NAPĘD

ELEKTRYCZNY

Teresa Orłowska-Kowalska,

prof. dr hab. inż.

Zakład Napędów Elektrycznych

www.imne.pwr.wroc.pl/zne

godz. konsultacji: śr.11-13, pt.9-

11

WYKŁAD 3

Zagadnienia

szczegółowe związane

z równaniem ruchu

Moment bezwładności

i moment zamachowy

Równanie równowagi sił

działających na element

masy dm będzie miało

postać:

dF

r

dm

dv



Rys.1.18 Ilustracja pojęcia

momentu bezwładności:

dm- masa elementarna, dF-

elementarna siła

przyspieszająca masę dm

dt

dv

dm

dF

Moment bezwładności

i moment zamachowy

Elementarny moment dynamiczny:

dt

d

dm

r

dt

dv

dm

r

dM

d



*

*

2





Sumując elementarne momenty dla całej
masy m rozpatrywanej bryły, otrzymuje
się:

M

d

dt

r dm J

d

dt

d

m











2

0

Moment bezwładności

i moment zamachowy

Stąd wynika, że moment

bezwładności J

opisany jest wzorem:

J

r dm

m





2

0

Jeśli przyjąć, że ciało o masie

zredukowanej m

b

wiruje

względem osi przechodzącej

przez punkt ciężkości, to

moment bezwładności jest

równy iloczynowi masy ciała i

kwadratu zastępczego

promienia bezwładności masy

r

b

[kg m

2

] lub [Nm s

2

]:

J

m r

b

b

 

2

Moment bezwładności

i moment zamachowy

W katalogach jest podawana niekiedy wartość

tzw. momentu zamachowego

(gdzie: g - przyspieszenie ziemskie [m/s

2

]):

 

GD

gm r

Jg

b

2

2

2

4





Jeśli GD

2

jest wyrażone w

[Nm

2

]:

Jeśli GD

2

jest wyrażone w [kG

m

2

],

to przelicznik będzie wynosił:

J

GD

g



2

4

J

GD



2

4

Moment bezwładności

i moment zamachowy

Jeśli prędkość jest wyrażona w obrotach na

minutę, to moment dynamiczny wyznacza się z

zależności

(przy czym: M

d

[Nm], GD

2

[Nm

2

], n [1/min]):

M

J

d

dt

GD

g

dn

dt

GD dn

dt

d











2

2

4 30

375

Zastępczy moment

bezwładności

Technicznie rozwiązania układów napędowych

zawierają zwykle przekładnie mechaniczne

zmieniające prędkość obrotową i

zmieniające ruch obrotowy na postępowy:

SE

G

V

g



b

i



 

2

i



 

1

J

s

M

e

, 

s

J

1

M

1

, 

1

J

2

M

2

, 

2

Rys.1.19
Mechanizm
z przekładnią i
zmianą ruchu
obrotowego na
postępowy

Zastępczy moment

bezwładności

Elementy maszyny roboczej, połączone z

silnikiem napędowym oraz między sobą za

pomocą przekładni mechanicznych mają

różne prędkości kątowe lub liniowe, różne

momenty oporowe.

Dlatego zarówno do obliczeń statycznych
(np. wyznaczenie mocy znamionowej silnika)

jak i dynamicznych (rozwiązywanie równania

ruchu), należy:

sprowadzić momenty oporowe

i momenty bezwładności poszczególnych

elementów układu na wał silnika.

Zastępczy moment

bezwładności

Przy wyznaczeniu zastępczego momentu

bezwładności korzysta się z zasady zachowania

energii, czyli, że:

całkowita energia kinetyczna układu zastępczego

musi być równa sumie energii kinetycznych

poszczególnych elementów układu rzeczywistego

.

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

2

2

g

G

s

s

s

z

k

v

m

J

J

J

J

E



















Zastępczy moment

bezwładności

a po przekształceniu:

 

2

2

2

1

2

2

1

1

1

1























s

g

G

s

z

v

m

i

i

J

i

J

J

J

1

1







s

i

2

1

2







i

gdzie

przełożenia

poszczególnych

przekładni:

Zastępczy moment

bezwładności

A więc ogólna zależność na zastępczy moment

bezwładności będzie miała postać:











































m

k

s

k

k

n

j

s

j

j

z

v

m

J

J

1

2

1

2

gdzie: - momenty bezwładności

elementów

wirujących z prędkością

kątową

(indeks j=1 dotyczy silnika

napędowego),

- masy elementów poruszających się

ruchem

postępowym z prędkością liniową

J

j

j



m

k

k

v

Zastępczy moment

bezwładności

Podobnie, zastępczy moment zamachowy

układu można wyrazić wzorem:

gdzie:











































m

k

s

k

k

n

j

s

j

j

z

v

G

GD

GD

1

2

1

2

2

2

4

G

m g

k

k

 

Zastępczy moment

oporowy

Zastępczy (zredukowany) moment oporowy na

wale silnika elektrycznego wyznacza się na

podstawie

zasady zachowania energii w stanie

ustalonym

, tzn.: przyjmuje się, że

moc

wydawana przez silnik napędowy równa jest

sumie

mocy

pobieranych

przez

poszczególne elementy maszyny roboczej,

powiększonej o straty w przekładniach.

SE

P

MR

 ,i

M

o

M

e



s



m

Rys.1.20 Schemat UN z przekładnią

jednostopniową

Zastępczy moment

oporowy

Zależność na moment oporowy zastępczy w

dwóch przypadkach:

1 - dla przypadku pracy silnikowej -

przepływ energii od silnika do maszyny

roboczej:

skąd zastępczy moment oporowy

sprowadzony do wału silnika będzie wynosił:

gdzie przełożenie przekładni:

P

M

M

e

e

s

o

m











M

M

M

i

oz

e

o









i

s

m







Zastępczy moment

oporowy

2 - dla przypadku pracy hamulcowej -

przepływ energii od maszyny roboczej do

silnika:

stąd:

P

M

M

e

e

s

o

m











M

M

M

i

oz

e

o







Zastępczy moment

oporowy

Jeżeli w układzie zastosowana jest przekładnia

k-stopniowa, to wypadkowa sprawność i

wypadkowe przełożenie przekładni są równe

odpowiednio:

  



  

  

1

2

1

2

k

k

i i i

i

Zastępczy moment

oporowy

W przypadku złożonego układu

napędowego (tzw. wielokrotnie

sprzężonego):

- przy podnoszeniu (praca silnikowa)

moc silnika będzie równa:

czyli ( - prędkość kątowa bębna

na rys.1.19):

b

g

s

e

s

v

G

M

M

M

P













2

1

2

1

2

2

1

1

1















2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

1

1

1

1

1

i

i

v

G

i

i

M

i

M

M

M

b

b

g

e

oz



























b



2

Zastępczy moment

oporowy

Podobnie

przy

opuszczaniu

(praca

hamulcowa silnika) będzie:

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

1

1

i

i

v

G

i

i

M

i

M

M

b

b

g

oz





















Dziękuję za uwagę