Statystyka – kurs 

podstawowy

Statystyka – kurs 

podstawowy

Agnieszka KUJAWIŃSKA

Agnieszka KUJAWIŃSKA

2

Spotkanie 1

Spotkanie 1

• Statystyka opisowa

– miary tendencji centralnej
– miary zmienności
– wykresy (histogramy, pudełkowe)

• Zmienna losowa i rozkład 

prawdopodobieństwa

– Prawdopodobieństwo
– Zmienna losowa

• skokowa
• ciągła

3

Zmienność procesu

Zmienność procesu

Wynik

zmienność

zidentyfikować

opisać

kontrolować

metody 
statystyczne

4

Celem analiz statystycznych jest:

Celem analiz statystycznych jest:

• znalezienie prawidłowości kształtujących 

zjawiska:

– badanie struktury kosztów produkcji
– badanie zmian w poziomie i strukturze 

ludności na określonej przestrzeni i czasie

– badanie związku pomiędzy stażem pracy a 

wydajnością pracowników

– reklamą a obrotami
– itd...

5

Zbiór danych może być rozpatrywany:

Zbiór danych może być rozpatrywany:

• z punktu widzenia:

– opisowego
– wnioskowania statystycznego

Statystyka opisowa

Wnioskowanie 

statystyczne

Statystyka

6

Podział cech 
statystycznych:

Podział cech 
statystycznych:

Jednym z wielu podziałów cech jest:

mierzalne

niemierzalne

1) wartości 

dają się 
wyrazić za 
pomocą 
liczb

2) wyrażone 

w różnych 
jednostkac
h: zł, 
tonach, 
sztukach, 
itd...

1) nie dają się 

zmierzyć

2) np. płeć, 

zawód, 
kolor..

3) opisane na 

skali 
nominalnej

Skoko

we

Ciągłe

nominal

ne

porządk

owe

7

Opracowanie próby

Opracowanie próby

• Każdy zbiór obserwacji możemy 

uporządkować według 
wielkości/kryterium

8

Narzędzia statystyki opisowej:

Narzędzia statystyki opisowej:

1 2 1 2 2 2 
2 3 3 3 1 2 
3 2 1 2 3 3 
3 2 3 1 2 3 
4 3 2 1 2 3 
2 4 3 2 1 2 
3 4 3 4 4 4 
4 4 4 4 3 1 
1 1 1 2 3 1 
2 3 2 1 2 4 
3 2 4

1 2 3 4

miary statystyczne

9

Miary statystyczne:

Miary statystyczne:

• miary położenia
• miary rozproszenia
• miary asymetrii
• miary koncentracji

10

Miary położenia (tendencji centralnej)

Miary położenia (tendencji centralnej)

• miary położenia ze zbioru: percentyle

– mediana
– kwartyl I, III

• średnia arytmetyczna
• dominanta

11

Szczególne percentyle:

Szczególne percentyle:

• Mediana:

– leży w centrum zbioru w tym sensie, że 

połowa wyników znajduje się powyżej, a 
połowa poniżej jej wartości (

kwartyl 2

)

• Kwartyle: 

– kwartyl 1:

 

ozn. Q

1

 (25% wyników 

leży poniżej tego percentyla)

– kwartyl 3:

 

Q

3 

(75% wyników leży 

poniżej jego wartości)

12

• Dominanta (wartość modalna, moda )

– jest wartość, która w tym zbiorze występuje 

najczęściej

• Średnia arytmetyczna (średnia 

klasyczna)

– zwaną także przeciętną jest to suma wartości 

wszystkich wyników podzielona przez  ich 
liczbę

Pozostałe miary:

Pozostałe miary:

13

Średnia arytmetyczna

Średnia arytmetyczna

n

x

x

n

1

i

i







średnia w próbie:

średnia w populacji:

N

x

n

1

i

i









14

Mediana

Mediana

• dla zbioru o parzystej liczbie danych

• dla zbioru o nieparzystej liczbie danych

2

x

x

Me

1

2

n

2

n







2

1





n

x

Me

15

6, 9, 10, 12, 13, 14, 14, 15, 16, 16, 16, 17, 17, 18, 18, 19, 20, 21, 22, 24

Me=16
x

śr

=15,85

6, 9, 10, 12, 13, 14, 14, 15, 16, 16, 16, 17, 17, 18, 18, 19, 20, 21, 22, 100

Me=16
x

śr

=19,85

16

Rozpatrzmy dwa zbiory 
danych:

Rozpatrzmy dwa zbiory 
danych:

Z

1

: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 6, 7, 8, 9, 10, 11

Z

2

: 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8

 

Wyznacz: średnią zbiorów, medianę i 
dominantę

17

18

Miary zróżnicowania:

Miary zróżnicowania:

• rozstęp (obszar zmienności)
• odchylenie przeciętne
• wariancja 
• odchylenie standardowe

19

Miary rozrzutu: 

Rozstęp

Miary rozrzutu: 

Rozstęp

• w zbiorze wyników obserwacji rozstępem 

nazywamy różnicę pomiędzy wartością 
największą i najmniejszą

min

max

x

x

R





20

Miary rozrzutu: 

Odchylenie przeciętne

Miary rozrzutu: 

Odchylenie przeciętne

• jest średnią arytmetyczną bezwzględnych 

różnic pomiędzy poszczególnymi wartościami 
cechy a wartością średnią

n

x

x

D

n

1

i

i

m









21

Miary rozrzutu: 

Wariancja

Miary rozrzutu: 

Wariancja

• w zbiorze wyników wariancją nazywamy 

przeciętne kwadratowe odchylenie 
poszczególnych wyników od ich średniej

n

)

x

x

(

2

n

1

i

2

i

s









N

)

x

x

(

2

N

1

i

2

i











próba

populacja

22

Miary rozrzutu: 

Odchylenie 

standardowe

Miary rozrzutu: 

Odchylenie 

standardowe

• pierwiastek kwadratowy z wariancji

n

)

x

x

(

n

1

i

2

i

s









23

Uwaga:

Uwaga:

• w przypadku prób o liczebności n<30

1

n

)

x

x

(

n

1

i

2

i

s











Grupowanie danych

Grupowanie danych

• Szereg pozycyjny:

 sortujemy dane 

rosnąco lub malejąco i zliczamy ile jest 
elementów o tej samej wartości lub cesze

• Szereg rozdzielczy:

 dane grupujemy w 

klasy, czyli przedziały o ustalonej wielkości

Algorytm postępowania

Algorytm postępowania

krok 1: 

zebrać dane

krok 2: 

ustalić rozstęp wartości R=x

max

-x

min

krok 3: 

ustalić liczbę przedziałów k lub ze wzoru 

k =1+3,32*logN

krok 4: 

podzielić rozstęp R przez liczbę przedziałów k 

(uzyskamy szerokość przedziałów d)

krok 5: 

wyznaczyć przedziały 

(lewostronnie 

domkniete lub 

prawostronnie-bądź konsekwentny!)

krok 6: 

przyporządkować dane do przedziałów

krok 7: 

histogram

Jak dobrać liczbę klas?

Jak dobrać liczbę klas?

Liczność 

próbki

n

Ilość 

przedziałów

k

30  50

6  10

51  100

7  11

101  200

8  12

201  500

9  15

k 

=1+3,32*l

ogN

Wykresy RAMKA-WĄSY

Wykresy RAMKA-WĄSY

Me

Q

3

Q

1

MAX

MIN

Rozstęp międzykwartylowy

Wykres R-W

Wykres R-W

asymetria prawostronna

symetria

asymetria lewostronna

duża wariancja

mała wariancja

Wykres R-W pozwala na wykrycie 
obserwacji nietypowych!

Wykres R-W pozwala na wykrycie 
obserwacji nietypowych!

Me

Q

3

Q

1

Q

3

+1,5*(Q

3

-Q

1

)

Q

3

+3*(Q

3

-Q

1

)

*

o

30

Prawdopodobieńst

wo

Prawdopodobieńst

wo

31

Co to jest prawdopodobieństwo?

Co to jest prawdopodobieństwo?

• intuicyjnie wiemy czym jest prawdopodobieństwo

• często myślimy: „małe prawdopodobieństwo aby 

szef wrócił dzisiaj nagle z wakacji”

– prawdopodobieństwo 

małe-duże

jakie jest 
prawdopodobień
stwo, że 
linoskoczek 
spadnie?

jakie jest 
prawdopodobie
ństwo, że będę 
produkować 
wyrób wadliwy?

ILE???

32

Podstawowe pojęcia:

Podstawowe pojęcia:

• Doświadczenie losowe to każdy proces, 

którego wyniku nie jesteśmy w stanie 
dokładnie przewidzieć

 

• Zdarzenie elementarne to każdy wynik 

doświadczenia losowego

Przykładowo: selekcja  i klasyfikacja wyrobów na I, 
II i III gatunek

Przykładowo: wylosowanie z partii towarów 
wyrobu pozagatunkowego

33

Metody szacowania 
prawdopodobieństwa:

Metody szacowania 
prawdopodobieństwa:

• oparta o klasyczną definicję 

prawdopodobieństwa

• metoda empirycznej estymacji 

prawdopodobieństwa

• metoda empirycznej estymacji 

prawdopodobieństwa subiektywnego

34

Prawdopodobieństwo w ujęciu 
klasycznym

Prawdopodobieństwo w ujęciu 
klasycznym

Ω – zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych
A – zdarzenie losowe (podzbiór zdarzeń 

elementarnych)

k – liczba wyników, gdy zdarzenie A się pojawia
m – liczba wszystkich możliwych wyników

P(A) = k/m

prawdopodobieństwo „a priori”

35

Przykładowo:

Przykładowo:

Załóżmy, że w pewnym pensjonacie w okresie ferii 
znajduje się 80 osób, w tym 20 kobiet.
Niech A – zdarzenie, że kobieta ulegnie wypadkowi na 
nartach

Zatem P(A) = 20/80 = ¼

Dwie interpretacje: 
1) prawdopodobieństwo, że w wyniku pojedynczego 
wypadku ucierpi kobiet wynosi: ¼
2) w 100 wypadkach 25 razy ucierpi kobieta

Prawdopodobieństwo to 

określane jest dedukcyjnie, na 

podstawie konkretnej 

przyczyny

36

Prawdopodobieństwo 
„empiryczne”

Prawdopodobieństwo 
„empiryczne”

• obserwacja zjawiska
• duża próba
• estymujemy prawdopodobieństwo 

określonego zdarzenia na podstawie 
częstości pojawiania się zdarzenia

• jest to tzw. prawdopodobieństwo 

a 

posteriori

prawdopodobieństwo „empiryczne” – 

prawdopodobieństwo statystyczne

37

Przykładowo:

Przykładowo:

załóżmy, że chcemy oszacować odsetek osób dokonujących 
zakupu w sklepie;

stosując zasadę prawd. a priori, prawdopodobieństwo 
zakupu wynosi 

½

ale obserwacje poczynione przez sprzedawców przez 
dłuższy okres czasu dają wynik: na 100 odwiedzających 
kupuje 30; 

p=0,3

38

Prawdopodobieństwo empiryczne 
subiektywne

Prawdopodobieństwo empiryczne 
subiektywne

• nie opieramy się na naturze zjawiska ani na 

danych empirycznych

• opieramy się na wiedzy i doświadczeniu osoby 

wyznaczającej prawdopodobieństwo

• przedsiębiorstwo wprowadza na rynek nowy 

produkt

• dział marketingu daje 30% szans na sprzedaż w 

najbliższym roku

39

Podstawowe prawa rachunku 
prawdopodobieństwa:

Podstawowe prawa rachunku 
prawdopodobieństwa:

1)   P(E

i

) ≥ 0



2

P(E

i

)= 1

3)  Jeżeli A

-1 

jest zdarzeniem przeciwnym do 

A (dopełnieniem) to P(A) = 1 – P(A

-1

)

40

Przykład

Przykład

Ozdoba choinkowa składa się z 300 żarówek 

połączonych szeregowo (tzn., że cała ozdoba działa, 

jeśli wszystkie 300 żarówek jest dobrych).
Dostawca żarówek deklaruje ich wadliwość na 

poziomie 1%.

a) jaka będzie spodziewana jakość produkcji ozdób? 
b) jaka powinna być dopuszczalna wadliwość 

żarówek, aby 99% ozdób było dobrych?

41

Zmienne losowe i ich 
rozkłady

Zmienne losowe i ich 
rozkłady

Zmienna losowa intuicyjnie - 

to 

zmienna, która przyjmuje wartości liczbowe z 

pewnego zbioru z określonym 

prawdopodobieństwem

Naukowo:

jest to funkcja, która przy zajściu 

każdego zdarzenia losowego w przyjmuje 

konkretną wartość x(w), co zapisujemy:

X:  x() Є  R

42

Przykładowo:

Przykładowo:

• jeśli doświadczenie polega na kontroli jakości 5 

opon podlegających ocenie alternatywnej, to 
zmienną losową może być liczba wadliwych 
opon, która może przyjąć wartość od 0 do 5

• cecha, którą obserwujemy (mierzymy) jest 

zmienną losową

Zmienna losowa

Zmienna losowa

dyskretna

ciągła

43

Rozkład gęstości 
prawdopodobieństwa:

Rozkład gęstości 
prawdopodobieństwa:

• zmienna losowa 

dyskretna

• zmienna losowa 

ciągła

tablica, wzór lub wykres, 
który przyporządkowuje 
prawdopodobieństwa 
każdej możliwej wartości 
zmiennej

funkcja ciągła

P(X=x)=P(x)  0 dla każdego x

 P(x

i

) = 1

f(X=x)=f(x)  0 dla każdego x



1

dx

)

x

(

f

44

Dystrybuanta zmiennej losowej

Dystrybuanta zmiennej losowej

• Jest to funkcja określona wzorem

)

x

X

(

P

)

x

X

(

P

)

X

(

F











• dla zmiennej 

losowej skokowej:







x

x

i

i

x

p

x

F

)

(

)

(









x

dx

)

x

(

f

)

x

(

F

• dla zmiennej 

losowej ciągłej:

45

Związek pomiędzy F(x) a f(x)

Związek pomiędzy F(x) a f(x)

P(a<X<b) = F(b) –F(a)

46

Wartość oczekiwana zmiennej 
losowej

Wartość oczekiwana zmiennej 
losowej

W przypadku zmiennych losowych nie 
mówimy o średniej arytmetycznej ale o 
wartości oczekiwanej

k

,...

2

,

1

i

dla

p

x

)

X

(

E

k

1

i

i

i













• zmienna 

losowa 
dyskretna

• zmienna losowa 

ciągła

















dx

)

x

(

f

x

)

X

(

E

47

Wariancja zmiennej losowej

Wariancja zmiennej losowej











k

1

i

i

2

i

2

p

)

x

(

)

X

(

D

• zmienna losowa 

dyskretna

• zmienna losowa 

ciągła















dx

)

x

(

f

))

X

(

E

x

(

)

X

(

D

2

2

48

Rozkład dwumianowy

Rozkład dwumianowy

Rozkład dwumianowy zakłada przeprowadzenie 

eksperymentu polegającego na wykonaniu ciągu 

identycznych doświadczeń spełniających następujące 

warunki:

– Są dwa możliwe wyniki każdego doświadczenia, nazywane 

sukcesem i porażką

. Wyniki te wykluczają się i dopełniają

– Prawdopodobieństwo sukcesu oznaczane przez 

p

 , pozostaje 

takie samo od doświadczenia do doświadczenia. Prawd. 

porażki oznaczane przez 

q

,  jest równe 

1-p

– Doświadczenia są niezależne od siebie

49

Dwumianowy rozkład 
prawdopodobieństwa:

Dwumianowy rozkład 
prawdopodobieństwa:

x

n

x

x

n

x

q

p

)!

x

n

(

!

x

!

n

q

p

x

n

)

x

X

(

P

























np

)

X

(

E







npq

)

X

(

V







2

50

Rozkład dwumianowy przy różnych 
wartościach n i p

Rozkład dwumianowy przy różnych 
wartościach n i p

0 1 2 3 4

0,05

0,29

0,66

P(x)

n=4, p=0,1

0 1 2 3 4

0,07

0,37

0,25

P(x)

n=4, p=0,5

0 1 2 3 4

P(x)

n=10, p=0,3

5 6 7 8 9

51

Rozkład normalny (Gaussa) 

Rozkład normalny (Gaussa) 

• Rozkład normalny jest rozkładem, do którego dąży 

m.in. rozkład dwumianowy gdy liczba doświadczeń 

n wzrasta

 
• Okazuje się, że rozkład normalny jest rozkładem 

granicznym wielu innych rozkładów, w sytuacjach 

gdy 

ujawniają się skutki różnych przypadkowych 

czynników pochodzących z różnych źródeł 

52

Rozkład N o różnych  oraz 

Rozkład N o różnych  oraz 

x

f(

x

)

1





40





x

f(

x

)

15





5





53

Funkcja gęstości rozkładu 
normalnego

Funkcja gęstości rozkładu 
normalnego

2

2

2

)

x

(

e

2

1

)

x

(

f















54

Standaryzowany rozkład 
normalny 

Standaryzowany rozkład 
normalny 

• oznaczany: Z lub U
• zapisywany często: N(0, 1)

2

z

2

e

π

2

1

)

z

(

f







55

Przekształcenie

Przekształcenie

 = 0

 = 1



0

= -0,042



0

 = 1,91

GLT

DLT

x

2

=2,5

x

1

=2,5

u

1

u

2

P(X>x

2

)

P(X<x

1

)

transformacja: (x

2

 - 



)/



P(U>u

2

)

P(U>u

1

)

P(X<x

1

) = P(U<u

1

)

P(X>x

2

) = P(U>u

2

)

56

Tablice rozkładu standaryzowanego

Tablice rozkładu standaryzowanego

57

Właściwość rozkładu normalnego

Właściwość rozkładu normalnego

+/-1

+/-2

+/-3

~68,26
%

~95,44%

~99,73%

58

Przykład:

Przykład:

Stężenie zanieczyszczeń w półprzewodnikach 
używanych do produkcji mikroprocesorów jest zmienną 
losową normalną o średniej 127 pewnych jednostek i 
odchyleniu standardowym 22 jednostki. Półprzewodnik 
może być użyty do produkcji tylko wtedy, gdy stężenie 
zanieczyszczeń jest mniejsze niż 150 jednostek. Jaka 
część półprzewodników nadaje się do tego by ją użyć 
produkcji mikroprocesorów?

59

Wskaźniki zdolności jakościowej

Wskaźniki zdolności jakościowej

dolna 
granica 
tolerancji

górna 

granica 

tolerancji

60

Wskaźnik c

p

Wskaźnik c

p

DLT

GLT

Rozrzut procesu (6)

Pole tolerancji







6

DLT

GLT

c

p

61

Wskaźnik c

p

Wskaźnik c

p

2

c

p



DLT

GLT

DLT

GLT

2

c

p



nomina

ł

średnia

62

Wskaźniki c

pk

Wskaźniki c

pk







3

DLT

x

c

pkd

DLT

GLT

C

pkd

średnia

C

pkg







3

x

GLT

c

pkg

C

pk

 = min {c

pkd

, c

pkg

}

nomina

ł

63

Słabe strony wskaźników

Słabe strony wskaźników

• Założenie o symetrycznym rozkładzie 

granic tolerancji

64

Wskaźnik c

pmk

Wskaźnik c

pmk

2

2

pm

)

LN

x

(

6

DLT

GLT

c











DLT

GLT

średnia

nomina

ł

LN



































2

2

2

2

pmk

)

LN

x

(

3

x

GLT

;

)

LN

x

(

3

DLT

x

min

c

65

Karta kontrolna procesu

Karta kontrolna procesu

• „wizualizacja” miary położenia i rozrzutu 

procesu

66

Tworzenie karty kontrolnej - granice

Tworzenie karty kontrolnej - granice

• Założenie modelu zmienności cechy – 

funkcji rozkładu prawdopodobieństwa

• Rodzaj karty:

– Wartości pomiarowych
– Średniej arytmetycznej
– Średniej ruchomej

• Wyznaczenie obszaru zmienności naturalnej 

przy założeniu, że proces jest stabilny

67

•Linia centralna: 

wyznacza średnią statystyki

 

•Linie kontrolne (granice kontrolne): 

swego 

rodzaju  przedział naturalnej zmienności 
nadzorowanej statystyki 

Linia kontrolna  = średnia  statystyki  +/- połowa przedziału 
naturalnej 

           zmienności 

statystyki

68

Linie kontrolne a linie tolerancji

Linie kontrolne a linie tolerancji

• linie kontrolne różnią się zasadniczo od linii 

tolerancji:

– linie tolerancji reprezentują wymagania stawiane 

nadzorowanej właściwości, mogą być nawet 
zmieniane; reprezentują stan oczekiwany,

– linie kontrolne są obliczane na podstawie 

wyników pomiarów przeprowadzonych na 
rzeczywistym procesie; opisują właściwości 
statystyczne procesu. 

69

Karta wartości średniej – rozkład 
średnich

Karta wartości średniej – rozkład 
średnich

70

Rozkład średnich – twierdzenie 
graniczne

Rozkład średnich – twierdzenie 
graniczne

71

Interpretacja kart kontrolnych

Interpretacja kart kontrolnych

P(X>GLK) = 0,0135

72

Interpretacja kart kontrolnych

Interpretacja kart kontrolnych

P(7 kolejnych powyżej LC) <(0,5)

7

=0,0078 

P(7 kolejnych wzrasta) < 0,0078
zależy ono od położenia punktu I-ego

73

Inne symptomy

Inne symptomy

LC

DLK

- zużycie ostrza narzędzia, 
zużycie maszyny, 
nieodpowiedniej 
konserwacji lub 
niepoprawnej obsługi 
maszyny, znużenia 
operatora, pojawiających 
się luzów 
w maszynie,  itd 

-stosowanie materiału od różnego dostawcy 
(na tej samej linii), informacje zbierane z 
dwóch różnych linii, itd.

74

Inne symptomy

Inne symptomy

- wahania natężenia 
prądu, zmiana 
prędkości, znużenie 
operatora, zmiany 
temperatury, itd. 

-wskazuje na 
wystąpienie kilku 
rozkładów cechy; 

- zmienność 
materiału, luzy w 
instalacji, kilka 
nawarstwiających się 
przyczyn, itd. 

LC

GLK

DLK

1) zła konstrukcja 

granic 
kontrolnych- 
zmniejszenie 
wariancji 
procesu

2) niewystarczająca 

dokładność 
pomiarów

 

 

75

Karta wartości pomiarowych x

i

Karta wartości pomiarowych x

i

• Statystyka:

 

Wartość pomiarowa; Łatwość 

prowadzenia; Mała precyzja - wrażliwa na zakłócenia 
przypadkowe/pojedyncze zakłócenia 

• Zastosowanie:

 

Stosowana, jeśli ze względu na 

ilość danych oraz niską powtarzalność procesu nie można 
stosować kart x-R oraz x-s lub Me-R:w produkcji 
małoseryjnej, nierytmicznej, dla procesów ciągłych, w 
których nie można pobierać próbek wieloelementowych

• Położenie linii kontrolnych: 

R

A

x

3



76

Karta wartości średniej

Karta wartości średniej

• Statystyka: 

Średnia arytmetyczna; liczność próbki 

stosunkowo mała (zazwyczaj od 3 do 5)

• Zastosowanie: 

W procesach, w których można wyróżnić 

kolejne, powtarzalne jednostki produktu np.: obróbka części 
maszyn, pakowanie produktów sztukowych, czasy oczekiwania

• Położenie linii kontrolnych:

 

R

A

x

2



77

Karta z ruchomą średnią

Karta z ruchomą średnią

• jest odmianą karty pojedynczych obserwacji

• punkt na karcie jest wartością średnią z n-ostatnich próbek 

jednoelementowych

• Wartość n należy dobierać odpowiednio do procesu, 

pamiętając przy tym, że im większe n, tym linia łącząca 
wartości średnie jest bardziej wygładzona. Oznacza to, że 
dla dużych n karta jest mało czuła na skokowe zmiany 
średniej procesu

• Linie kontrolne na karcie średnich ruchomych obliczanych 

jako średnia arytmetyczna są wyznaczane ze wzorów 
identycznych, jak w przypadku karty

R

x

78

Inne karty

Inne karty

• Karty dla cech dyskretnych
• Karty akceptacji procesu
• Karty CUSUM
• Itd…

Dziękuję za uwagę

Dziękuję za uwagę

agnieszka.kujawinska@put.poznan.

pl

agnieszka.kujawinska@put.poznan.

pl