1

Obwody

elektryczne ze

sprężeniami

magnetycznymi

Zjawiska występujące w obwodzie

ze sprzężeniem magnetycznym cewek

prof. dr hab. inż. Tadeusz Niedziela

2

Wstęp

• Bardzo często w zastosowaniach technicznych nie

można pominąć sprzężenia cewek.

• Mamy wówczas do czynienia ze zjawiskiem

indukowania się w danym elemencie indukcyjnym

napięcia od zmiennego strumienia magnetycznego

wytworzonego w innym elemencie.

• Uwzględniamy wówczas

indukcyjność wzajemną

M

cewek definiowaną jako stosunek strumienia

wytworzonego w pierwszej cewce Ψ

12

i skojarzonego z

drugą cewką do prądu płynącego w pierwszej cewce I

1

.

3

Założenie

• Załużmy, że na wspólnym rdzeniu z materiału

nieferromagnetycznego są nawinięte dwie cewki.

• Każda z cewek zasilana jest ze źródła sinusoidalnego.

• Cewki są sprzężone magnetycznie.

4

Rys. 1. a) Dwie cewki sprzężone magnetycznie,

nawinięte na wspólnym rdzeniu: obwody sprzężone

5

Rys. 1. b) Dwie cewki sprzężone magnetycznie,

nawinięte na wspólnym rdzeniu:

schemat

zastępczy

6

Oznaczenia

Indukcyjność wzajemną M cewek

definiujemy jako

stosunek strumienia magnetycznego Ψ

12

wytworzonego w

cewce pierwszej i skojarzonego z cewką drugą do prądu I

1

płynącego w cewce pierwszej.

Strumień magnetyczny wytworzony w cewce 1 oznaczono

przez Φ

11

, a strumień magnetyczny wytworzony w cewce 2

oznaczono przez Φ

22

.

Strumień wytworzony w cewce 1 i obejmujący cewkę 2

oznaczono przez Φ

g1

, a strumień magnetyczny wytworzony

w cewce 2 i obejmujący cewkę 1 oznaczono przez Φ

g2

.

7

Całkowity strumień magnetyczny skojarzony z

cewką pierwszą:

(1)

a całkowity strumień magnetyczny skojarzony z

cewką drugą

(2)

21

11

2

11

1

1

)

(



















g

N

12

22

1

22

2

2

)

(



















g

N

8

Strumienie Ψ

11

oraz Ψ

22

decydują o powstaniu napięć

indukcji
własnej,

a strumienie Ψ

12

oraz Ψ

21

– o powstaniu

napięć

indukcji
wzajemnej,

przy czym

indukcyjności własne cewek

:

a

indukcyjność wzajemna

:

(3)

1

11

1

i

L





2

22

2

i

L





2

21

1

12

i

i

M









9

Równanie bilansu napięć chwilowych

każdego z obwodów

ma postać

(4)

dt

d

dt

d

i

R

dt

d

i

R

e

dt

d

dt

d

i

R

dt

d

i

R

e

12

22

2

2

2

2

2

2

21

11

1

1

1

1

1

1

































10

a po uwzględnieniu zależności

(5)

dt

di

M

dt

di

L

i

R

e

dt

di

M

dt

di

L

i

R

e

1

2

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1













2

21

1

12

i

i

M









11

W każdym obwodzie oprócz

spadku napięcia

na rezystancji

wystąpi

napięcie indukcji własnej

(6)

oraz

napięcie indukcji wzajemnej

(7)

dt

di

L

u

dt

di

L

u

L

L

2

2

2

1

1

1





dt

di

M

u

dt

di

M

u

M

M

2

2

1

1





12

a więc

(8)

1

2

2

2

2

1

1

1

M

L

R

M

L

R

u

u

u

e

u

u

u

e













13

Przy przebiegach sinusoidalnych wprowadzamy pojęcie

wartości skutecznej napięcia indukcji własnej

(9)

I przez analogię pojęcie

wartości skutecznej napięcia

indukcji wzajemnej

(10)

2

2

2

1

1

1

I

L

U

I

L

U

L

L









2

2

2

1

1

1

I

M

U

I

M

U

M

M









14

Analogicznie do pojęcia

reaktancji indukcyjnej

X

L1

= ωL

1

,

X

L2

= ωL

2

wprowadzimy pojęcie

reaktancji indukcji

wzajemnej

(11)

M

X

M





15

Równania (8) -

równanie bilansu napięć zespolonych

można przedstawić w postaci zespolonej:

(12)

1

2

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

I

jX

I

jX

I

R

E

I

jX

I

jX

I

R

E

M

L

M

L













16

Zaciski jednoimienne i ich

oznaczanie

17

Zaciski jednoimienne i ich oznaczanie

Rys. 2.

Zwroty strumieni magnetycznych

w cewkach nawiniętych

zgodnie

: a) przy

zgodnym zwrocie prądów względem

początków

uzwojeń cewek (1, 1’); b) przy

przeciwnym zwrocie prądów

względem

początków uzwojeń cewek (1, 1’);

a)

b)

18

O wzajemnym zwrocie strumieni magnetycznych

decydują dwa czynniki:

      

kierunek nawinięcia każdej z cewek

       zwroty prądów w cewkach.

Jeśli zwroty prądów względem zacisków 1 i 1’ są

zgodne

(rys. 2a), to

strumienie indukcji własnej i

wzajemnej

też są

zgodne

.

Jeśli zwroty prądów względem zacisków 1 i 1’ są

przeciwne

(rys. 2b), to

strumienie indukcji własnej

i

wzajemnej też są

przeciwne

.

19

Rys. 3. Zwroty strumieni magnetycznych

w cewkach nawiniętych

przeciwnie

: a) przy

zgodnym zwrocie prądów

względem początków

uzwojeń cewek (1, 1’); b) przy

przeciwnym zwrocie prądów

względem

początków uzwojeń cewek (1, 1’);

a)

b)

20

Jeśli zwroty prądów względem zacisków 1 i 1’ są

zgodne

(rys. 3a), to strumienie indukcji własnej i

wzajemnej są

przeciwne

.

Jeśli zwroty prądów względem zacisków 1 i 1’ są

przeciwne

(rys. 3b), to strumienie indukcji własnej i

wzajemnej też są

zgodne

.

Przy

zgodnych zwrotach strumieni indukcji

własnej i wzajemnej

indukowane przez te strumienie

napięcia mają znaki zgodne

, natomiast przy

przeciwnych zwrotach tych strumieni

, również

znaki indukowanych napięć są przeciwne

.

Zwroty strumieni magnetycznych

w cewkach nawiniętych przeciwnie

21

Dwa zaciski należące do dwóch różnych cewek

sprzężonych magnetycznie nazywamy

zaciskami

jednoimiennymi

i

oznaczamy jednakowymi

wskaźnikami

, jeśli

przy jednakowym zwrocie

prądów

względem tych zacisków,

strumienie

magnetyczne indukcji

własnej i wzajemnej w każdej

cewce

mają jednakowe zwroty

.

Zaciski jednoimienne

22

Zaciski jednoimienne dwóch cewek sprzężonych

magnetycznie można wyznaczyć doświadczalnie.

Do wykonania doświadczenia potrzebny jest woltomierz

prądu stałego oraz źródło prądu stałego.

Jeżeli w chwili zamknięcia wyłącznikiem w obwodzie ze

źródłem napięcia, wskazówka woltomierza odchyli się
w stronę wskazań, to zaciskami jednoimiennymi
uzwojeń jest zacisk dołączony do bieguna dodatniego
źródła i zacisk dołączony do dodatniego zacisku
woltomierza.

23

Rys. 4. Wyznaczanie zacisków jednoimiennych drogą pomiarową

24

Połączenie szeregowe

elementów sprzężonych

magnetycznie

Można wyróżnić dwa sposoby

połączenia cewek:

1) połączenie zgodne

2) połączenie przeciwne

25

Rys. 5. Dwie cewki sprzężone połączone szeregowo: a) zgodnie; b)

przeciwnie

a)

b)

26

Przy połączeniu zgodnym (rys. 5a), prądy w obu
cewkach mają jednakowe zwroty względem
zacisków jednoimiennych.

W tym przypadku strumienie indukcji własnej i
wzajemnej w każdej cewce dodają się i napięcie indukcji
wzajemnej ma znak plus (+).

Napięcie na zaciskach cewki pierwszej

:

(13)

a

napięcie na zaciskach cewki drugiej

:

(14)

I

M

j

I

L

j

I

R

U











1

1

1

I

M

j

I

L

j

I

R

U











2

2

2

27

Napięcie na zaciskach układu cewek połączonych
szeregowo zgodnie

:

(15)

przy czym

(16)

I

Z

I

M

L

L

j

R

R

U

U

U

zg

















)]

2

(

[

2

1

2

1

2

1



)

2

(

2

1

2

1

M

L

L

j

R

R

Z

zg













28

Napięcie na zaciskach układu cewek połączonych
szeregowo przeciwnie

:

(15)

przy czym

(16)

I

Z

I

M

L

L

j

R

R

U

U

U

zg

















)]

2

(

[

2

1

2

1

2

1



)

2

(

2

1

2

1

M

L

L

j

R

R

Z

zg













29

DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ

30

Zasada działania

transformatora

31

Zasada działania transformatora

Przekładnią zwojową transformatora n

nazywamy

stosunek liczby zwojów uzwojenia pierwotnego N

1

do

liczby zwojów uzwojenia wtórnego N

2

, czyli:

2

1

N

N

n 

32

Zasada działania transformatora

Do uzwojenia pierwotnego o liczbie zwojów N

1

dołączono źródło napięcia sinusoidalnego.

W uzwojeniu pierwotnym płynie prąd sinusoidalny o
wartości chwilowej i

1

.

W wyniku przepływu tego prądu w przestrzeni
otaczającej uzwojenie pierwotne, a więc w rdzeniu,
powstaje zmienny strumień magnetyczny Ф

11

o

zaznaczonym na rys. 6a zwrocie.

33

Zasada działania transformatora

Strumień główny

Ф

g1

mniejszy od strumienia

Ф

11

o

wartość strumienia rozproszenia Ф

s1

, kojarzy się z

uzwojeniem wtórnym o liczbie zwojów N

2

i indukuje w

tym uzwojeniu

napięcie indukcji wzajemnej

:

(24)

przy czym:

dt

d

u

M

12





1

2

12

g

N







34

Jeżeli do uzwojenia wtórnego dołączony jest odbiornik,
to pod wpływem zaindukowanego w tym uzwojeniu
napięcia popłynie prąd i

2

.

Zwrot prądu i

2

. wynika z reguły Lenza.

Prąd w uzwojeniu wtórnym i

2

musi mieć taki zwrot, aby

strumień magnetyczny wytworzony przez ten prąd miał
zwrot przeciwny do zwrotu strumienia magnetycznego
wytworzonego przez prąd pierwotny i

1

35

Z punktu widzenia charakteru prac

rozróżniamy:

•stan jałowy

prac transformatora, gdy jego zaciski

wtórne są rozwarte;

•stan zwarcia

transformatora, gdy jego zaciski wtórne są

połączone bezimpedancyjnie, tzn. zwarte;

•stan obciążenia

transformatora, gdy do jego zacisków

wtórnych jest dołączony odbiornik.

36

Transformatory powietrzne

Rys. 7. Schemat zastępczy transformatora powietrznego

dwuuzwojeniowego

37

Napiszemy

równanie bilansu napięć dla obwodu

pierwotnego i dla obwodu wtórnego

:

(25a),
(25b)

przy czym

(26)

2

0

1

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

0

I

Z

I

M

j

I

L

j

I

R

I

M

j

I

L

j

I

R

U























2

0

2

I

Z

U 

38

Równanie (25) możemy zapisać w bardziej syntetycznej
postaci. Wprowadzimy następujące oznaczenia:

(27)

Po uwzględnieniu tych oznaczeń równania (25) przyjmą
postać:

(28a)

(28b)

M

j

Z

Z

L

j

R

Z

L

j

R

Z

M



















0

2

2

22

1

1

11

1

2

22

2

1

11

1

0

I

Z

I

Z

I

Z

I

Z

U

M

M









39

Jeżeli z równania (28b) wyznaczymy prąd wtórny:

(29)

i podstawimy go do równania (28a) to otrzymamy:

(30)

Stąd:

(31)

1

22

2

I

Z

Z

I

M



1

22

2

11

1

22

2

1

11

1

I

Z

Z

Z

I

Z

Z

I

Z

U

M

M





















22

2

11

1

1

Z

Z

Z

U

I

M





40

Rys. 8. Wykres wektorowy transformatora powietrznego

41

W stanie jałowym

zaciski wtórne są rozwarte, co

odpowiada I

2

= 0.

Równanie (25a) przybiera więc postać:

(32)

W obwodzie wtórnym powstaje napięcie indukcji
wzajemnej:

(33)

które jest jednocześnie napięciem na zaciskach wtórnych

1

1

1

1

1

I

L

j

I

R

U







1

2

I

M

j

U





42

W stanie zwarcia

zaciski wtórne są połączone

bezimpedancyjnie, co odpowiada U

2

= 0. Ponadto Z

0

= 0.

Równanie napięć obwodu pierwotnego ma taką samą
postać jak w stanie obciążenia:

(34)

a równanie napięć obwodu wtórnego przyjmie postać:

(35)

Jakościowo zmiany są więc niewielkie, jednak

w stanie

zwarcia zmieniają się wartości prądów i spadków
napięć

, co może wpłynąć niekorzystnie na pracę

transformatora i doprowadzić do jego uszkodzenia.

2

1

1

1

1

1

I

M

j

I

L

j

I

R

U











1

2

2

2

2

0

I

M

j

I

L

j

I

R











43

Równania i wykres wektorowy

transformatora

Rezystancję uzwojenia pierwotnego o liczbie zwojów N

1

oznaczono R

1

, a rezystancję uzwojenia wtórnego o liczbie

zwojów N

2

oznaczono przez R

2

Rys. 10. Schemat transformatora dwuuzwojeniowego

z rdzeniem ferromagnetycznym.

44

(41)

oraz

(45)

(46)

Fe

I

I

I







0

'

2

0

1

I

I

I





1

2

2

2

'

2

1

N

N

I

n

I

I





45

Bilans napięć

w obwodzie pierwotnym można

sformułować następująco: napięcie doprowadzone do
obwodu pierwotnego jest równoważone przez trzy
napięcia:

1. Napięcie powstające na rezystancji R

1

w wyniku

przepływu prądu I

0

, wynoszące R

1

I

0

.

2. Napięcie indukcji własnej od zmian strumienia
magnetycznego rozproszenia N

1

Φ

s1

=L

s1

I

0;

wynoszące

jωL

s1

I

0

.

46

3. Napięcie, zwane

napięciem magnesującym

, od zmian

strumienia magnetycznego głównego:

(42)

Bilans napięć w stanie jałowym ma więc postać:

(43)

g

N

j

U





1

1





1

0

1

0

1

1





U

I

L

j

I

R

U

s







47

Zmienny strumień magnetyczny Φ

g

indukuje napięcie nie

tylko w uzwojeniu pierwotnym, ale również w
uzwojeniu wtórnym:

(44)

W

uzwojeniu wtórnym

występują cztery napięcia:

1. Napięcie magnesujące U

μ2

określone wzorem (44).

2. Napięcie na rezystancji R2 wywołane przepływem

prądu I

2

, wynoszące R

2

I

2

.

3. Napięcie indukcji własnej od zmian strumienia

magnetycznego rozproszenia N

2

Φ

s2

=L

s2

I

2

.

g

N

j

U







2

2



48

4. Napięcie na impedancji obciążenia:
(47)
Ponieważ napięcie magnesujące U

μ2

ma charakter

napięcia źródłowego, zatem:

(48)

W warunkach obciążenia bilans napięć dla uzwojenia
pierwotnego ma postać:

(49)

Z zestawienia zależności (45) oraz (41) wynika, że prąd w
uzwojeniu pierwotnym:

(50)

g

N

j

U







2

2



2

0

2

I

Z

U 

2

2

2

2

2

2

U

I

L

j

I

R

U

s











1

1

1

1

1

1





U

I

L

j

I

R

U

s







'

2

1

I

I

I

I

Fe









49

Rys. 11a. Transformator z rdzeniem ferromagnetycznym – wykres

wektorowy

50

Rys. 1b. Transformator z rdzeniem ferromagnetycznym – schemat

zastępczy

51

Dla transformatora wprowadza się pojęcie

sprawności

η

jako stosunek mocy czynnej P

2

pobranej przez odbiornik,

do mocy czynnej P

1

dostarczonej przez źródło dołączone

do obwodu pierwotnego, czyli:

(57)

1

2

P

P





52

Straty jałowe

ΔP

Fe

są równe stratom magnetycznym w

rdzeniu. Straty te nie zależą od prądu obciążenia, lecz jak
wiadomo są związane ze zjawiskiem histerezy
magnetycznej i prądów wirowych.

Straty obciążeniowe

ΔP

o

są to straty mocy czynnej na

rezystancjach uzwojeń. Ich wartość zależy od kwadratu
prądu płynącego w każdym z uzwojeń. Zatem moc czynna:

(58)

a więc sprawność:

(59)

o

Fe

P

P

P

P











2

1

o

Fe

P

P

P

P











2

2



53

DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ

54

Zadanie 1.

Oblicz wartości prądów płynących w gałęziach obwodu
przedstawionego na rys. 12 oraz wartość mocy czynnej pobieranej
przez obwód. Dane:
R

2

= 8Ω

X

12

= 8Ω

X

L1

= X

C1

= 10Ω

X

M

= 8Ω

U = 120V

Rys. 1.

55

Rozwiązanie

Zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa:

przy czym impedancje obwodu:

Wobec tego napięcie:

Stąd prąd w gałęzi drugiej:

,

Prąd w gałęzi pierwszej:

Prąd dopływający do obwodu:

,

Moc czynna jest pobierana przez rezystancję R

2

, a zatem:

1

2

2

2

1

1

I

Z

I

Z

U

I

Z

I

Z

U

M

M































8

)

8

8

(

0

)

10

10

(

)

(

2

1

1

1

j

jX

Z

j

Z

j

X

X

j

Z

M

M

C

L

2

I

Z

U

M



A

j

j

Z

U

I

M

15

8

120

2









A

I

15

2



A

j

j

j

Z

I

Z

U

I

M

15

8

)

15

)(

8

8

(

120

2

2

1















15

15

2

1

j

I

I

I









A

I

2

,

21

15

15

2

2







W

I

R

P

1800

15

8

2

2
2

2







