1
Obwody
elektryczne ze
sprężeniami
magnetycznymi
Zjawiska występujące w obwodzie
ze sprzężeniem magnetycznym cewek
prof. dr hab. inż. Tadeusz Niedziela
1
Obwody
elektryczne ze
sprężeniami
magnetycznymi
Zjawiska występujące w obwodzie
ze sprzężeniem magnetycznym cewek
prof. dr hab. inż. Tadeusz Niedziela
2
Wstęp
• Bardzo często w zastosowaniach technicznych nie
można pominąć sprzężenia cewek.
• Mamy wówczas do czynienia ze zjawiskiem
indukowania się w danym elemencie indukcyjnym
napięcia od zmiennego strumienia magnetycznego
wytworzonego w innym elemencie.
• Uwzględniamy wówczas
indukcyjność wzajemną
M
cewek definiowaną jako stosunek strumienia
wytworzonego w pierwszej cewce Ψ
12
i skojarzonego z
drugą cewką do prądu płynącego w pierwszej cewce I
1
.
3
Założenie
• Załużmy, że na wspólnym rdzeniu z materiału
nieferromagnetycznego są nawinięte dwie cewki.
• Każda z cewek zasilana jest ze źródła sinusoidalnego.
• Cewki są sprzężone magnetycznie.
4
Rys. 1. a) Dwie cewki sprzężone magnetycznie,
nawinięte na wspólnym rdzeniu: obwody sprzężone
5
Rys. 1. b) Dwie cewki sprzężone magnetycznie,
nawinięte na wspólnym rdzeniu:
schemat
zastępczy
6
Oznaczenia
Indukcyjność wzajemną M cewek
definiujemy jako
stosunek strumienia magnetycznego Ψ
12
wytworzonego w
cewce pierwszej i skojarzonego z cewką drugą do prądu I
1
płynącego w cewce pierwszej.
Strumień magnetyczny wytworzony w cewce 1 oznaczono
przez Φ
11
, a strumień magnetyczny wytworzony w cewce 2
oznaczono przez Φ
22
.
Strumień wytworzony w cewce 1 i obejmujący cewkę 2
oznaczono przez Φ
g1
, a strumień magnetyczny wytworzony
w cewce 2 i obejmujący cewkę 1 oznaczono przez Φ
g2
.
7
Całkowity strumień magnetyczny skojarzony z
cewką pierwszą:
(1)
a całkowity strumień magnetyczny skojarzony z
cewką drugą
(2)
21
11
2
11
1
1
)
(
g
N
12
22
1
22
2
2
)
(
g
N
8
Strumienie Ψ
11
oraz Ψ
22
decydują o powstaniu napięć
indukcji
własnej,
a strumienie Ψ
12
oraz Ψ
21
– o powstaniu
napięć
indukcji
wzajemnej,
przy czym
indukcyjności własne cewek
:
a
indukcyjność wzajemna
:
(3)
1
11
1
i
L
2
22
2
i
L
2
21
1
12
i
i
M
9
Równanie bilansu napięć chwilowych
każdego z obwodów
ma postać
(4)
dt
d
dt
d
i
R
dt
d
i
R
e
dt
d
dt
d
i
R
dt
d
i
R
e
12
22
2
2
2
2
2
2
21
11
1
1
1
1
1
1
10
a po uwzględnieniu zależności
(5)
dt
di
M
dt
di
L
i
R
e
dt
di
M
dt
di
L
i
R
e
1
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
2
21
1
12
i
i
M
11
W każdym obwodzie oprócz
spadku napięcia
na rezystancji
wystąpi
napięcie indukcji własnej
(6)
oraz
napięcie indukcji wzajemnej
(7)
dt
di
L
u
dt
di
L
u
L
L
2
2
2
1
1
1
dt
di
M
u
dt
di
M
u
M
M
2
2
1
1
12
a więc
(8)
1
2
2
2
2
1
1
1
M
L
R
M
L
R
u
u
u
e
u
u
u
e
13
Przy przebiegach sinusoidalnych wprowadzamy pojęcie
wartości skutecznej napięcia indukcji własnej
(9)
I przez analogię pojęcie
wartości skutecznej napięcia
indukcji wzajemnej
(10)
2
2
2
1
1
1
I
L
U
I
L
U
L
L
2
2
2
1
1
1
I
M
U
I
M
U
M
M
14
Analogicznie do pojęcia
reaktancji indukcyjnej
X
L1
= ωL
1
,
X
L2
= ωL
2
wprowadzimy pojęcie
reaktancji indukcji
wzajemnej
(11)
M
X
M
15
Równania (8) -
równanie bilansu napięć zespolonych
można przedstawić w postaci zespolonej:
(12)
1
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
I
jX
I
jX
I
R
E
I
jX
I
jX
I
R
E
M
L
M
L
16
Zaciski jednoimienne i ich
oznaczanie
17
Zaciski jednoimienne i ich oznaczanie
Rys. 2.
Zwroty strumieni magnetycznych
w cewkach nawiniętych
zgodnie
: a) przy
zgodnym zwrocie prądów względem
początków
uzwojeń cewek (1, 1’); b) przy
przeciwnym zwrocie prądów
względem
początków uzwojeń cewek (1, 1’);
a)
b)
18
O wzajemnym zwrocie strumieni magnetycznych
decydują dwa czynniki:
kierunek nawinięcia każdej z cewek
zwroty prądów w cewkach.
Jeśli zwroty prądów względem zacisków 1 i 1’ są
zgodne
(rys. 2a), to
strumienie indukcji własnej i
wzajemnej
też są
zgodne
.
Jeśli zwroty prądów względem zacisków 1 i 1’ są
przeciwne
(rys. 2b), to
strumienie indukcji własnej
i
wzajemnej też są
przeciwne
.
19
Rys. 3. Zwroty strumieni magnetycznych
w cewkach nawiniętych
przeciwnie
: a) przy
zgodnym zwrocie prądów
względem początków
uzwojeń cewek (1, 1’); b) przy
przeciwnym zwrocie prądów
względem
początków uzwojeń cewek (1, 1’);
a)
b)
20
Jeśli zwroty prądów względem zacisków 1 i 1’ są
zgodne
(rys. 3a), to strumienie indukcji własnej i
wzajemnej są
przeciwne
.
Jeśli zwroty prądów względem zacisków 1 i 1’ są
przeciwne
(rys. 3b), to strumienie indukcji własnej i
wzajemnej też są
zgodne
.
Przy
zgodnych zwrotach strumieni indukcji
własnej i wzajemnej
indukowane przez te strumienie
napięcia mają znaki zgodne
, natomiast przy
przeciwnych zwrotach tych strumieni
, również
znaki indukowanych napięć są przeciwne
.
Zwroty strumieni magnetycznych
w cewkach nawiniętych przeciwnie
21
Dwa zaciski należące do dwóch różnych cewek
sprzężonych magnetycznie nazywamy
zaciskami
jednoimiennymi
i
oznaczamy jednakowymi
wskaźnikami
, jeśli
przy jednakowym zwrocie
prądów
względem tych zacisków,
strumienie
magnetyczne indukcji
własnej i wzajemnej w każdej
cewce
mają jednakowe zwroty
.
Zaciski jednoimienne
22
Zaciski jednoimienne dwóch cewek sprzężonych
magnetycznie można wyznaczyć doświadczalnie.
Do wykonania doświadczenia potrzebny jest woltomierz
prądu stałego oraz źródło prądu stałego.
Jeżeli w chwili zamknięcia wyłącznikiem w obwodzie ze
źródłem napięcia, wskazówka woltomierza odchyli się
w stronę wskazań, to zaciskami jednoimiennymi
uzwojeń jest zacisk dołączony do bieguna dodatniego
źródła i zacisk dołączony do dodatniego zacisku
woltomierza.
23
Rys. 4. Wyznaczanie zacisków jednoimiennych drogą pomiarową
24
Połączenie szeregowe
elementów sprzężonych
magnetycznie
Można wyróżnić dwa sposoby
połączenia cewek:
1) połączenie zgodne
2) połączenie przeciwne
25
Rys. 5. Dwie cewki sprzężone połączone szeregowo: a) zgodnie; b)
przeciwnie
a)
b)
26
Przy połączeniu zgodnym (rys. 5a), prądy w obu
cewkach mają jednakowe zwroty względem
zacisków jednoimiennych.
W tym przypadku strumienie indukcji własnej i
wzajemnej w każdej cewce dodają się i napięcie indukcji
wzajemnej ma znak plus (+).
Napięcie na zaciskach cewki pierwszej
:
(13)
a
napięcie na zaciskach cewki drugiej
:
(14)
I
M
j
I
L
j
I
R
U
1
1
1
I
M
j
I
L
j
I
R
U
2
2
2
27
Napięcie na zaciskach układu cewek połączonych
szeregowo zgodnie
:
(15)
przy czym
(16)
I
Z
I
M
L
L
j
R
R
U
U
U
zg
)]
2
(
[
2
1
2
1
2
1
)
2
(
2
1
2
1
M
L
L
j
R
R
Z
zg
28
Napięcie na zaciskach układu cewek połączonych
szeregowo przeciwnie
:
(15)
przy czym
(16)
I
Z
I
M
L
L
j
R
R
U
U
U
zg
)]
2
(
[
2
1
2
1
2
1
)
2
(
2
1
2
1
M
L
L
j
R
R
Z
zg
29
DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ
30
Zasada działania
transformatora
31
Zasada działania transformatora
Przekładnią zwojową transformatora n
nazywamy
stosunek liczby zwojów uzwojenia pierwotnego N
1
do
liczby zwojów uzwojenia wtórnego N
2
, czyli:
2
1
N
N
n
32
Zasada działania transformatora
Do uzwojenia pierwotnego o liczbie zwojów N
1
dołączono źródło napięcia sinusoidalnego.
W uzwojeniu pierwotnym płynie prąd sinusoidalny o
wartości chwilowej i
1
.
W wyniku przepływu tego prądu w przestrzeni
otaczającej uzwojenie pierwotne, a więc w rdzeniu,
powstaje zmienny strumień magnetyczny Ф
11
o
zaznaczonym na rys. 6a zwrocie.
33
Zasada działania transformatora
Strumień główny
Ф
g1
mniejszy od strumienia
Ф
11
o
wartość strumienia rozproszenia Ф
s1
, kojarzy się z
uzwojeniem wtórnym o liczbie zwojów N
2
i indukuje w
tym uzwojeniu
napięcie indukcji wzajemnej
:
(24)
przy czym:
dt
d
u
M
12
1
2
12
g
N
34
Jeżeli do uzwojenia wtórnego dołączony jest odbiornik,
to pod wpływem zaindukowanego w tym uzwojeniu
napięcia popłynie prąd i
2
.
Zwrot prądu i
2
. wynika z reguły Lenza.
Prąd w uzwojeniu wtórnym i
2
musi mieć taki zwrot, aby
strumień magnetyczny wytworzony przez ten prąd miał
zwrot przeciwny do zwrotu strumienia magnetycznego
wytworzonego przez prąd pierwotny i
1
35
Z punktu widzenia charakteru prac
rozróżniamy:
•stan jałowy
prac transformatora, gdy jego zaciski
wtórne są rozwarte;
•stan zwarcia
transformatora, gdy jego zaciski wtórne są
połączone bezimpedancyjnie, tzn. zwarte;
•stan obciążenia
transformatora, gdy do jego zacisków
wtórnych jest dołączony odbiornik.
36
Transformatory powietrzne
Rys. 7. Schemat zastępczy transformatora powietrznego
dwuuzwojeniowego
37
Napiszemy
równanie bilansu napięć dla obwodu
pierwotnego i dla obwodu wtórnego
:
(25a),
(25b)
przy czym
(26)
2
0
1
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
0
I
Z
I
M
j
I
L
j
I
R
I
M
j
I
L
j
I
R
U
2
0
2
I
Z
U
38
Równanie (25) możemy zapisać w bardziej syntetycznej
postaci. Wprowadzimy następujące oznaczenia:
(27)
Po uwzględnieniu tych oznaczeń równania (25) przyjmą
postać:
(28a)
(28b)
M
j
Z
Z
L
j
R
Z
L
j
R
Z
M
0
2
2
22
1
1
11
1
2
22
2
1
11
1
0
I
Z
I
Z
I
Z
I
Z
U
M
M
39
Jeżeli z równania (28b) wyznaczymy prąd wtórny:
(29)
i podstawimy go do równania (28a) to otrzymamy:
(30)
Stąd:
(31)
1
22
2
I
Z
Z
I
M
1
22
2
11
1
22
2
1
11
1
I
Z
Z
Z
I
Z
Z
I
Z
U
M
M
22
2
11
1
1
Z
Z
Z
U
I
M
40
Rys. 8. Wykres wektorowy transformatora powietrznego
41
W stanie jałowym
zaciski wtórne są rozwarte, co
odpowiada I
2
= 0.
Równanie (25a) przybiera więc postać:
(32)
W obwodzie wtórnym powstaje napięcie indukcji
wzajemnej:
(33)
które jest jednocześnie napięciem na zaciskach wtórnych
1
1
1
1
1
I
L
j
I
R
U
1
2
I
M
j
U
42
W stanie zwarcia
zaciski wtórne są połączone
bezimpedancyjnie, co odpowiada U
2
= 0. Ponadto Z
0
= 0.
Równanie napięć obwodu pierwotnego ma taką samą
postać jak w stanie obciążenia:
(34)
a równanie napięć obwodu wtórnego przyjmie postać:
(35)
Jakościowo zmiany są więc niewielkie, jednak
w stanie
zwarcia zmieniają się wartości prądów i spadków
napięć
, co może wpłynąć niekorzystnie na pracę
transformatora i doprowadzić do jego uszkodzenia.
2
1
1
1
1
1
I
M
j
I
L
j
I
R
U
1
2
2
2
2
0
I
M
j
I
L
j
I
R
43
Równania i wykres wektorowy
transformatora
Rezystancję uzwojenia pierwotnego o liczbie zwojów N
1
oznaczono R
1
, a rezystancję uzwojenia wtórnego o liczbie
zwojów N
2
oznaczono przez R
2
Rys. 10. Schemat transformatora dwuuzwojeniowego
z rdzeniem ferromagnetycznym.
44
(41)
oraz
(45)
(46)
Fe
I
I
I
0
'
2
0
1
I
I
I
1
2
2
2
'
2
1
N
N
I
n
I
I
45
Bilans napięć
w obwodzie pierwotnym można
sformułować następująco: napięcie doprowadzone do
obwodu pierwotnego jest równoważone przez trzy
napięcia:
1. Napięcie powstające na rezystancji R
1
w wyniku
przepływu prądu I
0
, wynoszące R
1
I
0
.
2. Napięcie indukcji własnej od zmian strumienia
magnetycznego rozproszenia N
1
Φ
s1
=L
s1
I
0;
wynoszące
jωL
s1
I
0
.
46
3. Napięcie, zwane
napięciem magnesującym
, od zmian
strumienia magnetycznego głównego:
(42)
Bilans napięć w stanie jałowym ma więc postać:
(43)
g
N
j
U
1
1
1
0
1
0
1
1
U
I
L
j
I
R
U
s
47
Zmienny strumień magnetyczny Φ
g
indukuje napięcie nie
tylko w uzwojeniu pierwotnym, ale również w
uzwojeniu wtórnym:
(44)
W
uzwojeniu wtórnym
występują cztery napięcia:
1. Napięcie magnesujące U
μ2
określone wzorem (44).
2. Napięcie na rezystancji R2 wywołane przepływem
prądu I
2
, wynoszące R
2
I
2
.
3. Napięcie indukcji własnej od zmian strumienia
magnetycznego rozproszenia N
2
Φ
s2
=L
s2
I
2
.
g
N
j
U
2
2
48
4. Napięcie na impedancji obciążenia:
(47)
Ponieważ napięcie magnesujące U
μ2
ma charakter
napięcia źródłowego, zatem:
(48)
W warunkach obciążenia bilans napięć dla uzwojenia
pierwotnego ma postać:
(49)
Z zestawienia zależności (45) oraz (41) wynika, że prąd w
uzwojeniu pierwotnym:
(50)
g
N
j
U
2
2
2
0
2
I
Z
U
2
2
2
2
2
2
U
I
L
j
I
R
U
s
1
1
1
1
1
1
U
I
L
j
I
R
U
s
'
2
1
I
I
I
I
Fe
49
Rys. 11a. Transformator z rdzeniem ferromagnetycznym – wykres
wektorowy
50
Rys. 1b. Transformator z rdzeniem ferromagnetycznym – schemat
zastępczy
51
Dla transformatora wprowadza się pojęcie
sprawności
η
jako stosunek mocy czynnej P
2
pobranej przez odbiornik,
do mocy czynnej P
1
dostarczonej przez źródło dołączone
do obwodu pierwotnego, czyli:
(57)
1
2
P
P
52
Straty jałowe
ΔP
Fe
są równe stratom magnetycznym w
rdzeniu. Straty te nie zależą od prądu obciążenia, lecz jak
wiadomo są związane ze zjawiskiem histerezy
magnetycznej i prądów wirowych.
Straty obciążeniowe
ΔP
o
są to straty mocy czynnej na
rezystancjach uzwojeń. Ich wartość zależy od kwadratu
prądu płynącego w każdym z uzwojeń. Zatem moc czynna:
(58)
a więc sprawność:
(59)
o
Fe
P
P
P
P
2
1
o
Fe
P
P
P
P
2
2
53
DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ
54
Zadanie 1.
Oblicz wartości prądów płynących w gałęziach obwodu
przedstawionego na rys. 12 oraz wartość mocy czynnej pobieranej
przez obwód. Dane:
R
2
= 8Ω
X
12
= 8Ω
X
L1
= X
C1
= 10Ω
X
M
= 8Ω
U = 120V
Rys. 1.
55
Rozwiązanie
Zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa:
przy czym impedancje obwodu:
Wobec tego napięcie:
Stąd prąd w gałęzi drugiej:
,
Prąd w gałęzi pierwszej:
Prąd dopływający do obwodu:
,
Moc czynna jest pobierana przez rezystancję R
2
, a zatem:
1
2
2
2
1
1
I
Z
I
Z
U
I
Z
I
Z
U
M
M
8
)
8
8
(
0
)
10
10
(
)
(
2
1
1
1
j
jX
Z
j
Z
j
X
X
j
Z
M
M
C
L
2
I
Z
U
M
A
j
j
Z
U
I
M
15
8
120
2
A
I
15
2
A
j
j
j
Z
I
Z
U
I
M
15
8
)
15
)(
8
8
(
120
2
2
1
15
15
2
1
j
I
I
I
A
I
2
,
21
15
15
2
2
W
I
R
P
1800
15
8
2
2
2
2