Połączenia oporników

a. Połączenie szeregowe:

R

1

R

2

R

n

U

1

U

2

U

n

U

i

n

U

U

U

U















2

1

















n

R

i

R

i

R

i

2

1





n

R

R

R

i















2

1









n

k

k

z

R

i

U

R

1









n

k

k

z

R

i

U

R

1

W połączeniu szeregowym
rezystancje oporników dodają się

Dzielnik napięcia

U

R

1

R

2

U

1

U

2

i

2

1

R

R

U

i





2

1

1

1

1

R

R

R

U

R

i

U







2

1

2

2

2

R

R

R

U

R

i

U







R

1

R

2

i

U

U

1

U

2

Jaka cześć napięcia u
odłoży się na R

1

, a jaka na R

2

?

V

U

R

R

12

30

10

2

1

















2

1

R

R

U

i

A

3

,

0

40

12

30

10

12









V

R

i

U

3

10

3

,

0

1

1









V

R

i

U

9

30

3

,

0

2

2









b. Połączenie równoległe:

i

i

1

i

2

R

1

R

2

u

1

1

R

i

u 

2

2

R

i

u 

2

1

i

i

i





1

1

R

u

i 

2

2

R

u

i 

















2

1

1

1

R

R

u

i

2

1

1

1

1

R

R

u

i

R

z







W połączeniu równoległym
odwrotności rezystancji oporników dodają się







n

k

k

z

R

R

1

1

1

Dla dwóch oporników otrzymamy:

2

1

2

1

R

R

R

R

R

z





R

R

R

R

R

gdy

z

2

1

2

1









Dzielnik prądu

i

i

1

i

2

u

R

1

R

2

Jaka część prądu i popłynie przez R

1

,

a jaka przez R

2

?

2

2

1

1

R

i

R

i



2

1

i

i

i





2

1

2

1

R

R

R

i

i





2

1

1

2

R

R

R

i

i





Przykład:

i

i

1

i

2

R

1

R

2

A

i

R

R

9

6

12

2

1











A

R

R

R

i

i

3

3

1

9

6

12

6

9

2

1

2

1















A

R

R

R

i

i

6

3

2

9

6

12

12

9

2

1

1

2















V

R

i

u

36

12

3

1

1









V

R

i

u

36

6

6

2

2









V

R

i

u

z

36

4

9 

















4

12

6

12

6

z

R

Zasada superpozycji

x

y

x

1

x

2

x

1

+x

2

y

1

+y

2

y

2

y

1

y=Ax

Odpowiedź układu liniowego
na sumę wymuszeń
równa się sumie odpowiedzi na
poszczególne wymuszenia
działające z osobna.

UL

x

1

x

2

x

3

y

1

y

2

y

3

x

y

x

1

x

2

x

1

+x

2

y

2

y

1

y=f(x)

y=y

1

+y

2

Dlaczego superpozycji nie można stosować
do układów nieliniowych:

Przykład:

W obwodzie działają dwa źródła napięcia e

1

i

e

2

. Celem jest obliczenie napięcia u

AB

metodą superpozycji.

i

1

i

2

e

1

e

2

R

1

R

2

R

3

u

AB

A

B

i

3

Pierwszy etap superpozycji

-

pozostawiamy w obwodzie tylko źródło e

1

, a

źródło e

2

zwieramy:

i

2

’

e

1

R

1

R

2

R

3

u

AB

’

A

B

i

1

’

i

3

’

1

3

2

3

2

R

R

R

R

R

R

z







i

1

’=

e

1

R

z

3

2

3

2

'

1

'

R

R

R

R

i

u

AB





Drugi etap superpozycji

- pozostawiamy

w obwodzie tylko źródło e

2

, a e

1

zwieramy:

i

1

’’

i

2

’’

e

2

R

1

R

2

R

3

u

AB

A

B

i

3

’’

3

2

3

2

''

2

''

R

R

R

R

i

u

AB





2

3

1

3

1

''

R

R

R

R

R

R

z







''

2

''

2

z

R

e

i 

3

2

3

2

'

1

'

R

R

R

R

i

u

AB





3

2

3

2

''

2

''

R

R

R

R

i

u

AB





AB

AB

AB

u

u

u

''

'





Źródła sterowane

Napięcie tych źródeł zależy od prądu lub napięcia sterującego

A. źródła napięciowe

Sterowane prądem:

Sterowane napięciem:

 

x

i

f

u

 

x

u

f

u

Źródło jest liniowe, jeśli zachodzi proporcjonalność:

x

i

i

h

u





lub

x

u

u

h

u





B. źródła prądowe

Sterowane prądem:

Sterowane napięciem:

Prąd tych źródeł zależy od prądu lub napięcia sterującego

 

x

i

g

i 

 

x

u

g

i 

Źródło jest liniowe, jeśli zachodzi proporcjonalność:

x

i

i

k

i





lub

x

u

u

k

i





Przykład obwodu ze źródłami sterowanymi:

Jest to stałoprądowy model tranzystora
znany jako

model Ebersa-Molla

B

E

C

i

f

f

f

i



r

r

i



i

r

Równoważność źródeł

i

R

u

R

E

w

AB

w





i

R

E

R

u

w

w

AB





w

AB

iR

E

u





i

i

J

w





AB

E

R

w

u

A

B

i

R

R

i

R

E

A

B

AB

w

R

w

u

Układy równoważne

Układy równoważne

Q

j

1

j

n-1

v

1

v

n-1

n

P

i

1

i

n-1

u

1

u

n-1

n





T

1

n

2

1

i

i

i







i





T

1

n

2

1

u

u

u







u





T

1

n

2

1

j

j

j







j





T

1

n

2

1

v

v

v







v

•Układy P i Q nazywamy

równoważnymi, jeżeli ich opis
matematyczny jest taki sam.

0

i

u

f



)

,

(

P

0

j

v

f



)

,

(

Q

Q

P

f

f 

Opis obwodu P

Opis obwodu Q

Przykład

i

u

R

w

u

z

i

R

u

u

w

z









j

G

1

G

1

j

G

1

j

j

v

w

w

z

w

z









w

z

z

G

1

j

u 

w

z

z

G

u

j 

w

w

G

1

R 

j

v

G

w

j

z

Zamiana GWIAZDA-TRÓJKĄT

R

1

R

2

R

3

1

2

3

2

1

3

R

12

R

31

R

23

u

1

V

1

u

2

V

2

i

1

j

1

i

2

j

2



 











2

3

2

1

3

2

1

3

2

2

2

2

3

1

3

1

2

1

3

1

1

1

i

R

R

i

R

i

i

R

i

R

u

i

R

i

R

R

i

i

R

i

R

u

























R

1

R

2

R

3

1

2

3

u

1

u

2

i

1

i

2

i

1

+i

2

Są to równania (*)

2

1

3

R

12

R

31

R

23

V

1

V

2

j

1

j

2









2

31

23

12

31

12

23

1

31

23

12

23

31

1

2

31

23

12

31

23

1

31

23

12

23

12

31

1

j

R

R

R

R

R

R

j

R

R

R

R

R

v

j

R

R

R

R

R

j

R

R

R

R

R

R

v





























Są to równania (**)

Z definicji równoważności układów
wynika równość odpowiednich współczynników
w równaniach (*) i (**). Wynikają stąd wzory:

2

1

3

1

3

31

1

3

2

3

2

23

3

2

1

2

1

12

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R



















Gdy R

1

=R

2

=R

3

=R

Y

R

Δ

=3R

Y

31

23

12

31

23

3

31

23

12

23

12

2

31

23

12

31

12

1

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R



















Gdy R

12

=R

23

=R

34

=R

Δ

R

Y

=1/3R

Δ

Przykład:

R

1

R

2

R

3

i

1

i

2

i

3

A

B

C

R

4

R

5

R

6

u

Dane:

V

u

R

R

R

R

R

R

6

2

3

5

4

,

1

5

,

0

1

6

5

4

3

2

1



























Celem jest obliczenie prądu
w jednej z gałęzi trójkąta, np. prądu i

4

i

4

Aby obliczyć ten prąd musimy znaleźć u

AC

u

AC

Po zamianie Δ Y nie możemy zgubić punktów AC

R

1

R

2

R

3

i

1

i

2

i

3

A

B

C

R

4

R

5

R

6

u

R

46

R

65

R

54































5

,

1

6

,

0

1

6

5

4

4

5

54

6

5

4

5

6

65

6

5

4

6

4

46

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

Obwód ma teraz postać:

R

1

R

2

R

3

A

B

C

O

R

46

R

54

R

65

i

1

i

2

i

3

u

AC

1

46

2

54

i

R

i

R

u

AC







u

*

R

*

*

R

*

*

*

R

i

1

i

2

i

3

0





































2

6

,

0

4

,

1

2

5

,

1

5

,

0

2

1

1

65

3

*

*

*

54

2

*

*

46

1

*

R

R

R

R

R

R

R

R

R

A

R

R

u

i

2

1

2

6

2

1

*

*

*

1











A

i

i

1

3

2







1

46

2

54

i

R

i

R

u

AC







A

R

u

i

AC

7

,

0

5

5

,

3

4

4







 

V

u

AC

5

,

3

2

1

1

5

,

1













Twierdzenie o włączaniu dodatkowych źródeł

Rozpływ prądów w obwodzie nie zmieni się,
jeżeli we wszystkich gałęziach zbiegających się w węźle
(dowolnym) włączymy źródła napięcia
o tych samych wartościach napięć źródłowych
i tak samo skierowane względem węzła.

Rozkład napięć w obwodzie nie zmieni się,
jeżeli w pętli (dowolnej) pomiędzy kolejne węzły
włączymy źródła prądu
o tych samych prądach źródłowych
i tak samo skierowane względem kierunku obiegu pętli.

W1

W2

Dowód wynika z NPK

Dowód wynika z PPK

Wnioski:

Źródło napięcia e=u zostało przeniesione
z jednej gałęzi obwodu
do pozostałych gałęzi zbiegających się w tym węźle.

u

u

e

e

e

e

e

j

Źródło prądu
zostało przeniesione.

Wszystkie prądy źródłowe
mają wartość j