Wprowadzenie do

fizyki

Mirosław

Kozłowski

rok akad. 2002/2003

Część 1b

Dynamika punktu

materialnego w

jednym wymiarze

3

Koniec

pokazu

Dynamika punktu

materialnego

w R

1

cz. b

Slajd podsumowania

1.8 Ruchy harmoniczne
1.9 Podsumowanie. Dynamika punk
tu materialnego w jednym wymiar
ze

Linki do stron WWW

Hyper Physics

Astronomy Picture of the Day

Space Photos and Images

Ruchy w R1

5

1.8 Ruchy harmoniczne

Piękna muzyka stanowi jedno
z najgłębszych doznań
estetycznych człowieka.
Począwszy od Pitagorasa ludzie
starają się zrozumieć na czym
polega piękno słuchanych
utworów.
Na razie wystarczy, jeżeli
powiemy, że powstanie doznań
muzycznych jest złożonym
procesem psychofizycznym,
którego główna część przebiega w
naszym mózgu.

Ruchy w R1

6

,

kx

F 



gdzie F jest siłą przyłożoną do
struny,
a x wychyleniem struny z
położenia równowagi.

Zajmiemy się teraz
elementarnym procesem drgań
harmonicznych źródeł dźwięku.
Szarpnięta struna drga zgodnie
z prawem Hooke’a:

Ruchy w R1

7

Zgodnie z II zasadą dynamiki

,

2

2

kx

dt

x

d

m

F







k = moduł sprężystości; stały,
czyli

,

0

2

2

2





x

dt

x

d



gdzie

.

2

m

k





Ruchy w R1

8

lub ogólnej

Wzór w ramce jest podstawowym
wzorem opisującym drgania
harmoniczne.
Dlaczego drgania? Bo jak łatwo
sprawdzić:

 

t

A

t

x



sin



 

.

cos

sin

t

B

t

A

t

x









Ruchy w R1

9

A więc podsumowując, mamy:

.

cos

sin

,

0

2

2

2

t

B

t

A

x

x

dt

x

d















Wzór w ramce opisuje ruch
szarpniętej struny lub ogólniej ruch
oscylatora harmonicznego (który
drga ze stałą częstością



).

Ruchy w R1

1
0

Jeżeli struna jest stale „szarpana”
z siłą F(t) oraz drga w ośrodku (w
powietrzu), które stawia opór –
cdx/dt (c = stała) to równanie
drgań struny ma bardziej
skomplikowaną postać:

 

.

2

2

t

F

dt

dx

c

kx

dt

x

d

m







Prawo
Newtona

Prawo
Hooke’a

Opór
ośrodka

Siła
zewnętrzna

Ruchy w R1

1
1

Aby elegancko rozwiązać to
równanie, tzn. znaleźć x(t) musimy
poznać funkcję eksponencjalną e

t

oraz liczby zespolone.

Dodatek matematyczny

Ile wynosi pochodna funkcji a

t

,

gdzie a jest dowolną stałą?

Ruchy w R1

1
2

Pochodna funkcji

eksponencjalnej

Rozważmy funkcję:

 

 

 





 

.

1

ln

ln

,

ln

ln

,

dt

dy

y

dt

dy

dy

t

y

d

dt

t

y

d

a

t

t

y

a

t

y

t









Ruchy w R1

1
3

Z drugiej strony

 









.

ln

ln

ln

a

a

t

dt

d

dt

t

y

d





A więc

.

ln

ln

,

ln

1

a

a

a

y

dt

dy

a

dt

dy

y

t







Ruchy w R1

1
4

czyli

 

.

lna

a

a

dt

d

t

t



Funkcję eksponencjalną definiują
podstawy logarytmu naturalnego.
Szukamy a, dla którego

.

,

1

ln

1

a

e

a

e

a









Ruchy w R1

1
5

Dla funkcji eksponencjalnej

 

t

t

t

e

e

e

e

dt

d



 ln

oraz

 

t

t

n

n

e

e

dt

d



dla dowolnego naturalnego n.
Co za wspaniała funkcja!

Ruchy w R1

1
6

Sherman K. Stein, Calculus and Analitic Geometry, McGraw-Hill 1987

Ruchy w R1

1
7

Rozważmy ponownie równanie
ruchu oscylatora harmonicznego
swobodnego, dla dowolnej funkcji
y(t):

 

 

.

0

2

2

2





t

y

dt

t

y

d



(5)

Z następującymi warunkami
początkowymi:

 

,

2

,

0

0

0









t

t

t

y

dt

dy

Ruchy w R1

1
8

 

 

 

.

0

0

0

,

sin

2

cos

,

sin

cos

,

2

0

,

cos

sin























A

A

t

t

t

A

dt

t

dy

t

B

t

A

dt

t

dy

B

y

t

B

t

A

y























 

.

cos

2

t

t

y





Ruchy w R1

1
9

Z drugiej strony rozwiązanie równania
(5) możemy przedstawić tak (pamiętamy
):

 

 

t

y

dt

t

y

d

n

n





.

t

e

t

y





Stąd:

,

,

0

2

2









i









gdzie = jednostka
urojona
i ogólne rozwiązanie równania (5)
ma postać:

1





i

 

.

t

i

t

i

e

e

t

y











Ruchy w R1

2
0

Bo, sprawdzając otrzymujemy:

 

 

 

.

0

,

,

2

0

0













t

t

i

t

i

dt

t

dy

e

i

e

i

dt

t

dy

y









A więc zgodnie z warunkiem
początkowym.

Ruchy w R1

2
1

Stąd wniosek:
(Leonard Euler w liście do Johna
Bernoulliego, October 18, 1740,
Bazylea)

.

2

cos

,

cos

2

t

i

t

i

t

i

t

i

e

e

t

e

e

t

























Ruchy w R1

2
2

Korzystając z równości

t

t





2

cos

1

sin





otrzymujemy:

2

cos

,

2

sin

t

i

t

i

t

i

t

i

e

e

t

i

e

e

t

























(ważny i bardzo przydatny wzór),

Ruchy w R1

2
3

oraz

.

2

sin

cos

t

i

t

i

t

i

t

i

t

i

e

e

e

e

e

t

i

t































.

sin

cos

t

i

t

e

t

i













Strona z zeszytu nastoletniego R. Feynmana

,

z książki J. Gleicka, Genius, wyd. Abacus, London, 1992

Ruchy w R1

2
5

Teraz wracamy do ogólnego
równania struny:





.

0













t

i

e

F

x

c

kx

x

m





Rozwiązania szukamy w postaci:





,









t

i

Ae

x

A nie zależy od czasu.

Ruchy w R1

2
6

Oznaczenie

.































.

,

0

2

0

2



























































t

i

t

i

t

i

t

i

t

i

e

A

F

ci

k

m

e

F

e

Aci

kAe

e

mA





.

sin

,

cos

,

sin

cos

0

0

2

0

2



























A

F

c

A

F

k

m

i

A

F

ic

k

m









Ruchy w R1

2
7

.

2

,

,

2

2

0

2

0

2

2





































tg

m

k

m

k

m

c

m

k

c

tg

Ruchy w R1

2
8





 

 

 





 









.

2

1

,

1

,

2

2

2

0

2

2

2

0

2

2

2

2

2

2

0

2

2

2

2

0

2

2

2

0

2

2

2









































 































m

F

A

m

k

m

c

m

F

m

k

c

F

A

A

F

c

m

k

Ruchy w R1

2
9

Amplituda drgań ma maksimum dla
częstości drgań siły wymuszającej:

.

2

2

2

0











r

(Proszę to sprawdzić!)

Wartość amplitudy dla
równa się:

2

2

0

2











r









.

2

2

1

2

2

0

0

















m

F

A

r

Ruchy w R1

3
0

Na szczęście
W przeciwnym przypadku
Nieskończona amplituda drgań oznacza
katastrofę dla dowolnych układów
drgających.
Wszystko uległoby zniszczeniu.
W związku z tym wróćmy na chwilę do
wzoru określającego amplitudę drgań:

.

0





 

!







A

 









.

2

1

2

2

2

0

2

0















m

F

A

Ruchy w R1

3
1

Możemy go zapisać tak:

 

















.

2

2

1

2

2

0

2

2

0

0

















i

i

m

F

A











Można, bez przesady powiedzieć, że
liczby zespolone gwarantują stabilność
układów drgających, a więc
gwarantują stabilność materii.

Ruchy w R1

3
2

Podstawowe składniki materii:
atomy, cząstki, jądra atomowe
są oscylatorami harmonicznymi.
Równanie ruchu, które opisuje te
układy, równanie Schrödingera
jest równaniem dla zespolonej
funkcji
.





t

r,





Ruchy w R1

3
3

Wzory do zapamiętania

 





.

dx

dg

dg

dF

dx

x

g

dF



   





       

.

dx

x

dg

x

f

x

g

x

d

x

df

x

d

x

g

x

f

d







Pochodna funkcji złożonej:

Pochodna iloczynu funkcji:

Ruchy w R1

3
4

Wzory do zapamiętania

 

 

       

 





.

2

x

g

dx

x

dg

x

f

x

g

dx

x

df

dx

x

g

x

f

d

















Pochodna ilorazu funkcji:

Ruchy w R1

3
5

Ponadczasowe zasady

zachowania

Zasada zachowania pędu:





.

0

2

1









N

p

p

p

dt

d









   





.

0



 x

T

x

V

dt

d

Zasada zachowania energii dla sił
potencjalnych:

Ruchy w R1

3
6

1.9. Podsumowanie

Dynamika punktu materialnego

w jednym wymiarze

a. Istnieją układy inercyjne.

W układach inercyjnych

spełnione są Zasady Dynamiki

Newtona. Ziemia nie jest

układem inercyjnym, jednak

odstępstwo od inercyjności jest

niewielkie i dlatego na Ziemi

Zasady Dynamiki są spełnione z

dość dobrym przybliżeniem.

Ruchy w R1

3
7

b. Istnieją siły potencjalne, to

znaczy siły spełniające warunek:

 

 

,

dx

x

dV

x

F





 

 

 

 

.

,

2

,

,

2

2

1

2

1

x

g

m

x

V

x

k

x

V

g

m

x

F

x

k

x

F













V(x) jest energią potencjalną.
Przykłady sił potencjalnych:

Ruchy w R1

3
8

.

2

1

stała



 p

p





 

 

.

E

x

V

x

T





Zasada zachowania pędu w
przypadku braku sił zewnętrznych:

Zasada zachowania energii dla sił

potencjalnych:

Ruchy w R1

3
9





.

1

,

,

1

,

1

,

4

3

2

0

2

2























i

i

i

i

i

e

F

kx

dt

dx

c

dt

x

d

m

t

i





c. Oscylator harmoniczny:

4
0

To jest ostatni slajd części drugiej rozdziału
„Ruch punktu materialnego w przestrzeni
jednowymiarowej”.
Możesz:

•przejść do „Spisu treści” i wybrać kolejny
rozdział,

•wrócić do materiału tego rozdziału,

•zakończyć pokaz.

Spis treści

Koniec

pokazu