WM2_10/1

INFORMACJA!

• Udostępniane materiały pomocnicze do nauki 

przedmiotu Wytrzymałość Materiałów są 

przeznaczone w pierwszym rzędzie dla wykładowców. 

Dla właściwego ich wykorzystania konieczny jest 

komentarz osoby rozumiejącej treści zawarte w 

prezentacjach.

• Dla studentów jest to tylko materiał uzupełniający do 

studiów w bezpośrednim kontakcie z prowadzącymi, 

a także ułatwiający zrozumienie treści podręczników.

• Przedstawiana wersja jest pierwszą edycją wykładów 

przeprowadzonych w roku ak. 2009/10 i wymagać 

może  poprawek i uzupełnień. Pobierający te 

materiały proszeni są o przesyłanie swoich uwag na 

adres e-mailowy autora: mc@limba.wil.pk.edu.pl. 

HIPOTEZY WYTĘŻENIOWE

WM2_10/3

Hipotezy wytężeniowe

Znajomość stanu naprężenia i deformacji w każdym punkcie konstrukcji 

(naprężenia, odkształcenia i przemieszczenia) jest podstawą do wymiarowania 
jej elementów, t.j. przyjęcia wymiarów zapewniających bezpieczną i 
funkcjonalną użyteczność całej konstrukcji.

W najprostszym przypadku wytrzymałościowym, tj. 

w przypadku jednoosiowego 

rozciągania

 zadanie to jest stosunkowo proste, gdyż zarówno macierz naprężeń jak i 

odkształceń są reprezentowane prze z jeden składnik (       lub      ), a 
przemieszczenie w kierunku osi pręta jest równomiernie rozłożone na jego długości.

1



1



Łatwo jest również przeprowadzić 

doświadczenie w celu wyznaczenia 
charakterystyk materiałowych: 
modułu Younga, współczynnika 
Poissona, granicy sprężystości, 
wytrzymałości doraźnej i ustalicć 
wielkość dopuszczalnego 
naprężenia eksploatacyjnego.



1



1

arctgE

R

H

 

R

m

 



ekspl

<<R

m

 



ekspl

<R

H

  



ekspl

 = 



1

 

=R

H

 /

s



ekspl

s

-1

współczynnik 
bezpieczeństwa

?

WM2_10/4

Hipotezy wytężeniowe

W przypadkach bardziej złożonych, w których występuje więcej niż jedna 

składowa stanu naprężenia (np. w przypadku zginania poprzecznego) pojawia 
się pytanie w jaki sposób określić stan niebezpieczny (w przypadku 
wymiarowania w zakresie sprężystym – granicę stosowalności prawa Hooke’a).



zx



zx



xz



xz



x



x



x

z

x



1



2



2



1

1

2

z

x



2



1

Czy musza być tu spełnione dwa warunki:



x

< 



H



x

< 



H

gdzie 



H

  i 



H

 byłyby niezależnymi granicami 

sprężystości na rozciąganie i na ściskanie?

Przejście do układu naprężeń głównych również 
nie wyjaśnia tej sprawy, gdyż np. suma obu 
naprężeń głównych może dawać wektor 
naprężenia o module większym niż R

H 

…



1



2

p



|

1

2

Potrzebne jest więc przyjęcie HIPOTEZY, 

określającej co decyduje o osiągnięciu stanu 

niebezpiecznego

WM2_10/5

Hipotezy wytężeniowe

W najogólniejszym przypadku stanu naprężenia gdy wszystkie składowe stanu 

naprężenia są nie-zerowe (nie-zerowe są wszystkie trzy naprężenia główne) 
wytężeniem można nazwa pewną funkcję w przestrzeni 9-wymiarowej przestrzeni 
składowych macierzy naprężeń  (lub  w 3-wymiaorwej przestrzeni naprężeń głównych)

)

(

)

(

ij

ij

f

F

W









niebezp

W

W jednoosiowym stanie naprężenia:

)

(

0

0



F

W 

Zażądamy, aby wytężenie w danym stanie przestrzennym było 
takie same jak w stanie jednoosiowym:

)

(

)

(

0





F

F

ij



Rozwiązanie tego równania ze względu na 



0

:

)

(

0

ij









nazywamy naprężeniem zastępczym  wg. przyjętej hipotezy, określającej 
postać funkcji F a więc i funkcji 



WM2_10/6

Hipotezy – logika 

rozumowania

2

3

2

2

2

1

2













 p

W







2

2

1

,

,







f

2

0

0





W

N

R









0

2

3

2

2

2

1









1

0

0







N

N

R

R



Niech miarą 
wytężenia będzie:

TAKA HIPOTEZA NIE JEST 
ZNANA

ALE ISTNIEJE BARDZO DO NIEJ „PODOBNA”





3

2

1

,

,

max









W

m

JEST TO HIPOTEZA GALILEUSZA-CLEBSCHA-RANKINE’A

Dla tej hipotezy funkcja f jest nieanalityczna (nieciągłości pochodnych na 
krawędziach)

N

R

0

W

W 

p

m

W





1



2



3



N

R

N

R

Stosunek:

określa „odległość” od stanu 
niebezpiecznego.

wektor, którego składowymi są 
naprężenia główne

p



Tę odległośc możemy interpretować 
jako „wytężenie” materiału w danym 
punkcie.

WM2_10/7

N

R



1



HIPOTEZA GALILEUSZA-CLEBSCHA-
RANKINE’A





3

2

1

,

,

max









W

m

N

R



2



N

R



3



N

N

R

R







1



N

N

R

R







2



N

N

R

R







3



N

R



N

R

N

R



N

R



N

R

N

R

1



2



3



Widać, że jest to materiał o takich 
samych własnościach 
wytrzymałościowych we wszystkich 
kierunkach.

Ponieważ określenie materiał 
izotropowy jest zarezerwowane dla 
odkształcalności (w zakresie 
sprężystym: prawo Hooke’a ma tylko 
dwie niezależne stałe materiałowe) 
musimy tu użyć bardziej precyzyjnego 
określenia: „materiał izotropowy ze 
względu na wytrzymałość”

WM2_10/8

N

R



1



HIPOTEZA GALILEUSZA-CLEBSCHA-
RANKINE’A





3

2

1

,

,

max









W

m

N

R



2



N

R



3



N

N

R

R







1



N

N

R

R







2



N

N

R

R







3



N

R



N

R

N

R



N

R



N

R

N

R

1



2



3



Materiał o własnościach wytrzymałościowych 
odpowiadających tej hipotezie można nazwać 
nie tylko izotropowym (wartości naprężeń 
niebezpiecznych są takie same dla każdego 
kierunku) ale i izonomicznym (wartość 
naprężenia niebezpiecznego jest taka sama przy 
rozciąganiu jak i przy ściskaniu).

WM2_10/9

HIPOTEZA GALILEUSZA-CLEBSCHA-
RANKINE’A

1



1



1

1

N

R

1



N

R

2



Wytężenie 100%

Wytężenie 80%

Wytężenie 60%

Wytężenie 40%

Wytężenie 0%

1



1



1

N

R

1



N

R

2



1

WM2_10/10

HIPOTEZA GALILEUSZA-CLEBSCHA-
RANKINE’A

sc

N

R

1



2



r

N

R

r

N

R

sc

N

R

Materiał o cechach 
wytrzymałościowych:
Izotropowych (takich samych 
w obu kierunkach)
Iznomicznych (własności przy 
rozciąganiu takie same jak przy 
ściskaniu)

Materiał o cechach 
wytrzymałościowych:
Izotropowych (takich 
samych w obu kierunkach)
An-iznomicznych 
(własności przy rozciąganiu 
inne niż jak przy ściskaniu)

sc

N

r

N

R

R 

sc

N

r

N

R

R 

Materiał niewrażliwy na ściskania.  
Odpowiada to hipotezie 
wytężeniowej GALILEUSZA:





3

2

1

,

,

max









W

m

gdzie

 



a

a

 

gdy 

a>0

 

0

 

gdy 

a<0

WM2_10/11

HIPOTEZA COULOMBA-TRESCI-GUESTA

sc

N

R

1



2



r

N

R

r

N

R

sc

N

R

r

N

R



1



r

N

R



2















1

2





















0

0

T

Jest to przypadek 
czystego ścinania – np. 
skręcanie.

Jednoosiowe 
rozciąganie

Wiele materiałów 
wykazuje wrażliwość 
właśnie na ściananie

Ten sześciobok przestawia 
hipotezę Tresci-Guesta, wg. 
której miarą wytężenia materiału 
jest największe naprężenie 
styczne





1

3

3

2

2

1

0

,

,

max



























3

2

1

,

,

max









W

m

W jednoosiowym stanie naprężenia:















2

max

0

o

W

m























2

,

2

,

2

max

1

3

3

2

2

1













W

m

WM2_10/12

HIPOTEZA HUBERA-MISESA-HENCKY’EGO

N

R

1



2



N

R

N

R

N

R





D

D

m

f

W

2

1







W jednoosiowym stanie naprężenia:

Nieznaczną z punktu widzenia ilościowego, ale znaczącą 
poprawkę do hipotezy Tresci-Guesta wniosła hipoteza 
Hubera-Misesa-Hencky’ego

Wg tej hipotezy o wytężeniu decyduje 
wielkość zgromadzonej energii 
odkształcenia postaciowego:









A

A

D

D

v

f

2

1

2

1















Po wykorzystaniu prawa Hooke’a 
można ją wyrazić przez naprężenia:







 

 







2

1

3

2

3

2

2

2

1

2

6

1

3

4

1





































G

G

m

ij

ij

f

2

0

0

2

6

1



G

f







 

 



2

1

3

2

3

2

2

2

1

0

2

1



























W przestrzeni naprężeń głównych jest to walec o osi równo nachylonych do osi 
układu. Jego przecięciem z płaszczyzną                jest elipsa pokazana rysunku.

0

3





WM2_10/13

ZESTAWIENIE OMÓWIONYCH HIPOTEZ

N

R

1



2



N

R

N

R

N

R

N

R

1



2



N

R

N

R

N

R

N

R

1



2



N

R

N

R

N

R

Hipoteza

Miara 
wytężenia

Obraz 3D

Obraz 2D

GCR

CTG

HMH

Największe . 

napr. 

normalne

Największe 

napr. 

styczne

Energia odkszt. 

postaciowego

Sześcian o 
boku 2R

Graniastosłup o 
osi równo 
nachylonej do 
osi układu

Walec o osi 
równo nachylonej 
do osi układu

Naprężeni
e 
zastępcze 
w 2D

2

1

0

,

max(









2

1

0











2

1

2

2

2

1

0

















Naprężenie 
dla belek





2

2

0

4

2

1

xy

x

x















2

2

0

4

xy

x











2

2

0

3

xy

x









