Statystyka – zadania,
część 2

Dr Janusz Górczyński

2

Zadanie 1

Funkcja rozkładu p-stwa pewnej zmiennej
losowej X dana jest tabelką:

x

i

-3

-2

-1

0

1

3

p

i

0,1

0,1

0,2

0,3

0,1

0,2

Proszę wyznaczyć momenty zwykłe rzędu 1 i
2 tej zmiennej.

3

Zadanie 1 - rozwiązanie

Korzystając z wzoru na obliczanie momentu
zwykłego rzędu k mamy kolejno:

0

7

,

0

7

,

0

6

,

0

1

,

0

2

,

0

2

,

0

3

,

0

2

,

0

3

1

,

0

1

3

,

0

0

2

,

0

)

1

(

1

,

0

)

2

(

1

,

0

)

3

(

1



























































i

i

i

p

x

EX

m

4

,

3

8

,

1

1

,

0

0

2

,

0

4

,

0

9

,

0

2

,

0

3

1

,

0

1

3

,

0

0

2

,

0

)

1

(

1

,

0

)

2

(

1

,

0

)

3

(

2

2

2

2

2

2

2

2

2











































i

i

i

p

x

EX

m

4

Zadanie 1 - interpretacja

Moment zwykły rzędu 1 ma specjalne znaczenie
w opisywaniu rozkładu zmiennej losowej, jest
bowiem wartością oczekiwaną (średnią) tego
rozkładu.

W naszym przykładzie wartość oczekiwana
jest równa 0, a to oznacza, że przy
wielokrotnym powtarzaniu tego
eksperymentu przeciętna wartość tej
zmiennej będzie równa 0.

Moment zwykły rzędu 2 nie ma swojej
interpretacji, wykorzystamy go dalej do
obliczenia momentu centralnego rzędu 2.

5

Zadanie 2 – obliczanie
parametrów

Dla zmiennej losowej o f.r.p przedstawionej na
slajdzie 3 chcemy wyznaczyć moment
centralny rzędu 2.

Będziemy korzystać z wzoru na moment
centralny rzędu k dla zmiennej skokowej, czyli:



















i

i

i

p

EX

x

EX

X

E

2

2

2



6

Zadanie 2 – obliczanie parametrów cd.

Po podstawieniu danych z f.r.p i
wykorzystując fakt, że EX=0 mamy:

4

,

3

8

,

1

1

,

0

2

,

0

4

,

0

9

,

0

2

,

0

)

0

3

(

1

,

0

)

0

1

(

3

,

0

)

0

0

(

2

,

0

)

0

1

(

1

,

0

)

0

2

(

1

,

0

)

0

3

(

2

2

2

2

2

2

2

















































Moment centralny rzędu 2 jest, podobnie
jak moment zwykły rzędu 1, szczególnie
ważnym parametrem. Jest on miarą
zróżnicowania (dyspersji) wartości zmiennej
losowej wokół jej wartości średniej.

7

Zadanie 2 – interpretacja

Moment centralny rzędu 2 będziemy nazywać
wariancją zmiennej losowej i oznaczać D

2

X.

Wariancja, podobnie jak wartość oczekiwana,
jest liczbą mianowaną. Jej mianem jest kwadrat
jednostki, w której wyrażona jest zmienna
losowa.

Wariancja jest zawsze nieujemna, a jej
wielkość mówi o zróżnicowaniu (dyspersji,
rozproszeniu) wartości zmiennej losowej
wokół EX.

Uzyskany w przykładzie wynik 3,4 można
zinterpretować dość skromnie: wariancja tej
cechy jest równa właśnie 3,4.

8

Zadanie 3

















)

3

,

0

(

0

)

3

,

0

(

)

3

(

)

(

9

2

x

dla

x

dla

x

x

x

f

Proszę wyznaczyć momenty zwykłe rzędu 1 i
2 zmiennej losowej X, której f.g.p dana jest
wzorem:

9

Zadanie 3 – rozwiązanie

Korzystamy z wzoru na moment rzędu k
zmiennej losowej ciągłej:













dx

x

f

x

EX

m

k

k

k

)

(

10

Zadanie 3 – obliczenie m

1

W naszym przykładzie mamy kolejno:

















5

,

1

)

(

2

)

(

2

)

3

(

2

3

3

3

0

))

3

(

(

0

2

3

4

3

4

12

4

9

4

9

3

4

4

1

9

2

3
0

3

3

3

4

4

1

9

2

3

0

3

3

3

4

4

1

9

2

3

0

2

3

9

2

3

3

0

9

2

0

1



















































































x

x

x

x

dx

x

x

dx

x

dx

x

x

x

dx

x

m

11

Zadanie 3 – obliczenie m

2

W naszym przykładzie mamy kolejno:





































 

7

,

2

2

2

2

2

3

3

3

)

3

(

0

)

3

(

0

20

27

20

135

108

20

135

20

108

4

27

5

27

2

4

3

3

5

1

2

9

2

3
0

2

4

3

3

5

1

2

9

2

3
0

4

4

3

5

5

1

9

2

3

0

3

4

9

2

3

2

3

0

9

2

2

0 2

2





















































































x

x

x

x

x

dx

x

x

dx

x

dx

x

x

x

dx

x

m

12

Zadanie 4

Proszę wyznaczyć moment centralny rzędu 2
zmiennej losowej X, której f.g.p dana jest
wzorem:

















)

3

,

0

(

0

)

3

,

0

(

)

3

(

)

(

9

2

x

dla

x

dla

x

x

x

f

13

Zadanie 4 - rozwiązanie

Będziemy korzystać z następującego wzoru
na moment centralny rzędu 2 zmiennej
losowej ciągłej:





















dx

x

f

EX

x

EX

X

E

)

(

)

(

2

2

2



14

Zadanie 4 – rozwiązanie cd

Korzystając z obliczonej w zadaniu 3 wartości
EX mamy kolejno:



































































































3

0

2

3

4

9

2

3

0

2

3

2

3

4

9

2

3

0

2

2

9

2

3

0

2

9

2

3

2

3

0

9

2

2

0

2

2

)

75

,

6

25

,

11

6

(

)

75

,

6

9

3

25

,

2

3

(

)

25

,

2

3

)(

3

(

)

5

,

1

)(

3

(

0

)

5

,

1

(

)

3

(

)

5

,

1

(

0

)

5

,

1

(

dx

x

x

x

x

dx

x

x

x

x

x

x

dx

x

x

x

x

dx

x

x

x

dx

x

dx

x

x

x

dx

x



15

Zadanie 4 – rozwiązanie cd





















45

,

0

)

225

,

0

(

2

)

875

,

16

65

,

16

(

2

)

375

,

3

25

,

11

5

,

13

4

,

5

(

2

375

,

3

25

,

11

9

375

,

3

25

,

11

75

,

6

25

,

11

)

75

,

6

25

,

11

6

(

2

27

5

27

9

2

3
0

3

1

2

2

3

3

5

1

2

9

2

3
0

2

2

1

3

3

1

4

4

6

5

5

1

9

2

3

0

2

3

4

9

2

2



















































































x

x

x

x

x

x

x

x

dx

x

x

x

x



16

Zadanie 4 – inny sposób
rozwiązania

Jak widzieliśmy wyznaczanie momentów
centralnych rzędu 2 z definicji może być
kłopotliwe. Znacznie łatwiej jest obliczyć
moment rzędu 2 ze związku, jaki zachodzi
między tym momentem, a momentami
zwykłymi rzędu 1 i 2:

2

1

2

2

m

m 





W naszym zadaniu mamy:

45

,

0

25

,

2

7

,

2

5

,

1

7

,

2

2

2













17

Zadanie 5

Funkcja rozkładu p-stwa pewnej zmiennej
losowej X dana jest tabelką:

x

i

-3

-2

-1

0

1

3

p

i

0,1

0,1

0,2

0,3

0,1

0,2

Proszę wyznaczyć medianę tej zmiennej.

18

Zadanie 5 – rozwiązanie

Mediana, to taka wartość Me, dla której
spełnione są dwie nierówności:

5

,

0

)

(

5

,

0

)

(









Me

X

P

i

Me

X

P

Sprawdźmy, czy medianą MOŻE być liczba
mniejsza od zera (np. –0,1) ?

6

,

0

)

1

,

0

(

4

,

0

)

1

,

0

(













X

P

i

X

P

Jak widzimy medianą nie może być liczba
mniejsza od zera, ponieważ pierwsza
nierówność nie będzie spełniona.

19

Zadanie 5 – rozwiązanie cd

A może medianą jest liczba większa od 0 (np.
0,1)?

3

,

0

)

1

,

0

(

7

,

0

)

1

,

0

(









X

P

i

X

P

Jak widzimy także nie, tym razem nie jest
spełniona druga nierówność.
A może medianą jest
zero?

6

,

0

)

0

(

7

,

0

)

0

(









X

P

i

X

P

Oba warunki są spełnione, tym samym
Me=0.

20

Zadanie 6

Funkcja rozkładu p-stwa pewnej zmiennej
losowej X dana jest tabelką:

x

i

-3

-2

-1

0

1

3

p

i

0,1

0,2

0,2

0,1

0,2

0,2

Proszę wyznaczyć medianę tej zmiennej.

21

Zadanie 6 – rozwiązanie

W zadaniu 5 medianą była JEDNA liczba, ale
nie musi tak być zawsze. W zadaniu 6 f.r.p jest
takiej postaci, że medianą jest wartość –1:

7

,

0

)

1

(

5

,

0

)

1

(













X

P

i

X

P

Medianą jest także wartość 0:

5

,

0

)

0

(

6

,

0

)

0

(









X

P

i

X

P

Tym samym medianą jest KAŻDA liczba z
przedziału domkniętego <-1; 0>.

22

Zadanie 7

Proszę wyznaczyć medianę zmiennej losowej
X, której f.g.p dana jest wzorem:

















)

3

,

0

(

0

)

3

,

0

(

)

3

(

)

(

9

2

x

dla

x

dla

x

x

x

f

23

Zadanie 7 - rozwiązanie

Z definicji mediany wynika, że dla
zmiennych losowych ciągłych medianą
będzie taka wartość zmiennej losowej, dla
której dystrybuanta jest równa 0,5:

5

,

0

)

(

)

(











Me

dx

x

f

Me

F

24

Zadanie 7 – rozwiązanie cd

W naszym zadaniu mamy więc (ograniczając
się do tego przedziału, gdzie fgp jest
niezerowa) równanie:

5

,

0

)

3

(

)

(

0

9

2

















Me

Me

dx

x

x

dx

x

f

Całkujemy lewą stronę:





 

 









0

75

,

6

)

(

5

,

4

)

(

5

,

0

5

,

4

5

,

0

5

,

1

2

3

2

3

27

2

0

2

3

3

1

9

2



















Me

Me

Me

Me

x

x

Me

25

Zadanie 7 – rozwiązanie cd

0

75

,

6

)

(

5

,

4

)

(

2

3







Me

Me

Równanie wielomianowe stopnia 3

Ma miejsce zerowe dla Me=1,5

W tym konkretnym zadaniu do tego wyniku
można było dojść szybciej korzystając
bezpośrednio z definicji mediany. Mediana
dzieli bowiem zbiór wartości zmiennej
losowej na dwie części po 50% elementów.
Dla paraboli o miejscach zerowych 0 i 3
wierzchołek (oś symetrii) położony jest w
punkcie 1,5, stąd Me=1,5.

26

Zadanie 8

Funkcja rozkładu p-stwa pewnej zmiennej
losowej X dana jest tabelką:

x

i

-3

-2

-1

0

1

3

p

i

0,1

0,2

0,2

0,1

0,2

0,2

Proszę wyznaczyć kwantyl rzędu 0,1 tej
zmiennej.

27

Zadanie 8 - rozwiązanie

Zgodnie z definicją kwantyli szukamy takiej
wartości (oznaczmy ją symbolem k

p

) dla której

spełnione są dwie nierówności:

p

k

X

P

i

p

k

X

P

p

p











1

)

(

)

(

Zgodnie z treścią zadania parametr p jest
równy 0,1 , szukamy więc liczby k

0,1

.

F.r.p jest takiej postaci, że kwantyl ten może
być gdzieś między –3, a –2.

28

Zadanie 8 – rozwiązanie cd

1

)

3

(

1

,

0

)

3

(













X

P

i

X

P

Dla wartości –3 mamy:

Dla wartości –2 mamy:

9

,

0

)

2

(

2

,

0

)

2

(













X

P

i

X

P

Wynika z tego, że kwantylem rzędu 0,1 jest
zarówno –3 jak i –2, tym samym jest nim
każda liczba należąca do przedziału
domkniętego <-3; -2>.

29

Kwartyle, czyli specjalne
kwantyle

Kwantyle rzędu 0,25 , 0,5 oraz 0,75 nazywamy
kwartylami i oznaczamy odpowiednio jako Q

1

,

Q

2

i Q

3

.

Kwartyle mają bardzo ładną interpretację dla
zmiennych losowych ciągłych (gdzie są
pojedynczą liczbą), dzielą bowiem zbiór
wartości takiej zmiennej na ćwiartki po 25%
ogółu elementów.

Mediana jest niczym innym jak kwartylem
Q

2

Proszę wyznaczyć kwartyl Q

3

dla f.r.p ze

slajdu 26.

Odp.
Q

3

=1

30

Zadanie 9

Szansa na to, że student zda egzamin ze
statystyki jest równa 0,8. Na egzamin wchodzi
grupa 5 studentów. Oblicz p-stwa zdarzeń:

a) Co najmniej jeden student zda egzamin

b) Egzamin zda nie mniej, jak 4 studentów.

Z treści zadania wynika, że mamy do czynienia z
rozkładem dwumianowym (Bernouliego). P-stwo
sukcesu jest równe 0,8 a niepowodzenia 1-
0,8=0,2.

Mamy 5-cio krotne powtórzenie eksperymentu ze
zmienną zero-jedynkową, a zmienna przyjmuje 6
wartości:
k=0, 1, 2, ..., 5

31

Zadanie 9 – rozwiązanie ad. a)

Korzystamy z wzoru na p-stwo zdarzenia
przeciwnego:

)

0

(

1

)

0

(









X

P

X

P

A dalej z wzoru na f.r.p zmiennej
dwumianowej:

 

99968

,

0

00032

,

0

1

1

1

2

,

0

1

1

2

,

0

8

,

0

1

)

0

(

5

)!

0

5

(

!

0

!

5

0

5

0

5
0































X

P

Jak widać szansa na to, że ktoś zda jest b.
duża!

32

Zadanie 9 – rozwiązanie ad. b)

Z treści zadania wynika, że interesuje nas
następująca suma p-stwieństw:

)

5

(

)

4

(

)

4

(











X

P

X

P

X

P

Korzystając z wzoru na f.r.p zmiennej
dwumianowej mamy:

 

 

73728

,

0

32768

,

0

4096

,

0

1

32768

,

0

1

2

,

0

4096

,

0

5

2

,

0

8

,

0

2

,

0

8

,

0

2

,

0

8

,

0

2

,

0

8

,

0

)

4

(

0

5

!

0

!

5

!

5

1

4

!

1

!

4

!

5

0

5

5
5

1

4

5

4









































X

P

33

Zadanie 10

Pewien automat produkcyjny osiąga
wydajność 1000 sztuk pewnego produktu na
godzinę. Prawdopodobieństwo
wyprodukowania wadliwego elementu jest
równe 0,002.

Proszę obliczyć p-stwo tego, że automat
pracuje bez wad.

Z treści zadania wynika, że modelem dla
liczby braków w jednostce czasu może być
zmienna dwumianowa o n=1000 i p=0,002.

34

Zadanie 10 - rozwiązanie

Interesujące nas p-stwo zajścia zdarzenia
polegającego na tym, że liczba braków będzie
równa 0, stąd szukane p-stwo możemy
wyznaczyć z wzoru:

 

135065

,

0

998

,

0

002

,

0

1000

0

1000

0



Interesujące nas p-stwo możemy także
wyznaczyć przyjmując dla liczby braków
model Poissona, gdzie parametr
=1000•0,002=2. Z wzoru na f.r.p mamy

dalej:

134176

,

0

4529

,

7

1

73

,

2

1

1

!

0

2

)

0

(

2

2

2

0















e

e

X

P