Rezonans
przy wymuszeniu sinusoidalnym
Rezonans
przy wymuszeniu sinusoidalnym
U
R
R
U
L
U
C
E
L
C
i
E = U
R
+ U
L
+ U
C
= R i + j X
L
i + j X
C
i
i
C
1
L
j
R
i
C
j
1
i
L
j
i
R
E
)
X
X
(
j
R
C
1
L
j
R
Z
Z
c
L
Rezonans szeregowy
napięć
Zjawiskiem rezonansu
nazywamy taki stan
obwodu RLC, przy którym
prąd i napięcie są ze sobą
w
fazie
.
Częstotliwość rezonansowa
obwodu wynosi
zatem
0
C
1
L
X
X
X
C
L
LC
1
0
LC
2
1
f
0
Impedancja
obwodu musi być wielkością
rzeczywistą, czyli reaktancja wypadkowa znika:
U
R
U
L
U
C
U
i
X =
X
L
-
X
C
X
C
X
L
R
0
im
p
e
d
a
n
cj
a
Ważnym parametrem obwodu rezonansowego jest
dobroć Q
określana zwykle dla częstotliwości
rezonansowej.
W obwodzie szeregowym RLC
dobroć
definiujemy
jako
stosunek napięcia na elemencie reaktancyjnym
(kondensatorze lub cewce) do napięcia na
elemencie
rezystancyjnym w czasie rezonansu.
RC
1
R
L
U
U
U
U
Q
0
0
R
C
R
L
Uwzględniając wzór na pulsację rezonansową,
dobroć Q
można wyrazić w postaci :
Wielkość występująca w liczniku nazywana jest
rezystancją charakterystyczną
Rezystancja charakterystyczna obwodu
rezonansowego
szeregowego RLC zależy jedynie od wartości
indukcyjności
i pojemności.
R
C
L
R
1
Q
C
L
Charakterystykami częstotliwościowymi
obwodu
rezonansowego nazywamy zależność prądu i
napięcia
od częstotliwości (pulsacji).
)
(
j
e
|
)
(
i
|
C
1
L
j
R
)
(
U
)
(
Z
)
(
U
)
(
i
stąd
2
0
0
2
2
2
Q
1
R
|
)
(
U
|
C
1
L
R
|
)
(
U
|
|
)
(
i
|
0
0
Q
arctg
R
X
arctg
)
(
0
1
2
3
A
m
p
li
tu
d
a
Q =
4
Q =
3
Q =
2
Q =
1
/
0
Charakterystyką amplitudową
rezonansu
nazywamy zależność modułu od częstotliwości
(pulsacji).
|i|
F
a
za
[
ra
d
]
Q =
4
Q =
3
Q =
2
Q =
1
/
0
0
0
1
2
3
– 0,5
1
1,
5
–1
0,5
– 1,5
Zależność fazy od częstotliwości (pulsacji)
nazywamy
charakterystyką fazową
.
()
Charakterystyki amplitudowe napięć na cewce
indukcyjnej
| U
L
|
oraz na kondensatorze
| U
C
|
są wyrażone w postaci:
2
0
0
2
2
2
L
Q
1
R
L
|
)
(
U
|
C
1
L
R
L
|
)
(
U
|
|
)
(
U
|
2
0
0
2
2
2
C
Q
1
CR
|
)
(
U
|
C
1
L
R
C
|
)
(
U
|
|
)
(
U
|
|U
C
|
Q =
1
|U
L
|
Q =
1
n
a
p
ię
c
ie
[
V
]
|U
L
|
Q =
4
|U
C
|
Q =
4
/
0
0
1
2
3
Zależność
napięcia
na cewce indukcyjnej U
L
oraz kondensatorze U
C
od
częstotliwości
(pulsacji)
U
U
R
U
L
U
C
U
i
U =
U
R
U
L
U
C
i
U
R
U
L
U
C
U
i
<
0
=
0
>
0
Rezonans prądów zwany również rezonansem
równoległym może wystąpić w obwodzie
zawierającym
połączenie równoległe elementów RLC.
Rezonans równoległy
prądów
Warunkiem wystąpienia rezonansu prądowego
jest
równoległe połączenie cewki i kondensatora.
Cewka i
kondensator mogą być w układzie połączeń z
innymi
elementami rezystancyjnymi.
W przypadku obwodu
równoległego
przyjmujemy
wymuszenie sinusoidalne o zmiennej
częstotliwości z
źródła prądowego
.
G
U
C
i
i
R
i
L
i
C
i = i
R
+ i
L
+ i
C
= G U + j B
C
U + j
B
L
U
U
L
1
C
j
G
U
L
j
1
U
C
j
U
G
i
L
J
Zjawisko rezonansu
prądów nazywamy taki
stan obwodu RLC, przy
którym prąd i napięcie
są ze sobą w
fazie
.
Częstotliwość rezonansowa
obwodu wynosi
zatem
0
L
1
C
B
B
B
L
C
LC
1
0
LC
2
1
f
0
Admitancja
obwodu musi być wielkością
rzeczywistą, czyli sesceptancja wypadkowa znika:
i
R
i
L
i
C
U
i
W obwodzie równoległym RLC
dobroć
definiujemy
jako
stosunek prądu na elemencie sesceptancyjnym
(kondensatorze lub cewce) do prądu na elemencie
konduktancyjnym w czasie rezonansu.
G
C
GL
1
i
i
i
i
Q
0
0
R
C
R
L
Uwzględnieniu wzoru na pulsację rezonansową,
dobroć Q
R
C
L
1
R
L
C
G
1
Q
W przypadku
rezonansu równoległego
dobroć
obwodu
jest wprost proporcjonalna do wartości
rezystancji
a
odwrotnie proporcjonalna do
rezystancji
charakterystycznej
.
Dobroć obwodu
równoległego
wzrasta ze
wzrostem
wartości
rezystancji
, odwrotnie niż to miało
miejsce w
obwodzie rezonansu szeregowego. Przy mniejszej
konduktancji
równoległej płynie przez nią
mniejszy
prąd
upływnościowy).
Charakterystykami częstotliwościowymi
obwodu
rezonansowego nazywamy zależność prądu i
napięcia
od częstotliwości (pulsacji).
)
(
j
e
|
)
(
U
|
L
1
C
j
G
)
(
i
)
(
Y
)
(
i
)
(
U
stąd
2
0
0
2
2
2
Q
1
G
|
)
(
i
|
L
1
C
G
|
)
(
i
|
|
)
(
U
|
0
0
Q
arctg
G
B
arctg
)
(
Charakterystyki częstotliwościowe obwodu
rezonansowego równoległego
Charakterystyki dla obwodu równoległego są
identyczne z
charakterystykami dla obwodu szeregowego przy
uwzględnieniu formalnych zmian występujących we
wzorach
– prąd w obwodzie szeregowym odpowiada napięciu
na
połączeniu równoległym elementów.
Zmiana kształtu charakterystyk częstotliwościowych
obwodu
równoległego w zależności od zmian dobroci jest
również
identyczna jak w obwodzie szeregowym RLC.
Charakterystyki amplitudowe opisuje się
następującymi wzorami:
2
0
0
2
2
2
C
Q
1
G
C
|
)
(
i
|
L
1
C
G
C
|
)
(
i
|
|
)
(
i
|
2
0
0
2
2
2
L
Q
1
LG
|
)
(
i
|
L
1
C
G
L
|
)
(
i
|
|
)
(
i
|
|i
C
|
Q =
1
|i
L
|
Q =
1
p
rą
d
[
A
]
|i
L
|
Q =
4
|i
C
|
Q =
4
/
0
0
1
2
3
i
Rezonans równoległy oraz szeregowy
mają
zastosowanie w układach filtrów i
generatorów.
Pełnią one rolę układu wzmacniającego
sygnały
względnie tłumiącego w określonych
zakresach
częstotliwości .
