WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW 

prowadzący

prof. dr hab. inż.  Kazimierz WÓJS

Wykład 15

Opracował

 Andrzej Sitka

HIPOTEZY WYTĘŻENIA 

HIPOTEZY WYTĘŻENIA 

 

 

HIPOTEZY WYTĘŻENIA 

W  celu  przeprowadzenia  analizy  teoretycznej  stopnia 
zagrożenia 

elementów 

wprowadza 

się 

pojęcie 

wytężenia  materiału

,  czyli  stopnia  zbliżenia  stanu 

fizycznego 

materiału 

do 

stanu 

granicznego 

(niebezpiecznego). 

Konieczność 

stosowania 

odpowiednich  kryteriów  oceny  możliwości  zniszczenia 
elementów 

konstrukcji 

wymaga 

postawienia 

stosownych hipotez – 

hipotez wytężenia

. 

 

 

 

HIPOTEZY WYTĘŻENIA 

Hipotezy  wytężenia  w  zależności  od  przyjętej  miary 
wytężenia dzielimy na:

-         naprężeniowe,

-         odkształceniowe,

-         energetyczne,

-         mieszane.

 

 

Pojęcia podstawowe 

Załóżmy  że  pewien  stan  naprężenia  (wyrażony 

przez naprężenia główne) charakteryzuje stosunek: 

 (1)

 

c

b

a

:

:

:

:

3

2

1









Jeżeli  naprężenia  zwiększają  się  proporcjonalnie, 
wytężenie  zwiększa  się  również  osiągając  wartość 
odpowiadającą  granicy  plastyczności,  a  następnie 
wytrzymałości na rozciąganie. 

 

 

Pojęcia podstawowe 

W układzie naprężeń głównych każdemu stanowi 

naprężenia  odpowiada  punkt  o  współrzędnych:  

1

 





  



  np.  punkt  A  na  rys.  1  a  więc  przy  założeniu 

ciągłości  związków  zachodzących  między  wytężeniem 

a  stanem  naprężenia,  taki  punkt  określa  również 

wytężenie  materiału  odpowiadające  danemu  stanowi 

naprężenia. 

 

 

Pojęcia podstawowe

Rys. 1. Powierzchnie wytężenia odpowiadające wejściu 

w stan plastyczny K

pl

 i zniszczeniu K

z 

 

 

Pojęcia podstawowe

Nieskończenie 

wiele 

takich 

punktów, 

to 

powierzchnie  wytężenia  odpowiadające  np.  wejściu 
materiału w stan plastyczny K

pl

 lub zniszczeniu K

z

. 

Taką  powierzchnię  w  układzie  naprężeń  głównych 
opisuje funkcja: 





0

,

,

,

3

2

1



i

C

F







a w przypadku dowolnego stanu naprężenia: 





0

,

,

,

,

,

,



i

zx

yz

xy

z

y

x

C

F













 (2)

 

 (3)

 

Parametry C

i

 charakteryzują materiał. 

 

 

Pojęcia podstawowe

Celem  hipotez  wytężenia

  jest  określenie 

związku  między  wytężeniem  W  a  składowymi  stanu 
naprężenia: 

 (4)

 

Krytyczne  wartości  wytężenia  można  wyznaczyć 
przeprowadzając 

doświadczenie 

dla 

jednego 

określonego  stanu  naprężenia  

0

,  najlepiej  dla 

jednoosiowego rozciągania (np. punkt B, rys.1 ) 

 (5)

 





i

zx

yz

xy

z

y

x

C

F

W

,

,

,

,

,

,



















i

C

F

W

,

0

,

0

,

0

,

0

,

0

,

0





 

 

Pojęcia podstawowe

gdyż 

krytyczne 

wytężenie 

dla 

ogólnego 

i 

jednoosiowego stanu naprężenia jest równe: 

 (6)

 

Rozwiązując to równanie ze względu na 



0

, otrzymamy: 









i

i

zx

yz

xy

z

y

x

C

F

C

F

,

0

,

0

,

0

,

0

,

0

,

,

,

,

,

,

,

0





















zx

yz

xy

z

y

x

f















,

,

,

,

,

0



 (7)

 

Prawą stronę tego równania określimy jako naprężenie 
redukowane 



red

, a więc: 





zx

yz

xy

z

y

x

red

f















,

,

,

,

,



 (8)

 

 

 

Pojęcia podstawowe

Znając  naprężenie  niebezpieczne  dla  jednoosiowego 

stanu  naprężenia  i  uwzględniając,  że

        ,  można 

wyznaczyć  składowe  dowolnego  niebezpiecznego 

stanu naprężenia. 

red







0

 

 

Hipoteza największego 

naprężenia rozciągającego 

Według  tej  hipotezy  miarą  wytężenia  jest 

największe  naprężenie  rozciągające.  Jest  to 

hipoteza 

naprężeniowa

. Stosowana jest do mechaniki pękania. 

 

 

Hipoteza największego 

wydłużenia 

Miarą  wytężenia  według  tej  hipotezy  jest  największe 
wydłużenie 

względne. 

Jest 

to 

hipoteza 

odkształceniowa

,  którą  w  układzie  odkształceń 

głównych wyrazimy wzorami: 

 (9)

 

Za   

    przyjęto  wydłużenie          odpowiadające 

wytrzymałości na rozciąganie R

m

. 

kryt







1

kryt







2

kryt







3

kryt



Zr



 

 

Hipoteza największego 

wydłużenia

Po zastosowaniu do zależności (9) uogólnionego prawa 
Hooke’a otrzymamy: 

 
(10)

 





kryt

















3

2

1





kryt

















1

3

2





kryt

















2

1

3

 

 

Hipoteza największego 

wydłużenia

Dla  płaskiego  stanu  naprężeń   

        wzory 

przyjmują postać: 





0

,

0

,

0

3

2

1













kryt













2

1

kryt













1

2





kryt















2

1

 
(11)

 

Na rys.  za 



kryt

 przyjęto R

m

 (przypadek rozciągania). 

 

 

Hipoteza największego 

wydłużenia

Rys. . Wykreślne odwzorowanie hipotezy największego 

wydłużenia właściwego w układzie naprężeń głównych 

 

 

Hipoteza największego 

wydłużenia

W  przypadku,  gdy  płaski  stan  naprężenia  jest 
wyrażony  za  pomocą  naprężeń   

to  naprężenia 

główne wyznacza się ze wzoru: 

 
(1)

 

a  naprężenia  redukowane  wyznaczymy  z  jednego  z 
trzech równań (11). Za naprężenia redukowane należy 
przyjąć  lewą  stronę  tego  równania,  która  będzie 
większa od lewej strony każdego z pozostałych dwóch 
równań. 

xy

y

x







,

,









2

2

2

,

1

4

2

1

2

1

xy

y

x

y

x























 

 

Hipoteza największego 

wydłużenia

Jeśli 

        to  wzór  na  naprężenie 

redukowane przyjmie następującą postać: 

















xy

y

x

,

0

,

2

2

4

2

1

2

1





























 



red

 
(1)

 

Przyjmując        dla stali  otrzymamy 

 
(14)

 

3

,

0





2

2

4

65

,

0

35

,

0















red

 

 

Hipoteza największego 

wydłużenia

Stosunek  wartości  bezwzględnych  wytrzymałości 

przy rozciąganiu R

m

 do wytrzymałości przy ściskaniu   

            jest  równy 



    (rys.  ).  Ogranicza  to 

stosowanie  tej  hipotezy  do  materiałów  spełniających 
ten warunek. 

Rys. . Wykreślne odwzorowanie zmodyfikowanej 

hipotezy Grashofa 

m

R



1



 

 

Hipoteza największego 

wydłużenia

Modyfikacja  tej  hipotezy  polega  na  przyjęciu 
dodatkowego  ograniczenia,  aby  żadne  z  głównych 
odkształceń 

liniowych 

nie 

było 

mniejsze 

od 

odkształcenia 

liniowego 



Zc

, 

odpowiadającego 

wytrzymałości  na  ściskanie.  Wykreślne  odwzorowanie 
tak  zmodyfikowanej  hipotezy  dla  płaskiego  stanu 
naprężenia, gdy |

Zc

|=|R

m

| pokazano na rys. . 

 

 

Hipoteza największych 

naprężeń stycznych 

Miarą  wytężenia  tej  hipotezy  jest  największe 
naprężenie styczne. Jest to 

hipoteza naprężeniowa

.

 
(15)

 

2

min

max

max











W  przypadku  prostego  rozciągania  ,  to  równanie  na 
naprężenia redukowane ma postać: 

 
(16)

 

kryt

red















min

max

bo: 

 
(17)

 

0







red

 

 

W  przypadku,  gdy   

i 

      ,  to  równanie  (16) 

będzie miało następującą postać: 

 
(18)

Hipoteza największych 

naprężeń stycznych

1

max







3

min







kryt

red















3

1

Wykreślne odwzorowanie tej hipotezy dla materiałów o 
jednakowej  wartości  granicy  plastyczności  podczas 
rozciągania  i  ściskania  w  układzie  naprężeń  głównych 


1

 i 



 pokazano na rysunku 4. 

Za 

kryt

 przyjęto R

e

. 

 

 

W przypadku płaskiego stanu naprężenia, gdy: 

x

 = 



y

  = 

0       

xy

  =  naprężenia  redukowane  można 

wyznaczyć: 

 
(19)

Hipoteza największych 

naprężeń stycznych

Rys. 4. Wykreślne odwzorowanie hipotezy największych 

naprężeń stycznych w układzie naprężeń głównych 

2

2

4











red

 

 

Za miarę wytężenia wg tej hipotezy przyjmuje się 

energię właściwą odkształcenia postaciowego, która w 
dowolnym przestrzennym stanie naprężenia wynosi: 

Hipoteza energii właściwej 

odkształcenia postaciowego 

(hipoteza Hubera) 



 















2

2

2

2

2

2

6

6

1

zx

yz

xy

x

z

z

y

y

x

E











































 
(0)

W  jednoosiowym  stanie  naprężenia  energia  właściwa 
odkształcenia postaciowego będzie: 

 
(1)

2

0

2

6

1







E





 

 

Porównując  równania  (0)  i  (1)  wyznaczymy 
naprężenie redukowane z zależności: 

 
()

Naprężenie 

redukowane 

w 

układzie 

naprężeń 

głównych można wyznaczyć z równania: 

Hipoteza energii właściwej 

odkształcenia postaciowego 

(hipoteza Hubera) 



 











2

2

2

2

2

2

6

2

1

zx

yz

xy

x

z

z

y

y

x

red









































 

 



2

1

3

2

3

2

2

2

1

2

1



























red

 
()

 

 

Wykreślnym  odwzorowaniem  tej  hipotezy  w 

układzie  naprężeń  głównych  jest  walec  kołowy 
jednakowo  nachylony  do  osi  σ

1

,  σ



,  σ



,  a  śladem  tego 

walca  w  płaskim  układzie  naprężeń  σ

1

,  σ

 

jest  elipsa 

(rys.5). 

W  elipsę  jest  wpisane  wykreślne  odwzorowanie 
hipotezy największych naprężeń stycznych. 

Hipoteza energii właściwej 

odkształcenia postaciowego 

(hipoteza Hubera) 

 

 

Rys. 5. Wykreślne odwzorowanie hipotezy Hubera; a) w 

przestrzennym stanie naprężenia, b) w płaskim stanie 

naprężenia 

Hipoteza energii właściwej 

odkształcenia postaciowego 

(hipoteza Hubera) 

a
)

b)

 

 

Dla  płaskiego  stanu  naprężenia  σ

x

,  σ

y

,  τ

xy

  naprężenia 

redukowane wyraża równanie: 

 
(4)

Hipoteza energii właściwej 

odkształcenia postaciowego 

(hipoteza Hubera) 





2

2

3















y

x

red

















xy

y

x

,

0

,

Jeśli   

          to  wzór  na  naprężenie 

redukowane przyjmie następującą postać: 

 
(5)

2

2

3











red

 

 

Hipotezy 

energii 

właściwej 

odkształcenia 

postaciowego  i  największych  naprężeń  stosuje  się  do 

określenia  stanów  granicznych  przejścia  materiału  w 

stan  plastyczny  (kryterium  plastyczności).  Hipotezy 

odkształceń i największego naprężenia normalnego są 

stosowane dla złomu rozdzielczego oraz kruchego. 

Przykłady stosowania hipotez 

wytężenia 

 

 

Zastosowanie  hipotez  wytężenia  można  pokazać 

na przykładach:

•

 

rozciąganie ze skręcaniem,

•

 

zginanie ze skręcaniem.

Dla  prętów  o  przekroju  kołowym  w  tych  przypadkach 
występują  tylko  naprężenia    i  ,  a  więc  naprężenia 
redukowane można wyznaczyć z hipotezy Hubera. 

Przykłady stosowania hipotez 

wytężenia 

 

 

Naprężenia normalne pochodzące od rozciągania: 

Rozciąganie ze skręcaniem 

A

N





 
(6)

Naprężenia styczne pochodzące od skręcania: 

 
(7)

0

max

W

M

s





 

 

Niebezpiecznym miejscem przekroju jest to, w którym 
naprężenie  styczne  jest  maksymalne  (warstwa 
wierzchnia).

Naprężenia  redukowane  wyznaczamy  z  hipotezy 
Hubera : 

Rozciąganie ze skręcaniem

 
(8)

2

2

3











red

2

0

2

3





























W

M

A

N

s

red



 

 

Naprężenie normalne pochodzące od zginania: 

Zginanie ze skręcaniem 

 
(9)

 
(0)

Niebezpiecznym  miejscem  przekroju  są  punkty 
najbardziej odległe od środka, w których naprężenia są 
ekstremalne. 

Naprężenie  redukowane  wyznaczymy  z  hipotezy 
Hubera : 

W

M

g



max



2

2

3











red

2

0

2

3





























W

M

W

M

s

g

red



 

 

ale: 

Zginanie ze skręcaniem

 
(1)

 
()

Równanie  na  naprężenia  redukowane  w  przypadku 
skręcania ze zginaniem można przedstawić również w 
postaci: 

32

2

2

16

3

3

0

d

W

d

W











więc: 

W

M

M

W

M

W

M

s

g

s

g

red

2

2

2

0

2

75

,

0

3



































 
()

W

M

red

red





w którym: 

2

2

4

3

s

g

red

M

M

M





 
(4)

 

 

ZŁOŻONE 

ZŁOŻONE 

 

 

ZAGADNIENIA 

ZAGADNIENIA 

ZGINANIA 

ZGINANIA 

 

 

Zbadajmy 

przypadek 

zginania 

belki 

siłą 

poprzeczną  i  wyznaczmy  rozkład  naprężeń  stycznych 

w  przekroju  poprzecznym  belki,  a  także  przypadki,  w 

których  działają  jednocześnie  składowe  naprężeń 

(normalne  do  przekroju  poprzecznego)  wywołane 

działaniem sił i momentów. 

NAPRĘŻENIA PRZY ZGINANIU 

SIŁĄ POPRZECZNĄ 

 

 

Taki  przypadek  pokazano  na  rys.  1.  Belka  jest 
obciążona momentem gnącym M

g

 i siłą tnącą T. 

NAPRĘŻENIA PRZY ZGINANIU 

SIŁĄ POPRZECZNĄ

Rys. 1. Zginanie belki siłą poprzeczną 

 

 

Na powierzchni bocznej belki zginanej siłą poprzeczną 
narysujemy    linie    równoległe  oraz  prostopadłe  do  osi 
belki (rys. ). 

NAPRĘŻENIA PRZY ZGINANIU 

SIŁĄ POPRZECZNĄ

Rys. . Obraz linii pierwotnie równoległych i 

prostopadłych do osi belki po odkształceniu 

 

 

Działanie  naprężeń  stycznych    oraz  zmiana  wartości 

naprężeń  normalnych    wzdłuż  osi  belki,  wywołane 

zmianą  wartości  momentu  gnącego,  powodują 
powstanie  różnic  w  obrazie  odkształceń  belki  w 
stosunku  do  obrazu  odkształceń  w  belce  poddanej 
zginaniu czystemu.

 

Różnice te są następujące:

•

 

Kąty  między  bokami  odkształconej  siatki  nie  są 

na  ogół  proste.  Największe  zmiany  występują  w 
warstwach  bliższych  osi  belki,  a  w  warstwach 
skrajnych są tak małe, że można je pominąć.

•

 

Naprężenia 

styczne 

są 

rozłożone 

nierównomiernie w przekroju belki. 

NAPRĘŻENIA PRZY ZGINANIU 

SIŁĄ POPRZECZNĄ

 

 

Rozpatrzmy  przypadek  zginania  siłą  poprzeczną 

nie przyjmując żadnego uproszczenia. 

Wytnijmy  z  belki  element  o  długości  dx.  Działanie 
odrzuconych    części    belki  wyrażają  siły  wewnętrzne 
jak na rys. .

Kierunki naprężeń 

A

 i 

B 

w punktach A i B są styczne do 

konturu.  W  naprężenia  w  innych  punktach  mają  inne 
kierunki (np. punkt C), a więc nie są równoległe do osi 
z. 

Analiza rozkładu naprężeń 

 

 

Analiza rozkładu naprężeń

Rys. . Element belki o długości dx w równowadze 

 

 

Rozłóżmy naprężenia na składowe równoległe do 

osi  y  i  do  osi  z  (rys.  4).  W  kolejnym  przybliżeniu 
(pastowanym  w  tej  analizie)  składowe  naprężeń  w 
płaszczyźnie  yz  na  linii  AB  równoległe  do  osi  z 

zastąpimy naprężeniami średnimi 

zśr

. 

Analiza rozkładu naprężeń

Rys. 4. Rozkład naprężeń 

A

 i 

B

 na składowe 

 

 

Odrzućmy 

dolną 

część 

elementu 

poniżej 

płaszczyzny  ABDE  i  rozpatrzmy  równowagę  górnej 
części 

elementu 

z 

uwzględnieniem 

naprężeń 

normalnych,  wywołujących  zginanie  (rys.  5a)   i 
stycznych (rys. 5b) 

Warunki równowagi 

Rys. 5. Równowaga elementu belki; a) naprężenia 

normalne, b) naprężenia styczne 

 

 

Warunki równowagi

Na  górną  część  elementu  działają  następujące  siły 
równoległe do osi x: 

 (1)





AB

dA

N





'











AB

dA

d

N







''

 ()

dx

b

dQ

z

śr

z





 ()

gdzie:

τ

zśr

  –  średnia  wartość  naprężeń  stycznych  w 

płaszczyźnie ABDE 

 

 

Po podstawieniu do wzoru (1) zależność na naprężenia 
σ: 

Warunki równowagi

 (4)

 (5)

*

z

I

M

y

g





gdzie:
z

*

  -  odległość  wektora  σdA  od  płaszczyzny  obojętnej 

otrzymamy: 

y

z

y

g

AB

y

g

AB

y

g

AB

I

S

M

dA

z

I

M

dA

z

I

M

dA

N

)

(

*

*

'



















 

 

gdyż 

Warunki równowagi

)

(

*

z

y

AB

S

dA

z





 (6)

-  moment  statyczny  (względem  osi  obojętnej) 

części powierzchni przekroju poprzecznego ponad linią 
AB (część zakreskowana na rys. 6). 

)

(z

y

S

 

 

Warunki równowagi

Rys.6. Część powierzchni przekroju poprzecznego 

elementu, dla którego wyznacza się moment statyczny 

)

(z

y

S

 

 

Ze wzoru ()  

otrzymamy: 

Warunki równowagi

 (7)

 (9)











AB

dA

d

N







''





y

z

y

g

g

I

S

dM

M

N

)

(

''







Warunek równowagi sił w kierunku osi x można zapisać 
w postaci: 

 (8)

0

''

'











dQ

N

N

X





Po podstawieniu zależności (), (5) i (7) do wzoru (8) i 
po  wykonaniu  obliczeń  otrzymamy  wzór  do  obliczenia 
naprężeń  stycznych  w  belkach  zginanych  siłami 
poprzecznymi: 

y

z

y

g

z

śr

z

I

S

dx

dM

b

)

(





 

 

Uwzględniając twierdzenie Schwedlera: 

Warunki równowagi

dx

dM

T

g



 
(10)

otrzymamy ostatecznie: 

 
(11)

z

y

z

y

śr

z

b

I

S

T

)

(





 

 

Warunki równowagi

Z  analizy  powyższego  wzoru  wynika,  że  jeśli 

położenie  płaszczyzny  ABDE  przyjmiemy  w  górnym 
skrajnym  położeniu,  to  moment  statyczny  części 
elementu ponad tą płaszczyzną będzie równy zeru: 

 
(1)

0

)

(



z

y

S

a więc naprężenia w tej płaszczyźnie będą równe zeru 
(

Z

=0).  Największe  naprężenia  styczne  wystąpią  w 

płaszczyźnie  środkowej  belki,  czyli  w  płaszczyźnie 
obojętnej,  w  której  naprężenia  od  zginania  są  równe 
zeru. 

 

 

Warunki równowagi

Rys. 7. Rozkład naprężeń stycznych w belce o przekroju 

poprzecznym prostokątnym zginanej siłą poprzeczną 

 

 

WYBOCZENIE 

Analiza  zachowania  pręta  smukłego  poddanego 

działaniu sił ściskających 

Smukłość

  jest  to  stosunek  długości  pręta  do 

promienia bezwładności jego przekroju poprzecznego.

Każde  ciało  jest  narażone  na  działanie  różnych 
czynników  zewnętrznych,  które  mogą  to  ciało 
wyprowadzić  ze  stanu  równowagi.  Takimi  czynnikami 
może być małe odstępstwo od osiowości obciążenia. W 
przypadku  ściskania  prętów  smukłych  czynniki  te  w 
sposób  istotny  mogą  być  przyczyną  przejścia  z 
jednego  położenia  równowagi  do  innego  położenia 
równowagi. 

 

 

WYBOCZENIE

Jeśli stan równowagi takiego pręta jest trwały, to 

po  ustaniu  działania  takich  czynników  pręt  wraca  do 
pierwotnego  położenia  równowagi.  W  przypadku 
równowagi  chwiejnej,  to  nawet  po  ustaniu  działania 
bodźców  chwilowych  pręt  nie  powróci  do  stanu 
pierwotnego,  przejdzie  natomiast  do  nowej  postaci 
równowagi.  Nowa  postać  równowagi  może  być  równa 
zniszczeniu  konstrukcji.  Jest  to  zjawisko 

wyboczenia 

pręta

. 

 

 

Sprężyste wyboczenie pręta 

Rozpatrzmy  smukły  pręt  utwierdzony  w  jednym 

końcu  i  obciążony    w    drugim    (swobodnym)    końcu   
siłą ściskającą (rys. 8). 

Rys. 8. Pręt smukły obciążony siłą osiową 

 

 

Sprężyste wyboczenie pręta

Należy  wyznaczyć  siłę  krytyczną  dla  pręta 

ściskanego,  czyli  określić  warunki  konieczne  dla 
zachowania  równowagi  tego  pręta  w  postaci  wygiętej 
w zakresie sprężystości materiału. 

Wyboczenie  nastąpi  w  płaszczyźnie  najmniejszej 
sztywności zginania EI, w której promień bezwładności 
przekroju poprzecznego jest najmniejszy.

 

 

Sprężyste wyboczenie pręta

W nowym stanie równowagi w postaci wygiętej w 

pręcie pojawi się moment gnący oprócz siły podłużnej 
(ściskającej).  Moment  ten  w  dowolnym  przekroju 
odległym  o  x  od  początku  układu  współrzędnych  x,y 
będzie: 

 
(1)

Podstawiając ten wzór do zależności: 





y

P

M

g







 
(14)

g

M

dx

y

d

EI



2

2

 

 

Sprężyste wyboczenie pręta

otrzymamy równanie różniczkowe linii ugięcia: 

 
(15)





y

P

dx

y

d

EI







2

2

a po przekształceniu: 

 
(16)

0

2

2









P

Py

dx

y

d

EI

Podstawiając za: 

 
(17)

EI

P

k 

2

otrzymamy równanie: 

 
(18)

0

2

2

2

2









k

y

k

dx

y

d

 

 

Sprężyste wyboczenie pręta

Rozwiązanie tego równania ma postać: 

 
(19)

 
(0)

Stałe 

całkowania 

wyznaczymy 

z 

warunków 

brzegowych, 

dla x=0 mamy y=0 oraz dy/dx=0, a więc: 

 
(1)

 

 









x

k

B

x

k

A

y

sin

cos







A

0



B

 
()

Równanie  różniczkowe  linii  ugięcia  ma  więc  postać 
cosinusoidy: 

 





x

k

y

cos

1





 

 

Sprężyste wyboczenie pręta

Warunek  określający  wielkość  k  w  stanie  nowej 
krzywoliniowej  równowagi  pręta,  a  więc  w  stanie 
krytycznym wyniknie z równania: 

 





l

k

y

l

x

cos

1

)

(













 
()

Będzie to spełnione dla: 

 
(4)

 

0

cos



l

k

Równanie (4) będzie spełnione gdy: 

 
(5)





2

1

2





 n

l

k

 

 

Sprężyste wyboczenie pręta

oraz   n = 1, 2, 3, 4.....

 
(6)

Po  podstawieniu  do  równania  (5)  wyrażenia  na  k  w 
stanie krytycznym otrzymamy: 





l

n

EI

P

k

kryt

2

1

2









 
(7)

a  najmniejszą  wartość  siły  krytycznej  (dla  n=0) 
wyznaczymy z zależności: 

2

2

4l

EI

P

kryt





Jest  to 

wzór  Eulera

  do  obliczania  siły  krytycznej  w 

zakresie sprężystości materiału.  Jest  słuszny dla pręta 
utwierdzonego  jednym  końcem  i  obciążonego  siła 
ściskającą w końcu swobodnym. 

 

 

Sprężyste wyboczenie pręta

Uniezależniając  obliczenia  od  sposobu  zamocowania 
pręta  (od  warunków  brzegowych)  należy  wprowadzić 
pojęcie  długości  redukowanej  l

red

.  Wielkość  tę  określa 

wzór: 

 
(8)

Współczynnik    zależy  od  warunków  brzegowych 
pręta,  a  jego  wartość  dla  czterech  najbardziej 
typowych sposobów zamocowania pokazano na rys. 9. 

l

l

red





 

 

Sprężyste wyboczenie pręta

Rys. 9. Przypadki zamocowania pręta 

 

 

Wzór  Eulera  z  uwzględnieniem  pojęcia  długości 

redukowanej ma postać: 

 
(9)

Sprężyste wyboczenie pręta

2

2

red

kryt

l

EI

P





Dzieląc  obustronnie  równanie  (9)  przez  przekrój 

poprzeczny  A

0

  pręta  otrzymamy  równanie  do 

obliczenia naprężenia krytycznego: 

 
(0)

2

0

2

red

kryt

l

A

EI







 

 

Za   

        -  jest  to  kwadrat  promienia  bezwładności 

przekroju poprzecznego. Po uwzględnieniu tej wielkości 

i równania na smukłość pręta 

 
(1)

Sprężyste wyboczenie pręta

otrzymamy  równanie  Eulera  do  obliczania  naprężenia 

krytycznego w postaci: 

 
()

2

0

i

A

I



min

i

l

red





2

2







E

kryt



Jest to hiperboliczna zależność naprężenia krytycznego 

od smukłości pręta ściskanego. 

 

 

Hiperbolę  Eulera  w  układzie  współrzędnych  

kryt

,   

pokazano na rys.10. 

Wyboczenie poza zakresem 

sprężystości materiału 

Rys. 10. Hiperbola Eulera KLM i zależności 

doświadczalne: 1 – prosta Tetmajera – Jasińskiego,  – 

parabola Johnsona – Ostenfelda 

 

 

Porównanie  hiperboli  Eulera  z  wynikami  doświadczeń 

(linia  KLT)  wykazało,  że  równanie  Eulera  odpowiada 

tym  wynikom  tylko  wtedy,  gdy  smukłość  przekracza 

pewną wartość – zwaną smukłością graniczną 

gr

. 

Wyznaczymy  ją  podstawiając  do  równania  Eulera 

wartość 

granicy 

proporcjonalności 

w 

miejsce 

naprężenia krytycznego (np.  Dla  stali: 

prop

=00 MPa)  

oraz  modułu  Younga  E=10

5

 MPa: 

Wyboczenie poza zakresem 

sprężystości materiału 

100

200

10

2

10

5

2











prop

gr

E







 
()

 

 

W  zakresie  smukłości  mniejszej  niż  smukłość 

graniczna,  a  więc  poza  zakresem  sprężystości 

(proporcjonalności) stosuje się wzory doświadczalne: 

Wyboczenie poza zakresem 

sprężystości materiału 

 
(4)

Tetmajera-Jasińskiego

 (prosta LR): 





b

a

kryt





 
(5)

Johnsona-Ostenfelda

 (parabola SR) 





B

A

kryt





w których a, b, A, B – stałe materiałowe. 

 

 

Stałe materiałowe a, b wyznaczymy przyjmując, że dla 

=0  (punkt  R  –  rys.  10) 



kryt

=R

e

.  Podstawiając  te 

wartości do równania (4) otrzymamy: 

Wyboczenie poza zakresem 

sprężystości materiału 

 
(6)

 
(8)

e

kryt

R

b

a









0



a stąd: 

 
(7)

e

R

a 

Dla =

gr

 (punkt L – rys. 10) 



kryt

=



prop

. Podstawiając tę 

wartość  do  równania  (4)  i  wykorzystując  równanie 
() i (7) otrzymamy: 

prop

prop

e

gr

prop

e

E

R

R

b











2









 

 

Wierzchołkiem  paraboli  (5)  jest  punkt  R  (rys.  10)  o 

współrzędnych  =0 i 

kryt

=R

e

.  Podstawiając  tą  wartość 

do równania (5) otrzymamy: 

Wyboczenie poza zakresem 

sprężystości materiału 

 
(9)

Parabola jest styczna do hiperboli Eulera, a w punkcie 

styczności mamy 

 
(40)

e

R

A

'

gr







to można napisać: 

 
(41)

hiperb

kryt

parab

kryt

d

d

d

d



































 

 

Po  podstawieniu  do  równania  (41)  zależności  (5)

    i  ()   

i  po  zróżniczkowaniu 

otrzymamy: 

Wyboczenie poza zakresem 

sprężystości materiału 

 
(4)

W  punkcie  S  dla  

’

gr

  naprężenie  

kryt

  obliczone  wg 

równania  (5)  musi  być  takie  samo  jak  obliczone  ze 

wzoru (), a więc: 

 
(4)





B

A

kryt





2

2







E

kryt



 

4

'

2

gr

E

B







     

2

'

2

2

'

4

'

2

gr

gr

gr

e

E

E

R















 

 

Stąd otrzymamy: 

Wyboczenie poza zakresem 

sprężystości materiału 

 
(44)

Równanie (4) można zapisać w postaci: 

 
(45)

e

gr

R

E

2

'

2







   

2

'

2

2

'

gr

gr

e

E

B

R











i  podstawiając  do  tego  równania  zależność  (44) 

otrzymamy: 

 
(46)

E

R

B

e

2

2

4





 

 

WYTRZYMAŁOŚĆ 

MATERIAŁÓW 

prowadzący

prof. dr hab. inż.  Kazimierz WÓJS

Wykład 15b

Opracował

 Andrzej Sitka

ANALIZA STANU NAPRĘŻE

ANALIZA STANU NAPRĘŻE

Ń

Ń

 

 

 

 

Analiza stanu napręże

Analiza stanu napręże

ń

ń

Przez  dany  punkt  0  można  przeprowadzić 

nieskończenie wiele przekrojów danego ciała, a zatem 
istnieje  nieskończenie  wiele  wektorów  naprężenia, 
które opisują stan naprężenia w tym punkcie. 

0

A



A



Rys. 1. Przekrój poprzeczny belki i przekrój 

nachylony do osi belki pod kątem  

 

 

Analiza naprężeń w 

Analiza naprężeń w 

jednokierunkowym stanie 

jednokierunkowym stanie 

napięcia

napięcia

 

 

Rozpatrzmy 

naprężenia 

w 

przekroju 

A

 

nachylonym  pod  kątem    do  przekroju  poprzecznego 
pręta  poddanego  rozciąganiu.  Jedną  część  pręta 
odrzucamy,  a  rozpatrujemy  pozostałą  część,  np.  lewą 
(rys.2). 

Rys. 2. Przekrój nachylony do osi belki pod 

kątem  

P

0

A





P

 

 

Analiza naprężeń w 

Analiza naprężeń w 

jednokierunkowym stanie 

jednokierunkowym stanie 

napięcia

napięcia

 

 

Rozpatrywana  część  pręta  (rys.3a)  znajduje  się 

w równowadze dzięki temu, że w przekroju przecięcia 
odrzucona  prawa  część  pręta  działa  na  część 
rozpatrywaną naprężeniami p. 

Rys. 3. Jednokierunkowy stan naprężenia; a) część pręta w 

równowadze, b) rozkład naprężenia p na składowe 



p

n

x











b
)



p

n

x

kierunek 
normalnej 
zewnętrznej

P

a
)

A

przekrój poprzeczny

przekrój ukośny

 

 

Analiza naprężeń w 

Analiza naprężeń w 

jednokierunkowym stanie 

jednokierunkowym stanie 

napięcia

napięcia

 

 

Z  warunku  równowagi  sił  działających  na 

rozpatrywaną część pręta: 

 (1)

 

 (2)

 

stąd: 











0



pA

P

X



A

P

p 

Uwzględniając, 
że: 

 (3)

 





cos

A

A 

 

 

Analiza naprężeń w 

Analiza naprężeń w 

jednokierunkowym stanie 

jednokierunkowym stanie 

napięcia

napięcia

 

 

otrzymamy: 

 (4)

 

 (5)

 

gdyż 

Po rozłożeniu naprężenia p na składowe – normalną 





 i 

styczną 





 otrzymamy: 

 (6)

 







cos

cos





A

P

p

A

P















2

cos

cos 

 p

 (7)

 













cos

sin

sin 

 p

 

 

Analiza naprężeń w 

Analiza naprężeń w 

jednokierunkowym stanie 

jednokierunkowym stanie 

napięcia

napięcia

 

 

i  podstawiając  tożsamość   

sin2



  =  2sin



  cos



   

równanie (7) przyjmuje postać: 

 (8)

 

Występujący  w  powyższych  wzorach  kąt   

zawarty 

jest  między  kierunkiem  działania  sił 

rozciągających  a  kierunkiem  normalnej  zewnętrznej 
danego przekroju. 









2

sin

2

1



 

 

Analiza naprężeń w 

Analiza naprężeń w 

jednokierunkowym stanie 

jednokierunkowym stanie 

napięcia

napięcia

 

 

Dodatnią  wartość  naprężeń  normalnych  

 

przypisywać  będziemy  naprężeniom  rozciągającym,  a 
więc  mającym  zwrot  zgodny  z  kierunkiem  normalnej 
zewnętrznej. 

Dodatnią 

wartość 

naprężeń 

tnących 



 

przypisywać będziemy naprężeniom usiłującym obrócić 
rozpatrywaną  część  w  kierunku  zgodnym  z  ruchem 
wskazówek zegara. 

 

 

Równania równowagi 

Równania równowagi 

wewnętrznej 

wewnętrznej 

W  przypadku  niejednorodnego  stanu  naprężenia 

wartości składowych stanu naprężenia zmieniają się ze 
zmianą położenia rozpatrywanego punktu ciała. 

Rozpatrzmy 

ciało 

obciążone 

będące 

w 

równowadze  (siły  masowe  pominiemy).  Wycięty  z  tego 
ciała prostopadłościan (rys. 4) o krawędziach dx, dy, dz 
znajduje się w niejednorodnym stanie naprężenia. 

 

 

Równania równowagi 

Równania równowagi 

wewnętrznej 

wewnętrznej 

Rys. 4. Naprężenia na ścianach prostopadłościanu o krawędziach 

dx, dy, dz 

dy

d

z

dx

x

y

z

dy

y

yx

yx











dy

y

y

y











dy

y

yz

yz











z



zx



zy



dx

x

x

x











dx

x

xy

xy











dx

x

xz

xz











xz



xy



x



yz



yx



y



dz

z

z

z











dz

z

zy

zy











dz

z

zx

zx











 

 

 (9)

 

Równania równowagi 

Równania równowagi 

wewnętrznej 

wewnętrznej 

Warunek  równowagi  sił  działających  w  kierunku 

osi x można zapisać w postaci równania: 

0









































































dxdy

dz

z

dxdy

dxdz

dy

y

dxdz

dydz

dx

x

dydz

X

zx

zx

zx

yx

yx

yx

x

x

x



















 

 

 
(10)

 

Równania równowagi 

Równania równowagi 

wewnętrznej 

wewnętrznej 

Po uporządkowaniu i uproszczeniu otrzymamy: 

0



















z

y

x

zx

yx

x







Z  pozostałych  warunków  równowagi  sił  względem 
pozostałych osi y, z otrzymamy: 

 
(11)

 

 
(12)

 

0



















z

y

x

zy

y

xy







0



















z

y

x

z

yz

xz







 

 

 
(13)

 

Równania równowagi 

Równania równowagi 

wewnętrznej 

wewnętrznej 

Równania  (13)  nazywamy 

równaniami  równowagi 

wewnętrznej

: 

0



















z

y

x

zx

yx

x







0



















z

y

x

zy

y

xy







0



















z

y

x

z

yz

xz







 

 

Aksjomat Boltzmanna 

Aksjomat Boltzmanna 

Rys. 5. Naprężenia na ścianach prostopadłościanu 

wywołujące momenty względem osi x’

d
y

d

z

d
x

x

y

z

x’

z’

y’

dy

y

yz

yz











zy



yz



dz

z

zy

zy











 

 

Aksjomat Boltzmanna 

Aksjomat Boltzmanna 

Na  przedstawionym  rysunku  początek  układu 

współrzędnych 

został 

przeniesiony 

do 

środka 

prostopadłościanu.  Przedstawiono  tylko  te  naprężenia, 
których momenty względem osi x

’

 są różne od zera. 

Wykorzystując 

równanie 

równowagi 

momentów 

względem osi x’ otrzymamy: 

0

2

1

2

1

2

1

2

1

'

















































dz

dxdy

dz

dxdy

dz

z

dy

dzdx

dy

dzdx

dy

y

M

zy

zy

zy

yz

yz

yz

x













 
(14)

 

 

 

Aksjomat Boltzmanna 

Aksjomat Boltzmanna 

Po  wykonaniu  działań  i  pominięciu  małych 

wyrażeń wyższego rzędu otrzymamy: 

Wykorzystując  dwa  pozostałe  równania  równowagi 
momentów otrzymamy: 

 
(16)

 

yz

zy







 
(15)

 

zx

xz







xy

yx







 
(17)

 

Równania  (15),  (16)  i  (17)  nazywane  są 

aksjomatem 

Boltzmanna

, który można wyrazić słowami:

składowe  naprężeń  stycznych    prostopadłe  do 
krawędzi 

przecięcia 

się 

dwu 

przekrojów 

wzajemnie prostopadłych są sobie równe. 

 

 

Płaski stan naprężenia 

Płaski stan naprężenia 

Płaski  stan  naprężenia  występuje  wtedy,  gdy 



x

0, 

y

0 oraz 

xy

0, a pozostałe naprężenia są równe 

zeru.

W wielu praktycznych przypadkach w elementach 

cienkościennych wartości naprężeń 

z

, 

yz

, 

zx

 są na tyle 

małe,  że  można  je  pominąć  i  w  tych  przypadkach 
przyjąć 

płaski 

stan 

naprężenia. 

Rozpatrzmy 

prostokątny  arkusz  cienkiej  blachy  o  grubości  t 
obciążony  w  swej  płaszczyźnie  w  taki  sposób,  że  na 
ściankach wystąpią naprężenia 

x

, 

y

 oraz 

xy 

(rys.6). 

 

 

Płaski stan naprężenia 

Płaski stan naprężenia 

Rys. 6. Płaski stan naprężenia; a) przekrój prostopadły do osi 

, b) przekrój prostopadły do osi  

x



x



x



y



y

y





1

a)

xy



xy



xy



xy



x



x



x



y



y

y



+/

2

1

b)

xy



xy



xy



xy



 

 

Płaski stan naprężenia 

Płaski stan naprężenia 

Rozpatrzymy  lewą,  odciętą  tym  przekrojem  część 
arkusza,  a  działanie  lewej  (odrzuconej)  części 
zastąpimy naprężeniami 

 

i 



 (rys.7). 

Rys. 7. Część arkusza w równowadze; a) przekrój 

prostopadły do osi , b) przekrój prostopadły do osi  

x



x







y

y





a)





xy



xy



x





+



/2



x



y

y



+/

2

b)

2









xy



xy



 

 

Płaski stan naprężenia 

Płaski stan naprężenia 

Poszczególne przekroje tej części wyrażą się wzorami 

 
(19)

 

 
(18)

 

 
(20)

 

t

A 1











cos

1

cos

t

A

A

x











sin

1

sin

t

A

A

y





 

 

Płaski stan naprężenia 

Płaski stan naprężenia 

Z  warunków  równowagi  sił  względem  osi 

normalnej  i  stycznej  do  przekroju  A



  otrzymamy 

równania (po uwzględnieniu aksjomatu Boltzmanna): 

 
(22)

 

 
(21)

 

0

sin

cos

cos

sin

sin

sin

cos

cos













































t

t

t

t

t

F

xy

xy

y

x

0

cos

cos

sin

sin

cos

sin

sin

cos













































t

t

t

t

t

F

xy

xy

y

x

 

 

Płaski stan naprężenia 

Płaski stan naprężenia 

Po 

uporządkowaniu 

równań 

(21) 

i 

(22) 

otrzymamy: 

 
(23)

 



















cos

sin

2

sin

cos

2

2

xy

y

x

































2

2

sin

cos

cos

sin











xy

y

x

 
(24)

 

Dla przekroju A

+/2

 = A



 prostopadłego do osi  

(rys.5b)  i  rozpatrując  równowagę  części  arkusza 
(rys.6b) otrzymamy:





















cos

sin

2

cos

sin

2

2

2

xy

y

x









 
(25)

 

Naprężenie styczne 



+/2

 = 





 

 

 

Płaski stan naprężenia 

Płaski stan naprężenia 

Wszystkie  wzory  transformacyjne  dla  płaskiego 

stanu naprężenia można zapisać w postaci: 

 
(26)

 

 
(27)

 

 
(28)

 

















2

sin

sin

cos

2

2

xy

y

x

























2

sin

cos

sin

2

2

2

xy

y

x









2

2

cos

2

sin

2

































xy

y

x

 

 

Płaski stan naprężenia 

Płaski stan naprężenia 

wiedząc , że: 

 
(29)

 

 
(30)

 

 
(31)

 

2

2

cos

1

sin

2









i 

2

2

cos

1

cos

2









równania (26–28) przyjmą postać: 



















2

sin

2

cos

2

2

xy

y

x

y

x































2

sin

2

cos

2

2

2

xy

y

x

y

x













2

2

cos

2

sin

2

































xy

y

x

 

 

Koło Mohra 

Koło Mohra 

Wzory  transformacyjne  (29-31),  określające 

wartość  naprężeń  w  przekroju  określonym  kątem   
układu  znajdującego  się  w  płaskim  stanie  naprężeń, 
dają się łatwo przedstawić wykreślnie. 

Rys. 8. Koło Mohra dla płaskiego stanu naprężeń 

 

 

Koło Mohra 

Koło Mohra 

Uzyskane 

wyniki 

można 

odwzorować 

na 

płaszczyźnie w układzie współrzędnych , przyjmując: 

x

A





0

y

B





0

xy

AC





xy

yx

BD











 

 

Koło Mohra 

Koło Mohra 

Aby  poprawnie  wykreślić  naprężenia  styczne 

należy  przyjąć  umowę  trygonometryczną  dotyczącą 
znaków  naprężeń.  Na  jej  podstawie  aksjomat 
Boltzmanna przyjmuje postać: 

xy

yx









Środek M koła Mohra: 









y

x

B

M

M













2

1

0

0

2

1

0

 
(32)

 

 
(33)

 

 

 

Koło Mohra 

Koło Mohra 

Na osi poziomej promień r

M

 wyznaczają punkty E oraz 

F: 

ponieważ 

 
(35)

 

 
(34)

 

Promienie
m 

MD

MC

r

M





kreślimy 

koło, 

przy 

czym

można 
zauważyć:





2

2

2

2

4

2

1

xy

y

x

M

AC

MA

r

















2

y

x

MA









M

r

M

E



0

0

 
(36)

 

M

r

M

F



0

0

 

 

Koło Mohra 

Koło Mohra 

Odcinek 

  wyznacza  największe,  a  odcinek   

najmniejsze  naprężenia  normalne.  W  punktach  E  i  F 

koło  Mohra  przecina  oś  naprężeń  normalnych  . 

Oznacza to, że naprężenie styczne  jest równe zeru. 

E

0

F

0

 

 

Koło Mohra 

Koło Mohra 

 
(38)

 

 
(37)

 

Podstawiając  do  wzorów  (35)  i  (36)  zależność  (34) 
otrzymamy  wzory  określające 

wartości  ekstremalne 

naprężeń normalnych 

nazywane również

 naprężeniami 

głównymi 

(

1

 i 

2

): 





2

2

1

4

2

1

2

0

xy

y

x

y

x

E





























2

2

2

4

2

1

2

0

xy

y

x

y

x

F

























 

 

Kierunki naprężeń głównych 

Kierunki naprężeń głównych 

Kierunki  naprężeń  głównych  (ekstremalnych) 

można  wyznaczyć  przyrównując  do  zera  pochodną  



 

względem : 

 
(40)

 

 
(39)

 





0

sin

cos

2

cos

sin

2

sin

cos

2

0

0

2

0

0

0

0





































xy

y

x

d

d

a więc: 





0

2

cos

2

2

sin

0

0



















xy

y

x

 

 

Kierunki naprężeń głównych 

Kierunki naprężeń głównych 

Przekrój,  w  którym  wystąpią  naprężenia  główne 

wyznaczymy  określając  kąt  

0

,  czyli  kąt  transformacji 

głównej z zależności (40): 

 
(42)

 

 
(41)

 

więc: 





0

0

2

sin

2

cos

2











y

x

xy





y

x

xy

tg



















2

2

cos

2

sin

2

0

0

0

 

 

Kierunki naprężeń głównych 

Kierunki naprężeń głównych 

Przekształcając wzór (31)  

otrzymamy: 

 
(44)

 

 
(43)

 

Porównując wzory (40) oraz (43) 

2

2

cos

2

sin

2

































xy

y

x























2

2

cos

2

2

sin

0

0











xy

y

x





0

2

cos

2

2

sin

0

0



















xy

y

x























2

2

cos

2

2

sin

0

0











xy

y

x

 
ora
z 

można zauważyć że: 

0

0







 

 

Kierunki naprężeń głównych 

Kierunki naprężeń głównych 

W  przekroju,  w  którym  występują  normalne 

naprężenia  główne  to  naprężenia  styczne  są  równe 
zeru.  Potwierdza  to  wnioski  wyprowadzone  z  analizy 
koła Mohra. 

 
(45)

 

Kierunki 

ekstremalnych 

wartości 

naprężeń 

stycznych określone są z warunku: 









0

2

sin

2

2

cos

0

0



























xy

y

x

d

d

 

 

 
(47)

 

Mnożąc równanie (42) przez (46) otrzymamy: 

Kierunki naprężeń głównych 

Kierunki naprężeń głównych 

Kąt  

0

  został  wprowadzony  dla  odróżnienia  od 

kąta 

0

: 

 
(46)

 

xy

y

x

tg









2

2

0







y

x

xy

tg



















2

2

cos

2

sin

2

0

0

0

xy

y

x

tg









2

2

0







 

1

2

2

0

0









tg

tg

 

 

 
(49)

 

Kierunki 

ekstremalnych 

wartości 

naprężeń 

stycznych  zawierają  kąty  /4  z  kierunkami  głównymi 
naprężeń  normalnych.  Wartość  

ekstr

  otrzymamy  z 

zależności: 

Kierunki naprężeń głównych 

Kierunki naprężeń głównych 

stąd otrzymamy: 

 
(48)

 

4

0

0















2

2

4

2

1

xy

y

x

ekstr















Wartość  ta  równa  jest  co  do  modułu  promieniowi  koła 
Mohra r

M

: 





2

1

2

1











ekstr

 
(50)

 

 

 

Koło  Mohra  jest  wykreślnym  odwzorowaniem 

wszystkich  stanów  naprężenia  w  otoczeniu  danego 
punktu.  Z  koła  Mohra  możemy  odczytać  bezpośrednio 
widoczne  właściwości  płaskiego  stanu  naprężenia, 
czyli:

•

  Istnieją tylko dwa przekroje, w których występują 

tylko naprężenia normalne 



 = 

1

, 

+/2

 = 

2

 oraz 



 

=  0.  Przekroje  te  prostopadłe  względem  siebie 
nazywamy 

przekrojami  głównymi

,  a  naprężenia 

normalne  w  tych  przekrojach  

1

  i  

2

 

naprężeniami 

głównymi.

 

 

•

  Naprężenia  główne  (

1

,  

2

)  są  ekstremalnymi 

wartościami  naprężenia  



  i  zawsze  jest  spełniona 

nierówność 

2

  



  

1

, jeśli 

1

 > 

2

.

•

  Ekstremalne naprężenia styczne ekstr występują 

w  przekrojach  obróconych  względem  przekrojów 

głównych  o  kąt      /4.  Ich  bezwzględna  wartość 
jest  ta  sama  i  wynosi  ,  a  więc  równa  się  połowie 

różnicy naprężeń głównych 

 

 

Uproszczona analiza naprężeń

Uproszczona analiza naprężeń

 

 

w przestrzennym stanie 

w przestrzennym stanie 

napięcia 

napięcia 

Przestrzenny  stan  napięcia  możemy  otrzymać, 

jeżeli do układu płaskiego, rozciąganego naprężeniami 
głównymi 

1

, 

2

 dodamy naprężenia rozciągające 

3

. 



2

3

2

1



1



1



2



3



3

Rys. 9. Naprężenia główne w trójwymiarowym stanie 

naprężeń 

 

 

Uproszczona analiza naprężeń

Uproszczona analiza naprężeń

 

 

w przestrzennym stanie 

w przestrzennym stanie 

napięcia 

napięcia 

Wyznaczmy naprężenia w przekroju abcd równoległym 
do osi 1 (rys.10) 

Rys. 10. Naprężenia w przekroju równoległym do kierunku 

naprężenia 

1

; a) naprężenia w przekroju abcd, b) koło 

Mohra 

a)

b)

 

 

Uproszczona analiza naprężeń

Uproszczona analiza naprężeń

 

 

w przestrzennym stanie 

w przestrzennym stanie 

napięcia 

napięcia 

Naprężenie 

1

 nie wpływa na wartość naprężeń 

’

 

i  

’

,  które  określa  punkt  N

’

  na  kole  Mohra 

narysowanego dla naprężeń głównych 

2

 i 

3

. 

Naprężenie  

’

  jest  ujemne  i  dlatego  na  rys.10b  jego 

zwrot jest zgodny z ujemnym zwrotem osi .

Podobnie  postępujemy  dla  przekrojów  efgh  oraz 

ijkl równoległych odpowiednio do osi 2 i 3, otrzymując 
punkty N

”

 i N

”’

 określające naprężenia 

”

, 

”

 oraz 

”’

, 

”’

 

w tych przekrojach.

 

 

Uproszczona analiza naprężeń

Uproszczona analiza naprężeń

 

 

w przestrzennym stanie 

w przestrzennym stanie 

napięcia 

napięcia 

Rys. 11. Naprężenia w przekroju równoległym do kierunku 

naprężenia 

2

; a) naprężenia w przekroju efgh, b) koło 

Mohra 

a
)

b
)

 

 

Uproszczona analiza naprężeń

Uproszczona analiza naprężeń

 

 

w przestrzennym stanie 

w przestrzennym stanie 

napięcia 

napięcia 

Rys. 12. Naprężenia w przekroju równoległym do kierunku 

naprężenia 

3

; a) naprężenia w przekroju ijkl, b) koło Mohra 

a
)

b
)

 

 

Uproszczona analiza naprężeń

Uproszczona analiza naprężeń

 

 

w przestrzennym stanie 

w przestrzennym stanie 

napięcia 

napięcia 

Rys. 13. Koło Mohra dla trójosiowego stanu naprężenia 

Przenosząc  te  trzy  koła  Mohra  na  jeden  wykres 

mamy  obraz,  który  w  analizie  trójwymiarowego  stanu 
naprężenia  spełnia  podobną  rolę  jak  pojedyncze  koło 
Mohra dla stanu płaskiego. 

 

 

Uproszczona analiza naprężeń

Uproszczona analiza naprężeń

 

 

w przestrzennym stanie 

w przestrzennym stanie 

napięcia 

napięcia 

Rys. 14. Naprężenia w przekrojach ACH nachylonym do osi 

1, 2, 3 

Naprężenia  

N

  i  

N

  w  przekroju  ACH  (rys.14) 

nachylonym  do  wszystkich  osi  1,  2,  3,  reprezentuje 
punkt N leżący w polu zakreskowanym (rys. 13). 

 

 

Uproszczona analiza naprężeń

Uproszczona analiza naprężeń

 

 

w przestrzennym stanie 

w przestrzennym stanie 

napięcia 

napięcia 

Maksymalne  naprężenie  styczne  ma  wartość 

równą  promieniowi  największego  koła  Mohra  i  dla 
przypadku 

1

 >

2

 > 

3

 jego moduł wynosi: 

2

3

1

max











 
(51)

 

 

 

Przykład 1.

 

Dany  jest  płaski  stan  naprężenia:  

x

,  

y

,  

xy

,  

yx

 

(rys.  1.1).  Wyznaczyć  naprężenia:  



,  



,  



,  



,  jeśli 

układ  osi  ,    jest  obrócony  o  kąt    względem  układu 
osi x,y. 

x



x



x



y



y

y







xy



xy



yx



yx



Rys. 1.1. Element w płaskim stanie naprężenia 

 

 

1.

Wyznaczenie  naprężeń  w  układzie  osi  ,    za 

pomocą koła Mohra.

Odwzorujemy  zadany  stan  naprężenia  na  kole 

Mohra (rys.1.2) przyjmując

     ,

      ,         ,  

(zgodnie  z  trygonometryczna  umową  o 

znakach). Narysujmy prostą G, M, H obróconą o kąt 2 
względem prostej C, M, D. 

Rys. 1.1. Element w płaskim stanie naprężenia 

x

A





0

y

B





0

xy

AC





xy

yx

BD











 

 

Rys. 1.2. Element w płaskim stanie naprężenia 

 

 

Rzutując punkty G i H na osie  i  otrzymamy: 







K

0







L

0









GK



















HL

Jeżeli obrócimy trójkąty CMA i DMB względem punktu 
M o kąt 2, to otrzymamy trójkąty GMA’ i HMB’. 

 

 

Z analizy koła Mohra wynika, że: 









2

sin

'

2

cos

'

0

0

GA

MA

M

K

















2

sin

'

2

cos

'

0

0

HB

MB

M

L



















2

cos

'

2

sin

'

GA

MA

GK



















2

cos

'

2

sin

'

HB

MB

HL







 

 

Uwzględniając,  że     

oraz 

2

'

'

y

x

MA

MB

MA

MA















xy

BD

HB

AC

GA











'

'

Z tego wynika, że:  



















2

sin

2

cos

2

2

xy

y

x

y

x





























2

sin

2

cos

2

2

xy

y

x

y

x



























2

cos

2

sin

2

xy

y

x

























2

cos

2

sin

2

xy

y

x







 

 

2. 

Wyznaczenie 

naprężeń 

za 

pomocą 

wzorów 

transformacyjnych 

jeśli 

kąt 

 = /2.  Zgodnie  z 

matematyczną umową o znakach 

xy

 = 

yx

, a więc: 

y

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

























































sin

cos

2

2

2

sin

2

cos

2

2

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

























































sin

cos

2

2

2

sin

2

cos

2

2

























































y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

cos

sin

2

2

cos

2

sin

2