Hipotezy wytężeniowe

Prawo Hooke’a

Moduł Younga

Wykres wytrzymałościowy

Proste stany naprężenia

Michał Knioła

Wydłużenie: l’ – l = λ

Odkształcenie wzdłużne: ε

x

= λ / l

Odkształcenie poprzeczne

ε

y

= ε

z

=

Do wyznaczenia wydłużeń w zależności od wartości obciążenia
konieczne jest ustalenie fizycznego prawa dotyczącego związku
między odkształceniami i naprężeniami.

Robert Hooke (1672)





*





E [Pa] – moduł Younga, moduł sprężystości podłużnej

Uogólnione prawo Hooke’a

Powyższe wzory wyrażają uogólnione prawo Hooke’a dla trójosiowego stanu
naprężenia w materiale izotropowym. Dla płaskiego stanu naprężenia gdy σ

z

= 0,

τ

yz

= 0, τ

xz

= 0, zależności między składowymi stanu naprężenia i odkształcenia

wyrażają się następująco:

Wykres wytrzymałościowy

•

Umowna granica plastyczności określa się tylko dla materiałów nie mających wyraźnej

granicy plastyczności, jak np. stal wysokowęglowa i żeliwo. Określa się ją jako wartość

naprężenia rozciągającego, które wywołuje w próbce wydłużenia trwałe wynoszące 0,2%

pierwotnej długości pomiarowej próbki.

•

Wytrzymałość na rozciąganie – naprężenie rozciągające, przy którym siła obciążająca

uzyskuje maksymalna wartość.

•

Naprężenia rozrywające – naprężenie występujące w przekroju poprzecznym próbki w

miejscu jej przewężenia, w chwili jej zerwania.

•

Wyraźna granica plastyczności występuje na wykresach rozciągania materiałów takich, jak

np. stal niskowęglowa. Jest to naprężenie rozciągające, po osiągnięciu którego następuje

wyraźny wzrost rozciąganej próbki bez wzrostu obciążenia.

•

Górna granica plastyczności – naprężenie rozciągające, odpowiadające pierwszemu szczytowi

obciążenia siłą rozciągającą, po której następuje jej spadek.

•

Dolna granica plastyczności – naprężenie rozciągające odpowiadające najmniejszej wartości

siły, po której następuje ciągły wzrost siły.

•

Umowna granica sprężystości – naprężenia przy którym wydłużenie plastyczne osiąga

wartość 0,02%.

•

Granica proporcjonalności to maksymalne naprężenie, przy którym zachodzące odkształcenie

jest proporcjonalne do wywołującego je naprężenia (granica stosowalności prawa Hooke’a).

Krzywa 1 – stal węglowa w stanie surowym

Krzywa 2 – stal węglowa w stanie zahartowanym
i odpuszczonym

Krzywa 3 – stal węglowa w stanie zahartowanym

Proste stany naprężenia

Jednoosiowe stan naprężenia

Jeżeli dwa z naprężeń głównych są równe zero to stan naprężenia jest jednoosiowy.

Jednoosiowe rozciąganie: σ

1

> 0, σ

2

= 0, σ

3

= 0

Jednoosiowe ściskanie: σ

1

< 0, σ

2

= 0, σ

3

= 0

Płaski stan naprężenia

Jeżeli jedno z naprężeń głównych równe jest zero to stan naprężenia nazywa się płaskim.

Płaskie rozciąganie: σ

1

> 0, σ

2

> 0, σ

3

= 0

Płaskie ściskanie: σ

1

< 0, σ

2

< 0, σ

3

= 0

Czyste ścinanie

Przekrój, w którym wystąpią tylko naprężenia ścinające - stan czystego ścinania.
Można to uzyskać przez rozciąganie i ściskanie naprężeniami równymi co do bezwzględnej
wartości, działającymi w dwóch wzajemnie prostopadłych kierunkach.
Jeżeli rozpatrzymy przekrój nachylony pod kątem 45° do kierunku 1, zobaczymy że na
żadnej ściance elementarnej kostki ABCD (o grubości jednostkowej) nie działają
naprężenia normalne, a tylko naprężenia styczne, czyli mamy do czynienia z czystym
ścinaniem

Hipotezy wytężeniowe

Hipoteza największego rozciągania

Galileusz, Leibnitz

Miarą wytężenia materiału jest największe naprężenie rozciągające

Wytężenie – zmiany w stanie fizycznym materiału wywołane
obciążeniem, prowadzące do trwałych odkształceń lub utraty
spójności

Hipoteza niezgodna z doświadczeniem – nie stosuje się

Hipoteza największego naprężenia normalnego

σ

zc

≤ σ

1

≤ σ

zr

σ

zc

≤ σ

2

≤ σ

zr

σ

zc

≤ σ

3

≤ σ

zr

Dla ścinania σ

2

= -σ

1

Doświadczenie (materiały sprężysto – plastyczne)

hipoteza

Hipoteza niezgodna z doświadczeniem – nie stosuje się

Hipoteza odkształceń właściwych

Miarą wytężenia materiału jest największe odkształcenie właściwe

Warunki zachowania wytrzymałości

Hipoteza niezgodna z doświadczeniem – nie stosuje się

Hipoteza największych naprężeń stycznych (tau max)

Miarą wytężenia materiału jest największe naprężenie styczne.

Największe naprężenie styczne w dowolnym stanie naprężenia

.

w prostym rozciąganiu

Dowolny stan naprężenia

Płaski stan naprężenia (σ3 = 0)

Koło Mohra

Stosowane dla materiałów o identycznej wytrzymałości na rozciąganie i ściskanie.

Doświadczenia przeprowadzone dla materiałów plastycznych potwierdzają tę hipotezę.

σ

zc

= -σ

zr

Kontur graniczny
w układzie naprężeń
głównych σ1, σ2

Gdy płaski stan naprężenia określony jest składowymi σ

x,

σ

y,

τ

xy,

naprężenia główne wyznaczamy z zależności:

Hipoteza Hubera Misesa Hencky’ego

Miarą wytężenia materiału jest energia odkształcenia postaciowego

Energia odkształcenia postaciowego w złożonym stanie naprężenia

w prostym rozciąganiu

Porównanie konturów granicznych hipotezy HMH oraz
tau max

HMH

tau max

Zastosowanie hipotez wytężeniowych

Liczne wyniki doświadczalne pokazują, że hipotezy energii
odkształcenia postaciowego i największego naprężenia stycznego
pozwalają na określenie z dostateczną dokładnością granicznych
stanów naprężenia dla materiałów metalicznych (głównie stal
węglowa).

Stosowanie hipotez HMH oraz tau max zarówno do stanów
sprężystych jak i plastycznych uzasadnia brak stałych sprężystych we
wzorach na naprężenia zredukowane.

Według hipotez HMH i tau max przy równomiernym trójosiowym
rozciąganiu wytrzymałość jest nieograniczona – niezgodne
z doświadczeniem.

literatura

1. Jakubowicz, Orłoś „Wytrzymałość materiałów” Wydawnictwa naukowo-techniczne,

Warszawa 1978,

2. Pietrzakowski M. wykład: wytrzymałość materiałów 2,
2. http://pl.wikipedia.org/