Połączenia oporników
a. Połączenie szeregowe:
R
1
R
2
R
n
U
1
U
2
U
n
U
i
n
U
U
U
U
2
1
n
R
i
R
i
R
i
2
1
n
R
R
R
i
2
1
n
k
k
z
R
i
U
R
1
Połączenia oporników
a. Połączenie szeregowe:
R
1
R
2
R
n
U
1
U
2
U
n
U
i
n
U
U
U
U
2
1
n
R
i
R
i
R
i
2
1
n
R
R
R
i
2
1
n
k
k
z
R
i
U
R
1
n
k
k
z
R
i
U
R
1
W połączeniu szeregowym
rezystancje oporników dodają się
Dzielnik napięcia
U
R
1
R
2
U
1
U
2
i
2
1
R
R
U
i
2
1
1
1
1
R
R
R
U
R
i
U
2
1
2
2
2
R
R
R
U
R
i
U
R
1
R
2
i
U
U
1
U
2
Jaka cześć napięcia u
odłoży się na R
1
, a jaka na R
2
?
V
U
R
R
12
30
10
2
1
2
1
R
R
U
i
A
3
,
0
40
12
30
10
12
V
R
i
U
3
10
3
,
0
1
1
V
R
i
U
9
30
3
,
0
2
2
b. Połączenie równoległe:
i
i
1
i
2
R
1
R
2
u
1
1
R
i
u
2
2
R
i
u
2
1
i
i
i
1
1
R
u
i
2
2
R
u
i
2
1
1
1
R
R
u
i
2
1
1
1
1
R
R
u
i
R
z
W połączeniu równoległym
odwrotności rezystancji oporników dodają się
n
k
k
z
R
R
1
1
1
Dla dwóch oporników otrzymamy:
2
1
2
1
R
R
R
R
R
z
R
R
R
R
R
gdy
z
2
1
2
1
Dzielnik prądu
i
i
1
i
2
u
R
1
R
2
Jaka część prądu i popłynie przez R
1
,
a jaka przez R
2
?
2
2
1
1
R
i
R
i
2
1
i
i
i
2
1
2
1
R
R
R
i
i
2
1
1
2
R
R
R
i
i
Przykład:
i
i
1
i
2
R
1
R
2
A
i
R
R
9
6
12
2
1
A
R
R
R
i
i
3
3
1
9
6
12
6
9
2
1
2
1
A
R
R
R
i
i
6
3
2
9
6
12
12
9
2
1
1
2
V
R
i
u
36
12
3
1
1
V
R
i
u
36
6
6
2
2
V
R
i
u
z
36
4
9
4
12
6
12
6
z
R
Zasada superpozycji
x
y
x
1
x
2
x
1
+x
2
y
1
+y
2
y
2
y
1
y=Ax
Odpowiedź układu liniowego
na sumę wymuszeń
równa się sumie odpowiedzi na
poszczególne wymuszenia
działające z osobna.
UL
x
1
x
2
x
3
y
1
y
2
y
3
x
y
x
1
x
2
x
1
+x
2
y
2
y
1
y=f(x)
y=y
1
+y
2
Dlaczego superpozycji nie można stosować
do układów nieliniowych:
Przykład:
W obwodzie działają dwa źródła napięcia e
1
i
e
2
. Celem jest obliczenie napięcia u
AB
metodą superpozycji.
i
1
i
2
e
1
e
2
R
1
R
2
R
3
u
AB
A
B
i
3
Pierwszy etap superpozycji
-
pozostawiamy w obwodzie tylko źródło e
1
, a
źródło e
2
zwieramy:
i
2
’
e
1
R
1
R
2
R
3
u
AB
’
A
B
i
1
’
i
3
’
1
3
2
3
2
R
R
R
R
R
R
z
i
1
’=
e
1
R
z
3
2
3
2
'
1
'
R
R
R
R
i
u
AB
Drugi etap superpozycji
- pozostawiamy
w obwodzie tylko źródło e
2
, a e
1
zwieramy:
i
1
’’
i
2
’’
e
2
R
1
R
2
R
3
u
AB
A
B
i
3
’’
3
2
3
2
''
2
''
R
R
R
R
i
u
AB
2
3
1
3
1
''
R
R
R
R
R
R
z
''
2
''
2
z
R
e
i
3
2
3
2
'
1
'
R
R
R
R
i
u
AB
3
2
3
2
''
2
''
R
R
R
R
i
u
AB
AB
AB
AB
u
u
u
''
'
Źródła sterowane
Napięcie tych źródeł zależy od prądu lub napięcia sterującego
A. źródła napięciowe
Sterowane prądem:
Sterowane napięciem:
x
i
f
u
x
u
f
u
Źródło jest liniowe, jeśli zachodzi proporcjonalność:
x
i
i
h
u
lub
x
u
u
h
u
B. źródła prądowe
Sterowane prądem:
Sterowane napięciem:
Prąd tych źródeł zależy od prądu lub napięcia sterującego
x
i
g
i
x
u
g
i
Źródło jest liniowe, jeśli zachodzi proporcjonalność:
x
i
i
k
i
lub
x
u
u
k
i
Przykład obwodu ze źródłami sterowanymi:
Jest to stałoprądowy model tranzystora
znany jako
model Ebersa-Molla
B
E
C
i
f
f
f
i
r
r
i
i
r
Równoważność źródeł
i
R
u
R
E
w
AB
w
i
R
E
R
u
w
w
AB
w
AB
iR
E
u
i
i
J
w
AB
E
R
w
u
A
B
i
R
R
i
R
E
A
B
AB
w
R
w
u
Układy równoważne
Układy równoważne
Q
j
1
j
n-1
v
1
v
n-1
n
P
i
1
i
n-1
u
1
u
n-1
n
T
1
n
2
1
i
i
i
i
T
1
n
2
1
u
u
u
u
T
1
n
2
1
j
j
j
j
T
1
n
2
1
v
v
v
v
•Układy P i Q nazywamy
równoważnymi, jeżeli ich opis
matematyczny jest taki sam.
0
i
u
f
)
,
(
P
0
j
v
f
)
,
(
Q
Q
P
f
f
Opis obwodu P
Opis obwodu Q
Przykład
i
u
R
w
u
z
i
R
u
u
w
z
j
G
1
G
1
j
G
1
j
j
v
w
w
z
w
z
w
z
z
G
1
j
u
w
z
z
G
u
j
w
w
G
1
R
j
v
G
w
j
z
Zamiana GWIAZDA-TRÓJKĄT
R
1
R
2
R
3
1
2
3
2
1
3
R
12
R
31
R
23
u
1
V
1
u
2
V
2
i
1
j
1
i
2
j
2
2
3
2
1
3
2
1
3
2
2
2
2
3
1
3
1
2
1
3
1
1
1
i
R
R
i
R
i
i
R
i
R
u
i
R
i
R
R
i
i
R
i
R
u
R
1
R
2
R
3
1
2
3
u
1
u
2
i
1
i
2
i
1
+i
2
Są to równania (*)
2
1
3
R
12
R
31
R
23
V
1
V
2
j
1
j
2
2
31
23
12
31
12
23
1
31
23
12
23
31
1
2
31
23
12
31
23
1
31
23
12
23
12
31
1
j
R
R
R
R
R
R
j
R
R
R
R
R
v
j
R
R
R
R
R
j
R
R
R
R
R
R
v
Są to równania (**)
Z definicji równoważności układów
wynika równość odpowiednich współczynników
w równaniach (*) i (**). Wynikają stąd wzory:
2
1
3
1
3
31
1
3
2
3
2
23
3
2
1
2
1
12
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
Gdy R
1
=R
2
=R
3
=R
Y
R
Δ
=3R
Y
31
23
12
31
23
3
31
23
12
23
12
2
31
23
12
31
12
1
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
Gdy R
12
=R
23
=R
34
=R
Δ
R
Y
=1/3R
Δ
Przykład:
R
1
R
2
R
3
i
1
i
2
i
3
A
B
C
R
4
R
5
R
6
u
Dane:
V
u
R
R
R
R
R
R
6
2
3
5
4
,
1
5
,
0
1
6
5
4
3
2
1
Celem jest obliczenie prądu
w jednej z gałęzi trójkąta, np. prądu i
4
i
4
Aby obliczyć ten prąd musimy znaleźć u
AC
u
AC
Po zamianie Δ Y nie możemy zgubić punktów AC
R
1
R
2
R
3
i
1
i
2
i
3
A
B
C
R
4
R
5
R
6
u
R
46
R
65
R
54
5
,
1
6
,
0
1
6
5
4
4
5
54
6
5
4
5
6
65
6
5
4
6
4
46
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
Obwód ma teraz postać:
R
1
R
2
R
3
A
B
C
O
R
46
R
54
R
65
i
1
i
2
i
3
u
AC
1
46
2
54
i
R
i
R
u
AC
u
*
R
*
*
R
*
*
*
R
i
1
i
2
i
3
0
2
6
,
0
4
,
1
2
5
,
1
5
,
0
2
1
1
65
3
*
*
*
54
2
*
*
46
1
*
R
R
R
R
R
R
R
R
R
A
R
R
u
i
2
1
2
6
2
1
*
*
*
1
A
i
i
1
3
2
1
46
2
54
i
R
i
R
u
AC
A
R
u
i
AC
7
,
0
5
5
,
3
4
4
V
u
AC
5
,
3
2
1
1
5
,
1
Twierdzenie o włączaniu dodatkowych źródeł
Rozpływ prądów w obwodzie nie zmieni się,
jeżeli we wszystkich gałęziach zbiegających się w węźle
(dowolnym) włączymy źródła napięcia
o tych samych wartościach napięć źródłowych
i tak samo skierowane względem węzła.
Rozkład napięć w obwodzie nie zmieni się,
jeżeli w pętli (dowolnej) pomiędzy kolejne węzły
włączymy źródła prądu
o tych samych prądach źródłowych
i tak samo skierowane względem kierunku obiegu pętli.
W1
W2
Dowód wynika z NPK
Dowód wynika z PPK
Wnioski:
Źródło napięcia e=u zostało przeniesione
z jednej gałęzi obwodu
do pozostałych gałęzi zbiegających się w tym węźle.
u
u
e
e
e
e
e
j
Źródło prądu
zostało przeniesione.
Wszystkie prądy źródłowe
mają wartość j