Obwody ze sprzężeniem

magnetycznym

Cewki są magnetycznie

sprzężone, gdy część

strumienia magnetycznego

wytworzonego przez prąd

w

jednej cewce

przenika

drugą cewkę

Np. dwie cewki umieszczone blisko

siebie na wspólnym rdzeniu

wykonanym z dielektryka o

przenikalności względnej

1



r



przez cewkę

L

1

płynie zmienny w czasie

prąd i

1

przez cewkę

L

2

płynie zmienny w czasie

prąd i

2

t

i

M

t

i

L

u

d

d

d

d

2

12

1

1

1





t

i

M

t

i

L

u

d

d

d

d

1

21

2

2

2





gdzie

L

1

, L

2

– indukcyjności własne

cewek 1 i 2

M

12

– indukcyjność wzajemna

cewki 1 i 2

M

21

– indukcyjność wzajemna

cewki 2 i 1

Gdy w otoczeniu cewek magnetycznie

sprzężonych nie ma żadnych ciał

ferromagnetycznych wówczas

indukcyjności własne i wzajemne tych

cewek są wielkościami stałymi.

Ponadto, jeżeli cewki znajdują się w

środowisku o takiej samej przenikalności

magnetycznej to

M

M

M





21

12

Indukcyjności własne L

1

, L

2

są

zawsze stałymi dodatnimi,

natomiast indukcyjność

wzajemna M wyraża się liczbą

dodatnią lub ujemną, bowiem

strumienie wytwarzane przez

cewki mogą się dodawać (M >

0) lub odejmować (M < 0)

Zależy to od sposobu

nawinięcia cewek oraz

zwrotu prądów w tych

cewkach

W celu ułatwienia obliczeń i

montażu układów zawierających

cewki magnetycznie sprzężone

oznacza się tzw.

„początki cewek”

lub

lub

M > 0

M

<

0

Sprzężenie magnetyczne dwóch

cewek o indukcyjnościach L

1

, L

2

charakteryzuje współczynnik

sprzężenia k

2

1

L

L

M

k 

gdzi
e

1

0



k

Szeregowe połączenie dwóch

rzeczywistych cewek

sprzężonych magnetycznie

dla cewek sprzężonych

t

i

M

t

i

L

u

d

d

d

d

2

1

1

1





t

i

M

t

i

L

u

d

d

d

d

1

2

2

2





Przechodząc do zapisu dla

wartości symbolicznych należy

U

u 

I

i 



j

d

d



t

wtedy

2

1

1

1

j

j

MI

I

L

U









1

2

2

2

j

j

MI

I

L

U









NPK

w postaci

symbolicznej









MI

I

L

I

R

U





j

j

1

1

MI

I

L

I

R





j

j

2

2







 



 



1

U



 



 



2

U

Po
uporządkowaniu









I

M

L

L

R

R

U

2

j

2

1

2

1













lub





I

U

Z





M

L

L

R

R

2

j

2

1

2

1











Impedancja połączenia

L

R

Z



j





gdzi
e

2

1

R

R

R





M

L

L

L

2

2

1







W przypadku, gdy M > 0,

indukcyjność wypadkowa





2

1

L

L

L





Załóżmy, że k=1, czyli
, (przybiera wartości
największe).

2

1

L

L

M 

Gdy M < 0, to









M

L

L

L

2

2

1





0

2

2

1







L

L







2

1

2

1

2

L

L

L

L

Wted
y





2

1

L

L

L





Wykres wskazowy dla M >

0

2

U

I

R

2

U

1

U

I

R

1

I

L

1

j



I

L

2

j



MI



j

MI



j

I

Wykres wskazowy dla M >

0

2

U

I

R

2

U

1

U

I

R

1

I

L

1

j



I

L

2

j



MI



j

MI



j

I

Wykres wskazowy dla M <

0

2

U

I

R

2

U

1

U

I

R

1

I

L

1

j



I

L

2

j



MI



j

MI



j

Wykres wskazowy dla M <

0

2

U

I

R

2

U

1

U

I

R

1

I

L

1

j



I

L

2

j



MI



j

MI



j

Połączenie równoległe dwóch

rzeczywistych cewek magnetycznie

sprzężonych

PPK

2

1

I

I

I





NPK

2

1

1

1

1

j

j

MI

I

L

I

R

U











1

2

2

2

2

j

j

MI

I

L

I

R

U











Transformator powietrzny

(bezrdzeniowy)

Transformatorem powietrznym

nazywamy układ dwóch cewek

magnetycznie sprzężonych

nawiniętych na korpus wykonany

z dielektryka o względnej

przenikalności magnetycznej

, które nie są ze sobą połączone

galwanicznie

1



r



gałąź 11’ – uzwojenie
pierwotne

gałąź 22’ – uzwojenie wtórne

NPK





2

1

1

1

1

j

j

MI

I

L

R

U















1

2

2

2

2

j

j

MI

I

L

R

U











(1
)

(2
)

do

(1)

dodajemy i

odejmujemy

do

(2)

dodajemy i

odejmujemy

1

j MI



2

j MI



1

1

2

1

1

1

1

1

j

j

j

j

MI

MI

MI

I

L

I

R

U



















2

2

1

2

2

2

2

2

j

j

j

j

MI

MI

MI

I

L

I

R

U



















Porządkujemy
równania









2

1

1

1

1

1

1

j

j

I

I

M

I

M

L

I

R

U























2

1

2

2

2

2

2

j

j

I

I

M

I

M

L

I

R

U















(3
)

(4
)

Na podstawie równań

(3)

i

(4)

można

zbudować układ nie zawierający
cewek magnetycznie sprzężonych

Schemat zastępczy transformatora
powietrznego

Jeżeli do zacisków 22’ dołączymy

odbiornik o impedancji Z,

wówczas transformator rozpatrywany od

strony zacisków 11’ jest dwójnikiem

Impedancja dwójnika

zgodnie z definicją wynosi

1

1

1

I

U

Z 

Skorzystamy z równań

(1)

i

(2)

Podstawiamy do

(2)

2

2

I

Z

U









1

2

2

2

2

j

j

MI

I

L

R

I

Z

















1

2

2

2

j

j

MI

Z

L

R

I













stąd

Z

L

R

MI

I









2

2

1

2

j

j





Wyrażenie na prąd I

2

wstawiamy

do

(1)





1

2

2

2

2

1

1

1

1

j

j

I

Z

L

R

M

I

L

R

U

















stąd

Z

L

R

M

L

R

I

U











2

2

2

2

1

1

1

1

j

j







Impedancja wejściowa

transformatora powietrznego

Z

L

R

M

L

R

Z











2

2

2

2

1

1

1

j

j







1

1

1

j L

R

Z







( nie ma
sprzężen
ia)

gdy M =
0

lub





Z

( zaciski
22’
rozwarte)

Wykres wskazowy transformatora

powietrznego obciążonego

impedancją

C

Z



j

1







0



M

2

I

2

I

Z

2

2

I

R

1

I

1

U

1

1

I

R

1

1

j

I

L



2

2

j

I

L



2

j MI



1

j MI



Wykres wskazowy transformatora

powietrznego obciążonego

impedancją

C

Z



j

1







0



M

2

I

2

I

Z

2

2

I

R

1

I

1

U

1

1

I

R

1

1

j

I

L



2

2

j

I

L



2

j MI



1

j MI

