Rezonans

przy wymuszeniu sinusoidalnym

U

R

R

U

L

U

C

E

L

C

i

E = U

R

+ U

L

+ U

C

= R i + j X

L

i + j X

C

i

i

C

1

L

j

R

i

C

j

1

i

L

j

i

R

E



































































 

)

X

X

(

j

R

C

1

L

j

R

Z

Z

c

L









































Rezonans szeregowy

napięć

Zjawiskiem rezonansu

nazywamy taki stan
obwodu RLC, przy którym
prąd i napięcie są ze sobą
w

fazie

.

Częstotliwość rezonansowa

obwodu wynosi

zatem

0

C

1

L

X

X

X

C

L















LC

1

0





LC

2

1

f

0





Impedancja

obwodu musi być wielkością

rzeczywistą, czyli reaktancja wypadkowa znika:

U

R

U

L

U

C

U

i



X =

X

L

-

X

C

X

C

X

L

R



0

im

p

e

d

a

n

cj

a

Ważnym parametrem obwodu rezonansowego jest

dobroć Q

określana zwykle dla częstotliwości

rezonansowej.

W obwodzie szeregowym RLC

dobroć

definiujemy

jako

stosunek napięcia na elemencie reaktancyjnym

(kondensatorze lub cewce) do napięcia na
elemencie

rezystancyjnym w czasie rezonansu.

RC

1

R

L

U

U

U

U

Q

0

0

R

C

R

L













Uwzględniając wzór na pulsację rezonansową,

dobroć Q

można wyrazić w postaci :

Wielkość występująca w liczniku nazywana jest

rezystancją charakterystyczną



Rezystancja charakterystyczna obwodu
rezonansowego

szeregowego RLC zależy jedynie od wartości
indukcyjności

i pojemności.

R

C

L

R

1

Q







C

L





Charakterystykami częstotliwościowymi

obwodu

rezonansowego nazywamy zależność prądu i
napięcia

od częstotliwości (pulsacji).

)

(

j

e

|

)

(

i

|

C

1

L

j

R

)

(

U

)

(

Z

)

(

U

)

(

i

















































stąd





2

0

0

2

2

2

Q

1

R

|

)

(

U

|

C

1

L

R

|

)

(

U

|

|

)

(

i

|



























































































0

0

Q

arctg

R

X

arctg

)

(

0

1

2

3

A

m

p

li

tu

d

a

Q =

4

Q =

3

Q =

2

Q =

1

/

0

Charakterystyką amplitudową

rezonansu

nazywamy zależność modułu od częstotliwości
(pulsacji).

|i|

F

a

za

[

ra

d

]

Q =

4

Q =

3

Q =

2

Q =

1

/

0

0

0

1

2

3

– 0,5

1

1,

5

–1

0,5

– 1,5

Zależność fazy od częstotliwości (pulsacji)
nazywamy

charakterystyką fazową

.

()

Charakterystyki amplitudowe napięć na cewce

indukcyjnej

| U

L

|

oraz na kondensatorze

| U

C

|

są wyrażone w postaci:





2

0

0

2

2

2

L

Q

1

R

L

|

)

(

U

|

C

1

L

R

L

|

)

(

U

|

|

)

(

U

|























































2

0

0

2

2

2

C

Q

1

CR

|

)

(

U

|

C

1

L

R

C

|

)

(

U

|

|

)

(

U

|



















































|U

C

|

Q =

1

|U

L

|

Q =

1

n

a

p

ię

c

ie

[

V

]

|U

L

|

Q =

4

|U

C

|

Q =

4

/

0

0

1

2

3

Zależność

napięcia

na cewce indukcyjnej U

L

oraz kondensatorze U

C

od

częstotliwości

(pulsacji)

U

U

R

U

L

U

C

U

i

U =

U

R

U

L

U

C

i

U

R

U

L

U

C

U

i

 <



0

 =



0

 >



0

Rezonans prądów zwany również rezonansem

równoległym może wystąpić w obwodzie
zawierającym

połączenie równoległe elementów RLC.

Rezonans równoległy

prądów

Warunkiem wystąpienia rezonansu prądowego
jest

równoległe połączenie cewki i kondensatora.
Cewka i

kondensator mogą być w układzie połączeń z
innymi

elementami rezystancyjnymi.

W przypadku obwodu

równoległego

przyjmujemy

wymuszenie sinusoidalne o zmiennej
częstotliwości z

źródła prądowego

.

G

U

C

i

i

R

i

L

i

C

i = i

R

+ i

L

+ i

C

= G U + j B

C

U + j

B

L

U

U

L

1

C

j

G

U

L

j

1

U

C

j

U

G

i



































































L

J

Zjawisko rezonansu

prądów nazywamy taki
stan obwodu RLC, przy
którym prąd i napięcie
są ze sobą w

fazie

.

Częstotliwość rezonansowa

obwodu wynosi

zatem

0

L

1

C

B

B

B

L

C















LC

1

0





LC

2

1

f

0





Admitancja

obwodu musi być wielkością

rzeczywistą, czyli sesceptancja wypadkowa znika:

i

R

i

L

i

C

U

i

W obwodzie równoległym RLC

dobroć

definiujemy

jako

stosunek prądu na elemencie sesceptancyjnym

(kondensatorze lub cewce) do prądu na elemencie

konduktancyjnym w czasie rezonansu.

G

C

GL

1

i

i

i

i

Q

0

0

R

C

R

L













Uwzględnieniu wzoru na pulsację rezonansową,

dobroć Q









R

C

L

1

R

L

C

G

1

Q

W przypadku

rezonansu równoległego

dobroć

obwodu

jest wprost proporcjonalna do wartości

rezystancji

a

odwrotnie proporcjonalna do

rezystancji

charakterystycznej

.

Dobroć obwodu

równoległego

wzrasta ze

wzrostem

wartości

rezystancji

, odwrotnie niż to miało

miejsce w

obwodzie rezonansu szeregowego. Przy mniejszej

konduktancji

równoległej płynie przez nią

mniejszy

prąd

upływnościowy).

Charakterystykami częstotliwościowymi

obwodu

rezonansowego nazywamy zależność prądu i
napięcia

od częstotliwości (pulsacji).

)

(

j

e

|

)

(

U

|

L

1

C

j

G

)

(

i

)

(

Y

)

(

i

)

(

U

















































stąd

2

0

0

2

2

2

Q

1

G

|

)

(

i

|

L

1

C

G

|

)

(

i

|

|

)

(

U

|











































































































0

0

Q

arctg

G

B

arctg

)

(

Charakterystyki częstotliwościowe obwodu
rezonansowego równoległego

Charakterystyki dla obwodu równoległego są
identyczne z

charakterystykami dla obwodu szeregowego przy

uwzględnieniu formalnych zmian występujących we
wzorach

– prąd w obwodzie szeregowym odpowiada napięciu
na

połączeniu równoległym elementów.

Zmiana kształtu charakterystyk częstotliwościowych
obwodu

równoległego w zależności od zmian dobroci jest
również

identyczna jak w obwodzie szeregowym RLC.

Charakterystyki amplitudowe opisuje się
następującymi wzorami:

2

0

0

2

2

2

C

Q

1

G

C

|

)

(

i

|

L

1

C

G

C

|

)

(

i

|

|

)

(

i

|































































2

0

0

2

2

2

L

Q

1

LG

|

)

(

i

|

L

1

C

G

L

|

)

(

i

|

|

)

(

i

|































































|i

C

|

Q =

1

|i

L

|

Q =

1

p

rą

d

[

A

]

|i

L

|

Q =

4

|i

C

|

Q =

4

/

0

0

1

2

3

i

Rezonans równoległy oraz szeregowy
mają

zastosowanie w układach filtrów i
generatorów.

Pełnią one rolę układu wzmacniającego
sygnały

względnie tłumiącego w określonych
zakresach

częstotliwości .