Metoda

potencjałów węzłowych

R

1

R

2

R

3

R

4

R

5

j

7

j

6

i

1

i

2

i

4

i

3

i

5

1

3

2

W obwodzie są 4 węzły i 7 gałęzi. Jeśli prądy źródeł są znane –
mamy 5 niewiadomych prądów.

Ile można napisać równań
liniowo niezależnych?

Z PPK 3 równania

Z NPK potrzebne są
2 równania

Mamy do rozwiązania
układ 5 równań

R

1

R

2

R

3

R

4

R

5

j

7

j

6

i

1

i

2

i

4

i

3

i

5

1

3

2

v

1

v

3

v

2

1

2

1

1

R

V

V

i





2

3

2

2

R

V

V

i





3

2

3

R

V

i 

4

1

4

R

V

i 

5

3

5

R

V

i





0

.

1

6

4

1







j

i

i

dla

0

.

2

2

3

1









i

i

i

dla

0

.

3

7

6

5

2











j

j

i

i

dla

Pokażemy, że
wystarczy znajomość
trzech potencjałów węzłowych
tzn. układ trzech równań

0

6

4

1

1

2

1









j

R

V

R

V

V

0

2

3

2

3

2

1

2

1













R

V

V

R

V

R

V

V

0

7

6

5

3

2

3

2















j

j

R

V

R

V

V

Po uporządkowaniu
otrzymamy:

6

1

2

4

1

1

1

1

1

j

R

V

R

R

V

































0

1

1

1

1

1

2

3

3

2

1

2

1

1

















































R

V

R

R

R

V

R

V

7

6

5

2

3

2

2

1

1

1

j

j

R

R

V

R

V



































Są 3 niewiadome
potencjały: V

1

, V

2

, V

3

.

R

1

R

2

e

3

R

4

R

5

j

7

j

6

i

1

i

2

i

4

i

3

i

5

1

3

2

v

1

v

3

v

2

Przykład 2

Przykład 2

Teraz V

2

=e

3

!!!

Są 2 niewiadome !!!

0

6

4

1

1

2

1









j

R

V

R

V

V

0

2

3

2

3

2

1

2

1













R

V

V

R

V

R

V

V

0

7

6

5

3

2

3

2















j

j

R

V

R

V

V

3

2

e

V 

Zamiast drugiego równania jest:

0

6

4

1

1

2

1









j

R

V

R

V

V

0

7

6

5

3

2

3

2















j

j

R

V

R

V

V

3

2

e

V 

2

3

7

6

5

2

3

6

1

3

4

1

1

1

1

1

1

R

e

j

j

R

R

V

j

R

e

R

R

V







































R

1

R

2

R

3

R

4

R

5

j

7

e

6

i

1

i

2

i

4

i

3

i

5

1

3

2

i

2

6

v

1

v

3

v

2

Przykład 3

Przykład 3

1

2

1

1

R

V

V

i





2

3

2

2

R

V

V

i





3

2

3

R

V

i 

4

1

4

R

V

i 

5

3

5

R

V

i





6

3

1

e

V

V





R

1

R

2

R

3

R

4

R

5

j

7

e

6

i

1

i

2

i

4

i

3

i

5

1

3

2

i

2

6

v

1

v

2

v

3

0

.

3

0

.

2

0

.

1

7

5

2

6

2

3

1

6

1

4

























j

i

i

i

i

i

i

i

i

i

PPK:

W równaniach pojawiła się dodatkowa niewiadoma – prąd i

6

.

Możemy ją usunąć z równań.

Dodajmy stronami równania 1. i 3.

0

7

5

2

6

6

1

4















j

i

i

i

i

i

i

0

7

5

2

1

4











j

i

i

i

i

To równanie można napisać dla przekroju przez gałęzie 4-1-2-5-7.

6

3

1

e

V

V





Twierdzenie Thevenina-

Twierdzenie Thevenina-

Nortona

Nortona

Twierdzenie Thevenina-

Twierdzenie Thevenina-

Nortona

Nortona

u

i

A

B

u

z

R

z

A. Twierdzenie Thevenina

Każdy liniowy dwójnik aktywny można zastąpić z
wybranej pary zacisków AB rzeczywistym źródłem
napięcia o parametrach u

z

i R

z

.

Napięcie u

z

występuje na rozwartych zaciskach AB, a

rezystancję liczymy z zacisków AB po usunięciu
wszystkich źródeł niezależnych.

u

i

A

B

G

z

i

z

A. Twierdzenie Nortona

Każdy liniowy dwójnik aktywny można zastąpić z wybranej pary zacisków AB
rzeczywistym źródłem prądu o parametrach i

z

i G

z.

Prąd jest prądem zwarciowym, a konduktancję liczymy z zacisków AB
po usunięciu wszystkich źródeł niezależnych.

Przykład:

E

1

J

R

1

R

2

R

3

Wyznaczymy parametry dwójnika Thevenina (E

z

i R

z

)

widzianego z zacisków AB.

Dane:

A

J

V

E

R

R

R

2

4

3

6

2

1

3

2

1

















A

B

U

AB

V

R

R

R

J

R

E

V

u

A

AB

4

1

1

1

3

2

1

1

1























1

1

1

1

1

3

2

1

R

R

R

R

z

A

B

E

z

R

z

V

E

Z

4





1

Z

R

Dwójnik Thevenina:

u

AB

R

0

A

B

E

z

R

z

Jak zmieni się napięcie u

AB,

gdy do dwójnika dołączymy rezystor R

0

=3Ω?

V

iR

u

A

R

R

E

i

AB

z

z

3

3

1

1

3

1

4

0

0



















i

E

1

J

R

1

R

2

R

3

Wyznaczymy parametry dwójnika Nortona (J

z

i G

z

)

widzianego z zacisków AB.

Przykład:

A

J

V

E

R

R

R

2

4

3

6

2

1

3

2

1

















Dane:

A

B

J

Z

A

J

R

E

J

Z

4

2

2

4

1

1











S

G

G

G

G

Z

1

3

1

6

1

2

1

3

2

1















J

G

Z

A

B

Dwójnik Nortona:

A

J

Z

4



S

G

Z

1

