Statystyka – kurs

podstawowy

Statystyka – kurs

podstawowy

Agnieszka KUJAWIŃSKA

Agnieszka KUJAWIŃSKA

2

Spotkanie 1

Spotkanie 1

• Statystyka opisowa

– miary tendencji centralnej
– miary zmienności
– wykresy (histogramy, pudełkowe)

• Zmienna losowa i rozkład

prawdopodobieństwa

– Prawdopodobieństwo
– Zmienna losowa

• skokowa
• ciągła

3

Zmienność procesu

Zmienność procesu

Wynik

zmienność

zidentyfikować

opisać

kontrolować

metody
statystyczne

4

Celem analiz statystycznych jest:

Celem analiz statystycznych jest:

• znalezienie prawidłowości kształtujących

zjawiska:

– badanie struktury kosztów produkcji
– badanie zmian w poziomie i strukturze

ludności na określonej przestrzeni i czasie

– badanie związku pomiędzy stażem pracy a

wydajnością pracowników

– reklamą a obrotami
– itd...

5

Zbiór danych może być rozpatrywany:

Zbiór danych może być rozpatrywany:

• z punktu widzenia:

– opisowego
– wnioskowania statystycznego

Statystyka opisowa

Wnioskowanie

statystyczne

Statystyka

6

Podział cech
statystycznych:

Podział cech
statystycznych:

Jednym z wielu podziałów cech jest:

mierzalne

niemierzalne

1) wartości

dają się
wyrazić za
pomocą
liczb

2) wyrażone

w różnych
jednostkac
h: zł,
tonach,
sztukach,
itd...

1) nie dają się

zmierzyć

2) np. płeć,

zawód,
kolor..

3) opisane na

skali
nominalnej

Skoko

we

Ciągłe

nominal

ne

porządk

owe

7

Opracowanie próby

Opracowanie próby

• Każdy zbiór obserwacji możemy

uporządkować według
wielkości/kryterium

8

Narzędzia statystyki opisowej:

Narzędzia statystyki opisowej:

1 2 1 2 2 2
2 3 3 3 1 2
3 2 1 2 3 3
3 2 3 1 2 3
4 3 2 1 2 3
2 4 3 2 1 2
3 4 3 4 4 4
4 4 4 4 3 1
1 1 1 2 3 1
2 3 2 1 2 4
3 2 4

1 2 3 4

miary statystyczne

9

Miary statystyczne:

Miary statystyczne:

• miary położenia
• miary rozproszenia
• miary asymetrii
• miary koncentracji

10

Miary położenia (tendencji centralnej)

Miary położenia (tendencji centralnej)

• miary położenia ze zbioru: percentyle

– mediana
– kwartyl I, III

• średnia arytmetyczna
• dominanta

11

Szczególne percentyle:

Szczególne percentyle:

• Mediana:

– leży w centrum zbioru w tym sensie, że

połowa wyników znajduje się powyżej, a
połowa poniżej jej wartości (

kwartyl 2

)

• Kwartyle:

– kwartyl 1:

ozn. Q

1

(25% wyników

leży poniżej tego percentyla)

– kwartyl 3:

Q

3

(75% wyników leży

poniżej jego wartości)

12

• Dominanta (wartość modalna, moda )

– jest wartość, która w tym zbiorze występuje

najczęściej

• Średnia arytmetyczna (średnia

klasyczna)

– zwaną także przeciętną jest to suma wartości

wszystkich wyników podzielona przez ich
liczbę

Pozostałe miary:

Pozostałe miary:

13

Średnia arytmetyczna

Średnia arytmetyczna

n

x

x

n

1

i

i







średnia w próbie:

średnia w populacji:

N

x

n

1

i

i









14

Mediana

Mediana

• dla zbioru o parzystej liczbie danych

• dla zbioru o nieparzystej liczbie danych

2

x

x

Me

1

2

n

2

n







2

1





n

x

Me

15

6, 9, 10, 12, 13, 14, 14, 15, 16, 16, 16, 17, 17, 18, 18, 19, 20, 21, 22, 24

Me=16
x

śr

=15,85

6, 9, 10, 12, 13, 14, 14, 15, 16, 16, 16, 17, 17, 18, 18, 19, 20, 21, 22, 100

Me=16
x

śr

=19,85

16

Rozpatrzmy dwa zbiory
danych:

Rozpatrzmy dwa zbiory
danych:

Z

1

: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 6, 7, 8, 9, 10, 11

Z

2

: 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8

 

Wyznacz: średnią zbiorów, medianę i
dominantę

17

18

Miary zróżnicowania:

Miary zróżnicowania:

• rozstęp (obszar zmienności)
• odchylenie przeciętne
• wariancja
• odchylenie standardowe

19

Miary rozrzutu:

Rozstęp

Miary rozrzutu:

Rozstęp

• w zbiorze wyników obserwacji rozstępem

nazywamy różnicę pomiędzy wartością
największą i najmniejszą

min

max

x

x

R





20

Miary rozrzutu:

Odchylenie przeciętne

Miary rozrzutu:

Odchylenie przeciętne

• jest średnią arytmetyczną bezwzględnych

różnic pomiędzy poszczególnymi wartościami
cechy a wartością średnią

n

x

x

D

n

1

i

i

m









21

Miary rozrzutu:

Wariancja

Miary rozrzutu:

Wariancja

• w zbiorze wyników wariancją nazywamy

przeciętne kwadratowe odchylenie
poszczególnych wyników od ich średniej

n

)

x

x

(

2

n

1

i

2

i

s









N

)

x

x

(

2

N

1

i

2

i











próba

populacja

22

Miary rozrzutu:

Odchylenie

standardowe

Miary rozrzutu:

Odchylenie

standardowe

• pierwiastek kwadratowy z wariancji

n

)

x

x

(

n

1

i

2

i

s









23

Uwaga:

Uwaga:

• w przypadku prób o liczebności n<30

1

n

)

x

x

(

n

1

i

2

i

s











Grupowanie danych

Grupowanie danych

• Szereg pozycyjny:

sortujemy dane

rosnąco lub malejąco i zliczamy ile jest
elementów o tej samej wartości lub cesze

• Szereg rozdzielczy:

dane grupujemy w

klasy, czyli przedziały o ustalonej wielkości

Algorytm postępowania

Algorytm postępowania

krok 1:

zebrać dane

krok 2:

ustalić rozstęp wartości R=x

max

-x

min

krok 3:

ustalić liczbę przedziałów k lub ze wzoru

k =1+3,32*logN

krok 4:

podzielić rozstęp R przez liczbę przedziałów k

(uzyskamy szerokość przedziałów d)

krok 5:

wyznaczyć przedziały

(lewostronnie

domkniete lub

prawostronnie-bądź konsekwentny!)

krok 6:

przyporządkować dane do przedziałów

krok 7:

histogram

Jak dobrać liczbę klas?

Jak dobrać liczbę klas?

Liczność

próbki

n

Ilość

przedziałów

k

30  50

6  10

51  100

7  11

101  200

8  12

201  500

9  15

k

=1+3,32*l

ogN

Wykresy RAMKA-WĄSY

Wykresy RAMKA-WĄSY

Me

Q

3

Q

1

MAX

MIN

Rozstęp międzykwartylowy

Wykres R-W

Wykres R-W

asymetria prawostronna

symetria

asymetria lewostronna

duża wariancja

mała wariancja

Wykres R-W pozwala na wykrycie
obserwacji nietypowych!

Wykres R-W pozwala na wykrycie
obserwacji nietypowych!

Me

Q

3

Q

1

Q

3

+1,5*(Q

3

-Q

1

)

Q

3

+3*(Q

3

-Q

1

)

*

o

30

Prawdopodobieńst

wo

Prawdopodobieńst

wo

31

Co to jest prawdopodobieństwo?

Co to jest prawdopodobieństwo?

• intuicyjnie wiemy czym jest prawdopodobieństwo

• często myślimy: „małe prawdopodobieństwo aby

szef wrócił dzisiaj nagle z wakacji”

– prawdopodobieństwo

małe-duże

jakie jest
prawdopodobień
stwo, że
linoskoczek
spadnie?

jakie jest
prawdopodobie
ństwo, że będę
produkować
wyrób wadliwy?

ILE???

32

Podstawowe pojęcia:

Podstawowe pojęcia:

• Doświadczenie losowe to każdy proces,

którego wyniku nie jesteśmy w stanie
dokładnie przewidzieć

• Zdarzenie elementarne to każdy wynik

doświadczenia losowego

Przykładowo: selekcja i klasyfikacja wyrobów na I,
II i III gatunek

Przykładowo: wylosowanie z partii towarów
wyrobu pozagatunkowego

33

Metody szacowania
prawdopodobieństwa:

Metody szacowania
prawdopodobieństwa:

• oparta o klasyczną definicję

prawdopodobieństwa

• metoda empirycznej estymacji

prawdopodobieństwa

• metoda empirycznej estymacji

prawdopodobieństwa subiektywnego

34

Prawdopodobieństwo w ujęciu
klasycznym

Prawdopodobieństwo w ujęciu
klasycznym

Ω – zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych
A – zdarzenie losowe (podzbiór zdarzeń

elementarnych)

k – liczba wyników, gdy zdarzenie A się pojawia
m – liczba wszystkich możliwych wyników

P(A) = k/m

prawdopodobieństwo „a priori”

35

Przykładowo:

Przykładowo:

Załóżmy, że w pewnym pensjonacie w okresie ferii
znajduje się 80 osób, w tym 20 kobiet.
Niech A – zdarzenie, że kobieta ulegnie wypadkowi na
nartach

Zatem P(A) = 20/80 = ¼

Dwie interpretacje:
1) prawdopodobieństwo, że w wyniku pojedynczego
wypadku ucierpi kobiet wynosi: ¼
2) w 100 wypadkach 25 razy ucierpi kobieta

Prawdopodobieństwo to

określane jest dedukcyjnie, na

podstawie konkretnej

przyczyny

36

Prawdopodobieństwo
„empiryczne”

Prawdopodobieństwo
„empiryczne”

• obserwacja zjawiska
• duża próba
• estymujemy prawdopodobieństwo

określonego zdarzenia na podstawie
częstości pojawiania się zdarzenia

• jest to tzw. prawdopodobieństwo

a

posteriori

prawdopodobieństwo „empiryczne” –

prawdopodobieństwo statystyczne

37

Przykładowo:

Przykładowo:

załóżmy, że chcemy oszacować odsetek osób dokonujących
zakupu w sklepie;

stosując zasadę prawd. a priori, prawdopodobieństwo
zakupu wynosi

½

ale obserwacje poczynione przez sprzedawców przez
dłuższy okres czasu dają wynik: na 100 odwiedzających
kupuje 30;

p=0,3

38

Prawdopodobieństwo empiryczne
subiektywne

Prawdopodobieństwo empiryczne
subiektywne

• nie opieramy się na naturze zjawiska ani na

danych empirycznych

• opieramy się na wiedzy i doświadczeniu osoby

wyznaczającej prawdopodobieństwo

• przedsiębiorstwo wprowadza na rynek nowy

produkt

• dział marketingu daje 30% szans na sprzedaż w

najbliższym roku

39

Podstawowe prawa rachunku
prawdopodobieństwa:

Podstawowe prawa rachunku
prawdopodobieństwa:

1) P(E

i

) ≥ 0



2

P(E

i

)= 1

3) Jeżeli A

-1

jest zdarzeniem przeciwnym do

A (dopełnieniem) to P(A) = 1 – P(A

-1

)

40

Przykład

Przykład

Ozdoba choinkowa składa się z 300 żarówek

połączonych szeregowo (tzn., że cała ozdoba działa,

jeśli wszystkie 300 żarówek jest dobrych).
Dostawca żarówek deklaruje ich wadliwość na

poziomie 1%.

a) jaka będzie spodziewana jakość produkcji ozdób?
b) jaka powinna być dopuszczalna wadliwość

żarówek, aby 99% ozdób było dobrych?

41

Zmienne losowe i ich
rozkłady

Zmienne losowe i ich
rozkłady

Zmienna losowa intuicyjnie -

to

zmienna, która przyjmuje wartości liczbowe z

pewnego zbioru z określonym

prawdopodobieństwem

Naukowo:

jest to funkcja, która przy zajściu

każdego zdarzenia losowego w przyjmuje

konkretną wartość x(w), co zapisujemy:

X:  x() Є R

42

Przykładowo:

Przykładowo:

• jeśli doświadczenie polega na kontroli jakości 5

opon podlegających ocenie alternatywnej, to
zmienną losową może być liczba wadliwych
opon, która może przyjąć wartość od 0 do 5

• cecha, którą obserwujemy (mierzymy) jest

zmienną losową

Zmienna losowa

Zmienna losowa

dyskretna

ciągła

43

Rozkład gęstości
prawdopodobieństwa:

Rozkład gęstości
prawdopodobieństwa:

• zmienna losowa

dyskretna

• zmienna losowa

ciągła

tablica, wzór lub wykres,
który przyporządkowuje
prawdopodobieństwa
każdej możliwej wartości
zmiennej

funkcja ciągła

P(X=x)=P(x)  0 dla każdego x

P(x

i

) = 1

f(X=x)=f(x)  0 dla każdego x



1

dx

)

x

(

f

44

Dystrybuanta zmiennej losowej

Dystrybuanta zmiennej losowej

• Jest to funkcja określona wzorem

)

x

X

(

P

)

x

X

(

P

)

X

(

F











• dla zmiennej

losowej skokowej:







x

x

i

i

x

p

x

F

)

(

)

(









x

dx

)

x

(

f

)

x

(

F

• dla zmiennej

losowej ciągłej:

45

Związek pomiędzy F(x) a f(x)

Związek pomiędzy F(x) a f(x)

P(a<X<b) = F(b) –F(a)

46

Wartość oczekiwana zmiennej
losowej

Wartość oczekiwana zmiennej
losowej

W przypadku zmiennych losowych nie
mówimy o średniej arytmetycznej ale o
wartości oczekiwanej

k

,...

2

,

1

i

dla

p

x

)

X

(

E

k

1

i

i

i













• zmienna

losowa
dyskretna

• zmienna losowa

ciągła

















dx

)

x

(

f

x

)

X

(

E

47

Wariancja zmiennej losowej

Wariancja zmiennej losowej











k

1

i

i

2

i

2

p

)

x

(

)

X

(

D

• zmienna losowa

dyskretna

• zmienna losowa

ciągła















dx

)

x

(

f

))

X

(

E

x

(

)

X

(

D

2

2

48

Rozkład dwumianowy

Rozkład dwumianowy

Rozkład dwumianowy zakłada przeprowadzenie

eksperymentu polegającego na wykonaniu ciągu

identycznych doświadczeń spełniających następujące

warunki:

– Są dwa możliwe wyniki każdego doświadczenia, nazywane

sukcesem i porażką

. Wyniki te wykluczają się i dopełniają

– Prawdopodobieństwo sukcesu oznaczane przez

p

, pozostaje

takie samo od doświadczenia do doświadczenia. Prawd.

porażki oznaczane przez

q

, jest równe

1-p

– Doświadczenia są niezależne od siebie

49

Dwumianowy rozkład
prawdopodobieństwa:

Dwumianowy rozkład
prawdopodobieństwa:

x

n

x

x

n

x

q

p

)!

x

n

(

!

x

!

n

q

p

x

n

)

x

X

(

P

























np

)

X

(

E







npq

)

X

(

V







2

50

Rozkład dwumianowy przy różnych
wartościach n i p

Rozkład dwumianowy przy różnych
wartościach n i p

0 1 2 3 4

0,05

0,29

0,66

P(x)

n=4, p=0,1

0 1 2 3 4

0,07

0,37

0,25

P(x)

n=4, p=0,5

0 1 2 3 4

P(x)

n=10, p=0,3

5 6 7 8 9

51

Rozkład normalny (Gaussa)

Rozkład normalny (Gaussa)

• Rozkład normalny jest rozkładem, do którego dąży

m.in. rozkład dwumianowy gdy liczba doświadczeń

n wzrasta

• Okazuje się, że rozkład normalny jest rozkładem

granicznym wielu innych rozkładów, w sytuacjach

gdy

ujawniają się skutki różnych przypadkowych

czynników pochodzących z różnych źródeł

52

Rozkład N o różnych  oraz 

Rozkład N o różnych  oraz 

x

f(

x

)

1





40





x

f(

x

)

15





5





53

Funkcja gęstości rozkładu
normalnego

Funkcja gęstości rozkładu
normalnego

2

2

2

)

x

(

e

2

1

)

x

(

f















54

Standaryzowany rozkład
normalny

Standaryzowany rozkład
normalny

• oznaczany: Z lub U
• zapisywany często: N(0, 1)

2

z

2

e

π

2

1

)

z

(

f







55

Przekształcenie

Przekształcenie

 = 0

 = 1



0

= -0,042



0

= 1,91

GLT

DLT

x

2

=2,5

x

1

=2,5

u

1

u

2

P(X>x

2

)

P(X<x

1

)

transformacja: (x

2

- 



)/



P(U>u

2

)

P(U>u

1

)

P(X<x

1

) = P(U<u

1

)

P(X>x

2

) = P(U>u

2

)

56

Tablice rozkładu standaryzowanego

Tablice rozkładu standaryzowanego

57

Właściwość rozkładu normalnego

Właściwość rozkładu normalnego

+/-1

+/-2

+/-3

~68,26
%

~95,44%

~99,73%

58

Przykład:

Przykład:

Stężenie zanieczyszczeń w półprzewodnikach
używanych do produkcji mikroprocesorów jest zmienną
losową normalną o średniej 127 pewnych jednostek i
odchyleniu standardowym 22 jednostki. Półprzewodnik
może być użyty do produkcji tylko wtedy, gdy stężenie
zanieczyszczeń jest mniejsze niż 150 jednostek. Jaka
część półprzewodników nadaje się do tego by ją użyć
produkcji mikroprocesorów?

59

Wskaźniki zdolności jakościowej

Wskaźniki zdolności jakościowej

dolna
granica
tolerancji

górna

granica

tolerancji

60

Wskaźnik c

p

Wskaźnik c

p

DLT

GLT

Rozrzut procesu (6)

Pole tolerancji







6

DLT

GLT

c

p

61

Wskaźnik c

p

Wskaźnik c

p

2

c

p



DLT

GLT

DLT

GLT

2

c

p



nomina

ł

średnia

62

Wskaźniki c

pk

Wskaźniki c

pk







3

DLT

x

c

pkd

DLT

GLT

C

pkd

średnia

C

pkg







3

x

GLT

c

pkg

C

pk

= min {c

pkd

, c

pkg

}

nomina

ł

63

Słabe strony wskaźników

Słabe strony wskaźników

• Założenie o symetrycznym rozkładzie

granic tolerancji

64

Wskaźnik c

pmk

Wskaźnik c

pmk

2

2

pm

)

LN

x

(

6

DLT

GLT

c











DLT

GLT

średnia

nomina

ł

LN



































2

2

2

2

pmk

)

LN

x

(

3

x

GLT

;

)

LN

x

(

3

DLT

x

min

c

65

Karta kontrolna procesu

Karta kontrolna procesu

• „wizualizacja” miary położenia i rozrzutu

procesu

66

Tworzenie karty kontrolnej - granice

Tworzenie karty kontrolnej - granice

• Założenie modelu zmienności cechy –

funkcji rozkładu prawdopodobieństwa

• Rodzaj karty:

– Wartości pomiarowych
– Średniej arytmetycznej
– Średniej ruchomej

• Wyznaczenie obszaru zmienności naturalnej

przy założeniu, że proces jest stabilny

67

•Linia centralna:

wyznacza średnią statystyki

•Linie kontrolne (granice kontrolne):

swego

rodzaju przedział naturalnej zmienności
nadzorowanej statystyki

Linia kontrolna = średnia statystyki +/- połowa przedziału
naturalnej

zmienności

statystyki

68

Linie kontrolne a linie tolerancji

Linie kontrolne a linie tolerancji

• linie kontrolne różnią się zasadniczo od linii

tolerancji:

– linie tolerancji reprezentują wymagania stawiane

nadzorowanej właściwości, mogą być nawet
zmieniane; reprezentują stan oczekiwany,

– linie kontrolne są obliczane na podstawie

wyników pomiarów przeprowadzonych na
rzeczywistym procesie; opisują właściwości
statystyczne procesu.

69

Karta wartości średniej – rozkład
średnich

Karta wartości średniej – rozkład
średnich

70

Rozkład średnich – twierdzenie
graniczne

Rozkład średnich – twierdzenie
graniczne

71

Interpretacja kart kontrolnych

Interpretacja kart kontrolnych

P(X>GLK) = 0,0135

72

Interpretacja kart kontrolnych

Interpretacja kart kontrolnych

P(7 kolejnych powyżej LC) <(0,5)

7

=0,0078

P(7 kolejnych wzrasta) < 0,0078
zależy ono od położenia punktu I-ego

73

Inne symptomy

Inne symptomy

LC

DLK

- zużycie ostrza narzędzia,
zużycie maszyny,
nieodpowiedniej
konserwacji lub
niepoprawnej obsługi
maszyny, znużenia
operatora, pojawiających
się luzów
w maszynie, itd

-stosowanie materiału od różnego dostawcy
(na tej samej linii), informacje zbierane z
dwóch różnych linii, itd.

74

Inne symptomy

Inne symptomy

- wahania natężenia
prądu, zmiana
prędkości, znużenie
operatora, zmiany
temperatury, itd.

-wskazuje na
wystąpienie kilku
rozkładów cechy;

- zmienność
materiału, luzy w
instalacji, kilka
nawarstwiających się
przyczyn, itd.

LC

GLK

DLK

1) zła konstrukcja

granic
kontrolnych-
zmniejszenie
wariancji
procesu

2) niewystarczająca

dokładność
pomiarów

75

Karta wartości pomiarowych x

i

Karta wartości pomiarowych x

i

• Statystyka:

Wartość pomiarowa; Łatwość

prowadzenia; Mała precyzja - wrażliwa na zakłócenia
przypadkowe/pojedyncze zakłócenia

• Zastosowanie:

Stosowana, jeśli ze względu na

ilość danych oraz niską powtarzalność procesu nie można
stosować kart x-R oraz x-s lub Me-R:w produkcji
małoseryjnej, nierytmicznej, dla procesów ciągłych, w
których nie można pobierać próbek wieloelementowych

• Położenie linii kontrolnych:

R

A

x

3



76

Karta wartości średniej

Karta wartości średniej

• Statystyka:

Średnia arytmetyczna; liczność próbki

stosunkowo mała (zazwyczaj od 3 do 5)

• Zastosowanie:

W procesach, w których można wyróżnić

kolejne, powtarzalne jednostki produktu np.: obróbka części
maszyn, pakowanie produktów sztukowych, czasy oczekiwania

• Położenie linii kontrolnych:

R

A

x

2



77

Karta z ruchomą średnią

Karta z ruchomą średnią

• jest odmianą karty pojedynczych obserwacji

• punkt na karcie jest wartością średnią z n-ostatnich próbek

jednoelementowych

• Wartość n należy dobierać odpowiednio do procesu,

pamiętając przy tym, że im większe n, tym linia łącząca
wartości średnie jest bardziej wygładzona. Oznacza to, że
dla dużych n karta jest mało czuła na skokowe zmiany
średniej procesu

• Linie kontrolne na karcie średnich ruchomych obliczanych

jako średnia arytmetyczna są wyznaczane ze wzorów
identycznych, jak w przypadku karty

R

x

78

Inne karty

Inne karty

• Karty dla cech dyskretnych
• Karty akceptacji procesu
• Karty CUSUM
• Itd…

Dziękuję za uwagę

Dziękuję za uwagę

[e-mail].

pl

[e-mail].

pl