WM2_10/1

INFORMACJA!

• Udostępniane materiały pomocnicze do nauki

przedmiotu Wytrzymałość Materiałów są

przeznaczone w pierwszym rzędzie dla wykładowców.

Dla właściwego ich wykorzystania konieczny jest

komentarz osoby rozumiejącej treści zawarte w

prezentacjach.

• Dla studentów jest to tylko materiał uzupełniający do

studiów w bezpośrednim kontakcie z prowadzącymi,

a także ułatwiający zrozumienie treści podręczników.

• Przedstawiana wersja jest pierwszą edycją wykładów

przeprowadzonych w roku ak. 2009/10 i wymagać

może poprawek i uzupełnień. Pobierający te

materiały proszeni są o przesyłanie swoich uwag na

adres e-mailowy autora: [e-mail].

HIPOTEZY WYTĘŻENIOWE

WM2_10/3

Hipotezy wytężeniowe

Znajomość stanu naprężenia i deformacji w każdym punkcie konstrukcji

(naprężenia, odkształcenia i przemieszczenia) jest podstawą do wymiarowania
jej elementów, t.j. przyjęcia wymiarów zapewniających bezpieczną i
funkcjonalną użyteczność całej konstrukcji.

W najprostszym przypadku wytrzymałościowym, tj.

w przypadku jednoosiowego

rozciągania

zadanie to jest stosunkowo proste, gdyż zarówno macierz naprężeń jak i

odkształceń są reprezentowane prze z jeden składnik ( lub ), a
przemieszczenie w kierunku osi pręta jest równomiernie rozłożone na jego długości.

1



1



Łatwo jest również przeprowadzić

doświadczenie w celu wyznaczenia
charakterystyk materiałowych:
modułu Younga, współczynnika
Poissona, granicy sprężystości,
wytrzymałości doraźnej i ustalicć
wielkość dopuszczalnego
naprężenia eksploatacyjnego.



1



1

arctgE

R

H

R

m



ekspl

<<R

m



ekspl

<R

H



ekspl

=



1

=R

H

/

s



ekspl

s

-1

współczynnik
bezpieczeństwa

?

WM2_10/4

Hipotezy wytężeniowe

W przypadkach bardziej złożonych, w których występuje więcej niż jedna

składowa stanu naprężenia (np. w przypadku zginania poprzecznego) pojawia
się pytanie w jaki sposób określić stan niebezpieczny (w przypadku
wymiarowania w zakresie sprężystym – granicę stosowalności prawa Hooke’a).



zx



zx



xz



xz



x



x



x

z

x



1



2



2



1

1

2

z

x



2



1

Czy musza być tu spełnione dwa warunki:



x

<



H



x

<



H

gdzie



H

i



H

byłyby niezależnymi granicami

sprężystości na rozciąganie i na ściskanie?

Przejście do układu naprężeń głównych również
nie wyjaśnia tej sprawy, gdyż np. suma obu
naprężeń głównych może dawać wektor
naprężenia o module większym niż R

H

…



1



2

p



|

1

2

Potrzebne jest więc przyjęcie HIPOTEZY,

określającej co decyduje o osiągnięciu stanu

niebezpiecznego

WM2_10/5

Hipotezy wytężeniowe

W najogólniejszym przypadku stanu naprężenia gdy wszystkie składowe stanu

naprężenia są nie-zerowe (nie-zerowe są wszystkie trzy naprężenia główne)
wytężeniem można nazwa pewną funkcję w przestrzeni 9-wymiarowej przestrzeni
składowych macierzy naprężeń (lub w 3-wymiaorwej przestrzeni naprężeń głównych)

)

(

)

(

ij

ij

f

F

W









niebezp

W

W jednoosiowym stanie naprężenia:

)

(

0

0



F

W 

Zażądamy, aby wytężenie w danym stanie przestrzennym było
takie same jak w stanie jednoosiowym:

)

(

)

(

0





F

F

ij



Rozwiązanie tego równania ze względu na



0

:

)

(

0

ij









nazywamy naprężeniem zastępczym wg. przyjętej hipotezy, określającej
postać funkcji F a więc i funkcji



WM2_10/6

Hipotezy – logika

rozumowania

2

3

2

2

2

1

2













 p

W







2

2

1

,

,







f

2

0

0





W

N

R









0

2

3

2

2

2

1









1

0

0







N

N

R

R



Niech miarą
wytężenia będzie:

TAKA HIPOTEZA NIE JEST
ZNANA

ALE ISTNIEJE BARDZO DO NIEJ „PODOBNA”





3

2

1

,

,

max









W

m

JEST TO HIPOTEZA GALILEUSZA-CLEBSCHA-RANKINE’A

Dla tej hipotezy funkcja f jest nieanalityczna (nieciągłości pochodnych na
krawędziach)

N

R

0

W

W 

p

m

W





1



2



3



N

R

N

R

Stosunek:

określa „odległość” od stanu
niebezpiecznego.

wektor, którego składowymi są
naprężenia główne

p



Tę odległośc możemy interpretować
jako „wytężenie” materiału w danym
punkcie.

WM2_10/7

N

R



1



HIPOTEZA GALILEUSZA-CLEBSCHA-
RANKINE’A





3

2

1

,

,

max









W

m

N

R



2



N

R



3



N

N

R

R







1



N

N

R

R







2



N

N

R

R







3



N

R



N

R

N

R



N

R



N

R

N

R

1



2



3



Widać, że jest to materiał o takich
samych własnościach
wytrzymałościowych we wszystkich
kierunkach.

Ponieważ określenie materiał
izotropowy jest zarezerwowane dla
odkształcalności (w zakresie
sprężystym: prawo Hooke’a ma tylko
dwie niezależne stałe materiałowe)
musimy tu użyć bardziej precyzyjnego
określenia: „materiał izotropowy ze
względu na wytrzymałość”

WM2_10/8

N

R



1



HIPOTEZA GALILEUSZA-CLEBSCHA-
RANKINE’A





3

2

1

,

,

max









W

m

N

R



2



N

R



3



N

N

R

R







1



N

N

R

R







2



N

N

R

R







3



N

R



N

R

N

R



N

R



N

R

N

R

1



2



3



Materiał o własnościach wytrzymałościowych
odpowiadających tej hipotezie można nazwać
nie tylko izotropowym (wartości naprężeń
niebezpiecznych są takie same dla każdego
kierunku) ale i izonomicznym (wartość
naprężenia niebezpiecznego jest taka sama przy
rozciąganiu jak i przy ściskaniu).

WM2_10/9

HIPOTEZA GALILEUSZA-CLEBSCHA-
RANKINE’A

1



1



1

1

N

R

1



N

R

2



Wytężenie 100%

Wytężenie 80%

Wytężenie 60%

Wytężenie 40%

Wytężenie 0%

1



1



1

N

R

1



N

R

2



1

WM2_10/10

HIPOTEZA GALILEUSZA-CLEBSCHA-
RANKINE’A

sc

N

R

1



2



r

N

R

r

N

R

sc

N

R

Materiał o cechach
wytrzymałościowych:
Izotropowych (takich samych
w obu kierunkach)
Iznomicznych (własności przy
rozciąganiu takie same jak przy
ściskaniu)

Materiał o cechach
wytrzymałościowych:
Izotropowych (takich
samych w obu kierunkach)
An-iznomicznych
(własności przy rozciąganiu
inne niż jak przy ściskaniu)

sc

N

r

N

R

R 

sc

N

r

N

R

R 

Materiał niewrażliwy na ściskania.
Odpowiada to hipotezie
wytężeniowej GALILEUSZA:





3

2

1

,

,

max









W

m

gdzie



a

a

gdy

a>0

0

gdy

a<0

WM2_10/11

HIPOTEZA COULOMBA-TRESCI-GUESTA

sc

N

R

1



2



r

N

R

r

N

R

sc

N

R

r

N

R



1



r

N

R



2















1

2





















0

0

T

Jest to przypadek
czystego ścinania – np.
skręcanie.

Jednoosiowe
rozciąganie

Wiele materiałów
wykazuje wrażliwość
właśnie na ściananie

Ten sześciobok przestawia
hipotezę Tresci-Guesta, wg.
której miarą wytężenia materiału
jest największe naprężenie
styczne





1

3

3

2

2

1

0

,

,

max



























3

2

1

,

,

max









W

m

W jednoosiowym stanie naprężenia:















2

max

0

o

W

m























2

,

2

,

2

max

1

3

3

2

2

1













W

m

WM2_10/12

HIPOTEZA HUBERA-MISESA-HENCKY’EGO

N

R

1



2



N

R

N

R

N

R





D

D

m

f

W

2

1







W jednoosiowym stanie naprężenia:

Nieznaczną z punktu widzenia ilościowego, ale znaczącą
poprawkę do hipotezy Tresci-Guesta wniosła hipoteza
Hubera-Misesa-Hencky’ego

Wg tej hipotezy o wytężeniu decyduje
wielkość zgromadzonej energii
odkształcenia postaciowego:









A

A

D

D

v

f

2

1

2

1















Po wykorzystaniu prawa Hooke’a
można ją wyrazić przez naprężenia:







 

 







2

1

3

2

3

2

2

2

1

2

6

1

3

4

1





































G

G

m

ij

ij

f

2

0

0

2

6

1



G

f







 

 



2

1

3

2

3

2

2

2

1

0

2

1



























W przestrzeni naprężeń głównych jest to walec o osi równo nachylonych do osi
układu. Jego przecięciem z płaszczyzną jest elipsa pokazana rysunku.

0

3





WM2_10/13

ZESTAWIENIE OMÓWIONYCH HIPOTEZ

N

R

1



2



N

R

N

R

N

R

N

R

1



2



N

R

N

R

N

R

N

R

1



2



N

R

N

R

N

R

Hipoteza

Miara
wytężenia

Obraz 3D

Obraz 2D

GCR

CTG

HMH

Największe .

napr.

normalne

Największe

napr.

styczne

Energia odkszt.

postaciowego

Sześcian o
boku 2R

Graniastosłup o
osi równo
nachylonej do
osi układu

Walec o osi
równo nachylonej
do osi układu

Naprężeni
e
zastępcze
w 2D

2

1

0

,

max(









2

1

0











2

1

2

2

2

1

0

















Naprężenie
dla belek





2

2

0

4

2

1

xy

x

x















2

2

0

4

xy

x











2

2

0

3

xy

x









