Kinetyczna teoria gazu
doskonałego
Główne założenia teorii gazu doskonałego:
●
Gaz jest zbudowany z identycznych cząsteczek/atomów o
równych masach.
●
Liczba cząsteczek/atomów w objętości gazu jest ogromna.
●
Objętość cząsteczek/atomów jest zaniedbywalnie mała w
porównaniu z objętością zajmowaną przez gaz.
●
Cząsteczki/atomy gazu zderzają się sprężyście ze sobą i ze
ściankami naczynia zawierającego gazu. Siły działające
podczas zderzeń są siłami zachowawczymi (tj. energia
mechaniczna cząsteczek/atomów pozostaje stała).
●
Cząsteczki/atomy gazu wykonują bezładne ruchy zwane
ruchami termicznymi.
Podstawowe równanie teorii
kinetyczno-
molekularnej gazu doskonałego
(Prawo gazów
doskonałych)
y
x
z
Podstawowe równanie wiąże
parametry stanu gazu z
charakterystykami ruchu
cząsteczek/atomów gazu.
Ciśnienie gazu
doskonałego
l
l
l
S
Gaz zamknięty w naczyniu o kształcie sześcianu.
Cząsteczka o masie m i średniej prędkości v
Składowe v to v
x
, v
y
, v
z
.
Cząsteczka zderza się z powierzchnią S osi z.
Zmiana pędu cząsteczki:
Czas t potrzebny na przebycie przez cały sześcian:
.
2
)
(
z
z
z
p
mv
mv
mv
p
.
/
z
v
l
t
(2)
(1)
Czas potrzebny na zderzenie ze ścianą S:
.
/
2
2
z
v
l
t
(3)
Liczba zderzeń cząsteczki ze ścianą S:
.
2
/
2
/
1
l
v
t
z
(4)
v
Pęd przekazany ściance S w jednostce czasu
przez cząsteczkę i
= zmiana pędu liczba zderzeń
.
2
2
2
,
,
,
i
i
z
i
i
z
i
z
i
f
l
v
m
l
v
v
m
(5)
Całkowita siła działająca na ściankę przez n cząsteczek
.
1
1
2
,
1
n
i
i
z
i
n
i
i
z
v
m
l
f
F
(6)
Ciśnienie p
z
gazu na ściankę S
.
1
1
1
1
2
,
2
,
3
2
n
i
n
i
i
z
i
i
z
i
z
z
v
m
V
v
m
l
l
F
p
(7)
Ponieważ ruch cząsteczek jest bezładny, więc
.
,
3
1
,
,
,
,
,
,
i
i
z
i
y
i
x
i
i
z
i
y
i
x
v
v
v
v
p
p
p
p
(8B)
(8A)
Korzystając z (8A) i (8B), z równania (7) otrzymujemy
.
3
1
1
kin
3
2
2
n
i
i
i
E
v
m
pV
(9
)
Równanie (9), to podstawowe
równanie kinetycznej teorii gazów
doskonałych.
.
2
1
1
2
kin
n
i
i
i
v
m
E
.
3
V
l
Kinetyczna interpretacja
temperatury
Jeżeli m
i
= m a v
i
są różne, to
definiujemy średnią prędkość
kwadratową
,
1
1
2
n
i
i
kw
v
n
v
Średnia energia kinetyczna
.
2
2
1
kin
kw
nmv
E
(10)
(11)
Korzystając z równań (9) i (11) mamy
gdzie M = nm, to masą gazu.
,
2
kw
3
1
2
kw
3
1
Mv
nmv
pV
Jeżeli M = nm =
(kmol gazu), z (12) otrzymujemy
(12)
Korzystając z równania Clapeyrona: pV
0
= RT, więc
.
2
kw
3
1
0
v
pV
,
2
kw
3
1
v
RT
oraz
.
3
3
3
kw
m
kT
mN
kT
N
RT
v
A
A
(13)
(14)
(15)
Średnią energię kinetyczną ruchu
postępowego jednej cząsteczki gazu
doskonałego można otrzymać z równania
(11):
.
2
2
1
kin
kw
mv
n
E
e
Ponieważ
(patrz równania
(15))
m
kT
v
/
3
kw
.
2
3
kT
e
Jak widać, przy T = 0 K
,
0
e
tzn.
0
p
(patrz równania (9))
Wniosek: T jest miarą średniej
energii kinetycznej cząsteczki.
(16)
(17)
(18)
Zasada ekwipartycji
energii
Średnia energia kinetyczna ruchu
postępowego cząsteczki odpowiada trzem
stopniom swobody ponieważ do określenia
położenia środka cząsteczki potrzebne są 3
współrzędne (x, y, z).
Średnia energia na
stopień swobody
.
2
1
kT
e
T
O