąca  zbiorem  wektorów  [x,y] 

można  znaleźć  co  najwyżej  dwa  wektory  liniowo  niezależne. 

Jeżeli do takiej pary dodamy jakikolwiek trzeci wektor, to mamy 

już  zbiór  trzech  wektorów  liniowo  zależnych.  Czyli,  że  jeden  z 

wektorów  można  będzie  wyrazić  jako  kombinację  liniową 

pozostałych).  Inaczej  mówiąc,  jeden  z  tych  trzech  wektorów  da 

się „zbudować” z dwóch pozostałych wektorów
BAZA:
Określenie bazy: bazą w n-wymiarowej przestrzeni L nazywamy 

zbiór n wektorów liniowo niezależnych w tej przestrzeni. 
Baza  jest  jakby  fragmentem  przestrzeni  liniowej  (bo  jest  to  po 

prostu zbiór kilku wektorów należących do tej przestrzeni).

 

 

Uwagi dotyczące bazy:



Liczba wektorów bazy jest zawsze taka, jak wymiar przestrzeni.



W każdej przestrzeni istnieje baza.



Co więcej, w każdej przestrzeni istnieje nieskończenie wiele baz.



Każda  baza  w  danej  przestrzeni  zawiera  tyle  samo  wektorów 
bazy.



Wszystkie  bazy,  które  można  znaleźć  w  danej  przestrzeni  są 
formalnie równoważne (tzn. nie ma baz lepszych i gorszych). Ze 
względów  technicznych  (np.  z  punktu  widzenia  wykonywanych 
rachunków) niektóre bazy są po prostu wygodniejsze niż inne.



Baza  generuje  przestrzeń  liniową,  inaczej  mówiąc:  przestrzeń 
liniowa  jest  rozpięta  na  wektorach  bazowych,  jest  liniową 
powłoką bazy.



Przykład:  baza  wersorów  w  kartezjańskiej  przestrzeni  3-
wymiarowej.

 

 

•

Iloczyn skalarny (jako przykład funkcjonału)
Iloczyn  skalarny  jest  funkcjonałem  dwuargumentowym,  czyli 

pewną funkcją dwóch argumentów (zmiennych), która  każdej 

parze  wektorów  x,y,  należących  do  pewnej  przestrzeni 

liniowej,  przyporządkowuje  liczbę  (skalar),  przy  czym  to 

przyporządkowanie musi spełniać określone aksjomaty

Iloczyn  skalarny  dwóch  wektorów  x  oraz  y  zapisuje  się 

zazwyczaj jako (x,y) lub <x|y>

•

Iloczyn skalarny w przestrzeni funkcyjnej
Elementami  (czyli  wektorami)  przestrzeni  liniowej  mogą  być 

również  funkcje  ciągłe  (argumentu  t)  określone  w  przedziale 

<a,b>.  Iloczyn  skalarny  dwóch  dowolnych  funkcji  f(t)  i  g(t) 

należących do tej przestrzeni, określa się zazwyczaj jako całkę 

z ich iloczynu:

 

 

•

Ortogonalność (dwóch wektorów)

Dwa  wektory  określamy  jako  ortogonalne  jeżeli  ich  iloczyn 
skalarny znika (czyli jest równy zero). 
A  zatem,  jeżeli  (x,y)  =  0    to  wektory  x  oraz  y  są  wzajemnie 
ortogonalne.
Analogicznie: funkcje f(t) i g(t) są wzajemnie ortogonalne jeżeli 
ich iloczyn skalarny znika, czyli:

 

 

•

Unormowanie wektora

Wektor  x  należący  do  przestrzeni  liniowej  L  nazywamy  unormowanym  (lub 
znormalizowanym), jeżeli iloczyn skalarny tego wektora z sobą samym jest równy 1.
A zatem, jeżeli (x,x)=1 to mówimy, że wektor x jest unormowany.
Jeżeli  mamy  do  czynienia  z  przestrzeniami  funkcyjnymi,  których  elementami  są 

funkcje  ciągłe  (np.  ψ

1

,  ψ

2

,  ψ

3

,...)  to  o  danej  funkcji  ψ  (np.  ψ

1

)  powiemy,  że  jest 

unormowana, jeżeli:

przy  czym  całkujemy  po  całym  zakresie  zmienności  wszystkich 

zmiennych.
W  sytuacji,  gdy  elementami  przestrzeni  liniowej  są  funkcje  zmiennej 

zespolonej, powyższy warunek unormowania wygląda następująco:

(również w tym przypadku całkujemy po całym zakresie zmienności 

wszystkich zmiennych).

1

*

1

1











d

 

 

Przekształcenia przestrzeni liniowej (operatory)
Przekształceniem przestrzeni L nazywamy funkcję, która 
każdemu wektorowi x przestrzeni L przyporządkowuje wektor y 
tej przestrzeni.

L

K

Kolorem żółtym zdefiniowano przekształcenie A 

przestrzeni L

Kolorem czarnym zdefiniowano przekształcenie B 

przestrzeni L

 

 

Różnica między przekształceniem (operatorem) a iloczynem 
skalarnym
Zbiorem wartości dla funkcjonału jest ciało skalarów, czyli liczby. 
Zbiorem wartości dla przekształceń jest przestrzeń, czyli wektory. 
Dlatego np. iloczyn skalarny jest funkcjonałem, a nie 
przekształceniem, bo iloczyn skalarny jest zawsze liczbą.

L

K

Kolorem żółtym zdefiniowano pewne przekształcenie w przestrzeni L

Kolorem granatowym zdefiniowano iloczyn skalarny

 

 

Postulaty mechaniki kwantowej:

Postulaty, teoria fizyczna, interpretacja znanych faktów i przewidywanie 

nowych.

I postulat mechaniki kwantowej:

Stan układu kwantowochemicznego (posiadającego f stopni swobody) 
określa funkcja falowa 



, która zależy od zmiennych 

q

1

, q

2

, …, q

f

, t , czyli   



 = 



 ( q

1

, q

2

, …, q

f

, t)

gdzie q

i 

to współrzędne, natomiast t oznacza czas.

Funkcja falowa 



  nazywana jest funkcją stanu

Statystyczna  interpretacja  funkcji  falowej  (zaproponowana  przez 
Borna)  mówi,  że  kwadrat  modułu  funkcji  falowej  pomnożony  przez 
element objętości d określa prawdopodobieństwo P, że w chwili t 

wartości współrzędnych zawarte są w przedziałach od q

1

 do q

1

+dq

1

,

od q

2

 do q

2

+dq

2

, …, i od q

f

 do q

f

+dq

f

P = |



( q

1

, q

2

, …, q

f

, t)|

2

d



 

 

Dla pojedynczej cząstki (np. dla elektronu), mamy funkcję 

 postaci

( x, y, z, t), natomiast P = |(x, y, z, t)|

2

 dx∙dy∙dz  

gdyż d

=dx∙dy∙dz (w przypadku pojedynczej cząstki)

Uwaga: kwadrat modułu funkcji  zdefiniowany jest jako: |

|

2

 = 

 

∙

*

Dla  stanów  związanych  (dla  których  odległości  między  cząstkami 

tworzącymi  układ  są  skończone)  sumaryczne  prawdopodobieństwo 

znalezienia  układu  w  dowolnym  elemencie  objętości  całej 

przestrzeni musi być równe jedności (gdyż jest to zdarzenie pewne), 

gdzie  całkowanie  obejmuje  cały  zakres  zmienności  wszystkich 

zmiennych.

Powyższy warunek oznacza, że funkcje falowe muszą być 
funkcjami znormalizowanymi (unormowanymi).

 

 

Funkcje klasy Q:
Funkcje falowe muszą być funkcjami klasy Q (quantum), co 

oznacza, że muszą to być funkcje: 
(i) ciągłe, 
(ii) znormalizowane, 
(iii) znikające w nieskończoności

Gęstość prawdopodobieństwa
Ponieważ prawdopodobieństwo P wyraża się przez 

P=|



|

2

d



 

wobec tego gęstość prawdopodobieństwa 



 (czyli P/d



) będzie 

równa kwadratowi modułu funkcji falowej, czyli  



 = |



|

2

  oraz  P = 



  ∙d



Funkcja falowa ( ) – opisuje stan układu, zawiera wszystkie 

dostępne informacje o układzie (brak interpretacji fizycznej)
Kwadrat modułu funkcji falowej ( ||

2

 ) – określa gęstość 

prawdopodobieństwa (posiada interpretację fizyczną).

 

 

•

Interpretacja Schrödingera oraz interpretacja 

statystyczna
Schrödinger – uważał, że iloczyn gęstości prawdopodobieństwa i 

ładunku  (



  ∙  e)  należy  interpretować  dosłownie  jako  gęstość 

ładunku,  czyli  uważał,  że  elektron  jest  tworem  rozmytym  a  nie 

cząstką punktową
Born  –  uważał,  że  elektron  jest  cząstką,  przy  czym  kwadrat 

modułu  funkcji  falowej  (czyli  gęstość)  informuje  o  gęstości 

prawdopodo-bieństwa  napotkania  cząstki  w  danym  miejscu  w 

przestrzeni w danej chwili t

•

Nieodróżnialność cząstek identycznych. Bozony i fermiony
Nieodróżnialność  oddziałujących  ze  sobą  cząstek  identycznych 

(np. elektronów) wynika z niemożności określenia ich torów.
Permutacja  (przenumerowanie,  zamiana)  cząstek  identycznych 

(np. 

elektronów) 

nie 

może 

zatem 

zmieniać 

gęstości 

prawdopodobieństwa, czyli np.

|



 (q

1

, q

2

, q

3

)|

2

 = |



 (q

1

, q

3

, q

2

)|

2

(gdzie q

k

 oznacza współrzędne k-tej cząstki)

 

 

Aby spełniony był warunek niezmienniczości kwadratu modułu 
funkcji falowej względem permutacji cząstek, sama funkcja może 
wskutek permutacji albo pozostawać bez zmian, albo zmieniać 
znak. Czyli,

 (q

1

, q

2

, q

3

) =   

 (q

1

, q

3

, q

2

)  

 

lub  

 (q

1

, q

2

, q

3

) = –

 (q

1

, q

3

, q

2

)

Jeżeli funkcja 

 nie zmienia się wskutek permutacji cząstek, 

nazywamy ją symetryczną (względem permutacji);

Jeżeli funkcja 

  zmienia znak wskutek permutacji cząstek, 

nazywamy ją antysymetryczną (względem permutacji);

 

 



Okazuje się, że symetryczność lub antysymetryczność 

względem permutacji jest cechą danego rodzaju cząstek



Cząstki, dla których funkcja falowa jest antysymetryczna 

względem permutacji nazywamy fermionami



Cząstki, dla których funkcja falowa jest symetryczna 

względem permutacji nazywamy bozonami



Przykłady fermionów: elektrony, protony, neutrony, 

neutrina, jądra o nieparzystej liczbie nukleonów – 

podlegają statystyce Fermiego-Diraca



Przykłady bozonów: mezony, fotony, jądra o parzystej 

liczbie nukleonów – podlegają statystyce Bosego-Einsteina

 

 

II postulat mechaniki kwantowej

Każdej zmiennej dynamicznej A przyporządkowujemy w mechanice 

kwantowej pewien operator posługując się regułami Jordana. 
Zmienne dynamiczne, obserwable
mierzalne  wielkości  fizyczne  (współrzędna,  pęd,  moment  pędu, 

czas, energia, moment dipolowy, etc.)
Operatory 
Operatorami 

nazywamy 

przekształcenia 

zdefiniowane 

w 

przestrzeni  liniowej.  Mówimy,  że  operator  „działa”  na  element 

przestrzeni liniowej, produkując (w wyniku tego działania) element 

przestrzeni liniowej.

Reguły Jordana
(i)

jeżeli zmienną dynamiczną jest współrzędna (lub czas) to działanie 

operatora  (współrzędnej  lub  czasu)  na  funkcję  polega  na 

pomnożeniu funkcji przez tę zmienną (współrzędną lub czas);

(ii)

jeżeli zmienną dynamiczną jest pęd p

j

, to odpowiadającym jej 

operatorem (pędu) jest

lub równoważnie  

np. dla składowej x-owej (p

x

) wektora pędu (     )  mamy:

, przy czym   



ˆ

j

j

q

i

p











ˆ

j

j

q

i

p









 

ˆ

p



x

i

p

x









 

ˆ



2

h





 

 

(i)

jeżeli zmienną dynamiczną jest wielkość inna niż współrzędna, 
pęd lub czas, 

to odpowiadający jej operator znajdujemy 

poprzez wyrażenie zmiennej 

dynamicznej za pomocą 

współrzędnych, czasu i pędu, a następnie zastąpienie 

tych 

ostatnich odpowiednimi operatorami (zgodnie z regułami (i) 
oraz (ii))

Przykłady:

Energia kinetyczna elektronu (T) i jej operator są następujące:

Energia potencjalna (V) oddziaływania elektronu z jądrem o 
ładunku Z·e,
 jest wyrażona przez V = –Ze

2

/r 

wobec tego operator energii potencjalnej ma postać:

)

(

2

1

2

2

2

z

y

x

p

p

p

m

T







































2

2

2

2

2

2

2

2

ˆ

z

y

x

m

T



r

Ze

V

2

ˆ 



 

 

Działanie operatora na funkcję

(1) operator działa na funkcję umieszczoną po jego prawej 
stronie, 
(2) jeżeli mamy iloczyn (zlożenie) operatorów, to ABψ = 
A(Bψ), 
(3) potęga operatora polega na wielokrotnym wykonaniu tej 
samej operacji (zdefiniowanej przez operator).

Komutator

•

Operatory zazwyczaj nie są przemienne, co oznacza, że 
kolejność zapisu operatorów jest istotna.

•

Komutatorem operatorów   nazywamy operator postaci:
który oznaczamy przez 
Dla operatorów przemiennych komutator znika. Jeżeli 
operatory są przemienne (ich komutator znika), to mówimy, 
że operatory te komutują.

Operator Hamiltona (hamiltonian)

•

Operator energii całkowitej (E), oznaczany symbolem

B

A ˆ

,

ˆ

A

B

B

A

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ 

]

ˆ

,

ˆ

[ B

A

V

T

E





V

T

H

ˆ

ˆ

ˆ





Hˆ

 

 

III postulat mechaniki kwantowej

Jeżeli stan układu opisywany jest funkcją ψ(q

1

, q

2

, ..., q

f

, t), 

to zmiana funkcji falowej ψ w czasie (ewolucja czasowa 

układu) określona jest równaniem:

lub równoważnie

Jest to tzw. równanie Schrödingera zawierające czas

Równanie to jest zarazem równaniem ruchu w mechanice 

kwantowej (znajomość operatora Hamiltona oraz funkcji ψ 

(czyli stanu układu) w pewnej chwili t

0

 , umożliwia 

wyznaczenie funkcji ψ w dowolnej chwili t (przeszłej lub 

przyszłej).





H

t

i

ˆ

















H

t

i

ˆ











 

 

IV postulat mechaniki kwantowej

Wynikiem pomiaru zmiennej dynamicznej A może być tylko wartość 

własna odpowiadającego jej operatora (      )
Problem własny

A – zmienna dynamiczna,   
   – operator odpowiadający zmiennej A
ψ – funkcja własna operatora 
a – wartość własna operatora      (związana z funkcją własną ψ )

Badany układ może przebywać w różnych stanach, np. w stanie 

opisywanym funkcją falową ψ

1

, lub w stanie opisywanym funkcją falową 

ψ

4

. Wówczas, zagadnienie własne wyglądałoby następująco

lub

Wniosek: jeżeli układ znajduje się w stanie ψ

k

, przy czym funkcja ψ

k 

jest 

funkcją  własną  operatora            ,to  wynikiem  pomiaru  zmiennej  A  będzie 

dokładnie wartość a

k

 (będąca wartością własną operatora       związaną z 

funkcją własną ψ

k

.

n

n

n

a









ˆ



ˆ



ˆ



ˆ

1

1

1

ˆ







a



4

4

4

ˆ







a





ˆ



ˆ

ˆ

 

 

Konsekwencje IV postulatu mechaniki kwantowej:

1. Ponieważ  wynikiem  pomiaru  zmiennej  dynamicznej  może  być 

tylko 

liczba 

rzeczywista, 

to 

operatory 

odpowiadające 

obserwablom muszą być hermitowskie. 

Wyjaśnienie:  operator 

nazywamy  hermitowskim,  jeżeli  dla 

dwóch dowolnych funkcji f oraz g klasy Q zachodzi równość:

(gdzie dτ oznacza całkowanie po całym zakresie zmienności 

wszystkich zmiennych)

Można udowodnić, że wartości własne operatorów hermitowskich 

są rzeczywiste (dowód na ćwiczeniach).

1.

Jeżeli operatory      isą przemienne (komutują), to odpowiadające 

im  obserwable  A  i  B  mogą  mieć  jednocześnie  ściśle  określone 

wartości. Jest tak dlatego, że przemienne operatory mają wspólny 

zbiór funkcji własnych (dowód na ćwiczeniach). A zatem:















d

g

f

d

f

g

*

)

ˆ

(

ˆ

*



ˆ



ˆ



ˆ













n

n

n

n

n

n

b

a













ˆ

ˆ

 

 

Jeśli  układ  znajduje  się  w  stanie  opisywanym  funkcją  ψ

n

  to 

obserwable A i B (odpowiadające operatorom  

i          ) mają 

w tym stanie dokładnie wartości a

n

 i b

n

. Obie wielkości można więc 

jednocześnie dokładnie zmierzyć. 

Wniosek:  zasada  nieokreśloności  Heisenberga  nie  dotyczy  tych 
par zmiennych, którym odpowiadają przemienne operatory.

Nieprzemienne  operatory  mają  natomiast  różne  funkcje  własne. 

Załóżmy, że układ jest w stanie opisywanym funkcją ψ. 

Jeżeli funkcja ψ jest funkcją własną operatora         , czyli zachodzi

to  zmienną  A  można  dokładnie  zmierzyć  (uzyskując  wynik  równy 

a).  Załóżmy,  że  chcemy  jeszcze  zmierzyć  wielkość  G,  której 

odpowiada operator 

      ,przy czym operatory  

i        

nie  komutują.  W  tej  sytuacji  funkcja  ψ  (opisująca  stan  układu  w 

danej chwili) nie jest funkcją własną operatora    , a zatem wynik 

pomiaru zmiennej G w tym stanie będzie nieokreślony.

Wniosek:  zasada  nieokreśloności  Heisenberga  dotyczy  tych  par 

zmiennych, którym odpowiadają nieprzemienne operatory.



ˆ



ˆ



ˆ







a



ˆ



ˆ



ˆ



ˆ



ˆ

 

 

1.

Postulat IV stwierdza (w odniesieniu do energii), że wynikiem 

pomiaru energii może być tylko wartość własna operatora 

energii (hamiltonianu):

Pamiętamy, że równanie ruchu ma postać:

Podstawiamy prawą stronę równania ruchu do równania 

własnego dla operatora Hamiltona i otrzymujemy:

Jeżeli hamiltonian, a więc i energia, nie zależy od czasu, mamy 

do czynienia ze stanem stacjonarnym, a rozwiązaniem 

powyższego równania jest funkcja: 

)

,

,...,

,

(

)

,

,...,

,

(

ˆ

2

1

2

1

t

q

q

q

E

t

q

q

q

H

f

f











H

t

i

ˆ











)

,

,...,

,

(

)

,

,...,

,

(

2

1

2

1

t

q

q

q

E

t

q

q

q

t

i

f

f

























 







iEt

q

q

q

t

q

q

q

f

f

exp

)

,...,

,

(

)

,

,...,

,

(

2

1

2

1





co można sprawdzić przez podstawienie (dowód na 
ćwiczeniach).

 

 

Wstawiając powyższą funkcję do równania Schrödingera 

otrzymujemy:

Dzielimy obie strony przez czynnik wykładniczy (który jest zawsze 

różny od zera) i otrzymujemy: 

Równanie Schrödingera nie zawierające czasu:

lub krótko:

Równanie to angażuje nie zależącą od czasu funkcję falową i 

dotyczy procesów (stanów) stacjonarnych.











 















 







iEt

q

q

q

E

iEt

q

q

q

H

f

f

exp

)

,...,

,

(

exp

)

,...,

,

(

ˆ

2

1

2

1





)

,...,

,

(

)

,...,

,

(

ˆ

2

1

2

1

f

f

q

q

q

E

q

q

q

H











E

H 

ˆ

 

 

V postulat mechaniki kwantowej:

Wiadomo,  iż  pomiar  zmiennej  dynamicznej  A  przeprowadzony  na 

układzie  opisywanym  funkcją  ψ,  prowadzi  do  wartości  własnej   

operatora            (odpowiadającego zmiennej A), o ile funkcja ψ jest 

funkcją własną operatora      , czyli:

(gdzie  liczba  a  (wartość  własna)  będzie  wynikiem  pomiaru  zmiennej 

A)

Powyższe  informacje  stanowią  treść  IV  postulatu  mechaniki 

kwantowej.

Postulat V dotyczy sytuacji, w której funkcja  φ opisująca stan układu 
nie  jest  (ściślej:  nie  musi  być)  funkcją  własną  operatora  obserwabli, 
którą chcemy zmierzyć.
Postulat  V  stwierdza,  że  jeżeli  układ  opisywany  jest  funkcją  φ,  która 
nie jest funkcją własną operatora     , to pomiar zmiennej A może dać 
(z  określonym  prawdopodobieństwem)  jedną  z  wartości  własnych 
operatora      

     (np. a

1

, a

2

, a

3

, ...).

 



ˆ



ˆ







a



ˆ



ˆ



ˆ

 

 

Postulat  V  nazywany  jest  „postulatem  o  wartości  średniej”,  gdyż 

precyzuje,  iż  średnia  wartość  zmiennej  A  w  stanie  opisywanym 

funkcją φ wynosi:

Zakładamy, że funkcja jest unormowana, czyli, że: ∫φ*φ dτ = 1
Jeżeli  funkcja  φ  nie  jest  unormowana,  to  wyrażenie  na  wartość 
średnią ma postać:

Zauważmy, że jeżeli funkcja φ jest unormowana, oraz jeżeli jest to 
funkcja własna operatora      , to ponieważ ∫φ*φ dτ = 1  mamy:

















d

a

ˆ

*

























d

d

a

*

ˆ

*



ˆ

a

d

a

d

a

d

































*

*

ˆ

*

 

 

Zasada superpozycji stanów:



Zmiennej 

dynamicznej 

(wielkości 

mierzalnej) 

przyporządkowujemy operator



Każdy operator posiada pewien zbiór funkcji własnych.



Zbiór funkcji własnych może tworzyć układ zupełny
Układ  zupełny  funkcji – zbiór  funkcji {ψ

i

},  za pomocą 

których można przedstawić dowolną funkcję φ w postaci:

Jeżeli zbiór funkcji własnych operatora odpowiadającego 
pewnej  zmiennej  dynamicznej  tworzy  układ  zupełny,  to 
taką zmienną nazywamy obserwablą 
W 

mechanice 

kwantowej 

rozważamy 

wyłącznie 

obserwable. 









1

i

i

i

c





 

 

Zasada  superpozycji  stanów  głosi,  że  jeżeli  zbiór  {ψ

1

,  ψ

2

, 

ψ

3

,  ...}  wszystkich  funkcji  własnych  pewnego  operatora 

kwantowo-mechanicznego  jest  zbiorem  zupełnym,  czyli,  że 
dowolny  stan  układu  (funkcję  φ)  można  przedstawić  w  postaci 
superpozycji tych funkcji własnych:

to kwadrat modułu współczynnika rozwinięcia | c

i

 |

2 

jest udziałem 

stanu ψ

i

 w stanie φ. 

Inaczej mówiąc, kwadrat modułu współczynnika rozwinięcia | c

i

 |

2 

jest  prawdopodobieństwem,  że  jeśli  układ  jest  w  stanie  φ  ,  to 
ma właściwości stanu ψ

i

 .









1

i

i

i

c



