Definicja wartości symbolicznej
(zespolonej) wielkości sinusoidalnej
Wartością symboliczną (
zespoloną
) wielkości
sinusoidalnie zmiennej:
x
m
t
sin
X
)
t
(
x
nazywamy wyrażenie postaci:
x
j
e
X
X
gdzie
2
X
X
m
jest wartością skuteczną
funkcji sinusoidalnej x(t)
x
jest fazą początkową
funkcji sinusoidalnej x(t)
Jak przejść od praw obwodowych
zapisanych dla wartości chwilowych
do zależności dla wartości zespolonych?
Chcemy zbudować zależności
dla prądów i napięć dla elementów idealnych:
opornika, cewki i kondensatora
Ri
u
dt
di
L
u
dt
du
C
i
oraz prawa Kirchhoffa i prawo Ohma.
sin
2
)
(
sin
2
)
(
i
u
t
I
t
i
t
U
t
u
Wartości chwilowe prądów i napięć maja postać:
a ich wartości zespolone:
u
j
e
U
U
i
j
e
I
I
Prawo Ohma
0
1
m
k
k
I
PPK:
0
1
n
k
k
U
NPK:
Ri
u
RI
U
i
u
j
j
e
I
R
e
U
I
R
U
i
u
0
i
u
I
U
R
i
u
R
Orawo Ohma dla opornika
Dla wartości chwilowych:
Dla wartości
zespolonych:
U
I
i
u
I
U
R
i
j
e
I
R
U
I
R
U
dt
di
L
u
LI
j
U
2
i
u
j
j
e
I
L
e
U
I
L
U
2
i
u
2
i
u
L
i
u
L
I
U
Prawo Ohma dla cewki
Dla wartości chwilowych:
Dla wartości zespolonych:
U
I
u
i
2
i
u
L
I
U
)
2
(
i
j
e
I
L
U
I
L
j
U
dt
du
C
i
CU
j
I
2
u
i
j
j
e
U
C
e
I
U
C
I
2
u
i
2
i
u
C
i
u
C
I
U
Prawo Ohma dla kondensatora
Dla wartości chwilowych:
Dla wartości zespolonych:
U
I
u
i
2
i
u
C
I
U
)
2
(
1
1
i
j
e
I
C
U
I
C
j
U
RI
U
LI
j
U
CU
j
I
I
C
j
I
C
j
U
1
1
Definicja:
Impedancją nazywamy iloraz wartości
symbolicznych napięcia i prądu
I
U
Z
i
u
i
u
j
j
j
e
I
U
e
I
e
U
I
U
Z
RI
U
LI
j
U
CU
j
I
R
I
U
Z
Impedancja elementów idealnych:
L
j
I
U
Z
C
j
I
U
Z
1
j
e
Z
Z
I
U
Z
i
u
Z
arg
Impedancja
jX
R
Z
R –rezystancja
X - reaktancja
1
1
1
1
X
R
Ze wzoru Eulera wynika:
sin
Z
j
cos
Z
jsin
cos
Z
e
Z
Z
j
sin
Z
j
cos
Z
jsin
cos
Z
e
Z
Z
j
sin
Z
X
cos
Z
R
Trójkąt impedancji:
R
0
X
Z
R
0
X
Z
0
0
Definicja:
Admitancją nazywamy iloraz wartości
symbolicznych prądu i napięcia
U
I
Y
u
i
u
i
j
j
j
e
U
I
e
U
e
I
U
I
Y
RI
U
LI
j
U
CU
j
I
G
R
U
I
Y
R
1
Admitancjancja elementów idealnych:
L
j
U
I
Y
L
1
C
j
U
I
Y
C
j
e
Z
Z
Y
1
1
u
i
Y
arg
U
I
Y
G – konduktancja
B - susceptancja
jB
G
Y
Ze wzoru Eulera wynika:
sin
Y
j
cos
Y
jsin
cos
Y
e
Y
Y
j
S
B
S
G
1
1
1
1
sin
Y
j
cos
Y
jsin
cos
Y
e
Y
Y
j
sin
Y
B
cos
Y
G
Trójkąt admitancji:
G
0
L
B
Y
G
0
C
B
Y
0
L
X
L
j
R
Z
L
Połączenie szeregowe RL
R
L
U
L
U
R
I
U
L
R
U
U
L
jI
IR
L
j
R
I
IZ
U
I
U
R
U
L
U
R
L
tg
0
L
X
L
j
R
Z
L
Połączenie szeregowe RL można zastąpić
równoważnym połączeniem równoległym:
R
L
U
L
U
R
I
U
R
X
L
X
U
I
C
j
B
X
R
X
B
X
R
X
j
X
R
R
jX
R
jB
G
Y
L
L
X
X
1
0
1
2
2
2
2
2
2
Połączenie szeregowe RC
R
C
U
C
U
R
I
U
U
R
I
U
C
U
0
1
1
C
X
C
j
R
Z
C
C
R
U
U
C
jI
IR
C
j
R
I
IZ
U
1
1
CR
1
tg
R
C
U
C
U
R
I
U
C
R
U
U
C
jI
IR
C
j
R
I
IZ
U
1
1
CR
1
tg
Połączenie szeregowe RC można zastąpić równoważnym
połączeniem równoległym:
X
C
C
X
X
C
j
B
X
R
X
B
X
R
X
j
X
R
R
jX
R
jB
G
Y
0
1
2
2
2
2
2
2
R
C
U
I
Zależności między R i G oraz X i B
2
2
B
G
G
R
2
2
B
G
B
X
2
2
2
2
1
B
G
B
j
B
G
G
jB
G
jB
G
jB
G
jB
G
jX
R
Z
R
L
U
I
R
C
U
I
L
j
R
jB
G
Y
1
1
C
j
R
jB
G
Y
1
G
0
C
B
Y
G
0
L
B
Y
R
C
U
I
R
L
U
I
U
I
R
I
L
I
U
I
R
I
C
I