POLITECHNIKA L SKA

WYDZIAŁ IN YNIERII RODOWISKA I ENERGETYKI

INSTYTUT MASZYN I URZ DZE ENERGETYCZNYCH

LABORATORIUM ELEKTRYCZNE

Obwody sprz one magnetycznie.

(E – 5)

www.imiue.polsl.pl/~wwwzmiape

Opracował: Dr in . Włodzimierz OGULEWICZ

Sprawdził: Dr in . Włodzimierz OGULEWICZ

Zatwierdził: Dr hab. in . Janusz KOTOWICZ

1. Cel wiczenia.

Celem wiczenia jest poznanie sposobów opisu elementów sprz onych

magnetycznie (transformator powietrzny lub rdzeniowy) w układzie

elektrycznym oraz nabycie umiej tno ci do wiadczalnego wyznaczenia

indukcyjno ci własnej – L i indukcyjno ci wzajemnej – M.

2. Wprowadzenie.

2.1. Czwórniki. Okre 1enia i poj cia podstawowe.

Obwód, który posiada cztery wyró nione zaciski, poprzez które mo e by

poł czony z innymi obwodami nazywa si czterobiegunnikiem, natomiast

czwórnikiem nazywa si czterobiegunnik poł czony z innymi obwodami w ten

sposób, e ka demu zaciskowi, przez który pr d wpływa do czterobiegunnika,

odpowiada zacisk, przez który taki sam pr d wypływa.

Poniewa przy ustaleniu zacisku z pr dem dopływaj cym, drugi zacisk mo e

by wybrany na trzy sposoby, z

czterobiegunnika mo na utworzy trzy

zupełnie ró ne czwórniki. Zwykle zaciski

czwórnika porz dkujemy i oznaczamy jak

na rys.1. Gdy czwórnik wł czony jest

pomi dzy

ródłem

a

odbiornikiem

rozró nia si ponadto zaciski wej ciowe (1,

1’) i wyj ciowe (2, 2’). Charakter

czwórnika

posiada

wiele

obwodów

elektrycznych takich jak filtry, linie

transmisyjne, transformatory, wzmacniacze.

Dzi ki wprowadzeniu uogólniaj cego poj cia czwórnika, do analizy ró nych

obwodów mo na u y

jednolitego aparatu matematycznego, którego zalet jest

uniezale nienie si od wewn trznej struktury i parametrów obwodu (układu). Dla

czwórnika okre la si jedynie współczynniki równa (wspólne dla wszystkich

układów), wi

ce z sob pr dy i napi cia na zaciskach układu czwórnika.

2.2. Równania czwórników.

Równania czwórnika s równaniami wi

cymi pr dy i napi cia na zaciskach

czwórnika (U

1

; I

1

; U

2

; I

2

). Dwie spo ród tych wielko ci s zmiennymi

niezale nymi, dwie pozostałe zmiennymi zale nymi. Ró ny wybór zmiennych

niezale nych prowadzi oczywi cie do ró nych postaci równa czwórnika. Sposób

wyboru jest dowolny, lecz otrzymana posta równania, zale nie od konkretnego

zagadnienia, mo e by mniej lub bardziej dogodna.

Zale nie od wyboru

zmiennych, równania te posiadaj ró ne nazwy:

1. Gdy zmiennymi niezale nymi s pr dy I

1

, I

2

równanie nazywa si

równaniem impedancyjnym

. Ma ono posta :

U

1

= Z

11

I

1

+ Z

12

I

2

(1)

U

2

= Z

21

I

1

+ Z

22

I

2

2’

1’

U

1

U

2

I

2

I

2

’

I

1

’

I

1

1

2

I

1

= I

1

’ I

2

= I

2

’

Rys.1. Czwórnik

2

.

Gdy zmiennymi niezale nymi s napi cia U

1

, U

2

równanie nazywa si

równaniem admitancyjnym

. Ma ono posta :

I

1

= Y

11

U

1

+ Y

12

U

2

(2)

I

2

= Y

21

U

1

+ Y

22

U

2

3. Gdy zmiennymi niezale nymi s wielko ci wej ciowe U

1

; I

1

lub wyj ciowe

U

2

; I

2

równanie nazywa si

równaniem ła cuchowym

:

U

1

= A U

2

+ B I

2

(3)

I

1

= C U

2

+ D I

2

4. Gdy zmiennymi niezale nymi jest pr d wej ciowy I

1

i napi cie wyj ciowe

U

2

lub wielko ci pozostałe (U

1

, I

2

) równania nazywa si

równaniem

mieszanym

lub

równaniem hybrydowym

:

U

1

= h

11

I

1

+ h

12

U

2

(4)

I

2

= h

21

I

1

+ h

22

U

2

Współczynniki poszczególnych równa , s liczbami rzeczywistymi w

przypadku obwodów pr du stałego, lub liczbami zespolonymi w obwodach z

przebiegami sinusoidalnymi o stałej cz stotliwo ci. Mog by równie funkcjami

cz stotliwo ci lub funkcjami zmiennej zespolonej.

2.3. Współczynniki równania impedancyjnego.

Współczynniki równania impedancyjnego mo na wyznaczy , gdy kolejno

zało ymy, e pr d I

2

jest równy zeru (przerwa w obwodzie odbiornika), wówczas:

Z

11

= ; Z

21

=

(5)

oraz gdy pr d I

1

jest równy zeru (czwórnik zasilany od strony zacisków 2-2’),

wówczas:

Z

22

= ; Z

12

=

(6)

Indeks ,,

0

” przy poszczególnych napi ciach i pr dach podkre la, e s one

mierzone w stanie nieobci onym czwórnika. Z tego te powodu współczynniki

Z

11

, Z

12

, Z

21

, Z

22

nazywa si parametrami rozwarciowymi czwórnika.

Współczynniki Z

11

i Z

22

s impedancjami rozwarciowymi, a Z

21

i Z

12

transmitancjami rozwarciowymi.

2.4. Cewki indukcyjne sprz one magnetycznie.

W ród cewek indukcyjnych nale y wyró ni dwa zasadnicze typy:

• Układ jednej cewki, której parametrem dominuj cym jest

indukcyjno

własna – L

.

U

10

I

20

U

20

I

20

U

10

I

10

U

20

I

10

• Układ dwóch cewek sprz onych magnetycznie, których głównym

parametrem, oprócz indukcyjno ci własnych obydwu cewek (odpowiednio

L

1

i L

2

), jest

indukcyjno wzajemna – M

.

Rys.2. Układ dwóch cewek sprz onych magnetycznie.

Cewki indukcyjne mog by bezrdzeniowe (powietrzne) i wówczas obwód

magnetyczny (magnetowód) stanowi powietrze, oraz rdzeniowe (dławiki) o

magnetowodzie z materiału ferromagnetycznego (ze szczelin powietrzn lub

bez). U ycie rdzenia ferromagnetycznego powoduje zwi kszenie indukcyjno ci

własnej ( L ), a w cewkach sprz onych magnetycznie - zwi kszenie równie

indukcyjno ci wzajemnej ( M ).

W tradycyjnym wykonaniu cewki indukcyjne nawija si jednowarstwowo lub

wielowarstwowo. Mog by one wykonane jako cylindryczne (solenoidalne),

płaskie, lub toroidalne (o przekrojach kołowych lub wielobocznych).

2.5. Zwi zek parametrów równania impedancyjnego z warto ciami

indukcyjno ci własnych i wzajemnych cewek sprz onych

magnetycznie.

Traktuj c układ dwóch cewek sprz onych magnetycznie (z których ka da

charakteryzuje si indukcyjno ci własn L

1

lub L

2

oraz rezystancj odpowiednio

R

1

lub R

2

) jako czwórnik opisany układem równa impedancyjnych (4)

dochodzimy do wniosku, e:

(7)

(8)

(9)

(10)

gdzie:

= 2 f (w przypadku wiczenia f = 50 Hz)

1’

U

1

U

2

I

2

I

1

1

2’

2

R

1

R

2

L

1

L

2

M

12

=M

21

Z

11

=

Z

21

=

Z

22

=

Z

11

=

U

10

I

10

= R

1

2

+ ( L

1

)

2

U

20

I

20

= R

2

2

+ ( L

2

)

2

U

20

I

10

= M

21

U

10

I

20

= M

12

Z podanych zale no ci mo na wyznaczy parametry L

1

, L

2

, M

12

i M

21

, które przy

zało eniu R

1

= 0 oraz R

2

= 0 wynios :

(11)

(12)

(13)

(14)

2.6. Szeregowe poł czenie cewek sprz onych magnetycznie.

Warto indukcyjno ci wzajemnej – M wyznacza si jako stosunek strumienia

magnetycznego wytworzonego w jednej cewce i skojarzonego z drug cewk
(

Ψ

12

) do pr du (I

1

) cewki wywołuj cej ten strumie . Cewki magnetycznie

sprz one mog mie dwa rodzaje nawini cia:

•

zgodne

(pr dy płyn ce w cewkach wywołuj strumienie o tym samym

zwrocie),

•

przeciwne

(pr dy płyn ce w cewkach wywołuj strumienie o przeciwnym

zwrocie).

Ł cz c cewki sprz one magnetycznie szeregowo raz zgodnie i raz przeciwnie

(rys. 3.) mo na wyznaczy warto indukcyjno ci wzajemnej tych cewek.

Rys.3. Układy poł cze dwóch cewek sprz onych magnetycznie zasilanych

szeregowo.

L

1

=

M

21

=

L

2

=

M

12

=

U

1

I

1

U

2

I

2

U

20

I

1

U

10

I

2

u

R2

u

R1

φφφφ

2

L

φφφφ

1

L

R

2

u

L1

i

Z

R

1

L

1

u

L2

u

L

2

u

R2

u

R1

φφφφ

2

L

φφφφ

1

L

R

2

u

L1

i

P

R

1

L

1

u

L2

L

2

u

• dla zgodnego poł czenia cewek:

u

− R

1

i

Z

− L

1

(di

Z

/dt)

− M(di

Z

/dt)

− R

2

i

Z

− L

2

(di

Z

/dt)

− M(di

Z

/dt) = 0

u

− (R

1

+ R

2

)i

Z

− (L

1

+ L

2

+ 2M)(di

Z

/dt) = 0

w zapisie symbolicznym

U −−−− (R

1

+ R

2

)I

Z

−−−− jω

ω

ω

ω(L

1

+ L

2

+ 2M)I

Z

= 0

• dla przeciwnego poł czenia cewek:

u

− R

1

i

P

− L

1

(di

P

/dt) + M(di

P

/dt)

− R

2

i

P

− L

2

(di

P

/dt) + M(di

P

/dt) = 0

u

− (R

1

+ R

2

)i

P

− (L

1

+ L

2

− 2M)(di

P

/dt) = 0

w zapisie symbolicznym

U −−−− (R

1

+ R

2

)I

P

−−−− jω

ω

ω

ω(L

1

+ L

2

−−−− 2M)I

P

= 0

Wyznaczamy impedancj obu rodzajów poł cze oraz ich ró nic :

Z

Z

= U/I

Z

= R

1

+ R

2

+ j

ω(L

1

+ L

2

+ 2M)

Z

P

= U/I

P

= R

1

+ R

2

+ j

ω(L

1

+ L

2

− 2M)

Z

Z

− Z

P

= R

1

+ R

2

+ j

ω(L

1

+ L

2

+ 2M)

− R

1

− R

2

− jω(L

1

+ L

2

− 2M)

Z

Z

− Z

P

= j

ω2M + jω2M

j4

ωM = Z

Z

− Z

P

Warto indukcyjno ci wzajemnej – M wyniesie:

M = (Z

Z

−−−− Z

P

)/j4ω

ω

ω

ω

Je eli

R

1

≈ 0 oraz R

2

≈ 0 to Z

Z

= jX

Z

oraz Z

P

= jX

P

to

(15)

gdzie:

oraz

M =

X

Z

−−−− X

P

4ω

ω

ω

ω

X

Z

=

U

I

Z

X

P

=

U

I

P

3. Badania i pomiary.

3.1. Okre lenie wielko ci mierzonych.

Wielko ciami mierzonymi (pomiar po redni) s warto ci indukcyjno ci

własnych uzwoje transformatora bezpiecze stwa L

1

, L

2

oraz warto

indukcyjno ci wzajemnej tych uzwoje – M. Warto ci indukcyjno ci własnych i

wzajemnej wyznacza si z bezpo redniego pomiaru pr dów i napi , zgodnie z

zale no ciami (11) i (13) dla indukcyjno ci własnych oraz zgodnie z

zale no ciami (12), (14) i (15) dla indukcyjno ci wzajemnej.

3.2. Schematy układów pomiarowych.

W celu wyznaczenia warto ci indukcyjno ci własnych i wzajemnej na

podstawie parametrów równania impedancyjnego nale y zestawi układy

pomiarowe zgodnie ze schematami przedstawionymi na rys. 4 i 5.

Rys.4. Układ pomiarowy do wyznaczania L

1

i M

12

Rys.5. Układ pomiarowy do wyznaczania L

2

i M

21

W celu wyznaczenia warto ci indukcyjno ci wzajemnej na podstawie

pomiarów pr dów szeregowego poł czenia (zgodnego i przeciwnego) uzwoje

transformatora nale y zestawi układy pomiarowe zgodnie ze schematami

przedstawionymi na rys. 6a i 6b.

ATr

N

L

1’

U

1

U

20

I

1

1

2’

2

R

1

R

2

L

1

L

2

M

12

=M

21

V

V

A

N

L

1’

U

10

U

2

I

2

1

2’

2

R

1

R

2

L

1

L

2

M

12

=M

21

V

V

A

ATr