Wprowadzenie do

fizyki

Mirosław

Kozłowski

rok akad. 2002/2003

Część druga

Dynamika

punktu

materialnego

w trzech wymiarach

Ruchy w R3

3

Dynamika punktu materialnego

w R

3

Slajd podsumowania

2.1 Elementy rachunku wektoroweg
o
2.2 Siły separowalne
2.3 Rzut ukośny
2.4 Ruch jednostajny po okręgu
2.5 Wnioski
2.6 Ruch cząstki naładowanej w po
lu elektromagnetycznym

Koniec

pokazu

4

Linki do stron WWW

Hyper Physics

Astronomy Picture of the Day

Space Photos and Images

Ruchy w R3

5

2.1 Elementy rachunku

wektorowego

Wektor trzy liczby (1, 2, 3)

y

x

z

2

1

3

Ruchy w R3

6

1. Dodawanie wektorów jest
przemienne.

.

A

B

B

A















2. Dodawanie wektorów jest łączne.



 



.

C

B

A

C

B

A























Ruchy w R3

7

3. Mnożenie wektorów

Iloczyn skalarny

liczba).

(

,

cos



B

A

B

A













Iloczyn skalarny dwóch wektorów
jest przemienny.

A





A



B





B



=

Ruchy w R3

8

Iloczyn wektorowy dwóch

wektorów



A



B



B

A

C











.

ˆ

sin









e

B

A

B

A

C













Iloczyn wektorowy nie jest przemienny.

.

A

B

B

A

















Ruchy w R3

9

B





A



A

B

C













.

C

C











k



j



i















e

jednostkow

wektory

















1

,

0

,

0

0

,

1

,

0

0

,

0

,

1

k

j

i







Ruchy w R3

10









.

.

.

0

,

0

,

1

,

2

2

2

2

A

Az

Ay

Ax

A

A

B

A

B

A

B

A

B

k

B

j

B

i

A

k

A

j

A

i

B

A

k

j

j

i

i

i

k

V

j

V

i

V

V

z

z

y

y

x

x

z

y

x

z

y

x

z

y

x





























































































Ruchy w R3

11

 



 



.

.

.

2

2

2

2

2

1

z

y

x

z

y

x

B

k

B

j

B

i

A

k

A

j

A

i

B

A

C

Az

Ay

Ax

A

A

A

A















































wektora

długość

j



i



k



.

0

,

,















i

i

k

i

j

k

j

i

















Ruchy w R3

12













.

y

x

y

x

z

x

z

x

z

y

z

y

z

y

x

z

y

x

x

y

y

x

z

x

x

z

y

z

z

y

y

z

x

z

z

y

x

y

z

x

y

x

B

B

A

A

k

B

B

A

A

j

B

B

A

A

i

B

B

B

A

A

A

k

j

i

B

A

B

A

k

B

A

B

A

j

B

A

B

A

i

B

A

i

B

A

j

B

A

i

B

A

k

B

A

j

B

A

k

C









































































Ruchy w R3

13

Przykłady:

Rozważmy dwa wektory:









.

0

,

0

,

1

4

,

5

,

2





B

A





i

Iloczyn wektorowy

 

 

 

,

25

16

,

5

4

,

5

4

0

0

0

1

4

5

2





























C

C

k

j

C

k

j

i

k

j

i

B

A

C



























Ruchy w R3

14

Iloczyn skalarny

.

1

16

25

4

4

25

16

cos

sin

,

1

16

25

4

2

cos

,

2

2

2

































B

A





.

1

16

25

4

25

16

sin













B

A

C









Ruchy w R3

15

2.2 Siły separowalne

Ogólna postać II zasady dynamiki
Newtona













.

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

t

v

v

v

z

y

x

F

z

m

t

v

v

v

z

y

x

F

y

m

t

v

v

v

z

y

x

F

x

m

z

y

x

z

z

y

x

y

z

y

x

x













Ruchy w R3

16

2.2.1 Druga zasada dynamiki w

przypadku sił separowalnych

Definicja siły separowalnej:













.

,

,

,

,

,

,

,

,

t

v

z

F

F

t

v

y

F

F

t

v

x

F

F

z

z

z

y

y

y

x

x

x







Ruchy w R3

17

Stąd

























.

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

t

z

z

F

t

v

z

F

z

m

t

y

y

F

t

v

y

F

y

m

t

x

x

F

t

v

x

F

x

m

z

z

z

y

y

y

x

x

x

























Ruchy w R3

18

Przykład:

Swobodny oscylator

harmoniczny w R

3

.

,

,

z

k

z

m

y

k

y

m

x

k

x

m

z

y

x



















Ruchy w R3

19

Rozwiązanie układu równań dla
swobodnego oscylatora
harmonicznego w R

3

:

 

 

 

.

;

cos

;

;

cos

;

;

cos

2

1

2

1

2

1

















































m

k

t

C

z

m

k

t

B

y

m

k

t

A

x

z

z

z

y

y

y

x

x

x













Ruchy w R3

20

Jeżeli wartości

są liczbami

współmiernymi tzn. spełniają warunek:

z

y

x







,

,

naturalne,

liczby

gdzie

z

y

x

z

z

y

y

x

x

n

n

n

n

n

n

,

,

,











to trajektoria punktu materialnego o
masie m jest linią zamkniętą.

Ruchy w R3

21

Przykład:

Figury Lissajou

Figury Lissajou są opisywane za
pomocą wzorów:

 

 

.

,

0

,

0

,

cos

,

cos

y

y

x

x

y

x

n

n

z

C

t

B

y

t

A

x



















Ruchy w R3

22

Przykład:

Izotropowy oscylator

harmoniczny w R

3













.

cos

,

,

cos

,

,

cos

,

,









































t

C

z

kz

z

m

t

B

y

ky

y

m

t

A

x

kx

x

m

r

k

r

m











Ruch izotropowego oscylatora
harmonicznego w R

3

jest ruchem

płaskim.

Ruchy w R3

23

2.3 Rzut ukośny

 

.

2

2

,

2

sin

2

,

2

,

,

2

0

2

0

0

2

0

0

2

0

0

0

0

0

0

x

x

y

y

x

y

x

y

x

x

y

y

v

gx

v

x

v

y

gt

t

v

y

t

v

x

g

v

g

v

v

x

g

v

t

v

v

gt

v

v

































max

y

v

x

v

x

v

0

y

v

0

0

v



Ruchy w R3

24

 

.

2

2

0

2

x

v

gx

xtg

y







Ruchy w R3

25

2.4 Ruch jednostajny po

okręgu

.

cos

,

sin

,

sin

,

cos

y

x

v

dt

d

r

dt

dy

v

dt

d

r

dt

dx

r

y

r

x





























y

r

x

Ruchy w R3

26

const.

dt

d

:

ożenie

Zał





























































.

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

cos

sin

,

sin

cos

y

x

a

dt

d

dt

d

r

dt

y

d

a

dt

d

r

dt

d

r

dt

x

d

Ruchy w R3

27

2.5 Wnioski

.

sin

,

cos

,

0

2

2

2

2



































dt

d

r

a

dt

d

r

a

dt

d

y

x











Wniosek 1

Ruchy w R3

28

.

2

r

r

r

v

m

a

m

F

r













.

,

2

2

2

2

2





































dt

d

r

v

v

v

dt

d

r

a

a

a

y

x

y

x

r





Siła dośrodkowa:

Ruchy w R3

29

.

,

,

2

2

2

2

2

2

dt

d

y

dt

y

d

x

dt

x

d



















Wniosek 2
Siła dośrodkowa jest siłą centralną.
Wniosek 3

Ruch pod wpływem siły dośrodkowej

jest ruchem periodycznym o

prędkości kątowej



.

Ruchy w R3

30

2.6 Ruch cząstki

naładowanej
w polu
elektromagnetycznym

.

B

v

q

E

q

F















Siła Lorentza:

Równanie ruchu cząstki

x

y

z

0





E

k

B

B







B



Ruchy w R3

31

 

 

 

.

,

,

,

2

2

2

2

2

2

2

2

k

B

v

q

dt

z

d

m

j

B

v

q

dt

y

d

m

i

B

v

q

dt

x

d

m

B

v

q

E

q

dt

r

d

m



















































Ruchy w R3

32













.

y

y

y

x

z

x

x

z

y

z

z

y

z

y

x

z

y

x

B

v

B

v

k

B

v

B

v

j

B

v

B

v

i

B

B

B

v

v

v

k

j

i

B

v



































Ruchy w R3

33













0

,

0

,

,

2

2

2

2

2

2

2

2























dt

z

d

m

B

v

B

v

q

dt

z

d

m

Bq

v

B

v

B

v

q

dt

y

d

m

Bq

v

B

v

B

v

q

dt

x

d

m

x

y

y

x

x

z

x

x

z

y

y

z

z

y

Ruchy w R3

34

.

,

2

2

2

2

Bq

v

dt

y

d

m

Bq

v

dt

x

d

m

x

y







.

0

0

t

v

z

z

z





Ruchy w R3

35

.

,

2

2

2

2

Bq

dt

dx

dt

y

d

m

Bq

dt

dy

dt

x

d

m







.

,

2

2

2

2

dt

dx

m

Bq

dt

y

d

dt

dy

m

Bq

dt

x

d







Ruchy w R3

36

.

0

2

2

2











dt

d

.

,

0

,

,

,

2

3

3

3

3

2

2

3

3

2

2

3

3

dt

dx

dt

dx

m

Bq

dt

x

d

dt

dx

m

Bq

m

Bq

dt

x

d

dt

x

d

m

Bq

dt

y

d

dt

y

d

m

Bq

dt

x

d































Ruchy w R3

37

.

,

2

3

3

dt

dy

dt

dy

m

Bq

dt

y

d





















.

0

2

2

2





















m

Bq

dt

d





x

y

Ruchy w R3

38

 

 































.

sin

,

cos

,

cos

,

sin

,

0

,

0

0

0

0

0

0

0

0

0

x

t

v

dt

x

y

t

v

dt

y

v

t

v

v

t

v

v

x

y

























Ruchy w R3

39



 



.

2

2

0

2

0

2

0



v

x

x

y

y













0

0

, y

x

r

y

x

.

0



v

r 

Ruchy w R3

40

.

,

cos

,

sin

0

0

0

0

0

0

t

v

z

z

t

v

y

y

x

t

v

x





















x

y

z

To jest ostatni slajd rozdziału „Ruch punktu
materialnego w przestrzeni
trójwymiarowej”.
Możesz:

•przejść do „Spisu treści” i wybrać kolejny
rozdział,

•wrócić do materiału w tym rozdziale,

•zakończyć pokaz

Spis treści

Koniec

pokazu